Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
OPERAOPERAŢŢIIII CU MATRICECU MATRICEÎnainte de a defini adunarea matricelor, considerăm un caz particular de matrice, deja cunoscut.
ExempluExemplu.
Fie un vector din plan. Există numerele reale unice x, y astfel încât unde sunt versorii axelor Ox
şi Oy. Numerele x şi y cu această proprietate se numesc coordonatele vectorului .
Vom folosi notaţia:
v jyixv v
y
xv
Dacă avem doi vectori :
'
'
'
''
'
'',
yy
xx
y
x
y
xvv
y
xv
y
xv
jşii
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
DefiniDefiniţţiaia adunării matricelor ijijnm bBaAMBA ,;, ,
njmijiji baBA
11atunci
Adunarea se efectuează astfel:
Două matrice se pot aduna numai dacă sunt de acelaşi tip şi “se adună poziţie cu poziţie”.
mnmnmmmm
nn
nn
mnmm
n
n
mnmm
n
n
bababa
bababa
bababa
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
BA
...
............
...
...
...
............
...
...
...
............
...
...
2211
2222222121
1112121111
21
22221
11211
21
22221
11211
DefiniDefiniţţiaia înmulţirii matricelor cu scalari scalar-C ,;, ijnm aAMA
atunci njmijiaA
11
Deci, înmulţirea unei matrice cu un scalar se efectuează astfel:
mnmm
n
n
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
...
............
...
...
21
22221
11211
21
22221
11211
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
Problemă rezolvatăProblemă rezolvată..
Aflaţi numerele complexe x,y dacă:
ii
i
iyx
22
0
11
11
01
SoluSoluţţie.ie. Efectuând înmulţirea cu scalari şi adunarea , relaţia devine:
ii
i
iyxx
yyx
ii
i
iy
yy
xx
x 22
0
022
0
0 de unde: x x = = i , y = i , y = --22.
ProprietăProprietăţţile adunării matricelor ile adunării matricelor şşi i îînmulnmulţţirii cu scalariirii cu scalari
Vom pune în evidenţă unele analogii între proprietăţile operaţiilor cu matrice şi proprietăţile operaţiilor cu numere.ÎÎn muln mulţţimea imea M M m,n m,n ((C), C), considerăm matricea care are considerăm matricea care are toate elementele egale cu zerotoate elementele egale cu zero..
Notăm această matrice cu OOmm,n,n şi o numim matricea nulămatricea nulă cu m linii şi n coloane
1. Adunarea matricelor este asociativăasociativă, adică: (A (A + + B) + C B) + C = = A + (B + A + (B + C) C) ,, pentru orice A, B, C din Mm, n(C).2. Adunarea matricelor este comutativăcomutativă, adică: A +B = B + AA +B = B + A3. în mulţimea Mm,n(C) există element neutruelement neutru faţă de adunare, şi anume: OOm, nm, n, adică A + A + OOmm,n,n = = OOmm,,nn+A+A
4. Pentru orice A eMm,n(.C), există --AA e Mm,n(C) astfel încât: AA + (+ (--AA) = () = (--AA)+)+AA = O= Omm,,nn
5. înmulţirea cu scalari este distributivă fată de adunarea matricelordistributivă fată de adunarea matricelor, adică: αα(A+B) = (A+B) = αα A + A + ααB,B,
6. înmulţirea cu scalari este distributivă fată de adunarea scalarilordistributivă fată de adunarea scalarilor, adică: ((αα + + ββ)A = )A = ααA+A+ββAA,
7.7. αα((ββA) = A) = ββ((ααA) A) == ((αβαβ) A ) A
8.8. 1 1 ∙∙A A ==AA
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
Matricea opusă lui AMatricea opusă lui A
0...00
............
0...00
0...00
,nmO
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
ObservaObservaţţie.ie.Proprietăţile de mai sus se menţin dacă în locul matricelor din mulţimea Mm,n(C) se consideră matrice din mulţimea MMmm,,nn(R) (R) (respectiv din MMmm,,nn(Q)(Q) sau MMmm nn(Z))(Z)) , iar scalarii sunt din RR (respectiv din QQ sau ZZ).
* ScădereaScăderea matricelormatricelorPentru două matricea, A,B din Mm,n(C), definim, A A --B = A + (B = A + (--B).B).Rezultă:
mnmnmmmm
nn
nn
mnmm
n
n
mnmm
n
n
bababa
bababa
bababa
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
BA
...
............
...
...
...
............
...
...
...
............
...
...
2211
2222222121
1112121111
21
22221
11211
21
22221
11211
Două matrice se pot scădea numai dacă sunt de acelaşi tip şi “se scad poziţie cu poziţie”.
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
DefiniDefiniţţia ia îînmulnmulţţirii matriceloririi matricelor
pknjjkpn
njmiijnm bBMBaAMA
,1,1,
,1,1, ;,,
atunci : )();(
,1,1,
pjmiikpm cCCMCAB
şi :
n
jjkijnkinkikiik babababac
12211 ...
ElementulElementul ccik ik ,,situat în matricea produs pe linia ilinia i şşi i coloana kcoloana k se determină îînmulnmulţţindind respectiv elementele liniei ielementele liniei i din prima
matrice cu elementele coloanei kcu elementele coloanei k din a doua matrice şi adunând rezultateleadunând rezultatele..ObservaObservaţţie. ie.
îînmulnmulţţirea a două matriceirea a două matrice A şi Bse poate efectuase poate efectua (în această ordine !)numai dacă numărul numărul coloanelor lui coloanelor lui AA este egal cu este egal cu numărul numărul liniilor lui liniilor lui BB.
Matricea produs are acelaşi număr de linii cu A şi aceleşi număr de coloane cu B.
Problemă rezolvatăProblemă rezolvată..Aflaţi matricea X din M2(R) cu proprietatea
18
01XX
SoluSoluţţie.ie. Fie
1
8)(
0)(
1
2
2
2
2
uyz
uxz
uxy
yzx
uyzuzzx
yuxyyzxXX
uz
yxX
y = 0 ,apoi (x, y, z, u) {(1, 0, - 4, 1), (-1, 0, 4, - 1)}, deci problema are două soluţii:
14
01;
14
0121 XX
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
Scrierea matricealăScrierea matriceală a unui sistem liniara unui sistem liniarînmulţirea matricelor îşi dovedeşte utilitatea prin faptul că permite scrierea sistemelor liniare de m ecuaţii cu n necunoscute sub o formă concentrată, forma matriceală. Astfel, matricele devin instrumente eficiente de studiu al sistemelor.
Fie sistemul liniar de m ecuaţii cu n necunoscute
)1(;
...
...
...
...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Acestui sistem îi asociem:
a) a) matricea coeficienmatricea coeficienţţilor Ailor A
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
b) b) matricea necunoscutelor Xmatricea necunoscutelor X
nx
x
x
X...
2
1
c) c) matricea termenilor liberi Bmatricea termenilor liberi B
mb
b
b
B...
2
1Ecuaţia matricealăeste: AA∙∙X = BX = B, (2).Astfel, sistemul (1) este echivalent cu ecuasistemul (1) este echivalent cu ecuaţţia matriceală ia matriceală (2).(2). Spunem că am scris sistemul sub formă matriceală.
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
Înmulţirea matricelor nu estenu este comutativă .
ProprietăProprietăţţile ile îînmulnmulţţiriiirii matricelormatricelor
00
01;
10
00
00
10
01
00
BAABB
A
BAAB
contraexemplu:
* înmulţirea matricelor este asociativă, adică
pentru orice matrice A A MMm,nm,n(C), (C), B B MMn,pn,p(C), (C), C C MMp,qp,q(C),(C), are loc egalitatea : A(BC) = (AB)C.A(BC) = (AB)C.• înmulţirea matricelor este distributivă la stânga faţă de adunare, adică :
pentru orice matrice A A MMm,nm,n(C), (C), B B MMn,pn,p(C), (C), C C MMn,pn,p(C),(C), are loc egalitatea: A(B + C) = AB + AC.A(B + C) = AB + AC.• înmulţirea matricelor este distributivă la dreapta faţă de adunare, adică :
pentru orice matrice A MA Mn,pn,p(C), B M(C), B Mm,nm,n(C), C M(C), C Mm,nm,n(C)(C) are loc egalitatea: (B + C)A=BA +CA (B + C)A=BA +CA
Proprietăţile înmulţirii matricelor din MMnn(C).((C).(matrice pătratematrice pătrate))îîn muln mulţţimea Mimea Mnn(C), (C), oricare două matrice se pot aduna sau oricare două matrice se pot aduna sau îînmulnmulţţi, rezultatul fiind o matrice din aceeai, rezultatul fiind o matrice din aceeaşşi muli mulţţime.ime.
Un rol important îl are matricea unitatematricea unitate, notată cu IInn
1...00
............
0...10
0...01
nI
îîn muln mulţţimea Mimea Mnn(C) (C) există există element neutruelement neutru fafaţţă de ă de îînmulnmulţţire, ire, şşi anume i anume IInn , , adică: AA∙∙IInn=I=Inn∙∙A=AA=A, pentru orice A din Mn(C).
Se păstrează proprietăţile de mai sus. În plus avem( numai în cazul matricelor pătrate):
ObservaObservaţţie:ie: matricea In comută cu orice matrice pătrată de ordinul n.
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
Ridicarea la putereRidicarea la putere a unei matrice pătrate a unei matrice pătrate..
Pentru o matrice A din Mn(C), se definesc inductiv inductiv puterile sale naturale, astfel:
AA°°=I=Inn ; A; A11 =A ; A=A ; A22=A=A∙∙A ; AA ; A33=A=A22∙∙A ; ..., AA ; ..., Ap+1p+1 =A=App∙∙A (p N*).A (p N*).
Folosind asociativitatea înmulţirii, se obţin proprietăţile:
AAp+qp+q =A=App∙∙AAq q ; (A; (App))qq=A=Apqpq
Probleme rezolvate.Probleme rezolvate.1. Fie matricele
53
42,
53
102,
00
20,
00
10YXBA Calculaţi: AB, AXAB, AX şşii AY.AY.
00
53,
00
53,2 AYAXOAB
Comentarii:Comentarii:i) Dacă a, b sunt două numere complexe cu proprietatea ab = 0, atunci cel puţin unul dintre numere este nul. Exemplul de mai sus arată că pentru matrice, nu are loc o proprietate asemănătoare, adică din AB = 0m, n nu rezultă în mod necesar că cel puţin una dintre matricele A, B este nulă.
ii) Dacă a, x, y sunt numere complexe aşa încât ax = ay iar a ≠0, rezultă că x = y. Exemplul de mai sus arată că pentru matrice, nu are loc o proprietate asemănătoare, adică din AX=AY unde A este diferită de matricea nulă nu rezultă în mod necesar că X= Y.
Calculând,avem:
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
2.2.) ) Fie Fie A, B A, B două matrice pătrate de ordinul două matrice pătrate de ordinul n. n.
DemonstraDemonstraţţi căi că:: a)a) ((A + B)A + B)22 = A= A22 + 2AB + B+ 2AB + B22 dacă dacă şşi numai dacă i numai dacă AB=BA;AB=BA;b)b) (A + B)(A (A + B)(A --B)=AB)=A22--BB22 dacă dacă şşi numai dacă i numai dacă AB=BAAB=BA.
SoluSoluţţie.ie. a) Aplicând distributivitatea înmulţirii faţă de adunare, avem: (A+B) = = (A+B)(A+B)=A2+AB+BA + B2. Egalitatea A2 +AB + BA+ B2 =A2 +2AB + B2 are loc dacă şi numai dacă BA = AB.
b) Se demonstrează analog.ObservaObservaţţie.ie. Exemplul de mai sus arată că în general formulele de calcul prescurtat ce au loc pentru numere reale sau complexe nu senu se verifică
pentru matrice.
Prin inducinducţţie matematicăie matematică se poate demonstra că
dacă AB = BA, atunci: kkn
n
k
kn
npqqp BACBAABBA
0
şi binomul lui Newton
200
120
212
;
00
00
00
B
i
i
i
A3.) 3.) Fie Fie A, B A, B două matrice pătratedouă matrice pătrate.
CalculaCalculaţţi Ai Ann şşi Bi Bnn, , pentru pentru n n N, N, n n ≥≥ 2.2.
3234
23
32
100
010
001
IAAAA
AAAA
IAAA
SoluSoluţţieie.
Aşadar:
34kn ,
24kn,
14kn ,
4kn ,
3
3
A
-I
A
I
An
n
nn
nnn
nn
nn
nn
n
nkknn
k
kn
n
n
nnn
DCDCICB
ODşiDDDarDCDIDcuDIB
200
220
2)7(22
...222
...
000
000
100
,.2)2(B şi
000
100
210
:,2
1
31
222113
0
332
03
n3
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
Raaa
aaA
;cossin
sincos4.)4.) Fie matriceaCalculaţi An
aaaa
aaaa
aa
aa
aa
aaAAA
22
222
sincoscossin2
cossin2sincos
cossin
sincos
cossin
sincos
Arătăm prin inducţie că: P(n)P(n+1) ,unde P(n):” “
nana
nanaAn
cossin
sincos
Verificarea ,n=1,n=2,s-a efectuat mai sus.
))1cos(())1sin((
))1sin(())1cos((
sin)sin(cos)cos(sin)cos(cos)sin(
cos)sin(sin)cos(sin)sin(cos)cos(
cossin
sincos
cossin
sincos1
anan
anan
anaanaanaana
anaanaanaana
aa
aa
nana
nanaAAA nn
Conform principiului inducţiei matematice, propoziţia este adevărată pentru orice n N*.
este formula lui Moivreformula lui Moivre pentru matriceObservaObservaţţie.ie. Formula demonstrată,
nana
nana
aa
aan
cossin
sincos
cossin
sincos
11
11;
2
1
2
32
3
2
1
BA
5.)5.) Fie matricele A,B. Calculaţi A100 , B100
SoluSoluţţieie.
SoluSoluţţieie.
2
1
2
32
3
2
1
3
100cos
3
100sin
3
100sin
3
100cos
3cos
3sin
3sin
3cos
100
AA
Analog:
50
5050100
20
02
4
100cos
4
100sin
4
100sin
4
100cos
2
4cos
4sin
4sin
4cos
2
BB
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
EXERCIEXERCIŢŢII DE INIII DE INIŢŢIEREIERE
1.)1.) Se dau matricele Calculaţi: A+B, A-B, 2A-3B
135
531,
502
020BA
2.)2.) Se dau matricele
40
21
13
,405
011YX
Calculaţi:a)A2-(B-C) şi B2-(C-A); b)(A+B-C)2 şi(A-B-C)2;c)AB+BC+CA; d)A2+B2 + C2 şi (A+B)(B + C)(C+A).
3.)3.)Un magazin se aprovizionează cu pâine de două ori pe zi (dimineaţa şi după amiaza), achiziţionând trei sortimente de pâine (albă, neagră, graham). Numărul pâinilor din fiecare fel este trecut în tabelul 1, iar preţul unei pâini din fiecare fel este conform tabelului 2
1 Pâini albe Pâini negre Pâini graham
Dimineaţa 300 200 200
După amiaza 200 300 100
2 Preţ
Pâine albă 0,8
Pâine neagră 0,7
Pâine graham 0,5
Scrieţi matricele A şi B asociate celor două tabele; precizaţi tipul lor. Calculaţi produsul matricelor A şi B. Care este semnificaţia concretă a elementelor matricei AB ?
4.)4.) Se consideră matricele
22
11,
03
40,
10
21CBA
a) verificaţi: (AB)C = A(BC); A(B + C) = AB + AC; (A+B)C = AC + BC. b) Stabiliţi dacă sunt egale matricele: AB şi BA; ABA şi A2B ; BAB şi AB2 ; (B + C)A şi AB + AC.
CABCBA şi ) )
) ;)222
2222
CBAdCABCABc
CBAşiCBAbACşiBCBAa
5.)5.) se consideră matricele:
11
22,
11
10,
23
11CBA
Calculaţi
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
6.)6.) Fie matricele:
03
21;
32
13BA Stabiliţi în fiecare caz dacă există astfel încât:R ,
222
22 c) ;) ;) OBAIBAbOBAa
7.)7.) Alcătuiţi sistemul liniar a cărui formă matriceală este AX = B unde matricea coeficienţilor este:
123
355
321
Amatricea necunoscutelor este:
z
y
x
X iar matricea termenilor liberi este:
12
12
4
B
8.)8.) Fie matricea
42
21X
a) Calculaţi X2.b) Verificaţi egalitatea X2 = 5X.
c) Arătaţi că X3 =52X.d) Prin inducţie matematică demonstraţi că Xn = 5n-1X
9.)9.) Se consideră matricele :
jiji
jijib
jiji
jijiacubBaA ijijjiijjiij ;
;,
;
; :;
3,1,3,1,Calculaţi:
a)A+B + I3 ; b) A2, B2 şi A2+2AB-B2; c) (A+B-I3)2
10.)10.) Ridicaţi la puterea n, (n e N*) matricele:
032
001
000
şi 10
21BA
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
PROBLEME ♦ PROBLEME ♦ PROBLEME
1.1. Fie matricele
12
73
01
;
21
02
11
BA a) Determinaţi matricele A+B şi B-A.b) Dacă f(X)=X+A, calculaţi: f(A), f(B), f(A+B), f(B-A).
2.2. Fie matricele
0213
1121
0021
;
0011
3121
1000
;
2100
21312
0111
BBA
Determinaţi matricele: A+B-C, A-B + C, -A +B - C şi A +B + C.
3.3. Se consideră matricele
103
21B şi
001
11
i
iiA Calculaţi matricele: A +B, A-Bşi2A-3B.
4.4. Se consideră în plan punctele M(1, 3), N(O, 4) şi P(4, - 8) şi vectorii: OPwONvOMu ,,
a) Scrieţi vectorii sub formă matriceală si calculaţi: wvuvuvu 2 ; ;
b) Aflaţi scalarii α şi β astfel încât: wvu 5.5. Aflaţi Rdcba ,,, ştiind că:
dc
ba
2
43
2
12
10
13
01
22
6.6. Se consideră funcţia f:M3(C) M3(C), unde f(X) = 2X+l3 si fie matricele:
100
001
010
,
311
012
101
BA
a) Calculaţi: f(A), f(B), f(A+B). b) Arătaţi că f este injectivă. c) Este f surjectivă ?
7.7. Fie matricele
42
20,
32
11,
610
82CBA Stabiliţi dacă există α,β,γ R* astfel încât: αA+βB + γC=02
8.8. Aflaţi matricele X şi Y ştiind că:
720
464 şi
55
86b)2
1
0
1
32 şi
3
2
1
) YXYXYXYXa
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
9. Se consideră matricele ).,min(),,max(;,),(,33333 jibjiabBaAZMBA ijijxijxij BABA ,Aflaţi:
10. Dacă
10
123,2 :.*,,110
,k
kkkk
k
kk AScalcNkiii
ACMA
11. Dacă
2
14
532
şi )(3
zy
xAARMA t, aflaţi: a) numerele reale x,y, z; b) urma matricei A.
12. Considerăm matricele
30
11
22
,110
321YX Calculaţi XY si YX.
13. Fie
65
43
21
,654
111BA . Calculaţi : AB, BA, I2A, AI3, BI2, I3B.
14. Fie
30
12,
032
111BA Calculaţi BA, B2, tA∙A şi A∙tA
15. Găsiţi toate matricele Xe M2(R) de forma
.
y
yxX
0 cu proprietatea X2 = I2
16. Rezolvaţi în mulţimea M2(R) ecuaţiile:
100
010
001
100
110
111
) 40
19) 2
XbXa
10
31Acu
53comută
baX
17. Aflaţi a, b e R ştiind că matricea
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
18.18. Completaţi: a) O matrice care are două linii şi 4 coloane se înmulţeşte cu o matrice având ... linii si 5 coloane. Rezultatul înmulţirii este o matrice cu ... linii şi... coloane.
b) O matrice pătrată de ordinul ... se înmulţeşte cu o matrice coloană si se obţine o matrice cu 3 linii si... coloane.c) Dacă A • tA este o matrice pătrată de ordinul 4 iar tA • A este o matrice pătrată de ordinul 6, atunci A are ... linii şi... coloane.
1919. Determinaţi numerele naturale m, n, numerele reale x, y şimatricea X din Mm,n(R) astfel încât
65y
x129
654
321b)X
6
411
5
65
43
21
)
y
x
Xa
20.20. Găsiţi matricea X si numărul real a astfel încât
a
X 14
6
65
43
21
21.21. Ridicaţi la puterea n (n e N*) matricele:
300
010
0a1
101
000
101
11
11
10
1
a
a
22.22. Ridicaţi la puterea n (n e N*) matricele:
101
011
001
,
100
110
211
,
100
110
011
23.23. Ridicaţi la puterea n (n eN*) matricele:
001
100
010
, 0
0,
0
0
a
a
a
a
24.24. Fie bcadcudc
baACMA
:,),(2 a) Demonstraţi că A2 = t∙A unde t este urma matricei A.
b) Calculaţii An, n e N*.
25.25. Folosind eventual procedeul ce rezultă din problema precedentă,
ridicaţi la puterea n (n eN*) matricele:
1cos
sin22sin,
86
43 ,
x
xx
ba
ba
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
26.26. Ridicaţi la puterea n (n N*) matricele:
1
1,
sincos
cossin,
31
13 ,
01
10
tga
tga
aa
aa
27.27. Fie
2
3
2
12
1
2
3
A Aflaţi valorile lui n N* cu proprietatea A A n n = = II22
28.28. Fie A, B Mn(C), astfel încât A +B = In . Demonstraţi că AB = BA
2929. Considerăm matricele
33
22Bşi
23
23A
Demonstraţi că: a) AB = BA;a) AB = BA; b) (A + xB)b) (A + xB)nn = A + x= A + xnnBB pentru orice x R
30.30. Se consideră matricele A = (aij) B = (bij) , i,j {1, 2, 3}, definite prin :
ji j),min(i,
ji ,0,
ji j),max(i,
ji ,0ijij ba
a) Calculaa) Calculaţţi: Ai: A22, B, B22, A, ABB--BA. BA. b b) A) Arătarătaţţi că i că : : tt(AB) = BA(AB) = BA.
31.31. Se consideră matricele A, B, C unde A = BCA = BC,
cbaC
c
b
a
B
;
a) Demonstraţi că există o constantă a astfel încât: AA2 2 = aA= aA.
b) Calculaţi AA20062006
32.32. Fie matricele
ARA
101
3 Xcu )(MXşi
100
010
101a) Demonstraţi că AX = XA.AX = XA.
b) Demonstraţi că matricea X este de forma:
c) Calculaţi Xn.d) Determinaţi matricea X.
a
b
ca
X
00
00
0
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
♦ REZUMATUL CAPITOLULUIREZUMATUL CAPITOLULUI ♦
ÎÎnmulnmulţţirea matricelorirea matricelor
A MA Mm,nm,n(C),(C), B MB Mn,pn,p(C)(C)
A = (aA = (aijij) ,B = (b) ,B = (bjkjk).).Produsul matricelor A şi B este matricea
A A •• B = CB = C, unde C MC Mm,pm,p(C),(C), C=(cC=(cikik))
(îînmulnmulţţirea se face irea se face linie x coloanălinie x coloană)
ÎÎnmulnmulţţirea cu scalari irea cu scalari
Dacă A=(aij) şi λ C este un scalar
Produsul dintre scalarul λ şi matricea A este
matricea: C=(cij) , cij = λaij
(fiecare element al matricei fiecare element al matricei A A se se îînmulnmulţţeeşşte cu scalarul te cu scalarul λλ)
AdunareaAdunarea
A,B Mm,n(C) ,A=(aij) şi B=(bij)
Suma matricelorSuma matricelor A şi B este matricea
C Mm,n(C) C=(cij) , cij = aij+bij(adunarea se face pe componenteadunarea se face pe componente)Matricea
se numeşte matricea nulămatricea nulă. Omn este element neutru faţă de adunară matricelor.
Diagonalele Diagonalele şşi urma unei i urma unei matrice pătratematrice pătrate
Fie A M n(C) o matrice pătrată,
sistemul ordonat : ( a( a1111,a,a2222,,……,a,ann nn ) ) reprezintă diagonala principalădiagonala principală a matricei A,
iar ( a( a1n1n,a,a2,n2,n--11,,……,a,an1 n1 ) ) diagonala diagonala secundarăsecundară a matricei A.
Numărul Tr(A)Tr(A)==aa1111 +a+a2222+ ...+a+ ...+annnn
(suma elementelor de pe diagonala suma elementelor de pe diagonala principalăprincipală) se numeşte urma matriceiurma matricei A.
Transpusa unei matriceTranspusa unei matrice
Notăm : transpusa matricei A Mm,n(C)cu tA
Se observă că: tA Mn,m(C)
NoNoţţiunea de matriceiunea de matrice
O funcţie A : {1,2,…,m}x{1,2,,,,,n}C
Se numeşte matrice de tip (m,n)
cu m-linii şi n-coloane.
Sau
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
njmiijaA
11
mnnn
m
m
t
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22212
12111
0...00
............
0...00
0...00
,nmO
n
jjkij
nkinkikiik
ba
bababac
1
2211 ...
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
Prof:CiocotiProf:Ciocotişşan Raduan Radu
Top Related