x x x ț f ă I A - CLASA a XII-a A MATE-INFO · PDF fileT R A I A N Teorie asimptote -Dreapta...

T R

A I A

N

Teorie asimptote -Dreapta y n se numeşte asimptotă orizontală spre a funcției f dacă lim ( ) ,x

f x n n

-Dreapta y mx n se numeşte asimptotă oblică spre a funcției f dacă

lim , , 0,x

f xm m m

x şi lim ,

xf x mx n n

-Dreapta ax se numeşte asimptotă verticală la stânga a funcției f dacă

xflimsauxflimaxax

axax

-Dreapta ax se numeşte asimptotă verticală la dreapta a funcției f dacă

xflimsauxflimaxax

axax

-funcţiiile polinomiale, sin, cos nu admit asimptote -nu putem avea asimptotă orizontală şi oblică în acelaşi timp spre sau -asimptotele verticale se calculează de regulă în punctele de acumulare care nu aparţin domeniului de definiţie Algoritm de aflare a asimptotelor Calculăm lim

xf x

Dacă limx

f x

atunci căutăm asimptota oblică y mx n

Dacă limx

f x n

finit atunci y n asimptotă orizontală spre și nu există

asimptotă oblică spre Dacă D atunci nu avem asimptote verticale Calculăm lim

x af x

unde a este punct de acumulare care nu aparține domeniului de

definiție Dacă lim

x ax a

f x

atunci x a asimptotă verticală la stânga

Dacă limx ax a

f x

atunci x a asimptotă verticală la dreapta

Dacă limx ax a

f x

și limx ax a

f x

atunci x a asimptotă bilaterală

Exerciții asimptote

1. Se consideră funcţia 2 1

: 0; , ( ) .x

f f xx

a) Să se verifice că 2

2

1'( ) ,

xf x

x

pentru 0.x

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. 2. Se consideră funcţia :f , .)( xexxf

a) Să se calculeze '( ),f x x . b) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice către la graficul funcţiei f.

T R

A I A

N

3. Se consideră funcţia : 0; \ ,f e .ln1

ln1)(

x

xxf

a) Să se calculeze .1

)1(

eff

b) Să se verifice că

,ln1

2)('

2xxxf

.\;0 ex

c) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f.

4. Se consideră funcţia : \ 1f definită prin .1

)(

x

exf

x

a) Să se verifice că

2'( ) , \ 11

xxef x x

x

.

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f.

5. Se consideră funcţia : 0;f definită prin .ln

)(x

xxf

a) Să se calculeze ).(' ef b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale spre a graficului f.

6. Se consideră funcţiile :nf date prin 1)(0 xexf şi 1( ) ( )ln nf x f x pentru

Nn . a) Să se calculeze ),(1 xf x . b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către a graficului funcţiei .0f

c) Să se calculeze .1)(

lim2

2

0 x

xxfx

7. Se consideră funcţia :f , xexf x )( . a) Să se calculeze '( ), .f x x b) Să se scrie ecuaţia asimptotei oblice către la graficul funcţiei f.

8. Se consideră funcţia : 0;f , : 0;f , x

xxf

ln)( .

a) Să se calculeze ;0),(' xxf . b) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f.

9. Se consideră funcţia :[0; )f , x

x

ex

exf

21)( .

a) Să se verifice că

212

)('x

x

ex

xexf

, pentru );0[ x .

b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f.

10. Se consideră funcţia : 0;f defintă prin x

xxf

1

1)( .


1)('

xxxf

, pentru 0x .

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. 11. Se consideră funcţia :f 2( ) 3 3 xf x x x e .

a) Să se calculeze '( ),f x x b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f.

T R

A I A

N

12. Se consideră funcţia :[1; )f definită prin xx

xxxf

ln

ln)(

.

a) Să se verifice că e

eeff

1

2)()1( .

b) Să se arate că 2ln

1ln2)('

xx

xxf

, );1[ x .

c) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei :[1; )g

defintiă prin 21)(

)(')(

xf

xfxg .

13. Se consideră funcţia :f , 1

1)(

2

2

xx

xxxf .

a) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f.

b) Să se arate că

,

1

12)('

22

2

xx

xxf pentru .x

14. Se consideră funcţiile , :f g , xexxf 1)( şi .)( xxexg a) Să se verifice că )()(' xgxf pentru .x b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei g.

15. Se consideră funcţia 1: \ 1 , ( ) .

1

xf f x

x

a) Să se calculeze '( ), \ 1 .f x x

b) Să se calculeze1

( ) ( 1)lim .

1x

f x f

x

c) Să se determine asimptota orizontală către la graficul funcţiei f.

16. Se consideră funcţia 1: \ 3 , ( ) .

3

xf f x

x

a) Să se calculeze '( ), \ 3 .f x x

b) Să se calculeze4

( ) (4)lim .

4x

f x f

x

c) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f 17. Se consideră funcţia :f , .)( 2xexf x

a) Să se calculeze .1

)1()(lim

1

x

fxfx

b) Să se demonstreze că funcţia f nu are asimptotă către . c) Să se calculeze ( )l lf x

18. Se consideră funcţia : \ 1f definită prin 1

2)(

2

x

xxxf

a) Să se calculeze '( ), \ 1f x x .

b) Să se calculeze ( ), \ 1l lf x x .

c) Să se determine ecuaţia asimptotei oblice către la graficul funcţiei f.

19. Se consideră funcţia :f de forma

1,ln

1,11

)(xx

xeexf

x

.

T R

A I A

N

a) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. b) Să se calculeze ( ), 1,lf x x .

c) Să se calculeze ( ), 1,l lf x x .

20. Se consideră funcţia1 , 0

: , ( ) ., 0x

x xf f x

e x

a) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. b) Să se calculeze ( ), 0,lf x x .

c) Să se calculeze ( ), 0,l lf x x .

21. Se consideră funcţia3 1, 1

: , ( ) .2, 1

x xf f x

ax x

a) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. b) Să se calculeze lim ( ) 1 .

xf x x

22. Se consideră funcţiile 2

, :[0; ) , ( )1

xf h f x

x

şi 2( ) ( ).h x f x


2'( ) , 0.

1

xh x x

x

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. c) Să se calculeze ( ), 0,lf x x .

23. Se consideră funcţia

2 3, 0

2: , ( )3

, 02

xx

xf f x

x x

.

a) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f. b) Să se calculeze ( ), 0,lf x x .

24. Pentru n se consideră funcţiile 0: 0; , ( ) lnnf f x x şi '1( ) ( ).n nf x f x

a) Să se determine funcţia 1f . b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei 2.f


2

2

2

3, 1

1: , ( )2

, 12

xx

xf f xx a

xx

, unde .a

a) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funţciei f. b) Să se calculeze ( ), ,1lf x x .

26. Se consideră funcţia 1: , ( ) .

x

xf f x

e

a) Să se verifice că '( )x

xf x

e pentru .x


27. Se consideră funcţia2

2: , ( ) .

1

xf f x

x

T R

A I A

N


2'( ) 0

1

xf x

x

pentru .x

b) Să se determine ecuaţia asimptotei către la graficul funcţiei f. 28. Se consideră funcţia : , ( ) 2 3 .x xf f x

a) Să se calculeze '( ), .f x x b) Să se determine asimptotei către la graficul funcţiei f. c) Să se calculeze ( )llf x .

29. Se consideră funcţia 1: \ 1 , ( ) 1 .

1f f x x

x

a) Să se arate că

2

2

2'( )

1

x xf x

x

pentru \ 1 .x



: , ( ) .x

x xf f x

e

a) Să se verifice că 2 3 2

'( ) ,x

x xf x

e

pentru x .


31. Se consideră funcţia : 0; , ( ) .xe

f f xx


1'( ) ,

xe xf x

x

pentru 0.x

b) Să se determine asimptota verticală la graficul funcţiei f. 32. Se consideră funcţia : , ( ) .xf f x xe

a) Să se verifice dacă '( ) 1 xf x x e pentru x .

b) Să se calculeze ( )l lf x . c) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei f.

33. Se consideră funcţia 2

: 1; , ( ) .1

xf f x

x

a) Să se verifice dacă

2

2

2'( )

1

x xf x

x

pentru 1x .


34. Se consideră funcţia ln: 1; , ( ) .

xf f x

x

a) Să se verifice dacă 2

1 ln'( )

xf x

x

pentru 0x .

b) Să se determine ecuaţia asimptotei orizontale către la graficul funcţiei


2

1: , ( ) .

1

x xf f x

x x

a) Să se verifice dacă

2

22

2 2'( )

1

xf x

x x

pentru x .


T R

A I A

N

36. Se consideră numărul 0a şi funcţia : , ( ) xf f x e ax . V1 a) Să se determine asimptota oblică la graficul funcţiei f către . b) Să se calculeze ( )lf x .


2 1: \ 1,0 , ( ) .

1

xf f x

x x

V4

a) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f b) Să se calculeze ( ), 0,lf x x .

c) Să se calculeze 2

*lim 1 2 3 ... ,n

nf f f f n n

.

38. Se consideră funcţia : 0; , ( ) lnf f x x şi şirul

**1 1 1

, 1 ... ln ,2 3n nn

x x n nn

. V7

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f 39. Se consideră funcţia 3 3 2: , ( ) 3 4,f f x x x x . V13

a) Să se determine asimptota oblică a graficului funcţiei f spre . b) Să se arate că 2 2' 2 , \ 2,1f x f x x x x .

c) Să se calculeze ( )l lf x .

40. Se consideră funcţia 2 1: 0; 0; , ( )

2

xf f x

x

şi şirul n n

x dat de

0 12, ,n nx x f x n . V18

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f b) Să se calculeze ( ), 0,lf x x .

41. Se consideră funcţia 2: 2,2 , ( ) ln

2

xf f x

x

. V19

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f b) Să se calculeze ( )l lf x .

c) Să se calculeze 1lim a

xx f

x

, unde a este un număr real.

42. Se consideră funcţia : , ( ) sinf f x x x . V24 a) Să se calculeze ( )lf x . b) Să se arate că graficul funcţiei nu are asimptote .

43. Se consideră funcţia 21: 0, , ( ) ln

2f f x x . V25

a) Să se calculeze ( ), 0,lf x x ..

b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei . 44. Se consideră funcţia : , ( )f f x arctgx arcctgx . V26

a) Să se determine asimptota la graficul funcţiei f spre . b) Să se calculeze ( )lf x .

45. Se consideră funcţia 2: , ( )f f x x x . V31

a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptota spre . 46. Se consideră funcţia : , ( ) ln 1xf f x x e . V35

T R

A I A

N

a) Să se calculeze ( ), 0,lf x x .

b) Să se arate că lim 0,a

xx f x a

.

c) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f .

47. Fie funcţia 3 1: \ 3 , ( )

3

xf f x

x

şi şirul 1n n

a

definit prin

*1 12, ,n na a f a n . V36

a) Să se calculeze ( )lf x b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f

48. Se consideră funcţia 2: , ( ) 2 ln 1f f x x x x . V38


b) Să se arate că graficul funcţiei f nu are asimptotă oblică spre . 49. Se consideră funcţia : 0, , ( ) lnf f x x x . V39


b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f. 50. Fie funcţia 2 2: , ( ) 2 1f f x x x şi şirul 1n n

a

definit prin

*1 12, ,n na a f a n . V40

a) Să se calculeze ( )lf x . b) Să se calculeze ( )l lf x . c) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre .

51. Se consideră funcţia : 0, ,0 , ( ) ln 1f f x x x . V41


b) Să se arate că graficul funcţiei f nu admite asimptote. 52. Se consideră funcţia : , ( )f f x xarctgx şi şirul *n n

x dat de

*1 11, ,n nx x f x n . V42

a) Să se calculeze 'f b) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre .


2

5: , ( ) ,

1

x axf f x a

x

. V45

a) Să se calculeze ' ,f x x .

b) Ştiind că 0a , să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre .


1: \ 1,1 , ( )

1f f x arctg

x

. V47

a) Să se calculeze 1

1

limxx

f x

.

b) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptote f spre .


3

4 3: 1, , ( )

xf f x

x

. V49

a) Să demonstreze că graficul funcţiei f admite asimptota spre . b) Să se calculeze lf x .

T R

A I A

N

56. Se consideră funcţia * 1: , ( ) sinf f x x

x . V50

a) Să se calculeze 0

limx

f x

.

b) Să se calculeze *' ,f x x

c) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre .

57. Se consideră funcţia 4 2 5: \ , ( )

3 3 4

xf f x

x

. V56

a) Să se determine asimptota la graficul funcţiei f spre . b) Să se determine limita şirului 1

, 1 2 ...n nna a f f f n

.

c) Să se calculeze ( )llf x .

58. Se consideră funcţia 2: , ( ) 1 1f f x x . V66

a) Să se calculeze derivata funcţiei pe intervalul 1,1 .

b) Să se determine ecuaţia asimptotei spre la graficul funcţiei f . 59. Se defineşte funcţia 2

0 0: , ( ) xf f x e şi pentru fiecare *n se defineşte funcţia '

1: , ( )n n nf f x f x . V70

a) Să se arate că 23 8 ,xf x e x .

b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei nf .

c) Să se calculeze

1 2 1...lim n

nn

f a f a f a

f a

, unde a este un număr real.


: \ 1 , ( )1

x xf f x

x

. V72

a) Să se determine ecuaţia asimptotei spre la graficul funcţiei f . b) Să se calculeze ' , \ 1f x x .

c) Să se calculeze , \ 1llf x x .

61. Fie a şi funcţia 2

2: \ 1,1 , ( )

1

x x af f x

x

. V73

a) Să se calculeze limx

xf x

.

b) Să se determine valoarea numărului a ştiind graficul funcţiei f are exact o asimptotă verticală.

62. Se consideră funcţia 2: 2,2 , ( ) ln

2

xf f x

x

. V74

a) Să se determine ecuaţiile asimptotelor la graficul funcţiei f. b) Să se calculeze ( )lf x

c) Să se calculeze 1limx

x fx

.

63. Se consideră funcţia : 0, , ( ) lnf f x x x . V76

a) Să se arate că graficul funcţiei f nu admite asimptotă spre . b) Calculați llf x

T R

A I A

N

64. Se consideră funcţia 3 3 2: , ( ) 3 4,f f x x x x . V78 a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre . b) Să se calculeze lim 2

xx arctg f x

.

65. Se consideră funcţia 2: , ( ) 1f f x x . V80 a) Să se calculeze ( )lf x

b) Să se arate că 2 21 '' ' 1 ,x f x x f x x x .

c) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre .


*: , ( ) 1 xf f x x e

. V81

a) Calculați llf x

b) Să se determine ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre .

67. Se consideră funcţia 1: \ 1 , ( )

1

xf f x x

x

. V83

a) Să se arate că dreapta de ecuaţie 1x este asimptotă verticală la graficul funcţiei f .

b) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre .

68. Se consideră funcţia *: , ( )xe

f f xx

. V84

a) Calculați llf x

b) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f . c) Să se calculeze 2lim 1

nn f n f n

.


1

*: , ( )xe

f f xx

. V85

a) Să se determine asimptotele la graficul funcţiei f . b) Calculați llf x

c) Să se calculeze 2lim 1x

x f x f x

.


3

1: 1 , ( )

1

xf f x

x

. V86

a) Calculați llf x

b) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f .


3lim 2 3 ...

2

n

nf f f n

.

71. Pentru fiecare 0a se consideră funcţia 1: 0, , ( ) ln 1a af f x x a

x

. V89

a) Să se calculeze ' , 0af x x

b) Calculați llf x

c) Să se arate că graficul funcţiei af admite asimptotă spre . 72. Se consideră funcţiile *: 0, , ( ) ln ,n

n nf f x x x n . V90

T R

A I A

N

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei 1f

b) Să se demonstreze că funcţiile 1: 0, , ( ) ( ) ( )n n n ng g x f x f

x sunt pozitive.


2

2: , ( ) .

1

xf f x

x

V91

a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre . b) Calculați lf x


lim x x

xf e

.

74. Se consideră funcţiile 1 *: 0, , ( ) 2 ,nn nf f x x n x n n . V94

a) Să se arate că graficele funcţiilor nf nu admit asimptotă spre . b) Calculați llf x

75. Se consideră funcţia : , ( )f f x arctgx şi

2

1: , ( ) 1

1g g x f x f x f

x x

. V95

a) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre . b) Să se arate că 0g x .

c) Să se calculeze

2 2 2 2

1 1 1 1lim ...

1 1 1 1 2 2 1 3 3 1narctg arctg arctg arctg

n n

.

76. Fie mulţimea \ 1,2,3,..., 2009A şi funcţia : ,f A 1 1 1 1

( ) ...1 2 3 2009

f xx x x x

. V96

a) Să se determine asimptotele graficului funcţiei f .

77. Se consideră funcţia 3 3 2 3 3: , ( ) 3 2 1 1f f x x x x x x . V99 a) Calculați llf x

b) Să se arate că graficul funcţiei f admite asimptotă spre .

c) Să se calculeze 1 2 ...lim

n

n

f f f n

n

.

78. Se consideră funcţia 2: , ( ) 1 2f f x x x . Bac2010 a) Să se calculeze ( )lf x b) Determinaţi ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre . c) Să se calculeze ( )l lf x

79. Se consideră funcţia : \ 1 , ( )1

xf f x arctg

x

. Bac2010

a) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre la graficul funcţiei f . b) Să se calculeze ( )lf x c) Să se calculeze ( )l lf x

80. Se consideră funcţia 3 3: , ( ) 2 1 2 1f f x x x . Bac2010 a) Să se calculeze ( )lf x

T R

A I A

N

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei la graficul funcţiei f spre .

c) Să se calculeze 3 2

3

1 2 ...lim

2 1

n

n

f f f n

n

.

81. Se consideră funcţia 3 3: , ( ) 3 2f f x x x . Bac2010 a) Arătaţi că dreapta y x este asimptota oblică a graficului funcţiei f spre . b) Să se calculeze ( )lf x

c) Să se calculeze ln

limlnx

f x

x.

82. Se consideră funcţia : 1, , ( ) ln 1 ln 1f f x x x . Bac1 2011 var5 v

a) Să se calculeze ( )lf x b) Să se determine ecuaţiile asimptotelor la graficul funcţiei f. c) Să se calculeze lim

xx f x

.

83. Se consideră funcţia 5: , ( ) 5 4f f x x x . Bac1 2011 var2 t

a) Calculaţi 2

2lim

2x

f x f

x

.

b) Să se calculeze ( )l lf x 84. Se consideră funcţia 3 2: , ( ) 3xf f x x x x . Bac2 2011 var2 t

a) Calculaţi 0lf .

b) Arătaţi că funcţia f nu are simptote

85. Se consideră funcţia 1: 1, , ( ) xf f x e

x . Bac2 2011 var5 v

a) Calculaţi 2

2lim

2x

f x f

x

.

b) Să se arate că graficul funcţiei f nu admite asimptotă spre

x x x ț f ă I A - CLASA a XII-a A MATE-INFO · PDF fileT R A I A N Teorie asimptote -Dreapta...

Documents

Transcript of x x x ț f ă I A - CLASA a XII-a A MATE-INFO · PDF fileT R A I A N Teorie asimptote -Dreapta...