1

10.3 Vibraţii libere ale unei coarde fixată la capete

Metoda Fourier-continuare

Exemplu: Determinaţi legea vibraţiilor libere ale unei coarde omogene de

lungime l, fixată la ambele capete, dacă la 0t coarda are forma unei

parabole hx l x , 0h constant, viteza iniţială fiind nulă.

Problema matematică este o problema mixta alcătuită din ecuaţia:

2 2

2

2 2

u ua

t x

, 0t , 0 x l (10.51)

cu condiţiile la limită:

0

0x x l

u u , 0t (10.52)

şi cu condiţiile iniţiale:

0t

u hx l x ,

0

0t

u

t

, 0 x l (10.53)

Folosim metoda Fourier si căutăm soluţiile netriviale ale ecuaţiei (10.51)

care verifică condiţiile la limită (10.52), în forma:

,u x t T t X x (10.54)

Substituim ,u x t cu forma (10.54) în ecuaţia (10.51) şi separăm variabilele

astfel:

2T t X x a T t X x

2

T t X x

a T t X x

(10.55)

2

Partea stanga a ecuatiei (10.55) este o functie numai de timp, iar partea

dreapta este o functie numai de coordonata si totusi sunt conectate prin

ecuatie. Aceasta egalitate poate sa aiba loc numai daca, in ciuda aparentelor,

fiecare termen nu depinde de variabila sa independenta ci este egala cu o

constanta numita constanta de separare.

2

T t X x

a T t X x

(10.56)

două ecuaţii diferenţiale ordinare separate, ce sunt conectate prin

intermediul constantei de separare:

2 0T t a T t (10.57)

0X x X x (10.58)

Cu condiţiile la limită (10.52) 0

0x x l

u u , obtinem conditiile pt. X x :

0 0X 0X l (10.59)

Am stabilit deja că valorile proprii ale problemei (10.58-59) sunt:

2

n

n

l

, 1,2,n (10.60)

Cu funcţiile proprii corespunzătoare (solutia ecuatiei diferentiale liniare,

omogena cu coeficienti constanti (10.58)):

sinn

nX x x

l

, 1,2,n (10.61)

Pentru n soluţia generală a ecuaţiei (10.57), 2 0T t a T t este:

3

cos sinn n n

n a n aT t A t B t

l l

(10.62)

O solutie a ecuatiei (10.51) va fi:

, cos sin sinn n n n n

n a n a n xu x t T t X x A t B t

l l l

Cum ecuatia cu derivate partiale este liniara, solutia poate fi formata prin

suprapunerea solutiilor corespunzatoare tuturor valorilor constantei de

separare λ permise.

Aceasta suprapunere duce la soluţia problemei originale în forma seriei:

1

, cos sin sinn n

n

n a n a nu x t A t B t x

l l l

(10.63)

1

, sin cos sinn n

n

u n a n a n a nx t A t B t x

t l l l l

(10.64)

Pentru a determina coeficienţii An şi Bn vom folosi condiţiile iniţiale (10.53):

0t

u hx l x ,

0

0t

u

t

, 0 x l

0

1

sinntn

nu hx l x A x

l

, 0 x l (10.65)

10

0 sinn

nt

u n a nB x

t l l

, 0 x l (10.66)

Din (10.66) rezultă că 0nB , n , iar din (10.65) rezultă:

0

2sin

l

n

nA hx l x x dx

l l

(10.67)

4

Pentru determinarea rezultatului integrăm de două ori prin părţi:

2 2

0 0

2 2sin cos

l l

n

h n h l nA lx x x dx lx x d x

l l l n l

2

0 0

2cos 2 cos

l lh l n l n

lx x x l x x dxl n l n l

0 0

2 22 cos 2 sin

l lh n h l n

l x x dx l x d xn l n n l

0 0

22 sin 2sin

l lh l n l n

l x x x dxn n l n l

2 2

0 0

2 2 4sin cos

llh l n hl l n

x dx xn n l n n l

2 2 2

3 3 3 3 3 3

0

4 4 4cos cos 1 1 1

l

nhl n hl hlx n

n l n n

2

2 1 33

8

2 1m

hlA

m

, 0,1,2,m (10.68)

Substituim valorile determinate pentru coeficienţii An şi Bn în (10.63) şi

obţinem soluţia problemei:

2

330

2 1 2 18 1, cos sin

2 1m

m a ml hu x t t x

l lm

(10.69)

5

6

Cap XI Ecuaţii parabolice

Bibliografie: Krasnov et al.(1989), Riley et al.(2006)

11.1 Ecuatia caldurii

Ecuatiile cu derivate partiale parabolice de ordinul doi modeleaza

transferul de caldura si difuzia.

Vom deduce ecuatia care guverneaza distributia de temperatura intr-

un material conductor de caldura. Notam cu , , ,u x y z t temperatura in mediu

in punctul , ,M x y z la momentul t. Considerand mediul izotrop, notam cu

M densitatea sa, cu c M caldura specifica si cu k M conductivitatea

termica in M. In interiorul corpului caldura poate fi produsa sau absorbita

(de exemplu prin reactii chimice). Notam cu ,F M t densitatea de surse de

caldura in punctul M la momentul t.

Calculam bilantul caldurii intr-un volum arbitrar V, intr-un interval de

timp , t t dt . Fie S frontiera lui V si n normala exterioara la S. Daca

temperatura corpului nu este uniform distribuita, atunci iau nastere fluxuri de

caldura. In acord cu legea Fourier pentru fluxul de caldura, prin suprafata S

intra in volumul V urmatoarea cantitate de caldura:

0

1 ,S S

uQ k dsdt k grad u n dsdt

n

(11.1)

unde 0n este vectorul unitate al normalei exterioare la S.

In ultima integrala aplicam teorema Gauss si transformam integrala de

suprafata in integrala de volum:

1 V

Q div k grad u dvdt (11.2)

Inputul surselor de caldura in interiorul lui V este:

7

2 , , ,V

Q F x y z t dvdt (11.3)

Presupunem ca in intervalul de timp , t t dt temperatura in V se modifica

cu:

, ,u

u u M t dt u M t dtt

(11.4)

Fizica procesului spune ca pentru aparitia acestei modificari este necesar sa

avem un input de caldura:

3

V

uQ c dvdt

t

(11.5)

Din conservarea de energie avem:

3 1 2Q Q Q ,

0V

udiv k grad u F c dvdt

t

(11.6)

Cum volumul V este arbitrar, obtinem ecuatia:

,u

c div k grad u F M tt

(11.7)

Daca mediul este omogen, adica daca c, ρ si k sunt constante, atunci ecuatia

(11.7) devine:

2ua u f

t

(11.8)

unde,

2 ka

c ,

Ff

c ,

2 2 2

2 2 2

u u uu

x y z

8

Ecuatia (11.8) se numeste ecuatia caldurii. Similar se deriveaza si ecuatia

difuziei.

Pentru ca procesul de transfer de caldura sa fie descris complet, sunt

necesare distributia initiala de temperatura (conditia initiala) si conditiile pe

frontiera (conditiile la limita).

In cazul unidimensional ecuatia transferului de caldura este:

2

2

2,

u ua f x t

t x

(11.9)

11.2 Problema Cauchy pentru ecuaţia căldurii

Considerăm ecuaţia unidimensională omogena a căldurii:

2

2

2

u ua

t x

(11.10)

ce corespunde cazului fără surse de caldura deoarece , 0f x t . Formulăm

problema Cauchy în modul următor: determinaţi funcţia ,u x t care verifică

ecuaţia:

2

2

2

u ua

t x

, 0t , x (11.11)

şi condiţia iniţială:

0t

u x , x (11.12)

Din punct de vedere fizic, problema constă în determinarea temperaturii unei

bare infinite, omogene, la orice moment de timp 0t , când se cunoaşte

temperatura sa x la 0t . Se presupune bara izolata termic si caldura nu

paraseste bara.

9

Cum variabila spaţială x variază de la la , vom supune ecuaţia

şi condiţia iniţială la transformare Fourier în x.

Ipoteze:

1. ,u x t şi x sunt suficient de netede şi pentru 2 2x t acestea

descresc atât de repede la zero încât să existe transformatele Fourier:

1

, ,2

i xv t u x t e dx

(11.13)

1

2

i xx e dx

(11.14)

2. Se pot face diferenţieri, a.î.:

,1 1

,2 2

i x i xdv tu

e dx u x t e dxt t dt

(11.15)

2

2 2

2

1, ,

2

i xue dx i v t v t

x

(11.16)

În relaţia (11.16) transformata Fourier înlocuieşte diferenţierea cu operaţia

de înmulţire. Transformata Fourier a derivatei funcţiei este egală cu produsul

dintre i şi transformata Fourier a funcţiei.

F kk

f x i

F f x , 0,1,2, ,k m (11.17)

Multiplicăm ambele părţi ale ecuaţiei (11.11) 2

2

2

u ua

t x

cu

1

2

i xe

şi

integrăm în raport cu x la la , şi apoi cu (11.15-16) obţinem:

2 2 0dv

a vdt

(11.18)

10

Din condiţia iniţială (11.12) 0t

u x obţinem:

0t

v (11.19)

Observăm că, dacă aplicăm problemei (11.11-12) transformarea Fourier,

obţinem problema Cauchy (11.18-19) pentru o ecuaţie diferenţială ordinară

în care ω joacă rolul unui parametru.

Soluţia problemei (11.18-19) se obtine separând variabilele:

2 2dva dt

v 2 2ln lnv a t C

2 2lnv

a tC

2 2a tv t Ce

Şi, cu condiţia iniţială (11.19) are forma:

2 2

, a tv t e (11.20)

Din capitolut VIII Transformări integrale, transformări Fourier,

primul exemplu de transformată Fourier, ştim că transformata Fourier a

Gaussienei este tot o Gaussiana si putem arăta că şi al doilea factor din

solutia (11.20) este tot o transformată Fourier.

Într-adevăr,

2

241

2

x

a tF ea t

2

241 1

2 2

x

i xa te e dxa t

22 2

2 2241

2

xi x a t

a ta te e dxa t

2

2 221

2

xi a t

a t a te e dxa t

11

Cu schimbarea de variabila 2

xi a t

a t

1

2d dx

a t

2

2 2 2 2 2 2 2241 1 1

2

x

a t a t a ta tF e e e d e ea t

(11.21)

În concluzie, partea dreaptă a soluţiei (11.20) este produsul dintre

transformatele Fourier ale funcţiilor x şi

2

241

2

x

a tea t

.

Folosim acum teorema de convoluţie în acord cu care:

F 1 2 2f f F 1f F 2f (11.22)

Cu această teoremă putem reprezenta soluţia (11.20) 2 2

, a tv t e a

problemei (11.18-19) 2 2 0dv

a vdt

, 0t

v astfel:

2

2 2 241 1

,2 2

x

a t a tv t e F x ea t

(11.23)

Partea stângă a ecuaţiei (11.23) este transformata Fourier a funcţiei

necunoscute ,u x t , şi putem rescrie relaţia precedentă:

F 1 1

,2 2

u x ta t

F

2

24

x

a tx e

Folosind expresia de definiţie pentru convoluţia funcţiilor x şi

2

24

x

a te

,

obţinem:

F 1

,2

u x ta t

F

2

24

x

a te d

2

241

,2

x

a tu x t e da t

, 0t (11.24)

12

Aceasta este soluţia problemei originale (11.11-12) şi se numeşte integrala

Poisson.

Funcţia

2

241

, ;2

x

a tG x t ea t

din formula Poisson se numeşte soluţie

fundamentală pentru ecuaţia căldurii. Văzută ca funcţie de x şi t, , ;G x t

verifică ecuaţia 2t xxu a u . Soluţia fundamentală are semnificaţie fizică ce

rezultă din considerentele următoare. Presupunem că distribuţia iniţială de

temperatură este:

0

0

1, daca

2

0, daca

x xx x

x x

(11.25)

Cu formula Poisson:

2

0

2

0

41 1

,2 2

xx

a t

x

u x t e da t

Cu teorema de medie:

22

0

2 2

0

4 42

xxx

a t a t

x

e d e

cu 0 0,x x

2

241

,2

x

a tu x t ea t

(11.26)

Trecând la limită 0 , găsim:

2

0

240

1, , ;

2

x x

a tu x t e G x t xa t

(11.27)

Aceasta înseamnă că funcţia 0, ;G x t x reprezintă distribuţia de temperatură

în bară pentru 0t , dacă la 0t şi 0x x a fost un vârf infinit de temperatură

(cu 0 funcţia 0x ) şi în rest temperatura a fost nulă pe bară. O

13

astfel de distribuţie iniţială de temperatură poată fi realizată aproximativ

astfel: la 0t aducem pentru un moment de timp în punctul 0x x al barei o

flacără îngustă la temperatură excesiv de mare, adică un puls de temperatură.

Această distribuţie iniţială de temperatură este descrisă de funcţia Dirac,

notată 0x x .

Funcţia Dirac nu este o funcţie în sens convenţional, şi se defineşte formal

cu:

00

0

0, daca

, daca

x xx x

x x

(11.28)

Cele mai importante proprietăţi ale funcţiei Dirac sunt:

(a) 0 1x x dx

pe orice interval , care conţine punctul x0.

(b)

0 0

00

, daca ,

0, daca ,

f x xf x x x dx

x

funcţia continuă f x .

Astfel, soluţia fundamentală 0, ;G x t x este o soluţie a ecuaţiei căldurii

pentru bara infinită cu distribuţia iniţială de temperatură 0x x x .

Graficele lui 0, ;G x t x pentru diverse valori 0t sunt redate în figură pentru

1a , 0 3x . Curbele 1, 2, 3 corespund la momente de timp 1 2 30 t t t .

Figura 11.1

14

Exemplu: Determinaţi soluţia problemei Cauchy:

2

2

u u

t x

, 0t , x

2 /2

0

x

tu e

, x

Cu formula Poisson (11.24)

2

241

,2

x

a tu x t e da t

pentru 2 /2xx e şi 1a , obţinem:

22

421

,2

x

tu x t e e dt

, 0t

2 2 22 2 2 22 2 21 1 1 2

2 2 2 2 2 24 2 4 2 42

x x t x xx x xt t t t t tt t t te e d e d e d e d

2 2 2222

2 2

2 2 2 22

2 2

11 2 211 2 2

2 2 1 2 1 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2

11 2 11 2 2 11 22 2 1 2 2 2 1 21 2 1 2 2 1 2 2 2 1

t x x x xt x x

t t tt t t t t

t x x t x x x t xt t t tt t t t

e d e d

e e d e e

2

2t d

Facem schimbarea de variabilă:

1 2

1 22

t x

tt

1 2

2

td d

t

Cu care integrala de mai sus devine:

2 2 2

212 1 2 2 1 2 2 1 22

2 2 22

1 2 1 2 1 2

x x x

t t tt t te e d e e

t t t

15

Soluţia ,u x t a problemei date va fi:

2 2

2 1 2 2 1 21 2 1,

2 1 2 1 2

x x

t ttu x t e e

t t t

, 0t

2

2 1 21,

1 2

x

tu x t e

t

, 0t

Figura 11.2

11.3 Propagarea căldurii în bara finită

Dacă o bară are lungimea l şi ocupă segmentul 0 x l pe axa x,

atunci pentru a formula problema de propagare a căldurii într-o astfel de

bară, în plus faţă de ecuaţia transferului de caldura:

2

2

2,

u ua f x t

t x

(11.29)

şi condiţia iniţială:

0t

u x (11.30)

16

este necesar să cunoaştem condiţiile de temperatură la capetele barei 0x şi

x l , adică să specificăm condiţiile la limită. Condiţiile la limită pot fi

diferite depinzând de condiţiile de temperatură la capetele barei. Vom

considera cele mai importante trei tipuri de condiţii la limită.

1. La capetele barei cunoaştem temperaturile (conditii Dirichlet):

10,u t t , 2,u l t t (11.31)

unde 1 t şi 2 t sunt funcţii definite pe 0 t T intervalul de timp pe

care se studiază procesul.

2. La capetele barei cunoaştem valorile derivatelor (conditii Neumann):

1

0x

ut

x

, 2

x l

ut

x

(11.32)

Aceste condiţii apar atunci când cunoaştem fluxul de căldură prin

capetele barei.

3. La capetele barei avem relaţii liniare între funcţie şi derivatele sale:

0

0,x

uu t t

x

, ,

x l

uu l t t

x

, (11.33)

unde, t este o funcţie cunoscută, temperatura mediului, iar este

coeficientul de schimb termic.

Dintre problemele de mai sus ne vom referi la prima problema mixta pentru

ecuatia transferului de caldura.

Formularea problemei: Determinati solutia ,u x t a ecuatiei (11.29) in

domeniul 0 x l , 0t , 2, 0 , 0u x t C x l t , care verifica conditia

initiala (11.30) pentru 0 x l si conditiile la limita:

17

10xu t

, 2x l

u t , 0t (11.34)

Consideram ca functia ,u x t este continua in domeniul inchis:

0 ,0D x l t T care necesita ca functiile x , 1 t , 2 t sa fie

continue si sa fie indeplinite si conditiile 10 0 , 2 0l .

Figura 11.3

Teorema 1 (principiul maximului): Daca functia ,u x t C D verifica

ecuatia caldurii 2

2

2

u ua

t x

in domeniul 0 ,0D x l t T , atunci valorile

maxime si minime pentru ,u x t se ating fie la 0t fie pe frontierele 0x

sau x l .

Interpretare fizica: daca temperatura unui corp pe suprafata sau la 0t nu

depaseste o valoare M, atunci in interiorul corpului (fara surse) nu va exista

temperatura mai mare decat M.

Teorema 2 (de unicitate): Solutia problemei (11.29-30-31) in dreptunghiul

0 ,0D x l t T este unica.

18

Teorema 3: Solutia problemei (11.29-30-31) depinde in mod continuu de

conditiile initiale si la limita.

Metoda Fourier pentru ecuaţia căldurii

Considerăm problema mixtă ce implică ecuaţia căldurii cu primele condiţii

la limită. Determinaţi soluţia ,u x t a ecuaţiei:

2

2

2,

u ua f x t

t x

, 0t , 0 x l (11.35)

care verifică condiţia iniţială:

0t

u x , 0 x l (11.36 )

şi condiţiile la limită:

10,u t t , 2,u l t t , 0t (11.37)

1. Cea mai simplă astfel de problemă este cea cu ecuaţia omogenă:

2

2

2

u ua

t x

, 0t , 0 x l (11.38)

cu condiţia iniţială:

0t

u x , 0 x l (11.39)

şi condiţiile la limită omogene:

0, 0u t , , 0u l t , 0t (11.40)

Folosim metoda Fourier si căutăm soluţiile netriviale ale ecuaţiei (11.38)

care verifică condiţiile la limită (11.40), în forma unui produs:

19

,u x t T t X x (11.41)

Substituim ,u x t cu forma (11.41) în ecuaţia (11.38), 2

2

2

u ua

t x

, şi găsim:

2T t X x a T t X x (11.42)

2

T t X x

a T t X x

(11.43)

Partea stanga a ecuatiei (11.43) este o functie numai de timp, iar partea

dreapta este o functie numai de coordonata si totusi sunt conectate prin

ecuatie. Aceasta egalitate poate sa aiba loc numai daca, in ciuda aparentelor,

fiecare termen nu depinde de variabila sa independenta ci este egal cu o

constanta numita constanta de separare.

2

T t X x

a T t X x

(11.44)

două ecuaţii diferenţiale ordinare:

2 0T t a T t (11.45)

0X x X x (11.46)

Pentru a obţine soluţiile netriviale de forma (11.41) ,u x t T t X x cu

condiţiile la limită (11.40) 0, 0u t , , 0u l t , este necesar să obţinem

soluţiile netriviale ale ecuaţiei (11.46) cu condiţiile:

0 0X 0X l (11.47)

Trebuie să rezolvăm o problemă de valori proprii, adică să găsim pentru

care problema (11.46-47) are soluţii netriviale. S-a arătat la ecuaţia undelor

că doar pentru valorile 0 problema are solutii netriviale. Radacinile

20

ecuatiei caracteristice asociate ecuatiei (11.46) 0X x X x , sunt i

si solutia generala a ecuatiei diferentiale (11.46) este:

1 2cos sinX x C x C x (11.48)

Cu conditiile la limita (11.47): 0 0X , 0X l avem:

1 2

1 2

1 0 0

cos sin 0

C C

C l C l

Sistemul are solutii netriviale daca 1 0

0cos sinl l

, sin 0l

l n ,

2

n

n

l

, 1,2,n (11.49)

Cum 1 0C din sistem, funcţiile proprii sunt:

sinn

nX x x

l

, 1,2,n (11.50)

Pentru n soluţia generală a ecuaţiei (11.45) 2 0T t a T t se obtine

cu separarea variabilelor:

2

0dT n a

Tdt l

2

dT n adt

T l

2n a

tl

n nT t a e

(11.51)

cu an constante arbitrare. Funcţia:

2

, sin

n at

l

n n n n

nu x t T t X x a e x

l

, 1,2,n (11.52)

21

este o solutie a ecuaţiei (11.38) 2

2

2

u ua

t x

. Cum ecuatia este liniara, prin

suprapunerea solutiilor corespunzatoare fiecarui n formam seria:

2

1

, sin

n at

l

n

n

nu x t a e x

l

(11.53)

Cerem ca această funcţie să verifice si condiţia iniţială (11.39) 0t

u x :

1

sinn

n

nx a x

l

(11.54)

Această serie este dezvoltarea în serie Fourier a funcţiei x pe 0, l . In

consecinta putem calcula si ultimii coeficienti necunoscuti din solutia

problemei (11.53):

0

2sin

l

n

na x x dx

l l

, 1,2,n (11.55)

Exemplu: Determinaţi distribuţia temperaturii într-o bară uniformă cu

lungimea , dacă temperatura iniţială a barei este 0

sint

u x , 0 x şi la

capetele barei temperatura este nulă.

Considerăm ecuaţia:

2

2

2

u ua

t x

, 0t , 0 x (11.56)

cu condiţia inţială:

0

sint

u x , 0 x (11.57)

şi condiţiile la limită:

0

0x

u , 0

xu

, 0t (11.58)

22

Folosim metoda Fourier si căutăm soluţiile netriviale pentru ecuaţia (11.56),

care îndeplinesc condiţiile la limită (11.58), în forma de produs:

,u x t T t X x (11.59)

Substituim ,u x t în ecuaţia (11.56), şi separam variabilele:

2

T t X x

a T t X x

(11.60)

două ecuaţii diferenţiale ordinare:

2 0T t a T t (11.61)

0X x X x (11.62)

0 0X X (11.63)

Valorile proprii ale problemei (11.62-63) sunt 2

n

n

l

2

n n ,

1,2,n , iar funcţiile proprii sunt sinnX x nx . Pentru n soluţia

generală a ecuaţiei (11.61) este 2 2a n t

n nT t a e şi astfel o solutie a ecuatiei

(11.56) 2

2

2

u ua

t x

este:

2 2

, sina n t

n nu x t a e nx (11.64)

Cum ecuatia este liniara, căutam soluţia problemei (11.56-57-58) sub forma

seriei:

2 2

1

, sina n t

n

n

u x t a e nx

(11.65)

23

Dacă impunem condiţia iniţială (11.57) 0

sint

u x , avem:

1

,0 sin sinn

n

u x x a nx

De aici, 1 1a , 0ka , 2,3,...k Atunci, soluţia problemei originale va fi:

2

, sina tu x t e x (11.66)

Figura 11.4 Condiţia iniţială (11.57); soluţii ,u x t pt. 1 2 30 t t t şi 1a .

2. Problema cu ecuaţie neomogenă (facultativ)

Considerăm problema determinării soluţiei ,u x t a ecuaţiei neomogene:

2

2

2,

u ua f x t

t x

, 0t ,0 x l (11.67)

care verifică condiţia iniţială:

0t

u x , 0 x l (11.68)

şi condiţiile la limită omogene:

0

0x

u , 0

x lu

, 0t (11.69)

24

Presupunem că ,f x t este continuă şi are derivată /f x continuă pentru

0t şi că 0, , 0f t f l t .

Căutăm soluţia problemei (11.67-68-69) în forma:

, , ,u x t v x t w x t (11.70)

Unde, ,v x t este soluţie a problemei:

2

2

2,

v va f x t

t x

(11.71)

0

0t

v (11.72)

0

0x

v , 0

x lv

(11.73)

Şi funcţia ,w x t este soluţie a problemei omogene:

2

2

2

w wa

t x

(11.74)

0t

w x (11.75)

0

0x

w , 0

x lw

(11.76)

Problema (11.74-75-76) coincide cu problema omogenă anterioară, deci

cunoaştem soluţia şi rămâne să determinăm soluţia problemei (11.71-72-73)

ca o serie:

1

, sinn

n

n xv x t T t

l

(11.77)

in funcţiile proprii sinn x

l

ale problemei:

0X x X x (11.78)

25

0 0X X l (11.79)

Vom substitui ,v x t în ecuaţia (11.71):

2 2 2

21

sin ,n n

n

n a n xT t T t f x t

ll

(11.80)

Dezvoltăm funcţia ,f x t într-o serie Fourier de sinusuri:

1

, sinn

n

n xf x t f t

l

(11.81)

unde

0

2, sin

l

n

nf t f t d

l l

(11.82)

Comparând dezvoltările (11.80) şi (11.81) ale funcţiei ,f x t în serii

Fourier, obţinem:

2 2 2

2n n n

n aT t T t f t

l

(11.83)

Din condiţia iniţială (11.72), 0

0t

v pentru ,v x t avem:

1

,0 0 0 sinn

n

n xv x T

l

(11.84)

0 0nT , 1,2,...n (11.85)

Căutăm soluţia ecuaţiei (11.83) cu condiţia iniţială (11.85) cu metoda

variaţiei de constantă.

Rezolvăm prima data ecuaţia omogenă asociată:

2 2 2

20n n

n aT t T t

l

(11.86)

26

2 2 2

2

nn

dT n aT t

dt l

2 2 2

2

n

n

dT n adt

T l

2n a

tl

nT t Ce

(11.87)

2n a

tl

nT t C t e

(11.88)

2 2 2

2 2n a n a n at t t

l l ln

dC t n a n ae C t e C t e f t

dt l l

2n a

tl

n

dC te f t

dt

2n a

tl

ndC t f t e dt

2

0

n atl

nC t C f e d

(11.89)

2 2 2

0

n a n a n att tl l l

n nT t Ce e f e d

(11.90)

0 0nT 0C

2

0

n at tl

n nT t f e d

(11.91)

Inlocuim această expresie în (11.77)

2

1 0

, sin

n at tl

n

n

n xv x t f e d

l

(11.92)

Funcţia

, , ,u x t v x t w x t (11.93)

va fi soluţie pentru problema (11.67-68-69).

27

Cap XII Ecuatii Eliptice

Bibliografie: Riley et al.(2006), Griffiths(2017)

12.1 Ecuatia Laplace. Consideratii generale

Ecuatiile eliptice sunt folosite in studiul proceselor stationare, independente

de timp. Cea mai importanta problema din electrostatica este determinarea

campului electric sau a potentialului electric pentru o distributie de sarcini

stationare date. Problema se rezolva, in forma diferentiala, cu ajutorul

ecuatiei Poisson care este o ecuatie eliptica:

2

0

1V

(12.1)

impreuna cu conditii la limita potrivite.

Adesea, suntem interesati de gasirea potentialului intr-o regiune in care

0 . Daca 0 peste tot, atunci 0V si nu mai e nimic de spus. Dar

sarcina poate fi multa in alta parte, in exteriorul regiunii de interes, iar in

regiunea care ne intereseaza sa nu fie sarcini. In acest caz ecuatia Poisson se

reduce la ecuatia Laplace:

2 0V (12.2)

In coordonate carteziene aceasta se scrie:

2 2 2

2 2 20

V V V

x y z

(12.3)

Aceasta ecuatie este fundamentala pentru electrostatica, aproape ca am putea

spune ca elecrostatica este studiul ecuatiei Laplace . Ecuatia Laplace apare

si in alte ramuri ale fizicii ca gravitatie, magnetism. In matematica, ecuatia

Laplace joaca rol major in teoria functiilor analitice. Un studiu aprofundat al

ecuatiei Laplace si al solutiilor acesteia (numite functii armonice) incepe cu

versiunile unidimensionale si bidimensionale ale ecuatiei, care sunt usor de

reprezentat si interpretat.

28

Ecuatia Laplace intr-o dimensiune

Presupunem ca potentialul depinde de o singura variabila x. Ecuatia Laplace

devine:

2

20

d V

dx (12.4)

Solutia generala a acesteia este :

V x mx p (12.5)

ecuatia unei drepte. Contine doua constante, m si p, nedeterminate asa cum

este de asteptat pentru o ecuatie diferentiala ordinara de ordinul doi. Daca se

precizeaza ca 4V la 1x si 0V la 5x atunci 1m si 5p , astfel

5V x x (vezi figura).

Figura 12.1

Aceasta solutie banala are doua caracteristici care se pastreaza in doua si trei

dimensiuni, dar in mai multe dimensiuni nu mai sunt atat de evidente.

1. V x este media valorilor V x a si V x a , pentru a :

1

2V x V x a V x a (12.6)

Ecuatia Laplace este un fel de instrument de mediere. Atribuie

punctului x media valorilor din stanga si din dreapta. Solutiile ecuatiei

Laplace sunt, in acest sens, cat de plictisitoare pot si inca fiteaza bine

valorile din capete.

29

2. Ecuatiile Laplace nu permit maxime si minime locale. Valorile

extreme a lui V trebuie sa apara la capete. Aceasta caracteristica este o

consecinta a primei caracteristici. Daca V ar avea un maxim local, V ar

fi mai mare decat valorile din stanga si din dreapta si nu ar mai putea

fi media acestora. Ne putem gandi si la derivata secunda care ar trebui

sa fie negativa sau pozitiva in extreme in contradictie cu (12.4).

Ecuatia Laplace in doua dimensiuni

Daca V depinde de doua variabile independente, ecuatia Laplace devine:

2 2

2 20

V V

x y

(12.7)

Aceasta nu mai este o ecuatie diferentiala ordinara ci este o ecuatie cu

derivate partiale. Solutia generala nu va mai contine exact doua constante

arbitrare, ci un numar mult mai mare.

Ar putea ajuta sa avem un exemplu fizic in minte. Ne imaginam o membrana

subtire de cauciuc sau o pelicula de sapun intinsa pe un support, pe un cadru.

Pentru o definire mai buna, mai intuitiva, presupunem ca luam o cutie de

carton, taiem dupa o traiectorie curba peretii laterali ai cutiei si indepartam

partea superioara (vezi figura 12. 2 (Griffiths 2017)). Intindem o membrana

elastica peste cutie bine intinsa si fixata. Daca consideram coordonatele

,x y pe fundul cutiei, inaltimea ,V x y a membrane deasupra punctului

,x y va satisfice ecuatia Laplace. (Analogul unidimensional ar fi o banda

de cauciuc intinsa intre doua puncte)

Figura 12.2 (Griffiths 2017)

Functiile armonice in doua dimensiuni au aceleasi proprietati pe care le-am

notat in cazul unidimensional:

30

1. Valoarea lui V in punctul ,x y este media valorilor din jurul

punctului. Mai precis, daca desenam un cerc de raza R in jurul

punctului ,x y , valoarea medie a lui V pe cerc este egala cu valoarea

din centrul sau:

1

,2

cerc

V x y VdlR

(12.8)

2. V nu are maxime si minime locale; toate extremele sale apar pe

frontiera. Ecuatia Laplace alege cea mai simpla functie posibila in

acord cu conditiile pe frontiera: fara dealuri, fara vai, adica cea mai

neteda suprafata. De exemplu, daca asezam o minge de ping-pong pe

membrana intinsa pe cutia din figura 12.2, aceasta se va deplasa la o

margine si va cadea - nu va gasi un ‘buzunar’ in care sa se aseze.

Ecuatia Laplace nu permite astfel de adancituri in suprafata care

reprezinta o solutie.

Din punct de vedere geometric, asa cum linia dreapta este cea mai

scurta distanta dintre doua puncte, o functie armonica in doua

dimensiuni minimizeaza aria suprafetei care se sprijina pe curba de

frontiera.

Ecuatia Laplace in trei dimensiuni

In trei dimensiuni nu avem nici o solutie explicita simpla ca intr-o

dimensiune, nici un exemplu fizic care sa ne ghideze intuitia ca in doua

dimensiuni. Totusi, cele doua proprietati raman adevarate:

1. Valoarea lui V intr-un punct r este media valorilor lui V pe o

suprafata sferica cu raza R centrata in r :

2

1

4sfera

V r VdsR

(12.9)

2. V nu are maxime si minime locale; toate extremele sale trebuie sa

apara pe frontiera.

31

12.2 Ecuatia Laplace in coordinate polare. Separarea variabilelor

Pana acum am considerat solutiile unei ecuatii cu derivate partiale

numai in coordonate carteziene, dar multe sisteme in doua sau trei

dimensiuni sunt descrise mai bine in coordonate polare. De exemplu,

potentialul asociat cu o sarcina punctiforma are o expresie simpla, 0/ 4q r

daca folosim coordonate polare.

2

2

2 2

1 1

(12.10)

2

2 2

2 2 2 2 2

1 1 1sin

sin sinr

r r r r r

(12.11)

Problema: Presupunem ca trebuie sa rezolvam ecuatia Laplace:

2 0u r (12.12)

pentru functia necunoscuta u r care are un comportament prestabilit pe

cercul a (de exemplu, trebuie sa gasim forma luata de membrana unei

tobe cand cadrul sau este usor deformat). Atunci putem cauta solutii pentru

ecuatia (12.12) sub forma unui produs de doua functii, una dependenta de ρ

si una dependenta numai de φ (masurat de la o raza arbitrara definita 0 ):

,u P (12.13)

Cu (12.10) ecuatia Laplace (12.12) devine:

2

2 20

P P

(12.14)

Impartim cu produsul u P si inmultim cu 2 , si obtinem o ecuatie cu

variabilele separate:

2

2

10

P

P

(12.15)

32

Primul termen este o functie numai de ρ, iar al doilea termen este o functie

numai de φ si totusi o ecuatie ii conecteaza. Acest lucru poate avea loc

pentru toti ρ si φ, daca fiecare termen, in ciuda aparentelor, nu depinde de

variabila independenta corespunzatoare ci este egal cu o constanta si

constantele sa satisfaca ecuatia:

2Pn

P

22

2

1n

(12.16)

Am luat constanta de separare in forma 2n pentru o buna potrivire a celor ce

urmeaza.

Consideram cazul 0n si rezolvam ecuatia diferentiala ordinara pentru

functia

2

2

20

dn

d

(12.17)

Are ecuatia caracteristica: 2 2 0n cu solutiile complexe 1,2 in . Solutia

generala a ecuatiei (12.17) este:

cos sinA n B n (12.18)

Prima ecuatie (12.16) poate fi prelucrata:

2

2

2

dP d Pn

P d d

2 2

2

20

d P dPn

P d P d

2

2 2

20

d P dPn P

d d

(12.19)

Aceasta ecuatie liniara si omogena se poate rezolva fie cautand solutii de

forma fie facand schimbarea de variabila te si obtinand o ecuatie cu

coeficienti constanti. Dupa prima din cele doua proceduri, obtinem:

2 2 1 21 0n

33

21 0n 2 2 0n 1,2 n

n nP C D (12.20)

O solutie particulara a ecuatiei Laplace este:

, cos sin n nu A n B n C D (12.21)

unde A, B, C si D sunt constante arbitrare si n este orice intreg.

Consideram cazul 0n

Ecuatia diferentiala ordinara pentru functia devine:

2

20

d

d

cu solutia A B (12.22)

Ecuatia diferentiala ordinara pentru functia P devine:

0P

P

dPC

d

ddP C

lnP C D (12.23)

, lnu A B C D (12.24)

Pentru ca aceasta functie sa fie univaloare se impune 0A si astfel solutia

pentru 0n , absorbind pe B in C si D este:

, lnu C D (12.25)

Cum ecuatia este liniara, suprapunand solutiile pentru diferite valori n,

putem scrie solutia generala a ecuatiei Laplace:

0 0

1

, ln cos sin n n

n n n n

n

u C D A n B n C D

(12.26)

34

Valorile lui n negative au fost omise din suma pentru ca acestea au fost deja

incluse in termenii cu n pozitiv. Observam ca ln are singularitate in 0 .

Daca rezolvam ecuatia Laplace in regiuni care contin originea, 0 0C .

Exemplu: O membrana de toba circulara are cadru la a . Daca cadrul

este rasucit astfel incat este deplasat vertical cu o cantitate mica

sin 2sin 2 , unde φ este unghiul azimuthal in raport cu o raza data,

determinati deplasarea rezultanta ,u pentru intreaga membrana a tobei.

Deplasarea transversala a membrane unei tobe circulare este descrisa in mod

normal de ecuatia undelor bidimensionala. In acest caz nu avem dependenta

de timp si deci ,u este solutie a ecuatiei Laplace bidimensionala, supusa

la conditia pe frontiera impusa.

Referitor la Solutia generala (12.26), deoarece vrem sa gasim o solutie finita

peste tot in interiorul cercului a , impunem ca 0 0C si, 0nD 0n .

0

1

, cos sin n

n n n

n

u D A n B n C

(12.27)

Conditia la limita pe cadru necesita:

0

1

, cos sin sin 2sin 2n

n n n

n

u a D C a A n B n

(12.28)

Observam ca : 0 0D , 0nA 0n . Mai mult,

1 1C B a , 2

2 2 2C B a si

0nB 2n . Atunci forma potrivita pentru membrana tobei valabila pe

intreaga membrana nu numai pe cadru este:

2

2

2 2, sin sin 2 sin sin 2u

a a a a

(12.29)