` Dobânda. Rata dobânzii simple. Rata dobânzii compuse

Proiect

1. Dobânda. Conceptul de dobânda Literatura de specialitate mentioneaza doua principale concepte:

conceptul clasic

conceptul neoclasic

Conceptul clasic abordează dobânda ca un rezultat al interacţiunii dintre cerere si

oferta in care prima identifica necesarul de resurse financiare pentru derularea unei investiţii,

iar oferta concretizează resursele financiare realizate pe seama economiilor.

Deficientele acestui concept constau intr-o abordare statica, adică, nu se tine seama

de influenta factorului timp, de creşterea complexitatii fenomenelor economice (apariţia

companiilor multi si transnationale, fenomenul de globalizare, etc.), de modul in care se

formează dobânda de ratele de schimb valutar, rata inflaţiei etc.

Conceptul neoclasic încearcă sa se adapteze noilor conjuncturi economice făcând

apel la noi termeni ca: productivitatea marginala a capitalului, implicarea inflaţiei ca un

fenomen de cvasipermanenta si influenţare directa, nemijlocita asupra dobânzii si nu in

ultimul rând asupra deciziilor investitionale ca si a metodelor de actualizare, ceea ce ii

conferă factorului de timp importanta si influenta necesara.

2. Dobânda simpla

Calculul sumei finale pe care o are de primit creditorul are in vedere numai suma

iniţiala, iar pentru perioadele următoare sa nu se cumuleze suma iniţiala cu valoarea

dobânzii, deci pe parcursul duratei de împrumut suma iniţiala ramane aceeaşi, nemodificata.

Formula uzuala este:

www.referat.ro

Δd = 365*100

*r* ds tK

in care: Δd – suma (volumul dobânzii de plata pentru valoarea ratei dobânzii); K – volumul creditului; rds – rata dobânzii simple; t – perioada de timp aferente creditului, exprimata in zile.

Se conosc trei proceduri de calcul referitoare la un an bancar:

procedura germana la care anul bancar are 360 de zile, iar luna bancara are 30 de zile;

procedura franceza la care anul bancar are 360 de zile, iar luna bancara este identica cu

luna calendaristica;

procedura engleza la care anul bancar are 365 de zile, iar luna bancara coincide cu luna

calendaristica.

Daca pentru mai multe perioade de timp suma iniţiala (volumul creditului, K)

ramane neschimbata ca si rata anuala a dobânzii simple, suma finala ce urmează a fi restituita

se calculează cu relaţia:

Kf = K + n * K * rds = K(1+n*rds)

in care n - numărul de ani. Dar sunt si situaţii in care durata de acordare a creditului este exprimata in luni,

trimestre sau decade.

In aceste condiţii:

a) n = 12

1n , daca durata este exprimata in luni;

b) n = 4trn , daca durata este exprimata in trimestre;

c) n = 3dn , daca durata este exprimata in decade.

Revenind la relaţia: Δd = 365*100

*r* ds tK

in mod logic se mai poate calcula:

a) volumul creditului:

K = tr

d

ds *365*100* ;

b) perioada de timp pentru care s-a acordat creditul:

t = dsrK

d*

365*100* ;

c) rata dobânzii simple:

rds = tK

d*

365*100* .

Pentru creditor se pune problema evaluării capitalului final (credit + dobânda) pe

care îl are de primit:

Kf = K+ Δd = K+365*100

** trK ds = K(1+365*100* trds )

In care: Kf – valoarea capitalului final; Δd – volumul dobânzii. In continuare pe baza ultimei relaţii se pot calcula: a) volumul creditului:

K =

365*100*

1tr

K

ds

f

b) rata dobânzii simple:

rds = tK

KK f

*365*100)(

Aplicaţii

Problema nr. 1. O banca plasează un capital de 40.000.000 de lei intr-un credit pe o perioada

de 240 de zile, la o rata a dobânzii simple anuale de 23%. Sa se calculeze valoarea dobânzii

aferenta împrumutului si valoarea capitalului final.

Δd = 365*100

** trK ds = 365*100

240*23*000.000.40 = 6.049.315 lei

Kf = K+Δd = 40.000.000+6.049.315 = 46.049.315 lei Problema nr. 2. Pe seama unui capital plasat intr-un credit pe o perioada de 180 de zile si cu o

rata a dobânzii simple de 23% se va incasa o dobânda de 40.000.000 lei. Sa se calculeze

valoarea creditului acordat si valoarea capitalului final.

K = tr

d

ds *365*100* =

180*23365*100*000.000.40 = 352.657.004,83 lei

Kf = K+Δd = 352.657.004,83+40.000.000 = 392.657.004,83 lei

Calculul dobânzii simple când rata dobânzii simple este variabila de la o

perioada la alta

Relaţia de calcul este:

Δd = K(rds1*t1+rds2*t2+rds3*t3+ … +rdsn*tn) sau: Δd1 = K*rds1*t1

Δd2 = K*rds2*t2

Δd3 = K*rds3*t3

Δdn = K*rdsn*tn

Deci : Δd = Δd1+Δd2+Δd3+…+Δdn In cazul in care duratele de timp sunt exprimate in zile, luni sau trimestre, valoarea

capitalului iniţial se calculează cu relaţia:

K =

365*1 1

zds

f

nr

K

+

365*1 2

zds

f

nr

K

+...+

365*1 z

dsn

f

nr

K

K =

12*1 1

1nr

K

ds

f

+

12*1 1

2nr

K

ds

f

+...+

12*1 1nr

K

dsn

f

K =

4*1 1

trds

f

nr

K

+

4*1 2

trds

f

nr

K

+...+

4*1 tr

dsn

f

nr

K

Rata dobânzii simple:

rds = 1* tKKK f +

2* tKKK f +..+

n

f

tKKK

*

Respectiv:

rds =

365* 1z

f

nK

KK +

365* 2z

f

nK

KK +...+

365* zn

f

nK

KK

rds =

4** 1

trd

f

nrK

KK +

4** 2

trd

f

nrK

KK +...+

4** tr

dn

f

nrK

KK

Durata pentru care a fost acordat creditul:

n = rds = 1* d

f

rKKK

+2* d

f

rKKK

+...+dn

f

rKKK

*

In fapt situaţia se refera la cazul in care rata dobânzii simple capata valori diferite de

la un an la altul, de la o perioada la alta:

Δd = Δd1+Δd2+Δd3+…+Δdn = K*rds1*n1+ K*rds2*n2+...+ K*rdsn*nn Dar: n1 = n2 =...= nn = n Δd = K*n(rds1+ rds2+...+ rdsn) In situaţiile in care duratele de timp sunt exprimate in zile, luni sau trimestre,

relaţiile de calcul devin:

a) Δd = K*rds1* 365zn + K*rds2* 365

zn +…+ K*rdsn* 365zn

b) Δd = K*rds1* 121n + K*rds2* 12

1n +…+ K*rdsn* 121n

c) Δd = K*rds1* 4trn + K*rds2* 4

trn +…+ K*rdsn* 4trn

in care: nz – număr de zile; nl - număr de luni; nt – număr de trimestre.

Procedura de echivalenta in regim de dobânda simpla

Pentru o mai uşoara asimilare propunem sa ne bazam pe un exemplu practic: O

banca acorda un credit unui întreprinzător in valoare de 16.000 euro, rambursabil in

următoarele condiţii: prima rata de 4.000 de euro sa fie rambursabila după 30 de zile cu

rds=9%, a doua rata de 5.000 de euro sa fie rambursata după 45 de zile cu rds=8%, iar a treia

rata de 7.000 de euro sa fie rambursata după 80 de zile cu rds=14%.

Volumul total al dobânzii va fi de:

Δd = Δd1+Δd2+Δd3 = K1*rds1*t1+ K2*rds2*t2+ +K3*rds3*t3 =

=4000*0.09*36530 +5000*0.08*

36545 +7000*0.14*

36580 = 29,58+8,88+214,79 =

253,25 Fata de aceste condiţii iniţiale, creditorul si întreprinzătorul, de comun acord

accepta intre timp ca împrumutul si dobânda sa fie restituita la un anumit termen (o singura

data) diferit fata de termenele intermediare prestabilite si care sa nu conducă la modificarea

volumului dobânzii. In acest caz avem de-a face cu o procedura de echivalenta in regim de

dobânda simpla. In aceasta situaţie este evident ca:

t1 = t2 = t3 =...= t Si întrucât cunoaştem volumul dobânzii se va obţine: Δd = K1*rds1*t1+ K2*rds2*t+ K3*rds3*t3 = t(K1*rds1+ K2*rds2+ K3*rds3) 253,25 = t(4000*0,09+5000*0,08+7000*0,14) = 1740*t De unde rezulta :

t = 1740

25,253 = 0,145 ani = 53,10 zile

In acest tip de produs i echivalenta in regim de dobânda simpla ne putem confrunta

cu următoarele tipuri de situaţii:

a) rds sa fie egale pentru fiecare interval de timp;

b) ratele de credit sa fie egale.

a) Δd = K1*rds1*t1+ K2*rds2*t+ K3*rds3*t3

253,25 = 4000* rds1* 36530 +5000* rds2* 365

45 +7000* rds3* 36580

Deoarece: rds1 = rds2 = rds3 = rds relaţia devine :

253,25 = rds(4000*36530 +5000*

36545 +7000*

36580 ) = 2479,42* rds

rds = 43,2479

25,253 = 0,102 = 10,2%

Putem verifica daca volumul dobânzii se modifica daca rds este de 10,2% pentru toate

intervalele de timp:

Δd = 4000*0,102*36530 +5000*0,102*

36545 +7000*0,102*

36580 =

=33,5+62,8+156,49 = 252,89 253,12 €

b) Δd = K1*rds1*t1+ K2*rds2*t+ K3*rds3*t3 K1 = K2 = K3 = K relaţia devine :

Δd = K(0,09*36530 +0,08*

36545 +0,14*

36580 )

253,12 = K(0,0073+0,098+0,0306) = 0,0477*K

K = 0477,0

12,253 = 5309,22 €

Procedura financiara multipla in regim de dobânda simpla

In activitatea practica se pot întâlni situaţii in care creditorul acorda

întreprinzătorului mai multe credite (K1, K2, K3, ... Kn) cu rate ale dobânzii aferente fiecărui

credit, diferite (rds1,rds2,rds3,...rdsn) pe perioade diferite (t1, t2, t3, ...tn). Se considera ca doua

proceduri financiare multiple in regim de dobânda simpla devin echivalente daca volumul

dobânzilor este acelaşi Δd1 = Δd2.

Se urmareste, daca exista interes reciproc de a înlocui procedura P1 cu procedura P2

si daca variabilele procedurii P2 pot înlocui variabilele procedurii P1, cu alte cuvinte sunt

substituibile. Sa propunem ca exista următoarea procedura multipla care este exprimata in

forma matriceala:

P1 =

dsn

n

n

dsdsds rtK

rrrtttKKK

....

....

....

321

321

321

Sunt doua situaţii care prezintă interes in activitatea practica:

A) sa vedem daca procedura financiara multipla P1, prezentata anterior in forma

matriceala, poate fi înlocuita cu alta procedura matriceala P2, dar in care, pe rând, elementele

de pe orizontala sunt egale intre ele (K, t si rds):

a) K1 = K2 = K3 =...= Kn = K; b) t1 = t2 = t3 =...= tn = t ; c) rds1 = rds2 = rds3 =…= rdsn = rds.

Volumul total al dobânzii: Δd = K1*rds1*t1+ K2*rds2*t+…+ Kn*rdsn*tn a) Volumul total al dobânzii se calculează astfel : Δd = K1*rds1*t1+ K2*rds2*t+…+ Kn*rdsn*tn

Procedurile P1 si P2 devin echivalente daca volumul dobânzii aferent fiecărei

proceduri sunt egale:

Δd1 = Δd2

Δd1 = K1*rds1*t1+ K2*rds2*t2+…+ Kn*rdsn*tn Δd2 = K1*rds1*t1+ K2*rds2*t2+…+ Kn*rdsn*tn

Dar : K1 = K2 = K3 =...= Kn = K De unde se poate calcula valoarea lui K: K1*rds1*t1+ K2*rds2*t+…+ Kn*rdsn*tn = K*rds1*t1+ K*rds2*t+…+ K*rdsn*tn= =K(rds1*t1+rds2*t+…+rdsn*tn)

K = dsnndsds

dsnnndsds

rtrtrtrtKrtKrtK

*...****...****

2211

222111

b) In aceasta situaţie se presupune ca in procedura P1 se inlocuieste procedura multipla

matriceala P3 de forma:

t1 = t2 = t3 =...= tn =t

P3 =

dsn

n

dsds rtK

rrttKK

....

....

....

21

21

Atunci: Δd3 = K1*rds1*t+ K2*rds2*t+…+ Kn*rdsn*t Δd1 = Δd3 K1*rds1*t1+ K2*rds2*t2+…+ Kn*rdsn*t3 = K1*rds1*t+ K2*rds2*t+…+ Kn*rdsn*t= = t(K1*rds1+ K2*rds2+…+ Kn*rdsn) De unde se poate calcula valoarea necunoscuta a lui t0:

t = dsnndsds

dsnnndsds

rKrKrKrtKrtKrtK

*...****...****

2211

222111

c) Sa presupunem ca procedura P1 va fi înlocuita de o procedura matriceala multipla P4 de forma:

rds1 = rds2 = rds3 =…= rdsn = rds

P4 =

ds

n

n

dsds rtK

rrttKK

....

....

....

21

21

Δd4 = K1*rds*t1+ K2*rds*t2+…+ Kn*rds*tn Δd1 = Δd4

K1*rds1*t1+ K2*rds2*t2+…+ Kn*rdsn*t3 = K1*rds1*t+ K2*rds2*t+…+ Kn*rdsn*t= = rds(K1*t1+ K2*t2+…+ Kn*tn) Deci se poate calcula valoarea necunoscuta a ratei dobânzii simple:

rds = nn

dsnnndsds

tKtKtKrtKrtKrtK

*...****...****

2211

222111

3. Dobânda compusa

Daca pentru o suma initiala/credit K depusa sau creditat, volumul dobânzii se

modifica periodic iar valoarea corespunzătoare pentru un interval de timp devine valoarea

iniţiala pentru următorul interval de timp si se aplica procedeul de “dobânda la dobânda”

avem de-a face cu ceea ce se numeşte dobânda compusa. Pentru primul interval de timp

volumul dobânzii (Δd) va fi Δd1 = K*rd1. Pentru al doilea interval de timp: Δd2 = K+ Δd1

s.a.m.d.

Dobânda aferenta unui credit care nu e restituita la momentul de timp stabilit de

comun acord, se va acumula cu creditul împrumutat, care va genera o noua dobânda

(dobânda la dobânda) iar suma corespunzătoare devine suma iniţiala pentru următorul

interval de timp. Cu alte cuvinte, capitalul iniţial (K) se modifica periodic prin capitalizarea

dobânzii calculate pentru perioada anterioara.

Pentru generalizare vom concepe următorul tabel:

An Suma iniţiala (K) Δds Suma finala (Kf)

1 K K* rds K+ rds*K= K(1+rds)

2 K(1+rds) K(1+rds)* rds K(1+rds)+ K(1+rds)* rds=K(1+rds)

(1+rds)=K(1+rds)2

n K(1+rds)n-1 K(1+rds)n-1*rds K(1+rds)n

Deci la sfarsitul celor n ani capitalul final va fi: Kf = K(1+rds)n Valoarea dobânzii Δd = Kf-K = K(1+rds)n-K = K[(1+rds)n-1] Se poate calcula valoarea prezenta sau actualizata:

K = nfK

)r(1 ds

Kf = K(1+rds)n

KK f = (1+rds)n

Apoi: lnKK f = ln(1+rds)n relaţie care nu permite sa calculam numărul de ani

pentru

care s-a acordat creditul:

n = )rln(1

KKln

ds

f

In aceste condiţii putem calcula si rds:

KKln f = n* )rln(1 ds

)rln(1 ds = nKK fln

dsr1 = e n1

KK fln = e

nf

KK

)ln( = (KK f ) n

1

rs = (KK f ) n

1-1 = n f

KK

-1

Volumul dobânzii se calculează astfel: Δd = Kf-K=K[(1+rds1)+ (1+rds2)+…+ (1+rdsn)]-K=K[(1+rds1)+ (1+rds2)+…+

(1+rdsn)-1] Presupunând ca: rds1 = rds2 = rds3 =…= rdsn =rds

Kf = K(1+rds)n Întrucât este vorba de rata dobânzii compuse se aplica principiul “dobânda la

dobânda rds va fi numita rdc, rata dobânzii compuse.

3.1. Rata dobânzii compuse variabile

Aidoma situaţiei de la rata dobânzii simple si in acest caz se pleacă de la ideea ca si

rata dobânzii compuse poate avea valori diferite pe parcursul anumitor intervale de timp.

Rămâne valabila constatarea ca pentru intervalul de timp următor, valoarea iniţiala

(suma credit) este valoarea finala (suma credit) a anului anterior.

Problema nr.3. O suma de 5000 de euro e depusa la o banca pe o perioada de 3 ani cu

o rata a dobânzii de 7% pentru primul an, 9% pentru cel de-al doilea an si 11% pentru cel

de-al treilea an.

Pentru primul an:

Δd1 = K*rd1 = 5000*0,07 = 350 € K1 = K+ Δd1 = 5000+350 = 5350 € Sau: K1 = K(1+ rds1) = 5000*1,07 = 5350 € Sau: Δd1 = K1-K = 5350-5000 =350 €

Pentru al doilea an:

Δd2 = K(1+*rds1)*rd2 = 53500*0.09 = 481,5 €

K2 = K1+ Δd2 =K(1+ rds1)+K(1+ rds2)(1+rd2)=K(1+rds1) (1+rds2)=5350+481,5=5831,5 € Δd2 = K2- K1 = K(1+ rds1)(1+rds2)- K(1+ rds1) = K(1+ rds1)[ (1+ rds2)-1] = 481,5 €

Pentru al treilea an:

Δd3 = K(1+ rds1) (1+ rds2)* rds3 = 641,46 € K3 = K2+ Δd3 = K(1+ rds1) (1+ rds2) (1+ rds3) = 6472,96 € Δd3 = K3-K2 = K(1+ rds1)(1+ rds2)(1+ rds3)-K(1+rds1)(1+rds2) = K(1+rds1) (1+rds2)*

*[(1+rds3)-1] = 641,46 €

In forma generala suma finala (credit, valoare) se calculează cu relaţia: Kf = K(1+ rds1) (1+ rds2) (1+ rds3)*…* (1+ rdsn) Iar volumul dobânzii: Δd3 = Kf-K = K(1+ rds1) (1+ rds2) (1+ rds3)*…* (1+ rdsn)-K = = K[(1+ rds1) (1+ rds2) (1+ rds3)*…* (1+ rdsn)-1] = = K[(1+ rds1) (1+ rds2) (1+ rds3)*…* (1+ rdsn-1)]*rdsn

Powered by http://www.referat.ro/ cel mai tare site cu referate