S.S.M.R. FILIALA CORABIA INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN OLT

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂDANUBIUS

EDIŢIA a XI-a – 6 mai 2017Clasa a VIII-a

SUBIECTUL I – pe foaia de examen scrieţi numai rezultatele 30 puncte

5 p 1.Rezultatul calculului 10∙5-50 este egal cu…..........5 p 2. Daca

x24

=58 , atunci x este egal cu......................

5p 3. Cel mai mare numar natural care apartine intervalului [2;8) este ….........5 p 4. . Patratul ABCD are latura de 5 cm.Perimetrul acestui patrat este egal cu ….......... cm

5p 5. In figura 1 este reprezentat un cub ABCDEFGH.Masura unghiului determinat de CD si BE este egala cu…....................

5 p 6. Diagonala unui cub are lungimea de 7√3 cm.Atunci volumul cubului este ….cm3

SUBIECTUL al II-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete 30 puncte5 p5 p

5 p

5 p5 p5 p

5p5p5p

1. 1.Desenati pe foaia de examen ,un paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH.

2. Stiind ca x ¿√5 si y= 1√5

, aratati ca xy+ yx=26

53. Ana si Barbu au impreuna 217 lei.Cati lei are fiecare ,daca o treime din banii Anei inseamna tot atat cat un sfert din banii lui Barbu?4. Fie functia f :R⟶ R , f ( x )=2x−1a) Calculati f(0)+f(1)b) Reprezentati grafic functia intr-un sistem de axe de coordonate xOy.5.Fie expresia:

E ( x )=( x3−xx3+x2−x−1

+ 1x+1 ) ∙ 1

x+2− x+1x2−4

,unde x∈R ¿{±2 ;±1¿}. Rezolvati ecuatia : E(x) =−17

.SUBIECTUL al III-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete 30 puncte1.Figura 2 este schita unui teren. Triunghiul ABC este echilateral cu AB=12m si punctul D este situat pe BC astfel incat C este mijlocul lui [BD].Punctul E este situat pe (AD), astfel incat (CE este bisectoarea ∢ ACD.a) Aratati ca aria triunghiului ABC este egala cu 36√3m2 .b) Demonstrati ca dreptele CE si AB sunt paralele.

CA

B

5p5p5p

c) Aratati ca triunghiul ECD are perimetrul egal cu 6 (3+√3 )m

Figura 2

2. In figura 3.este reprezentata o cutie sub forma de prisma dreapta ABCDEF,cu baza triunghi echilateral , AB=10cm si AD=10√3 cm.

a) Calculati volumul cutiei.b) Calculati masura unghiului planelor (ABC) si (DBC)c) Se inconjura cutia cu un snur de lungime minima care traverseaza de doua ori fiecare din

cele trei fete laterale, plecand din A, trece prin D si ajunge din nou in A.Calculati lungimea snurului.

Figura 3

SUBIECTUL al IV-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete 10 puncte Aflati valoarea minima a expresiei:

E ( x )=√ x4+ 1y4 +√ y 4+ 1

z4 +√ z4+ 1x4 unde x, y, z sunt numere reale nenule.

Gazeta matematicaSUBIECTUL al V-lea – Pe foaia de examen scrieţi rezolvările complete 10 puncteDeterminati a∈R astfel incat ecuatia 2017|x|+x2+a=4 admite solutie unica.

Nicolae Tomescu, CorabiaNota-Toate subiectele sunt obligatorii -Timp de lucru 3 ore -Fiecare problema este notata de la 0 la 7

1p3p1p

S.S.M.R. FILIALA CORABIA INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN OLT

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂDANUBIUS

EDIŢIA a XI-a – 6 mai 2017Clasa a VIII-a

BAREM DE CORECTARE

SUBIECTUL I1. 0 5p2. 15 5p3. 7 5p4. 20 5 p5. 45 5 p6. 343 5 p

SUBIECTUL al II-leaPentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctaj maxim.Se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.

1. Desenează paralelipipedulNoteaza varfurile paralelipipedului

4 p1 p

2.

xy=√5 ∙√5⇒ x

y=5

⟹ yx=1

5

De unde xy+ yx=26

5

3.

a+ b=217

a3=b

4=a+b

3+4=217

7=31

a=93lei ,b=124 lei

2p2p

1p

1p1p

1p1p2p

1p

4.

a) f(0)= - 1 si f(1)= 1f(0) + f(1)= - 1+1= 0b) Reprezentarea grafica a unui punct de pe GfReprezentarea grafica a inca unui punct Trasarea graficului

5.

x3−x=x (x2−1 ) x3+ x2−x−1=( x+1 ) ( x2−1 )

E ( x )=( xx+1

+ 1x+1 ) ∙ 1

x+2− x+1x2−4

= 1x+2

− x+1x2−4

= −3x2−4

E(x )=−17⇔x∈ {−5 ,5 }

SUBIECTUL al III-lea

1.

a) aria ∆ ABC= l2 √34

aria ∆ ABC=122 √34

=36 √3m2

2 p

3 p

b) ∆ ABC echilateral ⇒m (∡ACB )=600 ⇒m (∡ACD )=1200

(CE bisectoarea (∡ ACD )⇒m (∡ ACE )=600

Luand dreptele AB si CE cu AC secanta, avem ∢BAC≡∡ACE ca alterne interne ,de unde AB∥CE

1p 2p

c)AC=BC=CD⇒∆CADisoscelCum m (∡ ACD )=1200⇒m (∡CAD )=m (∡CDA )=300

Din ∆CED⇒m (∡CED )=900deci ∆CED este dreptunghic in E

[ CE ] linie mijlocie in ∆ ABD⇒CE= AB2

=6m

Cu Teorema lui Pitagora in ∆CED⇒ ED=6√3 ⇒P∆ CED=6 ( 3+√3 ) m

1p

1p1p1p1p

2.a) Ab=

100√34

=25√3cm2

V=Ab ∙ h V=25√3 ∙10√3=750 cm3

Construim AM⊥BC. Cu Teorema celor trei perpendiculare avem DM⊥BCDin Teorema unghiului diedru :

2 p

2p1p2p

( ABC )∩ (DBC )=BC ,M ∈BC , AM⊥ BC ,DM⊥ BC ,avemcam (∢ (ABC ) , (DBC ) )=m (∢ ( AM , DM ) )=m (∡ AMD )

AM=10√32

=5√3cm si tg (∢ AMD )=2

2 p

1 p

c)Desfasuram suprafata laterala a prismei si calculam lungimea segmentului AD pe suprafata desfasurataAvem AD2=302+(10√3 )2=1200⇒AD=20√3cmLungimea minima a snurului va fi 2AD = 40√3cm

SUBIECTUL al IV-lea Aflati valoarea minima a expresiei:

E ( x )=√ x4+ 1y4 +√ y 4+ 1

z4 +√ z4+ 1x4 unde x, y, z sunt numere reale nenule.

Gazeta matematica

Barem de notare

Vom folosi inegalitatile √ a2+b2

2≥ a+b

2 (1) si a+

1a≥2 (2 ) pentru orice a ,b>0………… .2 p

Avem E=√2(√ x4+ 1

y4

2+√ y4+ 1

z4

2+√ z 4+ 1

x4

2 )...........................................................................2p

Din (1) ⇒E≥ √22 (x2+ 1

y2 + y2+ 1z2 +z

2+ 1x2 )........................................................................2p

Din (2)⇒E≥3√2......................................................................................................................2p Valoarea minima a expresiei este 3√2 si se obtine pentru |x|=|y|=|z|=1..........................2pSUBIECTUL al V-leaDeterminati a∈R astfel incat ecuatia 2017|x|+x2+a=4 admite solutie unica.

Nicolae Tomescu, Corabia

Barem de notare

Daca ecuatia admite solutia x0∈ R , atunci admite si solutia −x0∈ R.......................................4p

Cum solutia trebuie sa fie unica avem x0=−x0⟺ x0=0........................................................3p

Obtinem a=3..................................................................................................................................3p

1p

2p

2p