S.S.M.R. FILIALA CORABIA INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN OLT

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂDANUBIUS

EDIŢIA a XI-a – 6 mai 2017Clasa a VII-a

Problema 1.Fie n≥2 un numar natural .Aratati ca numarul n4+n2+3 nu poate fi scris ca o suma de doua numere prime.

Gazeta matematica, 11/2016

Problema 2.a) Demonstrati ca numarul n !+2017 nu este patrat perfect, pentru orice n∈N ¿

b) Sa se rezolve in multimea N ¿ecuatia :(n !+12 )3=(n !)2 (2n+1 )2 .

Nicolae Tomescu , Corabia

Problema 3Exista a,b,c,d∈N ¿astfel incat numerele 4 a2+b+c+d ,a+4b2+c+d ,a+b+4c2+d ,a+b+c+4d2 sa fie simultan patrate perfecte ?

Lucian Tutescu ,Craiova

Problema 4.In tringhiul ABC, M si N sunt mijloacele segmentelor [BC] respectiv [AM]. Dreapta BN intersecteaza AC in Q si paralela dusa prin C la AM in P. Daca ACQP = 16 cm2, calculati aria triunghiului ABC.

Carmen Firicescu, Corabia

Nota-Toate subiectele sunt obligatorii -Timp de lucru 3 ore -Fiecare problema este notata de la 0 la 7

S.S.M.R. FILIALA CORABIA INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN OLT

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂDANUBIUS

EDIŢIA a XI-a – 6 mai 2017Clasa a VII-a

Problema 1 Fie n≥2 un numar natural .Aratati ca numarul n4+n2+3 nu poate fi scris ca o suma de doua numere prime.

Gazeta matematica, 11/2016

Barem de corectare:Presupunem prin absurd ca exista doua numere prime p si q cu p≥q astfel incat n4+n2+3=¿ p+q………………………………………………………………………………………….2p

Cum n2 (n2+1 ) este numar par ,rezulta ca n4+n2+3 este impar,de unde p+q este impar….1p

Cum p≥q avem q este par si prim,deci q=2…………………………………………...……….1p

p=n4+n2+1⇒ p= (n2−n+1 ) (n2+n+1 )…………………………………………...2p

Cum n2−n+1<n2+n+1 si p este numar prim avem n2−n+1=1 ,de unde n∈ {0;1 }, contradictie………………………………………………………………………………………1p

Problema 2a) Demonstrati ca numarul n !+2017 nu este patrat perfect, pentru orice n∈N ¿

b)Sa se rezolve in multimea N ¿ecuatia : (n!+12 )3=(n !)2 (2n+1 )2.

Nicolae Tomescu , Corabia

Barem de corectare:a) Daca n≥5, avem U (n !)=0⟹U (n !+2017 )=7⟹n !+2017 nu este p.p………1p

n=1⟹n!+2017=1 !+2017=2018 nu este pp. deoarece are ultima cifra 8.

n=2⟹n!+2017=2 !+2017=2019=M 4+3 nu este p.p.

n=3⟹n!+2017=3 !+2017=2023 nu este p.p.deoarece are ultima cifra 3

n=4⟹n!+2017=4 !+2017=2041 nu este p.p.deoarece 442<2041<452………...2p

b) Numarul n !+12 trebuie sa fie patrat perfect……………………………………….......1p

Pentru n≥5 , avemU (n !)=0⟹U (n !+12 )=2 , decin !+12 nu este p.p……………….1p

Ne ramane ca n∈ {1 ,2 ,3 ,4 }

Daca n∈ {1 ,2 ,3 } egalitatea nu se verifica…………………………………………………..…1p

n=4 este singura solutie a ecuatiei……………………………………………………………….1p

Problema 3Exista a,b,c,d ∈N ¿astfel incat numerele 4 a2+b+c+d ,a+4b2+c+d ,a+b+4c2+d ,a+b+c+4d2 sa fie simultan patrate perfecte ?

Lucian Tutescu ,Craiova

Barem de corectare:Presupunem prin absurd ca numerele din enunt sunt toate patrate perfecte.Cum 4 a2+b+c+d> (2a )2⇒ 4a2+b+c+d ≥ (2a+1 )2…………………..................…..2pDe unde b+c+d≥4 a+1……………………………………………………………....................…2pSi analog a+c+d≥4 b+1 a+b+d≥4 c+1 a+b+c≥4 d+1…………………………………………………………………………..................1pAdunand relatiile obtinem 3 (a+b+c+d )≥4 (a+b+c+d )+4……………………1p

Adica 0≥a+b+c+d+4 fals

Deci nu exista astfel de numere…………………………………………………………......1p

Problema 4.In tringhiul ABC, M si N sunt mijloacele segmentelor [BC] respectiv [AM]. Dreapta BN intersecteaza AC in Q si paralela dusa prin C la AM in P. Daca ACQP = 16 cm2, calculati aria triunghiului ABC.

Carmen Firicescu, Corabia

Barem de corectare:

P

CB

N

M

A

Q

Cu teorema lui Menelaus in tringhiul AMC pentru punctele coliniare BMC, N(AM),

Q(AC) obtinem BMBC

∙ QCQA

∙ NANM

=1QCQA

=2……………………………………………..2p

PC∥AN PQCNQAA∆ PQCA∆ NQA

=(QCQA )2

ANQA=4cm2 ………………………………1p

Cu teorema lui Menelaus in tringhiul BQC pentru punctele coliniare M(BC), N(BQ), AQC

obtinem MBMC

∙ ACAQ

∙ NQNB

=1 NQNB

=13NQBQ

=14 ………………………………………………2p

A∆ NQAA∆ BQA

= NQBQ

= 14

ABQA = 16 cm2……………………………………………………………1p

A∆ BQAA∆ BCA

=QAAC

=13

ABCA = 48 cm2……………………………………………………………..1p