Volumul Corpurilor de Rotatie
of 5
description
Volumul Corpurilor de Rotatie
Transcript of Volumul Corpurilor de Rotatie
-
Volumul corpurilor de rotaie Virgil-Mihail Zaharia
1
VOLUMUL CORPURILOR DE ROTAIE Definiia 1. Fie a,b0R, a
-
Volumul corpurilor de rotaie Virgil-Mihail Zaharia
2
g xm f u daca x i p
f x daca x x i pn
defin n
i in
in
n
i i n
x x( )( ), ( , );( )
( ), ; ( )=
=
=
1 1
0
h xM f v daca x i p
f x daca x x i pn
defin n
i in
in
n
i i n
x x( )( ), ( , );( )
( ), ; ( )=
=
=
1 1
0
Atunci corpurile de rotaie Gn i Hn determinate de gn i hn sunt mulimi cilindrice elementare cu propriet]iile (1.) i
(4.) vol G f f
vol H f f
n in
in
in
i
p
in
n in
in
in
i
p
in
u x x u
v x x v
n
n
n
n
( ) ( )( ) ( , )
( ) ( )( ) ( , )
= =
= =
=
=
21
1
2
21
1
2
Funcia f fiind continu rezult c f 2 este continu rezult c f 2 este integrabil, iar conform (3.) i (4.) avem:
(5.)
f x dx f vol G
f vol H
a
b
nin
nn
nin
nn
n
n
u
v
2 2
2
( ) lim ( , ) lim ( )
lim ( , ) lim ( )
= = =
= =
irurile de mulimi cilindrice elementare (Gn)n0N i (Hn)n0N verific relaiile (1.) i (5.) de unde rezult c Cf are volum i
vol C f x dxfa
b
( ) ( )= 2 .
Corolarul 1. Dac funciile f1,f2:[a,b]6R+ sunt integrabile pe [a,b] iar f1(x)#f2(x), ()x0[a,b] atunci corpul obinut prin rotirea n jurul axei Ox a funciei f2(x)-f1(x) are volum i
[ ]vol C x x dxfa
b
f f( ) ( ) ( )= 22
12 .
Exemplul 1. S se calculeze volumul sferei de raz R. Sfera se obine rotind semicercul de raz R n jurul axei Ox.
Ecuaia arcului AB este y= R x2 2 ,x0[-R,R].
( ) ( )32
2 2 2 2 4( )3
R R
f
R R
RVol C R x dx R x dx
= = = .
Exemplul 2. S se calculeze volumul trunchiului de con. Trunchiul de con se obine prin rotirea trapezului O'ABO" n jurul axei Ox. Fie r
i R razele bazelor trunchiului de con. Ecua]ia dreptei AB este yR r
b ax a r=
+( ) ; iar
h=b-a nlimea conului.
-
Volumul corpurilor de rotaie Virgil-Mihail Zaharia
3
[ ]
vol CR r
b ax a r dx
R r
ht r dt
hR r Rr
fa
b x a t
a
b
( ) ( )=
+
=
=
+
=
= + +
=
2
2
2 2
3
Exemplul 3. Volumul conului
Dac lum r=0; corpul generat prin rotaie este conul circular de nl]ime h, cercul de baz avnd raza R. n formula de la exemplul 2. nlocuind r=0 rezult
VhR
= 2
3.
Exemplul 4. Volumul elipsoidului de rotaie.
Se obine prin rotirea mulimii
E x yx
a
y
b= +
( , ) /R22
2
2
21 ,(a,b)>0 n jurul axei Ox.
Datorit simetriei elipsoidului fa] de planul yOz este suficient s calculm numai volumul jumtii situate n partea dreapt (x>0) a planului yOz.
Fie f:[0,a]6R, f xb
aa x( ) = 2 2
( )vol C f x dx ba
a x dx
b
aa x
x b
aa
ab a
f
a a
a
( ) ( )= = =
=
=
=
2 2
23
23
4
3
2
0
2
22 2
0
2
22
3
0
2
23
32
Observaie: Pentru a=b=r se gsete formula volumului sferei. Exemplul 5. Volumul paraboliodului de rotaie Se obine prin rotirea n jurul axei Ox a funciei f:[0,b]6R+, f x ax( ) = 2
22 2
0 0 0
( ) ( ) 2 22
bb b
f
xvol C f x dx a xdx a ab = = = =
-
Volumul corpurilor de rotaie Virgil-Mihail Zaharia
4
Exemplul 6. Volumul hiperboloidului de rotaie.
Fie f:[a,b]6R+, f x x a( ) = 2 2
( )
32 2 2 2
3 32 3 3 3 2
( ) ( ) ( )3
2 3 .3 3 3
bb b
f
a a a
xvol C f x dx x a dx a x
b aa b a b a a b
= = = =
= = +
Exemplul 7. Volumul astroidului de rotaie x y a2
3
2
3
2
3+ = (a>0) Datorit simetriei este suficient s calculm volumul corpului de rotaie determinat de funcia:
f:[0,a]6R+, f x a x( ) =
2
3
2
3
3
2
32 22 3 3
0 0
4 2 432 23 3 34
0
( ) ( )
3 3
a a
f
a
vol C f x dx a x dx
a a x a x x dx
= = =
= + =
4 5 2 7 3
2 33 3 3 3
0
9 9 18
5 7 3 105
a
xa x a x a x a
= + =
n toate exemplele date am considerat corpul obinut prin rotirea unei curbe n
jurul axei Ox. Dm un exemplu de corp obinut prin rotirea unui segment de curb n jurul lui Oy. Exemplul 8. Fie 0#a
-
Volumul corpurilor de rotaie Virgil-Mihail Zaharia
5
(6.) V b f b a f a xf x dxa
b
=
2 2 2( ) ( ) ( ) . Am inut cont c dx=(f -1(y))'dy i
y=f(x). Ca aplicaie a formulei (6.) vom calcula volumul corpului generat de rotirea
suprafeei limitat de Ox, y=sinx,
0#x#2
n jurul lui Oy.
Vom avea:
2 22
0
3
sin 0 sin 0 2 sin4 2
24
V x xdx
= =
=
cci x xdx x x xdx xsin cos cos sin0
2
02
0
2
02 1
= + = = .
2013-06-30T22:07:23+0300Virgil-Mihail ZahariaI am the author of this document
