Seminar 5 – Teoria consumatorului. Utilitatea totală şi marginală. Calcule privind determinarea programului optim de consum.

Teoria consumatorului analizează preferințele consumatorilor raționali în condiții de constrângere bugetară.

Constrângerea bugetară a consumatorului se referă la ceea ce își permit consumatorii să achiziționeze. Preferințele acestuia privesc ceea ce își doresc consumatorii să consume. Echilibrul consumatorului (sau optimul consumatorului) reprezintă echilibrul dintre dorințele acestuia și constrângerea sa bugetară.

Este exprimată prin relația: V=X*Px+Y*Py, unde V=venitul, X=cantitatea achizitionata din bunul X, Px=pretul bunului X, Y=cantitatea achizitionata din bunul Y si Py=pretul bunului Y.

Ce sunt consumatorii raționali? – acei consumatori care urmăresc maximizarea efectului utilității resimțite prin consumul anumitor bunuri.

Relația dintre utilitatea totală și utilitatea marginală

Utilitatea marginală reprezintă satisfacția suplimentară resimțită prin creșterea consumului cu o unitate. Utilitatea marginală (Umg) este descrescătoare (pentru că scade și intensitatea nevoii pentru un anumit bun).

De exemplu, pentru un jucător de fotbal, satisfacția resimțită la prima gură de apă luată într-un moment de pauză în cursul jocului este mult mai mare comparativ cu a 10 a gură de apă pentru că și nevoia de a bea apă s-a redus ca intensitate.

Utilitatea totală (UT) este satisfacția totală pe care un individ o resimte prin consumul unor unități dintr-un bun.

Umg= (UT)'Q, unde Q=cantitatea consumată.

Sau Umg= ΔUT/ΔQ.

După cum se vede în graficul alăturat, UT este maximă atunci când Umg =0. Astfel, atunci când Umg (graficul din dreapta) este pozitivă, UT crește, când Umg atinge nivelul zero UT este maximă, iar când Umg devine negativă, UT începe să scadă.

Curba de indiferență (Ci)– cuprinde ansamblul combinațiilor de bunuri care generează aceeași utilitate totală pentru un consumator. Astfel, in figura de mai jos, UT în punctul A este egală cu UT în punctul B, egală cu UT în C și egală cu UT în D.

Forma curbelor de indiferență este convexă pozitivă și cu cât o Ci este mai îndepărtată de origine, cu atât utilitate totală resimțită de consumator este mai mare. Prin urmare, Ci1<Ci2<Ci3.

În același timp, panta curbei de indiferență este rata marginală de substituție (RMS). Rata marginala de substitutie arata cu cat ar trebui sa se modifice consumul dintr-un bun ca urmare a reducerii consumului dintr-un alt bun, astfel incat UT sa ramana constanta.

RMS= - ΔY/ΔX = UmgX/UmgY=Px/Py.

1. Echilibrul consumatorului

Se realizează atunci când consumatorul obține maxim de satisfacție (UT=maxim) în condițiile unui anumit venit disponibil. Prin urmare, echilibrul consumatorului implică 2 ecuații, una în care se vizează constrângerea bugetară (dreapta bugetului) și una utilitatea marginala resimțită.

Potrivit graficului alăturat, echilibrul consumatorului se stabilește în punctul E deoarece se obține cea mai mare Utilitate totală cu venitul disponibil. (punctul în care linia bugetului este tangentă la curba de indiferență).

(1) V=XPx+YPy

(2) UmgX/UmgY=Px/Py

APLICAȚII

1. Considerăm funcția de utilitate U(X)=20X-X2. Calculați și reprezentați grafic utilitatea marginală Umg(X). Reprezentați grafic utilitatea totală U(X) și calculați valoarea maximă a acesteia.

Umg(X)= 20-2XU(x)=maxim când 20-2X=0, deci X=10, adică U(X)=100.

2. Un individ are un venit disponibil Vd=20 u.m. El consumă două bunuri X şi Y cu preţurile Px=1 u.m. şi Py=2 u.m. În condiţiile în care Umgx=10-Qx iar Umgy=28-2Qy, aflați programul de consum care asigură echilibrul consumatorului.

Rezolvare:Vd=XPx+YPy

Umgx/ Umgy = Px /Py

Așadar: 20=X+2Y (10-X)/1=(28-2Y)/2, rezultă 20-2X=28-2Y, adică -8=2X-2Y

20=X+2Y-8=2X-2y12=3X / X=4;Y=8

Dreapta bugetului

3. Considerăm un consumator cu un venit disponibil V= 100, care are de ales între două bunuri X și Y, având prețurile Px=5 și Py= 10.a) Reprezentaţi grafic dreapta bugetului.b) Presupunem o crestere a venitului de la 100 la 200. reprezentaţi in acelasi grafic noua dreapta a bugetuluic) aceeasi intrebare, daca pretul lui X creste de la 5 la 10d) aceeasi intrebare, daca pretul lui Y scade de la 10 la 8e) În situația de la punctul a), reprezentati in grafic combinatiile X= 5 si Y= 10, respectiv X=10 si Y=8. Ce puteti spune despre cele doua combinatii din punct de vedere al accesibilitatii?f) pastrand pretul lui X constant, Px=5 si venitul V= 100, gasiti pretul lui Y pentru care combinatia X=10 si Y=8 este accesibila (se afla pe dreapta bugetului)

Rezolvare:

a) V= Px X+ Y Py, deci 100=5X+10Y. Dacă X=0, atunci 100=10Y, deci Y=10Dacă Y=0, atunci 100=5X, deci X=20

b) 200=5X+10Y. Dacă X=0, atunci 200=10Y, deci Y=20Dacă Y=0, atunci 200=5X, deci X=40

c) Px=10100=10X+10Y. Dacă X=0, atunci 100=10Y, deci Y=10Dacă Y=0, atunci 100=10X, deci X=10

d) Py=8100=10X+8Y. Dacă X=0, atunci 100=8Y, deci Y=12,5Dacă Y=0, atunci 100=10X, deci X=10

e) 5x5+10x10=1255x10+8x10=130Așadar, combinațiile X= 5 si Y= 10, respectiv X=10 si Y=8 nu sunt accesibile fiind în afara dreptei bugetului și necesitând un venit mai mare comparativ cu venitul disponibil al consumatorului (125 în primul caz și 130 în al doilea caz, comparativ cu venitul de 100 de care consumatorul dispune).

f) Dacă prețul lui X este 5,Venitul disponibil este 100, aflați prețul lui Y pentru care combinația X=10 și Y=8 este acccesibilă.

V=Px X+ Py Y, adică 100=50+8Py, deci 50=8Py, Py=6,25

4. Andrada alocă întregul său buget săptămânal de 10u.m. pentru cumpărarea bunurilor X şi Y, Px=Py=1u.m.,iar funcţia utilităţii este U(x,y)=2x2+2y2-10x-xy+10y. Pe baza acestor informaţii să se determine: cantităţile din x şi y care maximizează utilitatea totală și modificarea utilităţii totale dacă bugetul creşte/scade cu 2u.m.

Rezolvare:Umgx/Umgy=Px/PyV=Px X+ Py Y

Umgx/Umgy=1 4x-10-y=4y+10-x,10=X+Y 5x-5y=20, deci X-Y=4

Umgx=U(x,y)'(x), adică 4x-10-yUmgy= U(x,y)'(y), adică 4y-x+10

10=x+y4=x-y14=2x, deci x=7, y=3, UT=98+18-70-21+30=55

Modificarea UT dacă venitul crește cu 2u.m....Avem: 12=X+Y4=X-Y16=2X, deci X=8, y=4. Prin urmare, UT=128+32-80-32+40=88

Modificarea UT dacă venitul scade cu 2u.m....8=X+Y4=X-Y12=2X, deci X=6, Y=2. Prin urmare, UT=72+8-60-12+20=28

5. Funcția de utilitate a unui consumator rațional este U(x,y)=(x+1)(y+5). Prețurile celor două bunuri sunt Px=Py=10, în timp ce venitul disponibil este de 100u.m. a. Reprezentați grafic dreapta bugetuluib. Determinați cantitățile de echilibruc. Calculați utilitatea totală rezultată din consumul bunurilor.

b.U(x,y)=(x+1)(y+5)= xy+5x+y+5100=10x+10y

Umgx=y+5 Umgy=x+1

10y+50=10x+10, deci 40=10x-10y100=10x+10y 140=20x, prin urmare x=7 și y=340=10x-10y

c.UT=64

6. Fie graficul următor:

a) Determinați venitul consumatorului, dacă prețul bunului x este de 50 u.m.b) Scrieți ecuația dreptei bugetului și calculați panta curbei de indiferență în punctul E.

Rezolvare:

a) V=XPx+YPyCând X=0, avem Y=V/Py=40Când Y=0, avem X=V/Px=50Prin urmare, dacă Px=50, atunci V=XPx=50x50=2500. Totodată, Py=V/Y=2500/40=62,5.

b) 2500=50X+62,5YPanta în punctul E=RMS=Px/Py=50/62,5=0,8.

7. Pentru Maria, utilitatea marginală a bunului A (UmgA) și cea a bunului B (UmgB) sunt definite de funcțiile următoare: UmgA=20-X și UmgB=18-2Y, unde X și Y reprezintă cantitățile din cele două bunuri. Presupunem că prețul unei unități din bunul A este egal cu prețul unei unități din bunul B=2u.m. și că Maria cheltuiește pentru cumpărarea celor două bunuri 10 u.m. Câte unități din bunul A și câte din bunul B vor fi cumpărate?

Rezolvare:20-X=18-2Y10=2X+2YPrin urmare, X= 2+2Y10=4+4Y+2Y, rezultă Y=1, deci X=4.

8. Presupunem că un consumator urmărește maximizarea utilității totale din consumul bunurilor X și Y, cu un buget de 100 um. Px=Py=10 u.m, iar funcția utilității este: U=2X+10Y-X2-Y2

Determinați:a) Cantitățile din bunurile X și Yb) Mărimea raportului dintre utilitatea marginală a bunului X și prețul bunului Xc) Modificarea utilității totale ca rezultat al creșterii bugetului cu 10 u.m.

9. Un consumator urmărește maximizarea utilității totale din consumul bunurilor X și Y, cu un buget de 12 um. Px=2 u.m, iar Py=1 u.m. Funcția utilității este: U(x,y)=X2Y.Aflati:a) Cantitatile optime din bunurile X si Yb) Nivelul utilitatii totale resimtite ca urmare a consumului de X si Yc) Modificarea utilitatii totale ca urmare a reducerii pretului lui X la 1 u.m.

10. Daca avem functia Y = 10 – 4X, care este valoarea raportului UmgXUmgY atunci cand consumatorul are

un program de consum optim?

V= X*Px + Y*PyIn acelasi timp, din functie se poate scoate ca Y = V/Py – Px/Py*X. Stim din functie ca Y= 10 – 4 *X.In cazul programului optim de consum raportul utilitatilor marginale este egal cu raportul preturilorUmgx/Umgy=Px/Py, ceea ce conduce la:Umgx/Umgy = 4.Totodata se observa ca din ecuatia dreptei bugetului rescrisa, Px = 4 iar Py= 1.

11. Daca relatia dintre raportul utilitatilor marginale si raportul preturilor este de tipul UmgXUmgY

> PxPy

.

Cum ar trebui sa actioneze consumatorul pentru a obtine maxim de satisfactie? Pentru ca un consumator nu poate actiona asupra preturilor pentru a maximiza satisfactia, el poate actiona doar asupra cantitatilor pe care le achizitioneaza. Astfel, acesta poate doar sa reduca consumul de Y, pentru a creste utilitatea marginala a lui Y, astfel incat

raportul UmgXUmgY sa scada pana la un nivel egal cu raportul preturilor. Pe de alta parte, el poate sa creasca

consumul din bunul X astfel incat sa se reduca utilitatea marginala a lui X si, din nou, raportul sa scada pentru a ajunge la egalitate cu raportul preturilor.

12. Presupunem ca pretul bunului X creste, astfel incat relatia dintre raportul utilitatilor marginale si

raportul preturilor devine urmatoarea: UmgXUmgY

< PxPy . Cum ar trebui sa actioneze consumatorul pentru

a resimti o utilitate maxima ca urmare a consumului celor doua bunuri?Similar cazului de la aplicatia 11, consumatorul nu poate modifica preturile iar ajustarea se poate face doar prin intermediul cantitatilor din cele doua bunuri consumate. Astfel, ca urmare a cresterii pretului la bunul X, cantitatea cumparata din bunul X se reduce, ceea ce conduce la o crestere a utilitatii marginale a bunului X pana cand cele doua raporturi ajung la egalitate.