B S

O A

u + v v

u

Vectori si operatii

În matematică, un vector propriu al unei transformări liniare pe un spațiu

vectorialeste un vector nenul a cărui direcție rămîne neschimbată de către acea

transformare. Factorul prin care mărimea vectorului este scalată se

numeștevaloare proprie a acelui vector.

Mulțimea vectorilor proprii ce au asociată aceeași valoare proprie constituie un

subspațiu vectorial al spațiului transformării, numit spațiu propriu al transformării,

asociat valorii proprii respective.

În geometrie, planul este o suprafață bidimensională, de curbură zero, nelimitată

în orice direcție. La desenarea figurilor, planul se poate reprezenta printr-un

paralelogram sau printr-un triunghi oarecare.

În lucrarea lui Euclid, Elementele, planul este o noțiune fundamentală, la fel ca și

dreapta și punctul. Una din axiomele geometriei euclidiene este:

„Prin trei puncte necoliniare trece un plan și numai unul”.

Corolare ale acestei axiome sunt:

„Printr-o dreaptă și un punct nesituat pe această trece un plan și numai

unul”.

„Prin două drepte secante trece un plan și numai unul”.

1. Adunarea vectorilor

Fie u si v doi vectori in plan de directii diferite . Fie O un punct in plan . Construim OA=u si OB=v . Fie S un al patrulea varf opus lui O al paralelogramului cu trei varfuri in O,A si B .

1

OS = u + v ( regula paralelogramului )

1) Daca u si v sunt doi vectori de aceeasi directie si acelasi sens atunci u+v este vectorul de aceeasi directie si sens si de lungime | u |+| v | .

2) Daca u si v au aceeasi directie si sensuri opuse atunci daca | u |>| v | vectorul u+v are aceeasi directie cu vectorii u si v , are sensul vectorului u si lungimea | u |-| v | .

3) Daca u si v au aceeasi directie , sensuri opuse si | u |<| v | atunci u+v este vectorul de aceeasi directie cu sensul vectorului v si cu lungimea | v | - | u | .

Se stie ca intr-un Δ , AC < AB + BC si atunci | u+v | < | u | + | v | . Cand A,B,C sunt colineare si vectorii AB si BC au acelasi sens atunci |

u+v | = | u | + | v | . Deci in general | u+v | ≤ | u | + | v | pentru orice 2 vectori u si v egalitatea avand loc numai daca u si v sunt coliniari si au acelasi sens .

Proprietetile adunarii :1. (u+v) +w = u+ (v+w) – asociativitate ;

2. u+v = v+u – comutativitate ;

3. exista 0 , a.i. oricare ar fi v , v+0 = 0+v = v – element neutru ;

4. oricare ar fi vectorul v exista (–v) a.i v+(-v)=(-v)+v=0 – element sincretic ; (- v) = opusul lui v , are aceeasi directie , lungime dar sensul e opus .

| u | + | v | = √(u²+v²+2uv*cos α) ;

2. Inmultirea unui vector cu un scalar

Fie α care apartine lui R , v- vector => αv se obtine din v astfel :

a) pentru α>0 vectorul αv are aceeasi directie cu v , acelasi sens si lungimea = α|v| ;

b) pentru α<0 vectorul αv are aceeasi directie cu v , sens opus acestuia si lungimea |α|*|v| ;

c) pentru α=0 => 0*v = 0 ;

Proprietatile inmultirii unui vector cu un scalar :Fie α , β apartin lui R , u,v = 2 vectori ;

2

A

C'

A'

B'

CB

D

E

A

F

B

C

1. α( βv ) = ( αβ )v ;

2. α( v+u ) = αv + αu ;

3. 1* (v) = v ;

4. 0* (v) = 0 ;

5. α 0 = 0 ; - Daca α=-1 vectorul (-v) se numeste opusul vectorului v si se obtine din acesta pastrandu-i directia si modulul , dar schimbandu-i sensul .

Teorema : 2 vectori nenuli sunt paraleli ( sau coliniari ) daca unul se obtine din celalalt prin inmultire cu un scalar nenul .

u,v ≠ 0

u || v <=> exista α apartinand lui R a.i. u = αv ;

Daca A',B',C', sunt mijloacele laturilor Δ ABC atunci AA'+BB'+CC'=0

Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele a doua laturi este egal cu semisuma bazelor ( EF=1/2(AB+DC));-Daca in rel. demonstrata trecem la norme ||EF||=1/2 (||AB|+|DC||)≤1/2(||AB||+||DC||);

-Egalitatea are loc<=> vectorii AB si CD sunt coliniari si de acelasi sens <=> AB || DC <=> ABCD – trapez ;

-In general FE ≤1/2(AB+DC) – intr-un patrulater ;

-Egalitatea are loc in trapez .

3

AD

M N

B C

A

C'B'

CA' B

A

M N

A' B C

G

Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele celor doua diagonale este egal cu semidiferenta bazelor ( MN=1/2(BC-AD));

Intr-un Δ ABC , M apartine BC a.i. MB/MC=k => AM=1/(k+1)AB-k/(k+1)AC ; - Caz particular MB=MC => mediana AM=1/2(AB+AC) ;

Fie G = c.g. Δ ABC , M – un punct in plan , atunci MA+MB+MC=3MG ;

Fie H= ortocentrul Δ inscris in C(O,r) , atunci HA+HB+HC=2HO ; H,G,O-coliniare si OH=3OG ; - Dreapta care contine aceste trei puncte ( c.c.circumscris – O , centrul de greutate – G si ortocentrul – H ) se numeste dreapta lui Euler .

Intr-un Δ , G=c.g. , M apartine lui AB , N apartine lui AC , si MN trece prin G => MB/MA + NC/NA =1 .

Teorema lui Menelaus si a lui Ceva

1.Teorema lui Menelaus

4

A

KB'C'

B A' C

O

B

A

xA xB

yA

P

x

y

yB

O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele A',B',C' . Atunci A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 .

Reciproca : Daca A' apartine lui BC , B' apartine lui CA , C' apartine lui AB si daca A',B',C' sunt situate doua pe laturi si unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 atunci punctele A',B',C' sunt coliniare .

2. Teorema lui Ceva

Se da Δ ABC si dreptele concurente AA',BB',CC' ≠ laturi atunci A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 .

Reciproca : Se da Δ ABC , A' apartine lui BC , B' apartine lui CA , C' apartine lui AB ≠ varfuri , situate pe laturi sau un punct pe o latura si doua pe prelungirile laturilor . Daca A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 => dreptele AA' , BB' , CC' sunt concurente .

OBSERVATIE !

1. Dreptele concurente A'A , B'B , C'C se numesc ceviene .

2. Reciproca Teoremei lui Ceva este utila in rezolvarea problemelor de concurenta .

Geometria analitica a dreptei

1. Geometria analitica a dreptei – distanta dintre doua puncte

5

x O

y

B

A

u

i

j

M

x O

y

B

A

x O

y

BM

u

A

AB=√[(xA-xB)²+(yA-yB)²]

2. Elemente de geometrie analitica

Se numeste versor al dreptei d un vector de lungime 1 , care are directia dreptei d . Daca A apartine lui d ii asociem un numar real , unic x , numit coordonata sa . Atunci OA=x*i . Daca x>0 atunci A este in sensul pozitiv al axei Ox . Daca x<0 atunci A este in sensul negativ al axei Ox .

Fie xOy un sistem de axe ortogonale . Fie i si j versorii axelor . Fie u un vector in plan . Orice vector u poate fi scris in mod unic u=xi+yj ;

AB = (xB-xA)i + (yB-yA)j ;

3. Modulul uni vector

u = xi + yj => |u| = √(x²+y²)

|AB|=||AB||=AB |u|=||u||=u

6

4. Suma a doi vectori

u=x1i+y1j v=x2i+y2j

u+v = (x1+x2)i+(y1+y2)j

5. Conditia de paralelism

u||v <=> x1/x2=y1/y2 , pt. x2,y2 ≠0

6. Conditia de coliniaritate a 3 puncte

A,B,C – coliniare <=> AB||AC => (x2-x1)/(x3-x1)=(y2-y1)/(y3-y1)

7. Conditia de perpendicularitate

u┴v <=> x1*x2+y1*y2 = 0

8. Coordonatele mijlocului unui segment

xM=(xA+xB)/2 yM=(yA+yB)/2

9. Coordonatele centrului de greutate al unui Δ

xG=(xA+xB+xC)/3 yG=(yA+yB+yC)/3

10. Ecuatia dreptei in plan

Graficul functiei de gradul I , f : R → R , f(x) = ax + b , cu a≠0 este o dreapta formata din punctele de coordonatele (x,y) unde y=ax+b . Orice dreapta este bine determinata de doua puncte distincte ale sale . - Daca a=0 , dreapta de ecuatie y=b este orizontala dusa prin b ;- Daca a≠0 dreapta de ecuatie y=ax+b este oblica ;- Mai exista dreapta verticala de ecuatie x=c .

11. Ecuatia dreptei care trece printr-un punct dat si are o directie data

Ecuatia dreptei care trece printr-un punct A(x0,y0) si are directia vectorului u=pi+qj este (x-x0)/p=(y-y0)/q , p,q ≠0

Daca p=0 => u=qj => d||Oy si dreapta este verticala cu ecuatia x=x0 Daca q=0 => u=pi => d||Ox si dreapta este orizontala cu ecuatia y=y0

7

A α

B

O x

y d

12. Coeficientul unghiular . Panta unei drepte .

Fie d o dreapta in sistemul de axe xOy . Unghiul α format de dreapta d cu sensul pozitiv al axei Ox se numeste coeficientul unghiular al dreptei d .

Dreapta d:y=mx+n are panta m=tg.α , unde α = unghiul format de dreapta d cu sensul pozitiv al axei Ox .

Ecuatia dreptei care trece printr-un punct dat A(x0,y0) si are panta data m , este y-y0=m(x-x0).

13. Conditia de paralelism a doua drepte

d1 : y=m1x+n1

d2 : y=m2x+n2

d1||d2 d1||d2 <=> m1=m2 ( au aceeasi panta )

14. Conditia de perpendicularitate a doua drepte

d1 : y1=m1x+n1

d2 : y2=m2x+n2

d1┴d2 <=> m1*m2 = -1

15. Ecuatia dreptei care trece prin 2 puncte date8

Ecuatia dreptei care trece prin 2 puncte date A,B = AB : (y-yA)/(yB-yA)=(x- -xA)/(xB-xA)

CONCLUZIE : Ecuatia generala a dreptei d : ax+by+c=0 unde a²+b²≠0 .

Impartirea segmentului AB in raportul lambda si mijlocul unui segment

Fie   două puncte distincte din plan. Punctul   împarte segmentul   în

raportul   dacă are loc egalitatea  .

Observaţii:1)   deoarece  .

2) Dacă   atunci  .

Vectorii   şi   sunt opuşi  .

3) Dacă  , atunci   (  este pe dreapta  , dar nu aparţine segmentului  ).

 şi   au acelaşi sens  .

Propoziţia 1. Dacă   sunt două puncte distincte din plan şi   împarte segmentul   în raportul  , atunci pentru orice punct  din plan are loc:

Corolar. Dacă   este mijlocul segmentului 

.

9

Proprietati ale operatiei de adunare a vectorilor

1. Comutativitatea:

,Din regula paralelogramului:

2. Asociativitatea:

S-a folosit regula triunghiului pentru:

 şi apoi si

10

3. Element neutru:

,

4. Opusul:

,

se numeşte opusul lui  .

Observaţii:

1) Existenţa opusului unui vector permite definirea scăderii a doi vectori liberi   şi   

prin   adică se adună  cu opusul lui  .

2) Relaţia lui Charles.

Pentru orice puncte   are loc relaţia  .

(adunarea prin regula triunghiului).

3) Regula poligonului

Este extinderea regulii triunghiului pentru determinarea sumei a   vectori  .

Vectori coliniari. Descompunerea dupa doi vectori dati

11

Definiţie: Doi vectori sunt coliniari dacă şi numai dacă unul din vectori este produsul celuilalt cu un număr real.

 şi   coliniari   astfel încât   sau   astfel încât  .

Observaţii:

1. Vectorul nul  , deci el este coliniar cu orice alt vector.

2. Geometric, doi vectori coliniari nenuli au aceeaşi direcţie.

3. Dacă doi vectori nenuli   şi   sunt coliniari, din  .

Teorema 1. Vectorii nenuli   şi   sunt coliniari dacă şi numai dacă există  ,

nenule simultan, astfel încât  .

Teorema 2. Dacă vectorii   sunt necoliniari, atunci pentru orice vector  ,

există    unic determinaţi astfel încât  .

Vectori liberi

Fiind dat un vector legat, există o infinitate de vectori legaţi echipolenţi cu acesta (au acelaşi sens şi acelaşi modul cu vectorul legat dat).

Definiţie: Se numeşte vector liber mulţimea tuturor vectorilor legaţi echipolenţi cu un vector legat dat.

- Vectorii liberi se notează cu litere mici:

- Fie   un vector legat dat. Vectorul liber  .

- Orice vector legat din   se numeşte reprezentant al vectorului liber  .

- Deoarece   este o mulţime de vectori normal ar fi să scriem  , dar vom scrie, prin

convenţie,  .

- Vectorul liber determinat de toţi vectorii legaţi nuli îl vom nota cu   şi se va numi vectorul nul.

Fie   un vector liber.

12

- Prin direcţie, sens şi lungime   ale vectorului liber   vom înţelege direcţia, sensul şi lungimea

comună tuturor vectorilor legaţi din  .

- Vom nota cu   lungimea sau norma lui  .

- Dacă   atunci vectorul liber de reprezentant   îl vom nota cu  .

- Dacă la vectorii legaţi prin egalitatea   se înţelege   şi  , la vectorii

liberi, egalitatea dintre   şi   unde   şi   are loc dacă şi numai dacă  .

- În concluzie vectorii liberi pot avea originea în orice punct şi reprezintă o mulţime de vectori echipolenţi cu un vector legat dat, pe când vectorii legaţi au o origine dată şi reprezintă un segment orientat.

- Se notează cu   mulţimea vectorilor liberi din plan.

Definiţie: Vectorul liber  , de normă  , se numeşte versor.

Definiţie: Doi vectori se numesc octogonali dacă direcţiile lor sunt perpendiculare.

Observaţie: Fie   un punct fixat din plan, numit origine.

Pentru orice vector liber  , există un singur punct  , astfel încât   (există un singur

vector legat cu originea în   care să fie reprezentant al vectorului liber  ).

Exemplificări:

1. Fie punctele   din plan.

Cele două puncte formează vectorul legat (segmentul orientat)  .

Dacă   sunt alte puncte din plan astfel încât  , atunci vectorul liber   

are ca reprezentanţi pe oricare dintre vectorii  .

2. Fie vectorii   şi   ca în desenul următor:

13

Ducând paralele la cele două direcţii ale vectorilor   şi  , se observă că dreptele sunt

perpendiculare   vectorii   şi   sunt ortogonali.

Coordonatele unui vector in plan

Fie   doi vectori ortogonali (au   şi direcţii perpendiculare).

Fie   un vector oarecare.

Din teorema: pentru doi vectori necoliniari  , 

cu   pentru  ,  cu  .

Această expresie se numeşte expresia analitică a vectorului  , iar numerele

reale   se numesc coordonatele euclidiene ale vectorului  .

Vom scrie  .

Dacă   şi  , atunci   si

Propoziţia 1. Dacă   şi   atunci   şi   sunt coliniari  .

Propoziţia 2. Dacă   atunci  .

Exercitii:

1. Fie   şi  . Să se determine   astfel încât  .

Rezolvare :

14

2. Se dau vectorii  ;  . Pentru ce valori ale lui 

,   ?

Rezolvare :

,

3. Să se determine   astfel încât vectorii  ,   să fie coliniari.

Rezolvare :

Vectorii   şi   sunt coliniari   astfel încât  .

Fie   cu   mijlocul laturii  şi  mijlocul laturii  . Atunci   şi   (teorema de caracterizare a liniei mijlocii într-un triunghi.

Rezolvare :

15

Din regula triunghiului:

6. Fie   şi   punctul său de greutate. Dacă   este un punct arbitrar din

planul triunghiului, atunci 

Rezolvare :

Fie   mijloacele laturilor  , respectiv  .

Deoarece   este centru de greutate  .Din propoziţia 1, pentru 

.

Deoarece   este mijlocul lui 16

6. Fie paralelogramul  , de centru  . Să se arate că pentru orice punct   din planul paralelogramului are loc 

Rezolvare :

Deoarece   este mijlocul lui  , respectiv 

7. Fie   două paralelograme cu diagonala   comună. Arătaţi că   este paralelogram.

Rezolvare :

Întâi vom demonstra un rezultat extrem de util în a arăta că un patrulater e paralelogram:

Un patrulater   este paralelogram  ,   punct din planul patrulaterului.

Fie   - paralelogram. Demonstrăm că  .

17

Aplicând regula triunghiului 

Dar   paralelogram 

Reciproc:

Dacă 

 - paralelogram.

Revenind la soluţia problemei:

Din si

18

- paralelogram.

8. Fie punctele   coliniare astfel încât  . Să se exprime

vectorul   cu ajutorul vectorului  .

Rezolvare :

Sensul vectorilor   şi   sunt opuse  .

9. Fie   şi   astfel încât  .

Determinaţi   pentru care .

Rezolvare :

Din regula triunghiului

19

Dar :

10. Fie   şi   astfel încât  .

Dacă   este un punct oarecare din plan, scrieţi vectorul   în funcţie de

vectorii  .

Rezolvare :

Dar

11.

Rezolvare :

20

12.

Rezolvare :

13.

Rezolvare :

14.

Rezolvare :

15.

Rezolvare :

21

16.

Rezolvare :

17.

22

Rezolvare :

18.

Rezolvare :

19. Se da ecuatia a dreptei 12x + 5y + 13 = 0. Sa se scrie ecuatia acestei drepte cu panta :

Rezolvare :

Rezolvam ecuatia dreptei in raport cu y si obtinem consecutiv:

20. Se da ecuatia a dreptei 12x + 5y + 13 = 0. Sa se scrie ecuatia acestei drepte normala :

Rezolvare :

21. Sa se determine punctul de intersectie al dreptelor x − y − 2 = 0 si x + y − 6 = 0.

23

Rezolvare :

22. Sa se scrie ecuatia dreptei care trece prin punctul A(2, 5) si este egal departata de punctele B(−1, 2) si C(5, 4).

Rezolvare :

23. Sa se scrie ecuatia dreptei ce trece prin punctul de coordonate (1; 3) si punctul de intersectie a dreptelor 2x + 3y - 5 = 0 si 5x - 4y-¡ 5 = 0.

Rezolvare :

24.

24

Rezolvare :

25.

Rezolvare :

26.

Rezolvare :

27.

Rezolvare :

28.25

Rezolvare :

29.

Rezolvare :

30.

Rezolvare :

31.

Rezolvare :

32.

26

Rezolvare :

33. Să se demonstreze că în patrulaterul MNPQ are loc relaţia

PNMQPQMN .

Rezolvare :

PNMQPQMN

PQMQPNMNN

P

M Q

Dar

MPNPMNPNMN (regula triunghiului în MNP)(1)

MPQPMQPQMQ ( regula triunghiului în MQP)(2)

Din (1) şi (2)

PQMQPNMN .

34. Să se determine perimetrul triunghiului ABC ale cărui vârfuri sunt A(-1,3), B(-2,0), C(0,3).

Rezolvare :

ACBCABP ABC .

103012 2222 ABAB yyxxAB 130320 2222 BCBC yyxxBC 13310 2222 ACAC yyxxAC

13101 ACBCABP ABC

27

35. În triunghiul ABC punctele M, N, P sunt mijloacele laturilor AB, BC, respectiv

AC. Să se arate că

ANAPAM .

Rezolvare :

Deoarece M, N, P sunt mijloacele laturilor AB, BC, respectiv AC MN şi NP sunt linii mijlocii în ABC

MN AP şi NP AM AMNP paralelogram

ANAPAM .

36.

Rezolvare :

37.

Rezolvare :

28

38.

Rezolvare :

39.

Rezolvare :

40.

29

Rezolvare :

41.

Rezolvare :

30

31

42.

Rezolvare :

43.

Rezolvare :

32

44.

Rezolvare :

45.

Rezolvare :

46.

33

Rezolvare :

47.

Rezolvare :

48.

Rezolvare :

34

49.

Rezolvare :

50.

Rezolvare :

35

36

In concluzie :

Un vector este reprezentat de obicei printr-un segment orientat de dreaptă (o

săgeată) având următoarele elemente:

direcție, pe care se manifestă mărimea vectorială respectivă (se numește

și dreapta-suport a vectorului);

sens, dat de sensul de manifestare a mărimii (sensul pe dreapta-suport);

punct de aplicație, reprezentând punctul în care se manifestă mărimea

fizică;

modul, proporțional cu intensitatea mărimii vectoriale respective.

Vectorul unitate se numește „versor”.

Ei sunt :

Vectori legați, caracterizați prin modul, direcție, sens și punct de aplicație

(exemplu: momentul forței în raport cu un pol);

Vectori alunecători, caracterizați prin modul, direcție și sens (exemplu:

forța pe dreapta-suport);

Vectori liberi, caracterizați prin: modul, sens și o direcție paralelă cu o

direcție dată.

Aplicatii in geometrie :

Multe probleme de geometrie pot fi rezolvate prin metoda vectorială. Se fixează

un punct numit origine, se introduc vectorii de poziție ale diverselor puncte

necesare rezolvării problemei. Se transcrie ipoteza problemei în formă vectorială,

formă care se transformă prin metode algebrice până, prin revenire la forma

geometrică, obținem concluzia dorită.

Pentru aceasta trebuie cunoscută transcrierea vectorială a unor proprietăți

geometrice fundamentale:

37

Doi vectori nenuli   și   sunt coliniari dacă și numai dacă 

Dacă   sunt trei vectori nenuli coplanari, atunci oricare dintre ei se

poate scrie ca o combinație liniară a celorlalți.

38