Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic - informatic.Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic - informatic. Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul efectiv de lucru este de 3 ore. La toate subiectele se cer rezolvri complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)1) S se determine , unde reprezint partea fracionar a numrului real x.2) S se gseasc o relaie independent de parametru ntre rdcinile ecuaiei: , mR.3) S se rezolve ecuaia: 4) Care este probabilitatea ca alegnd un numr din mulimea A acesta s fie divizibil cu 3:A 5) n sistemul cartezian de coordonate xOy se consider punctele A(2,, B(-1,1) i C(1,3). S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctul C i este paralel cu mediatoarea segmentului BC.6) tiind c x i c sin x= - s se calculeze sin 2x.Subiectul II (30 de puncte)1. Se consider sistemul , mR.a) S se calculeze determinantul matricei sistemului.b) S se rezolve sistemul n cazul n care m5.c) S se arate c sistemul este compatibil pentru orice valoare a lui m din R.2. Se consider mulimea G=.a) S se arate c are o structur de grup abelian.b) S se calculeze .c) S se demonstreze c grupul este izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor reale strict pozitive.

Subiectul III (30 de puncte)

1. Fie funcia f:RR, f(x)=.a) S se studieze continuitatea acestei funcii.b) S se studieze derivabilitatea funciei f n x=0.c) Fie g : g(x)=.S se calculeze limita irului , n1.2. Fie , xR.a) S se calculeze b) S se determine o relaie de recuren pentru .c) S se demonstreze c dac x atunci =0.

BAREM DE EVALUARE SI DE NOTARE Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10.

SUBIECTUL I (30 de puncte)1.= 2-=1=1-2p

2p1p

2.

-2-2+2=02p2p1p

3.x-404-x 0

Verificarea dac x=4 este soluie.1p1p1p2p

4.2x-1xp=2p2p1p

5.Panta mediatoarei segmentului AB =Panta paralelei prin C =Ecuaia paralelei prin C: 2y-3x-3=0.1p

1p

1p2p

6.cos x=sin 2x= 2 sinx cosxsin2x=2p1p

2p

SUBIECTUL II (30 de puncte)1.a)A=det A= -3m2p

3p

1.b)Pentru m=5, det A=0.Studiul compatibilitiiAflarea soluiei: x=, y=, z=, R.1p2p2p

1.c)Dac m5, det A0Aplicarea regulii lui Cramer i aflarea soluiei x=0, y=2, z=0.Pentru m=5 sistemul este compatibil conform punctului anterior1p3p1p

2.a)X() X()= X()Asociativitatea Comutativitatea Existena elementului neutru

1p1p1p1p

1p

2.b)A() A() ( inducie matematic)

3p2p

2.c).Demonstrarea injectivitiiDemonstrarea surjectivitiiDemonstrarea faptului c e morfism2p1p1p1p

SUBIECTUL III (30 de puncte)1.a) este mrginit

f este continu1p

3p1p

1.b)

2p

3p

1.c)

1p

2p

1p

1p

2.a)C3p

2p

2.b)

Finalizare

2p

2p

1p

2.c)x

Finalizare 1p1p

2p1p

Prof. Monica PETRE Liceul Pedagogic Tulcea