5

Varianta 1 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Pentru funcţia 5)(,: −=→ xxff RR , )4(f este egal cu ...

b) Imaginea funcţiei 1)(,}5;3{: −=→ xxff N , este mulţimea { }... c) Fie funcţia 10)(,: +−=→ xxff RR . Dintre valorile )0(f şi )1(f mai mare este ...

2. a) Soluţia reală a ecuaţiei 2)1(2 =+ x este egală cu ... b) Dintre elementele mulţimii }10;3{ −− soluţie pentru inecuaţia 072 ≥+x este ...

c) Valoarea de adevăr a propoziţiei: „Soluţia ecuaţiei 113 =−x este număr natural” este ...

3. a) Aria totală a unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 10 cm, 8 cm şi 6 cm este egală cu …cm2.

b) Volumul unui cub cu muchia de 2 cm este egal cu … cm3. c) Aria laterală a unui cilindru circular drept care are raza de 8 cm şi generatoarea de 12 cm este egală cu …π cm2.

4. Într-un con circular drept înălţimea este de 4 cm şi formează cu generatoarea un unghi de 60º. a) Lungimea razei cercului de la baza conului este egală cu ... cm. b) Aria secţiunii axiale este egală cu ... cm2. c) Volumul conului este egal cu …π cm3. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Determinaţi numerele reale x şi y ştiind că 513452 22 ≤+−+++ yyxx .

b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia 20084)1(9)2)(2( 2 ⋅−+≤+−+ xxx .

c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale sistemul de ecuaţii

−=−

=+

722

3

1632

yx

yx

.

2. Fie funcţiile xxff −=→ 3)(,: RR şi 32

)(,: −=→ xxgg RR

a) Reprezentaţi graficul funcţiei g în sistemul de axe perpendiculare xOy. b) Rezolvaţi ecuaţia 2)3())(2)()(3( xxgxf −=+− . c) Arătaţi că )]100(....)6()4()2([)50(.....)5()4( ggggfff ++++−<+++ .

3. În figura alăturată ABCD este dreptunghi iar dreapta OA este perpendiculară pe planul

dreptunghiului. Se dau: 6=AB cm, 34=BC cm, 4=OA cm iar punctele E şi F sunt

mijloacele segmentelor OC şi OD. a) Calculaţi aria patrulaterului ABEF.

b) Calculaţi volumul piramidei OBCD. c) Aflaţi valoarea sinusului unghiului format de dreapta BF cu planul (ADC).

E

B

A

O

C

D

F

2

Varianta 2

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. Fie ( ) 3 , : +=→ xxff RR

a) Calculând ( )5−f obţinem numărul egal cu ... b) Punctul )0,(xP aparţine reprezentării grafice a funcţiei f . Valoarea lui x este egală cu …

c) Valoarea de adevăr a propoziţiei: „Punctul )1,5(Q aparţine graficului funcţiei f ” este ....

2. a) Soluţia reală a ecuaţiei 323 =−x este egală cu ...

b) Dacă perechea ),1( y este soluţie a sistemului de ecuaţii:

=−=+

02

3

yx

yx, atunci y este egal cu ...

c) Soluţia inecuaţiei R∈≤+ xx , 72 , este intervalul ...

3. Un cub are muchia de 6 cm. a) Diagonala cubului are lungimea egală cu ... cm. b) Aria totală a cubului este egală cu ... cm2. c) Volumul cubului este egal cu … cm3.

4. Un cilindru circular drept are raza bazei de 6 cm şi generatoarea de 15 cm. a) Aria laterală a cilindrului este egală cu ...π cm2. b) Volumul cilindrului este egal cu …π cm3. c) Perimetrul secţiunii axiale este egal cu ... cm. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Fie două numere naturale care au media aritmetică egală cu 39 şi al căror raport este 0,04. a) Aflaţi cele două numere. b) Calculaţi media geometrică a celor două numere. c) Cât la sută din numărul mare reprezintă numărul mic?

2. Se dă funcţia RR →:f dată de legea ( ) 23 −= xxf .

a) Reprezentaţi graficul funcţiei într-un sistem de axe perpendiculare xOy; b) Determinaţi valoarea numărului real a ştiind că punctul ( )6, −aaA aparţine reprezentării

grafice a funcţiei f. c) Rezolvaţi în R inecuaţia ( ) 01 ≥− xf .

3. a) Desenaţi un trunchi de con circular drept.

Un trunchi de con circular drept are raza bazei mari de 9 cm, raza bazei mici de 3 cm şi înălţimea de 8 cm.

b) Calculaţi aria laterală a trunchiului. c) Calculaţi volumul conului din care provine trunchiul de con.

3

Varianta 3 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. Se dă funcţia ( ) 3 , : −=→ xxff RR

a) Calculând ( )1−f se obţine numărul egal cu … b) Punctul )1,(aA aparţine graficului funcţiei f . Valoarea lui a este egală cu ...

c) Graficul funcţiei f intersectează axa Oy în punctul ( )...;0P

2. Se dă expresia ( ) R∈−= xxxE , 13 .

a) Soluţia reală a ecuaţiei ( ) 7−=xE este egală cu …

b) Soluţia pozitivă a ecuaţiei ( ) 7=xE este egală cu …

c) Soluţia inecuaţiei ( ) 7−≥xE este intervalul ...

3. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile bazei de 3 cm şi 4 cm, iar înălţimea de 5 cm. a) Aria laterală a paralelipipedului este egală cu ... cm2. b) Volumul paralelipipedului este egal cu ... cm3. c) Diagonala paralelipipedului are lungimea egală cu … cm.

4. Un con circular drept are generatoarea de 13 cm şi raza bazei de 5 cm. a) Înălţimea conului este egală cu ... cm. b) Aria laterală a conului este egală cu …π cm2. c) Volumul conului este egal cu …π cm3. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Rezolvaţi în R ecuaţia ( ) ( )22 12214 −+=+ xxx

b) Rezolvaţi în RR × sistemul de ecuaţii ( )

=−+

=+−+

8135

03

1

2

1

yx

yx.

c) Determinaţi elementele mulţimii ( ) ( ){ }62413 ≥−−+∈= xxxA N .

2. Se dă funcţia ( ) ( ) RRR ∈−++=→ babxaxff , , 11 , :

a) Determinaţi numerele reale a şi b ştiind că punctele )2,1( −A şi )2,3(B aparţin reprezentării

grafice a funcţiei f. b) Pentru a = 1 şi b = – 3, trasaţi graficul funcţiei f.

c) Pentru a = 1 şi b = – 3 aflaţi valoarea tangentei unghiului format de reprezentarea grafică a funcţiei f cu axa Oy.

3. a) Desenaţi o piramidă patrulateră regulată.

O piramidă patrulateră regulată VABCD, cu latura bazei de 12 cm şi înălţimea de 8 cm se secţionează cu un plan paralel cu baza dus prin mijlocul înălţimii.

b) Calculaţi aria laterală a piramidei. c) Volumul trunchiului de piramidă format.

4

Varianta 4

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. Fie expresia ( ) 32 += xxE .

a) Valoarea lui ( )xE pentru 5=x , este egală cu ...

b) Soluţia ecuaţiei ( ) 7=xE este egală cu ...

c) Valoarea de adevăr a propoziţiei: „există x real astfel încât ( ) 1−=xE ” este ...

2. Fie funcţia { } ( ) 23,1;0;2: −=→− xxff R a) Calculând )2(−f obţinem numărul egal cu ...

b) Imaginea funcţiei f este egală cu mulţimea {...} c) Perechea ( )y;0 aparţine mulţimii ce reprezintă graficul funcţiei f dacă y este egal cu ...

3. Un con circular drept are raza bazei de 6 cm şi înălţimea de 8 cm. a) Volumul conului este egal cu ...π cm3. b) Lungimea generatoarei conului este egală cu ... cm c) Aria totală a conului este egală cu ...π cm2.

4. Fie ABCDA’B’C’D’ o prismă dreaptă cu baza pătrat. Latura bazei este de 6 cm şi volumul prismei este egal cu 432 cm3.

a) Lungimea muchiei AA’ este egală cu ... cm. b) Aria laterală a prismei este egală cu ... cm2. c) Lungimea diagonalei AC’ este egală cu ... cm SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Fie RR →:f , 553

)( +−= xxf , RR →:g , 25

2)( −= xxg .

a) Calculaţi valoarea produsului )0()0( gf ⋅ .

b) Punctul ( )4,xP aparţine reprezentării grafice a funcţiei f . Aflaţi valoarea lui x .

c) Reprezentaţi grafic cele două funcţii în acelaşi sistem de axe perpendiculare xOy .

2. Tatăl, mama şi fiul au împreună 90 de ani. Se ştie că tatăl este cu patru ani mai în vârstă decât mama, iar mama este cu 22 ani mai în vârstă decât fiul.

a) Aflaţi diferenţa de vârstă dintre tată şi fiu. b) Aflaţi vârstele celor trei membri ai familiei. c) Ce procent din vârsta tatălui reprezintă vârsta fiului?

3. a) Desenaţi un trunchi de piramidă triunghiulară regulată.

Un trunchi de piramidă triunghiulară regulată ABCA’B’C’ are latura bazei mari AB de 10 cm,

perimetrul bazei mici de 24 cm şi volumul trunchiului 3244 cm3.

b) Aflaţi înălţimea trunchiului de piramidă. c) Dacă O’ este centrul bazei mici aflaţi valoarea tangentei unghiului format de planele (O’AB) şi (ABC).

5

Varianta 5 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Soluţia reală a ecuaţiei 932 =+− x este egală cu … b) Soluţia naturală a inecuaţiei 652 <+x este mulţimea { }...

c) Soluţia întreagă negativă a ecuaţiei 9=x este egală cu …

2. Fie { } xxff −=→−−− 3)(,1,0,1,2,3: R

a) Valoarea funcţiei f pentru 3−=x este numărul egal cu … b) Dacă punctul A (1; y) aparţine reprezentării grafice a funcţiei f, atunci valoarea lui y este egală cu ... c) Dacă 5)( −=xf , atunci x este egal cu ...

3. O prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral ABCA′B′C′ are aria bazei Ab = 316 m2 şi volumul

V = 380 m3.

a) Lungimea înălţimii prismei este egală cu ... m. b) Lungimea laturii bazei prismei este egală cu ... m. c) Aria laterală a prismei este egală cu ... m2.

4. O piramidă hexagonală regulată VABCDEF are înălţimea VO = 8 m şi diagonala bazei AD =10 m a) Lungimea segmentului AB este egală cu … m. b) Aria bazei este este egală cu …m2

c) Volumul piramidei este egal cu … m3. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Fie funcţia RR →:f , )1(5)( fxxf −+−= . a) Calculaţi )1(f .

b) Dacă RR →:f , 3)( +−= xxf şi RR →:g , 3)( −= xxg , aflaţi măsura unghiului format

de reprezentările grafice ale funcţiilor f şi g. c) Dacă RR →:h , )()(3)( xgxfxh += , calculaţi suma )2008()2()1( hhhS +++= ⋯ , unde f

şi g sunt funcţiile de la punctul b).

2. Fie ecuaţiile 02 =+− yx şi R∈=++ yxyx ,,012 . a) Arătaţi că perechea )3,1( − este soluţie a ecuaţiei 012 =++ yx .

b) Aflaţi soluţia sistemului format de cele două ecuaţii. c) Verificaţi dacă punctele )3,1(),1,0(),1,1( −−− CBA sunt coliniare.

3. a) Desenaţi un con circular drept.

Fie un con circular drept, cu lungimea generatoarei egală cu diametrul bazei şi aria laterală Al =72⋅π m2

b) Aflaţi raza bazei conului. . c) Dacă raza bazei conului este 6=r m şi triunghiul VAB este o secţiune axială a conului, determinaţi poziţia punctului Q aflat pe înălţimea VO a triunghiului VAB astfel încât acesta să fie la egală distanţă de punctele V, A şi B.

6

Varianta 6 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. Fie x şi y reale astfel încât 6−=+ yx a) yx 22 + este egal cu ...

b) Dacă 10=x , atunci y este egal cu ... c) Dacă yx 2= , atunci y este egal cu ...

2. Fie funcţia RR →:f , xxf −= 2)(

a) Valoarea funcţiei f pentru 2=x este egală cu ...

b) Dacă 2)( =xf atunci x este egal cu numărul real ... c) Valoarea de adevăr a propoziţiei “ )2(f este un număr raţional” este ...

3. Dreptunghiul ABCD cu π8=AB m, 4=AD m, reprezintă desfăşurarea suprafeţei laterale a unui cilindru circular drept.

a) Aria laterală a cilindrului este egală cu ...π m2. b) Dacă AD este generatoarea cilindrului, atunci lungimea razei bazei cilindrului este ... m. c) Dacă AD este generatoarea cilindrului, atunci volumul cilindrului este ... π m3.

4. În figura alăturată, VABC este o piramidă triunghiulară cu baza triunghiul echilateral ABC. Se ştie că 12=AV cm, măsura unghiului AVB este de 1200, iar punctul T este mijlocul segmentului AB.

a) Măsura unghiului VBA este ...0. b) Lungimea segmentului TV este ... cm. c) Lungimea laturii triunghiului ABC este egală cu … m. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Fie funcţia RR →:f , 142)( += xxf . a) Dacă )1(1)( fxfx +=+ , aflaţi numărul real x.

b) Reprezentaţi graficul funcţiei într-un sistem de axe perpendiculare xOy. c) Dacă [ ]2,2−∈x , arătaţi că [ ]18,10)( ∈xf .

2. Un bulevard este luminat de 265 de becuri care se află pe felinare cu 3 becuri sau cu 5 becuri. a) Arătaţi că numărul de felinare cu 3 becuri este un număr multiplu de 5. b) Dacă sunt 61 de felinare, aflaţi câte felinare cu 3 becuri sunt pe bulevard. c) Arătaţi că pe acest bulevard nu pot fi mai mult de 88 de felinare.

3. a) Desenaţi o prismă triunghiulară dreaptă cu baza triunghiul echilateral.

Fie ABCA’B’C’ o prismă triunghiulară dreaptă cu baza triunghiul echilateral ABC, înălţimea 1'=BB cm şi măsura unghiului BOB’ este egală cu 900, unde { }OCAAC =∩ '' .

b) Calculaţi lungimea segmentului OB. c) Calculaţi volumul prismei ABCA’B’C’.

7

Varianta 7 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. Fie funcţia { } xxff 2)(,1,0,1: =→− R .

a) Valoarea funcţiei f pentru 1−=x este egală cu ... b) Mulţimea valorilor funcţiei este egală cu {...}. c) Valoarea de adevăr a propoziţiei ”Reprezentarea grafică a funcţiei f este o dreaptă” este ...

2. a) Dacă 352 −=− yx şi 1=x , atunci y este egal cu ...

b) Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei 02008)2( =−x este {...}

c) Mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei 53≥+− x este intervalul ...

3. Un cilindru circular drept are diametrul bazei de 10 cm şi generatoarea de 8 cm. a) Raza bazei cilindrului are lungimea egală cu ... cm. b) Volumul cilindrului este egal cu ...π cm3. c) Diagonala secţiunii axiale a cilindrului are lungimea egală cu .... cm.

4. O prismă hexagonală regulată ABCDEFA’B’C’D’E’F’ are latura bazei 6=AB cm, şi înălţimea 6'=AA cm.

a) Aria laterală a prismei este egală cu ... cm2. b) Distanţa de la punctul E’ la planul (ABC) este egală cu ... cm. c) Măsura unghiului format de planele (A’AC) şi (ABC) este de ... 0. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Fie numerele reale a şi b, astfel încât 10=+ ba şi .16=ab a) Calculaţi 22 2 baba ++ .

b) Calculaţi ( )2ba − .

c) Determinaţi numerele reale a şi b care îndeplinesc condiţiile date.

2. Fie funcţia RR →:f , .,42)( R∈−= mmxxf a) Ştiind că punctul )4,2(A aparţine reprezentării grafice a funcţiei f, determinaţi valoarea

numărului real m. b) Pentru m = 2, trasaţi graficul funcţiei f. c) Dacă m = 2, calculaţi produsul )2008()2007()0()2007()2008( fffff ⋯⋯−− .

3. a) Desenaţi o piramidă patrulateră regulată VABCD.

O piramidă patrulateră regulată VABCD cu baza ABCD, are latura bazei 12=AB cm şi înălţimea 8=VO cm, unde O este centrul bazei.

b) La ce distanţă de vârful piramidei secţionăm piramida cu un plan paralel cu baza astfel încât ariile laterale ale celor două corpuri formate să fie egale?

c) Dacă M aparţine segmentului AD astfel încât 4

ADAM = , calculaţi distanţa de la M la planul

(VBC).

8

Varianta 8

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Soluţia reală a ecuaţiei 25 −=−x este egală cu …

b) Mulţimea soluţiilor naturale ale inecuaţiei 2

113 <+x este egală cu { }...

c) Dacă 3=x şi 0354 =+− yx , valoarea lui y este egală cu ...

2. Fie funcţia { } ( ) 2,2,1,0: +=→ xxff N .

a) Imaginea funcţiei f este mulţimea egală cu { }...

b) Valoarea de adevăr a propoziţiei “Punctul ( )3,1A aparţine reprezentării grafice a funcţiei f ”

este … c) Suma ( ) ( ) ( )210 fff ++ este egală cu …

3. Fie cubul '''' DCBABCDA cu 5=AB cm. a) Diagonala cubului are lungimea egală cu ... cm b) Măsura unghiului format de dreapta 'AB cu planul ( )ABC este de …0

c) Volumul cubului este egal cu … cm3.

4. Unghiul format de generatoarea unui con circular drept cu planul bazei are măsura egală cu 60º şi generatoarea are lungimea de 8 cm

a) Înălţimea conului are lungimea egală cu … cm b) Aria secţiunii axiale este egală cu … cm2 c) Aria laterală a conului este egală cu … cm2 SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. După două creşteri consecutive de preţuri, prima de 15% şi a doua de 12%, preţul unui obiect a crescut cu 144 lei.

a) Aflaţi preţul iniţial al obiectului. b) Aflaţi preţul după prima scumpire. c) Ce procent din preţul iniţial îl reprezintă preţul final?

2. a) Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia 18

165

9

2

2

12 +=+−+ xxx

b) Rezolvaţi sistemul de ecuaţii

=+−=−83

106

yx

yx

c) Pentru 4=a să se reprezinte grafic dreapta soluţiilor ecuaţiei 02 =−+ ayx .

3. a) Desenaţi un trunchi de piramidă patrulateră regulată '''' DCBABCDA .

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată '''' DCBABCDA are diagonala bazei mari

218=AC cm, latura bazei mici 6'' =BA cm şi aria secţiunii diagonale egală cu 296 cm. b) Aflaţi volumul trunchiului de piramidă. c) Calculaţi lungimea înălţimii piramidei din care provine trunchiul.

9

Varianta 9 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. Fie funcţia .2)(,: −=→ xxff RR

a) Valoarea funcţiei f pentru 2=x este egală cu ... b) Valoarea de adevăr a propoziţiei “Punctul ( )1,3A aparţine reprezentării grafice a funcţiei f ”

este … c) Intersecţia reprezentării grafice a funcţiei f cu axa Ox este punctul A(…;0).

2. a) Soluţia reală ecuaţiei 423 =−x este egală cu … b) Fie ecuaţia 023 =−− xy . Pentru 1=x , valoarea lui y este egală cu …

c) Soluţia sistemului

=+=+

143

102

yx

yx este perechea ( ... , ... ).

3. a) Un cub are muchia de lungime 7 cm. Diagonala cubului are lungimea de … cm. b) O piramidă are aria bazei egală cu 20 cm2 şi volumul egal cu 40 cm3. Înălţimea piramidei are lungimea egală cu … cm.

c) Un con circular drept are generatoarea de 13 cm şi inălţimea de 12 cm. Raza bazei conului are lungimea egală cu … cm.

4. În figura alăturată, dreapta PO este perpendiculară pe planul α şi 24== OQPO cm .

a) Unghiul dintre dreapta PQ şi planul α are măsura de …0 b) Unghiul dintre planele α şi (QOP) are măsura …0.

c) Lungimea segmentului PQ este egală cu … cm. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Fie funcţia .,,)(,: RRR ∈+=→ babaxxff

a) Determinaţi a şi b, ştiind că reprezentarea grafică a funcţiei f intersectează axele de coordonate în punctele )2,0(A şi )0,3(−B .

b) Reprezentaţi grafic funcţia ( ) 23

2 += xxf într-un sistem de axe perpendiculare xOy.

c) Calculaţi distanţa de la originea sistemului de perpendiculare xOy la reprezentarea grafică a

funcţiei RR →:f , ( ) 23

2 += xxf .

2. Fie m un număr real şi ecuaţia ( ) ,012 =+− mxm unde .R∈x

a) Determinaţi soluţia reală a ecuaţiei pentru 2−=m . b) Calculaţi valorile parametrului real m pentru 1−=x .

c) Rezolvaţi ecuaţia: ( ) ( ) ( ) 92123 22 +−=++− xxx .

3. a) Desenaţi un paralelipiped dreptunghic.

10 A

B D C

P

b) Paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ are 53'=AA cm, 6=AB cm, 3=BC cm.

Punctul O este mijlocul segmentului BD, iar punctul M este mijlocul segmentului AB. Demonstraţi că dreptele OM şi A’B sunt perpendiculare.

c) Calculaţi valoarea tangentei unghiului dintre planele (A’DM) şi (D’DM ).

Varianta 10

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. Fie ecuaţia ,0322 2 =−− aaxx unde a şi x sunt numere reale.

a) Dacă 1−=x , atunci a este egal cu ... b) Dacă 0=a , atunci x este egal cu ... c) Soluţia reală a ecuaţiei 032 =−x este egală cu ...

2. a) Valoarea de adevăr a propoziţiei „Punctul )1,1(A aparţine reprezentării grafice a funcţiei 2)(,: +−=→ xxff RR ” este ...

b) Dacă 2=x , în ecuaţia 2x + y – 4 = 0 , y este egal cu ... c) Dacă ,5=y în ecuaţia 042 =−+ yx , x este egală cu ...

3. Secţiunea axială a unui cilindru circular drept cu raza de 3 cm este un dreptunghi cu aria de 24 cm².

a) Generatoarea cilindrului este egală cu … cm; b) Aria totală este egală cu …π cm². c) Volumul cilindrului este egal cu …π cm³ .

4. Într-o prismă triunghiulară regulată dreaptă muchia bazei are lungimea de 4 cm, iar muchia laterală are lungimea de 6 cm.

a) Aria bazei este egală cu ... cm2; b) Aria laterală a prismei este egală cu ... cm2; c) Volumul prismei este egal cu ... cm3. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Un gospodar are în ogradă de două ori mai multe găini decât oi. Gospodarul vinde 10 găini şi cumpără 15 oi, astfel încât numărul găinilor devine egal cu numărul oilor. Să se afle:

a) Câte oi a avut iniţial gospodarul. b) Câte găini a avut gospodarul la început. c) Câte găini şi câte oi are acum gospodarul.

2. Fie funcţiile ( ) aaxxff 4,: −=→ RR , unde a este număr real, ( ) 5,: +−=→ xxgg RR şi punctul )4,2(M situat pe dreapta care reprezintă graficul funcţiei f.

a) Arătaţi că 2−=a . b) Pentru 2−=a , reprezentaţi grafic funcţiile f şi g, în acelaşi sistem de axe perpendiculare xOy

c) Calculaţi aria triunghiului determinat de axa ordonatelor şi dreptele care reprezintă graficele funcţiilor f şi g.

3. În figura alăturată, AP este pependiculară pe planul triunghiului isoscel ABC. Se dă 6== ACAB cm,

11

36=BC cm, 3=AP cm şi punctul D, mijlocul segmentului BC.

a) Completaţi pe foaia de teză desenul cu segmentele AD şi PD. b) Calculaţi distanţa de la punctul P la dreapta BC.

c) Calculaţi măsura unghiului format de dreapta AC cu planul (PAD). Varianta 11

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Soluţia reală a ecuaţiei 453 =−x este egală cu ... b) Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei 0)2( 2 =−x este egală cu { }...

c) Mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei 0315 <− x este intervalul ...

2. Fie funcţia 23)(,: −=→ xxff RR .

a) Valoarea funcţiei f pentru 1=x este egală cu ... b) Dacă 4)( =xf , atunci x este egal cu ...

c) Valoarea de adevăr a propoziţiei „Punctul ( )1,1M aparţine reprezentării grafice a funcţiei f ”

este ...

3. ABCD este un tetraedru cu toate muchiile egale şi de lungime 23 cm. a) Apotema tetraedrului este egală cu ... cm. b) Aria unei feţe a tetraedrului este egală cu ... cm2

c) Aria totală a tetraedrului este egală cu ... cm2.

4. Secţiunea axială a unui con circular drept este un triunghi echilateral cu latura de lungime 6 cm. a) Raza bazei conului are lungimea egală cu ... cm. b) Măsura unghiului dintre o generatoare şi planul bazei conului este egală cu ... 0. c) Aria laterală a conului este egală cu ...π cm2. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Fie funcţia ( ) 32,: −=→ xxff RR .

a) Reprezentaţi grafic funcţia f într-un sistem de axe perpendiculare xOy. b) Determinaţi funcţia ( ) ( ) xxfxgg −+=→ 2,: RR .

c) Determinaţi coordonatele punctului care aparţine reprezentării grafice a funcţiei g pentru care abscisa este egală cu opusul ordonatei.

2. a) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia: ( ) ( )( ) ( ) 2222 3132212 xxxxxx −−=+−++− .

b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale inecuaţia: ( )

35

235

32 −−≤+− xx

.

c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale sistemul de ecuaţii:

=+−+

+−

=+−+

+−

21

363

325

03

2

32

1

yx

x

yx

yx

x

yx

3. a) Desenaţi un cilindru circular drept.

Fie un cilindru circular drept cu aria bazei de 36π cm2 şi volumul de 540π cm3. b) Calculaţi înălţimea cilindrului.

12

c) Un con cu raza bazei de 15 cm şi înălţimea de 6 cm este plin cu apă. Dacă se toarnă toată apa din con în cilindru, până la ce înălţime se ridică apa în cilindru?

Varianta 12 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Soluţia reală a ecuaţiei 75 −=+x este egală cu ... b) 08 =+x , dacă valoarea lui xeste egală cu …

c) Inecuaţia 042 ≤−x are ca soluţie intervalul …

2. Fie funcţia RR →:f , 32)( −= xxf .

a) Valoarea funcţiei f pentru 2=x este egală cu … b) Dacă ( ) 0=xf , atunci valoarea lui x este egală cu… . c) Soluţia inecuaţiei 0)( >xf , este intervalul …

3. Fie '''' DCBABCDA un cub cu muchia egală cu 10 cm.

a) Lungimea diagonalei cubului este egală cu ... cm. b) Volumul cubului este egal cu ...cm3 . c) Tangenta unghiului dintre dreapta CA' şi planul ( )ABCD are valoarea… .

4. Un con circular drept are raza egală cu 5 cm şi generatoarea egală cu 13 cm. a) Aria laterală a conului este egală cu ...π cm2. b) Aria secţiunii axiale a conului este egală cu ... cm2. c) Volumul conului este egal cu ...π cm3. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Rezolvaţi:

a) 31275 =+⋅ x

b)

−=−

=−

2253

2527

yx

yx

c) ( ) yxxyyx +=+− 22 2

2. Fie funcţia ( ) baxxff +=→ ,: RR , ., R∈ba

a) Determinaţi valorile lui a şi b ştiind că punctele ( ) ( )0,2,4,2 −BA aparţin reprezentării grafice a

funcţiei f.

b) Pentru 2,1 == ba , reprezentaţi graficul funcţiei f într-un

sistem de axe perpendiculare xOy. c) Determinaţi distanţa de la punctul O la dreapta AB .

3. În figura alăturată ABCD este un tetraedru cu toate muchiile

egale şi de lungime 6 cm, iar punctul M este mijlocul

segmentului CB.

a) Completaţi pe foaia de teză desenul cu segmentul AM . A

B

C

D

M

13

b) Calculaţi volumul tetraedrului. c) Determinaţi sinusul unghiului dintre dreptele AM şi BD.

Varianta 13 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. Fie funcţiile RR →:f , 3)( −= xxf şi RR →:g , xxg −= 1)( . a) Produsul )5()5( gf este egal cu ... . b) Punctul )3,(aA aparţine reprezentării grafice a funcţiei f dacă valoarea lui aeste egală cu … . c) Punctul ),2( bB aparţine reprezentării grafice a funcţiei g dacă valoarea lui b este egală cu … .

2. a) Sistemul de ecuaţii

=+=

112

3

yx

x are soluţia (…, …).

b) Soluţiile ecuaţiei 722 2 =x sunt … şi …

c) Mulţimea soluţiilor inecuaţiei 03 ≤− x este intervalul …

3. În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept cu raza bazei, 5=R cm şi generatoarea, 3'=AA cm.

a) Aria dreptunghiului '' AABB este egală cu … cm2

b) Aria laterală a cilindrului este egală cu …π cm2 c) Volumul conului cu vârful în mijlocul segmentului AB şi bază

cercul de diametru '' AB este egal cu …π cm3.

4. a) Aria totală a unui cub cu muchia de 7 cm este egală cu … cm2 b) Lungimea diagonalei unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 3 cm, 4 cm şi 12 cm

este egală cu ... cm. c) Fie o prismă cu aria bazei egală cu 25 cm2 şi volumul 150 cm3. Înălţimea prismei este

egală cu ... cm. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Într-un coş sunt 104 mere şi portocale. După ce Radu a mâncat 4 mere şi 4 portocale, în coş au rămas de trei ori mai multe mere decât portocale. a) Câte mere erau în coş? b) Câte portocale au rămas în coş după ce Radu a mâncat 4 portocale? c) Ce procent din numărul merelor rămase l-ar reprezenta numărul portocalelor dacă Radu ar

mânca doar 6 mere şi nici o portocală?

2. a) Rezolvaţi în R ecuaţia ( ) ( )( ) ( ) 9533312 2 −−=−+−+ xxxxx

b) Verificaţi dacă perechea de numere )3,6(− este soluţie a ecuaţiei 353 =− yx

c) Rezolvaţi în R inecuaţia : 14

53

2

1

7

3 +≥−−− xxx

3. Fie '''' DCBABCDA un trunchi de piramidă patrulateră regulată are latura bazei mari 20=AB

cm, 58'=AB cm şi 'AB este perpendiculară pe 'BB .

A’

B A

B’

14

a) Calculaţi volumul trunchiului de piramidă. b) Aflaţi valoarea tangentei unghiului dintre dreapta 'AA şi planul ABCD. c) Calculaţi aria laterală a piramidei din care provine trunchiul .

Varianta 14 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. Fie ecuaţia 052 =+− yx a) Dacă 3=x , atunci y este egal cu … b) Dacă 1−=y , atunci x este egal cu …

c) Perechea de numere ( )a,1 este soluţie a ecuaţiei, dacă valoarea lui a este egală cu …

2. Fie mulţimea { }195311 ≤+≤−∈= xxA R

a) Scrisă ca interval, mulţimea A este egală cu … b) Cel mai mare număr natural din mulţimea A este… . c) Numărul numerelor întregi din mulţimea A este egal cu …

3. a) Volumul unui cub cu diagonala 36 cm este egal cu …cm3.

b) Aria totală a unui tetraedru cu toate muchiile egale şi de lungime 4 cm este egală cu …cm2. c) Aria totală a unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile 1 cm, 2 cm şi respectiv 3 cm este

egală cu … cm2.

4. a) Aria laterală a unui cilindru circular drept cu raza de 7 cm şi generatoarea de 4 cm este egală cu …π cm2.

b) O prismă hexagonală regulată dreaptă are latura bazei de 10 cm şi înălţimea de 112 cm. Diagonala unei feţe laterale are lungimea egală cu … cm.

c) Volumul unui con cu raza bazei de 8 cm şi înălţimea de 6 cm este egal cu …π cm3. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Suma a două numere a şi b este 25 şi diferenţa lor este 11. a) Aflaţi cele două numere. b) Calculaţi 22ba . c) Dacă 7,18 == ba , calculaţi raportul dintre media geometrică şi media aritmetică a celor

două numere.

2. Fie funcţia RR →:f , R∈+= babaxxf ,,)( . a) Determinaţi valorile lui a şi b ştiind că 3)1( −=−f şi punctul )1,1( −B aparţine reprezentării

grafice a funcţiei . b) Reprezentaţi într-un sistem de axe perpendiculare xOy graficul funcţiei RR →:f , .2)( −= xxf

c) Determinaţi punctul de pe reprezentarea grafică a funcţiei f de la punctul b) care are ordonata egală cu dublul abscisei..

3. Fie ''' CBABCA o prismă triunghiulară regulată dreaptă cu înălţimea 'AA , egală cu 12 cm.

A’ C’

B’

A C

B

15

a) Completaţi figura cu segmentul CB' b) Ştiind că distanţa de la punctul 'O , mijlocul segmentului CB ' , la punctul O, centrul bazei

ABC, este 10 cm, aflaţi aria bazei. c) Calculaţi cosinusul unghiului dintre dreapta 'AO şi planul ABC.

Varianta 15 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Fie funcţia { } R→− 1,0,1:f , ( ) 2xxf = . Imaginea funcţiei f este mulţimea { }... .

b) Reprezentarea grafică a funcţiei ( ) 63,: −=→ xxff RR , intersectează axa Ox în punctul de

coordonate ( )....,...

c) Fie funcţia ( ) 23,: +=→ xxff RR . Mulţimea valorilor lui x pentru care ( ) 3≤xf este ...

2. a) Mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei 83 +x > x5 , este intervalul ... b) Scrisă ca interval, mulţimea { }5>−∈= xxA R este egală cu …

c) Soluţia reală a ecuaţiei 2

1213 +=+ xx este numărul ...

3. O piramidă patrulateră regulată are latura bazei egală cu 4 cm şi înălţimea egală cu 8 cm. a) Aria bazei este egală cu … cm2. b) Volumul piramidei este egal cu …cm3. c) Apotema piramidei are lungimea egală cu …cm.

4. a) Volumul unui cub cu aria totală de 54 cm2 este egal cu … cm3. b) Secţiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu latura de 10 cm. Volumul cilindrului este egal cu …π cm3.

c) O prismă hexagonală regulată dreaptă are toate feţele laterale pătrate de latură 36 cm. Aria

totală a prismei este egală cu …cm2. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Se dă sistemul de ecuaţii:

( ) ( ) ( )( )

−=+++−=++−

523

3323 222

yx

yxxyx

a) Arătaţi că ( ) ( ) ( )( ) 22463323 222 ++−=−+−−++− yxyxxyx .

b) Rezolvaţi sistemul de ecuaţii.

c) Dacă x şi y sunt soluţiile sistemului de ecuaţii, calculaţi 2008

4 yx +.

2. Fie funcţiile RR →:, gf , care verifică ( ) ( ) 8+=+ xxgxf şi ( ) ( ) 1253 −=− xxgxf , .R∈∀x a) Determinţi funcţiile f şi g . b) Reprezentaţi grafic funcţiile f şi g în acelaşi sistem de axe perpendiculare xOy .

c) Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie dintre reprezentările grafice ale funcţiilor f şi g

3. a) Desenaţi o piramidă patrulateră regulată.

16

Piramida regulată VABCD, cu vârful V , are latura bazei de 12 cm şi înălţimea de 8 cm. b) Calculaţi aria totală a piramidei. c) Fie H un punct situat pe înălţimea [ ]VO a piramidei. Ştiind că distanţa de la H la planul

( )ABC este egală cu distanţa de la H la planul ( )VAB , calculaţi lungimea segmentului OH.

Varianta 16 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Soluţia reală a ecuaţiei 012 =−x este egală cu ... b) Mulţimea soluţiilor naturale ale inecuaţiei 155)3(2 <++x este egală cu { }... c) Valoarea de adevăr a propoziţiei “Dacă 5 caiete costă 50,2 lei, atunci un caiet costă 50,0 lei”

este ...

2. Fie funcţia RR →:f , ( ) mxmxf +−= 3)( , unde m este un număr real.

a) Punctul ( )1,1P aparţine reprezentării grafice a funcţiei f pentru m egal cu ….

b) Pentru 2=m , valoarea funcţiei f pentru 0=x este egală cu … c) Pentru 4=m , soluţia reală a ecuaţiei ( ) 0=xf este egală cu ...

3. Volumul unui cub este de 125 m3 . a) Muchia cubului are lungimea egală cu … m. b) Diagonala cubului are lungimea de ... m. c) Aria unei feţe a cubului este egală cu ... m2

4. Un cilindru circular drept are are aria bazei de π25 cm2 şi generatoarea de 5 cm. a) Raza bazei cilindrului are lungimea egală cu ... cm b) Volumul cilindrului este egal cu …π cm3 . c) Aria totală a cilindrului este egală cu ... π cm2. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Fie sistemul de ecuaţii

=−=−

75

115

yx

yx, cu x şi y numere reale.

a) Reprezentaţi dreapta soluţiilor ecuaţiei 75 =− yx , într-un sistem de axe perpendiculare xOy.

b) Rezolvaţi sistemul de ecuaţii în mulţimea RR × . c) Calculaţi raportul dintre x şi y, ştiind că perechea ( )yx; este soluţia sistemului dat.

2. Se consideră funcţiile ( ) 25,: +=→ xxff RR şi ( ) 5,: +=→ xxgg RR .

a) Determinaţi coordonatele punctului de intersecţie a reprezentărilor grafice ale celor două funcţii f şi g .

b) Determinaţi aria triunghiului format de axa Oy şi reprezentările grafice ale funcţiilor f şi g .

c) Găsiţi punctul care aparţine reprezentării grafice a funcţiei f şi care are coordonatele egale.

3. a) Desenaţi un trunchi de piramidă patrulateră regulată.

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată '''' DCBABCDA , cu baza mare ABCD, are 16=AB cm şi 8'' =BA cm. Muchia laterală face cu planul bazei un unghi de �60 .

17

b) Arătaţi că înălţimea trunchiului de piramidă '''' DCBABCDA are lungimea egală cu 64

cm. c) Dacă 'O este centrul bazei mici şi O centrul bazei mari a trunchiului de piramidă, calculaţi distanţa de la O la planul ).'( BCO

Varianta 17 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Soluţia reală a ecuaţiei 512 =+x , este numărul egal cu .... b) Fie funcţia { } R→−− 1,0,1,2:f , 72)( +−= xxf . Valoarea funcţiei f pentru 2−=x este

egală cu …. c) Valoarea de adevăr a propoziţiei: “Perechea )2,5( − este una din soluţiile ecuaţiei

1434 =+ yx ” este ….

2. a) Mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei 65 ≥+− x , este intervalul …. b) Enumerând elementele mulţimii { }37910/* ≤+∈= xxX N se obţine mulţimea { }...

c) Se consideră funcţiile RR →:f , 13)( += xxf şi RR →:g , 5)( +−= xxg . Punctul de

intersecţie al reprezentărilor grafice ale funcţiilor f şi g are coordonatele ( )......;

3. Un cub are muchia de 10 cm. a) Diagonala cubului are lungimea de … cm. b) Volumul cubului este egal cu … cm3

c) Aria totală a cubului este egală cu…cm2

4. O piramidă patrulateră cu baza pătrat are latura bazei de 12 cm şi înălţimea piramidei de 8 cm. a) Aria bazei este egală cu … cm2

b)Volumul piramidei este egal cu…. cm3 c) Apotema piramidei este egală cu … cm.

SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Considerăm funcţia RR →:f , 53)( −+= mmxxf , unde m este un număr real. a) Pentru 1=m , reprezentaţi grafic funcţia într-un sistem de axe perpendiculare xOy.

b) Arătaţi că pentru orice m real, punctul )5,3

1( −−T aparţine reprezentării grafice a funcţiei

f .

c) Pentru 1=m , calculaţi aria suprafeţei cuprinse între reprezentarea grafică a funcţiei şi axele Ox şi Oy

2. Într-un coş sunt portocale. Dacă toate portocalele se împart în mod egal unui grup de 5 copii, atunci ramân în coş 3 portocale. Dacă toate portocalele se împart în mod egal unui grup de 8 copii, atunci ramân în coş 7 portocale.

a) Verificaţi dacă în coş puteau fi 63 portocale. b) Aflaţi care poate fi cel mai mic număr de portocale din coş. c) Aflaţi cel mai mic număr de trei cifre care poate reprezenta numărul total al portocalelor.

18

3. a) Desenaţi un con circular drept.

Secţiunea axială a unui con circular drept este un triunghi isoscel al cărui perimetru este de 36 cm. Diametrul bazei conului este de 16cm. b) Calculaţi valoarea cosinusului unghiului format de generatoarea conului cu planul bazei conului.

c) Calculaţi volumul conului.

Varianta 18 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Dacă { } R→2,1,0:f , ( ) 2+= xxf , atunci valoarea funcţiei f pentru x = 1 este egală cu …

b) Fie funcţia RR →:f , ( ) 6+= xxf . Punctul de intersecţie al reprezentării grafice a funcţiei

cu axa Ox are coordonatele ( )0...;

c) Valoarea de adevăr a propoziţiei: ”Funcţia RR →:g , ( ) 13 += xxg are ca reprezentare

grafică o dreaptă” este ...

2. a) Soluţia reală a ecuaţiei 1032 +=+ xx este egală cu ... b) Inecuaţia 023 ≤−x are ca soluţie reală intervalul …

c) Soluţia sistemului

=+=−

63

03

yx

yx este perechea ( )......;

3. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 10 cm, 8 cm şi 6 cm. a) Aria totală a paralelipipedului dreptunghic este egal cu ... cm2. b) Volumul paralelipipedului dreptunghic este egal cu ... cm3. c) Lungimea diagonalei paralelipipedului dreptunghic este egală cu ... cm.

4. a) Un cub are latura bazei de 3 cm. Aria laterală a cubului este egală cu ... cm2. b) Un con are generatoarea de 13 cm şi înălţimea de 12 cm. Raza conului este de … cm.

c) Un cilindru circular drept are ca secţiune axială un pătrat cu latura de 12 cm. Raza bazei cilindrului este egală cu... cm.

SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Fie funcţia RR →:f , ( ) axxf += 2 , R∈a .

a) Să se determine valoarea numărului real a, dacă punctul A(2; 5) aparţine reprezentării grafice a funcţiei f.

b) Pentru 1=a , trasaţi graficul funcţiei f. c) Pentru 1=a , aflaţi punctul de intersecţie al reprezentării grafice a funcţiei f cu reprezentarea grafică a funcţiei RR →:g , ( ) xxg 23−= .

2. a) Rezolvaţi sistemul:

=−=+−

1322

132

yx

yx.

b) Rezolvaţi în R inecuaţia: 055 ≤−x .

c) Găsiţi soluţia reală a ecuaţiei: ( )( ) 352 2 +=−− xxx .

3. a) Desenaţi o piramidă triunghiulară regulată ABCD de bază ABC.

19

O piramidă triunghiulară regulată ABCD de bază ABC, are latura bazei de 6 cm şi măsura unghiului dintre o faţă laterală şi planul bazei de 060 .

b) Aflaţi volumul piramidei. c) Dacă punctul N este mijlocul laturii AB, calculaţi distanţa de la punctul N la planul ( )DBC .

20

Varianta 19 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Soluţia ecuaţiei: xx 642 =+ este egală cu … b) Soluţia inecuaţiei: 01≤−x este intervalul …

c) Soluţia sistemului:

=+−=−52

32

yx

yx este perechea ( )......;

2. a) Valoarea funcţiei RR →:f , ( ) xxf 31−= , pentru x = 2 este egală cu …

b) Punctul în care reprezentarea grafică a funcţiei RR →:g , ( ) xxg 27−= intersectează axa

Oy are coordonatele ( )...,0

c) Valoarea de adevăr a propoziţiei: „Punctul ( )5,3A aparţine reprezentării grafice a funcţiei

[ ) R→3;0:f , ( ) 12 += xxf ” este …

3 Un cilindru circular drept are aria laterală de 84π cm2 şi raza bazei de 6 cm.

a) Lungimea generatoarei cilindrului este egală cu. ... cm. b) Volumul cilindrului este egal cu ...π cm3. c) Aria secţiunii axiale a cilindrului este egală cu ... cm2.

4. Latura bazei unei piramide patrulatere regulate este 12 cm, iar aria laterală a ei este de 288 cm2. a) Apotema piramidei are lungimea de … cm. b) Înălţimea piramidei este de … cm. c) Măsura unghiului dintre o faţă laterală şi planul bazei este de … 0 . SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Se consideră RR →:f , ( ) xxf 32−= .

a) Reprezentaţi grafic funcţia într-un sistem de axe perpendiculare xOy. b) Determinaţi punctele care aparţin reprezentării grafice a funcţiei f şi care au valoarea abscisei de 3 ori mai mare decât valoarea ordonatei.

c) Calculaţi: )2()1()0()1()2( fffffS +++−+−= .

2. Fie sistemul de ecuaţii:

=+=+

52

3

nymx

nymx

a) Aflaţi valorile parametrilor reali m şi n dacă sistemul admite ca soluţie perechea ( ) ( )1;1; −=yx .

b) Rezolvaţi sistemul de ecuaţii dacă 4=m şi 1−=n .

c) Rezolvaţi în R inecuaţia: ( ) 5132 −+x < 12.

3. a) Desenaţi un trunchi de piramidă patrulateră regulată.

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are diagonala bazei mari de 220 cm, diagonala

bazei mici de 210 cm şi feţele laterale trapeze isoscele cu diagonalele perpendiculare. b) Aflaţi volumul trunchiului. c) Calculaţi valoarea tangentei unghiului dintre o muchie laterală şi planul bazei.

21

Varianta 20 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Soluţia reală a ecuaţiei 1252 =− x este egală cu… b) Cel mai mare element al mulţimii }1252/{ ≥−∈= xxA Z este egal cu...

c) Valoarea numărului real a pentru care ecuaţia 7652 +=− xax are soluţia 3 este egală cu …

2. a) Valoarea de adevăr a propoziţiei “Perechea ( ) RR ×∈2,1 este o soluţie a ecuaţiei 654 −=− yx ” este …

b) Pentru 1−=x , soluţia în RR × a ecuaţiei 32 =+− yx este perechea ( )...;1−

c) Soluţia sistemului de ecuaţii: R∈

=+=−

yxyx

yx,,

72

2 este perechea ( )...;...

3. Un cilindru circular drept are raza bazei de 3 cm şi generatoarea de 8 cm. a) Volumul cilindrului este egal cu …π cm3. b) Aria laterală a cilindrului este egală cu …π cm2. c) Diagonala secţiunii axiale a cilindrului este egală cu … cm.

4. O prismă dreaptă cu baza pătrat are înălţimea de 6 cm şi aria laterală de 240 cm2. a) Lungimea laturii bazei este egală cu … cm. b) Volumul prismei este egal cu … cm3. c) Aria totală a prismei este egală cu … cm2. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Se consideră funcţiile ( ) 12,: +=→ xxff RR şi ( ) 52,: +−=→ xxgg RR .

a) Găsiţi punctul de intersecţie al reprezentărilor grafice ale celor două funcţii. b) Trasaţi în acelaşi sistem de axe perpendiculare xOy graficele celor două funcţii. c) Calculaţi aria suprafeţei cuprinsă între reprezentarea grafică a funcţiei f şi axele Ox şi Oy.

2. Fie trei numere naturale. Ştiind că raportul dintre primul număr şi cel de al doilea număr este 8

5,

raportul dintre al doilea număr şi al treilea număr este 5

2 şi suma numerelor este 165.

a) Calculaţi media aritmetică a celor trei numere. b) Cât la sută din al doilea număr reprezintă primul număr? c) Determinaţi cele trei numere.

3. În figura alăturată VABC este o piramidă triunghiulară cu baza ABC triunghi echilateral. Muchia laterală VA are lungimea de 10 cm şi latura bazei AB are lungimea de 12 cm. Fie M mijlocul laturii [BC].

a) Completaţi pe foaia de teză desenul cu segmentul [VM]. b) Calculaţi aria totală a piramidei.

c) Calculaţi valoarea tangentei unghiului format de VA cu planul (ABC).

A

B

C

V

22

Varianta 21

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Valoarea funcţiei ( ) 1,: +−=→ xxff RR , pentru 2−=x este egală cu …

b) Mulţimea valorilor funcţiilor ( ) 3,}1,0,1,2{: +−=→−− xxff R este egală cu {…}

c) Punctul )3,(aA aparţine reprezentării grafice a funcţiei ( ) 12,: −=→ xxff RR , dacă a este

egal cu …

2. a) Soluţia reală a ecuaţiei ( ) ( ) 312 22 ++=+ xx este egală cu ...

b) Soluţia inecuaţiei 1532 <−x este intervalul … c) Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei 752 =+x este { }...

3. O prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral are latura bazei de 12 cm şi înălţimea de 10 cm. a) Aria laterala a prismei este … cm2 b) Aria totala a prismei este… cm2 c) Volumul prismei este egal cu… cm3

4. Un cilindru circular drept are raza bazei de 4 cm şi înălţimea 6 cm. a) Aria sectiunii axiale a cilindrului este de… cm2

b) Aria laterala a cilindrului este de …π cm2 c) Volumul cilindrului este de …π cm3 SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. 1. Un test are 20 de probleme. Pentru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 5 puncte, iar pentru fiecare problema rezolvată greşit se scad 2 puncte.

a) Calculaţi punctajul obţinut de un elev care a rezolvat corect 8 probleme. b) Calculaţi numărul de probleme rezolvate corect de un elev ştiind că el a obţinut 44 de puncte. c) Este posibil ca punctajul obtinut de un elev sa fie 35 de puncte? Justificaţi.

2. a) Găsiţi două soluţii în ZZ × ale ecuaţiei 0532 =−− yx .

b) Rezolvaţi, în RR × , sistemul de ecuaţii:

=++−=−−

01174

0532

yx

yx .

c) Reprezentaţi dreapta soluţiilor pentru fiecare ecuaţie a sistemului, în acelasi sistem de axe perpendiculare xOy şi daţi o interpretare geometrică a soluţiei sistemului de la punctul b).

3. În figura alăturată ABCDA’B’C’D’ este un trunchi de piramidă patrulateră regulată. Latura

bazei mari 20=AB cm, latura bazei mici 8'' =BAcm, iar 10=MN cm, unde M este mijlocul muchiei

[BC] iar N este mijlocul muchiei [B’C’ ]. a) Completaţi pe foaia de teză desenul cu segmentul [MN].

b) Calculaţi volumul trunchiului de piramidă. c) Determinaţi valoarea siniusului unghiului format

de două feţe laterale opuse ale trunchiului de piramidei.

A

D’ C’ A’ B’

D C

B

23

Varianta 22

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Soluţia reală a ecuaţiei 012 =+− x este egală cu … b) Soluţia inecuaţiei 71 ≤+x , este intervalul …

c) Dacă 3=x şi 012 =−+ yx , valoarea lui y este egală cu …

2. Fie ( ) 13,: +=→ xxff RR .

a) Valoarea funcţiei f pentru 5=x este egală cu … b) Punctul ( )2;−aM aparţine reprezentării grafice a funcţiei f, dacă a este egal cu …

c) Soluţia reală a ecuaţiei ( ) 10=xf , este egală cu …

3. Un con circular drept are aria laterală egală cu π327 cm2 şi generatoarea de 9 cm.

a) Raza bazei are lungimea egală cu ... cm. b) Înălţimea conului are lungimea egală cu ... cm. c) Volumul conului este egal cu ...π cm3

4. O piramidă triunghiulară regulată VABC are apotema de 10 cm şi înălţimea de 8 cm. a) Latura bazei piramidei este … b) Aria totală a piramidei este … c) Volumul piramidei este … SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Dublul unui număr este cu 7 mai mare decat jumătate din consecutivul său. Aflaţi numărul.

b) Rezolvaţi în R inecuaţia: 3223 +>+ xx

c) Rezolvaţi sistemul de ecuaţii

−=−=−

22

5

yx

yx .

2. Fie funcţia ( ) 4,: −=→ xxff RR .

a) Aflaţi R∈a , astfel încât ( ) 012 =+af .

b) Determinaţi punctul care aparţine reprezentării grafice a funcţiei f şi care are coordonatele numere opuse. c) Calculaţi distanţa de la originea sistemului de axe perpendiculare xOy la reprezentarea grafică a funcţiei f .

3. a) Desenati o piramidă hexagonală regulată VABCDEF de vârf V.

Secţiunea axială VAD este un triunghi echilateral a cărui arie este de 39 cm2.

b) Calculaţi aria laterală a piramidei. c) Calculaţi valoarea sinusului unghiului determinat de planele (VAB) şi (VBC).

24

Varianta 23

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Soluţia reală a ecuaţiei 532 =+x este egală cu ... b) Pentru 1=x , în ecuaţia 0832 =−+ yx , valoarea lui y este egală cu …

c) Valoarea de adevăr a propoziţiei “perechea ( )1,2 este soluţie a ecuaţiei 0174 =−− yx ” este

…

2. Se consideră funcţia ( ) 32,: −=→ xxff RR . a) Valoarea funcţiei f pentru 2=x este egală cu …

b) Punctul ( )3;xM aparţine reprezentării grafice a funcţiei f dacă valoarea lui x este egală cu ...

c) Rezultatul calculului ( ) ( ) ( )321 fff ++ este egal cu ...

3. O piramidă patrulateră regulată are apotema de 10 cm şi latura bazei de 12 cm a) Lungimea înălţimii piramidei este egală cu ... cm b) Aria laterală a piramidei este egală cu …cm2 .

c) Tangenta unghiului pe care-l face muchia laterală cu planul bazei este egală cu ...

4. Un cilindru circular drept cu aria laterală de π100 cm2 şi generatoarea de 10 cm.

a) Raza bazei cilindrului are lungimea egală cu ... cm. b) Volumul cilindrului este egal cu… π cm3

c) Aria secţiunii axiale a cilindrului este egală cu ... cm2

SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. La un concurs de matematică, Marian a obţinut 280 de puncte pentru 20 de întrebări. La fiecare răspuns corect se câştigă 20 de puncte, iar la fiecare răspuns greşit se pierd 10 puncte.

a) Câte răspunsuri corecte a dat Marian ? b) Care este numărul minim de răspunsuri corecte pe care trebuie să le dea un concurent pentru a obţine minim 320 puncte? c) Ce punctaj obţine Marian dacă din cele 20 de întrebări, răspunde corect doar la 15 ?

2. Se consideră funcţia ( ) 1,: +=→ xxff RR .

a) Reprezentaţi graficul funcţiei într-un sistem de axe perpendiculare xOy. b) Arătaţi că numărul ( ) ( ) ( )[ ]2006...1022008 fffn ++++= este pătrat perfect.

c) Determinaţi coordonatele punctului M în care abscisa este egală cu jumătate din ordonată.

3. a) Desenaţi un con circular drept.

Într-un con circular drept de vârf V generatoarele VA, VB şi VC sunt perpendiculare două câte

două şi 29=VA cm.

b) Arătaţi că raza conului are lungimea 36 cm.

c) Calculaţi volumul conului.

25

Varianta 24

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Soluţia reală a ecuaţiei xx =− 22 este egală cu …

b) Soluţia sistemului

=−=+

2

4

yx

yxeste perechea ( )......;

c) Pentru 2=y în ecuaţia 01635 =−+ yx , valoarea lui x este egală cu ...

2. Se consideră funcţia ( ) 23,: −=→ xxff RR .

a) Valoarea de adevăr a propoziţiei “punctul ( )1,1A aparţine reprezentării grafice a funcţiei f “

este ... b) Valoarea funcţiei f pentru 5=x este egală cu ... c) Dacă ( ) 7=xf atunci valoarea x este egală cu …

3. O prismă dreaptă cu baza hexagon regulat are latura bazei de 10 cm muchiile laterale de 13 cm. a) Numărul total de muchii ale prismei este egal cu ... b) Apotema piramidei este egală cu …cm

c) Valoarea cosinusului unghiului pe care-l face muchia laterală cu planul bazei este egală cu …

4. Un con circular drept are raza bazei de 3 cm şi generatoarea de 5 cm. a) Înălţimea conului este egală cu … cm. b) Aria laterală a conului este egală cu …π cm2. c) Unghiul sectorului de cerc obţinut prin desfăşurarea conului are măsura de ...0. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Raportul a două numere x şi y este 5

3.

a) Calculaţi yx

yx

+−3

.

b) Ştiind că 20083427 =+ yx să se afle x şi y .

c) Aflaţi cât la sută din numărul mai mare reprezintă numărul mai mic.

2. Se consideră funcţiile ( ) 1,: +=→ xxff RR şi ( ) 3,: +−=→ xxgg RR .

a) Să se reprezinte grafic funcţiile f şi g în acelaşi sistem de axe perpendiculare xOy. b) Să se determine coordonatele punctului de intersecţie al graficelor celor două funcţii. c) Să se calculeze valoarea sumei ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2008...212008...21 gggfffS +++++++= .

3. a) Desenaţi un trunchi de piramidă patrulateră regulată.

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată '''' DCBABCDA are 32=AB cm, 8'' =BA cm şi

înălţimea 9'=OO cm. b) Calculaţi aria totală a piramidei. c) Calculaţi tangenta unghiului format de o faţă laterală cu planul bazei mari.

26

Varianta 25

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Soluţia reală a ecuaţiei 23=−x este egală cu ...

b) Pentru 1=x , în ecuaţia 0143 =++ yx , valoarea lui y este egală cu ...

c) Mulţimea soluţiilor inecuaţiei 132 ≤−x este intervalul ...

2. Fie funcţia ( ) 23,: +−=→ xxff RR . a) Valoarea de adevăr a propoziţiei: “Punctul )7,3( −A aparţine reprezentării grafice a funcţiei

f “ este ...

b) Valoarea funcţiei f , pentru 31=x este egală cu ...

c) Punctul de intersecţie al reprezentării grafice a funcţiei f cu axa Oy are coordonatele ( )...,0

3. a) Volumul unui cilindru circular drept cu raza bazei de 3 cm şi generatoarea de 12 cm este egal cu ...π cm3

b) Înălţimea unui con circular drept cu generatoarea de 15 cm şi raza bazei de 12 cm are lungimea egală cu ...cm. c) Un con circular drept care are ca secţiune axială un triunghi echilateral de latură 14 cm. Raza bazei conului are lungimea de ... cm.

4. a) Lungimea proiecţiei diagonalei unui cub de muchie 3 cm este de … cm. b) Numărul total al muchiilor unei prisme hexagonale regulate este egal cu ... c) Apotema unei piramide triunghiulare regulate care are toate muchiile egale cu 6 cm are

lungimea egală cu ... cm. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) După o majorare de 20% şi apoi o ieftinire cu 15%, preţul unui obiect devine 153 lei. Care a fost preţul iniţial?

b) Să se determine numerele reale x şi y care verifică relaţia: 031513 =+++ yx .

c) Rezolvaţi sistemul de ecuaţii:

=+=−

43

12

yx

yx.

2. Fie funcţia ( ) ( )113,: fxxff −+=→ RR . a) Arătaţi că pentru orice x real, 13)( −= xxf .

b) Reprezentaţi grafic în sistemul de axe perpendiculare xOy, funcţia f. c) Calculaţi distanţa de la originea sistemului de axe perpendiculare xOy la reprezentarea grafică

a funcţiei f.

3. a) Desenaţi o piramidă triunghiulară.

O piramidă triunghiulară regulată se secţionează cu un plan paralel cu baza prin mijlocul înălţimii. Ştiind că înălţimea piramidei este de 12 cm şi latura bazei are lungimea de 8 cm, să se determine:

b) Volumul piramidei mici obţinut după secţionare.

27

c) Aria totală a trunchiului de piramidă format prin secţionarea cu un plan paralel cu baza.

Varianta 26

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Fie { } ( ) 1,1,0,1: +=→− xxff R . Imaginea funcţiei f este mulţimea { }... .

b) Soluţia reală a ecuaţiei 915 =−x este egală cu … c) Valorile lui *N∈x care verifică 712 ≤+x , formează mulţimea { }... .

2. a) Perechea ),( ba care verifică simultan egalităţile 3=+ ba şi 1=− ba este egală cu ( )......;

b) Valoarea de adevăr a propoziţiei “Perechea (1; 3) este soluţie a ecuaţiei 2x – y = 5” este … c) Dacă un sfert dintr-un număr este 5, atunci numărul este egal cu …

3. Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată de baza ABCD, cu AB = 23 cm. şi VA = 6 cm. . a) Perimetrul triunghiului VAC este egal cu …cm . b) Lungimea înălţimii piramidei este egală cu … cm c) Măsura unghiului dintre muchia VA şi planul (ABC) este de …0.

4. Fie un cilindru circular drept cu aria bazei egală cu 9π cm² şi aria laterală egală cu 24π cm². a) Lungimea razei cercului de la bază este egală cu ... cm. b) Lungimea înălţimii cilindrului este egală cu ... cm. c) Lungimea diagonalei din secţiunea axială a cilindrului este egală cu … cm SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Aflaţi câte kilograme de mere s-au vândut în piaţă dacă luni s-a vândut jumătate din cantitatea totală, marţi 20% din ce a ramas şi miercuri restul de 160 kg.

b) Rezolvaţi ecuaţia ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxx −−+−−+−=− 43213 2222 .

c) Rezolvaţi sistemul

−=−

++

=−

−+

12

2

1

74

2

3

yxyx

yxyx

2. Se dă funcţia ( ) ,23,: −=→ xxfAf R unde { }21/ ≤−∈= xxA R

a) Determinaţi domeniul de definiţie al funcţiei. b) Pentru [ ]3 ;1−=A , reprezentaţi grafic funcţia într-un sistem de axe perpendiculare xOy.

c) Determinaţi distanţa de la originea sistemului de axe perpendiculare xOy la reprezentarea grafică a funcţiei f.

3. a) Desenaţi un cub ABCDA’B’C’D’ .

Fie cubul ABCDA’B’C’D’ şi aria triunghiului ACC’ egală cu 8 2 cm². b) Aflaţi aria laterală a cubului. c) Dacă AB = 4 cm şi M este mijlocul muchiei B’C’ , calculaţi valoarea sinusului unghiului determinat de planele (MAB) şi (ABC).

28

Varianta 27 SUBIECTUL I – Pe foaia de examen se trec numai rezultatele. 1. a) Soluţia reală a ecuaţiei 21=+x este egală cu ... b) Fie funcţia RR →:f , .12)( −= xxf Valoarea funcţiei f pentru 1=x este egală cu ...

c) Soluţia inecuaţiei 732 ≤−x este intervalul ...

2. a) Media aritmetică a numerelor 32=a şi 36=b este egală cu ...

b) Media geometrică a numerelor 32=a şi 36=b este egală cu ... c) Valoarea de adevăr a propoziţiei „Perechea ( )2,1 − este soluţie a ecuaţiei 832 =− yx ” este ...

3. a) Un cub are aria totală egală cu 24 cm2. Aria unei feţe a cubului este egală cu ... cm2.

b) Un tetraedru are toate muchiile cu lungimile de 3 cm. Aria totală a tetraedrului este egală cu

... cm2. c) Diagonala paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile de 3 cm, 4 cm şi 5 cm, este egală cu ... cm

4. Un cilindru circular drept care are raza bazei de 5 cm şi generatoarea de 13 cm. a) Aria laterală a cilindrului este egală cu ...π cm2

b) Volumul cilindrului este egal cu ...π cm3

c) Lungimea diagonalei secţiunii axiale a cilindrului este egală cu ... cm SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Se dau numerele 116 −=x şi 116 +=y . a) Calculaţi produsul yx ⋅ .

b) Calculaţi 2)( yx − .

c) Arătaţi că 2

yx − este număr întreg.

2. Se consideră funcţia RR →:f , .2)21()( −−= xxf

a) Calculaţi valoarea funcţiei f pentru 1−=x . b) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia 01)( ≥+xf .

c) Determinaţi numerele raţionale a şi b pentru care punctul )2,1( baM + aparţine

reprezentării grafice a funcţiei f.

3. a) Desenaţi o piramidă triunghiulară regulată.

Piramida triunghiulară ABCD de vârf D are toate muchiile de lungime 12 cm. Punctele M şi N sunt mijloacele laturilor AB, respectiv CD.

b) Calculaţi volumul piramidei ABCD. c) Aflaţi valoarea sinusului unghiului determinat de planele (DAB) şi (BAN).

29

Varianta 28 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Valoarea funcţiei { } { }4,3,12,0,1: →−f , 3)( +−= xxf , pentru 1−=x , este egală cu ...

b) Abscisa punctului )2;3( −M este numărul ... c) Se consideră R→− ]3,1(:f , 1)( += xxf . Dintre punctele )3,1(B şi )3,2(C , aparţine

reprezentării grafice a funcţiei f , punctul ...

2. a) Numărul real, soluţie a ecuaţiei 01825 =− x , este egal cu ...

b) Cel mai mic număr întreg care verifică inegalitatea 3x5 +− < 0 este egal cu ... c) Valoarea lui y din ecuaţia 134 =+ yx , pentru 0=x , este egală cu ...

3. În figura alăturată, ABCA’B’C’ este o prismă triunghiulară regulată cu latura bazei AB = 3 cm şi înălţimea AA’ = 4 cm.

a) Aria bazei prismei este egală cu ... cm2. b) Tangenta unghiului format de AB’ cu planul bazei are valoarea egală cu ... c) Volumul prismei este egal cu ... cm3.

4. a) Desfăşurarea suprafeţei laterale a unui cilindru este un dreptunghi cu dimensiunile 10 cm şi π6 cm. Aria laterală a cilindrului este egală cu …π cm2.

b) Un con are raza bazei R = 10 cm şi înălţimea h = 3 cm. Volumul conului este egal cu ...π cm3

c) Diagonala unui paralelipiped dreptunghic, ale cărui dimensiuni sunt 5 cm, 4 cm şi 22 cm, are lungimea egală cu ... cm.

SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Dacă elevii unei clase ar sta câte doi într-o bancă, ar rămâne trei elevi în picioare. Dacă ar sta trei elevi într-o bancă, ar rămâne două bănci libere şi într-o bancă ar sta un singur elev.

a) Câţi elevi sunt în clasă? b) Câte bănci sunt în clasă?

c) De câte bănci ar fi nevoie pentru a aşeza câte patru elevi într-o bancă dacă în clasă sunt 25 de elevi? Justificaţi răspunsul.

2. Fie funcţia RR →:f , 13)( −= xxf . a) Determinaţi a real ştiind că punctul )1,( −aA aparţine reprezentării grafice a funcţiei f.

b) Să se determine funcţia RR →:g , )2()( +−= xfxg .

c) Aflaţi coordonatele punctului de intersecţie al reprezentărilor grafice a funcţiilor f şi g.

3. În figura dată, ABCDA’B’C’D’ este un trunchi de piramidă patrulateră regulată cu A’B’ = 6 cm, apotema MM’ = 8 cm şi aria feţei laterale ABB’A’ egală cu 64 cm2.

a) Arătaţi că segmentul AB are lungimea de 10 cm. b) Calculaţi volumul trunchiului de piramidă.

A’

A

B

C

C’ B’

A’ D’ C’

A B

D C

M

M’ B’

30

c) Calculaţi sinusul unghiului plan al diedrului format de două feţe laterale opuse.

Varianta 29

SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Funcţia BAf →: este definită astfel: 0)2( =f , 5)1( =−f şi 1)3( =f . Domeniul de

definiţie al funcţiei este mulţimea { }...=A b) Fie funcţia RR →:f , 1)( −= axxf , cu 2)1( =f . Valoarea numărului real a este egală cu ...

c) Punctul de intersecţie al reprezentării grafice a funcţiei RR →:f , 12)( +−= xxf , cu axa

Oy are coordonatele: ( )...;0 .

2. a) Soluţia reală a ecuaţiei 26 =+x este egală cu ... b) Perechea )2;( −a este soluţie a ecuaţiei 053 =−− xy , dacă valoarea lui a este egală cu ...

c) Soluţia sistemului

−=−=+

1

7

yx

yx este perechea (... ; ...).

3. Un cilindru circular drept are raza bazei de 8 cm şi generatoarea de 15 cm. a) Aria laterală a cilindrului este egală cu …π cm2. b) Aria bazei cilindrului este egală cu …π cm2. c) Volumul cilindrului este egal cu …π cm3.

4. a) Diagonala unui cub cu latura de 8 cm este egală cu … cm. b) Lungimea apotemei unei piramide triunghiulare regulate, care are latura bazei de 36 cm şi înălţimea de 6 cm, este egală cu ... cm. c) Un con are generatoarea de 10 cm şi raza bazei de 5 cm. Unghiul format de generatoare cu planul bazei are măsura egală cu ... 0.

SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Într-un bloc sunt 76 de camere în 28 de apartamente cu doua şi respectiv cu trei camere. a) Care este numărul apartamentelor cu două camere din bloc?. b) Care este numărul apartamentelor cu trei camere din bloc? c) Cât la sută din numărul apartamentelor cu trei camere îl reprezintă numărul apartamentelor cu două camere?

2. Dreapta AB din figura alăturată este reprezentarea grafică a unei funcţii liniare. Segmentul OA are lungimea egală cu 4 iar segmentul OB are are lungimea egală cu 3.

a) Calculaţi lungimea segmentului AB. b) Calculaţi valoarea tangentei unghiului format de dreapta AB cu axa ordonatelor Oy . c) Determinaţi funcţia ( ) baxxff +=→ ,: RR a cărei reprezentare grafică este dreapta AB.

3. Se dă paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ , în care diagonala BD’ are lungimea de 12 cm şi formează cu planul bazei un unghi de 30o , iar BC = 9 cm.

a) Desenaţi proiecţia diagonalei BD’ pe planul bazei.

b) Arătaţi că segmentul AB are lungimea de 33 cm.

c) Calculaţi distanţa de la punctul C la diagonala BD’, dacă 6'=DD cm.

D’ C’

B’ A’

D C

B AA

B

A x

y

Oo

31

Varianta 30 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. a) Fie ecuaţia 22 −=y . Soluţia ecuaţiei este numărul …

b) Dintre perechile ( )2;2 − şi ( )1;2− este soluţie a ecuaţiei 22 −=+ yx , perechea ( )...

c) Valoarea de adevăr a propoziţiei: „Perechea ( )3;4 − este soluţie a sistemului de ecuaţii

−=−−=+

2225

22

yx

yx „ este …

2. Fie funcţia ( ) 1,: −=→ xxff RR .

a) Soluţia reală a ecuaţiei ( ) 0=xf este numărul egal cu …

b) Valoarea numărului real a pentru care punctul

2

1,aM aparţine reprezentării grafice a

funcţiei f este egală cu … c) Soluţia inecuaţiei ( ) xxf 3≤ este intervalul …

3. O prismă triunghiulară regulată are latura bazei de 2 cm şi muchia laterală de 6 cm. a) Aria laterală a prismei este egală cu …cm2. b) Aria totală a prismei este egală cu …cm2. c) Volumul prismei este egal cu …cm3.

4. Un con circular drept are generatoarea de 15 cm şi raza bazei de 10 cm. a) Aria laterală a conului este egală cu …π cm2. b) Înălţimea conului are lungimea egală cu ... cm

c) Măsura arcului sectorului de cerc ce reprezintă desfăşurarea suprafeţei laterale a conului pe un plan este egală cu …0.

SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. Se consideră ecuaţia ( ) ( ) mmxmx −++=+− 1241 , în care x este necunoscuta, R∈x şi m este

un parametru, R∈m . a) Determinaţi valoarea parametrului m pentru care ecuaţia admite ca soluţie numărul real 5=x b) Arătaţi că pentru 3=m ecuaţia admite orice număr real ca soluţie. c) Rezolvaţi ecuaţia pentru 3≠m .

2. Se dă funcţia RR →:f , ( ) 5+= xxf .

a) Trasaţi graficul funcţiei într-un sistem de axe perpendiculare xOy. b) Determinaţi măsura unghiului dintre axa Ox şi reprezentarea grafică a funcţiei f. c) Rezolvaţi în R inecuaţia ( ) 121 <⋅− xf .

3. a) Desenaţi un trunchi de piramidă patrulateră regulată.

32

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată ABCDA’B’C’D’ are latura bazei mari, 12=AB cm,

latura bazei mici, 4'' =BA cm şi volumul 3

6832=V cm3.

b) Arătaţi că înălţimea piramidei din care provine trunchiul are lungimea de 66 cm.

c) Calculaţi măsura unghiului dintre muchia laterală BB’ şi planul( )'ACC .

33

Varianta 31 SUBIECTUL I – Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

1. Fie funcţia { } ( ) 1,4,2,1,0: +=→ xxff R .

a) Domeniul de definiţie al funcţiei este mulţimea { }...

b) Valoarea funcţiei f pentru 4=x , este egală cu numărul … c) Punctul ( )yP ,1 aparţine reprezentării grafice a funcţiei f dacă numărul y este egal cu …

2. a) Rezolvând sistemul de ecuaţii

=+=

3

2

yx

yx se obţine =y …

b) Mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei 215 <+x este egală cu intervalul … c) Soluţia reală a ecuaţiei 25 =− x este egală cu …

3. O piramidă hexagonală regulată are latura bazei de 4 cm şi înălţimea de 13 cm.

a) Aria bazei piramidei este egală cu … cm2. b) Volumul piramidei este egal cu … cm3. c) Muchia laterală a piramidei este egală cu … cm.

4. Un cilindru circular drept are generatoarea egală cu 10 cm şi raza bazei egală cu 3 cm. a) Aria laterală a cilindrului este egală cu …π cm2. b) Diagonala secţiunii axiale a cilindrului este egală cu ... cm c) Volumul cilindrului este egal cu …π cm3. SUBIECTUL II – Pe foaia de examen se trec rezolvările complete.

1. a) Rezolvaţi ecuaţia: 2

1

3

21 xx −=+, R∈x .

b) Rezolvaţi ecuaţia ( ) ( )mxxmx +−=−+ 212 , în care x este necunoscuta, R∈x şi m este un

parametru, { }3\R∈m .

c) Determinaţi parametrul m astfel încât ecuaţiile de la punctele a) şi b) să aibă aceleaşi soluţii.

2. Se dă funcţia ( ] R→+∞− 2;:f , ( ) ( ) 12 +−= xaxf , unde R∈a .

a) Determinaţi a ştiind că punctul ( )3;1M aparţine reprezentării grafice a funcţiei f.

b) Pentru 2−=a reprezentaţi graficul funcţiei într-un sistem de axe perpendiculare xOy. c) Pentru 2−=a arătaţi că nu există un punct de ordonată 3− care să aparţină graficului

funcţiei.

3. a) Desenaţi un con circular drept.

Un con circular drept are raza bazei de lungime 9 cm şi volumul egal cu π324 cm3. b) Calculaţi aria laterală a conului. c) La ce distanţă de vârful conului se poate duce un plan paralel cu planul bazei astfel încât aria

laterală a conului mic să fie egală cu jumătate din aria laterală a conului dat.