Universitatea EcologicĂ Din BucureŞti Facultatea de Ştiinţe
-
Upload
georgi-neacsa -
Category
Documents
-
view
220 -
download
0
Transcript of Universitatea EcologicĂ Din BucureŞti Facultatea de Ştiinţe
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
1/74
UNIVERSITATEA ECOLOGIC DIN BUCURETI
Facultatea de tiine Economice
STATISTIC
APLICAII
I
prof.univ. dr. Maria MOLNAR
lector univ. Nicoleta CARAGEA
Bucureti
2008
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
2/74
2
PROIECTUL I A
a. Se cunosc urmtoarele date privind cifra de afaceri a 50 firme prestatoare de servicii din oraul M :
600 800 650 200 80 35 1000 1200 500 480 555 620 510
260 180 75 96 280 1170 900 680 850 300 645 680 1020
320 362 88 726 761 890 345 379 805 920 600 590
578 534 617 236 222 58 715 518 696 568 580 480
S se fac gruparea firmelor dup cifra de afaceri.
b. Cifra de afaceri a 10 firme de construcii din oraul M anregistrat urmtoarele niveluri:
Mil. lei lunar 600 800 650 200 80 350 1000 1200 500 480
S se calculeze:
1. ponderea cifrei de afaceri a primei i a ultimei firme n totalul cifrei de afaceri a celor 10 firme i
diferena dintre cele dou ponderi;
2. raportul dintre cifra de afaceri maximi cea minim;
3. cifra de afaceri a tuturor firmelor din ora, dac ponderea celor 10 firme n cifra total de afaceri
este de 7,2%;
4. ponderea celor 10 firme n efectivul de salariai ai oraului, dac aceasta este cu 2,6 p.p. mai mare
dect ponderea lor n cifra total de afaceri;
5. media, mediana, modul cifrei de afaceri;
6. indicatorii simpli i sintetici ai variaiei cifrei de afaceri a celor 10 firme;
7. media aritmetic, armonic, ptratici geometric a cifrei de afaceri a primelor 3 firme;
c. Distribuia tuturor celor 285 firme din ora dup cifra de afaceri este urmtoarea:
Grupe dup nivelul cifrei
de afaceri, mii lei
Pn la
2000
2000-
4000
4000
-
6000
6000
-
8000
8000-
1000
0
10000
-
15000
15000
-
30000
30000
-
50000
Peste
500000
Pondere n total firme, % 12,3 18,6 24,8 27,0 11,2 3,2 1,8 0,7 0,4
S se calculeze:
1. media cifrei de afaceri;
2. mediana i modul distribuiei firmelor dup cifra de afaceri;
3. indicatorii sintetici ai variaiei cifrei de afaceri i s se precizeze semnificaia acestora;
4. numrul firmelor cuprinse n fiecare grup;
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
3/74
5. ponderea firmelor din prima grup n cifra total de afaceri, dac cifra medie de afaceri a acestora
este de 1360 mii lei.
REZOLVARE
a. Gruparea firmelor dup cifra de afaceri presupune stabilirea:
i. numrului de grupe,
ii. a mrimii intervalului de grupare,
iii. a limitelor intervalelor de grupare, adic a valorilor care delimiteaz fiecare grup.
i. Numrul grupelor
Una dintre metodele utilizate pentru determinarea numrului de grupe const n aproximarea acestuia
pe baza formulei:
3
n care reprezint numrul aproximativ de grupe i n numrul firmelor observate. Numrul de grupe
va fi egal cu numrul ntreg care depete valoarea rezultat din calcul, ceea ce nseamn c numrul
de grupe se stabilete prin rotunjirea n plus a rezultatului.
Deci, numrul de grupe este g = 5.
ii. Mrimea intervalului de grupare
Mrimea intervalului de grupare ( ) poate fi aproximat mprind diferena dintre valoarea maxim
(xmax) i cea minim (xmin) la numrul grupelor (g), conform formulei:
Mrimea efectiv a intervalului (h) se stabilete prin rotunjirea n plus a rezultatului raportului.
Se rotunjete n plus: h = 250 mil.lei
iii. Limitele intervalelor
Specificarea limitelor intervalelor de grupare trebuie astfel realizat nct intervalele constituite s
acopere toate valorile rezultate din observare, iar o anumit valoare s poat fi atribuit unei singure
grupe.
Practic, limita inferioar a primului interval (intervalul corespunztor celor mai mici valori) poate fi stabilit
adoptnd o valoare arbitrar, egal sau mai mic dect valoarea minim, dar nu mult mai mic dect
aceasta. Aceast limit poate fi determinat pe baza formulei:
g~3g n2~=
.64,4502g~ 3 ==
h~
xx~ g
h minmax=
2335
351200~
=
=h
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
4/74
( ) )2
xhgxx minmaxmin
inf
1
x
4
Limita superioar a primului interval se calculeaz nsumnd nlimea intervalului la limita sa inferioar:
Limita inferioar a intervalului urmtor este egal cu limita superioar a primului interval, iar limita
superioar se determin adugnd la aceasta nlimea intervalului. n mod similar se stabilesc i
limitele celorlalte intervale.
Astfel:
.............................................
xinf
2
sup
2 +
x
hxx+inf
1
sup
1
Limita inferioar a primului interval poate fi stabilit pornind de la:
n acest caz limita inferioar primului interval se stabilete la 0, limita superioar a acestuia va fi
egal cu:
mil. lei
iar limitele celorlalte grupe vor fi:
n urma numrrii firmelor care au cifra de afaceri cuprins n fiecare din cele cinci intervale a
rezultat urmtoarea distribuie:
sup
1
inf
2 x x hx
sup2
inf3 x hxx +inf3sup3
sup
1k
inf
k xx = hxxinf
k
sup
k +
5,72
)351200(250535x inf1 =
=
2502500x sup =+=1
250x inf2 = x 2 500250250sup =+=
sup
3 =+=
4 =+=
500x inf3 = x 750250500
750x = supinf4 1000250750x
12502501000x sup5 =+=1000xinf
5 =
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
5/74
Tabelul 1.1. Distribuia firmelor dup cifra de afaceri
Grupe dup cifra de afaceri
(mil. lei lunar)
Numrul firmelor
0 250 10
250 500 10500 750 19
750 1000 8
1000 1250 4
b. Cifra de afaceri a 10 firme de construcii din oraul M anregistrat urmtoarele niveluri:
Mil. lei lunar 600 800 650 200 80 350 1000 1200 500 480
1. Ponderea cifrei de afaceri a primei i a ultimei firme n totalul cifrei de afaceri a celor 10 firme i
diferena dintre cele dou ponderi
i. cifra de afaceri total pentru cele 10 firme:
58604805001200100035080200650800600x10
1i
i =+++++++++==
ii. ponderea cifrei de afaceri a primei firme n totalul cifrei de afaceri a celor 10 firme:
%2,101005860
600100
x
xg
10
1i
i
11 ===
=
iii. ponderea cifrei de afaceri a ultimei firme n totalul cifrei de afaceri a celor 10 firme:
%2,81005860
480100
x
xg
10
1i
i
1010 ===
=
iv. diferena dintre cele dou ponderi:
0,22,82,10ggg 10110/1 === p.p.
2. Raportul dintre cifra de afaceri maximi cea minim
1580
1200
x
xk
min
max === ,
ceea ce nseamn c cifra de afaceri maxim este de 15 ori mai mare dect cea minim.
3. Cifra de afaceri a tuturor firmelor din ora, dac ponderea celor 10 firme n cifra total de afaceri este
de 7,2%
5
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
6/74
Ponderea celor 10 firme n cifra total de afaceri se calculeaz conform formulei:
100X
xg x
unde x este cifra de afaceri a celor 10 firme CA(10) = 5860 mil. lei
X cifra de afaceri a tuturor firmelor din ora CA(ora)
gx ponderea celor 10 firme n cifra de afaceri a oraului g10 = 7,2%
Astfel,
%2,7100)ora(CA
)10(CA)10(g == .
Conform formulei:
100g
xX
x
mil. lei
alariai ai oraului, dac aceasta este cu 2,6 p.p. mai mare
a total de afaceri
p.p.
ponderea celor 10 firme n efectivul total de salariai i n cifra total de afaceri
din ora.
Prin urmare,
4. Ponderea celor 10 firme n efectivul de s
813891002,7
5860
)10(g
)10(CA)ora(CA ===
dect ponderea lor n cifr
Se cunoate c6,2gg CAN =
unde gN i gCA reprezint
%8,96,22,7gN =+= .
5. Media, mediana i modul cifrei de afaceri
5.1. Media
58610
5860
10
4805001200100035080200650800600
10
x
x
10
1i
i
==+++++++++
==
= mil.lei
5.2. Mediana
i. se ordoneaz cresctor termenii seriei
6
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
7/74
80 200 350 480 500 600 650 800 1000 1200
ii. calculul medianei, conform rela
pentru
iei:
7
5502
600500
2
xxMe = 65 =
+=
+mil.lei
5.3.
6. tici ai variaiei cifrei de afaceri a celor 10 firme
6.1
6
i. amplitudinea :
Modul
Seria nu are mod, ntruct nici una dintre valori nu se repet.
Indicatorii simpli i sinte
. Indicatorii simpli
.1.1. Amplitudinea
absolut
2
xxMe 1ii +
+= 5
2
10
2
ni ===
minmaxxx =A
1120801200xxA minmax == mil. lei
. a :
6.1
tive:
=
ii mplitudinea relativ
100
x
A%A =
%1,1911001120
%A ==586
.2. Abaterile individuale
i. abaterile individuale absolute:
ii. abaterile individuale rela
;xxd ii =
d1 = 600-586 = 14 mil. lei
;100xd%d ii =
%;5,2100 =586
14%d1 =
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
8/74
8
T uale al
Cifra d eri,
mil. lei
xi
%
abelul 2.1.Abaterile individ e cifrei de afaceri
e cafa Abaterile absolute, mil.lei Abaterile relative,
586xd ii = 100d
%d ii =586
600 14 2,5
800 214 37,7
650 64 11,3
200 -386 -68,0
80 -506 -89,1
350 -236 -41,5
1000 414 72,9
1200 614 108,1
500 -86 -15,1
480 -106 -18,7
6.2. Indicatorii sintetici
6
uleaz pe baza relaiei:
nseamn c cifra de afaceri a firmelor se abate faa de media de 586 mil.lei n medie cu 264
Tabelul 2.2. Calculul nu edii
Firma
.2.1. Abaterea medie
Se calc
nd 1i==
xxn
i
ceea ce
leimiil
x
d ii
.2642640
58610
1 ==
=
=
1010
mil.lei.
mitorului formulei abaterii m i dispersiei
586x i 2
i )586x( ix
1 600 14 196
2 800 214 45796
3 650 64 4096
4 200 386 148996
5 80 506 256036
6 350 236 55696
7 1000 414 171396
8 1 614 37200 6996
9 500 86 7396
10 480 106 11236
Total 2640 1077840
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
9/74
6.2.2. Dispersia
Se calculeaz pe baza relaiei:
9
6.2.3. Abaterea standar
lcul:
mil.lei
ifra de afaceri a firmelor se abate faa de media de 586 mil.lei n medie cu 328,3 mil.lei.
ariaie
v > 35-40%, indicnd faptul c seria nu este omogen, iar media nu este reprezentativ.
nic, ptratici geometric a cifrei de afaceri a primelor 3 firme
Media aritmetic
( )
n
1i2 ==
xxn
2i
( )107784
10
1077840
10
586x10
1i
2
i2 ==
=
=
d
Formula de ca
( )
C
6.2.4. Coeficientul de v
Formula de calcul:
7. Media aritmetic, armo
7.1.
n
1i==
xxn
2
i
( )3,328107784
1010
1i ==== =1077840
586x10
2
i
100x
v =
%0,56100586
v ==3,328
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
10/74
Formula de calcul:
10
mil. lei
mil. lei
mil. lei
mil.lei
n
x
x
n
1i
i==
3,6833
2050
3
650800600
3
xxx 321 ==++
=++
=
x
7.2. Media armonic
Formula de calcul:
=1i ix
=nh
1
nx
Media ptratic
Formula de calcul:
3,673001538,000125,0001667,0
3
111
3
111
3x h =
++===
650800600xxx 321++++
n
x
x
n
1i
2
i
p
==
6,688333
x 321p ====14225000650800600xxx 222
222 ++++
Media geometric
Formula de calcul:
n
n
ig xx =1i=
2,678312000000650800600xxxx 33 321g ====
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
11/74
11
turor celor 285 firme din ora dup cifra de afaceri este urmtoarea:
faceri, la 2000 4000 6000 8000 10000 15000 30000 50000 50000
c. Distribuia tu
Grupe dup
nivelul cifrei
de a
mii lei
Pn 2000- 4000- 6000- 8000- 10000- 15000- 30000- Peste
Pondere n
total firme, % 12,3 18,6 24,8 27,0 11,2 3,2 1,8 0,7 0,4
Cifra de afaceri poate fi exprimat n milioane lei, pentru a simplifica operaiile de calcul al
astfel:
faceri, la 22-4 4-6 6-8 8-10 10-15 15-30 30-50
Peste
50
indicatorilor,
Grupe dup
nivelul cifrei
de a
P
mil. lei
n
Pondere n
total firme, % 12,3 18,6 24,8 27,0 11,2 3,2 1,8 0,7 0,4
1. Media cifrei de afaceri
=1ii
=
= k '
k
1i
'
ii
n
nx
x
Calculul mediei unei serii de distribuie pe intervale impune determinarea centrului intervalului, astfel:
2
xxx
sup
i
inf
ii
+= pentru i = 2, ...., k-1
211 , iar
hxx 1sup =
2
hxx ksup1kk += ,
e
pentru i = 2, ...., k-1,sup1i
sup
ii xxh =
21 hh =
lei.mil203050xxhh sup7sup889 ====
n condiiile n car
1kk hh =
lei.mil224xxhh sup1sup
221 ====
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
12/74
12
Astfel, centrele celor 9 intervale sunt:
mil.lei
32
42
2
xxx
sup
1
sup
22 =
+=
+= mil.lei
52
64
2
xxx
sup
2
sup
33 =
+=
+= mil.lei
72
86
2
xxx
sup
3
sup
44 =
+=
+= mil.lei
92
108
2
xxx
sup
4
sup
55 =
+=
+= mil.lei
5,122
1510
2
xxx
sup
5
sup
66 =
+=
+= mil.lei
5, mil.lei222
3015
2
xxx
sup6
sup7
7 =+=+=
405030xx
xsup
7
sup
88 =
+=
+= mil.lei
22
602
2050
2x 9 =+= mil.lei
Tabelul 3.1. Algoritmul de calcul al mediei
Grupe cifra
de i,
Pondere n total
firm
Mrimea
interv lor,
mil.lei
h
C l
inter lor,
mil. lei
hx sup9 += 8
dup
afacer
mil.leie, %
ale
i
entru
vale
xi
P 1n la 2 2,3 2 1,0 12,3
2 4 18,6 2 3,0 55,8
4 6 2 14,8 2 5,0 24,0
6 8 2 17,0 2 7,0 89,0
8 10 11,2 2 9,0 100,810 15 3,2 5 12,5 40,0
15 30 1,8 15 22,5 40,5
12
22
2
hxx 1sup11 ===
ix
,
in
'
i n
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
13/74
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
14/74
14
Tabelul 3. ritmul de calcul al medianei
Grupe cifra
de afaceri,
Pondere n total
firme, %
Mrimea
intervalelor,
mil.lei
h
Frecv
cumulate cresctor
2. Algo
dup
mil.lei
i
enele
P 1n la 2 2,3 2 12,3
2 4 18,6 2 30,9
4 6 24,8 2 55,7
6 8 27,0 2 82,78 10 11,2 2 93,9
10 15 3,2 5 97,1
15 30 1,8 15 98,9
30 50 0,7 20 99,6
Peste 50 4 20 100,00,
Total 100,0 - -
Locul unitii mediane:
5,502
1100
2
1n
U
k
1i
'
i
Me =+
=
+
=
=
Se compar frecvenele cumulate cu 50,5%.
5,503,12N '1 =
Astfel, prima frecven cumulat mai mare dect 50,5% corespunde celui de-al treilea interval,
indicnd faptul c acesta este intervalul median.
ii. calculul medianei
lcul al medianei seriilor de frecvene pe intervale este:Formula de ca
Me
1Me
k
1i
i
Me
sup
1Men
N2
1n
hxMe
=
+
+=
.
iN,
in
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
15/74
Prin urmare:
5806,55806,147903,0248,24n 3
Me 5,6 mil.lei
9,302
1100
24
N2
1n
'
2
9
1
'
i
32 =+=+=
+
+=
+=
Intervalul cu frecvena cea mai mare este intervalul al patrulea (cifra de afaceri cuprins ntre 6 i
8 milioane lei), care cuprinde 27,0% din totalul firmelor.
ii. calculul moduluiFormula de calcul este:
hxMe
i
sup +=
2.2. Modul
i. intervalul modal
1MoMo1
1MoMo1
21
1Mo
sup
1Mo
nn
nn
:unde
hxMo
+
=
=
+
+=
Astfel,
15
3. indicatorii sintetici ai variaiei cifrei de afaceri
1. abaterea medie3.
Formula de calcul:
100
nxx
d
k
1i
'
ii=
=
Prin urmare:
0,3002416,3100100
2416,300n144,6x
d
9
1i
'
ii
==
=
= mil.lei
Cifra de afaceri a firmelor se abate de la media de 6,1 mil.lei n medie cu 3,0 mil. lei.
lei.mil2,62444,62444,06
)2,110,27()8,240,27(
8,240,2726
)nn()hxMo
'
5
'
4
'
3
=+
+
+nn( '443
nn '3'
4sup +=
+=
1222,026Mo =+=
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
16/74
16
tmul de calcul al abaterii medii
Gru ra
de afaceri,
mil.leifirme, %
intervalelor,
mil. lei
pe dup cif
Tabelul 3.3. Algori
Centrul
xi
Pondere n total
P 2
'
ii n4,6x 14144,6x i
n la 12,3 1,0 5,144 63,2712
2 4 18,6 3,0 3,144 58,4784
4 6 24,8 5,0 1,144 28,3712
6 8 27,0 7,0 0,856 23,1120
8 10 11,2 9,0 2,856 31,9872
10 15 3,2 12,5 6,356 20,3392
15 30 1,8 22,5 16,356 29,4408
30 50 0,7 40,0 33,856 23,6992Peste 50 60, 53,8560,4 0 21,5424
Total 100,0 - - 300,2416
3.2. dispersia
Formula de calcul:
100
n)xx(
k
1i
'i2i2 = =
Prin urmare:
26276,32100
276,3226
100
n)144,6x(9
1i
'
i
2
i2 ==
=
=
3.3. abaterea standard
Formula de calcul:
100
n)xx(k
1i
'
i
2
i=
=
Prin urmare:
5,75,68003226276,32100
276,3226
100
n)144,6x(9
1i
'
i
2
i
===
=
= mil.lei
i
,n
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
17/74
17
Cifra de afaceri a firmelor se abate de la media de 6,1 mil.lei n medie cu 5,7 mil. lei.
be tmul d al dispersiei i abaterii standard
Grupe dup
total firme, %
intervalelor,
mil. lei
Ta
cifra de
lul 3.4. Algori e calcul
Centrul
afaceri,
mil.lei
Pondere n
xi
P 2n la 12,3 1,0 -5,144 26,46074 325,46710
2 4 18,6 3,0 -3,144 9,884736 183,85610
4 6 24,8 5,0 -1,144 1,308736 32,45665
6 8 27,0 7,0 0,856 0,732736 19,78387
8 10 11,2 9,0 2,856 8,156736 91,35544
10 15 3,2 12,5 6,356 40,39874 129,27600
15 30 1,8 22,5 16,356 267,5187 481,53370
30 50 0,7 40,0 33,856 1146,229 802,36010
Peste 50 60, 53,85 2900,460,4 0 6 9 1160,18700
Total 100,0 - - - 3226,27600
3.4. coeficientul de variaie
Formula de calcul:
100x
v
=
92,4%92,44844100144,6
68,5v ==
> 35-40% indicnd faptul c seria nu este omogen, iar media nu este reprezentativ.
Ponderea firmelor din grupa in total firme se calculeaz dup formula:
v
4. numrul firmelor cuprinse n fiecare grup;
100n
i
nn i' =
c numrul firmelor cuprinse n grupa ise calculeaz dup formula:
i
'
i
2
i n)144,6x( 144,x i,n
6 2i )1446x( ,
de unde rezult
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
18/74
100
nnn
'
ii =
18
Prin urmare:
35055,35100
3,12
285n1 == firme;
5301,53100
6,18285n 2 == firme;
7168,70100
9,24285n 3 == firme;
7795,76100
0,27285n 4 == firme;
3292,31100
2,11285n 5 == firme
912,9100
2,3285n 6 == firme:
513,5100
8,1285n 7 == firme;
2995,1100
7,0285n8 == firme;
114,1100
4,0285n 9 == firm.
5 prima grup n cifra total de afaceri, dac cifra medie de afaceri a acestora
Astfel, suma cifrei de afaceri a firmelor din prima grup este:
mil.le
. ponderea firmelor din
este de 1360 mii lei
Pe baza formulei mediei:
n
x
x
n
1i
i==
se poate calcula suma valorilor:
nxxn
i =1i=
nxxn
i =1i=
6,473536,1x35
1i
i ===
i
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
19/74
19
iar suma cifrei de afaceri a tuturor firmelor:
mil.lei.
Ponderea primei grupe n cifra total de afaceri:
%7,2728,210004,1751
6,47g1 == .
04,1751285144,6x285
1i
i ===
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
20/74
20
PROIECTUL I B
a. Se cunosc m date privind produsul intern brut pe locuitor (PIB/loc.) n 50 de ri:ur toarele
ara PIB/loc(mii $ ppc1)
1 Argentina 14,32 Australia 31,8
3 Austria 33,7
4 Bahamas 18,4
5 Bahrain 21,5
6 Barbados 17,3
7 Belgia 32,1
8 Brazilia 16,1
9 Brunei 28,2
10 Canada 33,4
11 Cehia 20,5
12 Chile 12,0
13 Cipru 22,7
14 Costa Rica 10,2
15 Croatia 13,0
16 Denemarca 34,0
17 Elvetia 35,6
18 Emiratele Arabe Unite 25,5
19 Estonia 15,5
20 Finlanda 32,2
21 Frana 30,4
22 Germania 29,5
23 Grecia 23,4
24 Hong Kong 34,825 Irlanda 38,5
26 Islanda 36,5
27 Israel 25,9
28 Italia 28,5
29 Japonia 31,3
30 Korea 22,0
31 Letonia 13,6
32 Lituania 14,5
33 Mexic 10,7
34 Malta 19,2
35 Norvegia 41,436 Noua Zeeland 25,0
37 Olanda 32,7
38 Polonia 13,8
39 Portugalia 20,4
40 Qatar 27,7
41 Regatul Unit 33,2
42 Romania 26,3
43 Singapore 29,7
44 Slovacia 15,9
45 Slovenia 22,3
46 Spania 27,2
1paritatea puterii de cumprare (ppc) este o metod folosit pentru a calcula o rat de schimb alternativ ntre monedele adou ri; ppc msoar puterea de cumprare a unei monede, ntr-o unitate de masur internaional (de regul, dolari),deoarece bunurile i serviciile au preuri diferite n unele ri comparativ cu altele.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
21/74
21
47 Statele Unite 50,0
48 Suedia 32,5
49 Ungaria 17,9
50 Uruguay 10,2Sursa: Raportul Dezvoltrii Umane 2007/2008 (2005 - anul de referin)
S se fac gruparea rilor dup PIB/loc.
-au nregistrat urm rele nive le p ului in rut pe itor n
R ri europene:
b. n anul 2007 s toa luri a rodus tern b locu
omnia i n alte patru
Romnia Luxemburg Cehia Slovenia Germania
PIB/locuitor (mii $ ppc ) 10,9 75,9 14,5 20,9 38,8
Numrul locuitorilor, N
(milioane persoane) 21,5 0,5 10,4 2,0 82,2
Consumul de energie primar
stibil convenional) 39,1 4,6 44,8 7,3 345,5(mil. tone combuSurs
S se calcu
i n Slovenia (R/S), n Luxemburg i n Romnia (L/R) i
ltatelor;
4. cuitor n cele cinci ri;
6. indicatorii simpli i sintetici ai variaiei PIB/locuitor n cele cinci ri i s se precizeze semnificaia
7. consumul specific de energie primar n Romnia i n celelalte ri;
turor celor 27 ri membre ale UE dup nivelul PIB/loc. este urmtoarea
Gru /loc(mii $ ppc)
Pn la 10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-40 Peste 40
a: Baza de date a Bncii Mondiale, 2008
leze:
1. PIB n fiecare din cele cinci ri;
2. raportul dintre PIB/locuitor n Romnia
s se precizeze semnificaia rezu
3. PIB/locuitor n Uniunea European (UE-27), dac PIB din Romnia reprezint 40,6% din UE-27;
media PIB/lo
5. mediana i modul PIB/locuitor;
rezultatelor;
c. Distribuia tu :
pe dup nivelul PIB
Num ---rul rilor 1 3 6 4 7 5
S se calculeze:
8. s se calculeze numrul rilor din ultima grup, stiind c acestea reprezint 3,8% n total;
r dup nivelul PIB/loc;
11. indicatorii sintetici ai variaiei PIB/loc i s se precizeze semnificaia acestora;
a fiecrei grupe n total.
9. media PIB/loc;
10. mediana i modul distribuiei rilo
12. pondere
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
22/74
22
REZOL
a. Grup une stabilirea:
intervalului de grupare,
r
ilizate entru eterm area umrului de grupe const proximarea acestuia
n care reprezint numrul aproximativ de grupe i n numrul firmelor observate. Numrul de grupe
a fi egal cu num ete valoarea rezultat din calcul, ceea ce nseamn c numrul
n plus a rezultatului.
rime dintre valoarea maximmax) ) la numrul grupelor (g), conform formulei:
valului (h) se stabilete prin rotunjirea n plus
VARE
area gruparea rilor dup PIB presup
iv. numrului de grupe,
v. a mrimii
vi. a limitelor intervalelor de grupare, adic a valorilor care delimiteaz fiecare grup.
i. Numrul grupelo
Una dintre metode ut p d in n n ale
pe baza formulei:
g~
3 n2g~=
v rul ntreg care dep
de grupe se stabilete prin rotunjirea
.64,4502g~ 3 ==
Deci, numrul de grupe este g = 5.
ii. Mrimea intervalului de grupare
M a intervalului de grupare ( ) poate fi aproximat mprind diferenah~
(x i cea minim (xmin
gh minmax= xx~
M rimea efectiv a inter a rezultatului raportului.
Specificarea limitelor intervalelor de grupare trebuie astfel realizat nct intervalele constituite s
Practic, limita inferioar a primului interval (intervalul corespunztor celor mai mici valori) poate fi stabilit
doptnd o valoare arbitrar, egal sau mai mic dect valoarea minim, dar nu mult mai mic dect
80
==h150~
5
h = 10 mii $ ppc
iii. Limitele intervalelor
acopere toate valorile rezultate din observare, iar o anumit valoare s poat fi atribuit unei singure
grupe.
a
aceasta. Aceast limit poate fi determinat pe baza formulei:
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
23/74
( ) ( )
23
Limita inferioar a intervalului urmtor este egal cu limita superioar a primului interval, iar limita
ar se determin adugnd la aceasta nlimea intervalului. n mod similar se stabilesc i
s
......
mita inferioar a primului interval poate fi stabilit pornind de la:
i interval se poate stabili la 5, limita superioar a acestuia va fi
urma numrrii rilor care au nivelul PIB cuprins n fiecare din cele cinci intervale a rezultat
rmtoarea distribuie:
Limita superioar a primului interval se calculeaz nsumnd nlimea intervalului la limita sa inferioar:
superio
limitele celorlalte intervale.
A tfel:
.......................................
Li
n acest caz limita inferioar primulu
egal cu:
mii $ ppc
iar limitele celorlalte grupe vor fi:
n
u
2xx n
xxhg minmaxmi
inf
1
hxx
inf
1
sup
1+
sup
1
inf
2 xx = xxinf
2
sup
2 = h
hxx inf3sup
3 +
sup
1k
in
kxx hxx
inf
k
sup
k +
+
sup
2
inf
3 xx =
f =
5)1050(105
10inf1 =
=x
1510sup1 ==x 5
2
x 2 =
354 = 451035sup4 =+=x
5510455 =+=x
p3 =+=x
15inf = 15sup +=x 25102
su25inf3 =x 351025
infx
45inf5 =xsup
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
24/74
24
Tabelul ia rilor dup nivelul PIB
Grupe du PIB
(m
Numrul rilor
1.1. Distribu
p
ii $ ppc)
5 15 9
15 25 15
25 35 21
35 45 4
45 55 1
b.
1. PIB n fiecare din cele cinci ri se determin astfel:
NlocPIBPIB
N
PIBlocPIB == //
.$4,234..5,21$9,10/ mldpersmilppcmiiNlocPIBPIBRomania ===
.$9,37..5,0$9,75/ mldpersmilppcmiiNlocPIBPIBLuxemburg ===
.$8,150..4,10$5,14/ mldpersmilppcmiiNlocPIBPIBCehia ===
.$8,41..0,2$9,20/ mldpersmilppcmiiNlocPIBPIBSlovenia ===
.$4,3189..2,82$8,38/ mldpersmilppcmiiNlocPIBrmaniaPIBGe ===
2. Raportul dintre PIB/locuitor n Romnia i n Slovenia (R/S), n Luxemburg i n Romnia (L/R)
i s se precizeze sem
nificaia rezultatelor.
521,09,20)(/
==SlovenialocPIB
, ceea ce nseamn c ni9,10)(/ Romanialoc
velul de bunstare n Romnia
reprezint numai 52,1% n raport c
PIB
u cel atins n Slovenia.
963,69,10)(/
==RomanialocPIB
9,75)(/ Luxemburgloc, indicnd un nivel de bunstare de 7 ori mai nalt n
Luxe
PIB
mburg dect n Romnia.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
25/74
25
3. PIB/locuitor n Uniunea European (UE-27), dac PIB/loc. din Romnia reprezint 40,6% din
UE-27
$8,261006,40
9,10100
)(/)27(/6,40100
) RomanialocPIBUElocPIB
Romanialoc==
6,40)27(/
(/mii
UElocPIB
PIB==
ri se determin conform relaiei:
Algoritmul de calcul al mediei este prezentat n tabelul 1.
Tabel 1. Algoritmul de calcul al mediei PIB/locuitor
4. Media PIB/locuitor n cele cinci
xi
(PIB/locuitor)
ni
(numrul locuitorilor) xini
Romnia 10,9 21,5 234,4
Luxemburg 75,9 0,5 37,9
Cehia 14,5 10,4 150,8
Slovenia 20,9 2,0 41,8
Germania 38,8 82,2 3189,4
Total 3654,3116,6
5. mediana PIB/locuitor se stabile te astfel:
se determin locul/rangul unitii mediane dup formula:
8,5816,1161 =+==22
15
+=
Me
n
i
i
U
se calculeaz frecvenele cumulate cresctor sau descresctor dup formula:
astfel:
=
=5
1i
i niN
ppcmiix i $3,316,1165
1 === =
n
nx
i
i
ii26,3654
1
5
=
5,2111 == nN9,314,105,21212 =+=+= nnN
9,330,24,105,213213 =++=++= nnnN
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
26/74
1,1162,820,24,105,2143215 =+++=+++= nnnnN
6,1165,02,820,24,105,2153215 4 =++++=++ nn ++= nnN
Tabel 2. Algoritmul de calcul al medianei PIB/loc
n
xi
(PIB/locuitor)
ni
(numrul locuitorilor) N
10,921,5 21,5
14,510,4 31,9
20,92,0 33,9
38,882,2 116,1
75,90,5 116,6
116,6
se compar frecvenele cumulate cresctor cu valoarea locului medianei
Prima frecven cumulat cresctor mai mare dect rangul medianei indic mediana PIB/loc. Aceasta
nde valorii 38,8 mii $ ppc, deoarece prima frecven cumulat cresctor care dep e te
=Me
de locuito
ntetici ai variaiei PIB/locuitor n cele cinci ri i s se precizeze
semnificaia rezultatelor.
6.1. Ind
corespu
8,8U este N4=116,1.
Modul
5
Seria are mod, valoarea acestuia fiind 38,8 mii $ ppc, corespunztorrii cu cel mai mare numr
ri (Germania).
6. Indicatorii simpli i si
icatorii simpli ai variaiei
6.1.2. Amplitudinea
ii. amplitudinea absolut:
minmax xxA =
9,659,109,75minmax === xxA mii $ ppc
. amplitudinea relativ:ii
100
x
A%A =
26
%5,2101009,65
% ==A3,31
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
27/74
27
6.1.2. Abaterile individuale
i. abaterile individuale absolute:
abelul 2.1.Abaterile in e cifrei de afa
PIB/locuitor
(mii $ ppc)
Abaterile absolute
mii $ ppc
Abaterile relative, %
ii. abaterile individuale relative:
d1 = 10,9-31,3 = -20,4 mii $ ppc
;xxd ii =
;100
x
d%d ii =
%;2,65%1 =d 1003,31
=4,20
T dividuale al ceri
xi
10,9-20,4 -65,2
75,944,6 142,5
14,5-16,8 -53,7
20,9-10,4 -33,2
38,87,5 24,0
iei6.2. Indicatorii sintetici ai varia
6.2.
relaiei:
ceea ce nseamn c nivelul PIB/loc. al rilor se abate fa de media de 31,3 mii $, n medie cu
34,9 mii $.
1. Abaterea medie
Se calculeaz pe baza
=
=n
i
n
i
ii
n
nxx
d 1
=i 1
ppcmii
nx
d iii
$87,346,116
8,4066
6,116
3,311 ==
=
=
5
3,31= ixid 100% id 3,31=id
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
28/74
28
Tabelul 2.2. Calculul numitorului formulei abaterii mediii dispersiei
ara
1 10,9 21,5
20,4 1401,3 4247,9 91329,32 75,9 0,544,6 71,2 20304,0 10152,0
3 14,5 10,416,8 558,2 2880,9 29961,5
4 20,9 2,010,4 66,5 1104,0 2208,0
5 387,5 57 ,2
,8 82,21969,6 4 47196,1
Total 116,64066,8 180846,9
6.2.2. Dispersia
Se calculeaz pe baza relaiei:
6.2.3. Abaterea standard
Formula de calcul:
PIB/loc se abate fa de media de 31,3 mii $ ppc n medie cu 39,4 mii $ ppc.
( )
=ii
1
=
=n
n
i
ii
n
nxx1
2
2
( )
=
=
=n
i
i
n
i
ii
n
nxx
1
1
2
( )ppcmii
nxi
ii
$4,390,15516,116
3,315
1
2
==
=
=
( )0,1551
6,116
9,180846
6,116
3,315
1
2
2 ==
=
=iii nx
ix 3,31ix 2)3,( ix 31ii nx 31 3,in
ii nx 2
)33( ,1
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
29/74
6.2.4. Coeficientul de variaie
Formula de calcul:
100x
v
=
%9,1251003,31
4,39==v
v > 35-40%, indicnd faptul c seria nu este omogen, iar media nu este reprezentativ.
7. Consumul specific de energie primar n Romnia i n celelalte ri
Romnia Luxemburg Cehia Slovenia Germania
PIB (mld. $ ppc ) 234,4 37,9 150,8 41,8 3189,4Consumul de energie primar (C)
(mil. tone combustibil convenional) 39,1 4,6 44,8 7,3 345,5
Consumul specific de energie primar
(tone combustibil convenional/$ ppc)166,8 121,4 297,1 174,6 108,3
Consumul specific de energie primar se calculeaz pentru fiecare ar, pe baza formulei:
PIB
Ccs =
8,1664,234
1,39
)(
)()( ===
RomaniaPIB
RomaniaCRomaniacs tone combustibil convenional/$ ppc
c. Distribuia tuturor celor 27 ri membre ale UE dup nivelul PIB/loc. este urmtoarea:
Grupe dup nivelul PIB/loc
(mii $ ppc)
Pn la 10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-40 Peste 40
Numrul rilor 1 3 6 4 7 5 ---
S se calculeze:
8.S se calculeze numrul rilor din ultima grup, stiind c acestea reprezint 3,8% n total.
10077 =X
xg
Unde reprezint ponderea ultimei grupe n total, este numrul rilor din ultima grup,
iar
7g 7x
X reprezint numrul total de ri din Uniunea European.
1026,1100
278,37 =
=x (o ar)
29
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
30/74
9.Media PIB/loc se calculeaz cu ajutorul formulei:
=
==k
i
i
k
i
ii
n
nx
x
1
1
Calculul mediei unei serii de distribuie pe intervale impune determinarea centrului intervalului, astfel:
2
xxx
sup
i
inf
ii
+= pentru i = 2, ...., k-1
2
hxx 1sup11 = , iar
2
hxx ksup1kk += ,
n condiiile n care
pentru i = 2, ...., k-1,sup1i
sup
ii xxh =
1kk
21
hh
hh
=
=
ppcmiixxhh
ppcmiixxhh
$103040
$51015
sup5
sup667
sup1
sup221
====
====
Astfel, centrele celor 7 intervale sunt:
5,72
510
2
1sup11 ===
hxx
5,122
1015
2
sup1
sup2
2 =+
=+
=xx
x
5,172
1520
2
sup2
sup3
3 =+
=+
=xx
x
5,222
2025
2
sup3
sup4
4 =+
=+
=xx
x
5,272
2530
2
sup4
sup5
5 =+
=+
=xx
x
0,352
3040
2
sup5
sup6
6 =+
=+
=xx
x
402
100,352
6sup67 =+=+= hxx
30
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
31/74
Tabelul 3.1. Algoritmul de calcul al mediei
Grupe dup
PIB/loc,
(mii $ ppc)
numrul de ri Mrimea intervalelor
(mii $ ppc)
hi
Centrul intervalelor
(mii $ ppc)
xi
ii nx
in
Pn la 10 15 7,5
7,510-15 3
5 12,537,5
15-20 65 17,5
105
20-25 45 22,5
90
25-30 75 27,5
192,5
30-40 510 35,0
175
Peste 40 110 40,0
40Total 27 - -
647,5
Media PIB/loc:
$0,2498,2327
5,647miix ==
10. Mediana i modul distribuiei rilor dup nivelul PIB/loc
10.1. Mediana
i. identificarea intervalului median
Se calculeaz frecvenele cumulate cresctor (Ni) i se compar cu rangul unitii mediane (UMe).
Prima frecven cumulat care depete rangul medianei este cea care indic intervalul median.
Frecvenele cumulate cresctor se calculeaz dup formula:
=
=k
i
ii nN1
,
Tabelul 3.2. Algoritmul de calcul al medianei
Grupe dup PIB/loc,
(mii $ ppc)
numrul
de ri
Mrimea
intervalelor,
mil.lei
hi
Frecvenele cumulate
cresctor
Pn la 10 15
1
10-15 35
4
15-20 65
10
20-25 (interval median) 45
14
25-30 (interval modal) 75
21
30-40 5
10
26Peste 40 1
1027
27
iN
31
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
32/74
Locul unitii mediane:
142
127
2
11 =
+=
+
=
=
k
i
i
Me
n
U
Se compar frecvenele cumulate cu locul medianei.
1411
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
33/74
ppcmiinnnn
nnhxMo $0,28
)57()47(
47525
)()( 6545
455
sup4 =
+
+=
+
+=
1MoMo1
1MoMo1
21
1Mo
sup1Mo
nn
nn
:unde
hxMo
+
=
=
+ +=
11. indicatorii sintetici ai variaiei PIB/loc.
11.1. abaterea medieFormula de calcul:
=
=
=k
i
i
k
i
ii
n
nxx
d
1
1
Prin urmare:
$1,709,727
5,19124
7
1
7
1 mii
n
nx
d
i
i
i
ii
==
=
=
=
PIB/loc se abate de la media de 24 mii $ ppc, n medie cu 7,1 mii $ ppc.
Tabelul 3.3. Algoritmul de calcul al abaterii medii
Grupe dup
PIB/loc,
(mii $ ppc)
Numrul de ri Centrul
intervalelor,
(mii $ ppc)
xi
Pn la 10 17,5
16,5 16,5
10-15 312,5
11,5 34,5
15-20 617,5
6,5 39
20-25 422,5
1,5 6
25-30 727,5
3,5 24,5
30-40 5 35,0 11 55Peste 40 1
40,016 16
Total27
- -191,5
ii nx 2424ix
in
33
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
34/74
11.2. dispersia
Formula de calcul:
=
=
=k
i
i
k
i
ii
n
nxx
1
1
2
2)(
Prin urmare:
6,6956,6927
3,1878
27
)24(7
1
2
2 ==
=
=iii nx
11.3. abaterea standard
Formula de calcul:
=
=
=k
i
i
k
i
ii
n
nxx
1
1
2)(
Prin urmare:
ppcmii
nxi
ii
$3,879,346,6927
)24(7
1
2
==
=
=
PIB/loc. se abate de la media de 24 mii $ ppc, n medie cu 8,3 mii $ ppc.
Tabelul 3.4. Algoritmul de calcul al dispersieii abaterii standard
Grupe dup
PIB/loc,
(mii $ ppc)
Numrul
de ri
Centrul intervalelor,
(mii $ ppc)
xi
Pn la 10 17,5
16,5 272,3 272,3
10-15 312,5
11,5 1190,3 396,8
15-20 617,5
6,5 1521,0 253,5
20-25 422,5
1,5 36,0 9,0
25-30 727,5
3,5 600,3 85,8
30-40 535,0
11 3025,0 605,0
Peste 40 1 40,0 16 256,0 256,0Total
27-
- 1878,3
2
)24(
ix ii nx 2
)24(24
ix
34
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
35/74
12.4. coeficientul de variaie
Formula de calcul:
100x
v
=
34,58%= 10024
3,8v
v cuprins in intervalul 35-40%, indicnd faptul c seria este omogen, iar media este reprezentativ.
12. Ponderea rilor din grupa in total se calculeaz dup formula:
100' =n
nn ii
Prin urmare:
%7,310027
1'1 ==n
%1,1110027
3'2 ==n
%2,2210027
5'3 ==n
%8,1410027
4'4 ==n
%9,2510027
7'5 ==n
%5,1810027
5'6 ==n
%8,3100271'7 ==n .
35
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
36/74
36
PROIECTUL IC
a. Se cunosc urmtoarele date privind producia a 42 firme productoare de carne i produse din carne
din judeul Tulcea (tone):
3000 4000 3250 1000 400 175 5000 6000 2500 2400 3100
1300 900 375 480 1400 5850 4500 3400 4250 1500 2775
1600 1810 440 3630 3805 4450 1725 1895 4025 4600
2890 2670 3085 1180 1110 290 3575 2590 3480 2840
S se fac gruparea firmelor dup producie.
b. Producia de produse din carne a 10 firme din municipiul Tulcea a fost urmtoarea:
tone 130 90 375 48 140 585 450 340 425 450
S se calculeze:
1. ponderea produciei primei i a ultimei firme i diferena dintre cele dou ponderi ;
2. raportul dintre producia maximi cea minim ;
3. producia tuturor firmelor productoare de produse din carne din Dobrogea, dac ponderea celor 10
firme n producia total este de 6,8% ;
4. ponderea celor 10 firme n efectivul de salariai ai unitilor productoare de carne din Dobrogea,
dac aceasta este cu 3,2 p.p. mai mare dect ponderea lor n producia total;
5. productivitatea muncii pe ansamblul celor 10 firme i n industria produselor din carne din Dobrogea,
dac efectivul de salariai al celor 10 firme este de 85;
6. media, mediana, modul produciei celor 10 firme;
7. indicatorii simpli i sintetici ai variaiei produciei celor 10 firme ;
8. media aritmetic, armonic, ptratici geometric a cifrei de afaceri a ultimelor 3 firme ;
c. Distribuia firmelor productoare de carne din Dobrogea dup nivelul produciei este urmtoarea :
Grupe dup nivelul
produciei, tone
Pn la
100
101-
200
201-
400
401-
800
801-
1200
1201-
1600
1601-
2000
Peste
2000
Pondere n total
firme, % 6,7 9,8 17,0 33,9 20,1 8,0 3,6 0,9
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
37/74
37
S se calculeze:
1. media produciei ;
2. mediana i modul distribuiei firmelor dup nivelul produciei;
3. indicatorii sintetici ai variaiei i s se precizeze semnificaia acestora.
4. numrul firmelor cuprinse n fiecare grup, dac n Dobrogea sunt n total 224 firme;
5. producia totali cea medie a firmelor din prima grup, dac producia acestora reprezint 2,7% din
producia total realizat n Dobrogea;
PROIECTUL ID
a. Se cunosc urmtoarele date privind salariile a 48 salariai din oraul M (mii lei):
3000 4000 3250 1000 4100 1750 5000 6000 2500 2400 2900 2400
1300 900 1375 1480 1400 5850 4500 3400 4250 1500 3000 2950
1600 1810 2440 3630 3805 4450 1725 1895 4025 4600 3225 3400
2890 2670 3085 1180 1110 1290 3575 2590 3480 2840 2775 3100
S se fac gruparea salariailor dup nivelul salariului.
b. Salariaii din departamentul de marketing al ntreprinderii CRINUL au realizat urmtoarele niveluri ale
salariilor neten octombrie 2001:
Mii lei lunar 3000 4000 3250 2500 4100 10750 5000 6000 7630 8170 2500 3800
S se calculeze:
1. media, mediana, modul celor 12 salarii;
2. indicatorii simpli i sintetici ai variaiei celor 12 salarii;
3. raportul dintre salariul maxim i cel minim ;
4. ponderea salariului maxim i a celui minim n suma salariilori diferena dintre cele dou ponderi ;
5. suma salariilor tuturor salariailor din ntreprinderea CRINUL, dac ponderea sumei salariilor celor
12 salariai n totalul salariilor din ntreprindere este de 4,8% ;
6. numrul total de salariai din ntreprindere, dac salariul mediu la nivelul ntreprinderii este de
4790 mii lei;
7. diferena dintre ponderea deinut de cei 12 salariai n suma salariilori n efectivul de salariai din
ntreprindere;
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
38/74
38
8. media aritmetic, armonic, ptratici geometric a celor mai mici 3 salarii;
c. n luna octombrie 2002, distribuia salariailor ntreprinderii dup nivelul salariului a fost urmtoarea:
Grupe dup nivelul
salariului, mii lei
Pn la
3000
3001-
4000
4001-
5000
5001-
6000
6001-
7000
7001-
8000
8001-
10000
Peste
10000
Total
Numrul salariailor 18 26 45 90 53 21 9 2 264
S se calculeze:
1. salariul mediu;
2. mediana i modul distribuiei salariailor dup nivelul salariului;
3. indicatorii sintetici ai variaiei i s se precizeze semnificaia acestora;
4. ponderea fiecrei grupe n numrul total al salariailor;
5. suma salariilori salariul mediu la nivelul ntreprinderii, dac salariul mediu al salariailor din cea de-a
doua grup a fost de 3584 mii lei, iar ponderea sumei salariilor realizate de acetia n totalul
salariilor pltite de ntreprindere a fost de 6,5%.
PROIECTUL I E
a. Se cunosc urmtoarele date privind economiile a 64 gospodrii din localitatea M (mii lei):
30000 4000 32250 12000 14100 17500 25000 73225
21300 9500 13750 14800 2400 5850 24500 22448
15600 31810 22440 32630 13805 44500 7250 33100
22890 32670 28085 19180 16110 14290 23575 12775
26000 12500 28400 86328 25100 52400 8874 15820
23400 45250 31500 76856 50712 37092 32636 13815
8950 24025 24600 28987 32550 12400 89250 290009590 23480 8840 58601 4833 14822 43400 103000
S se fac gruparea gospodriilor dup nivelul economiilor.
b. Au fost nregistrate cheltuielile de consum a 12 gospodrii din localitatea M:
Mii lei lunar 2130 9500 3750 4800 2400 5850 7450 6340 ... ... 4525 11500
S se calculeze:
1. cheltuielile de consum ale celei de-a noua i ale celei de-a zecea gospodrii, dac raportul dintre
cheltuielile celei de-a noua i cele ale primei gospodrii este de 280%, iar media cheltuielilor celor
12 gospodrii este de 5852 mii lei
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
39/74
39
2. ponderea cheltuielilor primei i ale ultimei gospodrii n cheltuielile totale ale celor 12 gospodrii i
diferena dintre cele dou ponderi ;
3. mediana cheltuielilor celor 12 gospodrii;
4. ponderea gospodriilor care efectueaz cheltuieli mai mari dect cele mediane i a sumei
cheltuielilor efectuate de acestea n totalul cheltuielilor celor 12 gospodrii;
5. indicatorii simpli i sintetici ai variaiei cheltuielilor celor 12 gospodrii;
6. media aritmetic, armonic, ptratici geometric a cheltuielilor ultimelor 3 gospodrii ;
7. cheltuielile medii ale celor 860 gospodrii din localitate, dac cheltulelilor realizate n total de cele
12 gospodrii reprezint 1,4% din cheltuielile tuturor gospodriilor din localitate.
c. Se cunoate, de asemenea, distribuia celor 860 de gospodrii dup nivelul veniturilor:
Grupe dup nivelul
veniturilor, mii lei
lunar
Pn la
3000
3001-
4000
4001-
5000
5001-
6000
6001-
8000
8001-
10000
10001-
15000
Peste
15000
Total
Numrul
gospodriilor 58 84 146 292 173 69 31 8 860
S se calculeze:
1. veniturile medii;
2. mediana i modul distribuiei gospodriilor dup nivelul veniturilor;
3. indicatorii sintetici ai variaiei i s se precizeze semnificaia acestora;
4. ponderea fiecrei grupe n numrul total al gospodriilor.
5. veniturile realizate de gospodrii din salarii, dac acestea reprezint 35% din totalul veniturilor.
PROIECTUL I F
a. Se cunosc urmtoarele date privind cantitatea zilnic de bere vndut de un magazin n august i
septembrie 2004 (litri):
600 800 650 1220 800 740 1000 1200 1560 880 955 1620 1510 1824 2086 1263
1260 1180 775 1196 1394 1170 950 680 850 1300 645 680 1020 1624 1336
720 1362 988 726 761 890 345 379 805 920 600 590 960 775 820
578 534 617 236 222 558 715 518 696 568 580 480 1020 630 415
S se grupeze zilele perioadei dup cantitile de bere vndute.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
40/74
40
b. Cantitile vndute n 21 august din 10 sortimente de bere i preurile acestor sortimente au fost
urmtoarele:
Cantiti (litri) 90 130 110 40 220 310 180 158 80 76
Preuri (mii lei/litru) 48 44 52 85 30 16 35 36 52 50
S se calculeze:
1. ponderea celui mai scump sortiment n volumul i n valoarea vnzrilori diferena dintre cele dou
ponderi;
2. raportul valoarea maximi cea minim a vnzrilor;
3. valoarea vnzrilor realizate la cele 10 sortimente de bere n luna august, dac ponderea vnzrilor
din 21 august n vnzrile totale de bere din luna respectiv este de 5,2% ;
4. valoarea vnzrilor de bere realizate de magazinul respectiv n 14 august, dac ponderea acesteian valoarea vnzrilor lunii august este cu 2,6 p.p. mai mare dect ponderea valorii vnzrilor din 21
august;
5. preul mediu la care s-a vndut berea n 21 august, preul median i cel modal;
6. ponderea sortimentelor cu preul mai mic dect cel median n volumul total i n valoarea total a
vnzrilor din 21 august;
7. indicatorii sintetici ai variaiei preului i s se precizeze semnificaia acestora;
8. media aritmetic, armonic, ptratici geometric a cantitilor vndute din cele mai ieftine trei
sortimente;
c. Distribuia a 340 de firme (magazine, restaurante i alte puncte de desfacere) din ora dup valoarea
vnzrilor zilnice de bere este urmtoarea:
Grupe dup
valoarea
vnzrilor, mii lei
Pn la
1000
1000-
2000
2000-
3000
3000-
4000
4000-
5000
5000-
7500
7500-
15000
15000
-
25000
Peste
25000
Pondere nnumrul total de
firme, %
11,8 17,9 24,1 26,5 10,6 4,4 2,9 1,2 0,6
S se calculeze:
1. media, mediana i modul distribuiei firmelor dup valoarea vnzrilor;
2. indicatorii sintetici ai variaiei valorii vnzrilori s se precizeze semnificaia acestora;
3. numrul firmelor cuprinse n fiecare grup;
4. ponderea firmelor din prima grup n vnzrile totale de bere, dac nivelul mediu al vnzrilor
realizate de acestea este de 680 mii lei, iar valoarea total a vnzrilor este de 1150 milioane lei.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
41/74
41
PROIECTUL I G
a. Se cunosc urmtoarele date privind consumul de energie electric a 56 de firme din oraul M (mii
kwh):
685 885 735 285 165 120 1085 1285 585 565 640 705 595 485
345 265 160 181 365 1255 985 765 935 385 730 765 1105 685
405 447 173 811 846 975 430 464 890 1005 685 675 865 270
663 619 702 321 307 143 800 603 781 653 665 565 835 705
S se fac gruparea firmelor dup consumul de energie electric.
b. Consumul de energie electrici cifra de afaceri a 10 firme de construcii din oraul M aunregistrat
urmtoarele niveluri :
Consumul de energie
electric, mii kwh685 885 735 285 165 120 1085 1285 585 565
Cifra de afaceri,
milioane lei lunar580 720 720 638 950 480 875 960 850 870
S se calculeze:
1. media, mediana, modul cifrei de afaceri i ale consumului de energie electric;
2. indicatorii simpli i sintetici ai variaiei cifrei de afaceri i a consumului de energie electric a celor 10
firme i s se compare gradul de omogenitate a celor dou serii;
3. media aritmetic, armonic, ptratici geometric a cifrei de afaceri a primelor 3 firme;
4. ponderea primei firme n consumul de energie electrici n cifra de afaceri a celor 10 firme i
diferena dintre cele dou ponderi;
5. raportul dintre cifra de afaceri maximi cea minim ;
6. cifra de afaceri a tuturor firmelor din ora, dac ponderea celor 10 firme n cifra total de afaceri este
de 3,2% ;
7. ponderea celor 10 firme n efectivul de salariai ai oraului, dac aceasta este cu 3,6 p.p. mai mare
dect ponderea lor n cifra total de afaceri;
8. consumul specific de energie electric.
c. Distribuia tuturor celor 250 firme din ora dup cifra de afaceri este urmtoarea:
Grupe dup nivelul
cifrei de afaceri, mii
lei
Pn
la 500
500-
1000
1000-
1500
1500-
2000
2000-
2500
2500-
5000
5000-
10000
10000-
20000
Peste
20000
Pondere n total
firme, %12,0 16,8 26,0 28,0 10,4 3,6 2,0 0,8 0,4
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
42/74
42
S se calculeze:
1. numrul firmelor cuprinse n fiecare grup;
2. media, mediana i modul distribuiei firmelor dup cifra de afaceri;
3. indicatorii sintetici ai variaiei cifrei de afaceri i s se precizeze semnificaia acestora;
4. ponderea firmelor din cea de-a treia grup n cifra total de afaceri, dac cifra medie de afaceri a
acestora este de 1360 mii lei, iar cifra medie de afaceri a tuturor celor 250 firme este de 2 miliarde
lei.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
43/74
43
PROIECTUL IIA
a. Se cunosc urmtoarele date privind veniturile a 16 gospodrii i cheltuielile efectuate de acestea
pentru ntreinerea i echiparea locuinei:
mii lei lunar
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Venituri 1400 2400 4400 1600 3000 6000 1800 2200 3600 7200 8400 4800 2000 1600 1700 8400
Cheltuieli
pentru
ntreinerea i
echiparea
locuinei
200 800
1600 500 1000
2400
400
600
1200
1400
2800 1800 560 600
480
3000
1. S se analizeze posibilitatea existenei unei relaii ntre nivelul veniturilor i cheltuielile pentru
ntreinerea i echiparea locuinei. Care este variabila factoriali care este cea rezultativ ? Care ar
fi ceilali factori cu aciune sistematic asupra variabilei rezultative ? Dar cei cu aciune aleatoare?
2. S se reprezinte grafic relaia dintre cele dou variabile i s se aprecieze sensul i forma legturii.
3. S se estimeze parametrii funciei de regresie care exprim relaia dintre variabile i s se precizeze
semnificaia acestora.
4. S se calculeze valorile ajustate/teoretice ale variabilei rezultative i s se reprezinte pe graficul de
mai sus (de la punctul 2).
5. S se determine nivelul probabil al cheltuielilor pentru ntreinerea i echiparea locuinei la un nivel al
veniturilor de 15 milioane lei.
6. S se estimeze intensitatea legturii dintre cele dou variabile pe baza coeficientului i a raportului de
corelaie. S se precizeze semnificaia rezultatelor.
7. S se calculeze coeficientul Spearman de corelaie a rangurilor.
b. Funcia de regresie care exprim dependena ponderii consumului alimentar (exprimat n %) de
nivelul
veniturilor (exprimate n milioane lei lunar) este:
y = 80,6 4,2 x.
1. S se precizeze semnificaia coeficientului de regresie.
2. S se calculeze coeficientul de corelaie, dac abaterea standard a ponderii consumului alimentareste de 18 p.p., iar cea a veniturilor este de 1256 mii lei.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
44/74
44
3. S se calculeze ponderea consumului alimentar al familiei Popescu, dac veniturile acesteia sunt de
10,4 milioane lei, iar abaterea ponderii consumului su alimentar fa de valoarea ajustat a acesteia
este de 7,3 p.p.
REZOLVARE
a. 1.
i. Evident, exist o legtur ntre veniturile gospodriilor i cheltuielile efectuate de acestea pentru
ntreinerea i echiparea locuinei, avnd n vedere c gospodriile pot face cheltuieli mari legate de
locuin numai dac dispun de venituri suficient de mari pentru a putea acoperi aceste cheltuieli, precum
i alte cheltuieli de consum (pentru alimente, mbrcminte, servicii medicale i medicamente, transport
etc.). Mrimea locuinei depinde de veniturile de care dispune gospodria, iar o parte din cheltuieli
(pentru mobilier, nclzire sau curenie, de exemplu) sunt determinate de mrimea locuinei. Deasemenea, gospodriile care dispun de venituri mai mari i permit o dotare mai bun cu bunuri de
folosin ndelungat (frigider, main de splat, cuptor cu microunde, aparat de aer condiionat etc.),
implicit achiziionarea unor aparate mai scumpe, precum i plata unui consum mai mare de energie
electrici a unor servicii de ntreinere (curenie, spltorie).
ii. n relaia dintre venituri i cheltuielile legate de locuin, veniturile gospodriei reprezint variabila
factorial (x), iar cheltuielile variabila rezultativ (y), avnd n vedere faptul c veniturile constituie
factorul determinant al cheltuielilor.
iii. Cheltuielile pentru ntreinerea i echiparea locuinei sunt determinate i de ali factori: mrimea i
structura gospodriei (numrul persoanelor care compun gospodria, sexul, vrsta i statutul
ocupaional al acestora); mediul de reziden (urban sau rural); oferta local de utiliti publice (reea de
ap potabil i canalizare, termoficare, salubritate); statutul de ocupare a locuinei (proprietate a
gospodriei sau nchiriat); rata dobnzii la creditele pentru cumprarea de echipamente electrocasnice,
apariia unor noi servicii (internet, cablu TV) etc.
iv. Cheltuielile pentru ntreinerea i echiparea locuinei pot fi influenate i de factori ntmpltori:
cheltuielile cresc dac se produc evenimente neprevzute (inundaii, incendii, accidente).
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
45/74
2. Reprezentarea grafic a relaiei dintre venituri i cheltuieli confirm existena unei legturi directe
ntre cele dou variabile. Se poate aprecia, de asemenea, c legtura este de form liniar, dei ar
putea s se aib n vedere i aplicarea unui model neliniar (de tip semilogaritmic, de exemplu).
Fig. 1. Veniturile gospodriilori cheltuielile pentru locuin
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 2000 4000 6000 8000 10000
veniturile (mii lei/gospodrie)
cheltuielile(miilei/gospodrie
3. Estimarea parametrilorai b ai ecuaiei de regresie
iii bxay ++=
pe baza sistemului de ecuaii
===
==
=+
=+
n
1i
ii
n
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
i
yxxbxa
yxbna
ale crui elemente sunt calculate n tabelul urmtor. Pentru simplificarea calculelor, veniturile i
cheltuielile (prezentate n tabelul de mai sus n mii lei) au fost recalculate n milioane lei.
Tabelul 1. Algoritmul de calcul al parametrilor ecuaiei de regresie
Gospodria
1 1,4 0,20 1,96 0,280
2 2,4 0,80 5,76 1,920
3 4,4 1,60 19,36 7,040
4 1,6 0,50 2,56 0,800
5 3,0 1,00 9,00 3,000
6 6,0 2,40 36,00 14,400
7 1,8 0,40 3,24 0,720
ix iy ii yx 2
ix
45
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
46/74
8 2,2 0,60 4,84 1,320
9 3,6 1,20 12,96 4,320
10 7,2 1,40 51,84 10,080
11 8,4 2,80 70,56 23,520
12 4,8 1,80 23,04 8,640
13 2,0 0,56 4,00 1,12014 1,6 0,60 2,56 0,960
15 1,7 0,48 2,89 0,816
16 8,4 3,00 70,56 25,200
Total 60,5 19,34 321,13 104,136
Astfel, sistemul de ecuaii devine:
16 a + 60,5 b = 19,34
60,5 a + 321,13 b = 104,136Dac se rezolv sistemul prin metoda substituiei,
16
b5,6034,19a
=
0606,00606156,016
3357,05,6034,19a
3357,0335699,0b
106,496b83,1477
176,1666b08,5138b25,366007,1170
136,10416b13,32116b5,605,6034,195,60
136,104b13,32116
b5,6034,195,60
=
=
=
=
=+
=+
=+
Parametrii pot fi calculai i pe baza formulelor
= =
= = =
=n
i
n
i
ii
n
i
n
i
n
i
iiii
xxn
yxyxn
b
1 1
22
1 1 1
)(
))((
in
x
bn
y
a
n
1i
i
n
1i
i == = .
Astfel,
46
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
47/74
3357,0335699,083,1477
106,496
5,6013,32116
34,195,60136,10416b
2==
=
0606,00606156,016
5,60
3357,016
34,19
a==
Parametrul b = 0,3357 arat c dac venitul gospodriei crete cu un milion de lei, cheltuielile pentru
ntreinerea i echiparea locuinei cresc n medie cu 0,3357 mil. lei (335700 lei). Semnul pozitiv al
parametrului b (b > 0) indic o legtur direct, ceea ce nseamn o cretere a cheltuielilor direct
proporional cu creterea veniturilor.
4. Valorile ajustate ale cheltuielilor se calculeaz pe baza formulei:
Astfel,
mil.lei
mil. lei
mil.lei
.........................................................................................
mil.lei
Tabelul 2. Valorile ajustate ale cheltuielilor
Gos ria
i
'
i bxay +=
adic:
47
i
'
i x3357,00606,0y +=
40938,0=
00606,0 +=41648,14,43357,00606,0y3 =+=
75928,24,83357,00606,0y16
=+=
4,13357,00606,0y '1 +=
74508,04,23357, ='
'
(mil.lei)
pod
1 1,4 0,20 0,40938
2 2,4 0,80 0,74508
3 4,4 1,60 1,41648
4 1,6 0,50 0,47652
5 3,0 1,00 0,94650
6 6,0 2,40 1,95360
7 1,8 0,40 0,54366
ix iy'
iy
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
48/74
8 2,2 0,60 0,67794
9 3,6 1,20 1,14792
10 7,2 1,40 2,35644
11 8,4 2,80 2,75928
12 4,8 1,80 1,55076
13 2,0 0,56 0,6108014 1,6 0,60 0,47652
15 1,7 0,48 0,51009
16 8,4 3,00 2,75928
Total 60,5 19,34 19,34030
chiparea locuinei la un nivel al veniturilor de 15
milioane lei se determin pe baza ecuaiei de regresie
pentru xi = 15
mil.lei
6. Coeficientul i raportul de corelaie
i. Coeficientul de corelatie se calculeaz pe baza formulei
Fig.2. Veniturile gospodriilori cheltuielile pentru locuin
(modelul liniar)
y = - 0,0606 + 0,3357x
R2
= 0,8838
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
cheltuielile(mil.lei/gospodrie
9
veniturile (mil.lei /gospodrie)
5. Nivelul probabil al cheltuielilor pentru ntreinerea i e
i
' x3357,00606, +
0,59749,4153357,00606,0y i =+=
i 0y =
'
48
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
49/74
=
====
===
2n
1i
i
n
1i
2
i
2n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
yynxxn
yxyxn
r
ale crei elemente sunt calculate n tabelul 3, astfel:
( )( )94,09401288,0
70,527
106,496
4284,18883,1477
106,496
34,19154,35165,6013,32116
34,195,60136,10416r
22==
=
=
Coeficientul de corelaie indic o legtur direct puternic ntre veniturile gospodriilori cheltuielile
pentru ntreinerea i echiparea locuinei.
Tabelul 3. Algoritmul de calcul al coeficientului de corelaie
Gospodria
1 1,4 0,20 1,96 0,280 0,0400
2
iyix iy ii yx 2
ix
2 2,4 0,80 5,76 1,920 0,6400
3 4,4 1,60 19,36 7,040 2,5600
4 1,6 0,50 2,56 0,800 0,2500
5 3,0 1,00 9,00 3,000 1,0000
6 6,0 2,40 36,00 14,400 5,7600
7 1,8 0,40 3,24 0,720 0,1600
8 2,2 0,60 4,84 1,320 0,3600
9 3,6 1,20 12,96 4,320 1,4400
10 7,2 1,40 51,84 10,080 1,9600
11 8,4 2,80 70,56 23,520 7,8400
12 4,8 1,80 23,04 8,640 3,2400
13 2,0 0,56 4,00 1,120 0,3136
14 1,6 0,60 2,56 0,960 0,3600
15 1,7 0,48 2,89 0,816 0,2304
16 8,4 3,00 70,56 25,200 9,0000
Total 60,5 19,34 321,13 104,136 35,1540
ii. Raportul de corelaie se calculeaz pe baza formulelor
49
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
50/74
( )
( )2n
1i
i
n
1i
2'
i
yy
yy
R
=
=
= sau
( )
( )2n
1i
i
n
1i
2'
ii
yy
yy
1R
=
=
= ,
ale cror elemente sunt calculate n tabelul 4.
Tabelul 4. Algoritmul de calcul al raportului de corelaie
Gospodria yy i 2
i )yy( yy'
i 2'
i )yy( '
ii yy 2'
ii )yy(
1 0,20 0,40938 -1,00875 1,01758 -0,7994 0,6390 -0,2094 0,0438
2 0,80 0,74508 -0,40875 0,16708 -0,4637 0,2150 0,0549 0,0030
3 1,60 1,41648 0,39125 0,15308 0,2077 0,0432 0,1835 0,0337
4 0,50 0,47652 -0,70875 0,50233 -0,7322 0,5362 0,0235 0,00065 1,00 0,94650 -0,20875 0,04358 -0,2623 0,0688 0,0535 0,0029
6 2,40 1,95360 1,19125 1,41908 0,7449 0,5548 0,4464 0,1993
7 0,40 0,54366 -0,80875 0,65408 -0,6651 0,4423 -0,1437 0,0206
8 0,60 0,67794 -0,60875 0,37058 -0,5308 0,2818 -0,0779 0,0061
9 1,20 1,14792 -0,00875 0,00008 -0,0608 0,0037 0,0521 0,0027
10 1,40 2,35644 0,19125 0,03658 1,1477 1,3172 -0,9564 0,9148
11 2,80 2,75928 1,59125 2,53208 1,5505 2,4041 0,0407 0,0017
12 1,80 1,55076 0,59125 0,34958 0,3420 0,1170 0,2492 0,062113 0,56 0,61080 -0,64875 0,42088 -0,5980 0,3575 -0,0508 0,0026
14 0,60 0,47652 -0,60875 0,37058 -0,7322 0,5362 0,1235 0,0152
15 0,48 0,51009 -0,72875 0,53108 -0,6987 0,4881 -0,0301 0,0009
16 3,00 2,75928 1,79125 3,20858 1,5505 2,4041 0,2407 0,0579
Total 19,34 19,34030 0,00000 11,77678 0,00025 10,40896 -0,00025 1,36788
'
iyiy
94,09401354,088385455,077678,1140896,10R ===
sau
94,0940132,0883849,0116151,0177678,11
36788,11R ====
Raportul de corelaie indic o legtur puternic ntre venituri i cheltuielile pentru locuin.
50
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
51/74
7. Coeficientul Spearman de corelaie a rangurilor se calculeaz pe baza formulei
( ).
1nn
d6
1r2
n
1i
2
i
s
=
=
Calculul presupune stabilirea prealabil a rangului fiecrei uniti dup caracteristica factorial, astfel:
gospodriei cu cele mai mici venituri (prima gospodrie, 1,4 mil.lei) i se atribuie rangul k1(x) = 1. Celor
dou gospodrii care urmeaz n ordinea cresctoare dup nivelul veniturilor (a 4-a i a 14-a, 1,6mil.lei )
li se atribuie rangul (2+3)/2 = 2,5 (k4(x) = 2,5 i k14(x) = 2,5. Rangul 4 se atribuie celei de-a 15-a
gospodrii, rangul 5 celei de-a 7-a gospodrii s.a.m.d. n mod similar se determini rangurile dup
variabila rezultativ (cheltuielile).
Tabelul 5. Algoritmul de calcul al coeficientului de corelaie a rangurilor
Gospodri
a
ki(x) ki(y) di di2
1 1,4 0,20 1 1 0 0
2 2,4 0,80 8 8 0 0
3 4,4 1,60 11 12 -1 1
4 1,6 0,50 2,5 4 -1,5 2,25
5 3,0 1,00 9 9 0 0
6 6,0 2,40 13 14 -1 1
7 1,8 0,40 5 2 3 9
8 2,2 0,60 7 6,5 0,5 0,25
9 3,6 1,20 10 10 0 0
10 7,2 1,40 14 11 3 9
11 8,4 2,80 15,5 15 0,5 0,25
12 4,8 1,80 12 13 -1 1
13 2,0 0,56 6 5 1 1
14 1,6 0,60 2,5 6,5 -4 16
15 1,7 0,48 4 3 1 1
16 8,4 3,00 15,5 16 -0,5 0,25
Total 60,5 19,34 136 136 0 42
ix iy
Prin urmare,
94,0938235,0061765,0140802521
)116(164261r2S ===
=
51
indicnd o legtur puternic ntre cele dou variabile.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
52/74
b.
1. Coeficientul de regresie b = - 4,2 arat c, la creterea veniturilor cu un milion de lei, ponderea
consumului alimentar scade cu 4,2 puncte procentuale.
2. n acest caz, coeficientul de corelaie se calculeaz dup formula
y
xbr
=
unde b = - 4,2 este coeficientul de regresie,
x = 1,256 mil.lei este abaterea standard a veniturilor,
y = 18 p.p. este abaterea standard a ponderii consumului alimentar.
Prin urmare,
29307,0069778,02,418
256,12,4r ==
ceea ce arat o legtur invers slab.
3. Ponderea consumului alimentar al familiei Popescu se poate calcula pe baza formulei
iii bxay ++=
unde xi = 10,4 mil.lei este venitul familiei Popescu
i = - 7,3 p.p.
Astfel, ponderea consumului alimentar al familiei Popescu este:
yPopescu = 80,6 + 4,2 10,4 7,3 = 29,6%.
52
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
53/74
53
ROIECTUL II B
. Se cunosc urmtoarele date privind producia zilnic (productivitatea muncii) i ctigurile salariale
P
a
realizate de 16 muncitori care formeaz o echip:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Producia
30 34 28 32 36 29 31 40 46 50 38 35 44 48 22 27zilnic,
buci
Ctigul
ar
3000 3360 3240 3240 3600 3000 3120 3840 4200 4400 3600 4320 4000 6000 2800 3280salarial,
mii lei lun
1. S se analizeze posibilitatea existenei unei relaii ntre productivitatea muncii i ctigul salarial.
2. sensul i forma legturii.
e
4. tate/teoretice ale variabilei rezultative i s se reprezinte pe graficul de
5. robabil al ctigului salarial pe care l-ar putea obine un muncitor la o
6. tatea legturii dintre cele dou variabile pe baza coeficientului i a raportului
7. ngurilor.
. Funcia de regresie care exprim dependena salariului (exprimat n mii lei lunar) de vechimea n
1. mnificaia coeficientului de regresie.
standard a salariilor este de 1568 mii lei, iar
3. ghe Popescu, dac vechimea acestuia este de 35 ani, iar abaterea
Care este variabila factorial i care este cea rezultativ ? Care ar fi ceilali factori cu aciune
sistematic asupra variabilei rezultative ? Dar cei cu aciune aleatoare ?
S se reprezinte grafic relaia dintre cele dou variabile i s se aprecieze
3. S se estimeze parametrii funciei de regresie care exprim relaia dintre variabile i s se precizez
semnificaia parametrului b.
S se calculeze valorile ajus
mai sus (de la punctul 2).
S se determine nivelul p
producie de 60 piese.
S se estimeze intensi
de corelaie. S se precizeze semnificaia rezultatelor.
S se calculeze coeficientul Spearman de corelaie a ra
b
activitate (exprimat ani) este:
y = 2500 + 275 x.
S se precizeze se
2. S se calculeze coeficientul de corelaie, dac abaterea
cea a vechimii este de 12,7 ani.
S se calculeze salariul lui Gheorsalariului realizat de el fa de valoarea ajustat a acestuia este de 1,2 milioane lei.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
54/74
54
ROIECTUL II C
. Se cunosc urmtoarele date privind veniturile i consumul de carne a 16 gospodrii:
14 15 16
P
a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Venituri,r
2100 3600 6600 2400 4500 9000 2700 3300 5400 1080 1260 7200 2540 2700 1200 7500mii lei luna 0 0 0
Consum de
carne,
kg lunar3,0 3,2
4,5 1,8 2,8
5,0
2,5
3,5
4,0
7,0
7,5 3,6 2,0 2,0
6,0
5,0
1. S se analizeze posibilitatea existenei unei relaii ntre nivelul veniturilor i consumul de carne al
2. i forma legturii.
e
4. tate/teoretice ale variabilei rezultative i s se reprezinte pe graficul de
5. babil al consumului de carne la un nivel al veniturilor de 16,9 milioane lei.
7. ngurilor
. Funcia de regresie care exprim dependena consumului de zahr (exprimat n kg) de nivelul
1. emnificaia coeficientului de regresie.
standard a consumului de zahr este de 8,6
3. iliei Popescu, dac veniturile acesteia sunt de 10,4
gospodriilor. Care este variabila factoriali care este cea rezultativ ? Care ar fi ceilali factori cu
aciune sistematic asupra variabilei rezultative ? Dar cei cu aciune aleatoare ?
S se reprezinte grafic relaia dintre cele dou variabile i s se aprecieze sensul
3. S se estimeze parametrii funciei de regresie care exprim relaia dintre variabile i s se precizez
semnificaia parametrului b.
S se calculeze valorile ajus
mai sus (de la punctul 2).
S se determine nivelul pro
6. S se estimeze intensitatea legturii dintre cele dou variabile pe baza coeficientului i a raportului
de corelaie. S se precizeze semnificaia rezultatelor.
S se calculeze coeficientul Spearman de corelaie a ra
b
veniturilor (exprimate n milioane lei lunar) este:
y = 10,6 + 1,2 x.
S se precizeze s
2. S se calculeze coeficientul de corelaie, dac abaterea
kg., iar cea a veniturilor este de 2256 mii lei.
S se calculeze consumul de zahr al fam
milioane lei, iar abaterea consumului su de zahr fa de valoarea ajustat a acestuia este de +3
kg.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
55/74
55
ROIECTUL II D
arele date privind veniturile i cheltuielile de consum alimentar a 16 gospodrii:
-
P
Se cunosc urmto
- lei lunar
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Venituri 2 360066002400450090002700330054001 1 7 1 2400 25501100 0800 2600 200 2000 4400Cheltuieli de consum
24003600165030004800180024003300 5100 5400 4500 6600 144001500 6500alimentar 1500
1. S se analizeze posibilitatea existenei unei relaii ntre nivelul veniturilori cheltuielile de consum
2. i.
e
4. tate/teoretice ale variabilei rezultative i s se reprezinte pe graficul de
5. robabil al cheltuielilor de consum alimentar la un nivel al veniturilor de
6. tensitatea legturii dintre cele dou variabile pe baza coeficientului i a raportului
7. ngurilor.
zahr (exprimat n kg) de nivelul
1. ia coeficienilor de regresie.
, format din patru persoane, dac veniturile
3. ul de zahr al Elenei Zaharia, care locuiete singur, dac pensia acesteia
4. raportul de corelaie, dac cele dou variabile (veniturile i numrul de persoane din
alimentar ale gospodriilor. Care este variabila factorial i care este cea rezultativ ? Care ar fi
ceilali factori cu aciune sistematic asupra variabilei rezultative ? Dar cei cu aciune aleatoare ?
S se reprezinte grafic relaia dintre cele dou variabile i s se aprecieze sensul i forma legturi
3. S se estimeze parametrii funciei de regresie care exprim relaia dintre variabile i s se precizez
semnificaia parametrului b.
S se calculeze valorile ajus
mai sus (de la punctul 2).
S se determine nivelul p
15,2 milioane lei.
S se estimeze inde corelaie. S se precizeze semnificaia rezultatelor.
S se calculeze coeficientul Spearman de corelaie a ra
b. Funcia de regresie care exprim dependena consumului de
veniturilor (exprimate n milioane lei lunar) i de numrul de persoane din familie este:
y = 10,6 + 0,7 x1 + 9,6 x2.
S se precizeze semnifica
2. S se calculeze consumul de zahr al familiei Popescu
acesteia sunt de 12,4 milioane lei, iar abaterea consumului su de zahr fa de valoarea ajustat a
acestuia este de -3 kg.
S se calculeze consum
este de 1,4 milioane lei, iar abaterea consumului su de zahr fa de valoarea ajustat a acestuia
este de +5 kg.
S se calculeze
gospodrie) explic 64% din variaia consumului de zahr.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
56/74
56
ROIECTUL II E
e cunosc urmtoarele date privind produsul intern brut pe locuitori durata medie a vieii n n 16 ri:
P
S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
PIB/locuito 1478 2117 2697 9930 3100 2617 2554 1483 2191 4431 2935 4531 9775 3776 1839 7320r, dolari 9 6 7 6
Durata
medie a
vieii, ani
77,7 78,7 76,4 75,1 75,7 60,5 51,2 40,5 79,1 69,6 69,2 65,5 72,4 54,5 47,4 70,9
1. S se analizeze posibilitatea existenei unei relaii ntre nivelul PIB i durata medie a vieii. Care este
2. ze sensul i forma legturii.
e
4. tate/teoretice ale variabilei rezultative i s se reprezinte pe graficul de
5. babil al duratei medii a vieii la niveluri ale PIB de 500 i 30000 dolari.
lui
7. ngurilor.
. Funcia de regresie care exprim dependena duratei medii a vieii (exprimat n ani) de nivelul PIB
ficaia coeficienilor de regresie.
i PIB este de 16855 dolari/locuitori care
3. Romnia, al crei PIB este de 6855 dolari/locuitori
variabila factorial i care este cea rezultativ ? Care ar fi ceilali factori cu aciune sistematic
asupra variabilei rezultative ? Dar cei cu aciune aleatoare ?
S se reprezinte grafic relaia dintre cele dou variabile i s se aprecie
3. S se estimeze parametrii funciei de regresie care exprim relaia dintre variabile i s se precizez
semnificaia parametrului b.
S se calculeze valorile ajus
mai sus (de la punctul 2).
S se determine nivelul pro
6. S se estimeze intensitatea legturii dintre cele dou variabile pe baza coeficientului i a raportu
de corelaie. S se precizeze semnificaia rezultatelor.
S se calculeze coeficientul Spearman de corelaie a ra
b
(exprimat n mii dolari/locuitor) i ponderea cheltuielilor pentru sntate n PIB (exprimat n %) este:
y = 40,6 + 1,7 x1 + 0,6 x2.
1. S se precizeze semni
2. S se calculeze durata medie a vieii din Olanda, al cre
cheltuiete pentru sntate 8,8% din PIB, dac durata medie a vieii din Olanda se abate fa de
valoarea ajustat a acesteia cu 0,9 ani.
S se calculeze durata medie a vieii din
care cheltuiete pentru sntate 3,8% din PIB, dac abaterea duratei medii a vieii din Romnia
fa de valoarea ajustat a acesteia este de +16 ani.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
57/74
57
4. S se calculeze raportul de corelaie, dac cele dou variabile (PIB i ponderea cheltuielilor
pentru sntate) explic 64% din variaia duratei medii a vieii.
PROIECTUL II F
Se cunosc urmtoarele date produsul intern brut pe locuitor i rata mortalitii infantile (exprimat n
numrul copiilor sub un an decedai ce revin la 1000 nscui vii) n 16 ri:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
PIB/locuitor,
dolari
1478
9
2117
6
2697
79930 3100 2617 2554 1483
2191
64431 2935 4531 9775 3776 1839 7320
Rata
mortalitii
infantile,
5 5 5 11 10 71 81 88 6 21 38 20 6 87 170 10
1) S se analizeze posibilitatea existenei unei relaii ntre nivelul PIB i rata mortalitii infantile. Care
este variabila factoriali care este cea rezultativ ? Care ar fi ceilali factori cu aciune sistematic
asupra variabilei rezultative ? Dar cei cu aciune aleatoare ?
2) S se reprezinte grafic relaia dintre cele dou variabile i s se aprecieze sensul i forma legturii.
3) S se estimeze parametrii funciei de regresie care exprim relaia dintre variabile i s se precizeze
semnificaia parametrului b.
4) S se calculeze valorile ajustate/teoretice ale variabilei rezultative i s se reprezinte pe graficul de
mai sus (de la punctul 2).
5) S se determine nivelul probabil al rata mortalitii infantile la niveluri ale PIB de 500 i 30000 dolari.
6) S se estimeze intensitatea legturii dintre cele dou variabile pe baza coeficientului i a raportului
de corelaie. S se precizeze semnificaia rezultatelor.
7) S se calculeze coeficientul Spearman de corelaie a rangurilor.
b. Funcia de regresie care exprim dependena mortalitii infantile (exprimat n numr de copii sub un
an decedai ce revin la 1000 nscui vii) de nivelul PIB (exprimat n mii dolari/locuitor) i rata srciei
(exprimat n %) este:
y = 60,8 2,8 x1 + 0,2 x2.
1. S se precizeze semnificaia coeficienilor de regresie.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
58/74
58
2. S se calculeze rata mortalitii infantile din Spania, al crei PIB este de 12855 dolari/locuitori care
nregistreaz o rat a srciei de 18%, dac rata mortalitii infantile din Spania se abate fa de
valoarea ajustat a acesteia cu 5 .
3. S se calculeze rata mortalitii infantile din Romnia, al crei PIB este de 6855 dolari/locuitori care
nregistreaz o rat a srciei de 25%, dac abaterea rata mortalitii infantile din Romnia fa devaloarea ajustat a acesteia este de - 12 .
4. S se calculeze raportul de corelaie, dac cele dou variabile (PIB i rata srciei) explic 36% din
variaia duratei medii a vieii.
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
59/74
59
PROBLEME
Problema 1
n cazul a 8 ntreprinderi industriale din oraul M s-au nregistrat urmtoarele date privind volumul
produciei i numrul de salariai:
Producia lunar (milioane lei) 20 40 30 26 70 80 50 65
Numr de salariai 10 18 15 23 25 32 20
S se calculeze:
1. numrul de salariai ai celei de-a patra ntreprinderi , dac acesta reprezint 5% din numrul total de
salariai ai celor 8 firme (1p);
2. diferena dintre ponderile primei ntreprinderi n producia totali n numrul total de salariai(1p);
3. media i mediana produciei (1p.);
4. abaterea medie i standard a produciei i sse precizeze semnificaia acestora (1p);
5. coeficientul de variaie a produciei i a numrului de salariai i s se compare gradul de
omogenitate a celor dou serii (1p.);
6. parametrii ecuaiei de regresie y = a + bx, care exprim dependena produciei de numrul de
salariai i s se precizeze semnificaia parametrului b (2p);
7. valorile ajustate ale variabilei rezultative (1p);
8. raportul de corelaie i s se aprecieze intensitatea legturii dintre cele dou variabile (1p.)
Problema 2
n cazul a 8 ntreprinderi industriale din oraul R s-au nregistrat urmtoarele date privind volumul
produciei i numrul de salariai:
Producia lunar (milioane lei) 40 60 27 15 80 48 20 40
Numr de salariai 25 32 21 8 50 28 10 18
S se calculeze:
1. producia industrial a oraului R, tiind c suma produciei celor 8 ntreprinderi reprezint 40% dinproducia total a oraului (1p);
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
60/74
60
2. diferena dintre ponderile deinute de cele 8 ntreprinderi luate mpreun n producia industriali n
efectivul de salariai din oraul R, dac acesta din urm se ridic la 1000 salariai (1p);
3. media i mediana numrului de salariai (1p.);
4. amplitudinea absoluti relativ a variaiei numrului de salariai (1p);
5. indicatorii sintetici ai variaiei numrului de salariai i ai variaiei produciei, s se precizeze
semnificaia acestora i s se compare gradul de variaie a celor doi indicatori (3p.);
6. parametrii ecuaiei de regresie y = a + bx, care exprim dependena produciei de numrul de
salariai i s se precizeze semnificaia parametrului b (2p);
Problema 3
n cazul a 8 ntreprinderi industriale din oraul C s-au nregistrat urmtoarele date privind volumul
produciei i numrul de salariai:
Producia lunar (milioane lei) 120 40 50 26 70 65 100 65
Numr de salariai 70 18 12 6 23 20 40 20
S se calculeze:
1. producia industrial a oraului, tiind c producia primei ntreprinderi reprezint 2,5% din produciatotal (1p);
2. productivitatea muncii nregistrat n cea de-a treia ntreprindere i pe ansamblul celor 8 ntreprinderi
(1p);
3. media i mediana produciei i a numrului de salariai (1p.);
4. indicatorii sintetici ai variaiei produciei i s se precizeze semnificaia acestora (2p.);
5. parametrii ecuaiei de regresie y = a + bx, care exprim dependena produciei de numrul de
salariai, i s se precizeze semnificaia parametrului b (2p);
6. valorile ajustate ale variabilei rezultative (1p);
7. raportul de corelaie i s se aprecieze intensitatea legturii dintre cele dou variabile (1p.);
-
8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine
61/74
61
Problema 4
n cazul a 8 ntreprinderi din oraul M s-au nregistrat urmtoarele date privind volumul produciei i
numrul de salariai:
Producia lunar (milioane lei) 100 40 150 120 30 26 70 65
Numr de salariai 80 28 80 70 12 6 25 20
S se calculeze:
1. ponderea ansamblului celor 8 ntreprinderi n producia industrial i n efectivul de salariai ai
oraului M, tiind c numrul total de salariai este de 3000, iar ponderea n producia industrial este
cu 5 p.p. mai mare dect pondere