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Universitatea din Bucure¸ sti 15.07.2017 Facultatea de Matematic˘ a¸ si Informatic˘ a Concursul de admitere iulie 2017 Domeniul de licent ¸˘ a- Matematic˘a Barem I. Algebr˘ a. Oficiu .................................................................................. 1p (a) Verificarea egalit˘ at ¸ii ........................................................................... 2p (b) Ecuat ¸ia are dou˘ a r˘ ad˘ acini reale: 1, 3 √ 2 ......................................................... 2p (c) A parte stabil˘ a ................................................................................ 1p (A, +) - grup abelian .......................................................................... 2p (d) z 2 / ∈ A ⇔ 3 √ 4 / ∈ A ............................................................................ 0,5 p Demonstrat ¸ia 3 √ 4 / ∈ A ........................................................................ 1,5 p II. Analiz˘ a. Oficiu .................................................................................. 1p (a) y = √ 2x - √ 2 2 asimptot˘ a oblic˘ a spre +∞ ...................................................... 1p y = - √ 2x + √ 2 2 asimptot˘ a oblic˘ a spre -∞ ..................................................... 1p (b) Calculul lui f 0 3 ................................................................................. 1p x =1/2 punct de extrem local ................................................................. 1p (c) f (x)= ( 1 - x x ∈ (-∞, 1/2] x x ∈ (1/2, ∞) .............................................................. 2p f este continu˘ a .............................................................................. 1p (d) I = √ 2 ln( √ 2 + 1) ............................................................................. 2p III. Geometrie. Oficiu ............................................................................. 1p (a) Determinarea coordonatelor punctului E :(b, a + b) (analitic sau folosind congruent ¸e de triunghiuri) ................................................ 2p Scrierea vectorului -→ OE= b a -→ OA + a+b b -→ OD (dac˘ a au fost determinate mai ˆ ıntˆ ai coordonatele lui E) 2p Dac˘ a se obt ¸ine scrierea vectorului -→ OE direct prin metode vectoriale se acord˘ a 4 puncte (b) Scrierea condit ¸iei de coliniaritate (analitic, vectorial, etc) ....................................... 1p Demonstrarea coliniarit˘ at ¸ii (finalizarea) ......................................................... 1p (c) Determinarea coordonatelor punctului F :(a + b, a) ............................................. 2p Calculul ariilor celor dou˘ a triunghiuri ¸ si demonstrarea egalit˘ at ¸ii ................................ 1p (*) Pentru o solut ¸ie care trateaz˘ a corect doar cazul particular a = b se acord˘ a 7 puncte. Pentru o solut ¸ie care trateaz˘ a corect ¸ si complet cazul general f˘ ar˘ a a aminti de cazul particular se va acorda punctajul maxim. Orice alt˘ a solut ¸ie complet˘ a (transform˘ ari geometrice, numere complexe, etc.) va fi notat˘ a cu punctaj maxim. IV. Informatic˘ a. Oficiu ............................................................................ 1p Tratarea celor trei cazuri x < y, x = y, x > y ........................................................... 1p Determinarea nivelului pe care se afl˘ a un num˘ ar ....................................................... 1p Determinarea corect˘ a a tuturor vecinilor (adiacent ¸elor) unui num˘ ar .................................... 1p Afi¸ sarea unui drum corect pentru orice x ¸ si y .......................................................... 1p Afi¸ sarea unui drum corect minim pentru orice x ¸ si y ................................................... 3p Corectitudinea limbajului ............................................................................. 1p Explicat ¸ii ............................................................................................. 1p
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Universitatea din Bucuresti 15.07.2017
Facultatea de Matematica si Informatica
Concursul de admitere iulie 2017
Domeniul de licenta - Matematica
Barem
I. Algebra. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Verificarea egalitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(b) Ecuatia are doua radacini reale: 1, 3√
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(c) A parte stabila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(A,+) - grup abelian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
(d) z2 /∈ A⇔ 3√
4 /∈ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 p
Demonstratia 3√
4 /∈ A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,5 p
II. Analiza. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) y =√
2x−√22 asimptota oblica spre +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
y = −√
2x +√22 asimptota oblica spre −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
(b) Calculul lui f ′3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
x = 1/2 punct de extrem local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) f(x) =
{1− x x ∈ (−∞, 1/2]
x x ∈ (1/2,∞). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
f este continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(d) I =√
2 ln(√
2 + 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
III. Geometrie. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(a) Determinarea coordonatelor punctului E : (b, a + b)
(analitic sau folosind congruente de triunghiuri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p
Scrierea vectorului−→OE= b
a
−→OA +a+b
b
−→OD (daca au fost determinate mai ıntai coordonatele lui E) 2p
Daca se obtine scrierea vectorului−→OE direct prin metode vectoriale se acorda 4 puncte
(b) Scrierea conditiei de coliniaritate (analitic, vectorial, etc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p
Demonstrarea coliniaritatii (finalizarea) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(c) Determinarea coordonatelor punctului F : (a + b, a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p
Calculul ariilor celor doua triunghiuri si demonstrarea egalitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
(*) Pentru o solutie care trateaza corect doar cazul particular a = b se acorda 7 puncte. Pentru o solutie
care trateaza corect si complet cazul general fara a aminti de cazul particular se va acorda punctajul
maxim. Orice alta solutie completa (transformari geometrice, numere complexe, etc.) va fi notata cu
punctaj maxim.
IV. Informatica. Oficiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Tratarea celor trei cazuri x < y, x = y, x > y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Determinarea nivelului pe care se afla un numar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Determinarea corecta a tuturor vecinilor (adiacentelor) unui numar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Afisarea unui drum corect pentru orice x si y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Afisarea unui drum corect minim pentru orice x si y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p
Corectitudinea limbajului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
Explicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p
