unit.de inv nr.1,2,3

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

1/41

I. RADOMIR, A.FULGA

UNIVERSITATEA "TRANSILVANIA" DIN BRAOVDEPARTAMENTULPENTRU NVMNTLA DISTAN

ANALIZ MATEMATICANALIZ MATEMATIC

AUTORI: IRINEL RADOMIR

ANDREEA FULGA

1

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

2/41

I. RADOMIR, A. FULGA

PREFA

Analiza matematic este definit, de obicei, ca fiind acea ramur a matematicii care se bazeazpe noiunile de limit i funcie.

nelegerea Analizei matematice, la unul din nivelele posibile de raiune suficient, este i unfapt de cultur i educaie, pentru c disciplineaz gndirea, cenzureaz intuiia prin raionament,stimuleaz descoperirea i contribuie la modelarea multor fenomene fizice, chimice i tehnico-economice.

Analiza matematic reprezint obiect de studiu n multe institute de nvmnt superiordatorit, printre altele, faptului c fr cunoaterea unor concepte i rezultate fundamentale aleacestei discipline, nu poate fi abordat studiul fizicii sau al unor discipline tehnice i nici chiar

studiul unor capitole ale geometriei. Fiind considerat denceptori ca o ramur mai dificil a matematicii, dtorit subtilitilor legate de studiul proceselorcu o infinitate de etape, analiza matematic formeaz raionamentul procesual necesaraprofundrii altor discipline sau rezolvrii a numeroase probleme tehnice.

Lucrarea de fa prezint principalele rezultate teoretice clasice de calcul diferenial i integral.Exemplele incluse n fiecare capitol au drept scop s ilustreze conceptele fundamentale prezentatei constituie n acelai timp aplicaii concrete ale teoriei prezentate.

n ceea ce privete rigurozitatea raionamentelor, ea va fi respectat cu strictee, preferndrenunarea la demonstraiile laborioase i neeseniale.

Autorii

UNITATEA DE NVARE 1UNITATEA DE NVARE 1

2

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

3/41

I. RADOMIR, A.FULGA

IRURI I SERII DE NUMERE REALE

Cuprinsul unitii:

1. iruri de numere reale1.1. Limite de iruri1.2. iruri mrginite. iruri monotone

1.3. iruri fundamentale1.4. Aplicaii1.5. iruri remarcabile

2. Serii numerice2.1 Definiia seriilor convergente

2.2 Criterii de convergen pentru serii cu termeni pozitivi2.3 Serii alternate2.4 Serii cu termeni oarecare

Test de autoevaluareRspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare

Lucrare de verificare 1RezumatBibliografie recomandat pentru Unitatea de nvare 1

Obiectivele unitii de nvare 1:

La terminarea studiului acestei uniti de nvare vei fi capabil:-s cunoti noiunea de ir ;- s calculezi limita unui ir;-s reii definiiile i proprietile irurilor monotone i mrginite;- s demonstrezi convergena unui ir;-s deosebeti metode de calcul a limitei unui ir convergent.

1. iruri de numere realeDefiniia 1. Se numete ir de numere reale o funcie RNf :

Notm ( )nfan = , Nn , iar irulf l notm cu ( ) Nnna sau ( ) 1nna .

Simbolul na desemneaz termenul de rang n al irului ( )na .

Definiia 2. Se numete subiral unui ir RN :f compunerea luifcu ofuncie strict cresctoare NN : .

1.1. Limite de iruri

3

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

4/41


Definiia 3. Spunem c Ra este limita irului ( ) 1nna i notm aann=

lim sau

aan , dac n afara oricrei vecinti a lui a se gsesc cel mult, un numr finit de termeni.Adic,

aann

=lim ( ) ( )aV mulimea { }Van n : este finit.

Un ir care are limita finit (adic Ra ) se numete ir convergent.

Propoziia 1. Fie ( ) 1nna un ir de numere reale.

(i) =

lim Raann

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > aaNnN n:a..,0 N .

(ii) = nn alim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) >>> naNnN :a..,0 N .

(iii) = nn

alim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > naNnN :a..,0 N .

Propoziia 2.Limita unui ir convergent este unic.

Propoziia 3.Dac ( )na este un ir convergent, atunci irul ( ) 1nna este convergent i

nn

nn

aa

= limlim .

Exemple:

1.5

1

25

1lim =

+

+

n

n

n, deoarece notnd

25

1

+

+=

n

nan , rezult c

( ) 10253

255

2555

5

1

25

1

5

1

+=

++=

++=

nn

nn

n

nan

i ca atare, pentru orice 0> , considernd NN i

25

103>N obinem

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

5/41

I. RADOMIR, A.FULGA

Din afirmaia (iii) a acestei propoziii, rezult imediat:

Consecina 1.irul ( ) 1nna converge ctre Ra dac si numai dac irul( )

1

nnaa converge la 0, adic 0 aaaa nn .

Teorema 1.Dac ( ) 1nna , ( ) 1nnb , ( ) 1nnc sunt trei iruri de numere reale astfel nct

nnn cab , ( ) 0 n i R== acb n

nn

nlimlim , atunci i irul ( )na are limita a.

Exemple:

1. ,11

...2

1

1

1lim =

+++

++

+ P PP PP Pn nnnnoricare ar fi 1>p .

Pentru orice 1n i 1>p avem inegalitile:P PP PP P

nnnn +

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

6/41


1.2. iruri mrginite. iruri monotone

Definiia 6. Un sir de numere reale ( ) 1nna este:(i) minorat(sau mrginit inferior) dac exist un numr Ra a.. naa , ( ) N n ;(ii) majorat(sau mrginit superior) dac exist un numr Rb ,a.., ban , ( ) N n ;

(iii) mrginitdac exist dou numere Rba, , ba < , a.. baa n , ( ) N n .

Observaia 1. Consideraiile din capitolul 1, cu privire la funciile mrginite se aplic, nparticular, irurilor numerice.

Propoziia 6.Un ir ( ) 1nna este mrginit dac i numai dac exist un numr0>M a.. ( ) N nMan , .

Propoziia 7.Orice ir convergent de numere reale este mrginit.

Relativ la iruri mrginite, are loc urmtorul rezultat important.

Teorema 2. (Bolzano - Weierstrass)Orice ir mrginit conine un subirconvergent.

Definiia 7. Un ir ( ) 1nna de numere reale se numete:(i) cresctordac ( ) N + naa nn ,1 ;(ii) strict cresctordac ( ) N< + naa nn ,1 ;(iii) descresctordac ( ) N> + naa nn ,1 ;(iv) strict descresatordac ( ) N + naa nn ,1 .

Observatia 2. Evident, un ir cresctor i mrginit superior (de un numrb) estemrginit deoarece ( ) N nbaa n ,1 .Analog, un ir ( ) 1nna descresctor i mrginit inferior (de un numr

Ra ) este mrginit, deoarece ( ) N naaa n ,1 .

Teorema 3:Orice ir monoton i mrginit este convergent.

Relativ la irurile monotone i nemrginite se poate demonstra:

Exemple.

1. irul ( ) 1nna cu = + ++++=n

k

nkk

kknaa1

4

24

11 este convergent.

Avem mai nti

( ) ( ) 111

11

111

11

3

2

4

24

++=

++=

++

+=+

++kkkkkkk

kk

kk

kk

i deci

== +

+=

++=

+++ n

k

n

kn

nkkkk

kk

11

4

24

1

11

1

111

1,

de unde obinem c1

1

++=

naan .

Deoarece( )

01

11

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

7/41

I. RADOMIR, A.FULGA

este i mrginit. Rezult atunci, conform teoremei 3, c irul ( )na este convergent i aann=

lim .

2. Fie irul ( ) *Nnna ,definit astfel: ( )*,

2

12...4

3

2

1N

= nn

nan .

Deoarece

122

12

12

2...3

4

1

2

22

12

2

12...4

3

2

11 >>>>>= +nn aaaa

deci exist aann

=lim i

2

10 a .

Tem de cas. S se arate c irul( )

1nna

, 3212

2

++

=n

nan

este convergent (fiind monoton i

mrginit).

1.3 iruri fundamentale

n definiia limitei unui ir, aceast limita a intervenit n mod explicit. Pentru a verifica pe bazadefiniiei, convergena unui ir, trebuie s avem o indicaie asupra limitei. Exist ns situaii n careapar iruri crora nu le putem determina limita, chiar dac tim c sunt convergente.

Noiunea de ir fundamental ce va fi definit n cele ce urmeaz, este legat de posibilitatea de ademonstra convergena unui ir prin compararea termenilor si ntre ei i nu n raport cu un elementextern al irului.

Definiia 8. Un ir ( ) 1nna de numere reale se numete ir fundamentalsau irCauchy dac satisface condiia: ( ) ( ) ( ) N,0 > a.. ( ) ( )Nm i ( )Nn :

1

,0 N a..

7

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

8/41


( ) ( )Nn i Np : na , ( ) N n i aann=

lim atunci aaaan n

n=

...lim 21

(iii) (Cauchy) Dac 0>na , ( ) N n i exist [ ]=+

,0lim 1 a

a

a

n

n

natunci exist i

aan nn

=lim .

Exemplul 4.

1.1

1...21lim

1 +=

++++ pn

np

ppp

n, ( ) N p .

Lum pppn na +++= ...21 ,1+= pn nb i avem

( )

( )=

++

=

+

+

pp

p

nnn

nn

n nn

n

bb

aa

1

1limlim

1

1

( ).1

1

1...1

1...lim

...

...lim

11

1

11

1

1

1

10

1

011

1

0

+=

+++++++

=+++

+++= ++

++++

++

+

pnnpn

npn

nCnCnC

CnCnCppp

pp

npp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

n

2. 1...21lim =+++

n

nn .

Folosim consecina 1 (iii), cu nan +++= ...21 i calculm

n

nn

a

a

nn

n

n ++++++++

=

+

...21

1...21limlim 1

Deoarece > nan , se poate aplica teorema 5(Stolz-Cesaro):

11

2limlimlim

1

121 =++=

=

+

++

+

n

n

aa

aa

a

a

nnn

nn

nn

n

n.

Tem de cas. S se calculeze:

8

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

9/41

I. RADOMIR, A.FULGA

1.n

n

n

lnlim

; 2.

=

n

kn kn

1

11lim ; 3. ( )( ) ( )n

nnnn

n2...21

1lim ++

.

2. Serii numerice

2.1 Definiia seriilor convergente

O serie este un simbol al unei sume algebrice cu o infinitate de termeni cu ajutorul cruia,n anumite condiii se poate defini un numr, numit suma seriei.Fie { }...,2,1, =kak o mulime de numere reale.Operaia simbolic

=

=+++++1

321 ......n

nn aaaaa

(3.1)se numete serie de numere reale, iar na se numeste termenul general al seriei .

Definim sumele pariale ale acestei serii,....,..., 21 nSSS

(3.2)unde am notat prin

pppp aSaaaS +=+++= 121 ... (3.3)

i considerm irul ( )nS al sumelor pariale.Convenim, ca prin definiie s numim rezultat al operaiei (3.1) sau suma seriei(3.1), limitairului

==1

lim

n

nnn

aSS

(3.4)Astfel, seriile pot fi mprite n funcie de natura irurilor sumelor pariale corespunztoare,anume:

1. Serii convergente dac irul ( )nS este convergent.

2. Serii divergente dac == nnSS lim .

A determina natura unei serii, nseamn a stabili creia din cele dou categorii aparine seria dat,ceeea ce revine la studiul irului sumelor pariale.Au loc urmtoarele rezultate:

Teorema 6.Dac seria na este convergent atunci 0lim = nn a .

(3.5)

Teorema 7. (Criteriul de convergenta al lui Cauchy)

Seria

=1n

na este convergent dac i numai dac pentru orice numr real pozitiv , exist

un NN astfel nct1,,...21

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

10/41


Exemplul 1. Fie seria =

++++=n

nnn

1

...1

...2

11

1numit seria armonic.

Aplicnd teorema anterioar, pentru np = , obinem

pnnnaaa pnnn +

+++

++

=+++ +++1

...2

1

1

1...21

2

1

2

1...2

1

1

1 =>+

+++

++

=n

n

nnnn.

Deci, dac2

1 i np = nu se verific criteriul lui Cauchy, deci seria este divergent.

S remarcm , faptul c teorema 1., furnizeaz doar o condiie necesar, nu i suficient, deconvergen. Dup cum se observ din exemplu anterior condiia (3.5) este satisfacut deoarece

01

lim = nn

, dar seria n

1este divergent.

Exemplul 2. S discutm convergena seriei geometrice

=0n

nq .

Avem:

q

qqqqS

nn

n

=++++= 1

1...1

12 , sauq

q

qS

n

n

=

11

1.

Distingem patru cazuri:

(a) 1q , =

n

nqlim , =nS , seria este divergent.

(c) 1=q , fiecare termen al seriei este 1. Din acest motiv == nS

nn

nlimlim , seria este

divergent.(d) 1=q , termenii seriei au semnele alternante; irul ( )nS are dou limite 0 i 1 , deci irul( )nS nu converge.

Prin urmare, seria geometric este convergent dac 1

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

11/41

I. RADOMIR, A.FULGA

2. Criteriul II de comparaie (criteriul de comparaie la limit)

Fie

=0n

na ,

=0n

nb dou serii reale cu termeni pozitivi i lb

a

n

n

n=

lim ,

na , ( ) 0 n . Presupunem c exist

la

an

n

n

n =

+

1lim

1

. Atunci,(i) Dac 1l seria este convergent.

Observaia 4: Criteriul Raabe Duhamel se ntrebuineaz atunci cnd aplicarea criteriului lui

DAlambert conduce la cazul 1lim 1 =+

n

n

n a

a.

Exemplu 5. Fie seria( ) ( )( ) ( ) ++

++

1...1

...1

nnbbb

naaan .

Avem( ) ( )( ) ( )nbbb

naaanan ++

++=

...1

...1. Deoarece

( )( )( )( )11

11limlim 1

++++++=

+

nbn

nan

a

a

nn

n

n

11

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

12/41


nu putem decide natura seriei cu criteriul raportului i vom cerceta natura ei aplicnd criteriul Raabe Duhamel:

( ) ( )( )( )( )

.1

11

111lim1lim

1

=

+++

+++++=

+

ab

nan

nannbnn

a

an

nn

n

n

Atunci, pentru(i) 11 ab seria este convergent,

(iii) 11=ab seria devine( )

( )( ) +++++

121

1

nnana

aani aplicnd criteriul II de comparaie ,

cu =n

bn1

, urmeaza c seria este divergent ( ) { }0,1\ Ra .

Tem de cas. S se studieze convergena seriei

( )

= +

12...642

12...531

nn

n

.5. Criteriul radacinii (Cauchy)

Fie na o serie real cu termeni pozitivi. Presupunem c exist lan nn

=lim . Atunci,

(i) dac 1l seria este divergent.

Observaia 5: n cazul 1=l nu putem spune nimic despre convergena saudivergena seriei na .

Exemplul 6. Considerm seria

=

+

+1

1

11n

n

n

. Avem

1

1

11

1lim

11limlim a .

Avem nn aa ln= i an

an

n

a

n

n

nln

ln

lnlnlim

ln

1

lnlim ==

.

12

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

13/41

I. RADOMIR, A.FULGA

Dac: (i) 11

le

a , seria este divergent;

(ii) 11

>< le

a ,seria este convergent;

(iii)e

a1= seria devine

=

=

=

==

11

1ln

1

ln11

nn

n

n

n

ne

edeci, este divergent.

Tem de cas. S se discute convergena seriei

=

+++

1

1...

2

11

n

na.

2.3 Serii alternate

O serie de numere reale n care termenii sunt alternativ pozitivi i negativi se numete serie

alternat i este de forma ( ) ....1 32101

1++=

=

aaaaa

n

n

n , pentru Nn .

Urmtoarea teorem furnizeaz o condiie suficient pentru convergena seriilor alternate.

Teorema 3. (Leibniz)Fie ( )

=

1

11

n

n

na , 0>na o serie alternat, astfel nct

(i) irul ( )na este monoton descresctor, adic nn aa +1 pentru orice Nn

(ii) 0lim = nna .

Atunci seria ( )

=

1

1n

n

na este convergent.

Test de autoevaluare

1. Un ir ( ) 1nna este mrginit dac

2. Un ir ( ) 1nna este ir Cauchy dac3. Enunai teorema Stolz-Cesaro.4. Enunai criteriul general de convergen al lui Cauchy pentru serii de numere reale.5. Enunai criteriul Raabe-Duhamel.

6. O serie cu termeni oarecare

=1n

na

se numete absolute convergent dac ..

7. S se calculeze 2sin...2sin1sin

limn

n

n

+++

.

8. S se calculeze =

n

kn kn 1

11lim .

9. Studiai convergena seriei

= +1 11

n nn.

10. Studiai convergena seriei( )

= +

12...642

12...531

nn

n.

Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluareRspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare

13

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

14/41


1.1. ReveRevezi definizi definiia 6.ia 6.2.2. Revezi definiia 8.Revezi definiia 8.3.3. ReveRevezi teorema 5.zi teorema 5.4.4. ReveRevezi teorema 7.zi teorema 7.5.5. ReveRevezi criteriul.zi criteriul.6. Revezi definiia7. Aplic teorema 1.8. Aplic lema Stolz-Cesaro

9. Aplic definiia seriilor convergente; 11

1=

+= nn

nnan .

10. Aplic criteriul raportului.

Rezumat:Aceast unitate de nvare este dedicat nsuirii noiunilor de ir, respectiv serie de numerereale, precum i a proprietilor acestora.

Bibliografie

1. I. Radomir : Elemente de algebr vectorial, geometrie i calcul diferenial, EdituraAlbastr, Cluj-Napoca, 2000.

2. I. Radomir, A. Fulga:Analiz matematic. Culegere de probleme, Editura Albastr, Cluj-Napoca, 2000.

3. I. Radomir, A. Fulga:Analiz matematic, Editura Albastr, Cluj-Napoca, 2008.

LUCRARE DE VERIFICARE 1

A. S se calculeze:

1. ( )!2!...!2!1

limn

n

n

+++

; 2.

2

sin...2sin1sinlim

n

n

n

+++

;

14

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

15/41

I. RADOMIR, A.FULGA

3. 3221lim ++++

nnnn

; 4. 11lim 22 +

nnnnn

;

5.( )1

12...31lim +

+++P

PPP

n

n

n, Np ; 6.

n

n

n

lnlim

;

7. =

n

kn kn

1

11lim ; 8.

=

n

kn kn 1

11lim ;

9. ( )( ) ( )nn

nnnn

2...211

lim ++

; 10.( )

( )n

nn n

n

8!2

!lim

2

.

B. S se studieze convergena urmtoarelor serii de numere reale:

1.

= +1 11

n nn ; 2.

=

+1

1

1lnn

n ;

3.

= +

+

13

2

1

1

n n

n; 4.

( )

= +++

1 21

3

n nnn

nn;

5.

=1

2

2n

n

n; 6.

( )( )

=

134...951

13...852

nn

n;

7.( )

= +

12...642

12...531

nn

n; 8.

( )( ) ( )

= +++1 ...21!

nn

n

; R

9.

=

+

1

11

n

n

n; 10.

( )

=

+

+

1

1

12

3

n

n

n

n

n;

11.

=1

ln

n

an , 0>a ; 12.

=

+++

1

1...

2

11

n

na , 0>a .


FUNCII DE O VARIABIL REAL

Cuprinsul unitii:

1. Limite de funcii1.1. Limita unei funcii ntr-un punct1.2.Limite laterale

15

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

16/41


2. Funcii continue2.1. Definiia continuitii2.2. Continuitatea lateral2.3. Proprietile funciilor continue

3. Derivate

3.1. Definiia derivatei3.2. Proprieti ale funciilor derivabile

Test de autoevaluareRspunsuri i comentarii la testul de autoevaluareRspunsuri i comentarii la testul de autoevaluareRezumatBibliografie recomandat pentru Unitatea de nvare 2


La terminarea studiului acestei uniti de nvare vei fi capabil:-s calculezi limita unei funcii ntr-un punct ;- s demonstrezi c o funcie este continu ntr-un punct;-s cunoti proprietile funciilor continue;- s cunoti noiunea de derivat, respectiv funcie derivabil;-s calculezi derivata unei funcii..

O funcie real ( )xfy = , de variabil realx, este o transformare a crui domeniu de definiieEeste o mulime de numere reale (de obicei, [ ]baE ,= sau ( )baE ,= ), iar codomeniul este R.

1. Limite de funcii

1.1 Limita unei funcii ntr-un punctO funcie real ( )xfy = , de variabil realx, este o transformare a crui domeniu de definiie

Eeste o mulime de numere reale (de obicei, [ ]baE ,= sau ( )baE ,= ), iar codomeniul esteR.

Considerm funcia real de variabil real REf : i ne propunem s cercetm

comportarea sa n jurul unui punct 0x , adic s vedem ce se ntmpl cu valorile funciei ( )xf aunci cnd argumentulx se apropie de 0x . Mai exact, ne intereseaz dac pentru valori ale lui xapropiate de 0x , valorile funciei ( )xf sunt apropiate de un anumit numrl(finit sau infinit).

Suntem condui astfel la noiunea de limit a unei funcii ntr-un punct.

Definiia 1. Spunem c funcia REf : are limita l n punctul 0x dac pentru orice numrreal

pozitiv , exist 0> , astfel nct( )

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

17/41

I. RADOMIR, A.FULGA

O definiie echivalent a limitei unei funcii ntr-un punct, poate fi dat folosind limitele deiruri.

Teorema 1. Funcia REf : are limita l n punctul 0x dac i numai dac pentru orice irde

numere reale ( ) Nnnx , { } ,\ 0xExn oricare ar fi Nn , cu 0lim xxnx

= , avem

( ) lxf nn

=lim .

Observaia 2.Din teorema precedent deducem, n particular, c funcia f nu are limit n 0x dac i

numai dac exist un ir 0xxn penru care irul de numere reale ( )( )nxf nu esteconvergent.

Exemplul 1. S se arate c nu existxx1coslim

0.

Considerm irul ( ) 0nnx ,n

xn1

= . Deoarece 0lim = nnx , iar

( ) ( ) ( ) nnnn

nn

nn

fxf 1limcoslim1

limlim ==

=

, rezult c irul ( )( )nxf nu are limit, deci

xx

1coslim

0nu exist.

Cu ajutorul teoremei 4.1, putem calcula limitele unor funcii elementare.

(i) ,: RR f ( ) xxf = , ( ) 0lim xxfoxx = , oricare ar fi R0x ;

(ii) ,: RR f ( ) nxxf = , Nn , ( )n

xxxxf

o0lim = , oricare ar fi R0x ;

(iii) ,: RR f ( ) N= nx

xfn,1

, nnxx xx 0

11lim0

= , oricare ar fi

{ }00

\Rx ;

01

lim,1

lim0

== nxnx xx

;

(iv) ( ),,0: Rf ( ) ,xaxf = 0>a , 00

limxx

xx

aa =

, oricare ar fi R0x .

Dac 10 a : ,lim =

x

xa .0lim =

x

xa

(v) ( ) ,,0: Rf ( ) xxf ln= , 0lnlnlim0

xxxx

= , oricare ar fi

( ) ,00x ; = xx lnlim , = xx lnlim0 ;

(vi) ( ) ( ) R ,01,:f , ( )x

xxf

+=1

1 , ex

x

x=

+

11lim , e

x

x

x=

+

11lim .

Proprieti ale limitelor de funcii

Propoziia 1.Fie funcia REf : i 0x un punct de acumulare al lui E.

17

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

18/41


Dac limita funciei f n punctul 0x exist, aceasta este unic.

Propoziia 2.Fie f i g dou funcii definite pe E, 0x un punct de acumulare al lui E i

presupunem c exist ( ) 10

lim lxfxx

= i

( ) 20

lim lxfxx

= . Au loc

atunci urmtoarele proprieti:( )i ( )[ ] ( ) 100

limlim lcxfcxfcxxxx

== , oricare ar fi Rc .

( )ii ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 21000

limlimlim llxgxfxgxfxxxxxx

== .

( )iii ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 21000

limlimlim llxgxfxgxfxxxxxx

=

=

.

( )iv( )( )

( )

( )2

1

0

0

0 lim

lim

liml

l

xg

xf

xg

xf

xx

xx

xx==

, dac 02 l .

( )v ( )[ ] ( ) ( ) 20

1limlxg

xx

lxf =

.

Folosind aceste proprieti, putem preciza limitele altor funcii elementare.

(i) Pentru orice polinom ( ) 0111 _... axaxaxaxP nnnn +++= definit peR, 0na , avem

( ) ( )00

lim xPxPxx

= , oricare ar fi R0x ;

( ) ( ) nnx

axP +=lim , ( ) ( )

n

nx

axP =lim .

(ii) Funcia raional ( )( )( )xQxP

xR = , are limit ntr-un punct 0x n care nu se anuleaz

numitorul ( ) 00 xQ i( )( )

( )

( )0

0

0

limxQ

xP

xQ

xP

xx=

.

Dac ( )( )( )

01

1

1

01

1

1

...

...

bxbxbxb

axaxaxa

xQ

xPxR

m

m

m

m

n

n

n

n

++++

++++==

, 0na 0mb atunci

( )( )

( )

.

dac,

dac,

dac,0

lim

>

=

, exist 0> astfel nct

oricare ar fi { }0\ xEx cu proprietatea c00

xxx

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

20/41


Exemplul 2. Funcia { } RR 1\:f , ( )1

1

21

1

+

=x

xf nu are limit n punctul 10 =x , deoarece

( )1

21

1lim

11

=+

==

< xfl

xxs , iar ( )

.021

1lim

11

=+

==

> xfl

xxd

Tem de cas. S se arate c funcia( )

3

1

23

1

++

=xx

xf

, nu are limit n30 =x

.

2. Funcii continue

2.1. Definiia continuitii

Spre deosebire de paragraful precedent cnd valoarea funciei n punctul 0x nu era luat nconsiderare, n acest paragraf, comportarea funcieifeste studiat nu numai n jurul lui 0x , ci in 0x . Mai precis, se compar valoarea funciei n 0x , cu valorile sale n punctele vecine cu 0x ,motiv pentru care funcia trebuie s fie definit n 0x , adic Ex 0 .Definiia 4. Funcia REf : este continu n punctul Ex 0 dac

(i) exist ( )xfxx 0

lim i (ii)

( ) ( )00

lim xfxfxx

= .

Observaia 5. Problema continuitii nu are sens n punctele n care funcia nu

este definit. n particular, problema continuitii nu se pune n punctele + i ,deoarece domeniul de definiie al unei funcii este format numai din puncte finite.

Urmtoarele dou propoziii, ne furnizeaz condiii necesare i suficiente de continuitate,enunul fiecareia putnd fi luat ca definie a continuitii.

Propoziia 6.Funcia REf : este continu n Ex 0 , dac i numaidac, pentru orice numr real 0> , exist ( ) 0>= astfel nct, oricare ar fi Ex cu

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

21/41

I. RADOMIR, A.FULGA

Exemplul 3. Funcia ( ) R,0:f , definit prin ( ) xxf ln= , este continu pe ( ),0 , deoarece

pentru orice ( ) ,00x , exist 0lnlnlim0

xxxx

= .

Un punct n care f nu este continu se numete punct de discontinuitate. Punctele dediscontinuitate se mpart n dou categorii, anume, puncte de discontinuitate de prima spe i

puncte de discontinuitate de sprea a doua.

Un punct 0x , pentru care exist ( ) lxfxx=

0lim dar ( ) ( )0

0

lim xfxfxx

, se numete punct de

discontinuitate de prima spe.n acest caz, putem redefini (prelungim prin continuitate) funciaf,

astfel nct ( ) lxf =0 . Obinem astfel funcia ( )( )

=

=

0

0

dac,

dac,

xxl

xxxfxf , care este continu n 0x .

Exemplul 4. Fie funcia ( ) ( ) R ,00,1:f , ( ) ( ) xxxf1

1+= .

Avem: ( ) ( ) exxf xxx

=+=

1

00

1limlim , i deci, funcia are limit n 00 =x , dar nu este

continu n acest punct, deoarece 00 =x nu aparine domeniului su de definiie. Funcia

( ) ( )

=

+=0dac,

0dac,11

xe

xxxfx

,

definit pe intervalul ( ) ,1 este prelungirea prin continuitate a luif, n punctul 0.

Tem de cas. S se prelungeasc prin continuitate funcia

( )

( )

>+

=

0dac,1

0dac,1

x

x

xxf

21

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

22/41


are n 0 un punct de discontinuitate de spea a doua, deoarece

( ) 11limlim0

0

0

0===

xg dac

< x2

. Rezult astfel c,

24

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

25/41

I. RADOMIR, A.FULGA

( )

=

,0,

2

3. ( ) ( ) ( ) Ixxuu

uu >

= ,0,ln , 4. ( ) 1,0,ln >= aauaaa uu

5. ( ) uee uu = , 6. ( ) uuu = cossin

7. ( ) uuu = sincos , 8.

( ) ( ) ( ) Ixkxuu

uu +

= ,

212,

costg

2

9. ( ) ( ) Ixkxuu

uu

= ,,sin

ctg2

, 10.

( ) ( ) Ixxuu

uu

= ,1,1

arcsin2

11.( ) ( ) Ixxu

u

uu

=

,,

1arccos

2

12. ( )21

arctgu

uu

+

= , 13. ( )21

arcctgu

uu

+

= .

Exemplul 11. Fie funciile u i v derivabile pe un interval I i ( ) 0>xu . Atunci, funciauvuv eeu

v lnln == fiind compus din funcii derivabile este deasemenea derivabil i

( ) ( ) ( ) .lnlnln 1lnlnln uuvvuuu

uvuveuveeu

vvuuvuvv v +=

+==

=

Tem de cas. S se calculeze derivatele funciilor:

a. ( )21

1

xxxf

++= ; b) ( ) xxf sinln= ; c) ( ) 21arcsin xxxxf += .


1. Spunem c funcia REf : are limita ln punctul 0x dac2. Funciafare limit n 0x , dac i numai dac3. Funcia REf : este continu n punctul Ex 0 4. Operaii cu funcii continue.5. Spunem c funciafeste derivabil n 0x 6. Enunai proprieti ale funciilor derivabile.

7. S se studieze continuitatea funciei RR :f , ( )nxnx

nxnx

n ee

eexf

+

= lim .

27

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

28/41


8. S se studieze derivabilitatea funciei: ( ) R,0:f , ( )( ) ( ]

( )

+

+=

,1,1

1,0,2ln

2

2

xx

xxxxf .

9. 9. S se calculeze derivatele funciilor: a. ( ) ( )xxxf cossin= ; b. ( ) xxxf

1

= .


1. Revezi definiia2. Revezi propoziia 5.3. Revezi definiia 4.4. Revezi paragraful 2.3.5. Revezi definiia 7

6. Revezi 3.2.7. Vezi exemplul 6.8. Vezi exemplul 9.9. Vezi exemplul 11.

Rezumat:Aceast unitate de nvare este dedicat nsuirii noiunilor de limit, continuitate iderivabilitate, noiuni fundamentale n Analiza Matematic.

Bibliografie

4. I. Radomir : Elemente de algebr vectorial, geometrie i calcul diferenial, EdituraAlbastr, Cluj-Napoca, 2000.

5. I. Radomir, A. Fulga:Analiz matematic. Culegere de probleme, Editura Albastr, Cluj-Napoca, 2000.


DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR

Cuprinsul unitii:

1. Derivate de ordin superior1.1. Definiii1.2. Operaii cu funcii derivabile de n ori

2. Aplicaii ale derivatelor. Serii Taylor

28

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

29/41

I. RADOMIR, A.FULGA

2.1. Teoremele fundamentale ale calculului diferenial2.2. Formula lui Taylor2.3. Aplicaii ale teoremelor fundamentale la studiul funciilor

2.3.1. Monotonia funciilor2.3.2. Puncte de extrem local2.3.3. Regula lui LHospital

3. Difereniale

Test de autoevaluareRspunsuri i comentarii la testul de autoevaluareRezumatBibliografie recomandat pentru Unitatea de nvare 3


La terminarea studiului acestei uniti de nvare vei fi capabil:-s calculezi derivate de ordin doi, trei, s.a.m.d. ;- s foloseti n aplicaii proprietile funciilor derivabile;-s reii definiiile i proprietile;- s dezvoli o funcie n serie Taylor;-s determini extremele unei funcii;-s calculezi limite folosind regula lui LHospital.

1. Derivate de ordin superior1.1. Definiii

Fiefo funcie definit pe un interval I. Derivata funciei ( )xf n orice punct x, dac exist,este de asemenea o funcie, s spunem ( ) ( )xgxf = . Dac ( )xg este derivabil n x, atuncidefinim derivata a 2-a a funcieif, prin

( ) ( ) ( )( )== xfxgxf .n mod asemntor se definesc derivata a treia (sau de ordinul trei) a funciei f, notat

f sau ( )3f , derivata a patra (de ordinul patru) a funcieif, notat ( )4f .

Prin recuren, dac funcia feste derivabil de 1n ori pe o vecintate a punctului 0x (peI) i dac derivata ( )1nf este derivabil n punctul 0x (peI), atunci spunem c funciafestede derivabil de n ori n 0x (pe I). Derivata de ordin n a funciei f se noteaz ( )nf i sedefinete ca

( ) ( ) ( ) ( )( )= xfxf nn 1 .

Existena derivatei de ordinul n, ( )nf implic existena i continuitatea funciilor( )1,...,,, nffff ntr-o vecintate a punctuluix.

Exemplul 12.

Funcia ( ) { }0,1

\R= xxxf are derivate de orice ordin peR (este

indefinit derivabil),

29

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

30/41


( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )132

!1...,,2

,1

,1

+

==

==

n

n

n

x

nxf

xxf

xxf

xxf .

1.2. Operaii cu funcii derivabile de n ori

Dac funciilefigsunt de n ori derivabile pe I, atunci funciile ( )R

cfc , gf

i gf

sunt derivabile de n ori peIi:(i) ( ) ( ) ( )nn fcfc =

(ii) ( )[ ] ( ) ( )nnn gfgf =(iii) (formula lui Leibniz)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnn

n

n

nn

k

kknk

n

ngfgfCgfCgfgfCgf ++++==

=

...22111

Exemplul 14.S se calculeze derivata de ordinul n a funciei ( ) 3xexF x = .

Fie ( ) ( )3, xxgexf x == . Folosind formula lui Leibniz, obinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) .1661

311

3322

2113

1

33

xn

n

xn

n

xn

n

xnn

k

kknxk

n

nxn

eCxeC

xeCxexeCxexF

=

++

++===

Tem de cas. S se calculeze derivatele de ordinul n:

a) ( )x

xxfln

= ; b) ( ) baxxf += ;

c) ( ) ( )cbxexf ax += sin ; d) ( ) xxxf sin2 = .

2. Aplicaii ale derivatelor. Serii Taylor

2.1. Teoremele fundamentale ale calculului diferenial

Fie funcia RIf : , Ix 0 i ( )hxhxV += 00 , o vecintate a lui 0x . Spunem c funciafare un:

(i) maxim local(sau relativ) n punctul 0x dac ( ) ( )xfxf 0 , pentru orice Ix ;

respectiv,(ii) minim local(sau relativ) n punctul 0x dac ( ) ( )xfxf 0 , pentru orice Ix .

Punctele de maxim i minim local ale funciei f se numescpuncte de extrem local(sau relativ).Valorile funciei n aceste puncte se numesc valori extreme.

Urmtoarea teorem furnizeaz condiii suficiente de existen a punctelor de extrem local.

Teorema 3. (Fermat)Dac funcia f are derivat ntr-un punct de extrem Ix 0 ,atunci derivata sa este nul n acest punct, ( ) 00 = xf .

Observaii.

1. Funciafpoate avea un extrem n punctul 0x , fr a avea derivat npunctul respectiv. (De exemplu, funcia RR :f , ( ) xxf = , are un minim n 00 =x , deinu are derivat n acest punct.

30

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

31/41

I. RADOMIR, A.FULGA

2. n general, reciproca teoremei 3 nu este adevrat. (De exemplu, funcia RR :f ,( ) 5xxf = , are derivata ( ) 45xxf = nul n 00 =x , dar acesta nu este punct de extrem.

Teorema 4. (Rolle)Fie f o funcie real continu pe intervalul nchis [ ]ba, iderivabil pe intervalul deschis ( )ba, . Dac ( ) ( )bfaf = , atunci exist un punct

( )bac , astfel nct ( ) 0= cf .

Observaia 13. Dac una din cele trei condiii ale teoremei nu este verificat,concluzia poate s nu mai fie adevrat. De exemplu, funcia [ ] R2,0:f ,

( )[ )[ ]

+

=2,1dac,2

1,0dac,1

xx

xxxf

este continu pe [ ]2,0 , i derivabil n toate punctele intervalului cu excepia punctului

10 =x n care nu este derivabil. Derivata, ( ) ( )( )

=

2,1dac,2

1,0dac,1

x

xxf nu se anuleaz n nici un

punct.

Teorema 5. (Lagrange)Fie f o funcie real continu pe [ ]ba, i derivabil pe( )ba, . Atunci, exist cel puin un punct ( )bac , , bca

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

32/41


Atunci, exist un punct ( )bac , , bca

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

33/41

I. RADOMIR, A.FULGA( ) ( ) ( ) xkk exf = 1 , ( ) ( ) ,10,10 == ff ( ) 10 =f , ( ) 10 =f

i ( ) .!3!2!1

132 xxx

xf +=

Eroarea este dat prin ( )

( )

( ) ( )xce

xcf

xxR c

n

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

34/41


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )xRn

xxx

xRfn

xf

xf

xfxf

n

nn

n

nn

2

242

2

!2

1...!4!2

1

0!

...0!2

0!1

0

+

+++=

+++++=

unde

( )( )

( ) ( )( )

( ) cn

xcf

n

xxR

nn

nn

n cos1!22!22

122

2222

2

++

++

+

=+

= .

Presupunem c bx , unde 0>b este fixat. Atunci,

( )( ) ( )

0!22!22

2222

2 +

+

++

n

b

n

xxR

nn

n .

n mod similar, se demonstreaz c au loc urmtoarele dezvoltri:

1. ( )xRn

xxxe n

nx +++++=

!...!2!1

12

, ( )( ) ( )!1!1

11

+

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

35/41

I. RADOMIR, A.FULGA

adic,( ) 01ln +> xxex ; (ii) 0,

111ln

2>

++++

+=

0dac,11ln

0dac,1,:

2

xxx

xxxff RR ,

n punctul 00 =x .Vom aplica propoziia anterioar; pentru aceasta verificm dac sunt ndeplinite cele trei condiii

din ipotez.Funciaf este continu i derivabil pe ( )0, fiind definit printr-o funcie polinomial, iar pe

intervalul ( ),0 este o sum de funcii continue i derivabile; deci (ii) este verificat. n plus,deoarece

( ) ( ) 11limlim 200

00

=+=

xxxf

xx

xx , iar ( ) 10 =f ,

rezult c f este continu i n 00 =x , deci i condiia (i) este verificat.

Pentru a verifica existena limitei ( ( )xfxx

0lim ), calculm mai nti derivata funcieif:

35

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

36/41


( )

>++

xf , ( ) 1

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

37/41

I. RADOMIR, A.FULGA

interior Ix 0 , astfel nct ( ) 00 = xf , atunci

(i) 0x este punct de maxim, dac ( ) 00 xf .

Dac ( ) 00 = xf , sunt necesare alte teste pentru a stabili dac 0x este punct de extrem local.Are loc urmtoarea teorem:

Teorema 8.Fie f o funcie derivabil de n ori, 2n , ntr-un punct astfel nct( ) ( ) ( ) ( ) 0... 0

1

00 ====

xfxfxf n i ( ) ( ) 00 xfn .

(i) Dac n este par, atunci 0x este punct de maxim dac ( ) ( ) 00 xfn .

(ii) Dac n este impar, 0x nu este punct de extrem al funciei f.

2.3.3. Regula lui LHospitaln cazurile exceptate de teoremele relative la operaiile cu limite de funcii, trebuie fcut un studiu

direct pentru a vedea dac limita exist. Un procedeu comod de rezolvare a nedeterminrilor de forma

0

0i l reprezint aa numita regul a lui lHospital.

Fie funciile f i g definite pe un interval I, 0x i considerm raportul( )( )xgxf

. Dac

( ) ( )xgxfxxxx 00

lim0lim

== , atunci( )( ) 00

lim0

= xg

xf

xxi spunem c avem o nedeterminare de forma .

0

0

Propoziia 14.Fie I un interval dinR i RIgf :, . Presupunem c suntndeplinite condiiile:

(i) f,g sunt derivabile pe { }0\ xI(ii) ( ) ( ) { }0\,0 xIxxg (iii) ( ) ( )xgxf

xxxx 00

lim0lim

== .

(iv) exist( )( ) R=

lxg

xf

xx 0lim .

Atunci, funciag

fare limit n 0x i

( )( )

( )( )xgxf

xg

xf

xxxx

= 00limlim .

Demonstraie.Definim funciile RIGF :, ,

( )( )

=

=0

0

,0

,

xx

xxxfxF , respectiv ( )

( )

=

=0

0

,0

,

xx

xxxgxG .

Aplicnd teorema lui Cauchy funciilorFi G, rezult c exist un punct xc situat ntrex i 0x , 0x astfel nct:

37

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

38/41


( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )x

x

x

x

cg

cf

cG

cF

xGxG

xFxF

xg

xf

=

=

=

0

0.

Trecnd la limit,( )

( )

( )

( )

( )

( )xg

xf

cg

cf

xg

xf

xxx

x

xxxx

=

=

000

limlimlim .

(Deoarece xc fiind cuprins (strict) ntrex i 0x , avem000 xxxcx

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

39/41

I. RADOMIR, A.FULGA

b) ( ) ( ) 0lim1

1

lim1

lnlim1

lnlimlnlim

00

200

00

00

00 ==

=

==

>

>

>

>

>

x

x

x

x

x

x

xxxxx

xx

xx

xx

xx

;

c) ( )

= xx

x

x

x e

xexe 1limlim . Deoarece 0

1limlim == xxxx ee

x

, limita iniial

( ) ( ) ==

01lim0

xex

x.

d) ( ) ( )( )

( )

( )e

eeeex xxx

x

x

xx

xx

x

xx 1

lim1coslim 21

cos2

sinlim

coslnlim

cosln1

0

1

0

0202

2 ======

.

Tem de cas. S se calculeze: (i) 1cos1

lim

2

0

x

ex

x ; (ii)

x

xex

lim

.


1. Calculai derivata de ordin n pentru funcia ( )12

1

=

xxf

2. Enunai teorema lui Fermat.3. Spunem c funciaf are un: maxim local(sau relativ) n punctul 0x 4. Enunai teorema lui Lagrange.5. Scrieiformula lui Taylor de ordinul n, corespunztoare funcieif, n punctul a.6. Spunem c funcia RIf : este difereniabil ntr-un punct7. S se determine punctele de extrem pentru funcia

( ) R

e

f1

\,0: , ( )x

xxfln1

ln

+= .

8. S se demonstreze inegalitatea: ( ) 0,arctg1ln 2 >

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

40/41



1. Vezi exemplul 12.2. Revezi teorema 3.

3. Vezi paragraful 2.14. Vezi teorema 5.5. Revezi paragraful 2.2.6. Revezi definiia 8.7. Vezi exemplul 21.8. Se consider funciile ( ) ( )21ln xxf += ., ( ) arctgxxxg = , i se urmrete exemplul 19.9. Vezi exemplul 18.10. Vezi exemplele din 2.3.3.

Rezumat:n aceast unitate de nvare sunt introduse i discutate derivatele de ordin superior i sunt

prezentate o serie deaplicaii ale acestora.

Bibliografie1. I. Radomir : Elemente de algebr vectorial, geometrie i calcul diferenial, EdituraAlbastr, Cluj-Napoca, 2000.2. I. Radomir, A. Fulga: Analiz matematic. Culegere de probleme, Editura Albastr, Cluj-

Napoca, 2000.

3. . I. Radomir, A. Fulga:Analiz matematic., Editura Albastr, Cluj-Napoca, 2008.

LUCRARE DE VERIFICARE 2LUCRARE DE VERIFICARE 2

1. S se studieze continuitatea funciilor:

40

8/22/2019 unit.de inv nr.1,2,3

41/41

I. RADOMIR, A.FULGA

a) RR :f , ( )

=

+= +

2dac,0

2dac,

31

1

2

1

x

xxf x ;

b) RR :f , ( )

=

QR

Q

\dac,

dac,

xx

xxxf ;

c) RR :f , ( )nxnx

nxnx

n ee

eexf

+

= lim .

2. S se calculeze derivatele urmtoarelor funcii:

a) ( )21

1

xxxf

++= ; b) ( ) xxf sinln= ;

c) ( ) 21arcsin xxxxf += ; d) ( ) 4 41 xxxf += ;

e) ( ) ( ) xxxf cossin= ; f) ( ) xxxf1

= .

3. S se determine punctele de extrem pentru funciile:(i) RR :f , ( ) ( ) xexxxf = 2 ;(ii) RR :f , ( ) xxxf cossin += ;

(iii) ( ) R ef 1\,0: , ( ) x

xxfln1ln+=

;

(iv) RR :f , ( )9

22 +

=x

xxf .

4. S se demonstreze inegalitile:

(i) 0,1 >+> xxex ; (ii) 0,11

1ln2

>+

unit.de inv nr.1,2,3

Documents

Transcript of unit.de inv nr.1,2,3