ADMITERE, UNIVERSITATEA Babes,-Bolyai, CLUJ-NAPOCA

FACULTATEA DE MATEMATICA S,I INFORMATICA

1987

ALGEBRA

1. Sa se rezolve sistemul {3x+ y +

x y = 6

3x+x y = 17,

unde x, y R.2. Sa se reprezinte n plan imaginile geometrice ale numerelor complexe z, care ndeplinesc

condit, ia

z2 + iz2 3i = 1.

3. Sa se arate ca daca n s, i k sunt numere naturale cu n k+3, atunci coeficient, ii binomialiCkn, C

k+1n , C

k+2n , C

k+3n nu pot fi termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

4. Sa se demonstreze ca polinomul P (X) = (X 1)2(X 2)2 + 1 nu se poate descompunentr-un produs de doua polinoame cu coeficient, i numere ntregi.

5. Fie G mult, imea matricelor din M3(R) de forma:

Ma,b =

a b bb a bb b a

s, i avand proprietatea ca det(Ma,b) = 1. Sa se arate ca G este un grup n raport cunmult, irea matricelor.

1

ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA

1. Fie (xn)n1 un s, ir de numere reale pozitive, astfel ncat

(n+ 1)xn+1 nxn < 0, pentru orice n 1.

Sa se arate ca s, irul (xn)n1 este convergent s, i sa se calculeze limita sa.

2. Sa se reprezinte grafic funct, ia f : D R definita prin

f(x) =x2

x+ 1e

1x ,

unde D este domeniul maxim de definit, ie.

3. Sa se arate ca pentru orice a (0, 1], exista n N s, i x [0,pi

2

]as,a ncat

sin2n x+ cos2n x = a.

4. Sa se arate ca pentru orice x 2 are loc inegalitatea:

(x+ 1) cospi

x+ 1 x cos pi

x> 1.

5. Sa se calculeze: 22

1

arcsin x

x2dx.

2

GEOMETRIE S, I TRIGONOMETRIE

1. Fie A un punct situat n interiorul cercului C (O,R), A 6= O, iar BC coarda ce trece prinA s, i este perpendiculara pe OA. Sa se arate ca pentru orice punct M C (O,R), avemm(AMO) m(ABO).

2. Fie [AB] s, i [CD] doua diametre perpendiculare n cercul C (O,R), iarM (OA). DreaptaCM intersecteaza iaras, i cercul n N . Tangenta n N la cerc se intersecteaza cu paralelaprin M la CD n P .

a) Sa se arate ca patrulaterul OMNP este un trapez isoscel.

b) Sa se afle locul geometric al punctului {Q} = ONMP , candM parcurge segmentul(OA).

3. Sa se arate ca pentru orice con circular drept, raportul dintre aria sa totala s, i aria sfereinscrise este mai mare ca 2 sau egal cu 2.

4. Se considera n plan doua drepte perpendiculare. Sa se determine mult, imea punctelor Mdin plan, cu proprietatea ca suma distant,elor lui M la dreptele date este egala cu sumainverselor distant,elor sale la acestea.

5. Sa se discute s, i sa se rezolve ecuat, ia:

m2 sin2 3x = sin2 x, m R+.

3