Tudor Agneta2

Agneta Tudor Beton 2 2009_2010

1

AGNETA TUDOR

2009


2


3

1.1. ALEGEREA ALCĂTUIRII STRUCTURII DE REZISTENŢĂ. GENERALITĂŢI

Construcţia tratată în proiect este o estacadă, structura de rezistenţă fiind formată din planşeul care reazemă pe cadre din beton armat executate monolit şi fundaţii directe izolate sub stâlpi.

Planşeul este o structură de rezistenţă orizontală în planul x - y, având rolul de a prelua încărcările care pot să apară în timpul exploatării (fig.1). Planşeul are şi elemente nestructurale, cu rol de protecţie, de izolare, de finisare.

Planşeul este alcătuit din placă, grinzi transversale (paralele cu axa y) şi grinzi longitudinale (paralele cu axa x).

Dacă dimensiunile unui ochi de placă respectă condiţia: lmax / lmin < 2,0 (1)

placa este denumită uzual „placă armată pe două direcţii”, pentru că armăturile de rezistenţă dispuse după direcţiile x şi y sunt armături principale, care rezultă din calcul.

Grinzile transversale şi cele longitudinale formează împreună cu stâlpii cadre spaţiale. Prin tehnologia de execuţie şi modul de armare, se creează o legătură monolită între elementele structurii, rezultând o structură spaţială, capabilă să preia încărcările.

l t l t

lllllly

x

ll

hp

Grinzi transversaleGrinzi longitudinale

Stâlpi

Fig.1 Alcătuirea schematică a planşeului

Calculul unei structuri spaţiale este destul de dificilă, de aceea în practica curentă de proiectare se permite calculul separat al elementelor de rezistenţă, ţinând seama de modul în care se transmit încărcările verticale spre reazeme.

Schematic, încărcările urmează următorul traseu: placă → cadru spaţial = grinzi şi stâlpi → fundaţii → teren.

Traseul încărcărilor indică ordinea în care se calculează elementele de rezistenţă, adică se începe cu calculul plăcii planşeului, apoi se calculează cadrele şi fundaţiile.

Etapele de proiectare sunt: -- predimensionarea, care constă în alegerea dimensiunilor secţiunii elementelor. Astfel, se determină dimensiunile minime permise de norme; se stabilesc dimensiunile optime, rezultate pentru construcţiile obişnuite din calcule economice; de regulă se optează pentru anumite dimensiuni în limitele rezultate (pct.1.2).


4

-- calculul încărcărilor se face cunoscând destinaţia construcţiei, importanţa ei, amplasarea, alcătuirea şi dimensiunile elementelor de rezistenţă şi a celor nestructurale (pct.1.3); -- stabilirea schemei statice de calcul se referă la structura pe ansamblu şi la părţile structurale care se calculează, în cazul de faţă placa planşeului şi cadrul; -- calculul static, efectuat pe schema statică de calcul, pe care acţionează încărcările de calcul, combinate în cele mai defavorabile situaţii posibile. Calculul static se face prin metode exacte (programe de calcul automat) sau aproximative; rezultă starea de solicitare şi de deformare; -- proiectarea propriuzisă, cu etapele:

-- definitivarea secţiunii de beton a elementului, pe baza rezultatelor calculului static şi a caracteristicilor materialelor folosite; -- calculul ariilor de armătură şi stabilirea dispunerii acestor armături; -- desenul de execuţie, care cuprinde pe lângă planul cofraj (conturul interior al cofrajului) şi detaliile de armare, necesarul de materiale (volum de beton şi extras de armătură).

Aplicaţia 1. Alcătuirea structurii de rezistenţă

Structura de rezistenţă a unei estacade este formată din cadre şi planşee monolite din beton armat. Distanţele dintre axele stâlpilor se aleg: lt = 6,0m (direcţia transversală) şi ll = 4,0m (direcţia longitudinală). Construcţia este amplasată lângă localitatea Braşov, într-un mediu cu umezeală ridicată, dar fără agenţi agresivi.

Conform punctului 1.1, pentru un ochi de placă este îndeplinită condiţia:

lmax / lmin = lt / ll = 6,0/4,0 = 1,5 < 2,0,

deci placa este armată pe două direcţii.

1.2. PREDIMENSIONAREA STRUCTURII DE REZISTENŢĂ

Pentru predimensionare se utilizează tabelele (1) şi (2), în care l reprezintă deschiderile de calcul ale elementelor. • Placa este caracterizată prin grosimea hp, constantă pentru tot planşeul; deschiderea de

referinţă pentru determinarea hp este dimensiunea minimă, lmin . • Grinzile transversale şi longitudinale au secţiunile transversale în formă de T, datorită

conlucrării cu placa, având dimensiunile brt/hrt şi brl/hrl. Deschiderile grinzilor, măsurate între axele stâlpilor, sunt: lt pentru grinda transversală , ll pentru grinda longitudinală.

• Stâlpii se aleg cu secţiune dreptunghiulară sau pătrată, astfel încât dimensiunea minimă a secţiunii să fie cel puţin 300mm şi hs/ bs ≤ 2.

Tabelul 1. Grosimi pentru plăcile planşeelor Tipul planşeului hp min

Planşee cu grinzi şi: plăci armate pe două direcţii:

- simplu rezemate lmin / 40 - continue lmin / 45

plăci armate pe o direcţie: - simplu rezemate lmin / 30 - continue lmin / 35

Pentru plăcile planşeelor intermediare se recomandă cel puţin: - 70mm, pentru clădiri civile - 80mm, pentru clădiri industriale - 100mm, planşee carosabile OBS: Dimensiunile de mai sus pot fi sporite din condiţiile de verificare la foc, izolare acustică, expunere la medii agresive


5

Tabelul 2. Dimensiuni pentru grinzi Dimensiunea Prescripţii şi recomandări

l / 15 – grinzi de cadru sau grinzi principale l / 12 – grinzi de cadre antiseismice minimă, hmin l / 20 – grinzi secundare l / (8..12) – grinzi de cadru sau principale

Înălţimea

optimă, hoptim l / (12..15) – grinzi secundare h / b = 1,5..3 secţiuni dreptunghiulare Lăţimea inimii grinzilor h / b = 2..3 secţiuni T

Aplicaţie 2. Predimensionarea elementelor de rezistenţă

Plan cofraj planşeu Predimensionarea elementelor de rezistenţă componente ale structurii descrise se face

conform tabelelor (1) şi (2).

Placa

• Deschiderea cea mai mică dintre axele reazemelor plăcii este: lmin = ll = 4,0 m

• Deoarece placa este continuă pe ansamblul planşeului, grosimea plăcii trebuie să satisfacă relaţia: hp min= lmin / 45 = 4000 / 45 =88,9 mm; rotunjit la multiplu de 10mm, rezultă 90mm.

• Pentru clădiri industriale se recomandă să se adopte cel puţin hp= 80mm.

Se alege: hp = 120mm Grinda transversală

• Distanţa dintre axele stâlpilor pe direcţia transversală este: lt = 6,0 m

• Înălţimea minimă a secţiunii grinzii transversale: hrt,min = lt /15 = 6000/15 = 400 mm, ceea ce este multiplu de 50mm;

• Înălţimea optimă a secţiunii grinzii transversale: hoptim = lt /(8…12) = 6000/(8…12) = 750…500mm, deci se poate alege hoptim = 500; 550; 600; 650; 700; 750mm.

Se alege: hrt = 550mm • Lăţimea grinzii rezultă din relaţia h/b=2..3:

brt = 550/(2…3) = 250…200 (prin rotunjire la multiplu de 50mm). brt = 250mm

Grinda longitudinală

• Distanţa dintre axele stâlpilor pe direcţia longitudinală este: ll = 4,0 m

• Înălţimea minimă a secţiunii transversale: hrl = ll /15 = 4000/15 = 266 mm, prin rotunjire rezultă hrl,min = 300mm

• Înălţimea optimă a secţiunii transversale: hoptim = ll/(8…12) = 4000/(8…12) = 500…400 mm, deci se poate alege hoptim = 400; 450; 500; mm.

hrl= 500mm • Lăţimea grinzii rezultă din relaţia h/b=2..3:

brl =500/(2…3) = 250…200 (prin rotunjire la multiplu de 50mm). brl = 250mm


6

Stâlpii se aleg de dimensiunile: bs = hs = 400mm

Planul cofraj pentru planşeu şi secţiunea transversală prin estacadă sunt prezentate în fig.2 şi 3.

1.3. ACŢIUNI 1.3.1. Definiţii

Clasificare acţiuni Caracteristici Exemple

Permanente (G) variaţia în timp este nulă sau neglijabilă

Greutatea proprie - elemente de rezistenţă, izolaţii, finisaje

Variabile (Q) variaţia în timp este semnificativă

Încărcări rezultate din utilizarea clădirilor (utile)

Vânt Zăpadă

Accidentale (A) intensitate mare, timp redus de acţiune

Seism Explozii

Valori caracteristice (Indice k) Fk

Se definesc în normativele pe categorii de acţiuni

Permanente (Gk)

Variabile (Qk)

SE EN 1991-1-1 greutăţi specifice, încărcări utile CR 1-1-3-2005 zăpadă

Accidentale (Ak)

Corespund unei probabilităţi mici de depăşire în sens defavorabil pentru siguranţa structurii

P100-1/2006 : seism Valori de calcul (Indice d) Fd

Permanente (Gd) kgd GG ⋅= γ - greutate proprie

Variabile (Qd) kqd QQ ⋅= γ - încărcare utilă

Accidentale (Ad)

kfd FF ⋅= γ

fγ - coeficient parţial de siguranţă cu valori specifice fiecărei acţiuni Obs. În general 0,1f ≥γ

kad AA ⋅= γ - acţ. accidentală

1.3.2. Acţiuni permanente, G

Încărcările caracteristice permanente, gk (distribuite) sau Gk (concentrate): a. greutatea proprie a elementelor structurale din beton armat se determină în funcţie de greutatea specifică a betonului armat, ρ (tab. 3) şi dimensiunile nominale ale elementelor de rezistenţă. b. greutatea proprie a elementelor nestructurale se determină în funcţie de greutatea specifică ρ a materialelor din care sunt executate acestea; de exemplu, în cazul pardoselilor, greutatea proprie se stabileşte pentru structura acestora în funcţie de cerinţe (pardoseli calde sau reci, pardoseli speciale, etc.). În tabelul (4) sunt date încărcările caracteristice (în kN/m2) pentru ansamblul pardoselii, pentru câteva tipuri de pardoseli utilizate la clădiri industriale.

Încărcările de calcul permanente, gd sau Gd:

kgd gg ⋅γ= (2)


7

unde gk reprezintă valoarea caracteristică a încărcării permanente; γg - coeficientul parţial de siguranţă al încărcărilor permanente, având în general valoarea ≥1,0, ţinând seama de posibilitatea depăşirii valorii caracteristice a încărcării în condiţiile reale de serviciu (tab. 5).

1.3.3. Acţiuni variabile, Q

a. UTILE

Încărcările utile caracteristice qk sunt date în norme, funcţie de destinaţia clădirii sau se specifică de către beneficiar prin tema de proiectare. Încărcările de calcul variabile (de exemplu, utile), qd: kqd qq ⋅γ= (3)

unde qk sunt încărcările caracteristice variabile; γq - coeficienţii parţiali de siguranţă ai încărcărilor variabile (tab. 5).

Tabelul 3. Greutăţi specifice pentru beton şi mortar

Material Greutate specifică

ρ (kN/m3)

1. BETOANE DE CIMENT Beton simplu (cu pietriş sau piatră spartă) 24,0 Beton armat (cu pietriş sau piatră spartă) 25,0 Beton cu agregate din zgură expandată 14,0…20,0 Beton cu granulit 11,0…17,0 Beton celular autoclavizat 5,0…7,0 2. MORTARE Mortar de ciment 21,0 Mortar de ciment-var 19,0 Mortar de var sau ipsos 17,0

Tabelul 4. Pardoseli

Tipul şi alcătuirea pardoselii Greutatea totală a

pardoselii (kN/m2)

Grosimea totală a

pardoselii (cm)

Plăci metalice antiderapante (2mm) pe şapă din mortar de ciment (3cm) 1,10 ≈ 4,0 Dale din beton (5cm) pe pat de nisip (2cm) 1,50 ≈ 7,0 Mozaic turnat (1cm) pe şapă din mortar de ciment (3cm) 0,91 ≈ 4,0 Plăci din beton mozaicat (3cm) pe şapă din mortar de ciment (3cm) 1,00 ≈ 6,0 Plăci din gresie ceramică pe şapă din mortar de ciment (3cm) 0,84...0,94 ≈ 4,0

Tabelul 5 Coeficienţii de siguranţă parţiali ai acţiunilor, γf Tipul încărcării γf

Încărcări permanente 35,1g =γ

Încărcări variabile 5,1q =γ


8

b. ZĂPADĂ Valoarea caracteristică a încărcării din zăpadă pe acoperiş sk – în cazul de faţă pe

platforma estacadei – este:

k,0teik sCCs μ= (4)

unde k,0s este valoarea caracteristică a încărcării din zăpadă la nivelul solului, în amplasament, în kN/m2; valorile sunt date în harta de zonare;

iμ - coeficientul de formă a încărcării din zăpadă pe acoperiş: 8,0i =μ în cazul oo 300 ≤α≤ (pante mici), unde α este panta acoperişului;

Ce – coeficientul de expunere pentru amplasament, având valorile din tabelul 6; Ct– coeficientul termic; Ct = 1,0 dacă nu sunt condiţii de favorizare a topirii zăpezii.

Tabelul 6 Coeficientul de expunere pentru amplasament, Ce Tipul expunerii Ce Condiţii de amplasament

Completă 0,8 Zăpada poate fi spulberată, construcţia fiind lipsită de adăpostire Parţială 1,0 Alte construcţii sau copacii nu permit spulberarea semnificativă Redusă 1,2 Clădire înconjurată de alte construcţii înalte sau copaci înalţi

Valoarea de calcul a încărcării din zăpadă se determină cu relaţia (3).

1.3.4. Acţiuni accidentale

Acţiunea seismică, valoare de calcul Acţiunea seismică se determină conform „Codului de proiectare seismică-Partea I: Prevederi de proiectare pentru clădiri” – indicativ P100-1/2006. În metoda forţelor seismice echivalente, forţa tăietoare de bază corespunzătoare modului propriu fundamental, pentru fiecare direcţie principală considerată în calculul clădirii, se determină cu relaţiile: ( ) λ= mTSγF 1dIb ; (5)

( ) ( )qTaTS gd

β= (6)

unde: ( )1d TS este ordonata spectrului de răspuns de proiectare corespunzătoare perioadei

proprii fundamentale T1 q − factorul de comportare al structurii (factorul de modificare a răspunsului

elastic în răspuns inelastic), cu valori în funcţie de tipul structurii şi de capacitatea acesteia de disipare a energiei; pentru cadre q are valorile: • 1u aa5q = ductilitate H (înaltă) • 1u aa5,3q = ductilitate M (medie)

1u aa − raport ce introduce influenţa favorabilă a gradului ridicat de nedeterminare a structurii: • pentru clădiri cu un nivel, 15,1aa 1u =

ag − valoarea de proiectare a acceleraţiei terenului, conform hărţii de zonare T1 − perioada proprie fundamentală de vibraţie a clădirii în planul ce conţine

direcţia orizontală considerată m − masa totală a clădirii calculată ca sumă a maselor de nivel


9

Iγ − factorul de importanţă – expunere al construcţiei; conform tabelului 4.3 din cod, construcţia se încadrează în clasa de importanţă III (clădiri de tip curent), pentru care 0,1I =γ

λ − factor de corecţie care ţine seama de contribuţia modului propriu fundamental prin masa modală efectivă asociată acestuia, având valorile: 850,=λ dacă C1 TT ≤ şi clădirea are mai mult de două nivele 01,=λ în celelalte situaţii

CT − perioada de control (de colţ) a spectrului de răspuns, conform hărţii de zonare

1.4. COMBINAREA ACŢIUNILOR

În proiectare, acţiunile de calcul sunt luate în considerare prin efectele lor asupra structurii, combinate în modul cel mai defavorabil. Combinaţiile sunt specifice stărilor limită la care se face verificarea: stări limită ultime (SLU) şi stări limită de serviciu (SLS), conform CR 0-2005 (Cod de proiectare. Bazele proiectării stucturilor în construcţii).

SLU: se fac verificări de rezistenţă sau de echilibru static ale structurilor cu relaţiile (7) şi (8); rezultă dimensiunile elementelor de rezistenţă (secţiunea de beton) şi secţiunea de armătură.

Acţiuni permanente şi variabile i,k1,0q1,kqkg QQG ∑ ψγ+γ+∑γ (7) unde:

Gk este efectul pe structură al încărcării permanente Qk,1 – efectul pe structură al acţiunii variabile predominante Qk,i – efectul pe structură al celorlalte acţiuni variabile ψ0,i – factorul de simultaneitate al acţiunilor variabile ψ0,i = 0,7; (excepţie: ψ0,i = 1,0 – încărcări în depozite, împingerea pământului, a apei) γg, γq – coeficienţi parţiali de siguranţă ai acţiunilor, tabelul 5.

În cazul în care acţionează şi seismul i,ki,2EkIk QAG ∑∑ ψ+γ+ (8)

unde: AEk – valoarea acţiunii seismice, reprezentată de exemplu de ±Fb, conform relaţiei (5) ψ2,i – coeficient pentru determinarea valorii cvasipermanente a acţiunii variabile, Q ψ2,i = 0,4 – zăpadă, utile din exploatare ψ2,i = 0,8 – încărcări din depozite ψ2,i = 0 – vânt, variaţii de temperatură.

SLS: se fac verificări comparând efectele acţiunilor cu valori limită ale acestor efecte, astfel ca buna funcţionare să nu fie perturbată. De exemplu, la verificarea deplasărilor relative de nivel a cadrelor se foloseşte gruparea cvasipermanentă a acţiunilor, conform relaţiei:

i,ki,2Ekk QA6,0G ∑ψ++∑ (9)


10

2.1. DETERMINAREA ACŢIUNILOR

2.1.1. Acţiuni pentru calculul plăcii

Pentru calculul plăcii planşeului estacadei, se iau în considerare: • încărcările permanente, conform punctului 1.3.2; • variabile , conform punctului 1.3.3 – utile sau zăpada (care este mai defavorabilă).

În general, încărcările permanente pot fi considerate uniform distribuite pe suprafaţa plăcii de grosime constantă şi sunt exprimate, de exemplu, în kN/m2.

Încărcările utile pot fi considerate ca acţionând uniform distribuit, dacă nu se specifică altfel; de asemenea, pentru determinarea eforturilor, se poate admite că sunt încărcate panouri întregi de placă.

Zăpada are o distribuţie care depinde de forma suprafeţei expuse (pct.1.3.3b). OBS. La acoperişuri, încărcarea utilă şi încărcările din zăpadă nu se aplică simultan;

în cazul estacadei, se ia în considerare variabila cu cea mai mare valoare. Se determină valorile caracteristice ale încărcărilor, apoi cele de calcul. Încărcări permanente

Încărcările caracteristice permanente, gk: a. greutatea proprie a plăcii din beton armat se determină în funcţie de greutatea specifică a betonului armat, ρ (tab. 3) şi grosimea plăcii, stabilită prin predimensionare:

pk hg ⋅ρ= (10)

b. greutatea proprie a elementelor nestructurale provine din: − pardoseli − tencuială

Încărcările de calcul permanente, gd se determină cu relaţia (2).

Încărcări utile şi zăpadă – se determină conform punctului 1.3.3.

2.1.2. Combinaţii de acţiuni pentru SLU

Pentru dimensionarea secţiunilor de beton şi de armătură, verificarea se face la stările limită ultime:

SLU Pentru placă, acţiunile care se combină sunt: încărcarea permanentă, considerată ca acţionând pe toată suprafaţa plăcii; acţiunea variabilă (zăpadă sau încărcare utilă), acţionând astfel încât să conducă la

cele mai defavorabile efecte. g k q kG Qγ + γ (11) adică: kk Q5,1G35,1 + (11a)


11

Aplicaţie 3 Determinarea încărcărilor plăcii planşeului

Se calculează încărcările pentru planşeul estacadei ale cărei elemente de rezistenţă au fost predimensionate la punctul 1, grosimea plăcii fiind hp = 120 mm. Finisajul folosit este alcătuit din plăci de beton mozaicat de 3cm, pe şapă din mortar de ciment de 3cm grosime. Planşeul se tencuieşte cu mortar de ciment (2 cm grosime).

Încărcarea utilă fixată de beneficiar este de 10 kN/m2.

Valorile caracteristice ale încărcării permanente • Greutatea proprie a plăcii, executată din beton cu densitatea 25 kN/m3 (tab. 3): gk,g = 0,12 m ⋅ 25 kN/m3 = 3,00 kN/m2 • Greutatea tencuielii , din mortar de ciment, (tab. 3): gk,p = 0,02 m ⋅ 21 kN/m3 = 0,42 kN/m2 • Greutatea pardoselii, din tabelul (tab. 4): gk,t = 1,00 kN/m2 Suma încărcărilor permanente caracteristice: ∑ gk = 4,42 kN/m2

Valorile caracteristice ale încărcării variabile

• Valoarea caracteristică a încărcării utile este qk = 10 kN/m2 • Valoarea caracteristică a încărcării din zăpadă (pct. 1.3.3.b):

o 2k,0 m/kN0,2s = conform hărţii de zonare, localitatea Braşov

o 8,01i =μ=μ pentru pantă foarte mică o 8,0Ce = expunere totală – tabelul 6 o 0,1Ct =

2k m/kN28,10,20,18,08,0s =⋅⋅⋅=

Deoarece încărcarea utilă este mai mare, ea se va considera în calculul plăcii.

Valorile de calcul ale acţiunilor • încărcări permanente de calcul: gd = 1,35 gk = 1,35·4,42 = 6,0 kN/m2 • încărcări variabile de calcul (utile): qd = 1,5 qk = 1, 5·10,0 = 15,0 kN/m2

2.2. CALCULUL STATIC AL PLĂCII

Calculul static al plăcilor continue se poate face în domeniul elastic cu metoda aproximativă, aplicabilă în cazul în care deschiderile pe o direcţie sunt egale (formulele se pot folosi şi dacă deschiderile diferă cu cel mult 10%).

Se disting următoarele deschideri pentru plăci: - deschiderea interax, care reprezintă distanţa între axele grinzilor de reazem, lx = ll ; ly = lt - lumina l0x, l0y care este distanţa măsurată între feţele interioare ale grinzilor de reazem ce delimitează o deschidere; - deschiderea de calcul lc, utilizată pentru calculul static al plăcii; pentru plăcile care au legătură monolită cu grinzile de reazem, se poate lua lc = l0.

Se identifică tipul de planşeu conform figurii 3: - planşeu cu un rând de plăci (n = 1), alcătuit din tipurile 2 şi 3 de placă; - planşeu cu două rânduri de plăci (n = 2), alcătuit din tipurile 4 şi 5 de placă; - planşeu cu trei rânduri de plăci (n = 3), alcătuit din tipurile 4, 5 şi 6 de placă;


12

Calculul static al plăcii Încărcările care acţionează asupra plăcii planşeului sunt verticale, deci solicitările produse vor fi momente încovoietoare MEd şi forţe tăietoare VEd. În continuare se tratează numai efectul momentelor încovoietoare, având în vedere că în mod obişnuit plăcile subţiri nu se calculează la forţă tăietoare. Se utilizează încărcările de calcul determinate la punctul 3, rescrise sub forma:

p = g + q , sau p/ = g + 0,5q ; p// = ± 0,5q

În cele ce urmează, pentru simplitate nu s-a folosit indicele d pentru încărcările sau momentele încovoietoare de calcul.

• n = 1 Planşee cu un rând de plăci (fig. 3): Momentele încovoietoare maxime (cu +) şi minime (cu -)în câmpuri:

M2x = (α2x p/ ± α1x p// )l2cx M2y = (α2y p/ ± α1y p// )l2

cy M3x = (α3x p/ ± α1x p// )l2

cx M3y = (α3y p/ ± α1y p// )l2cy

Momentele încovoietoare maxime pe reazeme:

Ma = -β3x pl2cx/10

Mb = -β3x pl2cx/12

• n = 2 Planşee cu două rânduri de plăci (fig. 3): Momentele încovoietoare maxime (cu +) şi minime (cu -)în câmpuri:


cy M5x = (α5x p/ ± α1x p// )l2

cx M5y = (α5y p/ ± α1y p// )l2cy


Ma = -β5x pl2cx/10 Mc = -β4y pl2

cy/8 Mb = -β5x pl2

cx/12 Md = -β5y pl2cy/8

• n = 3 Planşee cu trei rânduri de plăci (fig. 3): Momentele încovoietoare maxime (cu +) şi minime (cu -) ⋅în câmpuri:


cy Momentele încovoietoare maxime negative pe reazeme:

Mc = -β6x pl2cx/10 Me = -β5y pl2

cy/10 Md = -β6x pl2

cx/12 Mf = -β6y pl2cy/10

OBS. M4x, M5x, M4y, M5y, Ma, Mb se calculează ca pentru planşeele cu două rânduri de plăci.

În relaţiile de mai sus, coeficienţii α şi β se dau în ANEXA 1, în funcţie de rezemările plăcilor care definesc tipurile 1…6 de plăci şi de raportul laturilor:

λ = lcy/ lcx


13

Fig. 3 Tipurile de plăci continue cu deschideri egale

Aplicaţie 4 Calculul static al plăcii

Se cere determinarea solicitărilor MEd,x şi MEd,y pentru placa prezentată în exemplele anterioare; se cunoaşte ly = 6,0m; lx = 4,0m; brt/hrt = 250/550mm; brl/hrl= 250/500mm. Valorile de calcul ale acţiunilor sunt: • încărcări permanente de calcul: gd = 6,0 kN/m2 • încărcări variabile de calcul (utile): qd = 15,0 kN/m2

Determinarea deschiderilor de calcul (pct. 2.2): lcx = lx - brt = 4,0 – 0,25 = 3,75m lcy = ly - brl = 6,0 – 0,25 = 5,75m

Determinarea încărcărilor convenţionale de calcul: p = g + q = 6,0 + 15,0 = 21,0 kN/m2 p/ = g + 0,5q = 6 + 0,5⋅15 = 13,5 kN/m2; p// = 0,5q = 0,5⋅15 = 7,5 kN/m2

Calculul static (pct. 2.2); λ = lcy/ lcx = 5,75/3,75=1,533 ≅ 1,5 Planşeul are două rânduri de plăci cu deschideri egale. Din ANEXA 1 rezultă:

α1x = 0,0721; α1y = 0,0142 (placa de tipul 1); α4x = 0,0485; α4y = 0,0096 (placa de tipul 4); α5x = 0,0337; α5y = 0,0057 (placa de tipul 5); β5x = 0,9101; β5y = 0,0899; β4y = 0,1649 (tab.5.6 şi 5.7).

Momentele încovoietoare maxime în câmpuri:

M4x = (0,0485⋅13,5 + 0,0721⋅7,5) 3,752 = 16,81 kNm

M5x = (0,0337⋅13,5 + 0,0721⋅7,5) 3,752 = 14,00 kNm M4y = (0,0096⋅13,5 + 0,0142⋅7,5) 5,752 = 7,80 kNm M5y = (0,0057⋅13,5 + 0,0142⋅7,5) 5,752 = 6,07 kNm

Un rând de plăci n = 1 l y

lx lx lx lx lx

2 3 2 3 3

M2x M3x M3x

Ma Mb Mb

l y

lx lx lx lx lx

4

M4x M5x M5x

Ma Mb Mb

4 4

4

5 5 5

5 5 5

M5y

M4y

M

4y

M5y

Md

Mc

Două rânduri de plăci n = 2

l y Trei rânduri de plăci n = 3

l y

lx lx lx lx lx

4 4

6

5 5 5

M6y

M4y

M5y

Mf

Me

l y l y

5 5 5 4 4

5 6 6 5

M5x M6x M6x

Mc Md Md

M4x M5x M5x

Ma Mb Mb

M4y

M

5y

M5y

Me

Mf

Momente încovoietoare: Mix, Miy – în camp; Ma…f – pe reazeme.


14


Ma = - 0,9101⋅21⋅3,752/10 = -26,90 kNm Mb = - 0,9101⋅21⋅3,752/12 = -22,40 kNm Mc = - 0,1649⋅21⋅5,752/8 = -14,31 kNm Md = - 0,0899⋅21⋅5,752/8 = - 7,56 kNm

Momentele calculate mai sus acţionează în secţiunile din figura 4..

2.3. DEFINITIVAREA GROSIMII PLĂCII ŞI CALCULUL ARIILOR DE ARMĂTURĂ

2.3.1 Calitatea materialelor. Rezistenţe caracteristice şi de calcul

Calitatea materialelor se alege în funcţie de tipul elementelor şi de mediul în care vor funcţiona acestea; pentru elementele din beton armat monolit, uzual se alege beton obişnuit având clasele C12/15, C16/20, C20/25, etc. (≤ C50/60), fiind necesară şi verificarea clasei de beton impusă de condiţiile de expunere.

Calitatea oţelului se alege în funcţie de modul de armare: • dacă armarea se face cu bare independente legate în plase sau carcase:

- se aleg oţeluri profilate, de tip PC52 sau PC60; barele din oţel neted, tip OB37 se folosesc numai în cazul unor elemente mai puţin solicitate, sau ca armături constructive;

• dacă armarea se face cu plase sudate: - se aleg plase sudate uzinal, executate din sârmă STNB sau alte tipuri de sârme.

Betonul Rezistenţa caracteristică a betonului = prima cifră din clasa betonului

De exemplu: C20/25 2ck mm/N20f = (vezi tabelul 10)

Rezistenţa de calcul la compresiune a betonului cdf :

c

ckcd

ffγ

= (12)

unde cγ este coeficientul parţial de siguranţă pentru beton, în acest caz pentru combinaţii fundamentale (tab. 7).

Tabelul 7. Coeficienţii de siguranţă parţiali ai rezistenţelor la SLU γR

Materialul Combinaţii fundamentale Combinaţii cu seism Beton γc = 1,5 γc = 1,2 Oţel γs = 1,15 γs = 1,0

Armătura

Rezistenţa caracteristică a oţelului din care se confecţionează armăturile ykf , se determină conform tabelului 12.

Rezistenţa de calcul a oţelului ydf , se determină cu relaţia:

s

ykyd

ff

γ= (13)

unde sγ este coeficientul parţial de siguranţă pentru rezistenţa oţelului, în cazul plăcii pentru combinaţii fundamentale (tab. 6).


15

2.3.2 Definitivarea grosimii plăcii

Secţiunea de calcul a plăcii este dreptunghiulară, simplu armată, cu dimensiunile mmb 1000= , h = hp. Deoarece placa lucrează pe două direcţii, armăturile de rezistenţă

calculate As,x şi As,y se dispun după direcţiile ortogonale x şi y.

dx

sy,placă

ds,y

dy

As,y As,x

sy,placă ds,x b = 1000mm

hp

FIG. 3 Secţiunea de calcul a plăcii

În tabelul 8 sunt date limitele în care se încadrează procentele optime de armare, determinate din considerente economice; este deci favorabil ca placa să fie astfel dimensionată, încât să se ţină seama şi de acest aspect. • Se alege un procent de armare p% care să se încadreze în domeniul optim, conform

tabelului 8; din tabelul 14 (pentru oţel PC52) sau 15 (pentru oţel PC60) se scoate coeficientul μ care corespunde procentului de armare ales.

Tabelul 8 Procente optime de armare pentru plăci, %

poptim pentru armături din oţel: Modul de armare al plăcii PC60 sau plase STNB PC52 OB37

- pe o direcţie 0,25…0,50 0,30…0,60 0,40…0,80 - pe două direcţii 0,20…0,50 0,25…0,50 0,30…0,50

• Se determină înălţimea utilă d din relaţia:

cd

Edfb

Mdμ

= (14)

în care: MEd – momentul încovoietor rezultat din calculul static (de exemplu, cel maxim, indiferent de direcţie); fcd – rezistenţa de calcul al betonului; b=1000 mm – lăţimea de calcul a plăcii.

• Se calculează grosimea necesară a plăcii: sp ddh += (15)

în care: ds = (cnom + φ /2) (16) distanţa de la centrul de greutate al armăturii longitudinale de rezistenţă (situată mai aproape de marginea plăcii) până la suprafaţa betonului (fig. 3); cnom – grosimea nominală a stratului de acoperire cu beton a armăturii; cnom = cmin + Δcdev (17)

toleranţă de execuţie – se poate lua Δcdev = 10 mm { }mm10;c;cmaxc tedurabilitaaderentamin = (18)

= φmax tedurabilitac – grosimea minimă de acoperire din condiţii de durabilitate, a cărei valoare

depinde de clasa de expunere a elementului şi clasa structurală a construcţiei.


16

φ – cel mai mare diametru de armătură de rezistenţă folosit, care în această etapă de proiectare nu este cunoscut; φ se alege unul din diametrele utilizate curent pentru armarea plăcilor, de (6, 8, 10, 12, 14, 16)mm pentru bare independente din PC60, PC52 sau OB37.

• Se rotunjeşte grosimea plăcii la multiplu de 1,0cm (10mm) şi se compară cu înălţimea aleasă la predimensionare. Se adoptă ca grosime definitivă valoarea cea mai mare hp.

2.3.3 Calculul ariilor de armătură

Se cunoaşte grosimea definitivă a plăcii hp şi momentele încovoietoare în secţiunile cele mai solicitate ale plăcii. Pentru ca dispunerea armăturilor de rezistenţă să corespundă stării de solicitare a plăcii, se determină aria de armătură necesară cel puţin în secţiunile pentru care s-au calculat momentele încovoietoare MEd,x şi MEd,y: în zonele de câmpuri, aproximativ la mijlocul deschiderii, armăturile care vor fi dispuse în partea inferioară a plăcii ; în zonele de reazeme, armăturile care vor fi dispuse în partea superioară a plăcii. • Se calculează înălţimea utilă d pe baza grosimii definitive a plăcii. Deoarece placa este

armată cu armături de rezistenţă dispuse pe două direcţii, rezultă că înălţimea utilă pentru calculul ariilor necesare de armătură diferă (fig.3); se dispun cel mai aproape de exteriorul plăcii barele de pe direcţia pe care momentele încovoietoare sunt mai mari. Dacă, de exemplu, sunt mai mari momentele pe direcţia x, rezultă:

( )2/chdhd xnompx,spx φ+−=−= (20)

( )2/2/dd yxxy φ+φ−= (21) unde φx şi φx sunt diametrele maxime ale barelor dispuse pe direcţia x, respectiv y. • Se calculează coeficientul μ pentru toate valorile momentului încovoietor MEd determinate

din calculul static:

cd2

Ed fbdM=μ (22) în care d este înălţimea utilă determinată cu relaţia (20) sau (21), după cum calculul se face după direcţia x sau y.

• Ariile de armătură se pot calcula în două moduri: pentru μ rezultat, din tabelul (13) se determină coeficientul de armare ω, sau din tabelele (14) ori (15) procentul de armare p% sau coeficientul de armare ω. Ariile de armătură rezultă din relaţiile:

100/dbpAs ⋅⋅= sau (23) ( )ydcds ffdbA ⋅⋅ω= (24) • Se verifică respectarea regulilor constructive. Reguli constructive Valoarea minimă min,sA se determină cu relaţiile:

bdff26,0A

yk

ctmmin,s = ; (25)

db0013,0A min,s ≥ (26) unde ctmf rezultă din tabelul (10), în funcţie de clasa de beton. Valoarea maximă max,sA permisă:

pmax,s hb04,0A ≤ (27)


17

Distanţa dintre armături trebuie să respecte condiţiile: 1. armături principale smax,placa = 2hp ≤ 250 mm (28) 2. armături secundare (de repartiţie) smax,placa = 3hp ≤ 400 mm

La marginile simplu rezemate ale plăcii, unde din calculul static nu rezultă moment încovoietor, se prevede în partea superioară a plăcii cel puţin 25% din aria maximă a deschiderii adiacente. Aceste bare se prelungesc pe o lungime de cel puţin 0,2l0.

2.3.4 Alcătuirea plăcii - dispunerea armăturilor

În cazul plăcilor armate pe două direcţii, se prevăd următoarele armături: ♦ armăturile de rezistenţă calculate conform punctului 2.3.3 se dispun pe direcţiile x şi y ale plăcii; traseele acestor armături urmăresc diagramele de momente încovoietoare MEd,x şi MEd,y armăturile fiind aşezate în zonele întinse, adică în câmpuri în partea inferioară a plăcii, iar pe reazeme în partea superioară; ♦ perpendicular pe armăturile de rezistenţă, în zonele în care barele de rezistenţă de pe cele două direcţii nu se încrucişează, se prevăd armături de repartiţie, bare cu diametrul de cel puţin 6mm, dispuse la cel mult 25cm (deci minim 4φ6/m), sau 2hp. Aceste zone sunt situate în partea superioară a plăcilor, pe fâşii de l0x/4, unde l0x ≤ l0y. Dispunerea armăturilor de rezistenţă rezultate din calcul Pentru alegerea armăturilor se utilizează tabelul (16), în care sunt date ariile barelor de diferite diametre pe un metru lăţime de placă, în cm2/m. Distanţele uzuale dintre bare pot fi de 8,0…20,0cm; se recomandă ca distanţa maximă dintre două bare succesive să nu depăşească 16,5cm, cu excepţia plăcilor slab solicitate. Dacă este posibil, toate armăturile de pe o direcţie se dispun la aceeaşi distanţă sx sau sy; sx nu trebuie să fi egal cu sy. Barele se aleg astfel, încât să se utilizeze cât mai puţine tipuri de diametre (cel mult două, dacă este posibil), iar aria acestora să se apropie cât mai mult de aria calculată As efectiv ≅ As necesar. Adaptarea ariilor necesare, în diferite secţiuni, se face prin schimbarea diametrului barelor utilizate, deoarece pasul este constant. Diametre de armături Diametrele minime pentru armăturile de rezistenţă în plasele legate cu sârmă sunt:

- 6mm, dacă barele sunt din oţel PC52 sau PC60; - 6mm, pentru barele drepte din oţel OB37 situate în partea inferioară a plăcii, 8mm

pentru barele înclinate, sau situate în partea superioară. Diametrele maxime utilizabile pentru armăturile de rezistenţă se obţin din relaţia empirică : φmax = hp /10 + 2 (mm) (29)

Diametrul minim pentru armăturile de repartiţie, indiferent de tipul de oţel este de 6mm.

Variante de armare

Armarea cu bare ridicate şi călăreţi Obişnuit, jumătate din aria armăturii dispusă într-un câmp (1/2 Aa) în partea inferioară a plăcii se duce continuu peste reazeme (cel puţin 3 bare pe metru), iar jumătate se ridică pe reazeme pentru a prelua momentele încovoietoare negative. Barele întinse trebuie să depăşească punctele în care momentul se anulează, adică să fie ancorate în zone comprimate. În cazul plăcilor obişnuite, această necesitate este satisfăcută respectând următorul mod de dispunere: secţiunile de înclinare ale armăturilor sunt situate la 0,2l0 faţă de reazemele


18

(centuri sau grinzi) cu care placa face corp comun; porţiunile drepte din zonele de reazem ale acestor bare se prelungesc în deschiderea următoare cu 0,25l0; l0 = min {l0x ; l0y } În zonele de reazem, în completarea barelor ridicate din câmpuri se dispun călăreţi, care se prelungesc de o parte şi de alta a reazemelor cu 0,25l0. Armare cu bare drepte şi călăreţi. În această variantă de armare, barele dispuse pentru preluarea momentelor încovoietoare negative şi pozitive sunt independente, ambele având traseul drept (figura 7). Barele de pe reazeme se prelungesc de o parte şi de alta a reazemelor cu 0,25l0.

Aplicaţie 5 Dimensionarea şi armarea plăcii

Se dimensionează şi se armează placa planşeului din aplicaţiile anterioare.

a. Calităţile materialelor Clasa de expunere a betonului la acţiunea mediului înconjurător este XC3 + XF1 (tab. 4.3 Note curs):

XC3 – coroziune datorită carbonatării, pentru beton la exterior; clasa de expunere se poate reduce cu o treaptă, deoarece armătura plăcii nu se deplasează în timpul execuţiei; clasa minimă de beton pentru XC2 este C25/30 (tabel 4.5 Note curs);

XF1 – pericol de îngheţ – dezgheţ, în cazul unei saturaţii moderate cu apă; clasa minimă de beton pentru XF1 este C30/37.

Se alege clasa de beton C30/37 şi armături din oţel PC52. Rezistenţa de calcul la compresiune a betonului: 2

cckcd mm/N205,130ff ==γ= unde ckf corespunde betonului de clasă C30/37. Rezistenţa de calcul a oţelului: 2

sykyd mm/N30015,1345ff ==γ= unde ykf se obţine din tabelul 12, pentru oţel PC52. S-a luat acoperitor rezistenţa care corespunde diametrelor mai mari.

b. Definitivarea grosimii plăcii Conform tabelului 8, domeniul optim al procentelor de armare este 0,25…0,5% pentru plăci armate pe două direcţii cu armături din PC52. Se alege procentul de armare 0,704% (pentru a nu face interpolare); din tabelul 14 rezultă coeficientul μ = 0,10. Cu relaţia (11), pentru secţiunea cea mai solicitată, reazemul “a” de pe direcţia x, se obţine:

mm11620100010,0

109,26bf

Md

6

cd

Ed =⋅⋅

⋅=

μ=

S-a ales un procent mai mare de armare decât valorile optime, deoarece s-a luat momentul încovoietor maxim, care acţionează doar într-o secţiune a plăcii; în restul zonelor momentele încovoietoare au valori mai mici. Se apreciază că se vor folosi armături de diametru maxim de φ 12mm, mai puţin decât valoarea recomandată de relaţia (29), φmax = 160 /10 + 2 (mm) = 18mm. Acoperirea minimă cu beton din condiţii de durabilitate se alege în funcţie de categoria de expunere şi clasa structurală S4 (tabel 4.6 Note curs): mm25c tedurabilita = ;


19

acoperirea minimă din condiţii de aderenţă mm12c maxaderenta =φ= . Rezultă, conform relaţiilor (17) şi (18), grosimea nominală de acoperire cu beton: { }mm10;25c;12cmaxc tedurabilitaaderentamin === = 25 mm

cnom = cmin + Δcdev = 25 + 10 = 35 mm, Distanţa de la centrul de greutate al armăturii longitudinale de rezistenţă de pe direcţia x până la suprafaţa betonului, din relaţia (16) este:

ds = (cnom + φ /2) = 35 + 12 /2 = 41mm ∼ 40 mm

Grosimea necesară a plăcii este:

hp = 116 + 40 = 156 mm

Se alege grosimea definitivă a plăcii:

hp = 150 mm

Această valoare este mai mare decât grosimea plăcii rezultată din predimensionare, ceea ce aduce un spor de încărcare de circa 5%; se consideră că nu este necesară refacerea calcului static.

c. Calculul ariilor de armătură Se determină înălţimea utilă a plăcii după direcţia x şi y cu relaţiile 20 şi 21; deoarece momentele de pe direcţia x sunt cele mai mari, spre exteriorul plăcii se dispun barele de rezistenţă de pe această direcţie: mm11040150dhd x,spx =−=−= ( ) ( ) mm992/102/121102/2/dd yxxy =+−=φ+φ−= Se observă că sunt trei fâşii solicitate diferit: F1x, respectiv F1y şi F2y, pentru care se face calculul ariilor de armătură, urmând procedeul prezentat la punctul 2.3.3. Indiferent de modul de armare (armare cu bare ridicate sau armare cu bare drepte), calculul ariilor de armătură se conduce la fel. Deoarece actual există tendinţa de a folosi armarea cu bare drepte, se alege această variantă. Calculul ariilor de armătură şi alegerea barelor se prezintă în tabelele care urmează. Varianta de armare cu bare drepte

Calculul armăturilor pentru fâşia F1x, dx= 110mm Diagrama de momente M4x Ma M5x Mb

MEd (kNm) 16,81 -26,90 14,00 -22,40

μ = M /bd2fcd 0,07 0,111 0,070 0,092

p (%) din tab. 14 0,484 0,79 0,258 0,64

As necesar = pbd/100 (mm2) 532 869 258 704

Bare alese Asx φ10 / 13 cm φ12 / 13 cm φ8 / 26 cm φ10 / 26 cm

φ10 / 26 cm φ12 / 26 cm

As,efectiv [mm2] 604 870 495 737

Δ As + 13,5% 0 +91% +4 %


20

Se poate observa diferenţa foarte mare dintre ariile alese şi cele necesare; această diferenţă se justifică prin necesitatea de a folosi bare a căror diametru să nu difere prea mult; în practică barele pot fi aşezate şi la distanţe diferite pe reazeme şi în câmpuri. Calculul armăturilor pentru Calculul armăturilor pentru fâşia F1y, dy=99mm fâşia F2y, dy= 99mm

Diagrama de momente M4y Mc Diagrama de

momente M5y Md

MEd (kNm) 7,80 -14,31 MEd (kNm) 6,07 -7,56

μ = M /bd2fcd 0,040 0,073 μ = M /bd2fcd 0,030 0,048

p (%) din tab. 14 0,272 0,506 p (%) din tab. 14 0,203 0,258

As necesar=pbd/100 (mm2) 269 501 As necesar=pbd/100

(mm2) 200 255

Bare alese Asy φ8 / 16 φ10/16 Bare alese Asy φ8/16 φ8/16

As,efectiv [mm2] 314 491 As,efectiv [mm2] 314 314

Δ As + 14% - 1,9% Δ As + 57% + 23%

Armarea plăcii este dată în figura 6.

d. Verificarea regulilor constructive ( punctul 2.3.3) Condiţia ales,sA ≥ min,sA (relaţiile 25 şi 26) se verifică în secţiunea cu cea mai

mică arie de armătură aleasă: 1. Direcţia y: φ8 / 16 314 mm2, d = 99 mm:

ales,sA = 314 mm2 > 2min,s mm216991000

3459,226,0A =⋅=

Direcţia x: φ8 / 26 cu φ10 / 26 495 mm2, d = 110 mm:

ales,sA = 495 mm2 > 2min,s mm2401101000

3459,226,0A =⋅=

2. ales,sA = 314 mm2 > 1299910000013,0A min,s =⋅⋅≥ mm2 ales,sA = 495 mm2 > 14311010000013,0A min,s =⋅⋅≥ mm2 Condiţia ales,sA ≤ max,sA (relaţia 27) se verifică în secţiunea cu cea mai mare arie de armătură aleasă, φ12 / 13: ales,sA = 870 mm2 < 4400110100004,0A max,s =⋅⋅≤ mm2 Condiţiile privind distanţa maximă între armături (relaţiile 23 şi 24) :

1. armături principale (calculate): sales = 130 mm ≤ smax,placa = 2·150 = 300 mm, respectiv ≤ 250 mm 2. armături secundare (constructive): sales = 250 mm ≤ smax,placa = 3·150 = 450 mm, respectiv ≤ 400 mm.


21

Armăturile secundare, perpendiculare pe direcţia armăturilor principale sunt mărcile şi , φ8/25 cm pe direcţia x şi y, (201mm2), reprezentând mai mult decât 20% din aria φ12/13 cm (As,min = 0,2·870 = 174 mm2). La marginile simplu rezemate ale plăcii se prevede în partea superioară a plăcii pe tot conturul exterior marca , φ8/25 cm (As = 201 mm2), mai mult decât 25% din aria maximă a deschiderii adiacente φ10/13 cm (As = 0,25·604 = 151 mm2) . Toate condiţiile constructive sunt îndeplinite.

e. Verificarea plăcii la forţă tăietoare

În general, în cazul plăcilor subţiri obişnuite armarea rezultă din calculul la încovoiere, deoarece elementul din beton armat este capabil să preia forţa tăietoare, fără să fie nevoie de prevederea unor armături de tăiere; pentru verificare, trebuie îndeplinită condiţia max,Edc,Rd VV > Obs. Nu se dispun armături constructive de tăiere. Pentru verificare se alege secţiunea în care forţa tăietoare este maximă:

- fâşia F1x , în stânga reazemului a:

kN4375,3

9,262

75,3219101,0M2p

Vcx

acxx5a,Ed =+

⋅⋅=+

β≅

ll

- fâşia F1y , în stânga reazemului c:

kN5,1275,53,14

275,5211649,0M

2p

Vcy

ecyy4c,Ed =+

⋅⋅=+

β≅

ll

Verificarea se face în secţiunea a, fâşia F1x. Forţa tăietoare capabilă c,RdV a plăcii fără armătură specifică pentru preluarea forţei tăietoare bdvVdb)f100(kCV minminc,Rd

3/1cklc,Rdc,Rd =≥ρ=

unde: ckmin fkk035,0v ⋅⋅=

12,05,118,018,0C

cc,Rd ==

γ=

0,235,21102001d2001k >=+=+= deci se ia k = 2,0

02,00079,01101000

870bdAs <=

⋅==ρl

( ) N1075,751101000300079,01000,212,0V 33/1c,Rd ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

542,0300,20,2035,0fkk035,0v ckmin =⋅⋅=⋅⋅=

N106,591101000542,0V 3minc,Rd ⋅=⋅⋅= ,

deci minc,Rdc,Rd VV > .

Deoarece kN75,75VkN0,43V c,Rdmax,Ed =<= , placa armată cu armături longitudinale rezultate din calculul la încovoiere poate prelua forţa tăietoare, fără să fie nevoie de armătură specifică.


22

Tabelul 10 Principalele caracteristici mecanice ale betoanelor ≤ C50/60 (MPa)

Clasa betonului

C12

/15

C16

/20

C20

/25

C25

/30

C30

/37

C35

/45

C40

/50

C45

/55

C50

/60

Expresii analitice

fck 12 16 20 25 30 35 40 45 50 fck cub 15 20 25 30 37 45 50 55 60 fcm 20 24 28 33 38 43 48 53 58 fcm = fck+8 (MPa) fctm 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 fctm= 0.3· fck

(2/3)

fctk 0,05 1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 fctk 0,05 = 0,7· fctm fctk 0,95 2,0 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3 fctk 0,05 = 1,3· fctm

( )ooo1cε 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,25 2,3 2,4 2,45 ( ) 8270 3101 .f. .

cmc <=ε ooo

( )ooo1cuε 3,5 ( )ooo2cε 2,0 ( )ooo2cuε 3,5

n 2 ( )ooo3cε 1,75 ( )ooo3cuε 3,5

Tabelul 11. Modulul de elasticitate al betonului Clasa

de beton C12/15 C16/20 C20/25 C25/30 C30/37 C35/45 C40/50 C45/55 C50/60

Ecm GPa

27 29 30 31 33 34 35 36 37


23

Tabelul 12. Rezistenţele caracteristice ale armăturilor

Tipul de oţel Diametrul nominal,

mm

Rezistenţa caracteristică

fyk, MPa

PC60

6...12 14...28 32...40

420 405 395

PC52

6...14 16...28 32...40

355 345 335

OB37

6...12 14...40

255 235

STNB

3...4

4,5...7,1 8...10

490 440 390


24

Tabelul 13. Calculul elementelor încovoiate cu secţiunea dreptunghiulară sau T simplu armată

μ ω ξ Relaţii de calcul 0,01 0,010 0,013 0,02 0,020 0,025 0,03 0,030 0,038 0,04 0,041 0,051 0,05 0,051 0,064 0,06 0,062 0,077 0,07 0,073 0,091 0,08 0,083 0,104 0,09 0,094 0,118 0,10 0,106 0,132 0,11 0,117 0,146 0,12 0,128 0,160 0,13 0,140 0,175 0,14 0,151 0,189 0,15 0,163 0,204 0,16 0,175 0,219 0,17 0,188 0,234 0,18 0,200 0,250 0,19 0,213 0,266 0,20 0,225 0,282 0,21 0,238 0,298 0,22 0,252 0,315 0,23 0,265 0,331 0,24 0,279 0,349 0,25 0,293 0,366 0,26 0,307 0,384 0,27 0,322 0,402 0,28 0,337 0,421 0,29 0,352 0,440 0,30 0,368 0,459 0,31 0,384 0,479 0,32 0,400 0,500 0,33 0,417 0,521 0,34 0,434 0,543 0,35 0,452 0,565 0,36 0,471 0,589 0,37 0,490 0,613 0,38 0,510 0,638 0,39 0,531 0,664 0,40 0,553 0,691 0,401 0,555 0,694 0,402 0,557 0,697 0,403 0,560 0,699 0,404 0,562 0,702 0,405 0,564 0,705 0,406 0,566 0,708

cd2Ed

fdbM

⋅⋅=μ

yd

cds f

fdbA ⋅⋅ω=

h d

ds

b

As

0,8x

MEd

fcd


25

Tabelul 14. Calculul elementelor cu secţiunea dreptunghiulară sau T simplu armată, supuse la încovoiere

Oţel PC52 MPa300f yd = ; ξ max=0,71 Combinaţii fundamentale: 15151 .s;.c =γ=γ

C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 μ ω ξ p% = 100 ρ

ε s ‰

0.01 0.010 0.013 0.027 0.036 0.045 0.056 0.067 0.078 0.089 0.101 0.112 50.000.02 0.020 0.025 0.054 0.072 0.090 0.112 0.135 0.157 0.180 0.202 0.224 50.000.03 0.030 0.038 0.081 0.108 0.135 0.169 0.203 0.237 0.271 0.305 0.338 50.000.04 0.041 0.051 0.109 0.145 0.181 0.227 0.272 0.318 0.363 0.408 0.454 50.000.05 0.051 0.064 0.137 0.182 0.228 0.285 0.342 0.399 0.456 0.513 0.570 50.000.06 0.062 0.077 0.165 0.220 0.275 0.344 0.413 0.482 0.550 0.619 0.688 41.720.07 0.073 0.091 0.194 0.258 0.323 0.404 0.484 0.565 0.646 0.726 0.807 35.050.08 0.083 0.104 0.223 0.297 0.371 0.464 0.557 0.649 0.742 0.835 0.928 30.040.09 0.094 0.118 0.252 0.336 0.420 0.525 0.630 0.735 0.840 0.945 1.050 26.140.10 0.106 0.132 0.282 0.375 0.469 0.587 0.704 0.821 0.938 1.056 1.173 23.020.11 0.117 0.146 0.312 0.415 0.519 0.649 0.779 0.909 1.038 1.168 1.298 20.470.12 0.128 0.160 0.342 0.456 0.570 0.712 0.855 0.997 1.140 1.282 1.425 18.340.13 0.140 0.175 0.373 0.497 0.621 0.776 0.932 1.087 1.242 1.398 1.553 16.530.14 0.151 0.189 0.404 0.539 0.673 0.842 1.010 1.178 1.346 1.515 1.683 14.990.15 0.163 0.204 0.436 0.581 0.726 0.907 1.089 1.270 1.452 1.633 1.815 13.640.16 0.175 0.219 0.468 0.624 0.779 0.974 1.169 1.364 1.559 1.754 1.949 12.470.17 0.188 0.234 0.500 0.667 0.834 1.042 1.251 1.459 1.668 1.876 2.084 11.430.18 0.200 0.250 0.533 0.711 0.889 1.111 1.333 1.556 1.778 2.000 2.222 10.500.19 0.213 0.266 0.567 0.756 0.945 1.181 1.417 1.654 1.890 2.126 2.362 9.670.20 0.225 0.282 0.601 0.801 1.002 1.252 1.503 1.753 2.004 2.254 2.504 8.920.21 0.238 0.298 0.636 0.848 1.060 1.325 1.589 1.854 2.119 2.384 2.649 8.240.22 0.252 0.315 0.671 0.895 1.119 1.398 1.678 1.957 2.237 2.517 2.796 7.630.23 0.265 0.331 0.707 0.943 1.178 1.473 1.768 2.062 2.357 2.652 2.946 7.060.24 0.279 0.349 0.744 0.992 1.240 1.549 1.859 2.169 2.479 2.789 3.099 6.540.25 0.293 0.366 0.781 1.041 1.302 1.627 1.953 2.278 2.603 2.929 3.254 6.060.26 0.307 0.384 0.819 1.092 1.365 1.707 2.048 2.389 2.730 3.072 3.413 5.620.27 0.322 0.402 0.858 1.144 1.430 1.788 2.145 2.503 2.860 3.218 3.575 5.200.28 0.337 0.421 0.898 1.197 1.496 1.870 2.245 2.619 2.993 3.367 3.741 4.820.29 0.352 0.440 0.938 1.251 1.564 1.955 2.346 2.737 3.128 3.519 3.910 4.460.30 0.368 0.459 0.980 1.307 1.634 2.042 2.450 2.859 3.267 3.675 4.084 4.120.31 0.384 0.479 1.023 1.364 1.705 2.131 2.557 2.983 3.409 3.836 3.800.32 0.400 0.500 1.067 1.422 1.778 2.222 2.667 3.111 3.556 4.000 3.500.33 0.417 0.521 1.112 1.482 1.853 2.316 2.779 3.243 3.706 3.220.34 0.434 0.543 1.158 1.544 1.930 2.413 2.895 3.378 3.861 2.950.35 0.452 0.565 1.206 1.608 2.010 2.513 3.015 3.518 4.020 2.690.36 0.471 0.589 1.256 1.674 2.093 2.616 3.139 3.662 2.450.37 0.490 0.613 1.307 1.743 2.178 2.723 3.267 3.812 2.210.38 0.510 0.638 1.360 1.814 2.267 2.834 3.401 3.967 1.990.39 0.531 0.664 1.416 1.888 2.360 2.950 3.540 1.770.40 0.553 0.691 1.474 1.965 2.457 3.071 3.685 1.570.401 0.555 0.694 1.480 1.973 2.467 3.083 3.700 1.540.402 0.557 0.697 1.486 1.981 2.477 3.096 3.715 1.520.403 0.560 0.699 1.492 1.989 2.487 3.109 3.730 1.500.404 0.562 0.702 1.498 1.998 2.497 3.121 3.745 1.480.405 0.564 0.705 1.504 2.006 2.507 3.134 3.761 1.460.406 0.566 0.708 1.510 2.014 2.517 3.147 3.776 1.440.407 0.569 0.711 1.517 2.022 2.528 3.160 3.791 1.42


26

Tabelul 15. Calculul elementelor cu secţiunea dreptunghiulară sau T simplu armată, supuse la încovoiere

Oţel PC60 MPa350fyd = ; ξ max=0,676 Combinaţii fundamentale: 15151 .s;.c =γ=γ

C12 C16 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 μ ω ξ p% = 100 ρ

ε s ‰

0.01 0.010 0.013 0.023 0.031 0.038 0.048 0.057 0.067 0.077 0.086 0.096 50.000.02 0.020 0.025 0.046 0.062 0.077 0.096 0.115 0.135 0.154 0.173 0.192 50.000.03 0.030 0.038 0.070 0.093 0.116 0.145 0.174 0.203 0.232 0.261 0.290 50.000.04 0.041 0.051 0.093 0.124 0.156 0.194 0.233 0.272 0.311 0.350 0.389 50.000.05 0.051 0.064 0.117 0.156 0.195 0.244 0.293 0.342 0.391 0.440 0.489 50.000.06 0.062 0.077 0.142 0.189 0.236 0.295 0.354 0.413 0.472 0.531 0.590 41.720.07 0.073 0.091 0.166 0.221 0.277 0.346 0.415 0.484 0.553 0.623 0.692 35.050.08 0.083 0.104 0.191 0.254 0.318 0.398 0.477 0.557 0.636 0.716 0.795 30.040.09 0.094 0.118 0.216 0.288 0.360 0.450 0.540 0.630 0.720 0.810 0.900 26.140.10 0.106 0.132 0.241 0.322 0.402 0.503 0.603 0.704 0.804 0.905 1.005 23.020.11 0.117 0.146 0.267 0.356 0.445 0.556 0.668 0.779 0.890 1.001 1.113 20.470.12 0.128 0.160 0.293 0.391 0.488 0.611 0.733 0.855 0.977 1.099 1.221 18.340.13 0.140 0.175 0.319 0.426 0.532 0.666 0.799 0.932 1.065 1.198 1.331 16.530.14 0.151 0.189 0.346 0.462 0.577 0.721 0.866 1.010 1.154 1.298 1.443 14.990.15 0.163 0.204 0.373 0.498 0.622 0.778 0.933 1.089 1.244 1.400 1.556 13.640.16 0.175 0.219 0.401 0.534 0.668 0.835 1.002 1.169 1.336 1.503 1.670 12.470.17 0.188 0.234 0.429 0.572 0.715 0.893 1.072 1.251 1.429 1.608 1.787 11.430.18 0.200 0.250 0.457 0.610 0.762 0.952 1.143 1.333 1.524 1.714 1.905 10.500.19 0.213 0.266 0.486 0.648 0.810 1.012 1.215 1.417 1.620 1.822 2.025 9.670.20 0.225 0.282 0.515 0.687 0.859 1.073 1.288 1.503 1.717 1.932 2.147 8.920.21 0.238 0.298 0.545 0.727 0.908 1.135 1.362 1.589 1.817 2.044 2.271 8.240.22 0.252 0.315 0.575 0.767 0.959 1.198 1.438 1.678 1.917 2.157 2.397 7.630.23 0.265 0.331 0.606 0.808 1.010 1.263 1.515 1.768 2.020 2.273 2.525 7.060.24 0.279 0.349 0.637 0.850 1.062 1.328 1.594 1.859 2.125 2.390 2.656 6.540.25 0.293 0.366 0.669 0.893 1.116 1.395 1.674 1.953 2.232 2.511 2.789 6.060.26 0.307 0.384 0.702 0.936 1.170 1.463 1.755 2.048 2.340 2.633 2.926 5.620.27 0.322 0.402 0.735 0.981 1.226 1.532 1.839 2.145 2.452 2.758 3.064 5.200.28 0.337 0.421 0.770 1.026 1.283 1.603 1.924 2.245 2.565 2.886 3.206 4.820.29 0.352 0.440 0.804 1.073 1.341 1.676 2.011 2.346 2.681 3.017 3.352 4.460.30 0.368 0.459 0.840 1.120 1.400 1.750 2.100 2.450 2.800 3.150 3.500 4.120.31 0.384 0.479 0.877 1.169 1.461 1.826 2.192 2.557 2.922 3.288 3.653 3.800.32 0.400 0.500 0.914 1.219 1.524 1.905 2.286 2.667 3.048 3.429 3.810 3.500.33 0.417 0.521 0.953 1.271 1.588 1.985 2.382 2.779 3.176 3.573 3.971 3.220.34 0.434 0.543 0.993 1.324 1.655 2.068 2.482 2.895 3.309 3.723 2.950.35 0.452 0.565 1.034 1.378 1.723 2.154 2.584 3.015 3.446 3.877 2.690.36 0.471 0.589 1.076 1.435 1.794 2.242 2.691 3.139 3.587 4.036 2.450.37 0.490 0.613 1.120 1.494 1.867 2.334 2.801 3.267 3.734 2.210.38 0.510 0.638 1.166 1.555 1.943 2.429 2.915 3.401 3.886 1.990.395 0.553 0.691 1.238 1.651 2.064 2.580 3.096 3.612 4.128 1.67


27

Tabelul 16. Secţiunea armăturii întinse la plăci armate cu plase legate, cm2/m

Diametrul barelor, mm Distanţa între bare

cm 6 8 10 12 14 16

8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5 20,0

3,53 3,33 3,14 2,98 2,83 2,69 2,57 2,46 2,36 2,26 2,17 2,09 2,02 1,95 1,89 1,82 1,77 1,71 1,66 1,62 1,57 1,53 1,49 1,45 1,41

6,28 5,91 5,59 5,29 5,03 4,79 4,57 4,37 4,19 4,02 3,87 3,72 3,59 3,47 3,35 3,24 3,14 3,05 2,98 2,87 2,79 2,72 2,65 2,58 2,51

9,82 9,24 8,73 8,27 7,85 7,48 7,14 6,83 6,54 6,28 6,04 5,82 5,61 5,42 5,24 5,07 4,91 4,76 4,62 4,49 4,36 4,25 4,13 4,03 3,93

13,14 13,31 12,57 11,90 11,31 10,77 10,28 9,84 9,42 9,05 8,70 8,38 8,08 7,80 7,54 7,30 7,07 6,85 6,65 6,46 6,28 6,11 5,95 5,80 5,65

19,24 18,11 17,10 16,20 15,39 13,66 13,99 13,39 12,83 12,32 11,84 11,40 11,00 10,62 10,26 9,93 9,62 9,33 9,05 8,79 8,55 8,32 8,10 7,89 7,69

25,14 23,66 22,34 21,17 20,11 19,15 18,28 17,49 16,76 16,09 15,47 13,90 13,36 13,87 13,41 12,97 12,57 12,19 11,83 11,49 11,17 10,87 10,58 10,31 10,05


28

Tabelul 17. Diametrele, ariile secţiunilor transversale şi masele armăturilor din bare laminate

Aria secţiunii transversale pentru n bare, în cm2 Masa kg/m Diametrul

mm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6

8

10

12

14

16

18

20

22

25

28

32

36

40

0,283

0,503

0,785

1,130

1,540

2,010

2,540

3,140

3,800

4,910

6,160

8,040

10,20

12,60

0,570

1,010

1,570

2,260

3,080

4,020

5,080

6,280

7,600

9,820

12,32

16,08

20,40

25,20

0,850

1,510

2,350

3,390

4,620

6,030

7,620

9,420

11,40

14,73

18,48

24,12

30,60

37,80

1,130

2,010

3,140

4,520

6,160

8,040

10,16

12,56

15,20

19,64

24,64

32,16

40,80

50,40

1,420

2,510

3,920

5,650

7,700

10,05

12,70

15,70

19,00

24,55

30,80

40,20

51,00

63,00

1,700

3,020

4,710

6,780

9,240

12,06

15,24

18,84

22,80

29,46

36,96

48,24

61,20

75,60

1,980

3,520

5,490

7,910

10,78

14,07

17,78

21,98

26,60

34,37

43,12

56,28

71,40

88,20

2,260

4,020

6,280

9,040

12,32

16,08

20,32

25,12

30,40

39,28

49,28

64,32

81,60

100,80

2,550

4,530

7,060

10,17

13,86

18,09

22,86

28,26

34,20

44,19

55,44

72,36

91,80

113,40

2,830

5,030

7,850

11,30

15,40

20,10

25,40

31,40

38,00

49,10

61,60

80,40

102,00

126,00

0,222

0,395

0,617

0,888

1,120

1,580

1,990

2,460

2,980

3,850

4,840

6,310

7,990

9,870


29

FIG.4 Secţiune verticală

+ 3,225 + 3,635

Cotă de fundare

Cuzinet beton armat

Bloc beton nearmat Teren

± 0,00Suport balast 30cm

Placă beton 10cm

Placă BA 15 cm Şapă mortar ciment 3 cm Plăci beton mozaicat 3 cm

A B C

6,00 6,00

4,50

27,5

1,00

40 3,225

Grindă 25x55 Grindă 25x50

40 40

+ 3,85

55 50

15

4,77

5

+ 3,775

5,6 5,6

Secţiune verticală


30

S A1 40x40 25

25 25 5,75 5,75

25 25

25 3,75

3,75

4,00 4,00

16,40 / 2

20 6,00 6,0012,40 20

50 55 15

40 55

50

Grinda 25x55

Grinda 25x55

Grinda 25x55

Grinda 25x50

Grinda 25x50

Grinda 25x50

hp = 15 cm

S A2 40x40

1

2

3

40

S A3 40x40

A B C

S B1 40x40

S B2 40x40

S B3 40x40

S C2 40x40

S C3 40x40

Cota placă: + 3,775

I I

20

Secţiune orizontală şi plan cofraj placă 75

7,5

FIG.5 Secţiune orizontală


31

φ 10/13cm L=4,35m

φ

10/26cm L=4,35m

φ 12/13cm L=2,15m

φ10/26 L=2,15

φ 8/25cm

L=1,30 jos φ 8/16cm L=6,35 PC52

φ 8/25cm L=1,30

φ 8/25cm

φ 8/25

φ 8/25

jos φ 8/16cm φ 8/16cm

φ 10/16cm L=2,15m

25 95 95

40x40

40 25 25 5,75 5,75

25 25

25 3,75

3,75

95

2595

95

φ 8/16cm L=6,35 PC52

φ 8/16cm L=2,15m

75

95

25

95 25

40x40

4,00 4,00

20

16,40 / 2

20

40x40

6,00 6,00

12,40

20

Armare placă

repart.sus φ 8/25cm L=3,9 6 buc.

sus φ 8/25cm repart.

φ 8/25 L=1,9

φ 8/25

φ 8/26cm L=4,35m

φ 12/26 L=2,15

25

7,5

7,5

7,5

FIG.6 Armare placă – variantă bare drepte


32

Extras de armături pentru placă Varianta de armare cu bare drepte

Lung.pe diametre

PC52 marca φ mm

Număr bare

identice

Lungimea unei bare

m 8 10 12 1 10 276 4.35 1200 2 12 230 2.15 495 3 8 92 4.35 400 4 10 46 2.15 99 5 8 200 6.35 1270 6 10 50 2.15 108 7 8 50 2.15 108 8 8 100 1.30 130 9 8 48 3.90 188 10 8 48 1.90 92

Total lungimi pe diametre, m 2188 1407 495 Greutate pe metru de bară, kg/m 0.395 0,617 0.888 Greutate pe diametre, kg 864 868 440

TOTAL kg 2174 Volumul de beton în placă: 12,4 m x 16,4 m x 0,15 m = 30,5 m3 Consum de oţel / m3 de beton = 2174 / 30,5 = 71 kg / m3


33

ANEXA 1 Plăci singulare

TIP DE PLACĂ 1

λ α1x ⋅100 α1y ⋅100 β1x ⋅100 β1y ⋅1000,50 0,59 9,46 5,88 94,12 0,55 0,80 8,81 8,38 91,62 0,60 1,05 8,13 11,47 88,53 0,65 1,33 7,44 15,15 84,85 0,70 1,62 6,76 19,36 80,64 0,75 1,93 6,12 24,04 75,96 0,80 2,27 5,55 29,06 70,94 0,85 2,61 4,91 34,30 65,70 0,90 2,92 4,47 39,62 60,28 0,95 3,29 4,03 44,89 55,11 1,00 3,65 3,65 50,00 50,00 1,10 4,39 3,00 59,42 40,58 1,20 5,14 2,48 67,47 32,53 1,30 5,88 2,06 74,07 25,93 1,40 6,57 1,71 79,35 20,65 1,50 7,21 1,42 83,51 16,49 1,60 7,76 1,18 86,76 13,24 1,70 8,29 0,99 89,31 10,69 1,80 8,73 0,82 91,30 8,70 1,90 9,12 0,70 92,87 7,13 2,00 9,46 0,59 94,12 5,88

TIP DE PLACĂ 2

λ α2x⋅100 α2y⋅100 β2x⋅100 β2y⋅100 0,50 0,71 8,87 13,51 86,49 0,55 0,93 8,08 18,62 81,38 0,60 1,17 7,30 24,47 75,53 0,65 1,42 6,54 30,86 69,14 0,70 1,69 5,82 37,51 62,49 0,75 1,97 5,15 44,17 55,83 0,80 2,24 4,55 50,59 49,41 0,85 2,52 4,04 56,61 43,39 0,90 2,80 3,52 62,12 37,88 0,95 3,07 3,10 67,06 32,94 1,00 3,34 2,72 71,43 28,57 1,10 3,84 2,10 78,54 21,46 1,20 4,29 1,63 83,83 16,17 1,30 4,67 1,27 87,72 12,28 1,40 4,99 1,00 90,57 9,43 1,50 5,26 0,79 92,68 7,32 1,60 5,46 0,63 94,25 5,75 1,70 5,67 0,51 95,43 4,57 1,80 5,87 0,42 96,33 3,67 1,90 6,00 0,34 97,02 2,98 2,00 6,06 0,28 97,56 2,44 λ′ α2y ⋅100 α2x ⋅100 β2y ⋅100 β2x ⋅100

xy / ll=λ pp x2x β= ; pp y2y β=

2xx2x pM lα= ; 2

yy2y pM lα=

8/pM 2xxrx l−=

yx / ll=λ′ 8/pM 2yyry l−=

lx

ly My

Mx

px

py My

Mrx Mx

lx

ly My

Mx

px

py Mx

Mry

My

lx

ly Mx

My

px

py

xy / ll=λ

2xx1x pM lα= 2yy1y pM lα=

pp x1x β=

pp y1y β=


34

Continuare ANEXA 1 TIP DE PLACĂ 3


TIP DE PLACĂ 4

λ α4x⋅100 α4y⋅100 β4x⋅100 β4y⋅100 0,50 0,37 5,89 5,88 94,12 0,55 0,51 5,61 8,38 91,62 0,60 0,69 5,29 11,47 88,53 0,65 0,89 4,96 15,15 84,85 0,70 1,11 4,62 19,36 80,64 0,75 1,35 4,27 24,04 75,96 0,80 1,61 3,93 29,06 70,94 0,85 1,87 3,59 34,30 65,70 0,90 2,15 3,27 39,62 60,38 0,95 2,42 2,97 44,89 55,11 1,00 2,69 2,69 50,00 50,00 1,10 3,22 2,20 59,42 40,58 1,20 3,70 1,79 67,47 32,53 1,30 4,14 1,45 74,07 25,93 1,40 4,52 1,18 79,35 20,65 1,50 4,85 0,96 83,51 16,49 1,60 5,13 0,78 86,76 13,24 1,70 5,37 0,64 89,31 10,69 1,80 5,57 0,53 91,30 8,70 1,90 5,74 0,44 92,87 7,13 2,00 5,89 0,37 94,12 5,88


2xx4x pM lα= ; 2

yy4y pM lα=

8/pM 2xxrx l−= ; 8/pM 2

yyry l−=

lx

ly My

Mx

px

py My

Mrx Mx

Mry

lx

ly My

Mx

px

py Mx

Mry

My

Mrx


2xx3x pM lα= ; 2

yy3y pM lα=

12/pM 2xxrx l−=

yx / ll=λ′ 12/pM 2yyry l−=

lx

ly My

Mx

px

py My

Mrx Mx Mrx

lx

ly My

Mx

px

py My

Mry

Mx

Mry


35

Continuare ANEXA 1 TIP DE PLACĂ 5


TIP DE PLACĂ 6

λ α6x⋅100 α6y⋅100 β6x⋅100 β6y⋅100 0,50 0,23 3,67 5,88 94,12 0,55 0,32 3,52 8,38 91,62 0,60 0,44 3,36 11,47 88,53 0,65 0,57 3,22 15,15 84,85 0,70 0,72 2,99 19,36 80,64 0,75 0,88 2,79 24,01 75,99 0,80 1,06 2,58 29,06 70,94 0,85 1,24 2,38 34,30 65,70 0,90 1,43 2,17 39,62 60,38 0,95 1,61 1,98 44,89 55,11 1,00 1,79 1,79 50,00 50,00 1,10 2,14 1,46 59,42 40,58 1,20 2,44 1,18 67,47 32,53 1,30 2,71 0,95 74,07 25,93 1,40 2,93 0,76 79,35 20,65 1,50 3,12 0,62 83,51 16,49 1,60 3,27 0,50 86,76 13,24 1,70 3,40 0,41 89,31 10,69 1,80 3,51 0,33 91,30 8,70 1,90 3,60 0,28 93,87 7,13 2,00 3,67 0,23 94,12 5,88

xy / ll=λ

pp x6x β= ; pp y6y β=

2xx6x pM lα= ; 2yy6y pM lα=

12/pM 2xxrx l−= ;

12/pM 2yyry l−=

lx

ly My

Mx

px

py My

Mrx Mx

Mry

Mrx

Mry


2xx5x pM lα= ; 2

yy5y pM lα=

12/pM 2xxrx l−= ; 8/pM 2

yyry l−=

yx / ll=λ′

lx

lx

ly

Mx

px

py My

Mry

Mrx

Mry

Mx

ly My

Mx

px

py My

Mrx Mx Mrx

Mry

Tudor Agneta2

Documents

Transcript of Tudor Agneta2