Macavei Tudor - Rezumat

UNIVERSITATEA TEHNIC DE CONSTRUCII BUCURETI

FACULTATEA DE CONSTRUCII CIVILE, INDUSTRIALE I AGRICOLE

BUCURETI 2010

CONTRIBUII LA MODELAREA SISTEMELOR

DINAMICE STRUCTURALE COMPLEXE

REZUMATUL TEZEI DE DOCTORAT

Conductor tiinific

Prof. univ. dr. ing. VALERIU BNU

Doctorand

Ing. TUDOR MACAVEI

Pentru ndrumarea plin de grij i rigurozitate adresez sentimente de cel mai nalt respect i recunotin conductorului tiinific prof. univ. dr. ing. Valeriu Bnu.

De asemenea, doresc s exprim sincere mulumiri colegilor din Catedra de Mecanic, Statica i Dinamica Construciilor, n special prof. univ. dr. ing. Iordan Petrescu pentru nceputurile n studiul modelrii cu elemente finite, conf. univ. dr. ing. Mircea Eugen Teodorescu pentru sprijinul n domeniul calculului geometric

neliniar.

Mulumesc prof. univ. dr. ing. Mihai Budescu i prof. univ. dr. ing. Doina tefan pentru aprecierile fcute cu promptitudine asupra prezentei teze.

Mulumesc doamnei decan, prof. univ. dr. ing. Daniela Preda pentru suportul acordat pe parcursul elaborrii lucrrii de doctorat.

n final mulumesc familiei i prietenilor care m-au susinut i ncurajat permanent.

CUPRINS

INTRODUCERE 1

CAPITOLUL 1.

PRINCIPALELE PROBLEME ALE MODELRII SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE 5

1.1. Aspecte fundamentale 5 1.1.1. Sistem, model fizic, model matematic 5 1.1.2. Simplificarea modelelor matematice 5 1.1.3. Importana studiului modelrii sistemelor dinamice structurale 5

1.2. Aspectele modelrii sistemelor dinamice structurale 5 1.2.1. Introducere 5 1.2.2. Modelarea inerial 6 1.2.3. Modelarea disipativ 6 1.2.4. Modelarea deformabilitii 6

1.3. Probleme practice ale modelrii sistemelor dinamice structurale 7 1.3.1. Principalele probleme practice ale modelrii sistemelor

dinamice structurale 7

1.3.2. Delimitarea de mediul nconjurtor problem esenial a modelrii sistemului dinamic 7

CAPITOLUL 2.

INFLUENA DISTRIBUIEI RIGIDITILOR, MASELOR I NCRCRILOR DINAMICE ASUPRA MODELULUI DE CALCUL 8 2.1. Condensarea gradelor de libertate 8

2.1.1. Divizarea n submatrice a matricei de rigiditate 8 2.1.2. Condensarea consecvent 8 2.1.3. Condensarea prin transformri elementare 8

2.2. Influena distribuiei rigiditilor sistemului dinamic structural asupra stabilirii modelului de calcul 9

2.2.1. Introducere 9 2.2.2. Sistemul dinamic structural analizat 9 2.2.3. Constatri i comentarii 15 2.2.4. Concluzii 17

2.3. Influena distribuiei maselor i ncrcrilor dinamice asupra modelului de calcul 18

2.3.1. Introducere 18 2.3.2. Sistem dinamic structural simetric, cu masa distribuit uniform 18 2.3.3. Sistem dinamic structural cu o mas disproporionat 18 2.3.4. Influena ncrcrilor dinamice asupra modelului de calcul 18

2.4. Concluzii 18

CAPITOLUL 3.

INFLUENA GRADULUI DE RAFINARE AL DISCRETIZRII ASUPRA RSPUNSULUI DINAMIC 20 3.1. Aspecte fundamentale n metoda elementelor finite 20

3.1.1. Principiul metodei elementelor finite 20 3.1.2. Clase i tipuri de elemente finite 20 3.1.3. Funcii de aproximare n coordonate globale 21 3.1.4. Funcii de aproximare n coordonate naturale 21 3.1.5. Elemente izoparametrice 21 3.1.6. Condiii de convergen i compatibilitate 21

3.2. Influena gradului de rafinare al discretizrii asupra modurilor proprii de vibraie determinate prin calcul 22

3.2.1. Introducere 22 3.2.2. Sistemul dinamic structural P+1 22 3.2.2. Sistemul dinamic structural P+3 26

3.3. Influena gradului de rafinare al discretizrii asupra rspunsului dinamic 27 3.3.1. Introducere 27 3.3.2. Influena gradului de rafinare al discretizrii asupra rspunsului

dinamic la aciunea forelor armonice 27 3.3.3. Influena gradului de rafinare al discretizrii asupra rspunsului

dinamic la aciunea seismic 29

CAPITOLUL 4.

ABORDAREA TEORETIC A PROBLEMEI MODELRII SISTEMELOR DINAMICE SRUCTURALE 33

4.1. Aspecte fundamentale 33

4.1.1. Introducere 33

4.1.2. Modele geometric uniforme i dinamic uniforme 33 4.2. O proprietate a sistemelor dinamice modelate cu elemente finite 33

4.2.1. Enunul proprietii i condiii de aplicare 33 4.2.2. Structuri spaiale alctuite din elemente de tip grind cu seciune constant 34

4.3. Vibraii longitudinale 34 4.3.1. Soluia analitic 34 4.3.2. Soluia cu elemente finite cu mase concentrate 36 4.3.2. Soluia cu elemente finite cu matricea maselor consecvent 39 4.4. Vibraii de torsiune 40 4.4.1. Soluia analitic 40 4.4.2. Soluia cu elemente finite i caracteristici ineriale concentrate 42 4.4.3. Soluia cu elemente finite i matricea inerial consecvent 44 4.5. Vibraii transversale 45 4.5.1. Soluia analitic 45 4.5.2. Soluia cu elemente finite cu matricea maselor consecvent 46 4.5.3. Soluia cu elemente finite i matricea maselor diagonal 48

CAPITOLUL 5.

ABORDAREA PRACTIC A PROBLEMEI MODELRII SISTEMELOR DINAMICE SRUCTURALE 50

5.1. Aspecte fundamentale 50


5.1.2. Aspecte analizate n abordarea practic a modelrii sistemelor dinamice structurale 50

5.2. Vibraiile longitudinale ale sistemului cu legturi 50 5.2.1. Soluia analitic 50 5.2.2. Soluia cu elemente finite i mase concentrate 51 5.2.3. Soluia cu elemente finite i matricea maselor consecvent 51 5.3. Vibraiile transversale ale sistemului cu legturi 52 5.3.1. Soluia analitic 52 5.3.2. Soluia cu elemente finite i masele concentrate 52 5.3.3. Soluia cu elemente finite i matricea maselor consecvent 53 5.4. Evaluarea erorilor pulsaiilor proprii de vibraie intermediare ale sistemelor cu legturi 53 5.4.1. Erorile intermediare efective 53

5.4.2. Procedeul liniar de interpolare al erorilor 54

5.4.3. Metoda polinomului de interpolare Lagrange 54

5.4.4. Procedeul funciei putere 58 5.5. Influena erorilor pulsaiilor proprii asupra exactitii rspunsului dinamic la aciuni armonice 59


5.5.2. Rspunsul dinamic staionar 60 5.5.3. Concluzii 63

CAPITOLUL 6.

CALCULUL DINAMIC GEOMETRIC NELINIAR 64

6.1. Introducere 64

6.1.1. Ipoteze 64

6.1.2. Specificul calculului de ordinul II 65

6.2. Principiile calculului dinamic geometric neliniar 66

6.2.1. Calculul dinamic liniar i geometric neliniar 66 6.2.2. Ecuaia micrii 66 6.3. Matricea de rigiditate geometric a barei 67 6.3.1. Bara dublu articulat 67 6.3.2. Bara dublu ncastrat 67 6.4. Vibraiile sistemului cu legturi 68 6.4.1. Sistemul dinamic structural analizat 68

6.4.2. Soluia de referin 68 6.4.3. Soluia cu elemente finite i mase concentrate 69 6.5. Evaluarea erorilor perioadelor proprii de vibraie intermediare 70

6.5.1. Erorile intermediare efective 70

6.5.2. Procedeul liniar de interpolare al erorilor efective 70

6.5.3. Metoda polinomului de interpolare Lagrange 71

6.5.4. Procedeul funciei putere 72 6.6. Creterea perioadei proprii fundamentale de vibraie n funcie de creterea raportului P/Pcr 73 6.7. Concluzii 74

CAPITOLUL 7.

CONSIDERAII FINALE 75 7.1. Contribuii personale 75 7.2. Valorificarea lucrrii i direcii viitoare de cercetare 76

BIBLIOGRAFIE SELECTIV 77

1

INTRODUCERE

Modelul de calcul al unui sistem structural este modelul fizic cruia i se ataeaz un model matematic. n dinamica structurilor acesta este modelul dinamic. Analiza dinamic prin calcul a unui sistem structural se refer la modelul dinamic. Modelarea sistemelor dinamice structurale complexe n domeniul liniar i neliniar de comportare este o problem cuprinztoare care include mai multe direcii de cercetare. O contribuie care se dorete a fi semnificativ pentru rezolvarea acestei probleme trebuie s exprime principii clare i simple de modelare matematic.

Obiectul tezei de doctorat l reprezint modelarea sistemelor dinamice structurale complexe n calculul dinamic liniar i n calculul dinamic geometric neliniar. Din multitudinea aspectelor acestei probleme, unele sunt

abordate n prezenta lucrare iar altele sunt propuse ca direcii viitoare de cercetare. O proprietate remarcabil a sistemelor dinamice uniforme libere n

discretizarea cu elemente finite este c eroarea celei mai nalte pulsaii proprii a sistemului coincide cu eroarea celei mai nalte pulsaii proprii a unui singur element finit. n afara studiului acestor sisteme libere care constituie o abordare

teoretic a problemei, n prezenta lucrare este analizat aceast proprietate pentru sistemele cu legturi i aceasta reprezint o abordare practic a problemei modelrii sistemelor dinamice structurale. Aceast abordare practic este aplicat att sistemelor dinamice structurale cu comportare liniar, ct i sistemelor dinamice structurale cu comportare geometric neliniar. Lucrarea este structurat n o introducere, apte capitole i bibliografia.

n Introducere se prezint aspectele generale ale modelrii sistemelor dinamice structurale complexe, obiectul tezei de doctorat i o descriere succint a coninutului tezei de doctorat.

Capitolul 1 este intitulat Principalele probleme ale modelrii sistemelor dinamice structurale. Sunt definite noiunile de sistem, model, model fizic, moel matematic, model de calcul i model dinamic. Ca aspecte ale modelrii sistemelor dinamice structurale sunt considerate modelarea inerial, modelarea disipativ i modelarea deformabilitii. n final sunt prezentate numeroase probleme practice ale modelrii sistemelor dinamice structurale.

Capitolul 2 este intitulat Influena distribuiei rigiditilor, maselor i ncrcrilor dinamice asupra modelului de calcul. Se prezint trei procedee de condensare a gradelor de libertate. Autorul a ntocmit o subrutin n MATHCAD, pe care a utilizat-o n numeroase aplicaii numerice din teza de doctorat.

Se studiaz influena rigiditilor disproporionate din alctuirea sistemelor structurale asupra comportrii dinamice a acestora. Se introduce factorul de amplificare dinamic pentru cuantificarea interaciunii dintre modurile proprii de vibraie. Astfel, pentru modurile proprii nalte pulsaiile de vibraie din modurile

2

proprii joase reprezint pulsaii ale aciunii i factorul de amplificare dinamic este supraunitar. Pentru modurile proprii inferioare pulsaiile aciunii sunt pulsaiile de vibraie din modurile proprii superioare iar factorul de amplificare dinamic este subunitar.

Se recomand ca prile deosebit de flexibile ale sistemului structural s nu fie considerate n analiz. Dac este posibil, acestea vor fi considerate ca elemente uoare i vor fi tratate separat. n caz contrar, reeaua de elemente finite trebuie s fie ndesit n aceste zone flexibile.

Printr-o abordare unitar, se pune n eviden faptul c aceeai flexibilizare dinamic a unei zone a structurii rezult n urma creterii maselor i ncrcrilor dinamice n zona respectiv.

Capitolul 3 este intitulat Influena gradului de rafinare al discretizrii

asupra rspunsului dinamic. Sunt prezentate principiul metodei elementelor finite, clase i tipuri de

elemente finite, funcii de aproximare n coordonate globale, funcii de aproximare n coordonate naturale, elemente izoparametrice, condiii de convergen i compatibilitate.

Pentru studiul influenei gradului de rafinare al discretizrii asupra rspunsului dinamic calculat, n corelare cu erorile modurilor proprii de vibraie, se efectueaz dou studii de caz:

sistem dinamic structural P+1 cu dou plane verticale de simetrie;

sistem dinamic structural P+3 avnd de asemenea dou plane de simetrie. Pentru ambele sisteme s-au adoptat patru modele dinamice:

primul model dinamic cel mai grosier are nodurile coincidente cu nodurile efective ale structurii, rezultnd:

- 70 elemente finite din care 12 elemente de tip plac i 58 elemente de tip grind pentru sistemul P+1;

- 140 elemente finite pentru sistemul P+3.

al doilea model dinamic se obine prin reducerea la jumtate a dimensiunilor elementelor finite ale primului model;

al treilea model dinamic se obine prin reducerea la jumtate a dimensiunilor elementelor finite ale modelului precedent;

al patrulea model dinamic cel mai rafinat i care este modelul de referin rezult prin njumtirea dimensiunilor elementelor finite ale modelului precedent.

Configuraiile primelor ase forme proprii de vibraie ale sistemului P+1 i a primelor zece ale sistemului P+3 nu sunt influenate de gradul de rafinare al discretizrii. Pentru aceste moduri proprii de vibraie se repet tripletul longitudinal transversal torsiune general. Erorile relative ale perioadelor proprii de vibraie scad odat cu creterea gradului de rafinare al discretizrii. n ansamblu, erorile relative ale perioadelor proprii cresc de la modurile proprii joase

spre modurile proprii superioare.

3

Aciunea dinamic a fost reprezentat de accelerograma N-S a cutremurului din 4 martie 1977 nregistrat la INCERC Bucureti, durata aciunii i a rspunsului calculat fiind de 40 de secunde. Modelele dinamice mai grosiere au condus la deplasri calculate mai mici cu pn la 27,8%. Acest fapt este descoperitor nu numai n cazul utilizrii primului model dinamic, dar chiar i a celui de-al doilea, care este mai rafinat. Eroarea perioadei proprii respective

(care este de 5,75%) se regsete amplificat de cteva ori n rspunsul dinamic.

Capitolul 4 este intitulat Abordarea teoretic a problemei modelrii sistemelor dinamice structurale.

Se prezint o proprietate a erorii celei mai nalte pulsaii proprii a sistemelor dinamice uniforme modelate cu elemente finite. Aceast eroare poate fi obinut naintea efecturii oricrei analize dinamice. Enunul proprietii:

Eroarea celei mai nalte pulsaii proprii a unui sistem dinamic uniform liber n discretizarea cu elemente finite coincide cu eroarea celei mai nalte

pulsaii proprii a unui singur element finit. n literatura de specialitate [26] proprietatea este demonstrat pentru

vibraiile longitudinale cu mase concentrate ale sistemului uniform de elemente articulate. n lucrarea de doctorat proprietatea este demonstrat pentru:

vibraiile longitudinale cu matricea maselor consecvent;

vibraiile de torsiune cu caracteristici ineriale concentrate;

vibraiile de torsiune cu matricea inerial consecvent. De asemenea, aceast proprietate este studiat pentru vibraiile transversale

cu matricea maselor consecvent i diagonal. n toate cazurile abordate, comparaia a fost fcut cu soluia analitic a

sistemului liber continuu.

Capitolul 5 este intitulat Abordarea practic a problemei modelrii sistemelor dinamice structurale.

Sunt analizate urmtoarele vibraii ale sistemelor cu legturi prin prisma proprietii enunate a pulsaiilor proprii de vibraie:

vibraii longitudinale, soluia cu elemente finite i mase concentrate;

vibraii longitudinale, soluia cu elemente finite i matricea maselor consecvent;

vibraii transversale, soluia cu elemente finite i matricea maselor consecvent;

vibraii transversale, soluia cu elemente finite i matricea maselor diagonal.

De asemenea, n acest capitol sunt studiate urmtoarele probleme practice:

evaluarea erorilor pulsaiilor proprii intermediare ale sistemelor cu legturi prin interpolare liniar;

evaluarea erorilor pulsaiilor proprii intermediare ale sistemelor cu legturi prin metoda polinomului de interpolare Lagrange;

4

evaluarea erorilor pulsaiilor proprii intermediare ale sistemelor cu legturi prin procedeul funciei putere.

S-a analizat amplificarea erorilor pulsaiilor proprii n rspunsul dinamic al sistemelor structurale la aciuni armonice. Pentru raportul dintre pulsaia aciunii i pulsaia proprie egal cu zero, factorul de amplificare al erorilor este egal cu 2. Se face deosebire ntre zona rezonanei adic intervalul raportului pulsaiilor cuprins ntre 0,8 i 1,2 i vecintatea rezonanei n care raportul celor dou pulsaii este aproximativ egal cu unitatea. n vecintatea rezonanei amplificarea erorii pulsaiei proprii n rspunsul dinamic este nul, iar amplificarea maxim a erorii are loc n zona rezonanei i este aproximativ egal cu coeficientul dinamic.

Capitolul 6 este intitulat Calculul dinamic geometric neliniar. n calculul dinamic geometric neliniar au fost parcurse etapele de studiu din

calculul dinamic liniar.

n funcie de diferite rapoarte P/Pcr , s-au determinat erorile perioadelor proprii de vibraie. Pentru interpolarea erorilor acestora s-au utilizat urmtoarele procedee:

procedeul liniar de interpolare;

metoda polinomului de interpolare Lagrange;

procedeul funciei putere. n calculul dinamic geometric neliniar, aceste procedee se aplic ntr-un

mod diferit fa de calculul dinamic liniar, datorit mai ales modificrii semnificative a perioadei proprii fundamentale de vibraie. Au fost propuse expresii adecvate comportrii dinamice geometric neliniare att n procedeul liniar, ct i n procedeul funciei putere i n metoda polinomului de interpolare Lagrange.

Creterea perioadei proprii fundamentale de vibraie implic scderea accentuat a rigiditii structurii odat cu creterea raportului P/Pcr.

n acest capitol se generalizeaz studiul comportrii dinamice geometric neliniare de la modul propriu fundamental de vibraie la toate modurile proprii de vibraie ale modelului dinamic analizat.

Capitolul 7 este intitulat Consideraii finale i cuprinde contribuii personale, valorificarea lucrrii i direcii viitoare de cercetare.

5

CAPITOLUL 1

PRINCIPALELE PROBLEME ALE MODELRII SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE

1.1. ASPECTE FUNDAMENTALE

1.1.1. Sistem, model fizic, model matematic

Sistemul este un ansamblu de elemente componente, caracterizat printr-o

structur intern ordonat i delimitat de mediul nconjurtor. Modelul este o reprezentare a aspectelor eseniale ale unui sistem. Modelul permite descrierea cunotinelor asupra sistemului ntr-o form utilizabil. Modelul fizic este o copie sau o analogie care se comport similar cu sistemul real. Modelul fizic rezult n urma aplicrii unor simplificri. Modelul matematic este un sistem de relaii matematice care descriu comportarea unui sistem fizic real. Modelul matematic

poate fi construit pe modelul fizic. Modelul de calcul al structurii este modelul

fizic cruia i se ataeaza un model matematic. n Dinamica structurilor acesta este modelul dinamic.

1.1.2. Simplificarea modelelor matematice

Utilizarea modelelor dinamice complexe are mai multe dezavantaje legate

de costul analizei, memoria necesar, mnuirea datelor de intrare i interpretarea rezultatelor. Pe de alt parte, utilizarea celor mai mici dimensiuni pentru modelele dinamice poate conduce la rezultate incorecte i, mai mult, se poate pierde evidenierea anumitor fenomene.

1.1.3. Importana studiului modelrii sistemelor dinamice structurale Modelarea specific sistemelor dinamice este o problem esenial n

realizarea sistemelor structurale. Dup modelarea i analiza sistemului dinamic se poate ajunge la concluzia c este necesar revizuirea concepiei acestui sistem.

Toi parametrii care intervin trebuie modelai n aa fel nct fenomenele care au loc n sistemul structural s poat fi reflectate si evaluate ct mai fidel. Totodat, prin modelare trebuie s se ofere posibilitatea ca fenomenele dinamice s fie abordate satisfctor din punct de vedere matematic. O alterare a caracteristicilor de definire ale sistemului dinamic poate conduce nu numai la

rezultate inexacte, ci chiar la falsificarea fenomenelor reale.

1.2. ASPECTELE MODELRII SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE

1.2.1 Introducere

n analiza dinamic a structurilor se modeleaz sistemul i aciunile, i se determin rspunsul dinamic. Modelarea sistemului dinamic se refer la urmtoarele trei aspecte principale:

6

modelarea inerial;

modelarea disipativ;

modelarea deformabilitii.

1.2.2. Modelarea inerial Modelarea inerial se refer la distribuia maselor, care matematic se

reflect n matricea maselor. Cel mai simplu mod de definire a proprietilor ineriale ale oricrei structuri

este acela de a presupune c ntreaga mas este concentrat n puncte unde sunt definite deplasri din translaie. n acest caz matricea maselor are n general o form diagonal. Elementele nediagonale ale acestei matrice sunt nule deoarece o acceleraie a oricrei mase produce o for de inerie doar n acel punct. Totui, n cazul n care masele se concentreaz n nodurile structurii i se adopt ipoteza deformaiilor axiale nule ale barelor, pot exista elemente secundare nenule ale matricei [M], (mij 0, pentru i j) dac gradele de libertate antreneaz mase comune.

1.2.3. Modelarea disipativ Energia indus de aciunile dinamice este disipat de sistemele dinamice

structurale prin fenomenul de amortizare.

Amortizarea depinde n general de:

- capacitatea de amortizare interna a materialului; - configuraia structurii i gradul de nedeterminare static; - legturile exterioare i interioare ale sistemului structural.

1.2.4. Modelarea deformabilitii Modelarea deformabilitii sistemului dinamic structural se refer la

evaluarea proprietilor de rigiditate. n cazul sistemelor cu comportare elastic liniar, coeficienii de rigiditate sunt constani, pe cnd n situaia sistemelor cu comportare neliniar, aceti coeficieni sunt variabili.

Modelarea deformabilitii sistemului dinamic structural include i discretizarea n elementele componente, precizarea geometriei acestora, precum i a legturilor interioare si exterioare ale sistemului.

O trstur comun tuturor sistemelor discretizate n elemente finite este numrul mare de coeficieni nuli din matricea de rigiditate. Aceasta se datoreaz faptului c fiecare nod are puine elemente comune cu alte noduri. Cu ct structura este mai dezvoltat, cu att procentul de coeficieni nuli este mai mare. Memorarea ei se poate face n form compact, ceea ce permite , pe lnga memorarea unor matrice de dimensiuni mari, evitarea operaiilor care implic zerouri.

7

1.3. PROBLEME PRACTICE ALE MODELRII SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE

1.3.1. Principalele probleme practice ale modelrii sistemelor dinamice structurale

n raport cu aspectele fundamentale ale modelrii sistemelor dinamice structurale, se ridic printre altele urmtoarele probleme practice:

Delimitarea modelului sistemului dinamic de mediul nconjurtor. De exemplu, n practica inginereasc se ntlnesc ansambluri secundare uoare asociate unor sisteme structurale primare. Delimitarea ansamblurilor secundare

de structura primar se ncadreaza n acest gen de probleme.

Stabilirea dimensiunii modelului dinamic.

Posibilitatea decuplrii anumitor subsisteme din sistemul dinamic.

Posibilitatea izolrii anumitor elemente din sistem, pentru a fi analizate separat.

Identificarea situaiilor n care este posibil modelarea sistemului dinamic structural spaial ca un sistem plan.

Stabilirea gradului de acuratee al analizei care se justific n cazul alegerii unui model plan.

Opiunea ntre o analiz dinamic liniar i considerarea comportrii neliniare a sistemului structural.

Alegerea curbei histeretice n cazul analizei neliniare.

Opiunea ntre modele aleatoare i deterministe n analiza sistemelor dinamice structurale.

Modelarea sistemelor dinamice cu rigiditi disproporionate.

Modelarea sistemelor dinamice cu mase disproporionate.

Stabilirea criteriilor de modelare a sistemelor dinamice.

1.3.2. Delimitarea de mediul nconjurtor problem esenial a modelrii sistemului dinamic

Problema delimitrii modelului sistemului structural de mediul nconjurtor are un domeniu de aplicare mult mai divers dect s-ar putea considera la prima

vedere. Printre altele, aceast problem se refer la : - delimitarea ansamblurilor secundare de structura suport; - decuplarea anumitor subsisteme din sistemul dinamic; - izolarea anumitor elemente din sistem, pentru a fi analizate separat; - includerea n analiz a anumitor elemente considerate nestructurale. Este studiat posibilitatea izolrii unui element din sistemul dinamic, printr-

un exemplu simplu. Acest element este conectat de restul structurii printr-o

ncastrare elastic. n Statica construciilor, cele dou situaii limit pentru ncastrarea elastic sunt articulaia i ncastrarea perfect. n Dinamica structurilor poate exista o subarticulare sau o suprancastrare.

8

CAPITOLUL 2

INFLUENA DISTRIBUIEI RIGIDITILOR, MASELOR I NCRCRILOR DINAMICE ASUPRA MODELULUI DE CALCUL

2.1. CONDENSAREA GRADELOR DE LIBERTATE

Dintre problemele practice ale modelrii sistemelor dinamice structurale, n acest capitol se analizeaz cele legate de influena distribuiei rigiditilor, maselor i ncrcrilor dinamice asupra modelului matematic al sistemului dinamic structural, model care s fie utilizat pentru calculul rspunsului dinamic la diferite aciuni, inclusiv aciunea seismic.

n vederea efecturii aplicaiilor numerice, se condenseaz gradele de libertate ale sistemului dinamic structural.

2.1.1. Divizarea n submatrice a matricei de rigiditate

Prin condensare, matricea de rigiditate [K] se reduce la matricea de rigiditate

[R], exprimat n coordonatele dinamice, adic acele coordonate pe direciile crora, prin modelul de calcul adoptat, se pot dezvolta fore de inerie.

Se noteaz cu indicii: e = coordonatele care se elimin; d = coordonatele care se pstreaz n analiza dinamic. Rezult

edeededd KKKKR ][][][][][1 (2.5)

2.1.2. Condensarea consecvent Operaiile din relaia (2.5) pot fi obinute prin transformarea de coordonate

][][][][ AKAR T (2.6)

ceea ce permite operarea simultan asupra matricei maselor [M], utiliznd o expresie similar celei din relaia (2.6) i aceeai matrice de transformare [A].

2.1.3. Condensarea prin transformri elementare Matricea de rigiditate [R] poate fi obinut din matricea de rigiditate [K] prin

transformri elementare de tip Gauss Jordan efectuate asupra liniilor. Se efectueaz aceste transformri pn cnd n locul submatricei [K]ee se obine matricea unitate, iar n locul submatricei [K]de se obine submatricea nul. Atunci, n poziia submatricei [K]dd se va afla matricea [R].

Subrutina n MATHCAD, ntocmit de autor pentru aplicaiile numerice este urmtoarea:

9

2.2. INFLUENA DISTRIBUIEI RIGIDITILOR SISTEMULUI DINAMIC STRUCTURAL ASUPRA STABILIRII MODELULUI DE

CALCUL

2.2.1. Introducere

Se analizeaz modelarea sistemelor dinamice structurale alctuite din elemente avnd diferite rigiditi. Pentru a pune n eviden influena rigiditilor cu valori disproporionate, masa sistemului se consider constant. Variaia modurilor proprii de vibraie este msura variaiei rspunsului dinamic al structurilor la orice aciuni. De aceea, drept criteriu de apreciere a fidelitii modelelor dinamice s-au ales modurile proprii de vibraie.

2.2.2. Sistemul dinamic structural analizat

Se analizeaz sistemul dinamic structural simplu, din figura 2.2,a. Sistemul este alctuit din dou elemente de lungimi egale. Elementul de la partea superioar are momentul de inerie central, principal, al seciunii transversale I, iar elementul de la partea inferioar, 100I. Masa distribuit pe unitatea de lungime este , att pentru elementul inferior ct i pentru elementul superior. Pentru studiul vibraiilor proprii transversale, masa sistemului dinamic se concentreaz n zece seciuni situate la distane egale. Primele nou mase sunt egale, iar ultima are valoarea pe jumtate (figura 2.2,b). Coordonatele dinamice sunt reprezentate n figura 2.2,c.

S

SK NE 9

ND 10

NT NE ND

SK S

pivot SKk k

SKk j

SKk j

pivot

j k NTfor

SKi k

SKi k

i kif

AJ SKi k

SKi j

SKi j

AJ SKk j

j k NTfor

otherwise

i 0 NTfor

k 0 NEfor

SKreturn

R submatrix SK NE 1 NT NE 1 NT( )

10

Cu aceast matrice de rigiditate i cu matricea maselor diagonal, s-au determinat cele zece moduri proprii de vibraie. Opt dintre acestea sunt reprezentate n figurile 2.3, 2.4, 2.6 i 2.7 cu linie continu (culoarea rou). Cu linie ntrerupt (culoarea albastru), s-au reprezentat formele proprii de vibraie ale sistemului dinamic structural considerat cu momentul de inerie 100I de la baz pn la vrf.

Fig. 2.2.

Normalizarea vectorilor proprii de vibraie ale sistemului dinamic structural s-a efectuat astfel: s-au raportat toate elementele vectorului la elementul cu cea mai

mare valoare absolut. ntruct pentru unele elemente ale vectorilor proprii rezult valori foarte mici n raport cu unitatea de exemplu 2x10-5 vectorii proprii s-au redat cu ase zecimale, tocmai pentru a pune n eviden anumite fenomene legate de sistemele dinamice structurale cu rigiditi disproporionate.

10

E,

I,

E

, 100I,

l /

2

l /

2

m1

m5

m6

m7

m8

m9

m10

m2

m3

m4

6

7

8

9

5

4

3

2

1

a) Sistemul dinamic

b) Modelul dinamic

c) Coordonate

dinamice

11

Fig. 2.3. Primele dou moduri proprii de vibraie

41

IE13,050994

l

1

0,73673

0,484069

0,262363

0,100293

0,031179

0,020929

0,012322

0,005721

0,001491

}{ 1

1

0,112002

0,56566-

0,8306-

0,68192-

0,42763-

0,29917-

0,18302-

0,08800-

0,02368-

}{ 2

a) b)

42

IE63,681722

l

12

Fig. 2.4. Modurile proprii de vibraie 3 i 4

1

0,25381-

0,75201-

0,22523-

0,636413

0,863115

0,630000

0,401643

0,200504

0,055746

}{ 3

1

0,81000-

0,33881-

0,966949

0,412507

0,59134-

0,4927-

0,35361-

0,19471-

0,05853-

}{ 4

a) b)

43

IE128,48753

l

44

IE249,99576

l

13


0,02770-

0,058278

0,13224-

0,248294

0,43031-

1

0,10518-

0,84527-

0,88491-

0,37578-

}{ 7

0,00046-

0,001279

0,00458-

0,01524

0,04370-

0,682251

0,97237-

0,49586-

1

0,91018

}{ 8

a) b)

47

IE817,64584

l

48

IE2140,3362

l

14


0,000066

0,00019-

0,000748

0,00271-

0,008772

0,31766-

0,858496

0,71159-

0,21110-

1

}{ 9

a) b)

0,000019

0,000055-

0,000218

0,000803-

0,002733

0,146424-

0,522251

0,881692-

1

0,91119-

}{ 10

49

IE4105,3296

l

410

IE6101,3309

l

15

2.2.3. Constatri i comentarii n continuare se expun anumite constatri privind modurile proprii de vibraie.

Din examinarea formelor proprii i mai eficient a vectorilor proprii, rezult c acestea respect configuraia formelor proprii ale sistemelor de acelai tip dar fr discontinuiti pronunate ale rigiditii, n ceea ce privete numrul schimbrilor de semn ale elementelor vectorului propriu, numr egal cu cel al punctelor de anulare a formei proprii de vibraie: - n forma proprie fundamental (figura 2.3.a) toate ordonatele sunt n

acelai sens, deci zero puncte de anulare; - n forma proprie 2 (figura 2.3.b) exist un singur punct de anulare, ceea

ce revine la o schimbare de semn n elementele vectorului propriu 2}{ ;

- forma proprie 3 (figura 2.4.a) are dou puncte de anulare; - forma proprie 4 (figura 2.4.b) are trei puncte de anulare; - forma proprie 5 are patru puncte de anulare; - forma proprie 6 are cinci puncte de anulare; - forma proprie 7 (figura 2.6.a) are ase puncte de anulare; - vectorul propriu 8}{ are apte schimbri de semn ale elementelor lui;

forma proprie corespunztoare este reprezentat n figura 2.6.b; - vectorul propriu 9}{ are opt schimbri de semn;

- vectorul propriu 10}{ are nou schimbri de semn.

n primele ase moduri proprii de vibraie formele proprii sunt mai pronunate n partea superioar a sistemului structural, adic n zona flexibil.

n ultimele patru moduri proprii de vibraie, formele proprii sunt mai pronunate n partea inferioar a sistemului structural, adic n zona cu rigiditate mai mare.

n toate formele proprii de vibraie numrul buclelor este mai mare n zona flexibil, cu excepia ultimeia, n care acest numr este egal.

Raportul dintre cea mai nalt i cea mai joas pulsaie proprie a modelului dinamic al sistemului structural este:

5,46705,13

33,6101

10

1 (2.11)

Se vor mai utiliza rapoartele:

66,1649,128

34,2140

3

8 (2.12)

i

06,034,2140

49,128

8

3 (2.13)

ataate modurilor proprii de vibraie 3 i 8, caracteristice pentru analiza care se efectueaz

16

n continuare se fac cteva comentarii asupra constatrilor prezentate:

n modelarea sistemelor dinamice structurale, sunt necesare mai multe puncte de concentrare ale maselor pe aceeai lungime n zona flexibil n raport cu zona cu rigiditate mai mare.

Dac n analiza dinamic sunt considerate i zonele deosebit de flexibile, atunci reeaua de elemente finite trebuie s fie deosebit de fin n aceste zone.

n cele ce urmeaz se d explicaia configuraiei formelor proprii din modurile joase n contrast cu modurile proprii superioare.

Sistemul dinamic structural vibreaz n toate modurile proprii, fiecare mod avnd o pondere mai mare sau mai mic n rspunsul dinamic structural.

n modurile proprii joase, sistemul dinamic structural are perioadele proprii

,, 21 TT lungi i pulsaiile proprii ,, 21 mici. n aceste moduri proprii sunt

accentuate vibraiile zonei flexibile a sistemului dinamic structural.

Fig. 2.8. Factorul de amplificare dinamic i modurile proprii de vibraie ale

sistemelor cu elemente de diferite rigiditi

*

66,163

8

= 0,05

06,08

3

17

n modurile proprii superioare, sistemul dinamic are perioade proprii

109 ,, TT scurte i pulsaii proprii 109 ,, mari. n aceste moduri proprii

sunt accentuate vibraiile zonei cu rigiditate mare. Zona flexibil mai lent n ceea ce privete vibraiile nu poate urmri

vibraiile rapide ale zonei cu rigiditate mare. De aceea n modurile proprii 8, 9 i 10 zona flexibil practic st pe loc.

Fenomenul poate fi pus i mai bine n eviden dac se consider coeficientul dinamic sau factorul de amplificare dinamic. n figura 2.8 s-a reprezentat acest factor pentru o fraciune din amortizarea critic de 5%.

n figura 2.8, reprezint pulsaia aciunii, iar reprezint pulsaia proprie

a sistemului dinamic. n modul propriu 8, pulsaia 8 reprezint o pulsaie a

aciunii pentru modul propriu 3, reprezentat de 3

66,163

8

3

(2.14)

iar amplificarea dinamic este practic nul

0)66,16( (2.15)

astfel nct partea flexibil practic st pe loc.

n modul propriu 3, pulsaia 3 reprezint o pulsaie a aciunii pentru

modul propriu 8, reprezentat de 8

06,08

3

8

(2.16)

iar amplificarea dinamic este aproximativ egal cu 1

1)06,0( (2.17)

astfel nct partea cu rigiditate mai mare are deplasri, dar acestea nu sunt amplificate dinamic (figura 2.4,a).

2.2.4. Concluzii

1. n modelarea sistemelor cu elemente avnd rigiditi disproporionate este de recomandat ca prile deosebit de flexibile ale sistemului structural s nu fie considerate n analiz. Dac este posibil, acestea vor fi considerate elemente uoare i vor fi tratate separat. Dac totui aceste elemente flexibile sunt incluse n modelul de calcul cu care se efectueaz analiza dinamic, atunci reeaua de elemente finite trebuie s fie ndesit n aceste zone flexibile.

2. n modurile proprii de vibraie cu frecvene nalte, zonele flexibile ale sistemului structural caracterizate de perioade lungi nu pot urmri vibraiile rapide cu aceste frecvene i practic nu se deformeaz. Acest fenomen poate fi pus n eviden prin intermediul factorului de amplificare dinamic, ceea ce reprezint o contribuie original a tezei de doctorat.

18

Reciproc, n modurile proprii joase, poriunile cu rigiditate pronunat nu au deplasrile amplificate dinamic.

2.3 INFLUENA DISTRIBUIEI MASELOR I NCRCRILOR DINAMICE ASUPRA MODELULUI DE CALCUL

2.3.1. Introducere

Se analizeaz nti influena distribuiei maselor asupra modurilor proprii de vibraie i implicit asupra stabilirii modelului de calcul. Pentru a pune n eviden influena maselor cu valori disproporionate, rigiditatea sistemului dinamic structural se consider constant.

Sistemul dinamic structural este studiat n dou variante: una cu masa uniform i cealalt cu o mas suplimentar, cu valoare deosebit de mare.

2.3.2. Sistem dinamic structural simetric, cu masa distribuit uniform Sistemul dinamic de referin are masa pe unitatea de lungime i modulul de rigiditate la ncovoiere constant. Modelul dinamic conine 10 mase concentrate egale. Formele proprii de vibraie sunt succesiv simetrice i antisimetrice.

2.3.3. Sistem dinamic structural cu o mas disproporionat Acest sistem prezint o mas concentrat de 99a, n afara masei distribuite.

Aceast mas concentrat este situat n poziia a patra, astfel nct

am 1004 (2.18)

Asimetria distribuiei maselor produce asimetria formelor proprii de vibraie. Masa concentrat disproporionat produce flexibilizarea dinamic a sistemului structural.

ntruct exist o singur mas cu valoare deosebit de mare, aceasta se deplaseaz ntr-un singur mod propriu de vibraie cel mai flexibil i anume modul propriu fundamental. n formele proprii 2, 3, 4, 5, ordonata a patra este practic nul. n aceast poziie se afl masa concentrat. Aceast mas joac rolul unui volant.

2.3.4. Influena ncrcrilor dinamice asupra modelului de calcul Modelul de calcul al sistemului dinamic structural este influenat nu numai

de distribuia rigiditilor i a maselor, dar i de distribuia ncrcrilor dinamice. O for concentrat implic un nod al reelei de elemente finite n punctul de aplicaie al acestei fore, iar dac fora dinamic are valori importante, reeaua de elemente finite trebuie s fie mai deas n vecintatea acesteia. O mas concentrat de valoare important conduce la o for de inerie important n acel punct teoretic, fapt cuantificat prin flexibilizarea dinamic a zonei. Acelai efect l are o ncrcare dinamic important.

19

2.4. CONCLUZII

Cele trei aspecte ale modelrii sistemului dinamic structural abordate n prezenta lucrare i anume influena asupra modelului de calcul a

distribuiei rigiditilor,

distribuiei maselor,

distribuiei ncrcrilor dinamice, trebuie considerate mpreun. Creterea flexibilitii dinamice a sistemului dinamic structural poate fi determinat de:

creterea flexibilitii zonei respective;

creterea maselor n acea zon;

creterea ncrcrilor dinamice. Se pot trage urmtoarele concluzii referitoare la zonele cu flexibilitate dinamic mai mare dect a celorlalte zone ale sistemului structural:

formele proprii de vibraie sunt mai pronunate;

buclele formelor proprii sunt mai dese;

sunt necesare mai multe puncte de concentrare a maselor, pe aceeai lungime, suprafa sau volum dect n celelalte zone;

ndesirea reelei de elemente finite ale modelului trebuie s fie cu att mai pronunat cu ct flexibilitatea dinamic a zonei este mai pronunat;

ncrcrile dinamice implic o ndesire a reelei de elemente finite i datorit concentrrilor de eforturi.

20

CAPITOLUL 3

INFLUENA GRADULUI DE RAFINARE AL DISCRETIZRII ASUPRA RSPUNSULUI DINAMIC

3.1. ASPECTE FUNDAMENTALE N METODA ELEMENTELOR FINITE

3.1.1. Principiul metodei elementelor finite [39]

Problemele mecanicii mediilor continue au de obicei dou formulri matematice echivalente: o formulare diferenial i una variaional.

n cazul formulrii difereniale, soluia problemei se obine prin integrarea sistemului de ecuaii cu derivate pariale care descriu fenomenul, innd seama de condiiile de margine.

n cazul formulrii variaionale, soluia problemei se obine prin cutarea unei funcii care s minimizeze sau s fac staionar o funcional supus la aceleai condiii de margine. Gsirea unei funcii care s ndeplineasc staionaritatea funcionalei este dificil. Pentru a evita acest inconvenient, se caut o soluie aproximativ de forma sumei unor funcii de aproximare multiplicate cu parametrii independeni.

Metoda elementelor finite pornete tot de la formularea variaional a problemei. Pentru a depi inconvenientul de definire a funciilor de aproximare, domeniul de studiu se mparte ntr-o serie de subdomenii, denumite elemente

finite. Conectarea acestora se realizeaz ntr-un numr finit de puncte denumite puncte nodale sau noduri.

3.1.2. Clase i tipuri de elemente finite Clasa de continuitate care trebuie asigurat la o rezolvare n elemente finite

depinde de ordinul derivatelor care apar n expresia de sub semnul integral al funcionalei. Dac ordinul derivatelor coninute este k, atunci pentru obinerea unei soluii aproximative care se apropie de soluia exact pe msura descreterii dimensiunilor elementelor se cer ndeplinite:

condiia de compatibilitate la frontiera comun dintre dou elemente trebuie asigurat o continuitate de clas Ck-1

condiia de completitudine n interiorul elementului trebuie asigurat o continuitate de clas Ck

Elementele finite sunt departajate prin clasa de continuitate pe care o asigur i prin gradul funciilor de aproximare. Elementele de clas C0 cu funcii de aproximare de gradul 1 sunt denumite uzual elemente liniare. Elementele de clas C

0 cu funcii de aproximare de gradul 2 sunt denumite uzual elemente ptratice.

21

3.1.3. Funcii de aproximare n coordonate globale n ceea ce privete generarea funciilor de aproximare, se admite

aproximarea polinomial a funciei necunoscute pe domeniul elementului i se impune condiia ca n noduri funcia s capete valorile nodale necunoscute.

Sunt prezentate elementul unidimensional bar i elementul triunghiular liniar.

3.1.4. Funcii de aproximare n coordonate naturale Nodurile unui element finit sunt identificate prin dou sisteme de

numerotare unul global, pentru ntreg domeniul discretizat i unul local, pentru fiecare element n parte. Coordonatele locale pot fi normale sau naturale. n cazul

n care se utilizeaz coordonatele naturale, iar originea sistemului coincide cu centrul de greutate al elementului, atunci domeniul de variaie al coordonatelor naturale asociate elementului este [-1, 1].

3.1.5. Elemente izoparametrice

Elementele izoparametrice utilizeaz sistemul de coordonate naturale pentru definirea funciilor de aproximare i integrarea Gauss, proprie domeniului de variaie al acestor coordonate, pentru evaluarea matricelor elementale.

3.1.6. Condiii de convergen i compatibilitate O soluie obinut prin intermediul metodei elementelor finite este o solutie

aproximativ. Dac soluia se amelioreaz succesiv, tinznd ctre soluia exact, atunci cnd dimensiunile elementelor se reduc atunci convergena este asigurat.

Convergena se realizeaz dac funciile de aproximare satisfac condiiile:

funciile de aproximare trebuie s conduc la deformaii specifice nule atunci cnd deplasrile nodurilor elementului corespund unei micri de solid rigid;

funciile de aproximare trebuie s conduc la deformaii specifice constante pe domeniul elementului dac ncrcrile (sau deplasrile) nodurilor corespund unei stri de deformaie specific constant;

funciile de aproximare trebuie s conduc la valori finite ale deformaiilor specifice la frontierele dintre elemente.

n afara acestor condiii, trebuie ndeplinite urmtoarele criterii:

compatibilitatea ntre elemente;

lipsa de direcii prefereniale n element. n cazul elementelor izoparametrice condiiile de convergen i

compatibilitate sunt riguros ndeplinite, funciile de aproximare fiind alese innd seama de aceste condiii.

22

3.2. INFLUENA GRADULUI DE RAFINARE AL DISCRETIZRII ASUPRA MODURILOR PROPRII DE VIBRAIE DETERMINATE PRIN CALCUL

3.2.1. Introducere

Pentru studiul influenei gradului de rafinare al discretizrii asupra rspunsului dinamic calculat, n corelare cu erorile modurilor proprii de vibraie, se efectueaz dou studii de caz, utiliznd programul de calcul SAP:

sistem dinamic structural spaial P+1;

sistem dinamic structural spaial P+3. Sunt analizate urmtoarele trei probleme:

influena gradului de rafinare al discretizrii asupra modurilor proprii de vibraie determinate prin calcul;

influena gradului de rafinare al discretizrii asupra rspunsului dinamic la aciunea forelor armonice;

influena gradului de rafinare al discretizrii asupra rspunsului dinamic la aciunea seismic.

3.2.2. Sistemul dinamic structural P+1

Sistemul structural cu dou niveluri este reprezentat n figura 3.6. Acesta are dou deschideri i trei travei. Sistemul are dou plane verticale de simetrie, unul longitudinal i unul transversal.

Stlpii intermediari au seciunea transversal de 40x40 cm2, iar cei marginali 35x35 cm

2. Riglele transversale au seciunea de 25x60 cm2, iar cele longitudinale de 25x35 cm

2. Plcile, peste parter i peste etaj, au grosimea de 13 cm. Modulul de elasticitate longitudinal are valoarea 24000 N/mm

2 iar coeficientul lui Poisson

=0,4. Plcile sunt deformabile nu numai pe direcie vertical, dar i n planul lor. De asemenea, elementele de tip grind (riglele i stlpii) au i deformaii axiale.

Toate modelele dinamice analizate sunt spaiale i respect cele dou plane de simetrie ale sistemului structural. Structura are baza fix, iar stlpii sunt ncastrai la partea inferioar.

Modelul dinamic A (figura 3.6)

Nodurile modelului dinamic A coincid cu nodurile efective ale structurii.

Numrul elementelor finite este de 70, din care 12 elemente de tip plac i 58 de elemente de tip grind.

Modelul dinamic B se obine prin reducerea la jumtate a dimensiunilor elementelor finite ale modelului A. Numrul elementelor finite este de 164, din care 48 elemente de tip plac i 116 elemente de tip grind.

Modelul dinamic C se obine prin reducerea la jumtate a dimensiunilor elementelor finite ale modelului B. Numrul elementelor finite este de 424.

Modelul dinamic D (figura 3.9) se obine prin njumtirea dimensiunilor elementelor finite ale modelului C. Numrul elementelor finite este de 1236.

23

Fig. 3.6. Sistemul structural P+1. Modelul dinamic A

Fig. 3.9. Sistemul structural P+1.Modelul dinamic D

Gr. 25x35

St. 35x35

St. 35x35

St. 35x35

St. 35x35 St. 35x35 St. 40x40

Gr. 25x60 Gr. 25x60

Gr. 25x35 Gr. 25x60 Plac 13cm

6 m 6 m

Transversal

4 m

4

m Verti

cal 3 m

3 m

3 m

L o n

g i t u d

i n

a l

Gr. 25x35

St. 35x35

St. 35x35

St. 35x35

St. 35x35 St. 35x35 St. 40x40

Gr. 25x60 Gr. 25x60

Gr. 25x35

Gr. 25x60 Plac 13cm

6 m 6 m

Transversal

4 m

4

m

Verti

cal 3 m

3 m

3 m

L o n

g i t u d

i n

a l

24

Fig. 3.13. Sistemul structural P+1.

Primele 6 moduri proprii de vibraie obinute cu modelul dinamic D

25

Tabelul 3.1. Sistemul structural P+1

Influena gradului de rafinare al discretizrii asupra valorilor proprii calculate

Nr. mod

propriu

Modelul dinamic A Modelul dinamic B Modelul dinamic C Modelul dinamic D

Perioada

proprie (s) %

Perioada

proprie (s) %

Perioada

proprie (s) %

Perioada proprie

(s)

1 0,355808 -5,75 0,370787 -1,78 0,372783 -1,25 0,377519 2 0,339906 -2,01 0,339319 -2,18 0,339195 -2,22 0,346893

3 0,331404 8,80 0,30829 1,21 0,302243 -0,77 0,304595

4 0,123702 -0,25 0,121739 -1,83 0,121797 -1,79 0,124013

5 0,121254 1,10 0,117208 -2,27 0,11704 -2,41 0,119933

6 0,117088 13,81 0,104625 1,69 0,10211 -0,75 0,102884

7 0,026756 -58,26 0,065428 2,07 0,064079 -0,04 0,064103

8 0,025743 -54,38 0,058167 3,07 0,056313 -0,21 0,056434

9 0,025703 -54,31 0,057962 3,03 0,056231 -0,04 0,056255

10 0,026756 -48,17 0,053144 2,94 0,051566 -0,12 0,051626

11 0,025743 -48,97 0,052334 3,75 0,050229 -0,43 0,050444

12 0,025703 -45,98 0,049503 4,04 0,047382 -0,41 0,047579

Nr. mod

propriu


Frecvena

proprie (Hz) %

Frecvena

proprie (Hz) %

Frecvena

proprie (Hz) %

Frecvena proprie

(Hz)

1 2,8105 6,10 2,697 1,82 2,6825 1,27 2,6489 2 2,942 2,06 2,9471 2,23 2,9482 2,27 2,8827

3 3,0175 -8,09 3,2437 -1,20 3,3086 0,78 3,283

4 8,084 0,25 8,2143 1,87 8,2104 1,82 8,0636

5 8,2472 -1,09 8,5318 2,32 8,5441 2,47 8,338

6 8,5406 -12,13 9,558 -1,66 9,7934 0,76 9,7196

7 32,15 106,09 15,284 -2,03 15,606 0,04 15,6

8 33,599 89,61 17,192 -2,98 17,758 0,21 17,72

9 37,262 109,62 17,253 -2,94 17,784 0,05 17,776

10 37,375 92,95 18,817 -2,85 19,393 0,12 19,37

11 38,845 95,95 19,108 -3,61 19,909 0,43 19,824

12 38,906 85,11 20,201 -3,89 21,105 0,41 21,018

26

Primele ase moduri proprii de vibraie obinute pentru modelul dinamic D sunt repezentate n figura 3.13. n tabelul 3.1 este prezentat influena gradului de rafinare al discretizrii asupra valorilor proprii calculate. Ca valori de referin s-au considerat cele obinute cu modelul dinamic D cel mai rafinat. Se desprind urmtoarele concluzii:

configuraiile primelor ase forme proprii de vibraie ale sistemului dinamic spaial nu sunt influenate de gradul de rafinare al discretizrii;

pentru aceste moduri proprii de vibraie se repet tripletul longitudinal transversal torsiune general;

erorile relative ale valorilor proprii scad odat cu creterea gradului de rafinare al discretizrii;

n ansamblu, erorile relative ale valorilor proprii cresc de la modurile proprii joase spre modurile proprii superioare.

3.2.3. Sistemul dinamic structural P+3

Sistemul structural cu patru niveluri este reprezentat n figura 3.15. Acesta

prezint de asemenea dou plane verticale de simetrie. Stlpii intermediari au seciunea transversal de 55x55 cm2, iar cei marginali

de 50x50 cm2. Riglele transversale au seciunea de 25x60 cm2, iar cele

longitudinale de 25x35 cm2. Plcile de la toate nivelurile au grosimea de 13 cm ca

i n cazul structurii P+1i sunt deformabile att normal pe plan ct i n planul lor. Toate modelele dinamice analizate sunt spaiale i respect simetria n raport

cu planele verticale menionate. Modelul dinamic A (figura 3.15)

Nodurile modelului dinamic A coincid cu nodurile efective ale structurii.

Numrul elementelor finite este de 140. Modelul dinamic B se obine prin reducerea la jumtate a dimensiunilor

elementelor finite ale modelului A. Numrul elementelor finite este de 328. Modelul dinamic C se obine prin reducerea la jumtate a dimensiunilor

elementelor finite ale modelului B. Numrul elementelor finite este de 848. Modelul dinamic D rezult prin njumtirea dimensiunilor elementelor

finite ale modelului C. Numrul elementelor finite este 2472. n ceea ce privete formele proprii de vibraie, se precizeaz urmtoarele:

tripletul longitudinal transversal torsiune se repet din trei n trei i acest fapt este valabil pentru primele nou moduri proprii de vibraie;

configuraiile acestor forme proprii i n plus a formei proprii 10, nu sunt influenate de gradul de rafinare al discretizrii;

configuraia formelor proprii 11 i 12 difer la modelul A fa de modelele B, C i D, deoarece primul model dinamic are nodurile exclusiv n nodurile efective ale structurii i nu poate pune n eviden deplasrile nodurilor interioare ale plcilor;

simetria sistemului dinamic spaial permite verificarea formelor proprii de vibraie obinute prin calcul, att din punct de vedere calitativ, ct i cantitativ.

27

Fig. 3.15. Sistemul structural P+3. Modelul dinamic A

n ceea ce privete perioadele proprii de vibraie a cror comparaie este dat n tabelul 3.2 pentru primele 24 moduri proprii, se constat urmtoarele:

erorile relative scad odat cu creterea gradului de rafinare al discretizrii;

n ansamblu, erorile relative cresc de la modurile proprii joase spre cele superioare.

3.3. INFLUENA GRADULUI DE RAFINARE AL DISCRETIZRII ASUPRA RSPUNSULUI DINAMIC

3.3.1. Introducere

Indiferent de metoda de calcul aplicat pentru determinarea rspunsului dinamic, calitatea modelului dinamic adoptat pentru sistemul structural este

reprezentat de acurateea modurilor proprii de vibraie. Modificrile modurilor proprii se regsesc n modificrile rspunsului dinamic, indiferent de aciunea dinamic ce se exercit asupra sistemului structural.

3.3.2. Influena gradului de rafinare al discretizrii asupra rspunsului

dinamic la aciunea forelor armonice Se consider aciunea unei fore perturbatoare armonice produs de o

main industrial rotativ cu turaia de 400 rot/min., for aplicat pe direcia transversal a sistemului dinamic P+1. n modul propriu 5 transversal frecvena proprie de vibraie este de 8,838 Hz pentru modelul dinamic D, ceea ce reprezint o turaie echivalent de 500 rot/min. Factorul de amplificare dinamic pentru o fraciune din amortizarea critic de 2% este 2,762. n modelul dinamic A al

Gr. 25x35 Gr. 25x60

St. 50x50

St. 55x55

Plac 13cm

6 m 6 m

4 m

4

m

4 m

4

m

3 m 3 m

3 m

Transversal

Verti

cal

L o n g i t u d i n a l

28

Tabelul 3.2. Sistemul dinamic structural P+3.

Influena gradului de rafinare al discretizrii asupra perioadelor proprii de vibraie determinate prin calcul

Nr. Mod propriu


Perioada

proprie (s) %

Perioada

proprie (s) %

Perioada

proprie (s) % Perioada proprie (s)

1 0,532285 -9,67 0,582116 -1,22 0,588232 -0,18 0,589286

2 0,492317 -0,52 0,495286 0,08 0,495162 0,06 0,494875

3 0,482929 5,54 0,46491 1,60 0,459226 0,36 0,457567

4 0,162867 -5,93 0,171947 -0,69 0,172977 -0,09 0,173135

5 0,153351 1,04 0,152003 0,15 0,151883 0,07 0,151772

6 0,150037 7,83 0,142278 2,25 0,13978 0,45 0,139147

7 0,087329 -0,27 0,08743 -0,16 0,087548 -0,02 0,087567

8 0,084624 3,71 0,081712 0,15 0,081645 0,06 0,081593

9 0,082117 11,96 0,075294 2,66 0,073717 0,51 0,073343

10 0,060162 5,98 0,056789 0,04 0,056746 -0,03 0,056765

11 0,059672 7,27 0,056495 1,56 0,055657 0,05 0,055627

12 0,057101 6,40 0,05526 2,97 0,05382 0,29 0,053666

13 0,041846 -20,02 0,053404 2,07 0,052327 0,01 0,052323

14 0,039094 -19,77 0,05172 6,14 0,048949 0,45 0,048729

15 0,036094 -25,76 0,050929 4,76 0,048857 0,50 0,048616

16 0,035969 -25,33 0,050039 3,88 0,0484 0,48 0,048169

17 0,034802 -26,76 0,049746 4,69 0,047574 0,12 0,047519

18 0,03467 -26,23 0,04879 3,82 0,047222 0,48 0,046995

19 0,033967 -24,57 0,048732 8,22 0,045325 0,66 0,045029

20 0,033793 -23,86 0,04748 6,98 0,044667 0,64 0,044384

21 0,030576 -29,30 0,046828 8,29 0,043491 0,57 0,043245

22 0,03048 -29,14 0,046187 7,37 0,043309 0,68 0,043017

23 0,030403 -27,12 0,045667 9,48 0,041983 0,64 0,041714

24 0,030307 -26,89 0,045197 9,03 0,041814 0,87 0,041455

29

aceluiai sistem structural, frecvena proprie de vibraie pentru modul 5 transversal este de 8,2472 Hz, avnd o eroare relativ de 1,09%. Rezult un factor de amplificare dinamic de 2,874, ceea ce reprezint o eroare relativ de 4,06%. n concluzie, eroarea valorii proprii de vibraie se regsete amplificat

de cca. 4 ori n rspunsul dinamic staionar.

3.3.3. Influena gradului de rafinare al discretizrii asupra rspunsului dinamic la aciunea seismic

Aciunea dinamic a fost reprezentat de accelerograma N S a cutremurului de pamnt din 4 martie 1977 nregistrat la INCERC Bucureti, durata aciunii i a rspunsului calculat fiind de 40 de secunde. Acceleraia terenului a fost aplicat pe direcia longitudinal att a sistemului dinamic structural P+1 ct i a sistemului dinamic structural P+3.

Se prezint dou categorii de rezultate:

variaia n timp a deplasrii planeului superior a sistemului P+3, pe direcia longitudinal (figura 3.29);

deplasrile maxime ale fiecrui planeu a sistemelor dinamice structurale P+1 i P+3 pe direcie longitudinal (tabelul 3.4); n figura 3.31 s-au reprezentat aceste deplasri ale sistemului P+3, pentru cele patru modele dinamice utilizate.

n figurile 3.29 i 3.31, precum i n tabelul 3.4 deplasrile provin din deformarea structurii (sunt relative i nu absolute deoarece nu conin deplasarea terenului).

n concluzie, la ambele sisteme structurale, P+1 i P+3, pentru perioada proprie fundamental, T1, determinat cu modelul dinamic de referin D, spectrul seismic de rspuns este cresctor.

Modelele dinamice mai grosiere i anume C, B i A au condus la deplasri calculate mai mici cu pn la 27,8%, deoarece perioadele proprii de vibraie T1 calculate sunt mai mici (cu pn la 5,75% la P+1 i cu pn la 9,67% la P+3). Acest fapt este descoperitor nu numai n cazul utilizrii modelului dinamic A, dar chiar i a modelului dinamic mai rafinat, B (deplasri calculate mai mici cu 8,71% la P+1).

Eroarea perioadei proprii de vibraie se regsete amplificat de cteva ori n rspunsul dinamic la aciunea seismic.

30

a)

b)

c)

d)


Variaia n timp a deplasrilor planeului superior pe direcia longitudinal: a) Modelul A, b) Modelul B, c) Modelul C, d) Modelul D

31

a)

Nr.

Nivel


Deplasare

relativ maxim

(m)

%

Deplasare

relativ maxim

(m)

%

Deplasare

relativ maxim

(m)

% Deplasare relativ

maxim (m)

1 0,007222 16,1 0,008453 1,83 0,008589 0,3 0,008611

2 0,01747 19,6 0,021229 2,30 0,021657 0,3 0,021729

3 0,025397 21,4 0,031478 2,64 0,032185 0,4 0,03233

4 0,029954 22,6 0,037605 2,89 0,038543 0,5 0,038725

b)

Tabelul 3.4. Deplasri maxime ale planeelor pe direcia longitudinal a) Sistemul structural P+1 b) Sistemul structural P+3

Nr.

Nivel


Deplasare

relativ maxim

(m)

%

Deplasare

relativ maxim

(m)

%

Deplasare

relativ maxim

(m)

% Deplasare relativ

maxim (m)

1 0,005817 25,3 0,007113 8,71 0,007299 6,3 0,007792

2 0,010308 27,8 0,013045 8,64 0,01344 5,9 0,014278

32


Deplasrile maxime ale planeelor pe direcia longitudinal

33

CAPITOLUL 4

ABORDAREA TEORETIC A PROBLEMEI MODELRII SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE


4.1.1. Introducere

Modelul de calcul al unui sistem structural este modelul fizic cruia i se ataeaz un model matematic. n dinamica structurilor acesta este modelul dinamic. Analiza dinamic prin calcul a unui sistem structural se refer la modelul dinamic.

Un criteriu eficient de modelare dinamic a sistemelor structurale l reprezint modurile proprii de vibraie. Variaia modurilor proprii reprezint msura influenei diferiilor factori asupra rspunsului dinamic al structurilor. Modurile proprii de vibraie caracterizeaz sintetic sistemul structural din punct de vedere dinamic [25].

4.1.2. Modele geometric uniforme i dinamic uniforme n cele ce urmeaz se precizeaz deosebirea dintre un model geometric

uniform i un model dinamic uniform [44]. Uniformitatea geometric se refer la discretizarea structurii n elemente

finite de acelai tip i aceleai dimensiuni geometrice. n general pot fi modelate geometric uniform numai structurile care au ele nsele o anumit regularitate geometric.

Uniformitatea dinamic generalizeaz noiunea de uniformitate geometric. Se pot obine modele dinamic uniforme i pentru structuri care nu prezint o regularitate geometric. Definiia modelului dinamic uniform este legat de formele proprii de vibraie. Aceste forme sunt alctuite din poriuni cu convexitatea n acelai sens; poriunile pot fi:

bucle sau semiunde separate de puncte de inflexiune ;

suprafee separate de linii de inflexiune;

poriuni tridimensionale separate de suprafee de inflexiune. Un model al structurii este dinamic uniform dac fiecare poriune de

acest fel are acelai numr de puncte nodale ale reelei de elemente finite.

4.2. O PROPRIETATE A SISTEMELOR DINAMICE MODELATE CU

ELEMENTE FINITE

4.2.1. Enunul proprietii i condiii de aplicare Se prezint o proprietate a erorii celei mai nalte pulsaii proprii a sistemelor

dinamice modelate cu elemente finite. Aceast eroare poate fi obinut naintea

efecturii oricrei analize dinamice. Enunul proprietii:

34

Eroarea n a celei mai nalte pulsaii proprii a unui sistem dinamic

uniform liber n discretizarea cu elemente finite coincide cu eroarea p

a celei

mai nalte pulsaii proprii a unui singur element finit.

pn (4.1)

Erorile 1, ..., i, ..., n sunt considerate n raport cu pulsaiile proprii 1, ...,

i, ..., n ale sistemului dinamic liber, iar 1 , ..., p sunt considerate n raport cu

pulsaiile proprii 1, ...,

p ale unui singur element.

Proprietatea este valabil pentru sistemele dinamice modelate cu o reea uniform de elemente finite. n egalitatea 4.1, n este numrul gradelor de libertate dinamic ale sistemului dinamic, adic numrul coordonatelor asociate maselor, iar p este numrul coordonatelor elementului cu fore de inerie, adic cele asociate maselor.

n literatura de specialitate [26] proprietatea este demonstrat matematic numai pentru vibraiile longitudinale cu mase concentrate ale sistemului uniform de elemente articulate (coordonatele 1 i 7 din figura 4.3). n paragrafele 4.3 i 4.4 ale lucrrii de doctorat proprietatea este demonstrat pentru:

vibraii longitudinale cu matricea maselor consecvent;

vibraii de torsiune cu caracteristici ineriale concentrate;

vibraii de torsiune cu matricea inerial consecvent. De asemenea, n paragraful 4.5, aceast proprietate este studiat pentru:

vibraii transversale cu matricea maselor consecvent;

vibraii transversale cu matricea maselor diagonal.

4.2.2. Structuri spaiale alctuite din elemente tip grind de seciune constant

Elementul component este reprezentat n figura 4.3. Elementul tip grind are 12 coordonate care pot fi grupate astfel:

- coordonatele 1 i 7 vibraii longitudinale; - coordonatele 4 i 10 vibraii de torsiune; - coordonatele 2, 6, 8, 12 vibraii transversale n planul Oxy; - coordonatele 3, 5, 9, 11 vibraii transversale n planul Oxz; n capitolul 5 proprietatea enunat este analizat pentru sistemele dinamice

cu legturi, iar n capitolul 6 studiul se aplic n calculul dinamic geometric neliniar.

4.3. VIBRAII LONGITUDINALE

4.3.1. Soluia analitic Bara de seciune constant este reprezentat n figura 4.4. Modulul de

elasticitate longitudinal este E, aria seciunii transversale A i masa pe unitate de lungime . Pentru vibraiile libere fr amortizare, ecuaia diferenial a micrii

35

este [11], [26]:

0),(),(

2

2

2

2

t

txu

x

txuEA (4.3)

unde ),( txu este deplasarea pe direcia axial.

Fig. 4.3. Element component de tip grind

z

x

y

l

11

7

9

3

1

5

12

10

8

2

6

4

O

36

Fig. 4.4. Bar de seciune constant cu vibraii axiale

Utiliznd soluia: )()(),( tyxtxu (4.4)

rezult c

0)()( 2 tyty (4.5)

0)()( 2" xcx (4.6)

unde

EAc 22 (4.7)

Soluia pentru forma proprie este:

cxCcxCx sincos)(21

(4.8)

Cele dou condiii limit de satisfcut sunt: 0)0(')0( EAN (4.9)

0)(')( lEAlN (4.10)

Rezult 0

2C (4.11)

0sin cl (4.12)

de unde

,3,2,,0lci

(4.13)

Valorile proprii vor fi:

2)1(

l

EAi

EAc

ii (4.14)

i formele proprii corespunztoare

l

xix

i)1cos()( (4.15)

Modurile proprii de vibraie determinate analitic sunt prezentate n figura 4.5.

4.3.2. Soluia cu elemente finite cu mase concentrate n figura 4.6.a bara uniform care vibreaz longitudinal este modelat cu un element finit cu dou mase concentrate. Pentru matricea de rigiditate s-au utilizat

funciile de form )(1 xf i )(2 xf din figura 4.6.b :

l

xxf 1)(1 (4.16)

N(l,t) N(0,t)

x

x,u

dx

l

E,A,

37

l

xxf )(2 (4.17)

utilizarea funciilor de form din figura 4.6.c:

ll

xpentru

lxpentru

xf

,2

,0

2,0,1

)(1 (4.19)

1 1 l

01

a)

1 b

)

1 22 l

EA

l/2 l/2

c) 1 1

1 23

2l

EA

1/4 l/4

d) 1

1 1

1 24

3l

EA

l/6 l/6 l/6

254

l

EA e) 1

1 1 1

1

l/8 l/8 l/8 l/8

265

l

EA f) 1

1 1

1 1

1

l/10 l/10 l/10 l/10 l/10

Fig. 4.5. Modurile proprii ale sistemului continuu

A rezultat matricea de rigiditate:

11

11][

l

EAK (4.18)

Concentrarea maselor la cele dou capete ale elementului finit revine la

38

ll

xpentru

lxpentru

xf

,2

,1

2,0,0

)(2 (4.20)

Fig. 4.6. Un element finit

Rezult:

10

01

2][

lM (4.21)

Utilizarea unor funcii de form diferite la matricea maselor fa de matricea de rigiditate reprezint o inconsecven n cazul concentrrii maselor la noduri. Problema modurilor proprii:

}{][}{][ 2 MK (4.22)

unde }{ este un vector propriu i pulsaia proprie corespunztoare, are soluia:

2212,0

l

EA (4.23)

Soluia analitic pentru 2 este 2l

EA astfel c eroarea 2 va fi :

%34,361002

%2 (4.24)

1 2

1

E, A

l 2

l

2

l

a)

1

1

)(1 xf

)(2 xf

b)

1 1 )(1 xf

)(2 xf 1 1 c)

2/l 2/l

1 d)

222

l

EA

x

39

n lucrarea [26] se demonstreaz c eroarea ultimei pulsaii proprii a modelului dinamic cu n grade de libertate este

%34,36%n (4.31)

4.3.3. Soluia cu elemente finite cu matricea maselor consecvent n figura 4.9.a bara uniform care vibreaz longitudinal este modelat cu un

element finit avnd dou grade de libertate dinamic.

Fig. 4.9. Sistemul modelat cu un element finit

Pentru determinarea matricei de rigiditate s-au utilizat funciile de form )(

1xf i )(

2xf din figura 4.9.b. Aceasta este:

11

11][

l

EAK

Pentru determinare matricei maselor se utilizeaz aceleai funcii de form )(

1xf i )(

2xf din figura 4.9.b. Matricea maselor rezult:

21

12

6][

lM (4.32)

Utilizarea acelorai funcii de form pentru matricea de rigiditate i pentru matricea maselor reprezint o consecven. De aceea matricea maselor se va numi consecvent. Problema modurilor proprii (4.22) conduce la:

221464,3,0

l

EA (4.33)

Soluia analitic pentru 2 este 2l

EA astfel c eroarea 2 va fi :

b)

1 2

1

E, A,

l

a)

1

1

)(1

xf

)(2

xf

2/l 2/l

1 c)

22464,3

l

EA

x

l

xxf 1)(

1

l

xxf )(

2

40

%27,10100464,3

%2

(4.34)

Al doilea mod propriu de vibraie este prezentat n figura 4.9.c. Se consider cazul general, n care bara uniform este modelat cu (n-1)

elemente finite. Atunci sistemul dinamic are n grade de libertate. Presupunem c n este un numr par. Ecuaia (4.22) pentru ultimul mod propriu va fi:

1

1

1

1

1

1

210000

140000

004100

001410

000141

000012

)1(6

~

1

1

1

1

1

1

110000

120000

002100

001210

000121

000011

)1(

2

n

l

l

EAn

n

(4.39)

Rezult c:

2)1(32~

l

EAn

n (4.40)

Soluia analitic are expresia (4.14) n care ni i eroarea ultimei pulsaii proprii va fi:

%27,1010032

100)1(

)1(32)1(100

~%

n

nn

n

nn

n

(4.41)

n concluzie eroarea n a ultimei pulsaii proprii a sistemului dinamic este

egal cu eroarea 2 a ultimei pulsaii proprii a unui singur element finit.

Proprietatea s-a demonstrat pentru orice numr n par.

Dac n este impar, vectorul propriu n}~

{ din relaia (4.39) are n ultima

poziie valoarea 1 i egalitatea (4.39) rmne valabil.

4.4. VIBRAII DE TORSIUNE


elasticitate transversal este G i momentul de inerie la torsiune It . Momentul de inerie mecanic n raport cu centrul de greutate al seciunii transversale pe unitatea de lungime este J. Pentru vibraiile libere fr amortizare , ecuaia diferenial a micrii este [36]:

41

0),(),(

2

2

2

2

t

txJ

x

txGIt (4.39)

unde (x,t) este rotirea seciunii transversale n jurul axei longitudinale a barei [34].

Fig. 4.12. Bar omogen de seciune constant supus la

vibraii de torsiune libere fr amortizare

Utiliznd soluia: )()(),( tyxtx (4.40)

rezult c

0)()( 2 tyty (4.41) 0)()( 2" xcx (4.42)

unde

J

GIc t22 (4.43)

Soluia pentru forma proprie este:

cxCcxCx sincos)( 21 (4.44)

Cele dou condiii limit de satisfcut sunt:

0)0(')0( tt IGM (4.45)

0)(')( lIGlM tt (4.46)

Rezult

02C (4.47)

0sin cl (4.48)

de unde

,3,2,,0lci (4.49)

Valorile proprii vor fi:

2)1(

lJ

IGi

J

IGc ttii (4.50)

i formele proprii corespunztoare

l

xixi )1cos()( (4.51)

Modurile proprii de vibraie determinate analitic sunt prezentate n figura 4.13.

Exist o analogie perfect cu vibraiile longitudinale.

Mt(0,t) Mt(l,t)

x

x

dx

l

G,It,J

42

11

11][

l

GIK t (4.52)

10

01

2][

lJM (4.53)

1 1 l

01

a)

1 b

)

1 22 lJ

GIt

l/2 l/2

c) 1 1

1 23

2lJ

GIt

1/4 l/4

d) 1

1 1

1 24

3lJ

GIt

l/6 l/6 l/6

e) 25

4lJ

GIt 1

1 1 1

1

l/8 l/8 l/8 l/8

f) 26

5lJ

GIt 1

1 1

1 1

1

l/10 l/10 l/10 l/10 l/10

Fig. 4.13. Modurile proprii de vibraie ale barei continue

4.4.2. Soluia cu elemente finite i caracteristici ineriale concentrate

n figura 4.14.a se prezint bara supus la vibraii de torsiune, modelat cu un element finit avnd masele concentrate n cei doi volani de la extremiti.

Matricele de rigiditate i inerial vor fi:

43


Problema modurilor proprii (4.22) are soluia:

2212,0

lJ

GIt (4.54)

Soluia analitic pentru 2este

2lJ

GIt , astfel c eroarea

2va fi :

%34,361002

%2

(4.55)

Al doilea mod propriu de vibraie este prezentat n figura 4.14,b. Se consider cazul general n care bara uniform este modelat cu (n-1)

elemente finite. Atunci sistemul dinamic are n grade de libertate. Presupunem ca n

este un numr par. Ecuaia (4.22) pentru ultimul mod propriu de vibraie va fi:

1

1

1

1

1

1

2

4

4

4

4

2

)1(4

~

1

1

1

1

1

1

110000

120000

002100

001210

000121

000011

)1(

2

zero

zero

n

lJ

l

GIn

n

t

(4.60)

Rezult c

2)1(2~

lJ

GIn

n (4.61)

1 2 G, It

2

lJ

2

lJ

a)

1

l

1

b) 22

2lJ

GIt

x

44

Soluia analitic are expresia (4.50) n care i=n i eroarea ultimei pulsaii proprii va fi:

%34,36%1002

100)1(

)1(2)1(100

~%

2n

nn

n

nn

n (4.62)

n concluzie, eroarea na ultimei pulsaii proprii a sistemului dinamic liber

este egal cu eroarea 2a ultimei pulsaii proprii a unui singur element finit.





4.4.3. Soluia cu elemente finite i matricea inerial consecvent n figura 4.17,a bara uniform ce vibreaz la torsiune este modelat cu un element finit, avnd dou grade de libertate. Pentru determinarea matricelor de rigiditate i inerial s-au utilizat funciile de form )(

1xf i )(

2xf din figura 4.9.b. Aceste matrice sunt:

11

11][

l

GIK t ,

21

12

6][

lJM (4.63)

Problema modurilor proprii (4.22) conduce la:

221

46430lJ

GI,, t (4.64)


Soluia analitic pentru 2 este 2lJ

GI t astfel c eroarea 2 va fi :

%27,10100464,3

%2 (4.65)

Al doilea mod propriu este reprezentat n figura 4.17.b.

Se consider cazul general, n care bara uniform este modelat cu (n-1) elemente finite. Atunci sistemul dinamic are n grade de libertate. Presupunem c n este un numr par. Ecuaia (4.22) pentru ultimul mod propriu al modelului dinamic va fi:

1 2 G, It, J

l

a)

22464,3

lJ

GIt

x

b)

)) 1

1

l/2 l/2

45

1

1

1

1

1

1

210000

140000

004100

001410

000141

000012

)1(6

~

1

1

1

1

1

1

110000

120000

002100

001210

000121

000011

)1(

2

n

lJ

l

GIn

n

t

(4.70)

Rezult c:

2)1(32~

lJ

GIn t

n (4.71)

Soluia analitic are expresia (4.50) n care ni i eroarea ultimei pulsaii proprii va fi:

%27,1010032

100)1(

)1(32)1(100

~%

n

nn

n

nn

n

(4.72)

n concluzie eroarea n a ultimei pulsaii proprii a sistemului dinamic este

egal cu eroarea 2 a ultimei pulsaii proprii a unui singur element finit.





4.5. VIBRAII TRANSVERSALE


elasticitate longitudinal este E, momentul de inerie al seciunii I i masa pe unitatea de lungime . Se vor studia vibraiile transversale n planul Oxy din figura 4.3, astfel nct momentul de inerie al seciunii va fi considerat n raport cu axa Oz. Studiul vibraiilor n planul Oxz se va face analog, considernd momentul de inerie al seciunii n raport cu axa Oy.

Pentru vibraiile libere fr amortizare, ecuaia diferenial a micrii este [8], [21], [22]:

0),(),(

2

2

4

4

t

txy

x

txyEI (4.73)

46

Fig. 4.20. Bar omogen de seciune constant supus la

vibraii transversale libere, fr amortizare

Se utilizeaz soluii particulare de forma: )()(),( txtxy (4.74)

Rezult:

0)()( 2 tt (4.75)

0)()( 4

4

4

xadx

xd (4.76)

unde:

EIa 24 (4.77)

Ecuaia (4.75) va avea soluia:

tctct cossin)( 21 , (4.78)

Ecuaia (4.76) este o ecuaie diferenial omogen cu coeficieni constani. Soluia general a acestei ecuaii este:

axCaxCaxshCaxchCx sincos)(4321

(4.79)

Constantele C1, C2, C3 i C4 se determin din condiiile ca la x=0 i x=l (figura 4.20), momentul ncovoietor i fora tietoare s fie nule. Rezult:

alalch

cos

1 (4.97)

Rezolvnd ecuaia trigonometric (4.97) se obin rdcinile:

,...4,3,2,2

)12( jl

jaj

(4.99)

innd seama de expresia (4.77) se obin pulsaiile proprii de vibraie:

,...4,3,2,2

)12(4

2

jl

EIj

j (4.100)

4.5.2. Soluia cu elemente finite cu matricea maselor consecvent n figura 4.22.a bara uniform ce vibreaz transversal este modelat cu un element finit avnd patru grade de libertate dinamic. Pentru determinarea matricei de rigiditate s-au utilizat funciile de form )(1 xf , )(2 xf , )(3 xf i )(4 xf din figura

4.22.b. Aceasta este:

y

M(0,t) M(l,t) x

x

dx

l

E, I, T(0,t) T(l,t)

47

22

22

3

4626

612612

2646

612612

][

llll

ll

llll

ll

l

EIK (4.102)


Pentru determinarea matricei maselor se utilizeaz aceleai funcii de form )(

1xf , )(

2xf , )(

3xf i )(

4xf din figura 4.22.b. Aceasta rezult:

22

22

422313

221561354

313422

135422156

420][

llll

ll

llll

ll

lM (4.103)

unde este masa pe unitatea de lungime. Rezult urmtoarele pulsaii proprii de vibraie:

1

2 E, I,

l

a) x

3

4

f1(x)

f2(x)

f3(x)

1

1

1

3

3

2

2

1231)(

l

x

l

xxf

f4(x) 1 )()(

2

2

4 xll

xxf

2

21)(

l

xxxf

l

x

l

xxf

23)(

2

2

3

b)

1

1

12/l

12/l

c) 44 65,91 l

EI

48

44432165,91,83,26,0,0

l

EI

l

EI (4.104)

Soluia analitic pentru 4 este 467,61 l

EI astfel c eroarea 4 va fi:

%6,4810067,61

65,9167,61100%

,4

,4,4

4

analitic

calculanalitic (4.105)

Al patrulea mod de vibraie este prezentat n figura 4.22.c. Pentru studiul vibraiilor transversale, n teza de doctorat grinda a fost modelat cu un numr cresctor de elemente finite. Rezultatele sunt centralizate n tabelul 4.2.

Tabelul 4.2

Eroarea ultimei pulsaii proprii de vibraie a modelului dinamic cu elemente finite i matricea maselor consecvent n cazul vibraiilor transversale.

Nr.

grade

de

libert

ate

4 6 8 10 12 14

Eroa

rea

% 4=48,6% 6=40,27% 8=39,43% 10=39,8% 12=40,55% 14=41,4%

Eroarea celei mai nalte pulsaii proprii a unui singur element finit, 4, n

raport cu soluia analitic este 4=48,6%.

Erorile celei mai nalte pulsaii proprii a sistemului dinamic liber n discretizarea cu dou, trei, patru, ... elemente finite, n raport cu soluia analitic, sunt de aproximativ 40%. Rezult c egalitatea (4.1) devine inegalitate:

pn (4.119)

ceea ce reprezint o relaie acoperitoare din punct de vedere al acurateei soluiei cu elemente finite i matricea maselor consecvent.

4.5.3. Soluia cu elemente finite i matricea maselor diagonal Matricea maselor consecvent se poate diagonaliza n felul urmtor [24]:

- se adun elementele de pe diagonala matricei maselor corespunztoare gradelor de libertate de translaie, suma notndu-se cu ;

- se mpart elementele diagonalei la , nmulindu-se totodat cu masa total a elementului;

- tuturor elementelor nediagonale li se atribuie valoarea zero. Rezult:

49

2

2

000

03900

000

00039

78][

l

llM (4.120)

unde este masa pe unitatea de lungime iar l este lungimea elementului. Se consider bara uniform din figura 4.22.a, modelat cu un element finit avnd patru grade de libertate. Matricea de rigiditate este dat de relaia (4.102). Matricea maselor diagonal va fi matricea dat de relaia (4.120). Rezult urmtoarele pulsaii proprii de vibraie:

44432172,22,49,12,0,0

l

EI

l

EI (4.121)

Soluia analitic pentru 4 este

467,61

l

EI astfel c eroarea

4 va fi:

%17,6310067,61

72.2267,61100%

,4

,4,4

4

analitic

calculanalitic (4.122)

n studiul vibraiilor transversale cu matricea maselor diagonal, grinda a fost modelat de asemenea cu un numr cresctor de elemente finite. Rezultatele sunt centralizate n tabelul 4.3.

Tabelul 4.3

Eroarea ultimei pulsaii proprii de vibraie a modelului dinamic cu elemente finite i matricea maselor diagonal n cazul vibraiilor transversale.

Nr.

grade

de

libert

ate

4 6 8 10 12 14

Eroa

rea

%

4=63,17

% 6=55,61% 8=52,49% 10=50,8% 12=49,72% 14=48,99%

Eroarea celei mai nalte pulsaii proprii a unui singur element finit, 4, n

raport cu soluia analitic este 4=63,17%. Erorile celei mai nalte pulsaii proprii a

sistemului dinamic liber n discretizarea cu dou, trei, patru, ... elemente finite, n raport cu soluia analitic, sunt mai mici,deci i n acest caz egalitatea (4.1) devine inegalitate:

pn (4.136)

ceea ce reprezint o relaie acoperitoare din punct de vedere al acurateei soluiei cu elemente finite i matricea maselor diagonal.

50

CAPITOLUL 5

ABORDAREA PRACTIC A PROBLEMEI MODELRII SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE


5.1.1. Introducere

n capitolul 4 s-au analizat vibraiile proprii ale sistemelor dinamice libere. Soluia obinut prin modelarea cu elemente finite a fost comparat cu soluia analitic. S-a obinut legtura dintre eroarea celei mai nalte pulsaii proprii a modelului dinamic i eroarea pulsaiei celei mai nalte a unui singur element finit.

Sistemele dinamice structurale ale construciilor sunt sisteme cu legturi. O abordare practic a problemei modelrii sistemelor dinamice structurale trebuie s se refere la vibraiile sistemelor cu legturi.

5.1.2. Aspecte analizate n abordarea practic a modelrii sistemelor dinamice structurale

Se analizeaz urmtoarele vibraii ale sistemelor cu legturi: - vibraii longitudinale, soluia cu elemente finite i mase concentrate; - vibraii longitudinale, soluia cu elemente finite i matricea maselor

consecvent; - vibraii transversale , soluia cu elemente finite i mase concentrate; - vibraii transversale, soluia cu elemente finite i matricea maselor

consecvent. Nu s-au analizat separat vibraiile la torsiune, deoarece exist o analogie

perfect ntre acestea i vibraiile longitudinale. De asemenea, n acest capitol sunt studiate urmtoarele probleme practice:

evaluarea erorilor pulsaiilor proprii intermediare ale sistemelor cu legturi, utiliznd diferite metode (metoda polinomului de interpolare Lagrange, metoda funciei putere, procedeul liniar de interpolare);

influena erorilor pulsaiilor proprii asupra acurateei rspunsului dinamic la aciuni armonice.

5.2. VIBRAIILE LONGITUDINALE ALE SISTEMULUI CU LEGTURI

5.2.1. Soluia analitic Se analizeaz bara de seciune constant, fixat la un capt (figura 5.1). Modulul de elasticitate longitudinal este E, aria seciunii transversale A i masa pe unitatea de lungime .

Ecuaia diferenial a micrii este (4.3), iar cele dou condiii limit de satisfcut sunt:

.0)(,0)0( lN (5.2)

51

Fig. 5.1. Bar de seciune constant cu vibraii axiale

Rezult urmtoarele pulsaii proprii de vibraie ale sistemului continuu:

22)12(

l

EAii (5.4)

5.2.2. Soluia cu elemente finite i mase concentrate Acest caz este abordat i n referina bibliografic [26]. n lucrarea de doctorat, sistemul din figura 5.1 s-a discretizat n zece

elemente finite de aceeai lungime. A rezultat:

210938,19~

l

EA (5.7)

Soluia analitic pentru 10 este 2845,29 l

EA astfel c eroarea 10 va fi:

%,,

,,%

analitic,

calcul,analitic,1933100

84529

9381984529100

10

1010

10 (5.8)

Eroarea celei mai nalte pulsaii proprii a unui singur element finit liber cu mase concentrate este

%,p 34362 .

Rezult c n cazul sistemului cu legturi i cu mase concentrate, eroarea

%,n 193310

este mai mic dect eroarea unui singur element liber:

pn (5.9)

5.2.3. Soluia cu elemente finite i matricea maselor consecvent Se consider sistemul din figura 5.1 discretizat n zece elemente de aceeai

lungime. A rezultat:

210324,34~

l

EA (5.11)

n comparaie cu modelul dinamic cu mase concentrate, n cazul utilizrii matricei consecvente a maselor, pulsaiile pr

Macavei Tudor - Rezumat

Documents

Transcript of Macavei Tudor - Rezumat