.Masurarea unghiurilor

intr-un triunghi dreptunghic

sin B= cateta opusaipotenuza

= ACBC

, cos B= cateta alaturata ABipotenuza BC

tg B= cateta opusa ACcateta alaturata AB

, ctg B= cateta alaturata ABcateta opusa AC

Masurarea unghiurilor

Unitatile de masura pentru unghi sunt diviziuni ale cercului. Gradul sexagesimal (10)=a 360-a parte din masura unui cerc; Minutul sexagesimal (1’)= 1/60*10 10=60’; Secunda sexagesimala (1”)=1/60*1’=1/3600*10. Gradul centesimal (1g) este a 400-a parte din masura unui cerc. Radianul=masura unui arc de cerc de raza R a carui lungime este egala cu R. Lcerc=2πR (R>0,raza) 1 rad=masura unui unghi la centru notat ABC care subintinde un cerc AB de lungime R. Functia de masurare in radiani a unghiurilor si respective a arcurilor de cerc se noteaza cu “µ” (miu) Masura in radiani a unui cerc este: 2π rad π=3,1415926535… Relatia de transformare a gradelor sexagesimale in radiani: (1) α=π/1800 n0 (1’) n0=1800/πα (2) 1 rad=57017’44’’

Valorile funcţiilor

trigonometrice ale unor unghiuri uzuale

0o (0 rad.)

30o

(6 )

45o

(4 )

60o

(3 )

90o

(2 )

180o ( )

sin 0 12

22

32

1 0

cos 1 32

22

12

0 -1

tg 0 33

1 3 Nu

există 0

ctg Nu există 3 1 33

0 Nu există

Cercul trigonometric Se numeste cercul unitate notat C(0,1) cu central in originea reperului si de raza 1.

Pe cercul unitate se definesc doua sensuri de parcurgere: 1.Sensul pozitiv sau sensul trigonometric direct : A-B-A’-B’-A 2.Sensul negativ sau sensul invers trigonometric :A-B’-A’-B-A A(1,0)-punct initial(punct origine) Se numeste cercul trigonometric cercul unitate C(0,1) impreuna cu reperul ortogonal {O,i,j} si cu cele doua sensuri de parcurs. Lungimea cercului trigonometric ca si a cercului unitate este 2π rad.Astfel arcele si unghiurile la centru masurate pe cercul trigonometric devin arce si respective unghiuri orientate.

Sinusul lui t notat sin t este ordonata punctului M. Cosinusul lui t notat cost este abscisa punctului M.

Periodicitatea

sin(x+2kπ)=sin x, x R cos(x+2kπ)=cos x, x R

tg(x+kπ)=tg x, x R - 2 12

( k )

ctg(x+kπ)=ctg x, x R - k

Perioada principală pentru funcţiile sin şi cos este 2 şi pentru tg şi ctg este .

Paritatea

sin(-x)=-sin x, x R cos(-x)=cosx, x R

tg(-x)=-tgx, x R - 2 12

( k )

ctg(-x)=-ctgx, x R - k

Semnul în funcţie de

cadran I II III IV

sin + + - - cos + - - + tg + - + - ctg + - + -

Reducerea la primul cadran sin(

2 -x)=cosx, x R cos(

2 -x)=sinx, x R

tg(2 -x)=ctgx, x R - k ctg(

2 -x)=tgx, x R - 2 1

2( k )

sin(π-x)=sinx, x R cos(π-x)=-cosx, x R

tg(π-x)=-tgx, x R - 2 12

( k )

ctg(π-x)=-ctgx, x R - k

Formula trigonometrică

fundamentală

sin2x+cos2x=1, x R De aici se vede imediat că sin2x=1-cos2x şi că cos2x=1-sin2x

Mai putem deduce uşor că sin2x=2

21tg x

tg x, x R - 2 1

2( k )

Formule pentru sin, cos,

tg şi cg ale sumei şi diferenţei de arce

sin(a+b)=sina∙cosb+cosa∙sinb, a, b R sin(a-b)=sina∙cosb-cosa∙sinb, a, b R cos(a+b)=cosa∙cosb-sina∙sinb, a, b R cos(a-b)=cosa∙cosb+sina∙sinb, a, b R

tg(a+b)=1tga tgb

tga tgb

�

tg(a-b)=1tga tgb

tga tgb

�

Formule pentru sin, cos, tg ale unor arce în

funcţie de jumătatea arcului

sin2x=2sinx∙cosx cos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x

tg2x= 22

1tgxtg x

Formule pentru sin,cos,tg ale unor arce în funcţie de treimea arcului

sin 3x=3sinx-4sin3x cos3x=4cos3x-3cosx

Substituţia universală ( formule pentru sin, cos

şi tg ale unui arc în funcţie de tangenta jumătăţii arcului)

sin 2x= 22

1tgxtg x

cos 2 x=2

211

tg xtg x

tg 2x=

xtgtgx

212

Formule pentru sin, cos, tg ale unor arce în

funcţie de dublul arcului sin2x= 1

2cos x

cos2x= 12cos x

tg2x=1

sin xcos x

Transformarea sumelor

în produse sina+sinb=2sin2

a b cos2

a b sina-sinb=2sin2

a b cos2

a b

cosa+cosb=2cos2

a b cos2

a b cosa-cosb=-2sin2

a b sin2

a b

Transformarea produselor în sume sina cosb=

2sin( a b ) sin( a b

cosa cosb=2

cos( a b ) cos( a b )

sina sinb=2

cos( a b ) cos( a b )

Graficele funcţiilor trigonometrice directe

sin:R [-1;1] cos:R [-1;1]

tg: R- 2 12

( k )

R

ctg: R- k R

Monotonia functiei sinus Cadranul I II III IV Functia sinus

Monotonia functiei cosinus

Cadranul I II III IV Functia cosinus

Funcţiile trigonometrice inverse

arcsin:[-1;1] [-

2 2, ]

arcsin:[-1;1] [0; ]

arctg:R (-2 2

, )

arcctg:R (0; )

arcsin a este arcul din intervalul [-2 2

, ] care are sinusul egal cu a. (a[-1; +1] )

Exemple:

arcsin0=0 ; arcsin 12 6

; arcsin 2

2 4

; arcsin 32 3

; arcsin1=

2

Funcţia arcsinus este impară: arcsin(-a)=-arcsina , a[-1; 1].

arccos a este arcul din intervalul [0; ] care are cosinusul egal cu a. (a[-1; +1] )

Exemple: arccos 0=2 ; arccos 1

2 3

; arccos 22 4

; arccos 3

2 6

; arccos 1=0.

arccos(-a)= -arccosa.

arctg a este arcul din intervalul (-2 2

, ) care are tangenta egală cu a. (a R )

Exemple:

arctg 0=0 ; arctg 33 6

; arctg 1=

4 ; arctg 3

3

.

arctg(-a)=-arctga, a R Formule uzuale

sin(arcsina)=a, a[-1; 1] cos(arccosa)=a, a[-1; 1]

sin(arccosa)= 21 a , a[-1; 1]

cos(arcsina)= 21 a , a[-1; 1] tg(arctga)=a, a R

tg(arcctga)= 1a

, a R -{0}

ctg(arctga)= 1a

, a R -{0}

arcsinx+arccos x=2 , x[-1; +1].

Ecuaţii trigonometrice fundamentale

sin x=a, a[-1;1] x 1 k{( ) arcsin a k } cos x=a, a[-1;1] x 2{ arccos a k }

tg x=a, aR x {arc tga k }

Teorema cosinusului

a2=b2+c2-2bc cosA şi analoagele.

cos A=2 2 2

2b c a

bc

Teorema sinusurilor

2a b c Rsin A sin B sinC

, unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Teorema medianei

ma=(b2+c2/)2 –a2/4

Formule pentru aria triunghiului S=

2baza inaltimea� S=

2ab sinC

S= p( p a )( p b )( p c ) , unde p este semiperimetrul p=2

a b c

S=4abc

R

Raza cercului înscris în triunghi r= S

p