4_distributii uzuale

Distributii uzuale

Ludovic Dan LEMLE

Universitatea Politehnica din TimisoaraDepartamentul de Inginerie Electrica si Informatica Industriala

2014-2015

Distributii uzuale

Distributii uzuale de tip discret

Distributia binomiala

Distributii uzuale



Definitie

Spunem ca o variabila aleatoare X are o distributie binomiala cuparametrii n N si p (0, 1) daca pentru oricek {0, 1, 2, , n}

X :

0 1 k n

C 0np0qn C 1np

1qn1 C kn pkqnk Cnn pnq0

unde q = 1 p.

Distributii uzuale



Daca o variabila aleatoare X are o distributie binomiala cuparametrii n N si p (0, 1), atunci

Distributii uzuale




M(X ) = np

Distributii uzuale




M(X ) = np

D2(X ) = npq

Distributii uzuale


Distributia Poisson

Distributii uzuale


Distributia Poisson

Definitie

Spunem ca o variabila aleatoare X are o distributie Poisson cuparametrul > 0 daca

X :

0 1 n

e 1!e n

n! e

Distributii uzuale


Distributia Poisson

Daca o variabila aleatoare X are o distributie Poisson cuparametrul > 0, atunci

Distributii uzuale


Distributia Poisson


M(X ) =

Distributii uzuale


Distributia Poisson


M(X ) =

D2(X ) =

Distributii uzuale


Distributia Poisson


M(X ) =

D2(X ) =

Distributia Poisson este un caz limita al distributiei binomiale.Aceasta distributie se mai numeste si legea evenimentelor rare.

Distributii uzuale

Distributii uzuale de tip continuu

Distributia uniforma

Distributii uzuale



Definitie

Distributii uzuale



Definitie

Spunem ca o variabila aleatoare X are o distributie uniforma dacadensitatea sa de repartitie este

f (x) =

{1

ba, x [a, b]

0, x / [a, b]

Distributii uzuale



Daca o variabila aleatoare X are o distributie uniforma, atunci

Distributii uzuale




FX (x) =

0, x axa

ba, x (a, b]

1, x > b

Distributii uzuale




FX (x) =

0, x axa

ba, x (a, b]

1, x > b

M(X ) = ba2

Distributii uzuale




FX (x) =

0, x axa

ba, x (a, b]

1, x > b

M(X ) = ba2

D2(X ) = (ba)2

12

Distributii uzuale


Distributia normala

Distributii uzuale


Distributia normala

Definitie

Distributii uzuale


Distributia normala

Definitie

Spunem ca o variabila aleatoare X are o distributie normala cuparametrii m si daca densitatea sa de repartitie este

fm,(x) =1

2pi

e

(xm)2

22 , x R, > 0.

Distributii uzuale


Distributia normala

Definitie


fm,(x) =1

2pi

e

(xm)2

22 , x R, > 0.

Graficul functiei fm, are urmatoarele proprietati

Distributii uzuale


Distributia normala

Definitie


fm,(x) =1

2pi

e

(xm)2

22 , x R, > 0.


dreapta x = m este axa de simetrie

Distributii uzuale


Distributia normala

Definitie


fm,(x) =1

2pi

e

(xm)2

22 , x R, > 0.



axa Ox este asimptota orizontala la + si

Distributii uzuale


Distributia normala

Definitie


fm,(x) =1

2pi

e

(xm)2

22 , x R, > 0.



axa Ox este asimptota orizontala la + si x = m este punct de maxim

Distributii uzuale


Distributia normala

Definitie


fm,(x) =1

2pi

e

(xm)2

22 , x R, > 0.



axa Ox este asimptota orizontala la + si x = m este punct de maxim

x1 = m si x2 = m + sunt puncte de inflexiune

Distributii uzuale


Distributia normala

Indiferent de valorile parametrilor m si , graficele functiilor fm,au forma de clopot (clopotul lui Gauss). Parametrul m definesteaxa de simetrie, iar stabileste gradul de turtire a graficului.

Distributii uzuale


Distributia normala


Daca o variabila aleatoare X are o distributie normala cuparametrii m si , atunci

Distributii uzuale


Distributia normala


Daca o variabila aleatoare X are o distributie normala cuparametrii m si , atunci

FX (x) =12 +

(xm

)unde

() =12pi

0

et2

2 dt

este functia lui Laplace (ale carei valori sunt tabelate)

Distributii uzuale


Distributia normala

P(a < X < b) = (bm

) (am

)

Distributii uzuale


Distributia normala

P(a < X < b) = (bm

) (am

)P(|X m| < k) = 2(k)

Distributii uzuale


Distributia normala

P(a < X < b) = (bm

) (am

)P(|X m| < k) = 2(k)

M(X ) = m

Distributii uzuale


Distributia normala

P(a < X < b) = (bm

) (am

)P(|X m| < k) = 2(k)

M(X ) = m

D2(X ) = 2

Distributii uzuale


Distributia exponentiala

Distributii uzuale



Definitie

Distributii uzuale



Definitie

Spunem ca o variabila aleatoare X are o distributie exponentiala cuparametrul > 0 daca densitatea sa de repartitie este

f (x) =

{ex , x > 00, x 0

Distributii uzuale



Definitie

Spunem ca o variabila aleatoare X are o distributie exponentiala cuparametrul > 0 daca densitatea sa de repartitie este

f (x) =

{ex , x > 00, x 0

Distributia exponentiala joaca un rol foarte important n teoriafiabilitatii.

Distributii uzuale



Daca o variabila aleatoare X are o distributie exponentiala cuparametrul , atunci

Distributii uzuale




FX (x) =

{1 ex , x > 00, x 0

Distributii uzuale




FX (x) =

{1 ex , x > 00, x 0

M(X ) = 1

Distributii uzuale




FX (x) =

{1 ex , x > 00, x 0

M(X ) = 1

D2(X ) = 12

Distributii uzuale


Distributii uzuale de tip discretDistributii uzuale de tip continuu

4_distributii uzuale

Documents

Transcript of 4_distributii uzuale