TRAPEZUL

Definitia 1. Patrulaterul convex cu doua laturi opuse paralele si celelalte doua laturi

opuse neparalele se numeste trapez. Laturile paralele se numesc baze, iar distanta dintre bazele

trapezului se numeste naltime a trapezului.

Observatie. In mod evident, bazele trapezului au lungimi diferite. Daca, n caz con-

trar, bazele ar avea aceeasi lungime, atunci, fiind si paralele, ar rezulta ca patrulaterul dat

aste paralelogram, deci si celelalte doua laturi opuse sunt paralele, n contradictie cu definitia

trapezului.

In figura 1, este desenat trapezul ABCD cu AB DC. Baza mica este rABs, baza mareeste rDCs, iar rPQs este o naltime.

Figura 1

Definitia 2. Trapezul cu un unghi drept se numeste trapez dreptunghic.

In figura 2, este desenat trapezul dreptunghic ABCD cu AB DC si m p?Aq 90.

Figura 2

Observatie. Trapezul dreptunghic are doua unghiuri drepte.

Definitia 3. Trapezul cu laturile neparalele congruente se numeste trapez isoscel.

In figura 3, este desenat trapezul isoscel ABCD cu AB DC si rADs rBCs.

Figura 3

Observatie. Daca un trapez este isoscel, atunci unghiurile alaturate bazei mari sunt unghi-

uri ascutite si, n consecinta, unghiurile alaturate bazei mici sunt unghiuri obtuze.

Fise cu teorie pentru gimnaziuTrapezul

1 Profesor Marius Damian, Braila

Teorema 1. Daca un trapez este isoscel, atunci unghiurile alaturate bazei mari sunt

congruente.

Demonstratie. Consideram trapezul isoscel ABCD cu AB DC, AB DC si rADs rBCs. Construim AE K DC, BF K DC, E, F P pDCq, ca n figura 4.

Mai ntai, din AE K DC si BF K DC avem AE BF si cum AB EF, rezulta ca ABFEeste dreptunghi, deci rAEs rBF s.

Tinand cont ca, din ipoteza, rADs rBCs, obtinem 4AED 4BFC (I.C.) si rezultaca ?ADC ?BCD. In mod evident, rezulta si ?DAB ?CBA, adica unghiurile alaturatebazei mici sunt, de asemenea, congruente.

Figura 4 Figura 5

Teorema 2. (Reciproca teoremei 1.) Daca un trapez are unghiurile alaturate uneia

din baze congruente, atunci trapezul este isoscel.

Demonstratie. Fie trapezul ABCD cu AB DC, AB DC si ?ADC ?BCD.La fel ca n demonstratia teoremei 1, construim AE K DC, BF K DC, unde E,F P pDCq

(figura 5) si rezulta ca rAEs rBF s.Deducem ca 4AED 4BFC (C.U.), de unde rezulta rADs rBCs. Teorema 3. Daca un trapez este isoscel, atunci el are diagonalele congruente.

Demonstratie. Consideram trapezul isoscel ABCD cu AB DC, AB DC si rADs rBCs.

Figura 6

Din teorema 1, avem ?ADC ?BCD si atunci 4ADC 4BCD (L.U.L.). De aici,deducem ca rACs rBDs, adica ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema 4. (Reciproca teoremei 3.) Daca un trapez are diagonalele congruente, atunci

trapezul este isoscel.

Demonstratie. Fie trapezul ABCD cu AB DC, AB DC si rACs rBDs. ConstruimAE K DC, BF K DC, E, F P DC, ca n figura 7 si avem rAEs rBF s.

Fise cu teorie pentru gimnaziuTrapezul

2 Profesor Marius Damian, Braila

Figura 7

Tinand cont ca rACs rBDs, deducem ca 4AEC 4BFD (I.C.), de unde obtinem?ACD ?BDC.

In final, 4ADC 4BCD (L.U.L.), de unde rezulta ca rADs rBCs, adica ABCD estetrapez isoscel.

Fise cu teorie pentru gimnaziuTrapezul

3 Profesor Marius Damian, Braila