CALCULUL SUPRAFEELOR

Din punct de vedere topo-cadastral, prin notiunea de suprafa, se definete aria cuprins n limitele unui contur nchis, proiectat pe un plan orizontal de referin, fr a se ine seama de relieful terenului.

Metodele si procedeele de calcul al suprafetelor, se stabilesc n funcie de datele iniiale cunoscute, care la rndul lor depind de metodele de msurtori folosite i de precizia lor. n funcie de natura datelor de msurtori provenite din teren, de precizia lucrrii i de scopul urmrit, calculul suprafeelor se efectueaz prin metode numerice, mecanice i grafice.

8.1.Calculul suprafeelor prin metode numerice. n cazul metodelor numerice, de utilizeaz mijloace electronice de calcul a

suprafeelor, iar datele initiale folosite sunt: unghiuri si distante, provenite din msurtori topografice; coordonat rectangulare(x,y) obtinute din msurtori topografice clasice sau moderne; msurtori fotogrammetrice analitice i msurtori realizate prin digitizarea contururilor pe planurile cadastrale. n funcie de elementele cunoscute se aplic procedee geometrice, trigonometrice i analitice de calcul al suprafeelor.

8.1.1. Calculul suprafeelor prin metode numerice - procedeul geometric. Pentru calculul suprafeelor prin procedeul geometric se consider conturul poligonal

1-2-3-4-5-6-7, de suprafaa S, care se poate mpri, ntr-un numr de cinci triunghiuri ale cror laturi d1,d2,d3,,d11, se msoar, n condiile terenurilor plane, cu panglica de otel de 50 m, direct reduse la orizont (fig. 8.1)

Ariile triunghiurilor, cu laturile msurate pe teren cu panglica de otel de 50 m, se determina cu relatia :

)cp()bp()ap(pS = , n care a,b,c sunt laturile triunghiului

p - semiperimetrul triunghiului, care se obtine cu formula : 2

cbap ++=

Fig. 8.1 Calculul suprafeelor prin metode numerice - procedeul geometric. Deci, n cazul considerat, se calculeaz mai ntai suprafetele partiale ale celor cinci triunghiuri:S1,S2,S3,S4,S5 i apoi suprafaa total: S= S1+S2+S3+S4+S5.

Dac msuratorile din teren se efectueaz cu panglica de oel i echerul topografic , conturul poligonal 1-2-3-4-5-6-7, se imparte in patru triunghiuri de suprafata S1, S4, S5 si S7 si trei trapeze de suprafata S2, S3 si S6 (fig. 14). Ariile triunghiurilor, se vor calcula atat cu relatia de mai sus, cat si cu relatia folosita

in cazul unui triunghi dreptunghic, ( )2

hbBS += . In urma insumarii suprafetelor partiale ale

triunghiurilor si trapezelor considerate, se obtine suprafata conturului poligonal:

S= S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7.

8.1.2. Calculul suprafeelor prin metode numerice -procedeul trigonometric. Se aplic n cazul ridicrilor tahimetrice, pe baza crora, se determin punctele unui

contur poligonal, prin coordonate polare (, d), folosindu-se metoda radierii, dintr-un punct de statie al drumuirii tahimetrice. Deci, calculul ariei unui triunghi 1 2 3, se va determina in

functie de unghiurile orizontale () si de distantele reduse la orizont (d), care pozitioneaza punctele conturului suprafetei considerate (fig. 8.2).

Fig. 8.2 Calculul suprafeelor prin metode numerice -procedeul trigonometric.

Suprafaa S a triunghiului 123 cu vrfurile determinate prin metoda radierii, se obine ca o suma algebric a suprafeelor triunghiurilor S1, S2 si S3, ce se formeaz, pe baza msurrii a dou laturi i a unghiului cuprins ntre ele. Deci, se poate scrie: S = S3 (S1 + S2), n care:

1311 sindd21S = ; 2322 sindd2

1S = ; 3213 sindd21S =

unde: d1,d2,d3 - dinstanele reduse la orizont;

321 ,, - unghiurile orizontale cuprinse ntre laturile respective .

8.1.3. Calculul suprafeelor prin metode numerice - procedeul analitic.

Se aplic n cazul cnd se cunosc coordonatele rectangulare ale punctelor de pe conturul poligonal, care limiteaz suprafaa considerat. Pentru stabilirea formulelor generale de calcul analitic a suprafetelor se considera suprafata unui triunghi definit prin varfurile 1(X1,Y1); 2(X2,Y2) si 3(X3,Y3), care se proiecteaz, mai nti pe axa ordonatelor.( fig. 8.3).

Fig. 8.3 Calculul suprafeelor prin metode numerice - procedeul analitic

Prin proiecia punctelor 1,2 si 3 pe axa ordonatelor, se formeaz trapezele 1221; 2332 si 1331, dintre laturile triunghiului si axa OY. Aria triunghiului 1-2-3 este egal cu diferena dintre suma suprafeelor celor dou trapeze formate de laturile exterioare i suprafaa trapezului determinat de latura interioar. Deci, rezult:

S = (S1221+S2332)-S1331; n care, suprafeele trapezelor considerate, se obin cu ajutorul coordonatelor rectangulare ( X,Y) ale punctelor ce delimiteaz fiecare trapez, dup cum urmeaz:

2)YY()XX(

2h)bB(S 1221

'1'122+

=

+=

2)YY()XX(S 2332

'2'233+

= si 2

)YY()XX(S 1331'1'133

+=

n urma nlocuirii acestor relaii, n formula iniiala, se obine: )YY)(XX()YY)(XX()YY)(XX(S2 133123321221 ++++=

n urma nlocuirii acestor relaii, n forma iniial, se obine:

133311312333

223212221121

YXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXYXS2

+++

+++=

Dup reducerea termenilor asemenea i scoaterea in factor comun lui X1,X2 si X3 , se obine:

)YY(X)YY(X)YY(XS2 213132321 ++= Dac se ia n considerare sensul de executare a calculului i notaiile din figura 8.3, se poate scrie formula general de calcul analitic al suprafeelor, n cazul unui poligon cu n

laturi:

)YY(XS2 1i1in

1ii +

=

=

Calculul propriu-zis al suprafeei unui poligon oarecare const din nmulirea, n mod succesiv i n sensul miscrii acelor unui ceasornic ( fig. 8.3) a abscisei fiecarui punct ( X1) cu diferenta dintre ordonata punctului urmator(Yi+1) si ordonata puctului precedent (Yi-1), iar produsele obtinute se nsumeaza algebric. Se proiecteaza punctele 1,2,3 si pe axa absciselor, iar suprafata triunghiului 123, se va

obtine, in mod asemanator, pe baza relatiei:

''2''211''2''233''3''311 S)SS(S += In urma nlocuirii coordonatelor rectangulare ( X,Y) ale punctelor de pe contur n relaia de mai sus i a efecturii calculelor, se va obine:

)XX(Y)XX(Y)XX(YS2 213132321 ++= Prin generalizare, n cazul unui poligon cu n laturi, formula de calcul analitic a

suprafeei, se scrie sub forma:

)XX(YS2 1i1in

1ii +

=

=

Cu aceast formula se obine suprafaa dublu negativ, care se mparte la doi i se poziioneaz prin nmultirea cu (1). Intre rezultatele obinute cu relaia suprafeei pozitive

(2S) i relaia suprafeei negative (2S) nu trebuie s existe nici o diferena.

8.2. Calculul suprafeelor prin metode mecanice. Pentru calculul suprafetelor reprezentate pe harti si planuri cadastrale, prin calculul

suprafetelor reprezentate pe harti si planuri cadatrale, prin metoda mecanica, se folosesc diferite tipuri de instrumente, ce poarta denumirea de planimetrie.

Descrierea planimetrului polar. Planimetrul polar este instrumentul cu cea mai mare utilizare la calculul suprafetelor prin metoda mecanica. Din punct de vedre principal, planimetrulpolar se compune din trei parti principale: bratul polar(1); bratul trasor (2) si dispozitivul de inregistrare ( 3).

Fig. 17

Bratul polar, cu o lungime constanta este prevazut la capatul liber cu o contragreutate (4), in mijlocul careia se afla un ac (5) denumit pol, ce permite fixarea pe plaseta de lucru, inainte de inceperea operatiei de planumetre. La celalalt capat al bratului polar se gaseste o tija cu un cap sferic (6), prin intermediul careia se face articularea cu dispozitivul integrator si, respectiv, cu bratul trasor. Bratul trasor este divizat in mm, iar lungimea bratului (L) coresponzatoare diferitelor constante de scara se modifica cu ajutorul unui dispozitiv cu vernier (7), iar la instrumentele mai noi se afla o lupa cu un reper de urmarire a conturului unei suprafete, iar la celalalt capat, la distanta (L) se afla dispozitivul de inregistrare, cu rotatia integratoare si cu rotita de sprijin (8). Pentru conducerea acului trasor sau a reperului de urmarire de-a lungul perimetrului unei suprafete se foloseste o aripioare sau urechiusa. Dispozitivul de inregistrare, care poate sa culiseze de-a lungul bratului trasor (2) prin

intermediul unui surub de blocare si a unui surub de fina miscare, cu ajutorul carora, se fixeaza lungimea bratului trasor, functie de scara hartii sau planului. In componenta discului de inresistrare se disting, urmatoarele piese de baza: discul contor sau inregistratorul de ture (9), rotita mobila (10), vernierul (11) si o rotita de sprijin. Discul contor sau inregistratorul de ture (9) este cuplat cu rotita mobila

inregistratoare (10), printr-un surub fara sfarsit (12). La o rotire completa a rotitei mobile inregistratoare (10), discul contor (9) se roteste cu o diviziune care se citeste, in dreptul unui indice. Discul contor este divizat in 10 parti egale, numerotate cu 0,1,2,,9.

Rotita mobila (10) este divizata n 5100 parti egale, ce sunt nuerotate din 10 n 10 diviziuni: 1,10,20,,100. Vernierul (11) este divizat n 10 parti egale, ceea ce permite citirea exact a fraciunii

de diviziune de pe rotia mobil (10) o precizie de 1/10.

Fig. 8.5. Dispzitiv citire planimetrul polar Citirea diviziunilor de pe dispozitivul de nregistrare (3) se face dupa cum urmeaza:

miile, se citesc pe discul contor (1000), sutele si zecile, pe rotita mobila (0710), iar unitile (0006) pe vernier ( fig 8.5). Deci, citirea efectuata este C1 = 1716, din care, prima cifra, s-a citit, pe discul contor, urmatoarele doua cifre pe rotita mobila in dreptul diviziunii zero a vernierului, iar a patra cifra pe vernier si reprezinta fractiunea dintr-o diviziune a rotitei. Reguli de planimetrie si modul de lucru cu planimetrul

Operaiunea de determinare a suprafeelor cu ajutorul planimetrului poart denumirea de planimetrare. La efectuarea operaiei de planimetrare trebuie s fie respectate o serie de reguli tehnice, din care se menionaeaz:

planul totpografic pe care se efectueaz planimetrarea trebuie s fie perfect ntins pe o planeta neted i orizontal

poziia polului planimetrului trebuie s asigure n punctul de plecare, de pe contur, un unghi aproximativ drept ntre cele doua brate;

n operaia de urmrire a conturului unei suprafete, cele dou brae ale planimetrului, s nu formeze unghiuri mai mici de 10g i mai mari de 170g;

parcurgerea conturului suprafeei cu stilul sau cu o lupa cu un reper, se face numai n

sensul micrii acelor unui ceasornic;

n timpul planimetrarii, se urmreste ca rotia mobil s nu depeasc cadrul planului. In funcie de mrimea suprafeelor, care urmeaz s fie determinate, planimetrarea lor se poate face cu polul n exterior, n cazul suprafeelor cu diametrul de circa 30 cm pe plan sau cu polul n interiorul suprafeei, n cazul suprafeelor cu diametrul de pana la 70-75 cm.

Din punct de vedere al modului de lucru, in ambele cazuri de planimetrare se execut urmatorele operaii:

se fixeaz lungimea braului trasor (L) corespunztor scrii de redactare a planului topografic, care este data n fia tehnica din cutia planimetrului.

se stabileste punctul initial de ncepere a planimetrrii, care se marcheaz cu creionul pe conturul suprafeei considerate;

se aduce stilul sau lupa cu reper n punctul de ncepere a planimetrrii i se efectueaz citirea iniial;

se planimetreaz n sensul acelor de ceasornic, pn cnd se ajunge din nou n punctul de plecare, unde se efectueaz citirea ;

se repet planimetrarea de 3-5 ori, iar diferenele obinute ntre dou planimetrri consecutive nu trebuie s depeasc ecartul maxim de 5 uniti de vernier.

Se verific ecartul maxim, n limitele ncadrrii n tolerana de 5 uniti de vernier i se calculeaz numrul generator mediu, cu relaia:

3321 nnnn

++=

Mrimea suprafeei planimetrice (S), se calculeaz cu ajutorul expresiei: NKS = , n care:

K = este constanta de scar; n numrul generator mediu.

n cazul planimetrelor, care nu dispun de fisa tehnica, se va determina constanta de scara (K), prin planimetrarea unei suprafete cunoscute (S0) pentru lungimea maxima a bratului trasor si pentru scara planului considerat. Pe baza raportului dintre suprafata cunoscuta si a

numarului generator mediu (n) obtinut pentru suprafata respectiva, se calculeaza: K = S0/n. Precizia planimetrarii depinde de marimea i conformaia suprafeelor, de scar

planului i de tipul planimetrului folosit, fiind cuprins ntre 1/200 si 1/400 din suprafaa planimetrat.

8.3. Calculul suprafetelor prin metode grafice. Metodele grafice de calcul a suprafeelor reprezentate pe planuri i hri sunt mai

expeditive i asigur o precizie satisfctoare pentru anumite categorii de lucrri. Precizia acestor metode depinde de o serie de factori: scara planului; precizia de ntocmire a planuluil suportul planului i modul de conservare a lui; mrimea i configuraia suprafeelor etc.

Din punct de vedere practic, calculul ariilor prin metode grafice se efectueaz att n cazul suprafeelor cu contururi liniare, ct i a celor cu contururi sinuoase.

8.3.1.Calculul suprafeelor delimitate de contururi rectilinii, prin procedeul descompunerii n figuri geometrice.

Se aplic n cazul unui poligon cu un numr oarecare de laturi, prin care, se efectueaz mai nti descompunerea lui n figuri geometric elementare: triunghiuri, trapeze, dreptunghiuri, paralelograme, i apoi se msoara direct pe plan cu ajutorul unei rigle, elementele necesare de calcul a suprafeelor: baze, nlimi, lungimi. La mprirea unui poligon, n figuri geometrice elementare, se are n vedere ca numrul acestor figuri s fie ct mai redus, iar n calcule s se foloseasc elemente comune a dou figuri i pe ct posibil bazele s fie aproximativ egale cu nlimile. Dintre procedeele folosite, se aplica in mod frecvent, descompunerea unui poligon in triunghi.

Se consider poligonul ABCDE, care se imparte mai intai, in trei triunghiuri de suprafata S1, S2 si S3, prin trasarea diagonalelor din punctul A, iar pentru control se efectueaz i a doua descompunere a poligonului considerat, n alte trei triunghiuri de suprafaa S1, S2 si S3, prin trasarea diagonalelor din punctul B.

Fig. 8.6 Calculul grafic al suprafeelor

Se msoar grafic bazele i nlimile triunghiurilor, cu rigla gradat, dup care, se transform n valori metrice corespunztoare din teren, n funcie de scara planului i se calculeaz suprafaa poligonului ( S ), cu ajutorul relaiilor:

2hb

2hb

2hbSSSS 212111321I

++

++

+=++=

2hb

2hb

2hbSSSS 2

'

1'

2'

1'

1'

1'

3'

2'

1'

II+

++

++

=++=

Suprafaa poligonului determinat n urma celor dou mpriri SI i SII ,trebuie s

fie reltiv egal, iar diferena de arie dintre cele dou determinri, trebiue s se ncadreze n tolerana adminisibil dat de formula:

.IIII S4001SS

Aria definitiv a poligonului considerat este dat de media arimtmetic a celor dou determinri:

2SSS III +=

La calculul suprafeelor pe planuri la scara 1:500; 1:1000 si 1:200, elementele de calcul (baze, nlimi) msurate pe plan n mm, nu se mai transform n metri, n funcie de numitorul scrii, iar suprafeele se vor exprima n mm2. Pentru obinerea suprafeei corespunztoare din teren, se nmulete suprafaa grafic exprimat n mm2 cu ptratul numitorului scrii i se va obine:

S(m2) = S(mm2)*N2.