Titu Andreescu Bogdan Enescu Mircea Lascu Ovidiu Pop!r!

C. Burdugel, A. Ghioca, R.Ilie, E. Jecano D. Luca, D. MarinescuoI. Muregano A. Al. Opreao O. Purcaru, $t. SmIr5ndoiu, Gh. Stoianovici,

D. $erbinescu, V. Tudoran, Gh. Vieru

DE,

2000 2001CLASELE V.X

EDITURA GIL

1

9tll2l518

202324262832355t

S

176178

179I80183

184185

188

19.1

l92194195

199200\20t2.04

2072082092\t214216219220221223223224225

44' 4,6

51,54

596l646B71

/)77787980828385

94 229231231)7)23323423423523523523:/

n;238

9595e697989999

100

l0lt02102103104

III. Olimpiada nafionald de maternaticS: etapa finalI

!V. Concursuri interj udetenel. Concursul interjudelean "Arhimede" ..................,..j..2. Concursul inrerjudetean nPitagora"

3. Concursul "Florica T. Crimpan"4. Concursul de matemarica "lon Ciolac"5. Memorial "Preda Fiioft eia" ...................6: Concursul interjudelean de matematica "Prietenii lui Pitagora"7. Memorialul "Nicolild Sanda" ...........8.Concursirldemarematic6,'La,scoalacuceas''9.Coniursulinterjude1eandematematica''DanBarbilian'10.

Concursul inlerjudelean de limba 5i lireratura romdnd gi matematicd"lon Barbu - Dan Barbilian" ........:.........,

I l . Concursul Doijean ..:.... :.....,.................................1 2. Concursul nalional de matematici "Lauren{iu Duican" ............ ;........:...13. Cohcursul interjudetean de matematicd "Gheorghe Dumitrescu"14. Concursul interjudelean de matemaricd "Adolf Haimovici" ...............................l5.Concursulinterjudet-eandematematic6,''TraianLa1escu'.16. Concursul interjudetean de matemaricd "Academician Radu I\4iron"17. Concursul interjudetean de matematicd "Grigore. Moisil" ...................................18. Concursul interjudetean de marcmaticd "Alerandru Papiu llarian" .........:..........19. Concursul inrerjudefean de matematici "Nicolae Pf,un" .............20. Concursul interjudelean "Vrdncearu - Procopiu" ..,....................21.Concursulanualalrezolvitorilor',Academiciann.icolaeTeodorescu''22. Concursul interjudelean de matematicd "Marian Jarin["23. Concursul de maremarici "Gheorghc Tiieica"24. Concursul interjudegean de matematicd "MihaiViteazul" ....................

V. Concursuril. Testelc de seleclie a echipei Romdniei panicipanre Ia a lV-a Olimpiada

balcanicd de juniori2. a) Baraje pentru selectarea lorului iBMO 2001

b) A III-a Olimpiadd balcanicd de matematicd pentru juniori" Bulgaria, 1999 ......c) A IV-a Olimpiadl balcanicd de matemarici pentrq juniori, Macedonia, 2000 ..

d) Probldnele propuse de RomAnia" care au stat in atenlia celei de-a IV-aOlimpiade balcanice de juniori

e) A V-a Olimpircla balcanica de maremaricd penrru juniori. Cipru. 2001f) Alte probleme propuse juriului pentru selectare la a V-a Oiimpiadd balcanic6

de matematicd penrru juniori. Cipru.200 I

3. Al V-lea Concurs de maremarica PO LtL,\lC KUK, P\{WC4. Al t.ll-lea ( oncurs american de maremaricd

VI. Concursuri din alte tlri1. Teoria numerelor2. Algebra

147 244

t09 248112 249l13t16 249117 250119 251120 252122 253125 254

125126127129131

l3r 263134 ff.rt6136 269139 271140 273t42 276r43 278145 281t47 284151 289

r55156 292t5'7 295t58 297

i58160 298

160

162 300r.65 300

2552ij259261

r69 305t70 307t72 3133. Ceometric

ENUNTURI

l. Olinnpiada nationali de matematici: etapa locall

ARAD

Clasa a V-a

l. l.a impdnirea a douA numere naturale, catul este de gase ori mai nric flecdt diferenladintre deimp1rtit ii rest, impSrlitorul este de trei ori mai mare decdt pdtul, iar restuleste strict mai mare decdt 4. Sd se reconstituie ?mp64irea. 'l

2. I-ie: A: {xeNl Zn tZ}. 8: {ye NiV: 2"-2-3n. n€N, n < 3}. C : lzlz este

ultima cifi'6 a lui n2. n e N).a) Sd se calculeze A u B, A n B. A - C.

b) SE se arate ca A u (B ^

C) - {A,2,4,5,6, 8}. I

.t. Oalculafi: (1.2+2.3+3-.4+... +lgg2.1gg3+1987021):(12+22+32+,...+19932).

Clasa a VI-a

l. Sd se arate cA. dacd'L: i. a. b, c. d e N*, atunci se poate forma o proporfie cuhdnumerele (a. d), [b, c], (b, c), [a. d].

2. [Jn numdr de l236cifre este scris cu cifrele I,2 Ei 3 9i cu 12 zerouri. Numdrul de

aparilii al cifrelor 1.2 qi 3 este direct propor--tional cu respectiv l,2 gi 3. SA se arate

cd numdrul dat nu este pdtrat perfect..t. t rei elevi aveau la bania a, b, respectiv c lei. Pentru a pleca intr-o excursie. au scos

de Ia bancd boh, co/o, respectiv ao/o, din care au cheltuit cYo,, ?o/o. respectiv b%o, astfelincdt impreund au cheltuit 1992000 lei. Sd se afle ce sum6 a cheltuit fiecare.

,1. Irie unghiul alungit AOB, precum qi unghiurile AOC 9i COD, in acelagi semiplan,')

congruente. iar raponul mdsurilor unghiurilor COD si DOB este : . Sd se calculeze5

rndsurile unghiurilor COD 9i DOB.

Clasa a Vll-a

l. Sd se arate cdnumerele de forma A : gm, a € N \ {l}, nu sunt prime.9Sori

Str se arate c5:

rlllrl-

f -

+-+...f -+- +--l -s099 98 4329897961ar

99.100 98.99 97 .98 2.3

n2-n+lSR se arate cd frac1ia #, n e N, este reductibila.

+3n+2Fie ABCD un paralelogram. M qi N mijloacele laturilor [BC] ti [CD]. iar E gi Fsimetricele punctelor D qi B falA de M gi N. Ardtali c6:

a) tripletele (A.B,E). (A.D.F) ii (F,C.E) sunt puncte coliniare:b) dreptele AC, DE gi BF sunt concurente.

.\,

't.

2. Suma s : .6 +z Ji + Jn * J+g *. . .+ $b0 are vatoarea

3. La o afacere !-a pierdut 13% Si s-a incasat cu 93600 mai pu1in. Suma iniliald este de

...... . .. lei.

4. Fienumerelea-t +-+*..*# iiu: t-f -i" -*#.Mediaaritmeticd

a numereloi a gi b este egalS cu

5. Aria unui triunghi avdnd un unghi cu masura de l5o gi ipotenuza de 16 cm. este

egald'cu ......... cmt.6. N;;;;.;;;. ;;;;.rtive direct propo(ionale cu mdsurile unghiurilor unui triunghi

dreptunghic, sunt: ......... .

7. Yaloarea lui ae R din: [-2, 4)n[-a,5) : [a, 4), este:8. Dac6 un dneptunghi are perimetrul de 2 cm, atunci aria sa nu va depdqi ... ...... c*',9. Fie Me(ABC) astfel incdt [AM] = [BM] = [CM]. Proiec{ia lui M pe planul (ABC)

este ... ...... .

II. l. Sa se arate cdnumdrul A: n2+ 1996n+2, n e N, nu poate fi pdtrat perfect.

2. a) Sd se arate ci, oricare ui:1|, r::{? o. } jlfet

TatUl" *'[")' -fr*r*'1l

)

b) Fie a, x € R*, astfel incdt u: -!-. Si se calquleze b: x +1, ,: "t* lX X'x'+x+l*2

gi d : ___::_ in lunclie de a.x" +x- +l

3. Fie rombul ABCD, cu mdsura unui unghi ascu{it de 60", MA I (ABC), MA:AB : a.

a) Sd se determine mdsurile unghiurilor lbcute de dreptele MB, MC, MD cu planui(ABC).b) Sd se determine tangenta unghiului fhcut de planul (MBD) cu planul (ABC).c) S5 se arate cdplanele (MBC) qi (MCD) fac cu planul bazei unghiuri congruente.

Clasa a VIII-a

t. i. Cifra x pentru care egalitateut 2*3t+UxZ-5*3 : 5xi6- este adeviratb, este:

ClasaaIX-a

Sd se arate cd existd a, b e R asrlel incdr a .J4xr +g(Jx, +4 -6: +r)< u.

V x e R. Care este cel mai mic numdr b care verificd,relalia?

S[ se demonstreze c6 patrulaterul care se obline prin unirea mijloacelor laturi]orconsecutive ale unui paralelogram este tot un paralelogram. (solulie vectoriald)

Fie ABCD paralelogram. SI se determine un punct M in interiorul paralelogramului

astfelincat Mf +ME+Me +MD: d

Se dau ?p € N, k e {1, 2,.... n - i}, uu > 2, distincte doud c6te dou6. Si se

/\/\/\demonstreze ca: I r-4 ll r-4 1... I r--! l-S1, (v) n e N, n 2 2.

I uill ut) [ u;-' ) 'n

t

1

ClasaaX-a

l. Sd se rezolve:a) (2 - i1z2 - 1+ - 12i)z + 14 - 12i : 0 in mullimea numerelor complexe.

b) an + B' : -l unde o,, B e C sunt rdddcinile ecua{iei *2 + x + I : 0, in N n [0; 100].

Fie a, b, x,y, z e R astfel incdt:(i) x. y, z sd fie in progresie geometricS,(ii) x, y + a, z sd fie in progresie aritmeticd,(iii) x, y * a, z + b sa fie in progresie geometricS.

Ceringe:a) sd se determine x, y, z pentru a: 4 qi b:32;b) sa se determine x. y, z pentru a, b oarecare.

r)acd a. b. c e (1, *). Sd se arate ca' I tog. *)['*, i")[,*. +)='Itezolvali ecualia: sin26x + cos4Ox I , U O"'.*stra!i cd mullimea solu{iilor acestei

rl" rta sub forma {{+nn lneZl. unde k e N se va determina.ccua1llsepoatereprezeflro:uu,".,,,"Ik',,'|||=Ll."'.".^

l. Srl se arate. cd nu existd numere naturale x,\x 4y r 3lz+1.

y, z astfel inc6t 31 tfo-.\iinr:t

Gh. Molea

J.

.t.

ARGE$

Clasa a V.a

l. S[ se arute cd numdrul n: 1+2.3+4.5.6+7.8.9.10+11.12.13-14.15 nu este pdtratpcrfect.

r. a) Sa se arate cd numdrul p: l.j+13:+133+...+132m este divizibil cu 10.

h) Sa se arate cA numdrul'l32ml poate fi scris ca sumd de doud patrale perfecte.Ioan Chera

-1. \i1 sc afle numdrul xyz Sriind ca xyzO_ xyz :2002.Ilie Trifon

.1. Sc considerd mullimea X: {1, 3,5,7, ..., (2n + 1), ...}. Construim urmitorul gir de

submul{imi ale mul}imii X: ,{1 : { 1 }, Az : {3,5}, A3 : {7.9,1 I }, g.a.m.d.

rr) Scrieli mullimile A+ fi As.b) Calculali suma elementelor mu1limii A2e.

Sorin Peligrad

Clasa a VI-a

7 2x+3v 3x+l 25l. lric u 2x+3y 3x+l 7 (x+2)'+(2y+l)'

irlirlc cd numerele a, b, c sunt simultan naturale daca 9i numai dacd d este numdr

ttrtlttral' sorin Perigrad

4. a) Fie A, B, C, D patru puncte coliniare, in aceastd ordine, astfel incatAB+AD :2.AC giBD:231 cm. Sd se afle lungimea segmentului [BC].b) Semidreapta [OC este bisectodrea unghiului AOB, iar semidreapta [OD este

interioard unghiului BOC. gtiind cd m({AOB) : p' li m(dCOD) : Qo, Sd se aflemdsurile unghiurilor AOD qi BOD.

Ticd Diacbnu L,asile, Dinuld Nicolae

Clasa a VII-a

l. a) Sd se arate cd nu existd x,y e Z astfel incat x2+ y2: x + y + 2001.

b) Fie n e N \ { I }, astfel in.5, -lr- 3 +-f +.. +-I- : | (*) si x : IQ{). Si se

: arate "d 1 * 4 + 9 *...* n' :o(x*).

x-l x-2 x-3 x-nIon Cojocant

(r 1 3 n \2. Fie 2'l *' * - +...+ " I > n(n -t l), a1,a2,a3....,on,on-1€N*. 56 se

\ a,a: dz?z staq anan*t )

calculeze p : 16Frq..-r,- .(ar +a: +a, +...+an*, f2 .

Gh. Molea3. Fie AABC, m(dB): 105", m(dC):30", D,Ee (BC), [BD]: [DC], {BAE = <CAE.

Si se afle m(<DAE).Sorin peligrad

4. In AABC, bisectoarea [BB', B'e (AC), intersecteazd mediana [AD], De (BC), in p.

a) S5 se determine ne N, astlel in*1 4l ?,9 : ,"PD AB'b) SA se arate cd, dacd triunghiurile AB'P gi BDP sunt echivalente, atunci P este

-centrul de,greutate al AABC.

. , d .I. Safta

Clasa a VIII-a

l. Exist[ numdrul natural xy3yx , 0are si fie pltrat perfect ?

2 ,1.2. Dacd a e [0, l]qib e [0, l], atunci .a-- a-e- < 1.b+1 a+l

: . Sorin Peligrad3. Fie AABC, m(dA) : 90", MB I (ABC), AC : b, AB : c, MB : a, MC : d,

ql-ro^rk^a. b, c, d e N. Sd se arate-cd, ffi . N.

4. Fie AABC, [AM bisectoarea unghiului A, astfel incdr MB:3.MC, Me(BC),BN = 2.NA, Ne(AB) 9i AD t (ABC). Sd se arare cd distanla d de la A la planul

AR,r-?. An(DNC) verificd rela{ia: a < ::: -j}Z

.

6,12

Gh. Molea

Ilie Trdbn

^^-'BACAI.-I

t. Sd se arate cA suma: S:2001p+ 2001p+... + 2001p, avdnd 2000 de termeni..estetlivizibild cu 87. 103. unde p este numdr natural.

" I.Radul. Sc dd numdrul: a: 20 + 2t + 22 * 23-,-22n1 gi propozilia p: "a este impar gi a este

pAfiat perfect". S.d se precizeze gi s[ se justifice dacd propozilia p este adev6rat[ sau

Inlsd.'r Gh. Gandu

.1. l)ieA: {"b Iab:a.b+a+b,agibsuntcifie inbazal'O}.SAsedeterminecardinalul"nrultimiiA.

Costicd Lupu't^1. lrio numerele a:5n+3 $i b:8n+5, neN. Ardtali c.6 [a,b]: abloricare ar fi n e N.

CLASAaVI-a

l . ;r) lrie numdrul:

;r 123 + 23 - 2+ + zt * ... -t'ti [n, *5-, o*+f-*2 *_* 1 g25. ., .n:rbz?)\

Sn se arate cd a e N.Fl. Ganaite

b) Sd se determine cele mai mici numere naturale nenule x, y, z, u pentru care avem:

x _ 5y - 7z - llu.y lz 1lu 5x'

., i E. Tarasa

]. SLrma dintre produsul gi raportul a doud numere naturale nenule este 260. Sd se aflerrrrrnerele.

l./. Stoical. I irr numdr A de 2001 cifre este scris cu cifrele"4, 5, 6 qi cu 606 zerouri. Numerele de

irlrarilii ale cilielor 4 5 .li 6 sunt direct propo4ionale cu 4, 5 gi 6. Sd se arate cI A nu(.\tc palrat perfect.

costicd Lupu

L t lnghiurile {AOB gi dBOC sunt adiacente suplimentare, m({AOB) : 45'. in;rcclagi semiplan cu (OB, construim OD I OB. Fie [OM bisectoarea unghiuluirllOP $i IOR bisectoarea unghiului {DOM'. unde [OP este bisectoarea lui {COD

;;i IOM' este opusa semidreptei [OM. Sd se determine mdsura unghiului dPTrl O,Orr,

Clasa a Vll-a

(')rrrt. trc rnuttimite: A: 1*.zl*'-4eNf sie: ]u.zl2v*l.Nl.: I lx J' t' lv-r )

;r) Str se calculeze (A\B) n (B\A).lr) Sd se arate cd: 1A\B) u te\Al : (A u B) \ (A

^ B).

Gh. Gandu

:

2.

3.

Fie E : (a + 3)(b + 4)(c + 5Xd .t 6). unde a, b, c, d sunt nLrmere reale pozitive astfel

incat ad :2^bc = 5. Sa se arate cd E > 64.Casticd Ltrpu

in exteriorul triunghiului ABC oarecare se construiesc pdtrateie ABMN 9i BCDE.gtiind cA Pe (AC), astfel inc6t BP I ME, precizali pozilia punctului P.

' E. Tarasa

in AABC oarecare, fie D e 1BC). Bisectoarea unghiului ADB intersec-teazd pe AB

Costicd Lupuin E. Sd se arate c5: DE2: AD.BD - AE.BE.

ClasaaVIII-a

4.

)

J.

4.

calculali lungirnea

Gh. Gandu

nriron

Clasaa V-a

Dete'rmina{i baza de numerafie x qtiind cd: 123 61 + 321 <*t : 228,

ftadu Ghenghitt, OradeaSuma a trei numere este 57. DacI impirlim primul numdr la al ll-lea obtinem cdtul 3

gi restul 1,, iar dacdimpd(im al ll-lea numerr U at III-lea ob{inem cdtul 3 qi restul 1,

Sd se aflq numerele.***

FieA={ xeNlx <a:21, a: 1 + 2 +3 +... + l8 + lg +20}qi B={yeNl S.y<15}.Calculafi: A u B, A n B, 4 \ B,^B \A.Compara{i numerele a: 2n + 2e0 + Zet - 2P qi b : 362.

,

a

J

1.

2-

3.

4.

l. a) Dacd a ) b 2 c > 0, atulci /[+ffi:U)+i6".F:d < a + b.

b) Afla1i x, y, z e R, pentru care: ,[7;g; <3+22-22.

Funcfia,f ,:R -+ R verificd relalia f(2x + l):3x -punctele de pe graficul lui fcare au coordonate intregi.

Pe planul pdtratului ABCD se ridicd perpendiculara

AE I CE 9im(dEBD):2.m(dCAE), aflafi:a) mdsura unghiului dintre planele (BDE) ti (ABC);'b) misura urtghiului dreptei DE cu planul (ABC).

Fie AABC isoscel, cu AB:4C: a qi BC: u,r6, VaF : pry6B (proieclii ortogonale).

a) Dacd unghiul dreptelor AE gi BF este "u" qi sin u

segmentului MA.b) Calcula{i "u" in cazul in care F coincide cu M.

I. Rafui, Gh. Ganfut

l, V x e R. Sd'se determine

Gh. Neagu

ME. unde M e (AC). Dacd

E. Tarasa, Costicd Lupu

I (ABC), E : p4y6.A qi

2x2 +12x+27 +

Clasa a Vl-a

l. Sd se determine elementele mui{imii: A : t ub. .N i ub' *uAt .i :2000}

ll. L,a tezade matematicd elevii unei clase au primit o problemd de algebrd ,, unu-JJgeometrie. Se gtie cd 5 elevi au rezolvat corect ambele probleme, 680/o au rezolvatcorect problema de algebrd,"iar 52%o au rezolvat corect problema de geometrie. Sd se

a fle:

a) cali elevi sunt in clasa;b) c6!i elevi au rezolvat corect problema de algebrd;c) c6!i elevi au rezolvat corect problema de geometrie.

lll.Ar[tafi cI numdrul

llne N.

lV. Fie punctele A, O, B e d, sbrise in aceastd ordine, iar punctele C gi D situate de o

parte gi de alta a dreptei "d" astfelincat m1{f,}).: 10', iar m16G;:f .*16&;,

runde (OE este bisectoarea unghiului f6dl. Sd se arate cd orice punct Q de pe

bisectoarea unghiului fdD este coliniar cu punctele O qi C.Romulus PleSa, L'iorica Plega, Oradea

\'. l)acd adundm jumdtatea, sfeflul gi optimea misurii unghiului x, oblinem suplementulsi1u" Care este mdsura complementului suplementului unghiului x?

**+

Clasaa Vll-a

l. Sr1 se determine baza de numeratie x, gtiind cd:

@- l: 12 -22+32+42 +52.

Radu Ghenghitt, Oradeaff. Si se arate cd numdrul 24n se poate scrie ca o diferenld de doud pdtrate perfecte

ncnule, pentru orice n e N*.Florin Nicoard, Oradea

lll. Sri se determine numerele naturale, piime x, y, z qtiind cd:

(x + 3y - 4z)(8x- 36) : (2x - 3y + 4z)(36 - 5x).

Romulus PleSa,' Viorica P leSa. Oraclea

l\'. irr p.ltratul MNPQ not5m cu O interseclia diagonalelor gi cu G1, Gz, G:, G4 centreletlc greutate ale triunghiurilor MON, NOP, POQ respectiv QOM. SA se arate cd G1,r ; ,. ( i;. Ga sunt varfurile unui pdtrat.

S:abd Gyongyi. Oradea

\'.lrr palrulaterul convex ABCD se qtie ca: 6RD : iDa, M e [AD], MA : MD,All n CD: {N}, $tiind cd distanlele de la punctul O la laturile AB gi CD sunt egale,.

';tt sc clcmonsu"''

:punctele

M' o $i N sunt coliniare" Flori'n '\'licoard' oradea

n(n+l) r

-

+ +. 10" estenurnArnatural,oricarear29A=!+9

clash a; vJ.II,a

l. Fie x, y e R. astfel incdt x -y+ l:O li y e [,3]. Arita{icd:

x2 + y2 -2y + I + /x2 i y,' 4x"6y +13 _ nli- L\t:

2. Sb se demonstreze cd numbrul

P = x(x + t) zox-s(x + ll + 2 estedivizibilcu3.Vxe Z.3. Fie prisrna patrulaterd regulatd ABCDA'B'C'D'. Diagonala BD' formeazd cu fala

ADD'A' un unghi de 30'. $tiind cd latura bazei este a sd se afle:a). d(B', AD'):b). d(D" AC):c). fie E gi F mijloacele muchiilor CC' respectiv AB. SA se afle aria triunghiuluiEFD"

ClasaaIX-a

I.Se considerd ecuatia :

r

xl + 1rn-i)x + I I+"l.[++.]+...+[--!+:1.]++=0. unde m € N*o

L K I LK+rJ LK+m-tl

k e [+,t ),

ia, [...] reprezintd partea intreagd a numarului respectiv.'

a) Sd se determine rn €N* astfel incat intre rdddcinile ecualiei sd existe relalia

x? + xi =!.,.,','.-3.b) Sd se determine intre rdddcinile ecualiei o relatie independentd de m.

***II. Sd se demonstreze cd. Va,b > 0 astfel incAt a + b : I are loc inegalitatea :

Ji *Ji *-t*-t >3JtJa .Jb

Andrtas S2itard, ClujIII. SA se deternfine o formuli pentru calculul sumei de mai jos , apoi si se.demonstreze

veridicitatea acsteia prin metoda inducliei matbmatice: !S = tJi, ;71+tJT. z. + s1 +... + 1n/'r1n + ryn +Z1n +9 l, n e Nx

' unde [...] reprezintdpartea intreagd a numf,rului respectiv.loan Cuc. Oradea

lV. SA se demonstreze cd distanla de la centrul cercului circumscris unui triunghioarecare la o laturd A sa; este egald cu jumf,tatea distanlei de la ortocentrultriunghiului la vArful opus acestei laturi.

, tF*+'

V. Se considerd hiunghiul ABC cu lungimile laturilor AB : c, AC = b, BC = a.

Se noteazd cu P interseclia dintre mediana BD (D e t AC]) gi bisectoarea CE 'a

unghiului BCA (E e feel;. SA se determine in funcfig de lungimile laturilortriunghiului ABC, numerele reale x gi z astfel incdt dd aio-d loc relafia :

pA = xpB+ypC

Clasaa X-a

l. a) Str se demonstreze cd,Y a, b, c. d e R- are loc inegalitatea:

J* *.60 < J6; bF +Cb) Sd se demonstreze c5:

r -

r-------: /r \./a.logu*oJza +a/u.logu_o "lza <Ja+b va.be l*.*- I., ___i2. J

.***l4* *98=2.3v+zt-

ll. S?l se rezolve sistemul : j l, -: | - 2.52+t

[25'+103-2x+rprof. Romulus P!eSa. prof. I'iorica PleSa. Oradea

lll. SIsedemonstrezec5,dacl,Zl,h,...,zne C* li lzrI : lt l:...: l."l atunci:( ,\( z^) ( r \f z )ll+ ' ll l+ ' i...ll+ " ll l+ ' le R.l, ', Ji- .')l '"'jl ,^)

. **:3

lV. Mtrsurile unghiurilor unui triunghise noteazd cu o, B, y. Dacd (l+tg o).(l+tg B):2,sr'l se calculeze y.

\'. Sil se determine x e R pentru care log. l. Iogr(-cos2x) log, cos: x sunttermeniiconsecutivi ai unei progresii aritmetice.

***

l. ltczultatul calculului: ,

rr) 10.{4 10.[2 - 10.(4S - 48:4)]l este .............:hy 215.420.83. 165 este ...... .

l{r:zultatul sumei in baza l0:rr ) I I I 0 I 1"1- I 2 I I 13;+ 2l l3u,yeste ...-......... ;

lr) l20r+) ,242st- 361ry este ...... .

I lcrncntele mullimii:;r)A ={xlxeZ^_2<x<3}sunt ...........;lt)l] {ylye N,3 <y<9} suntlo:rlc numeiele de forma:

;rl 2tr3bi 360'sunt..-.; ' '. ,

l)) l 3x2y:45 sunt .... .

lrornra simpld prin care numdrul d =1 Sln+lnll.32n+1-21,n;3112 se poate,ardta;ca'este,livizibil cu l3,este....".. , : .. :

tiri.tili"*o"[;;;"l;-.9i.ypentrucarefra.c1ia:4

;r ) este supraunitard;(x+lxy-3)4

lr ) este echiunitard.1r +l)(y-3)

t,

{r,

.4. - NASAUD

8. Un numSr naturpl de 3 cifre, Scris in baza 10, impdrfit la rdsturnatul sdu dd cdtul 2 girestul 100. Aflati num6rul, gtiind cd diferenta dintre cilla surelor 9i cea a;;il{ll.;;

I I. 7. SA se arate cd numdrul A : xyzt, + try- se divide cu I I .

este 4.

ClasaaVI-a

l. l. Dacd n = 35+5x*l0y gi x+2y 121, atunci:a) numdrul n esre ... ........;b) valoarea logicd a propoziliei 7ln esre ...... .

2. Rezultatul calculului:I

a) 2.(3):3: : ......i2

t2b)2,1(6Y2.(3):3 ---'23

3. Se 5tie ca 1 - fl.520a) Valoarea raponului I .r,. ...... .

vb) x reprezintd ...... %o din y.

4. Doud unghiuri sunt adiacente suplementare.a) Mdsura unghiului-fonmat de bisectoarele lor este......o.b) Dacd unul din ele are mdsura 58o 36', atunci celdlalt are mdsura .. . . .. .

5. Unghiul asculit format de doui drepte concurente reprezintd 20% din masuraunghiului obruz.a) Mdsura unghiului obtuz este......o.b) mdsura ungt',iutri asculit este ......o.

6. Pe o dreaprd se considerd punctele A. B, c in aceasrd ordine. M este mijlocut lui[AB],Nmijlocullui[BC],MN_8cmqiBC:6cm.Atunci:a) lungimea lui [AB] este...... cm;b) lungimea lui [MC] esre...... cm.

II. l. Sd se determine mdsurile u gi v a doud unghiuriu a.(b). -- : -+ . iar b este un divizor. impropriu al lui a.v b. (a)

complementare, gtiind cd

Fie segmentul [ABl gi punctele c gi D in acelagi semiplan fard de dreapta AB. astfelincdt [AD] : [BC], m(<DAB) : m(<CBA) < 90. si (AC) n (DB) : {O}.Demonstrali c5:

a) [AC]= [BD]:b) ADoc este isoscel'

roan Duicu

ClasaaVII-a

(s r'.2)J ___+_ I.

l&s Jn sJi )

I. l. Efectudnd calculele

.22b-al)aca

-

:a

'30, atunci *: ....,.

I t-"6.1. ('cl mai mare numdr intreg x. cu proprietatea cd - ' =- este ..'...

4. rrie x : Jt -J; tiy:.6+J2 . atunci:

a) diferenla dintre media aritmeticd 9i media geom etricd alui x 9i y este .. '...;b) media ponderatd cu ponderile 3 9i respectiv 2a lui x 9i y este .'.... .

l-- tr3. l)acd m: J5 -Ju -rls-Ju -Js. atuncimzffi' : ...... .

0. r,cua(ia G-r)(..6*z): [* +)' ,oo, aresoru1ia.......

7, l'aralelogramul ABCD are m(dA):60o, BD I AD li AB: 10 cm. Atunci:

ir) AD:........ cm:b) Perimetrul paralelogramului ABCD este .'..... dm.

ll, lrie ABCD un trapez isoscel cu ABllCD. Dacd 4'm(dA) : m(dC), atunci

rn({A)g. in rombul ABCD, E gi F sunt mijloacele laturilor [AB], respectiv [cD]. DacS

rn({B) : l20o,dtunci patrulaterul BEDF este ....'......... .

ll. 10. Sd se rezolve in mullimea numerelor integi ecualia: x3y+x2y2: 56.

lr. l)acd a : (-11) (-12) (-13)...(-20) $i b : 28'(-1) (-3) (-5)... (-19), sd se arate cd

r:, /1 este numir natural.VU

12. irrtr-un rriunghi ABC se dau: (AD bisectoare. D e (BC): (CE mediand. E e (A.B);

lADl= [cE] 9i m(<AoE):60", {o} : ADnCE. Sf, se demonstreze cd" AABC este

cchi lateral.Autolul testului: Sanda Nicolae

ClasaaVIII-a

t.l,io A: {xeR lF- rl<4}, B: {xe n llx+ 1l>2\.l)AnN:........:.....h) AnB

IL l)rrcd x e R* $i x- - : 3, atunci:

X

,lIt) x-r -; : ......;

x-.l

b) x' .x

.1. l)acd MA I (ABC), MA = 4,8 cm giAB: BC: l0 cm, AC: 16 cm, atunci distanla

tlc la punctul M la dreapta BC este .'.... ..... crn.

,1. Itic ABCDA'B'C'D' un paralelipiped dreptunghic cu AB : 4 cm, BC : 8 cm 9i

AA' = 12 cm. Tangenta unghiului dintre dreapta BD' qi planul (DCC') este