TESTE DE MATEMATICA PENTRU ADMITERE 2011 · i) S˘asea ﬂe aastfel ˆıncˆat ecuat¸ia s˘aaib...

TESTE DE MATEMATICAPENTRU ADMITERE

2011

March 28, 2011

Cuprins

1 Algebra 3

2 Analiza matematica 43

3 Trigonometrie 69

4 Geometrie 77

5 Indicatii si raspunsuri 815.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.4 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1

2 CUPRINS

Capitolul 1

Algebra

1. Fief : R→ R, f (x) = ax2 + bx+ c,

unde a, b, c ∈ R si a 6= 0. Atunci functia este:(a) injectiva ; (b) surjectiva ; (c) monotona ; (d) marginita ;

(e) nici injectiva, nici surjectiva.

2. Trinomulx2 + 2ax+ b, a, b ∈ R

are radacinile strict negative daca:

a) a ≤ 0 si a2 ≥ b; b) a ≥ 0 si b ≥ 0; c) 0 < b ≤ a2 si a > 0;

d) a ≤ 0 si b ≤ a2; e) 0 ≤ b ≤ a2 si a > 0.

3. Radacinile ecuatiei

mx2 + 2(m+ 1)x+ (m− 2) = 0

au semne contrare daca

(a) m ∈ (−∞, 0) ; (b) m ∈£−14,∞¢; (c) m ∈ (0, 2) ;

(d) m ∈ (0,∞) ; (e) m ∈¡−14, 2¢.

4. Fie ecuatiax2 + 2(m− a)x+ 3am− 2 = 0,

ın care a si m sunt parametri reali.

3

4 CAPITOLUL 1. ALGEBRA

i) Sa se afle a astfel ıncat ecuatia sa aiba radacini reale, oricare ar fim ∈ R.ii) Sa se afle m astfel ıncat ecuatia sa aiba radacini reale, oricare ar fia ∈ R.

(a) |a| <r8

21, |m| >

r8

21;

(b) |a| ≤r8

21, |m| ≤

r8

21;

(c) |a| ≥r8

21, |m| ≥

r8

21;

(d) |a| >r8

21, |m| <

r8

21;

(e) |a| >r8

21, |m| >

r8

21.

5. Valorile parametrului real m determinat astfel ıncat inegalitatea

mx2 + (m+ 1)x+m− 1 > 0

sa nu aiba solutii sunt:

(a) m ∈ (1− 1√3, 0); (b) m ∈

³1− 2√

3, 0´; (c) m ∈ (1 + 2√

3,∞);

(d) m ∈³−∞, 1− 2√

3

i; (e) m ∈ (−1, 0) ∪

³0, 1 + 2√

3

´.

6. Sa se determine m ∈ R astfel ıncat inecuatia

mx2 + (m− 1)x− (m− 2) > 0

sa nu aiba nici o solutie reala.

(a) m ∈h5−2

√5

5, 5+2

√5

5

i; (b) m ∈ (−∞, 0);

(c) m ∈³−∞, 5−2

√5

5

´; (d) m ∈ ∅; (e) m ∈

³5+2

√5

5,∞´.

7. Valorile parametrului m pentru care inecuatia

x2 + y2 − 4x− 4y +m > 0

5

este adevarata pentru orice x, y ∈ R sunt:

(a) m ∈ (−∞, 0) ; (b) m ∈ [0,∞] ; (c) m ∈ (8,∞) ;(d) m ∈ (4,∞) ; (e) m ∈ (0, 4) .

8. Valorile parametrului m pentru care inecuatia

(m− 1)x2 − (m+ 1)x+m+ 1 > 0

este adevarata pentru orice x ∈ R sunt:

(a) m ∈ (1,∞) ; (b) m ∈µ5

3,∞¶; (c) m ∈

∙1,5

3

¸;

(d) m ∈µ−1, 5

3

¶; (e) m ∈

µ1,5

3

¶.

9. Sa se determine valorile reale ale lui λ pentru care

λx2 − 2 (λ− 1)x+ λ+ 2 > 0, ∀x ∈ [0, 3] .

(a) λ > 0; (b) − 2 < λ ≤ 0; (c) λ ≥ 0; (d) λ > −2; (e) λ ∈ ∅.

10. Se considera ecuatia x2 + ax+ a = 0, ın care a ∈ R. Se noteaza cu x1 six2 radacinile sale (reale sau complexe). Sa se determine a astfel ıncat

x31 + x32 < x21 + x22.

(a) a ∈¡1−√3, 1 +

√3¢; (b) a ∈

¡1−√3,∞

¢;

(c) a ∈ (−∞,−1) ∪¡1, 1 +

√3¢; (d) a ∈

¡1−√3, 0¢∪¡1 +√3,∞

¢;

(e) a ∈¡1−√3, 0¢∪¡0, 1 +

√3¢.

11. Pentru m ∈ R\ {1} se considera ecuatia de gradul al doilea ale careiradacini x1 si x2 verifica relatiile:(

4x1x2 − 5(x1 + x2) + 4 = 0

(x1 − 1)(x2 − 1) =1

1−m

.

Atunci −1 < x1 < x2 < 1 pentru:

(a) m ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞); (b) m ∈ (−∞, 3); (c) m ∈ (0,+∞);(d) m ∈ (−∞,−3); (e) m ∈ (−3,−1) ∪ [0, 1).


12. Numarul solutiilor sistemului½x2 − 3xy + y2 = −13x2 − xy + 3y2 = 13

este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 4; (e) 8.

13. Solutiile sistemului ½xy + x+ y = 11x2y + xy2 = 30

sunt:

(a) (x, y) ∈ {(−2, 3), (−3, 2)}; (b) (x, y) ∈ {(1,−5), (−5, 1)};

(c) (x, y) ∈ {(2, 3), (1, 5)} (d) (x, y) ∈ {(3, 2), (5, 1)};

(e) (x, y) ∈ {(2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1)}.

14. Valorile lui x ∈ R pentru care are loc inegalitatea:¯2x2 − 1x2 − 1

¯< 1.

sunt

(a) x ∈"−r2

3,

r2

3

#; (b) x ∈

∙− 2√

3,2√3

¸; (c) x ∈

Ã−r2

3,

r2

3

!;

(d) x ∈Ã− 2√

3,

r5

3

!; (e) x ∈

Ã−r2

3,

r2

3

!r {0} .

15. Valorile lui x ∈ R pentru care are loc inegalitatea:¯x2 + 3x+ 2

x2 − 4x+ 3

¯< 1.

sunt

(a) x ∈ (1, 3) ; (b) x ∈ (−∞, 1) ∪ (1, 3) ; (c) x ∈µ1

7, 3

¶;

(d) x ∈µ−∞,

1

7

¶∪ (1, 2) ; (e) x ∈

µ−∞,

1

7

¶.

7

16. Multimea solutiilor inecuatiei

1−√1− 4x2x

< 3

este:

(a) x ∈ R; (b) x ∈£−12, 0¢∪¡0, 1

2

¤; (c) x ∈

£−12, 12

¤;

(d) x ∈£−13, 13

¢; (e) x ∈

£−12, 0¢∪¡0, 6

13

¤.

17. Sa se rezolve ın R ecuatia:√x− a+

√x− b+

√x− c+ d = 0, a, b, c ∈ R, d > 0.

(a) ∅; (b)n±p|a− c|,±

p|b|o; (c)

(−r|a+ b|2

,

r|a+ b|2

);

(d)n±p|a|,±

p|c|o; (e)

(−r|a+ b+ c|

2,

r|a+ b+ c|

2

).

18. Multimea valorilor x pentru care√3x− 1−

√3x+ 1 > −1

este:

(a)¡512,+∞

¢; (b)

¡−13,+∞

¢; (c)

¡13,+∞

¢;

(d)¡−13, 13

¢; (e)

¡−∞, 5

12

¢.

19. Sa se rezolve inecuatia: r1 + 4x

x< 1.

(a) x ∈µ−13, 0

¶; (b) x ∈

µ−∞,−1

4

¶∪ (0,∞) ;

(c) x ∈µ−13,−14

¶; (d) x ∈

µ−∞,−1

4

¸∪ (0,∞) ;

(e) x ∈µ−13,−14

¸.


20. Multimea solutiilor inecuatieip|x− 6| >

p|x2 − 12x+ 36|

este:

(a) x ∈ R; (b) x ∈ (5, 6) ∪ (6, 7); (c) x ∈ [1, 2] ;

(d) x ∈ (−∞, 3) ; (e) x ∈ (−2, 1) .

21. Care este relatia dintre numerele:

a =3

q2 +√3, b =

q1 +√2.

(a) numerele nu pot fi comparate; (b) a ≥ b; (c) a = b;

(d) a > b; (e) a < b.

22. Numarul a =3p6√3− 10− 3

p6√3 + 10 apartine multimii

(a) N; (b) Z; (c) Q\Z; (d) R\Z; (e) R\Q.

23. Se considera functia

f : I ⊂ R→ R, f(x) =

s1 + (4− a2)x− x2

a(1 + x2), a ∈ R∗.

Sa se determne a astfel ıncat I sa fie un interval de lungime minima.

(a) a = 2; (b) a = −2; (c) a = 1; (d) a = 3; (d) a = 4.

24. Multimea solutiilor sistemului de inecuatii⎧⎨⎩ |x− |x− 1|+ 1| ≤ 2¯x− 12x

¯≤ 1

este:

(a) (−∞,−1) ∪£15,+∞

¢; (b) (−∞,−2); (c) (−1, 1];

(d) {−1} ∪£13,+∞

¢; (e) (−1, 0).

9

25. Sa se determine m ∈ R astfel ıncat

f : R→ R,f(x) =

½x2 + 2mx− 1, x ≤ 0

mx− 1, x > 0

sa fie functie injectiva pe R.

(a) m ∈ (−∞,−1); (b) m ∈ (1,+∞); (c) m ∈ (−∞, 0);

(d) m ∈ (0,+∞); (e) m ∈ (2,+∞).

26. Sa se determine m ∈ R astfel ıncat

f : R→ R, f(x) =

½x+m, x ≤ 12mx− 1, x > 1

sa fie functie surjectiva pe R.

(a) m ∈ (−2, 0); (b) m ∈ (0, 2]; (c) m ∈ (0,+∞);(d) m ∈ (0, 3); (e) m ∈ (−∞, 0).

27. Fief : R→ R,f : R→ R,f(x) = max (2x− 1, x+ 1) .

Atunci

(a) f e descrescatoare pe R; (b) f ◦ f e constanta pe [0, 2];(c) f nu e injectiva pe R;

(d) g : R→ R, g(x) =

( x+ 1

2, x ≥ 2

x− 1, x < 2e inversa functiei f ;

(e) g : R→ R, g(x) =

( x+ 1

2, x ≥ 3

x− 1, x < 3e inversa functiei f .


f(x) =x2 + (m+ 1)x+m+ 2

x2 + x+m.

Sa se determine parametrul real m, astfel ıncat f sa fie definita pe R sisa avem f(x) ≤ 2 pe R.(a) m ∈ (1, 3) ; (b) m ∈ (3,∞) ; (c) m = 3;

(d) m ∈ (0, 3) ; (e) m ∈¡1,√3¢.


29. Fie ecuatia q1−√x4 − x = x− 1.

Numarul radacinilor ecuatiei este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3; (e) 4.

30. Suma H =3p20 + 14

√2 +

3p20− 14

√2 este egala cu:

(a) H = 5; (b) H = 16; (c) H = 5 +√2;

(d) H = 5−√2; (e) H = 4.

31. Se considera functia f : Z→Z

f (n) =

½k, pentru n = 3k + 1, k ∈ Z

n, pentru n = 3k sau n = 3k + 2, k ∈ Z,

(∀)n ∈ Z. Este f injectiva? Dar surjectiva?(a) f este injectiva si surjectiva;

(b) f este injectiva si nesurjectiva;

(c) f nu este injectiva, dar este surjectiva;

(d) f nu este injectiva si nici surjectiva;

(e) f nu este injectiva si f este surjectiva daca si numai daca numarul keste par.

32. Multimea valorilor x pentru care

ex + 1 > 2e−x

este:

(a) R; (b) (−∞,−1) ; (c) (−∞, 0) ; (d) (1,+∞) ; (e) (0,+∞) .

33. Numarul de solutii reale ale ecuatiei

2x + 2x+1 + 2x+2 = 6x + 6x+1

este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3; (e) 4.

11

34. Sa se rezolve ecuatia:52x − 3 · 5x + 2 = 0.

(a) x = 0si x = log5 3; (b) x = log5 2 si x = 0; (c) x = 1 si x = 0;

(d) x = 2 si x = 0; (e) x = −1.

35. Multimea solutiilor ecuatiei

2|x+1| − |2x − 1| = 2x + 1

este:

(a) (−∞,−1) ; (b) [−1, 0] ; (c) (0,+∞) ;(d) {−2} ; (e) [0,+∞) ∪ {−2} .

36. Solutiile ecuatiei ³√3 + 1

´x+³√3− 1

´x= 4

³√2´x

sunt:

(a) x ∈©log√3+1

¡2 +√5¢, log√3+1

¡−2 +

√5¢ª;

(b) x ∈©log√3+1

¡2 +√5¢ª;

(c) x ∈©log√2

¡1 +√3¢, log√2

¡−1 +

√3¢ª;

(d) x ∈©log2+

√3

¡1 +√3¢ª;

(e) x ∈©log√3+2

¡7 + 4

√3¢, log√3+2

¡7− 4

√3¢ª

.

37. Daca log12 2 = k, atunci log6 16 are valoarea:

(a)k

1− k; (b)

1− k

k; (c)

4k

1− k; (d)

1− k

4k; (e)

3k

4.

38. Sa se determine valorile lui m ∈ R astfel ıncat inegalitatea

(m− 2)4x + (2m− 3)2x+1 +m > 2

sa fie adevarata pentru orice x ∈ R.(a) m ∈ [2,∞); (b) m ∈ (2,∞); (c) m ∈ (−2,∞);

(d) m ∈ ∅; (e) m ∈ (−∞, 0) ∪ (2,∞) .


39. Sa se rezolve inecuatia

log2a x− 3 loga x+ 2x2 − 4 > 0,

unde a > 2 este o constanta.

(a) x ∈ (2, a2) ; (b) x ∈ (a, a2) ; (c) x ∈ (0, a2) ;

(d) x ∈ (2,∞) ; (e) x ∈ (2, a) ∪ (a2,∞) .

40. Numarul solutiilor ecuatiei

x+ 2x + log2 x = 7.

este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3; (e) 4.

41. Expresia:

E =lg a

1n + lg a

3n + · · ·+ lg a 2n−1

n

lg a2n + lg a

4n + · · ·+ lg a 2n

n

, a > 0, a 6= 1

este egala cu:

(a) n; (b)n+ 1

n; (c) n

n+1; (d) n (n+ 1); (e) 1.

42. Sa se rezolve ecuatia:

loga x+ loga2√x+ log√a x

2 =21

2,

unde a ∈ R∗+ \ {1} este un parametru real.

(a) x =1

2; (b) x = a2; (c) x =

√a; (d) x =

1

4; (e) x =

a

2.

43. Sa se rezolve inecuatia:

log3 x > log9(5x− 4).

(a) x ∈¡0, 4

5

¢∪ (1,∞) ; (b) x ∈ (0, 1) ∪ (4,∞) ;

(c) x ∈¡45, 1¢∪ (4,∞) ; (d) x ∈ R; (e) x ∈ ∅.

13

44. Valorile lui x ∈ R pentru care este adevarata inegalitatea

log x+42

µlog2

2x− 1x+ 3

¶< 0

sunt:

(a) x ∈ [−2,∞); (b) x ∈ (−4,−3) ∪ (2,∞); (c) x ∈ (−4,−2);

(d) x ∈ ∅; (e) x ∈ (−∞, 0) ∪ (2,∞) .

45. Valorile lui a pentru care inegalitatea

log a−1a+1(x2 + 3) ≥ 1

este adevarata, oricare ar fi x ∈ R sunt:

(a) a ∈ (−∞,−1); (b) a ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞);(c) a ∈ (−∞,−2]; (d) a ∈ (−∞,−4]; (e) a ∈ ∅.

46. Sa se rezolve inegalitatea

log x28 + log x

48 <

log2 x4

log2 x2 − 4 .

(a) x ∈ (0, 2) ∪ (4,∞) ; (b) x ∈ (4,∞) ; (c) x ∈ (2, 4) ∪ (4,∞) ;

(d) x ∈ (0, 1) ∪ (2, 4) ; (e) x ∈ (0, 4) ∪ (16,∞) .

47. Multimea solutiilor inecuatiei:

log2

µlog 1

3

µ¯x− 12x+ 3

¯+ 1

¶+ 16

¶< 4

este

(a) R\©−32

ª; (b) R\

©−32, 1ª; (c) ∅;

(d)¡−32, 1¢; (e)

¡−∞,−3

2

¢∪ (1,∞) .


log2a x− 4logb2 x+ 1

> 0,


unde b > a > 1 sunt constante, este:

(a) x ∈µ1

b,1

a

¶; (b) x ∈

µ1

b2,1

a2

¶∪ (a,∞) ;

(c) x ∈µ1

b2,1

a2

¶∪ (a2,∞) ; (d) x ∈

µ0,1

b2

¶∪ (a,∞) ;

(e) x ∈³√

a,√b´∪ (b,∞) .


loga x+ logax x > 0

pentru a > 1, este:

(a) x ∈ (2,∞) ; (b) x ∈ (1, 2) ; (c) x ∈ (1, a) ;

(d) x ∈ R; (e) x ∈¡1a2, 1a

¢∪ (1,∞) .


log5 x > log125(3x− 2)

este:

(a) x ∈ (−1, 0) ; (b) x ∈¡23, 1¢; (c) x ∈ (−1, 1) ;

(d) x ∈ R; (e) x ∈¡23, 1¢∪ (1,∞) .


log1−x(x+ 1) ≥ 2

este:

(a) (−∞, 0) ∪ (3,∞); (b) (0, 3); (c) ∅; (d) (0, 1); (e) (−1, 1) .

52. Sa se precizeze multimea solutiilor inecuatiei:

logx

µlog 1

x

µ1 +

1

x

¶¶< 0.

(a) (0,∞) ; (b) (0, 1) ; (c) (1,∞) ; (d) (0,∞) \ {1} ; (e) ∅.

15

53. Sa se rezolve inecuatia

log2(9− 2x) > 3− x.

(a) x < 8; (b) 0 < x < 3; (c) 2 < x < 4; (d) x > 3;

(e) nu exista solutii.

54. Numarul radacinilor reale ale ecuatiei

(1 + i)x4 − (3 + i)x3 + (5 + i)x2 − 4x+ 2 + 2i = 0

este:

(a) 4; (b) 3; (c) 2; (d) 1; (e) 0.

55. Se da ecuatia3x3 + 2x2 + ax+ b = 0,

ın care a si b sunt parametri reali. Se cer conditiile pe care trebuie sale ındeplineasca a si b astfel ıncat ecuatia sa admita o radacina egala cu−2, iar celelalte radacini sa fie reale si pozitive.

(a) a = 8, b =1

3; (b) −8 ≤ a ≤ −20

3, b = 2a+ 16;

(c) −8 ≤ a < 4, b = 1; (d) a ≥ 2, a+ b > 0; (e) a = −8, b = 2a+ 16.

56. Sa se determine S = a+ b+ c+ d, unde a, b, c, d ∈ R sunt coeficienti aipolinomului

x4 − x3 + ax2 + bx+ c

astfel ca la ımpartirea acestuia prin x2 + d sa obtinem restul x, iar laımpartirea prin x2 − d sa obtinem restul −x.(a) S = 2; (b) S = 1; (c) S = 0; (d) S = −1; (e) S = 3.

57. Cele patru radacini ale polinomului

x4 − αx3 − αx+ 1 = 0, unde α ∈ (−1, 1) ,

au modulele

(a) doua mai mici ca 1 si doua mai mari ca 1 ; (b) toate egale cu 1 ;

(c) toate mai mici ca 1 ; (d) toate mai mari ca 1 ;

(e) toate negative, deoarece radacinile sunt complexe.


58. Numarul 1 este pentru polinomul

x2n − nxn+1 + nxn−1 − 1, n ≥ 3,

radacina avand ordinul de multiplicitate egal cu:

(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4; (e) n+ 2.

59. Fie f ∈ Z [X], f = a0+a1X+a2X2+a3X

3. Sa se determine a0, a1, a2, a3astfel ıncat

f(1) + f(2) + ...+ f(n) = n4, ∀n ∈ N, n > 0.

(a) a0 = −1, a1 = 4; a2 = −6, a3 = 4;

(b) a0 = 4, a1 = −6; a2 = 4, a3 = −6;

(c) a0 = −1, a1 = 6; a2 = −4, a3 = 6;

(d) a0 = a1 = a2 = a3 = 1;

(e) a0 = −a1 = a2 = −a3 = 1.

60. Sa se determine S = a2 + b2 unde numerele reale a si b sunt coeficientiipolinomul

P (x) = x4 − 2x3 + x2 + ax+ b

determinati astfel ıncat acesta sa se divida cu x2 + 1.

(a) S = 2; (b) S = 5; (c) S = 1; (d) S = 4; (e) S = 10.

61. Daca x1 = i este o radacina a ecuatiei

x3 + (m− 1)x+m = 0, m ∈ C,

atunci S = x21 + x22 + x23 este:

(a) S = −2; (b) S = −1; (c) S = −2i+ 1;(d) S = −2i; (e) S = −i.

62. Fie x, y, z ∈ R∗ astfel ıncat x+y+z = 0 si1

x+1

y+1

z= 0. Sa se precizeze

valoarea lui a pentru care are loc relatia x6 + y6 + z6 = ax2y2z2.

(a) a = 3; (b) a = 1; (c) a = 0; (d) a = 2; (e) a = 4.

17

63. Fie α ∈ R∗ si p ∈ N numarul tripletelor ordonate (x, y, z) ∈ (R∗)3 caresatisfac relatiile: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x+ y + z = α1

x+1

y+1

z=1

αxy + yz + xz = −2.

, α2 6= 2.

Atunci:

(a) p = 6; (b) p = 3; (c) p = 1; (d) p = 4; (e) p = 2.

64. Fie polinomul cu coeficienti reali

p(x) = x3 + ax2 + bx+ c.

Sa se precizeze care din urmatoarele conditii sunt necesare si suficienteca radacinile polinomului p sa aiba aceeasi parte reala.

(a)a2

3− b ≤ 0;

(b) c =ab

3− 2a

3

27,a2

3− b ≥ 0;

(c) c =ab

3− 2a

3

27,a2

3− b ≤ 0;

(d) c ≥ ab

3− 2a

3

27,a2

3− b ≤ 0;

(e) c =ab

3− 2a

3

27.

65. Fie S = m+ n+ p unde m,n, p sunt numere reale astfel ca polinomul

x4 +mx3 + nx2 + px+ 8

sa fie divizibil cu x3 + 5x2 + 2x− 8. Atunci valoarea lui S este:(a) S = −7; (b) S = 0; (c) S = 6; (d) S = −9; (d) S = −8.

66. Se considera polinomul

p(x) = x4 + x3 + ax+ b.


Valorile parametrilor a si b pentru care restul ımpartirii lui p(x + 2) lax+ 1 sa fie egal cu −18, iar restul ımpartirii lui p(x− 2) la x− 1 sa fieegal cu −12 sunt:(a) a = −3, b = −15; (b) a = 3, b = 15; (c) a = −4, b = −16;(d) a = 4, b = 16; (e) a = −4, b = 16.

67. Precizati numarul valorilor lui λ ∈ R pentru care ecuatiile urmatoare aucel putin o radacina comuna

x3 − λx+ 2 = 0x2 + λx+ 2 = 0

.

(a) 1; (b) 0; (c) 2; (d) 3; (e) 4.

68. Sa se determine S = m2 + n2, unde m si n sunt coeficientii polinomuluix2 −mx+ n determinati astfel ıncat polinomul x4 + 1 sa fie divizibil cux2 −mx+ n.

(a) S = 3; (b) S = 9; (c) S = 2; (d) S = 13; (e) S = 1.

69. Precizati multimea valorilor lui m pentru care toate radacinile polino-mului

P (x) = x3 − (2m+ 1)x2 − (4m+ 5)x+ 2

sunt reale, stiind ca polinomul admite o radacina care nu depinde de m.

(a)

µ−∞,−5

2

¸∪∙−12,∞¶; (b)

µ−52,1

2

¶;

(c)

µ−32,1

2

¶; (d) ∅; (e)

µ−52, 0

¶.

70. Se considera ecuatia2x3 + 3x− 1 = 0

si fie x1, x2, x3 radacinile sale. Ecuatia ın necunoscuta y care are radacinile

y1 =x2x3x1

, y2 =x1x3x2

, y3 =x2x1x3

este:

(a) y3 − 2y2 + 3y − 1 = 0; (b) 2y3 − 9y2 − 6y − 1 = 0;

(c) y3 + y2 − 6y − 1 = 0; (d) y3 + 5y2 − 1 = 0;(e) 2y3 + 9y2 − 6y − 1 = 0.

19

71. Fie ecuatia

x3 − ax2 + bx− c = 0 (a, b, c numere reale nenule).

Sa se precizeeze valorile lui a, b, c astfel ıncat aceste numere sa fie solutiiale ecuatiei date.

(a) a = 1, b = 2, c = 3; (b) a = 2, b = −1, c = 52;

(c) a = 13, b = 2

5, c = 3

4; (d) a = −1, b = −1, c = 1;

(e) a = 1, b = 1, c = −1.

72. Fie p(x) ∈ R [X] un polinom de grad ≥ 3 cu proprietateaxp (x+ 1) + (x+ 2) p (x+ 3) = 2x+ 10, ∀x ∈ R.

Restul ımpartirii polinomului p(x) la x2 − 2x− 3 este(a) 2x− 1; (b) x2 + 1; (c) 3x+ 1; (d) x3; (e) x4 + 1.


f(x) = x3 − x2 + ax− 1, a ∈ R.Pentru n ∈ N∗ definim Sn = xn1 + xn2 + xn3 , x1, x2, x3 ∈ C fiind radacinilepolinomului. Sa se determine valoarea lui a ∈ R astfel ıncat S3 = 1.

(a) a = 0; (b) a =3

4; (c) a =

4

3; (d) a = 1; (e) a =

1

2.


f(x) = xn + px+ q, p, q ∈ R.Pentru n ∈ N, n ≥ 3 definim Sn = xn1 + xn2 + ... + xnn, x1, x2, ..., xn ∈ Cfiind radacinile polinomului. Valoarea lui Sn este:

(a) Sn = 0; (b) Sn = −p2 + nq; (c) Sn = p2;

(d) Sn = nq; (e) Sn = −nq.

75. FieP (x) = x2 − x logam+ 3 logam− 8,

unde m ∈ R,m > 0, iar a > 1 este un numar fixat. Sa se afle valorile luim pentru care P (x) > 0, oricare ar fi x ∈ R.(a) ; m > a(a+ 1) (b) m ∈ (√a, a); (c) m ∈ (a4, a8);

(d) m ∈ (a, 2a); (e) m ∈µ1

a, a3¶.


76. Valoarea sumei

Sn = k +k2C1

n

2+

k3C2n

3+ ...+

kn+1Cnn

n+ 1,

pentru k ∈ N fixat este:

(a) Sn =kn − 1n+ 1

; (b) Sn =(k + 1)n+1 − 1

n+ 1;

(c) Sn = (k + 1)n; (d) Sn =kn+1 − 1n+ 1

; (e) Sn =(k + 1)n − 1

n.

77. Valoarea numarului natural m pentru care al 10-lea termen al dezvoltariibinomului (5 +m)m este cel mai mare, este:.

(a) m = 12; (b) m = 5; (c) m = 6; (d) m = 8; (e) m = 11.

78. Se considera dezvoltarea

(xm +1

x2m)n.

Sa se determine m si n astfel ıncat termenul de rang 12 sa-l contina pex, termenul de rang 24 sa-l contina pe x5 si dezvoltarea sa aiba termenliber.

(a) m = 19, n = 24; (b) m = −1

9, n = 26; (c) m = −1

9, n = 24;

(d) m = 19, n = 25; (e) problema nu are solutie.

79. In dezvoltarea Ã9

r1

x+ 4√x

!n

suma coeficientilor binomiali este 128. Sa se precizeze termenul care ılcontine pe

3√x2.

(a) T4; (b) T5; (c) T6; (d) T7; (e) T3.

80. Sa se determine m astfel ıncat al 5-lea termen al dezvoltarii binomului(2 +m)m sa fie cel mai mare.

(a) m = 3; (b) m = 5; (c) m = 4; (d) m = 7; (e) m = 8.

81. Numarul h al termenilor independenti de x din dezvoltarea binomului:µ4

qx√x+

23√x

¶2000

21

este egal cu:

(a) h = 1; (b) h = 0; (c) h = 2; (d) h = 3; (e) h = 4.

82. Sa se determine numarul termenilor rationali din dezvoltarea binomiala:³√3 +

3√2´90

.

(a) 15; (b) 14; (c) 17; (d) 16; (e) 10.

83. Sa se determine termenul care ıl contine pe b2 din dezvoltarea

(√a− 3√b)n,

stiind ca n este cel mai mare numar natural care verifica inecuatia:

log 13n+ logn

3n > 0.

(a) T6; (b) T7; (c) T8; (d) T5;

(e) nu exista un termen care sa-l contina pe b2.

84. Fie dezvoltarea binomialaÃ3

ra√b+

sb3√a

!n

,

unde n satisface 22n−4−3 ·2n+1−256 = 0. Sa se afle termenul dezvoltariiın care a si b au puteri egale.

(a) T4; (b) T5; (c) T1; (d) T6; (e)T8.

85. Se considera binomul ³√2lg(10−3x) +

5√2(x−2) lg 3

´n.

Stiind ca al saselea termen al dezvoltarii binomului este egal cu 21 sicoeficientii binomiali de rang 2, 3 si 4 sunt respectiv primul, al treilea sial cincilea termen al unei progresii aritmetice, atunci:

(a) x = 3; (b) x = 1; (c) x ∈ {1, 2} ;(d) x ∈ {0, 2} ; (e) x ∈ {−1, 2} .


86. Sa se determine termenul care nu ıl contine pe x ın dezvoltarea:µx− 1x− x

12

+x− 1

x23 + x

13 + 1

¶25.

(a) T15; (b) T16; (c) T17; (d) T31; (e) T30.

87. Sa se determine n ∈ N∗ astfel ıncat numarul:

(a+ bi)n + (b+ ai)n ,

sa fie real oricare ar fi a, b ∈ R.(a) n = 2k, k ∈ N∗; (b) n = 3k, k ∈ N∗;(c) n = 4k, k ∈ N∗; (d) n = 3k + 1, k ∈ N∗;(e) n = 3k − 1, k ∈ N∗.

88. Sa se scrie sub forma trigonometica numarul complex dat sub formaalgebrica: −5− i5

√3.

(a) 10¡cos 4π

3+ i sin 4π

3

¢; (b) 10

¡cos π

3+ i sin π

3

¢;

(c) 10¡cos(−π

3) + i sin(−π

3)¢; (d) cos(−π

6) + i sin(−π

6);

(e) 5¡cos 4π

3+ i sin 4π

3

¢.

89. Fie ecuatia:ax = loga x, a > 0, a 6= 1.

Se cer valorile lui a pentru care ecuatia admite solutie unica.

(a) (0, 1) ∪ (e,∞) ; (b)¡1e, 1¤∪ {e} ; (c)

¡0, 1

e

¢∪ {e} ;

(d)(0, 1) ∪ne1e

o; (e) (0, 1) .

90. Sa se rezolve ecuatia ın x

logtg x a+ logcosx(a+ 1) = 0,

unde a > 0, a 6= 1 este dat.

(a)π

3+ 2kπ; (b) ±π

3+ 2kπ; (c) ± arccos 1

1 + a+ 2kπ;

(d) arctg√a+ kπ; (e) arctg

√a+ 2kπ. Pentru k ∈ Z.

23

91. Valoarea determinantului¯¯ −2 5 0 −11 0 3 73 −1 0 52 6 −4 1

¯¯

este:

(a) 27; (b) 37; (c) 47; (d) 57; (e) 67.

92. Sa se rezolve ecuatia ¯¯ x a a aa x a aa a x aa a a x

¯¯ = 0, a ∈ R∗.

(a) x = a sau x = −3a; (b) x = a sau x = 0; (c) x = a;

(d) x = a si x = 0; (e) x = 3√a sau x = 0.

93. Sa se calculeze determinantul¯¯ x1 x2 x3x2 x3 x1x3 x1 x2

¯¯

stiind ca x1, x2, x3 sunt radacinile ecuatiei x3 − 2x2 + 2x+ p = 0.

(a) 0; (b) 2; (c) 4; (d) 3p; (e) 3p+ 4.

94. Fie p(x) = x + a, q(x) = x2 + bx + c doua polinoame si x1 6= x2 douanumere arbitrare. Sa se calculeze D(x)/(x2 − x1), unde

D(x) =

¯¯ 1 p(x1) q(x1)1 p(x2) q(x2)1 p(x) q(x)

¯¯ .

(a) (x+ x1)(x+ x2); (b) (x− x1)(x+ x2);

(c) (x+ x1)(x− x2); (d)(x− x1)

(x− x2); (e) (x− x1)(x− x2).


95. Se considera polinoamele:

P (x) = x5 + 3x4 + 7x− 1, Q(x) = x3 − x− 3.

Notam cu x1, x2, x3 radacinile polinomului Q(x). Atunci valoarea luiP (x1) + P (x2) + P (x3) este:

(a) 20; (b) −18; (c) 18; (d) −20; (e) 0.

96. Sa se precizeze toate valorile a, b, c ∈ R astfel ıncat ecuatia¯¯ x− a b cc x− a bb c x− a

¯¯ = 0

sa aiba numai radacini reale.

(a) b = c; (b) a = 1, b = c; (c) a = b; (d) a = c; (e) a = b = c.

97. Valorile lui x ∈ R pentru care este adevarata inegalitatea¯¯ 1 1 12 x2 − 6x+ 11 x1 x2 − 4x+ 5 x− 2

¯¯ ≤ 0

sunt:

(a) x ∈ [2,∞); (b) x ∈ (−∞, 0) ∪ (2,∞); (c) x ∈ (0, 2);(d) x ∈ ∅; (e) x ∈ R.

98. Daca matricea

A =

⎛⎝ 1 0 10 1 01 0 1

⎞⎠satisface A3 = aA2 + bA atunci S = a2 + b2 este:

(a) S = 10; (b) S = 18; (c) S = 8; (d) S = 13; (e) S = 5.

99. Se da matricea

A =

⎛⎝ 1 4 00 3 12 0 1

⎞⎠ .

Daca matricea este inversabila sa se calculeze d = det(A−1).

(a) d = 1; (b) d = 0; (c) d = 111;

(d) A nu este inversabila; (e) d = 11.

25

100. Fie A ∈M3(R),

A =

⎛⎝ 0 a b−a 0 c−b −c 0

⎞⎠ , a2 + b2 + c2 6= 0.

Se cere rangul matricei A.

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3;

(e) nu este unic determinat, depinzand de valorile a, b, c.

101. Cate solutii are ecuatia:¡1 2 4

¢·A =

¡3 1 2

¢unde A este o matrice patratica de ordin 3 avand elementele numerenaturale.

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3; (e) 4.

102. Sa se calculeze An, n ∈ N, unde

A =1

2

µ √2

√2

−√2√2

¶.

(a)

Ãcos nπ

6sin nπ

6

− sin nπ6

cos nπ6

!; (b)

Ãcos (n+1)π

4sin (n+1)π

4

− sin (n+1)π4

cos (n+1)π4

!;

(c)

Ãcos (n+1)π

6sin (n+1)π

6

− sin (n+1)π6

cos (n+1)π6

!; (d)

Ãcos nπ

4sin nπ

4

− sin nπ4

cos nπ4

!;

(e)

Ãcos nπ

3sin nπ

3

− sin nπ3

cos nπ3

!.

103. Fie matricea

A =

⎛⎝ 1 a+ 1 1a 1 −11 −2 −a

⎞⎠siM = {a ∈ R | rangul matricei a este egal cu 2} si S =

Pa∈M

|a| .Atunci:

(a) S = 3; (b) S = 2; (c) S = 1; (d) S = 5; (e) S = 4.


104. Fie λ ∈ R,

A(λ) =

⎛⎜⎜⎝λ 1 1 11 λ 1 11 1 λ 11 1 1 λ

⎞⎟⎟⎠si M = {λ ∈ R; rangA(λ) < 4}. Atunci α =

Pλ∈M

λ este:

(a) α = 3; (b) α = −2; (c) α = 0; (d) α = 2; (e) α = −3.

105. Solutia ecuatiei matriceale

X

⎛⎝ 1 2 30 1 2−1 2 3

⎞⎠ =

⎛⎝ −1 5 32 1 −1−3 4 −5

⎞⎠ .

este:

(a) X =

⎛⎝ 12

0 −12

1 −3 1−12

2 −12

⎞⎠; (b) X =

⎛⎝ 1 12

4−10 6 16 −5

2−1

⎞⎠;(c) X =

⎛⎝ 3 −9 452−5 1

2

5 −22 8

⎞⎠; (d) X =

⎛⎝ 2 1 8−6 19 −5−8 29 −8

⎞⎠;(e) X =

⎛⎝ 18 11 201 −1 −3−10 −6 −4

⎞⎠.106. Valorile parametrului real m astfel ıncat matricea

A =

⎛⎝ 2 x 3x −1 x1 2 m

⎞⎠sa fie inversabila pentru orice x ∈ R sunt:

(a) m = 1; (b) m ∈¡12, 2¢; (c) m ∈ (1, 2);

(d) m ∈¡−∞, 1

2

¢∪ (2,∞); (e) m = 2.

107. Fie matricele

A =

µ2 00 3

¶si B =

nXk=1

Ak.

27

Atunci, pentru n ∈ N, n ≥ 1 :

(a) B este inversabila si B−1 =1

(2n + 1) (3n + 1)

µ2 00 3

¶;

(b) B este inversabila si B−1 =1

2n

µ3n − 1 00 2n

¶;

(c) B nu este inversabila;

(d) B este inversabila si B−1 =1

3 (2n − 1)

µ3n 00 2n

¶;

(e) B este inversabila si B−1 =

⎛⎜⎜⎝1

2 (2n − 1) 0

01

32(3n − 1)

⎞⎟⎟⎠.108. Fie

M =

µa −bb a

¶o matrice nenula cu elemente reale. Sa se calculeze Mn (s-au folosit

notatiile ρ =√a2 + b2 si ϕ determinat prin conditiile cosϕ =

a

ρ, sinϕ =

b

ρ).

(a) Mn = ρnµsinnϕ − cosnϕcosnϕ sinnϕ

¶;

(b) Mn = ρnµcosnϕ sinnϕ− sinnϕ cosnϕ

¶;

(c) Mn = ρnµcosnϕ sinnϕsinnϕ cosnϕ

¶;

(d) Mn = ρnµcosnϕ cosnϕ− sinnϕ sinnϕ

¶;

(e) Mn = ρnµcosnϕ − sinnϕsinnϕ cosnϕ

¶.


109. Precizati matricele A ∈ M2(R) care satisfac relatia A2 + A + I = 0,unde I ∈ M2(R) este matricea unitate iar 0 ∈ M2(R) este matriceanula. Stabiliti daca o astfel de matrice este inversabila. In caz afirmativprecizati inversa A−1.

(a) A =

µ−d− 1 b

−1b(d2 + d+ 1) d

¶,

exista A−1 =

µd −b

1b(d+ d2 + 1) −d− 1

¶.

(a) A =

µ−d− 1 −1

b(d2 + d+ 1)

b d

¶, nu exista A−1.

(a) A =

µ−d− 1 b

−1b(d2 + d+ 1) d

¶, nu exista A−1.

(a) A =

µ−d− 1 −b

−1b(d2 + d+ 1) −d

¶,

exista A−1 =

µd −b

1b(d+ d2 + 1) −d− 1

¶.

(a) A =

µd+ 1 b

−1b(d2 + d+ 1) d

¶,

exista A−1 =

µd −b

1b(d+ d2 + 1) −d− 1

¶.

110. Fie

A =

⎛⎝ 1 1 11 ε ε2

1 ε2 ε

⎞⎠ ,

unde ε este o radacina a ecuatiei x2 + x+ 1 = 0. Sa se calculeze A2011.

(a) 31004 · I3; (b) 31008 ·

⎛⎝ 1 1 11 ε2 ε1 ε ε2

⎞⎠ ;(c) 31000 ·

⎛⎝ 1 1 11 ε2 ε2

1 ε2 ε2

⎞⎠ ; (d) 31002 ·A; (e) I3.

29

111. Fie λ ∈ R \ {0} si

A =

⎛⎝ λ 1 00 λ 10 0 λ

⎞⎠ .

Atunci, ∀n ∈ N,

(a) An =

⎛⎝ 1 λn 00 1 λn

0 0 1

⎞⎠ ; (b) An =

⎛⎝ λn 1 00 λn 10 0 λn

⎞⎠ ;

(c) An =

⎛⎝ nλn λn−1 00 nλn λn−1

0 0 nλn

⎞⎠ ;

(d) An =

⎛⎝ λn nλn−1 n(n−1)2

λn−2

0 λn nλn−1

0 0 λn

⎞⎠ ; (e) An = I3.

112. Fie matricea A ∈Mn(R), n ≥ 2, A = (aij)i=1,...,nj=1,...,n

unde

aij =

½0, i = j1, i 6= j

.

Sa se calculeze det(A), A−1 si det(A−1 + In).

(a) det(A) = n− 1, A−1 =

⎛⎜⎝2−nn−1 ... 1

n−1...

. . ....

1n−1 ... 2−n

n−1

⎞⎟⎠ si det(A−1 + In) = 0;

(b) det(A) = (−1)n−1(n− 1), A−1 =

⎛⎜⎝2−nn−1 ... 1

n−1...

. . ....

1n−1 ... 2−n

n−1

⎞⎟⎠ si

det(A−1 + In) = 0;

(c) det(A) = (−1)n(n− 1), A−1 =

⎛⎜⎝n−21−n ... − 1

1−n...

. . ....

− 11−n ... n−2

1−n

⎞⎟⎠ si

det(A−1 + In) = 0;


(d) det(A) = n− 1, A−1 =

⎛⎜⎝2−nn−1 ... n

n−1...

. . ....

nn−1 ... 2−n

n−1

⎞⎟⎠ si det(A−1 + In) = 0;

(e) det(A) = 1− n,A−1 =

⎛⎜⎝2−n1−n ... 1

1−n...

. . ....

11−n ... 2−n

1−n

⎞⎟⎠ si det(A−1 + In) = 0.

113. Pentru ce valori ale lui λ ∈ R, matricea

A =

⎛⎝ λ 1 11 λ 11 1 λ

⎞⎠este nesingulara? In acest caz, sa se determine inversa A−1.

(a) λ = 1, A−1 =

⎛⎝ 1/3 1/3 1/31/3 1/3 1/31/3 1/3 1/3

⎞⎠ ;(b) λ 6= 1, A−1 =

⎛⎝ α β ββ α ββ β α

⎞⎠ , unde α = λ+1(λ−1)(λ2+2) , β = −

1(λ−1)(λ2+2) ;

(c) λ 6= 1,−2, A−1 =


⎞⎠ , unde α = λ+1(λ−1)2(λ+2) ,

β = − 1(λ−1)2(λ+2) ;

(d) λ 6= 1,−2, A−1 =


⎞⎠ , unde α = (λ+1)(λ−2)(λ−1)2(λ+2) ,

β = λ+1(λ−1)2(λ+2) ;

(e) λ 6= 1,−2, A−1 =


⎞⎠ , unde α = λ+1(λ−1)(λ+2) ,

β = − 1(λ−1)(λ+2) .

31

114. Fie sistemul: ⎧⎨⎩ 2x+ y +mz = 1x− y +m2z = m2x+ (m+ 1)z = m2

.

si M = {m ∈ R | sistemul este incompatibil} , S =Xm∈M

m. Atunci:

(a) S = ∅; (b) S = 12; (c) S = −1; (d) S = 0; (e) S = 3

2.

115. Toate solutiile sistemului⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x+ 2y + 4z − 3v = 03x+ 5y + 6z − 4v = 04x+ 5y − 2z + 3v = 03x+ 8y + 24z − 19v = 0

sunt:

(a) x = y = z = v = 0 ; (b) x = 1, y = −6, z = 1, v = 0 ;(c) x = 8α− 7β, y = −6α+ 5β, z = α, v = β cu α, β ∈ R;(d) x = −7λ, y = 5λ, z = 0, v = λ cu λ ∈ R;(e) sistemul nu are solutii.

116. Determinati valorile parametrului real α pentru care sistemul de ecuatiieste incompatibil: ⎧⎨⎩ 2x+ y − z = α

x− y + 2z = 14x− y + 3z = 2 + α

.

(a) α ∈ (−∞, 1] ; (b) α = 1; (c) α ∈ (−2,∞) ;(d) α ∈ R; (e) ∅.

117. Fie sistemul: ⎧⎨⎩ −2x+ 4y + 2z = 2 + b2x− ay + z = −3−x+ 2y + z = b

.

si multimile: A = {a ∈ R, sistemul este compatibil nedeterminat} ,B = {b ∈ R, sistemul este compatibil nedeterminat} , atunci numarulelementelor multimii A ∩B este egal cu:

(a) 1; (b) 4; (c) 2; (d) 3; (e) nici un element.


118. Sa se rezolve sistemul⎧⎨⎩ αx+ (α+ 1) y + (α+ 2) z = α+ 3βx+ (β + 1) y + (β + 2) z = β + 3x+ γy + γ2z = γ3

, α, β, γ ∈ R, α 6= β, γ 6= 1,

ın ipoteza ca acesta are solutie unica.

(a) x = α, y = β, z = γ; (b) x = β, y = α, z = γ;

(c) x = 0, y = −1, z = 2; (d) x = γ, y = − (2γ + 1) , z = γ + 2;

(e) x = −1, y = 1, z = 1.

119. Se considera sistemul: ⎧⎨⎩ x1 + x2 + 1 = 0mx1 + 2x2 + 3 = 0m2x1 + 4x2 + 9 = 0

si fie M = {m ∈ R | sistemul este compatibil} . Atunci S =P

m∈Mm este:

(a) S = 5; (b) S = −1; (c) S = −2; (d) S = 0; (e) S = 3.

120. Se considera sistemul:⎧⎨⎩ x1 −mx2 + 1 = 02x1 + x2 −m = 03x1 + (m− 1)x2 +m− 1 = 0

Fie M = {m ∈ R | sistemul este compatibil } atunci S =P

m∈Mm este:

(a) S = 0; (b) S = 5; (c) S = 4; (d) S = −2; (e) S = −1.

121. Sa se calculeze rangul matricei sistemului, rangul matricei extinse si sase precizeze natura sistemului:⎧⎨⎩ x− y + z = 3

2x+ y − 3z = 108x+ 5y − 9z = 11

.

(a) rs = re = 3 sistem compatibil determinat;

(b) rs = 2, re = 3 sistem incompatibil;

(c) rs = re = 2 sistem compatibil 1-nedeterminat;

(d) rs = re = 1 sistem compatibil 2-nedeterminat;

(e) rs = 3, re = 3 sistem incompatibil.

33

122. Sa se calculeze rangul matricei sistemului, rangul matricei extinse si sase precizeze natura sistemului:⎧⎨⎩ x− y + z = 3

2x+ y − 3z = 108x+ 5y − 9z = 8

.

(a) rs = re = 3 sistem compatibil determinat;

(b) rs = 2, re = 3 sistem incompatibil;

(c) rs = re = 2 sistem compatibil 1-nedeterminat;

(d) rs = re = 1 sistem compatibil 2-nedeterminat;

(e) rs = 3, re = 3 sistem incompatibil.

123. Fie ε = −12+ i

√32. Precizati tripletele de numere complexe (x, y, z) care

satisfac simultan relatiile:⎧⎨⎩ x+ εy + ε2z = 0ε2x+ y + εz = 0εx+ ε2y + z = 0

(a) x = 1, y = 1, z = 1; (b) x = 0, y = 0, z = 0;

(c) {(−εy − ε2z, y, z)|y, z ∈ C} ; (d) x ∈ C, y ∈ C, z ∈ C;

(e) x = y = z.

124. Fie sistemul ⎧⎨⎩ ax+ ay + z = 1x+ ay + az = 1x+ y + az = a

si A = {a ∈ R| sistemul este compatibil nedeterminat} . Atunci:(a) A = {1, 2} ; (b) A = {0, 1} ; (c) A = {1} ;(d) A = {−1, 1} ; (e) A = {−1} .

125. Se considera sistemul:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩6x−my + 3z = 0−mx+ 6y + 3z = 0mx− y + 2z = 0x2 + y2 + 4z = 70

.


Sa se precizeze numarul p de valori ale lui m ∈ R pentru care sistemuladmite solutii reale si numarul q de solutii reale ale sistemului.

(a) p = 0, q = 4; (b) p = 2, q = 4; (c) p = 3, q = 2;

(d) p = 1, q = 2; (e) p = 2, q = 3.

126. Fie p numarul solutiilor sistemului ın

Z12

⎧⎨⎩2x+ 3y + 3z = 2

6x+ 4y + 2z = 6

3x+ 2y + 4z = 3

Atunci valoarea lui p este:

(a) p = 1; (b) p = 16; (c) p = 0;

(d) p = 6; (e) p = 12.

127. Pe R se defineste legea de compozitie prin relatia:

x ∗ y = xy + ax+ 2by + 1,∀x, y ∈ R.

Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat legea sa fie comutativa si asociativa.(a) a = 1, b = 1

2; (b) a = 0, b = 0 sau a = 1, b = 1

2;

(c) a = 1+√5

2, b = 1+

√5

4sau a = 1−

√5

2, b = 1−

√5

4;

(d) a = 4, b = 2 ; (e) nu exista solutie.

128. Pe multimea R a numerelor reale se considera legea de compozitiedefinita prin

x y = mx+ ny − 1,∀x, y ∈ R,

ın care m si n sunt constante reale. Sa se afle m si n astfel ıncat (M, )sa fie grup comutativ.

(a) m = 1, n = 2; (b) m = 1, n = −1; (c) m = 2, n = 2;

(d) m = 1, n = 1; (e) m = 0, n ∈ R.

129. Fie M = {x; x ∈ R, x 6= −1} si operatia “ ” definita prin

x y = 2ax+ by + xy,∀x, y ∈M.

35

Sa se determine parametrii a si b reali astfel ıncat (M, ) sa fie grupcomutativ. Sa se precizeze elementul simetric x0 al elementului arbitrarx.

(a) a = 12, b = 1, x0 = − x

x+1; (b) a = 1, b = 1, x0 = x

x+1;

(c) a = 12, b = 1, x0 = x

x+1; (d) a = 1, b = 1

2, x0 = − x

x+1;

(e) a = 12, b = 1, x0 = 1

x+1.

130. Pe multimea G = (0,∞) se defineste legea x ∗ y = 2xy

x+ y, ∀x, y ∈ G.

Precizati care din urmatoarele afirmatii este adevarata:

(a) (G, ∗) este grup comutativ; (b) (G, ∗) este grup necomutativ;(c) (G, ∗) este monoid; (d) G nu este parte stabila;

(e) legea ∗ nu este asociativa.

131. Pe multimea R a numerelor reale se defineste operatia

x ⊥ y = 3px3 + y3,∀x, y ∈ R

unde pentru radical se ia valoarea reala. Sa se scrie conditia ca o bijectief : R→ R sa stabileasca un izomorfism ıntre grupurile (R,⊥) si (R,+).Sa se indice bijectia respectiva.

(a) f(x ⊥ y) = f( 3√x) + f( 3

√y) si f(x) = x3;

(b) f(x ⊥ y) = f(x) + f(y) si f(x) = x3;

(c) f(x ⊥ y) = f(x)f(y) si f(x) = x3;

(d) f(x ⊥ y) = f( 3√x) + f( 3

√y) si f(x) = x;

(e) f(x ⊥ y) = 3pf(x) + 3

pf(y) si f(x) = 3

√x.

132. Pe Z (multimea numerelor ıntregi) se definesc operatiile:

x ⊥ y = x+ y + 1si x | y = x+ y − 1.

Sa se afle o bijectie f : Z→Z, care defineste un izomorfism ıntre grupurile(Z,⊥) si (Z,|).(a) f(x) = x+ a(a−ıntreg fixat nenul); (b) f(x) = ax+ a− 1;(c) f(x) = x+ 2a− 1; (d) f(x) = x+ a− 1;(e) f(x) = ax+ a+ 1.


133. Pe multimea R a numerelor reale se considera legea de compozitie ” “,data prin:

x y = ax+ by − 1, x, y ∈ Rın care a si b sunt constante reale. Sa se determine a si b astfel ıncatlegea data sa defineasca pe R o structura de grup abelian.

(a) a = 1, b = 2; (b) a = 1, b = −1; (c) a = 2, b = 2;

(d) a = 1, b = 1; (e) a = −2, b = 1.

134. FieM = {x ∈ R; x > 0} si grupurile (M, ·) , (R,+) . Aflati m ∈ R astfelıncat:

f :M → R, f(x) = ln³(m− 1)x+

√m2 − 4

´sa fie izomorfism ıntre cele doua grupuri.

(a) m = 1; (b) m = 4; (c) m = −2; (d) m = 2; (e) nu exista m.

135. In multimea M = {x;x ∈ R, x ≥ 1} se defineste operatia interna

x ∗ y = xy −p(x2 − 1)(y2 − 1), ∀x, y ∈M.

Sa se afle elementul neutru si multimea elementelor care au invers fatade aceasta operatie.

Sa se calculeze x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

, unde x ∈M este un element oarecare.

(a) elementul neutru este 1, fiecare element are invers,x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

= 1;

(b) elementul neutru este 1, fiecare element are invers, x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

= x;

(c) elementul neutru este 1, nici un element nu are invers si

x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

= xn;

(d) elementul neutru este 1, numai x = 1 are invers si x ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }2n

= x

(e) elementul neutru este 1, pentru x ≥ 2 nu exista invers six ∗ x ∗ · · · ∗ x| {z }

2n

= x.

37

136. Pe multimea M = {x; x ∈ R, x 6= 1} , consideram legea de compozitie”◦” , data prin

x ◦ y = 2xy − 2x− 2y + c

ın care constanta reala c se va determina, astfel ıncat (M, ◦) sa fie grup.Sa se afle elementul unitate e si inversul x∗ al unui element oarecare x.

(a) c = 3, e = 2, x∗ = x− 1; (b) c = 3, e =3

2, x∗ =

x− 34

x− 1 ;

(c) c = 3, e = 3, x∗ = x+ 2; (d) c = 2, e =3

2, x∗ =

x− 2x− 1;

(e) c = 3, e = −1, x∗ = x+ 2.

137. Pe C se defineste legea de compozitie ∗:

z1 ∗ z2 = z1z2 + i(z1 + z2)− 1− i,∀z1 ∈ C,∀z2 ∈ C.

Fie e elementul neutru si z solutia ecuatiei z ∗ (1 − i) = 3 + i. Sa sestabileasca daca:

(a) e = 1 + i si z = 3 + i; (b) e = 1− i si z = 3 + i;

(c) e = i si z = 3− i; (d) e = 1− i si z = 5 + i;

(e) e = −1− i si z = 1 + i.

138. Fie (M∗3(R), ·) grupul multiplicativ al matricelor patratice nesingulare

de ordinul 3 si functia

f : R→M∗3(R), f(t) =

⎛⎝ 1 t 2t2 + 2t0 1 4t0 0 1

⎞⎠ .

Care din afirmatiile urmatoare e falsa?

(a) (M∗3(R), ·) este grup necomutativ;

(b) f este un morfism de la (R,+) la (M∗3(R), ·);

(c) f este un izomorfism de la (R,+) la (M∗3(R), ·);

(d) f(0) = I3; (e) f nu este injectiva.


139. Fie (G, ∗) grupul cu G = (−1, 1) si

x ∗ y = x+ y

1 + xy,∀x, y ∈ G.

Sa se afle a ∈ R, astfel ıncat functia f : R∗+ → G,

f(x) =ax− 1x+ 1

sa fie un izomorfism de la (R∗+, ·) la (G, ∗).

(a) a = 0; (b) a = 1; (c) a =1

2; (d) a = −1

2; (e) a =

2

3.

140. Numarul elementelor inversabile ın inelul Z12 este:

(a) 4; (b) 3; (c) 6; (d) 1; (e) 12.

141. Fie M = {x;x ∈ R, x ≥ 1} si operatia interna

x ∗ y = xy +p(x2 − 1)(y2 − 1),∀x, y ∈M.

Aceasta operatie are element neutru? Daca da, care este acesta? Caresunt elementele din M , care au invers fata de aceasta operatie?

(a) Da, elementul neutru este 1. Singurul element care are invers este 1.

(b) Da, elementul neutru este 1. Nici un element nu are invers.

(c) Nu exista element neutru.

(d) Da, elementul neutru este 1. Toate elementele sunt inversabile.

(e) Da, elementul neutru este 1. Orice element x are invers, egal cu√x.

142. Multimea matricelor de forma

M(a) =

µ2− a a− 12(1− a) 2a− 1

¶cu a real nenul formeaza un grup multiplicativ G, izomorf cu grupul mul-tiplicativ al numerelor reale diferite de zero. Sa se precizeze coresponden-ta care realizeaza acest izomorfism si sa se afle inversa matricei M(a).

(a) M(a)→ a2, (M(a))−1 =

µ2− 1

a1a− 1

2(1− 1a) 2

a− 1

¶;

39

(b) M(a)→ a, (M(a))−1 =

µ2− 1

a1a− 1

2(1− 1a) 2

a− 1

¶;

(c) M(a)→ 1a2, (M(a))−1 =

µ2− 1

a1a− 1

2(1− 1a) 2

a− 1

¶;

(d) M(a)→ 1a, (M(a))−1 =

µ2 + a −a− 12(1 + a) −2a− 1

¶;

(e) M(a)→ a+ 1a, (M(a))−1 =

µ2 + a −a− 12(1 + a) −2a− 1

¶.

143. Multimea matricelor de forma

M(a) =

⎛⎝ 1 0 a

−a 1 −a2

2

0 0 1

⎞⎠cu a real formeaza un grup multiplicativ G, izomorf cu grupul aditival numerelor reale diferite de zero. Sa se precizeze corespondenta carerealizeaza acest izomorfism si sa se afle inversa matricei (M(a))n .

(a) M(a)→ a, (M(a))n =M (an) ;

(b) M(a)→ a, (M(a))n =M (na) ;

(c) M(a)→ −a, (M(a))n =M ((−a)n) ;

(d) M(a)→ a, (M(a))n =M (−an) ;

(e) M(a)→ −a, (M(a))n =M (−na)

144. Pe multimea Q∗+ a numerelor rationale strict pozitive se defineste legeade compozitie interna ∗ astfel ıncat:(1) (x ∗ y) (z ∗ t) = (xz) ∗ (yt) , (∀) x, y, z, t ∈ Q∗+;(2) x ∗ x = 1, (∀)x ∈ Q∗+;(3) x ∗ 1 = x, (∀)x ∈ Q∗+.Valoarea lui 27 ∗ 43 este:(a) 27/43; (b) 43/27; (c) (43/27)− 1; (d) 1; (e) (27/43) + 1.


145. Se considera multimea

G = {Ma,b ∈M3 (R) , Ma,b =

⎛⎝ a b bb a bb b a

⎞⎠ , a, b ∈ R, detMa,b = 1}.

Este ınmultirea matricelor o lege de compozitie interna pe G? In cazafirmativ, ce structura are (G, ·)?(a) Inmultirea matricelor nu este o lege de compozitie interna pe G;

(b) Inmultirea matricelor este o lege de compozitie interna pe G, (G, ·)este grup finit;

(c) Inmultirea matricelor este o lege de compozitie interna pe G, (G, ·)este monoid necomutativ;

(d) Inmultirea matricelor este o lege de compozitie interna pe G, (G, ·)este grup necomutativ;

(e) Inmultirea matricelor este o lege de compozitie interna pe G, (G, ·)este grup comutativ.

146. Pe Z se definesc operatiile x∗y = x+y+1 si x◦y = x+y−1, (∀)x, y ∈ Z.Sunt (Z, ∗) , (Z, ◦) grupuri? In caz afirmativ, sunt ele izomorfe?(a) Ambele sunt grupuri si aceste doua grupuri sunt izomorfe;

(b) (Z, ∗) este grup, iar (Z, ◦) nu este grup;(c) (Z, ∗) nu este grup, iar (Z, ◦) este grup;(d) Nici unul din ele nu este grup;

(e) Ambele sunt grupuri, dar nu sunt izomorfe.

147. Intr-un inel (A,+, .) , 0 si 1 sunt elementele neutre la adunare si respectivınmultire. Daca x6 = x, (∀)x ∈ A, atunci valoarea lui x+x+1+1 este:

(a) 1; (b) 0; (c) x; (d) x+ 1; (e) x2.

148. Legile de compozitie definite pe R prin x⊕ y = ax+ by − 1 six ¯ y = 2 (xy − x− y) + c, ∀x, y ∈ R, induc pe R o structura de corpcomutativ daca:

(a) a = b = 1, c = 3; (b) a = 2, b = 1, c = 3;

(c) a = 1, b = 2, c = 6; (d) a = 2, b = 1, c = 3;

(e) a = b = 2, c = 3.

41

149. Pe R se definesc operatiile:½x>y = ax+ by − 2

x⊥y = xy − cx− dy + 6,

(∀)x, y ∈ R, unde a, b, c, d ∈ R sunt constante arbitrare. Daca tripletul(R,>,⊥) este corp comutativ, atunci:(a) a = 1, b = −1, c = −3, d = −3; (b) a = b = 0, c = d = −3;(c) a = b = 1, c = d = 2; (d) a = b = 1, c = d = −3;(e) a = b = 0, c = d = 6.

150. Se da corpul (R,|,⊥) ale carui elemente neutre fata de legile | si ⊥ sunt3 respectiv 15. Stiind ca exista un izomorfism f : (R,+, ·) → (R,|,⊥)de forma f(x) = ax+ b se cere simetricul lui 27 fata de legea ⊥.a) 23; b) 9; c) 0; d) 27; e) 3.

Capitolul 2

Analiza matematica

1. Fie

l = limn→∞

µ1

n2+2

n2+ · · ·+ n

n2

¶.

Atunci:

(a) l = 1; (b) l = 12; (c) l = 0; (d) l =∞; (e) l ∈ ∅.

2. Limitalimn→∞

n(√n+ 1−

√n)

este:

(a) 1; (b)1

2; (c)

3

4; (d) ∞; (e) −1.

3. Sa se afle

limn→∞

sn2 + 1

n+ 2ln

n+ 1

n.

(a) 12; (b) 1 ; (c) e ; (d)

√e ; (e) ∞ .

4. Daca an =nX

k=2

ln¡1− 1

k2

¢, n ≥ 2, atunci:

(a) an+1 < an, limn→∞

an = ln 2; (b) an+1 < an, limn→∞

an = ln12;

(c) an < an+1, limn→∞

an =1ln 2; (d) an+1 < an, lim

n→∞an = 1− ln 2;

(e) an < an+1, limn→∞

an = 1 + ln 2.

43

44 CAPITOLUL 2. ANALIZA MATEMATICA

5. Daca an =nX

k=1

k2 + k

n3 + k2, atunci:

(a) limn→∞

an = 0; (b) limn→∞

an =13;

(c) limn→∞

an = 1; (d) limn→∞

an =12;

(e) limn→∞

an =14.

6. Sa se afle valorile lui a ∈ R astfel ıncat:

limn→∞

pan(a+ 5)(n+ 1) + (a+ 9)(n+ 3)(n+ 5)√

a2n2 + 1= 3.

(a) a ∈©32,−3

4

ª; (b) a = 9; (c) a ∈ {3, 9} ;

(d) a ∈©32, 3ª; (e) a = 1

4.

7. Sa se precizeze valoarea lui a = limn→∞

(b1 + b2 + · · ·+ bn) , unde

bk =2k + 1

k2(k + 1)2.

(a) a =∞; (b) a = 0; (c) a = 1; (d) a =1

2; (e) a = 2.

8. Sa se calculeze l = limn→∞

sin2(π√n2 + n+ 1).

(a) l = 1; (b) l = 12; (c) l = 0; (d) l =∞; (e) l ∈ ∅.

9. Se considera sirul de numere reale:

xn = (−1)n−1µ2 +

3

n

¶,∀n ∈ N∗.

Atunci:

(a) limn→∞

xn = 2; (b) (xn)n∈N∗ e sir monoton;

(c) minn∈N∗

xn = −7

2si max

n∈N∗xn = 5; (d) min

n∈N∗xn = −2 si max

n∈N∗xn = 2;

(e) (xn)n∈N∗ e sir nemarginit.

45

10. Fie a0, a1, ..., ak numere reale astfel ıncat a0 + a1 + ...+ ak = 0 si

l = limn→∞

³a0

3√n+ a1

3√n+ 1 + ...+ ak

3√n+ k

´.

Atunci:

(a) l = 0; (b) l = +∞; (c) l = 1; (d) l nu exista; (e) l = ln 3.

11. Se considera sirul de numere reale

xn =2 + (−1)n

2n+ (−1)n ,∀n ∈ N.

Atunci

(a) (xn)n∈N este sir crescator; (b) @ limn→∞

xn; (c) @ limn→∞

xn+1xn

;

(d) maxn∈N

xn = 1; (e) (xn)n∈N este sir nemarginit.

12. Fie

f : (0,+∞)→ R, f (x) = ln

µ1− 2

x+ 2

¶.

Fie l limita sirului cu termenul general

bn = n

µan + ln

n2 + 1

2

¶unde an = f(1) + f(2) + ...+ f(n).

Atunci:

(a) l = 0; (b) l =∞; (c) l = 1; (d) l = −3; (e) l = e.

13. Fie an = limx→0(1− x sinnx)

1

x2 si bn = a1 + a2 + · · · + an. Sa se precizeze

valoarea lui b = limn→∞

bn.

(a) b = 1; (b) b =∞; (c) b =1

1− e;

(d) b =e

1− e; (e) b =

1

e− 1 .

14. Daca (an)n∈N este sir real definit de

a1 =√a, an =

√a+ an−1, a > 0,


atunci:

(a) (an)n∈N este marginit si limn→∞

an =12(a+

√1 + 4a),

(b) (an)n∈N este nemarginit si limn→∞

an =∞,

(c) (an)n∈N este marginit si limn→∞

an =12

√1 + 4a,

(d) (an)n∈N este marginit si limn→∞

an =12(1 +

√1 + 4a),

(e) (an)n∈N este nemarginit si limn→∞

an = −∞.

15. Domeniul maxim de definitie al functiei

f (x) =

rln (−x2 + 4)−x2 + 4

este:

(a) x ∈ [0,∞) ; (b) x ∈£−√3,√3¤; (c) x ∈ (−1, 1] ;

(d) x ∈ (−∞, 1] ; (e) x ∈ (−2, 2) .

16. Domeniul maxim de definitie al functiei

f (x) = 3x+

rx2 − 1x+ 2

+ ln (lnx)

este:

(a) x ∈ (−∞, 0) ; (b) x ∈ (0, 1) ; (c) x ∈ [−1, 1] ;

(d) x ∈ (−2, 2] ; (e) x ∈ (1,+∞) (−∞, 0) .

17. Multimea punctelor de continuitate ale functiei f : R→ R unde

f (x) =

½x, daca x ∈ Qx2, daca x ∈ R\Q

este:

(a) {0, 1} ; (b) [0, 1] ; (c) Q; (d) ∅ ; (e) {−1, 0, 1} .

18. Sa se calculeze

limx→0

(2x − 1) ln (1 + sinx)¡√1 + x− 1

¢tg 2x

.

(a) 1; (b) ln 2; (c) 0; (d) 14; (e) ∞.

47

19. Fie

l = limx→0

esinx − etg x

esin 2x − etg 2x.

Atunci:

(a) l = 0; (b) l = 18; (c) l = 1

4; (d) l = 1

2; (e) limita nu exista.

20. Fie l = limx→∞

µx+√x

x−√x

¶√x. Valoarea lui l este:

(a) l =∞; (b) l = −∞; (c) l = 2; (d) l = e2; (e) l = e.

21. Valoarea limitei:

L = limx→∞

ln(x2 − x+ 1)

ln(x10 + x+ 1)

este:

(a) L = 1; (b) L = 15; (c) L = −1;

(d) L = 13; (e) L = 1

4.

22. Valoarea limitei

limx→0

ln (1 + x+ x2) + ln (1− x+ x2)

x2

este:

(a) 3; (b) 2; (c) − 1; (d) 1; (e) 4.

23. Fie ecuatia

t2 + 2(x− 1)t+ 4 = 0

cu radacinile t1(x) respectiv t2(x), x ∈ R si fie L1 = limx→−∞

xt1(x) si

L2 = limx→−∞

xt2(x). Valorile lui L1 si L2 Sunt:

(a) L1 =∞, L2 =∞; (b)L1 = −∞, L2 =∞;(c) L1 = −∞, L2 = −2; (d) L1 = 0, L2 = −∞;(e) L1 =∞, L2 = −2.


24. Sa se determine:

L = limx→∞

(sin(ln(x+ 1))− sin(lnx)) .

(a) L =√22; (b) L = −1; (c) L = 1;

(d) L = 0; (e) L = 12.

25. Pentru cate valori ale lui n ∈ N exista limita

limx→0

x cosx− sinxxn

(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4; (e) o infinitate.

26. Sa se determine valoarea limitei

limx→e

lnx− 1x− e

.

(a) e; (b) 1/2; (c) 3; (d) 1/e; (e) 4.

27. Daca

f(x) =

µ1 + |x|− x

1− x

¶ 1|x|

, x 6= 0, x 6= 1,

atunci:

(a) limx→0,x<0

f(x) = e, limx→0,x>0

f(x) =1

e;

(b) limx→0,x<0

f(x) =1

e, lim

x→0,x>0f(x) = e

1

e;

(c) limx→0,x<0

f(x) = −e, limx→0,x>0

f(x) = e;

(d) limx→0,x<0

f(x) = e, limx→0,x>0

f(x) = −e;

(e) limx→0

f(x) = e.

28. Sa se calculeze

limx→0

µtg x

x

¶ 1sin2 x

(a) 0; (b) ∞; (c) e; (d) 3√e; (e) nu exista.

49

29. Sa se precizeze valoarea limitei

L = limn→∞

n√n4 + n2 + 1 + 5n.

(a) L =∞; (b) L = 1; (c) L = 5; (d) L = 0; (e) L = 7.

30. Functia f : (0, 1) ∪ (1,∞)→ R unde f (x) = logx (x+ 1) este:

(a) strict crescatoare; (b) strict descrescatoare;

(c) strict crescatoare pe (0, 1) si strict descrescatoare pe (1,∞);(d) strict descrescatoare pe ambele intervale, dar nemonotona;

(e) constanta.

31. Fie functiile f si g definite pe R astfel ıncat

f(x) = (x+ 2)g(x),∀x ∈ R,

g functie derivabila ın origine si g(0) = 2, g0(0) = −1. Atunci valoarealui f 0(0) este:

(a)−2; (b) 2; (c) −1; (d) 0; (e) 1.

32. Valorile lui m pentru care functia

f : R→ R, f(x) = mx− ln(x2 + 1)

este monoton crescatoare pe R sunt:

(a) m ≤ 1; (b) m ∈ (0, 1] ; (c) m ≥ 1;

(d) m ∈ [0, 1] ; (e) m ∈ [−1, 1] .

33. Fie f : R\ {−1, 1}→ R unde f (x) =x+ 3

x2 − 1. Se cere numarul de solutiiale ecuatiei f (5) (x) = 0.

(a) 1; (b) 2; (c) 5; (d) 6; (e) 0.

34. Ecuatiax2 − 2 lnx+m = 0, m ∈ R,

admite doua solutii reale distincte daca:

(a) m > 1; (b) m < −1; (c) m ∈ R; (d) m ∈ ∅; (e) m < 0.


35. Sa se determine asimptotele (orizontale, oblice si verticale) pentru urma-toarea functie: f : D → R,D fiind domeniul maxim de definitie alfunctiei

f(x) =x

x2 − 1 .

(a) nu admite asimptote; (b) x = 1, y = 0;

(c) x = −1, x = 1, y = 0; (d) x = 1, y = −1; (e) x = 1, x = 0.

36. Pentru ce valori reale ale constantelor a, b functia f : R → R, definitaprin:

f(x) =

½2x2 + b, x ≤ 2,2ax3 + 11a, x > 2,

este continua pe R si derivabila pe R.

(a) a = 0, b = −8; (b) a =1

9, b = −5; (c) a =

2

3, b = −2;

(d) a =1

3, b = 1; (e) a =

1

3, b = −1.

37. Functia f (x) = xex + e−2x, x ∈ R, verifica egalitatea

f 000 (x) + af 00 (x) + bf 0 (x) + cf (x) = 0, x ∈ R,

ın care:

(a) a = 1, b = −1, c = 2; (b) a = −1, b = −1, c = 3;(c) a = 0, b = −3, c = 2; (d) a = 1, b = 0, c = 3;

(e) a = 0, b = 2, c = −3.

38. Pentru functiaf (x) = lnx2 + ln (x+ 1)2

domeniul maxim de definitie, punctele de extrem si natura lor sunt:

(a) R\ {0} , x = −1 punct de maxim;(b) R\ {−1} , x = 1 punct de minim;(c) R, x=1

2punct de minim;

(d) R\ {−1, 0} , x = 1 punct de maxim;(e) R\ {−1, 0} , x = −1

2punct de maxim.

51


f(x) =x2 +mx+ 2

x2 + 2x+m,

undem ∈ R este un parametru. Sa se determinem, astfel ıncat domeniulei de definitie sa fie R si sa admita exact doua puncte de extrem.

(a) m ∈ (1, 2) ∪ (2,∞) ; (b) m ∈ (2,∞) ; (c) m ∈ (−3,∞) ;(d) m ∈ (1, 2); (e) m ∈ (−∞, 1).

40. Fie functia

f : R→ R, f(x) =x2

e1−x.

Sa se determine n ∈ N∗ stiind ca f (n)(1) = 57.(a) n = 6; (b) n = 8; (c) n = 7; (d) n = 10; (e) n = 12.

41. Sa se calculeze derivata functiei:

f :³−π2,π

2

´→ R, f(x) = arccos(sinx).

(a) − ctg x; (b) cosx; (c) sinx; (d) 1; (e) − 1.

42. Fie functia

f : R→ R, f(x) =

½e−x − x2 − 1, x ≤ 0−ex − x3 + 1, x > 0

.

Precizati care din urmatoarele afirmatii este adevarata:

(a) x = 0 este punct de extrem relativ si punct de inflexiune;

(b) x = 0 nu este punct de extrem relativ dar este punct de inflexiune;

(c) x = 0 este punct de extrem relativ dar nu este punct de inflexiune;

(d) x = 0 nu este nici punct de extrem relativ si nici punct de inflexiune;

(e) x = 0 este punct de minim relativ.

43. Daca g(x) = |x|− 1, x ∈ R si f = g ◦ g atunci:(a) x = −1 si x = 1 sunt puncte de minim relativ pentru f ;

(b) x = −1 este punct de maxim relativ pentru f si x = 1 este punct deminim relativ pentru f ;


(c) x = −1 si x = 1 sunt puncte de maxim relativ pentru f ;

(d) x = −1 este punct de minim relativ pentru f si x = 1 este punct demaxim relativ pentru f ;

(e) x = −1 si x = 1 nu sunt puncte de extrem pentru f.

44. Se da functia f : R \ {2} → R, definita prin f(x) =x+m

x+ 2e−x, ın care

m este parametru real. Sa se precizeze valorile lui m pentru care f aredoua puncte de extrem.

(a) m ∈ [2, 6]; (b) m ∈¡−∞, 2

3

¤; (c) m ∈

¡23, 6¢;

(d) m ∈ (−∞, 2) ∪ (6,∞); (e) m ∈¡−∞, 2

3

¢∪ (6,∞).

45. Daca

f(x) =

½e−x + ax2 + b, x ≤ 0aex + bx3 + 1, x > 0,

atunci exista derivata f 0 : R→ R continua pe R daca:

(a) (a, b) = (−1,−1); (b) (a, b) = (−1, 1); (c) (a, b) = (1,−1);

(d) (a, b) = (1, 1); (e) (a, b) = (2, 1).

46. Sa se precizeze valorile reale ale lui m astfel ca functia

f : R→ R, f (x) =mex − (1 +m) e−x

1 + ex

sa fie strict monotona pe R.

(a) m ∈ [0,∞) ; (b) m ∈ [0, 1] ; (c) m ∈ (−∞,−1] ∪ [0,∞) ;

(d) m ∈ R; (e) m ∈ {0, 1} .


f : (0, π)→ R, f(x) = arctg

r1− cosx1 + cosx

.

(a) x; (b) 2x; (c) 12; (d) x2; (e) 1.

48. Fie A = {a ∈ R | e4x ≥ 4x3 + a2x+ 1, ∀x ∈ R} . Atunci:

(a) A = ∅; (b) A = {2} ; (c) A = {−2, 2} ;

(d) A = (−1, 1) ; (e) A = R .

53


f : (0, π)→ R, f(x) = arcsin(cosx).

(a) x2; (b) − sinx; (c) x; (d) 12; (e) − 1.

50. Functia

f(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

µ(a+ b)x+ 1

bx+ 1

¶ 1x

, x < 0

1, x = 0µax2 + bx+ 1

bx+ 1

¶ 1x2

, x > 0

este continua ın x = 0 daca:

(a) (a, b) = (1,−1); (b) (a, b) = (1, b), b ∈ R;

(c) (a, b) = (0, b), b ∈ R; (d) (a, b) = (−1, b), b ∈ R;

(e) (a, b) = (1, 1).

51. Fie A multimea punctelor de continuitate si B multimea punctelor dederivabilitate ale functiei:

f(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩x

x− 1 , x ∈ (−∞, 0]

x lnx, x ∈ (0, 1)ex − e1, x ∈ [1,∞)

.

Sa se precizeze multimile A si B.

(a) A = R\ {0, 1} , B = R\ {0, 1};

(b) A = R\ {0} , B = R\ {0, 1};

(c) A = R\ {1} , B = R\ {0, 1};

(d) A = R, B = R\ {0, 1};

(e) A = R, B = R.

52. Precizati valorile parametrului real m, functia

f(x) =mex + (m− 1)e−x

1 + e−x


satisface conditiile:

i) f 0(ln 2) = 0;

ii) este descrescatoare pe (−∞,∞) .

(a) i) m = 12; ii) m ∈ [0, 1]; (b) i) m = −1

7; ii) m ∈ [0, 1];

(c) i) m = −2; ii) m ∈ [1, 2];

(d) i) m = 3; ii) m ∈ [−1, 1];

(e) i)m = 34; ii)m ∈ [1,∞) .

53. Fie

f : (−1, 1) \ {0}→ R,f (x) =

µ2 |x|− x

(x+ 1)2

¶ 1ln|x|

si l = limx→0

f (x) .

Atunci:

(a) l = −1; (b) nu exista limita ; (c) l = 1;

(d) l = e; (e) l = +∞.

54. Fie

f : R→ R,f (x) =

½ex − x− 1, x ≤ 0x3 − 3x2, x > 0

.

Atunci:

(a) f e strict crescatoare pe (0,+∞) ;(b) x = 0 e punct critic si nu e punct de extrem local;

(c) x = 2 e punct de maxim local

(d) minx∈R

f (x) = −3;

(e) f nu e derivabila ın x = 0.

55. Fie functia

f : R \ {1, 2, 3, 4}→ R, f(x) =1

x− 1 +1

x− 2 +1

x− 3 +1

x− 4 + 5.

Atunci:

(a) Graficul lui f nu intersecteaza axa Ox.

55

(b) Graficul lui f intersecteaza axa Ox ıntr-un punct.

(c) Graficul lui f intersecteaza axa Ox ın doua puncte.

(d) Graficul lui f intersecteaza axa Ox ın trei puncte.

(e) Graficul lui f intersecteaza axa Ox ın patru puncte.

56. Fie (xn)n∈N si (yn)n∈N doua siruri de numere rationale ce verifica relatia³3 +√7´n= xn + yn

√7,∀n ∈ N.

Daca l = limn→∞

xnynatunci:

(a) l = 1; (b) l = 0; (c) l =√3; (d) l =

√7; (e) l = 3.

57. Fie

f : (0,+∞)→ R, f (x) = limn→∞

1 + xn (x2 + 4)

x (xn + 1).

Atunci:

(a) f e continua pe (0,+∞) ;(b) x = 2 este punct critic pentru f dar nu este de extrem local;

(c) x = 1 este punct unghiular;

(d) maxx∈(0,+∞)

f (x) = 1; (e) f e strict descrescatoare pe (0, 1) .

58. Sa se studieze monotonia functiei

f : [2,∞)→ R, f (x) = x cosπ

x− x, (∀)x ≥ 2.

(a) f este strict descrescatoare pe [2,∞);(b) f este strict crescatoare pe [2,∞);(c) f este strict crescatoare pe [2, 4] si strict descrescatoare pe [4,∞);(d) f este strict crescatoare pe [2, 8] si strict descrescatoare pe [8,∞);(e) f este strict descrescatoare pe [2k, 2k + 1] si strict crescatoare pe[2k + 1, 2k + 2], (∀) k ∈ N∗.


59. Sa se determine asimptotele functiei f : R\ {−1, 0}→ R,

f (x) =x2

x+ 1e1/x.

(a) Asimptote verticale x = −1, x = 0;(b) Asimptota verticala x = −1;(c) Asimptote verticale x = −1, x = 0 si asimptota orizontala y = −1;(d) Asimptote verticale x = −1, x = 0 si asimptota oblica y = x;

(e) Asimptote verticale x = −1, x = 0 si asimptote oblice y = x + 1,y = x− 1.

60. Fief : R→R, f (x) = 3

px2 + (a− 2)x− a+ 2.

Valorile parametrului real a pentru care domeniul de derivabilitate alfunctiei f coincide cu domeniul de definitie sunt date de:

(a) a ∈ R\ {−2, 2} ; (b) a ∈ (−∞,−2) ∪ (2,∞) ;(c) a ∈ (−2, 2) ; (d) a ∈ (−∞,−2]; (e) a ∈ [2,+∞).

61. Pentru ce valori ale lui x > 0 are loc inegalitatea

x arctg x > ln¡1 + x2

¢?

(a) x ∈ (0, π/2) ; (b) x ∈ (0, 2π) ; (c) x ∈ (1,∞)(d) x ∈ (0, 1) ∪ (e,∞) ; (e) x ∈ (0,∞) .

62. Se considera functia f : R→R,

f (x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x+21

2, x < 1

25x

x2 + 1− 1, x ∈ [1, 2]

(x+ 1)2

x− 1 , x ∈ (2, 3]

8, x > 3.

Sa se studieze continuitatea si derivabilitatea lui f pe R.

57

(a) f este continua pe R si derivabila pe R\ {1, 3} ;(b) f este continua pe R\ {3} si derivabila pe R\ {1, 3} ;(c) f este continua pe R\ {3} si derivabila pe R\ {1, 2, 3} ;(d) f este continua pe R si derivabila pe R\ {1} ;(e) f este continua pe R si derivabila pe R\ {1, 2} .


f : R\½−2b

¾→R, f (x) = x2 + ax

bx+ 2.

Determinati a, b ∈ R, b 6= 0, astfel ıncat extremele functiei f sa aiba locpentru x = −8 si x = 4.(a) a = 2, b = −1; (b) a = −16, b = 1; (c) a = 8, b = 0;

(d) a = −1, b = 2; (e) a = 4, b = −4.


f : R→R, f (x) =½

sinxx, pentru x 6= 0,

1, pentru x = 0.

si a = f 0(0), b = f 00(0). Atunci:

(a) a = 0, b = −1; (b) a = 0, b = 13; (c) a = 0, b =∞;

(d) a = 1, b = −13; (e) a = 0, b = 0 .

65. Care este cea mai mica valoare a functiei f : R→ R, definita prin:

f(x) = ln³1 +√1 + x2

´?

(a) −3 ln 2; (b) ln 2, 5; (c) 0; (d) ln 2; (e) ln(1 + e).

66. Valoarea integralei definite:

I =

0Z−1

1 + x

(1− x)2dx.

este:

(a)3

4; (b) ln

e

2; (c) arctg 2; (d)

e

2; (e) 1.


67. Fie functia:

f : (1,∞)→ (0,∞) , f(x) =r

x3 − 1x

si I(a) =

aZ2

1

f2(x)dx, a > 2. Atunci lim

a→∞I(a) este:

(a) 16

√3π + 1

6ln 7; (b) 1√

3(π2− arctg 5√

3) + 1

6ln 7;

(c) 1√3(π2+ arctg 5√

3) + 1

6ln 7; (d) 1√

3(π2− arctg 5√

3)− 1

6ln 7;

(e) 1√3(π2− arctg 5√

3).

68. Valoarea integraleiπ2Z0

¡cos3 x+ sin3 x

¢dx

este:

(a) 23; (b) 1; (c) 1

3; (d) 2π

3; (e) 4

3.

69. Valorea integralei1Z

−1

t2 (1− et)

1 + etdt

este:

(a) 1; (b) e; (c) e−1; (d) 0; (e) ln 2.

70. Fie f : R→ R, f(x) = ex2si F o primitiva a lui f. Se cere lim

x→∞

xF (x)

f(x).

(a) ∞; (b) 0; (c) 12; (d) 1; (e) e.

71. Valorea integralei Zxdx

(x+ a)3/2, x ∈ (−a,∞) , a 6= 0.

este:

(a) 2

µ√x+ a+

1√x+ a

¶+ c; (b) 2

µ√x+ a− a√

x+ a

¶+ c;

59

(c)x− 2a√x+ a

+ c; (d)2

3

x+ a+ 1√x+ a

+ c ; (e) 2x+ 2a√x+ a

+ c.

72. Valorea integralei

I =

π2Z0

sinx

1 + cos2 xdx.

este:

(a) I = 1; (b) I = ln 2; (c) I = π2; (d) I = π

4; (e) I = −π

4.

73. Fie

I =

1Z0

4x3 − 6x2 + 8x− 3(x2 − x+ 1)3

dx.

Atunci:

(a) I = 6; (b) I = 3; (c) I = 0;

(d) I = 4; (e) I = 2.


I =

Zlnx

x2dx pentru x > 0.

este:

(a) I = 12ln2 x+ C; (b) I = 1

2ln2 x; (c) I = − 1

x− 1

xlnx+ C;

(d) I = − 1x+ 1

xlnx+ C; (e) I = 1

x− 1

xlnx+ C.


I =

Zdx

xp4 + ln2 x

pentru x > 0.

este:

a) I = ln(lnx +p4 + ln2 x) + C; (b) I = ln(x +

√4 + x2) + C; (c)

I = ln(lnx−p4 + ln2 x) + C;

(d) I =(2 lnx+ 8)√lnx+ 4

+ C; (e) I = ln(lnx+p4− ln2 x) + C.



I =

Zcosx

sinx− 2 cosxdx

si intervalul de lungime maxima, inclus ın³−π2,π

2

´pe care este adevarata

formula gasita sunt:

(a) I = 15ln(2 cosx − sinx) − 2

5x + C, intervalul de lungime maxima³

−π2, arctg 2

´;

(b) I = 15ln(2 cosx − sinx) − 2


arctg 2,π

2

´;

(c) I = 15ln(2 cosx + sinx) − 2


arctg 2,π

2

´;

(d) I = 15ln(2 cosx − sinx) − 2


−π2,π

2

´;

(e) I = 15ln(2 cosx + sinx) − 2


−π2,π

2

´.


I =

Zdx

(x2 + 1)2.

este:

(a) I = 12arctanx+

x

2(x2 + 1)+ C;

(b) I = 12arctanx− x

2(x2 + 1)+ C;

(c) I = 12arctanx+ C;

(d) I = 12arctanx+

x

2(x2 + 1);

(e) I = −12arctanx+

x

2(x2 + 1)+ C.

61


I =

Zx+ 1

(x2 + 2x+ 5)2dx

este:

(a) I =1

2

x

x2 + 2x+ 5+ C;

(b) I = −12

1

x2 + 2x+ 5+ C;

(c) I =1

2

x

x2 + 2x+ 5+ C;

(d) I = −12

1

x2 − 2x+ 5;

(e) I = −12

x

x2 − 2x+ 5 + C.


I =

Z1√

x2 + 1 + xdx

este:

(a) I =x

2

√x2 + 1+C; (b) I =

x

2

√x2 + 1+

1

2ln³x+

x

2

√x2 + 1

´+C;

(c) I =x

2

√x2 + 1 +

1

2ln³x+

x

2

√x2 + 1

´− x2

2+ C;

(d) I = 12ln³x+

x

2

√x2 + 1

´− x2

2+ C;

(e) I =x

2

√x2 + 1 +

1

2ln³x+

x

2

√x2 + 1

´+

x2

2+ C.


I =

Z µx+ 1

x+ 2

¶2dx

este:

(a) I = x+ ln(x+ 2) + C; (b) I = x− ln (x+ 2) + C;

(c) I = ln (x+ 2)− 1x+2

+ C;

(d) I = x− 2 ln (x+ 2)− 1x+2

+ C;

(e) I = 2 ln (x+ 2)− 1x+2

+ C.


81. Fie I =

2Z0

f(x)dx, unde f : [0, 2]→ R este definita de

f(x) = exmax©1, x2

ª.

Atunci:

(a) I = e2 − 1; b) 2(e2 − 1); (c) e2 − 2;

(d) 3(e2 − 1); (e) 2e2 − 1.

82. Fie I =

2Z0

f(x)dx, unde f : [0, 2]→ R este definita de

f(x) = min

½x,

2

1 + x2

¾.

Atunci:

(a) I =1

2+ 2arctg 2− π

2; b) I =

1

2+ 2 arctg 2; (c) I = 2;

(d) I = 2arctg 2; (e) I = 2arctg 2− π

2.

83. Fie f : [−1, 1]→ R, f (x) = max {ex, e−x} .Valoarea integralei

I =

1Z−1

f (x) dx este :

(a) I = 0; (b) I = 1; (c) I = 2 (e− 1); (d) I = 3; (e) I = 4.

84. Valoarea integraleieZ1

lnx

xdx.

este:

(a) 2; (b) 1; (c) 1/2; (d) 0; (e) 3.

63

85. Sa se determine valoarea integralei

3Z2

tdt

1 + t2.

(a)ln 2

2; (b)

1

3; (c)

ln 3

3; (d)

3

2; (e) 2.

86. Sa se calculezeπ4Z0

cosxdx

1 + sin2 x.

(a)1

2; (b)

3

2; (c) arctg

√3; (d) arctg

1√3; (e) arctg

√2

2.

87. Valoarea integralei4Z0

dx

1 +√x

este:

(a) 3; (b) 2− 2 ln 2; (c) 3 + 2 ln 2; (d) 4− 2 ln 3; (e) 1.

88. Sa se determine valoarea integralei:

I =

1Z0

(x+ 1)√x2 + 1dx.

(a) I =√2 + ln(2 +

√2); (b) I =

3

2

√2 + ln(1 +

√2);

(c) I =7

6

√2− 1

3+1

2ln(1 +

√2); (d) I =

7

6

√2 +

1

3− ln(1 +

√2);

(e) I =3

4+7

6ln(1 +

√2) +

√2.

89. Sa se calculeze:

I =

1Z0

√x3 − x2 − x+ 1dx.


(a) 8√2 + 3; (b) 8

√2− 3; (c)

2

15(8√2− 7);

(d) 82

15(8√2 + 7); (e)

2

15(8√2− 3).

90. Fie functia f : R→ R, definita prin relatia:

f(x) =¡x2 + 4x+ 5

¢ex.

Daca x1 si x2(x1 < x2) sunt cele doua puncte de inflexiune ale functiei,sa se afle aria S, cuprinsa ıntre graficul functiei f, axa Ox si dreptele deecuatie x = x1, respectiv x = x2.

(a) 6(3− e)e−3; (b) 6(e2 − 3)e−5; (c) 5(e2 − 2)e−2;

(d) 5(e2 − 1)e; (e) 18 + 5e3.


I =

1Z0

x arcsinxdx.

(a)2π

3; (b) 1 +

π

2; (c)

π

8; (d)

√3 +

π

2; (e)

√3 + π.

92. Fie (In)n∈N,n≥2 sirul cu termenul general

In =

nZ1

x− 1x+ 1

dx,∀n ∈ N,n ≥ 2 si l = limn→∞

Inn.

Atunci:

(a) l = 0; (b) l =1

2; (c) l = 1; (d) l = −1; (e) l = 2.

93. Fie functia f : R→ R, f(x) = x−2+ |x− 1|+ |x− 3| . Fie F o primitivaa lui f astfel ıncat F (2) = 2. Atunci F (4) este egal cu:

(a) 0; (b) −6; (c) 8; (d) 10; (e) 9.


I =

1Z0

dx

x3 + x2 + 4x+ 4,

65

(a) I =1

5

µln8

5− 12arctg

1

2

¶; (b) I =

1

10

µln16

5− arctg 1

2

¶;

(c) I =1

10

µln16

5+ arctg

1

2

¶; (d) I =

1

10

µ− ln 16

5+ arctg

1

2

¶;

(e) I = ln32

5.

95. Sa se determine valoarea integralei I =

πZ0

x · sinx1 + cos2 x

dx.

(a) I =π2

4; (b) I = 0; (c) I =

π

2; (d) I =

π√2

2; (e)I =

π2

8;

96. Se cosidera functia

f(x) =1

x3 + x+ 2− 1

4(x+ 1);x 6= −1.

Sa se calculeze

I =

1Z0

f(x)dx.

(a) I =3

2√7arctg

1√7; (b) I =

3√7arcsin

1√7; (c) I =

√7

2;

(d) I =1√7+ ln(1 +

√7); (e) I =

√7

2+ arctg

2√7.

97. Sa se calculeze

I =

aZ0

xdx√x+ a

,

unde a > 0 este o constanta.

(a) I = (2−√2)a√2; (b) I = 2

3(2 +

√2)a√a;

(c) I = 23(2−

√2)a√a; (d) I = (2 +

√2)a2;

(e) I = (2−√3)(a+

√a).


98. Pentru a ∈ (1, 3) valoarea integralei

I =

3Z1

dx

|x− a|+ 1 ,

este:

(a) I = ln [a(4− a)] ; (b) I = ln(4− a); (c) I = ln [a(a− 4)] ;(d) I = ln 4−a

2−a ; (e)I = ln [(2− a)(4− a)] ;

99. Integrala

I =

Z a

−a

x2dx√x2 + a2

,

unde a > 0 este dat, este egala cu:

(a) I = a2√2− a2 ln

p3 + 2

√2; (b) I = a2

¡1 +√1 + a2

¢;

(c) I = 2a2√2− a2√

1 + a2; (d) I = 2a2

√2− a2 arctg (2/a) ;

(e) I = a2√2− a2π/2.


f : [−1, 1]→ R, f (x) = max

∙µ1

3

¶x

, 3x¸.

Atunci valoarea integralei I =

1Z−1

f (x) dx este:

(a) 2/ ln 3; (b) −2/ ln 3; (c) 4/ ln 3; (d) −4/ ln 3; (e) 9− (1/9) .

101. Valoarea integralei I =

π/4Zπ/6

cos2 xdx este:

(a) cosπ

8; (b) sin2

π

8; (c)

π

3+1

4+

√2

4;

(d)π

12+1

4−√3

8; (e)

π

24+1

4−√3

8.

67


f : [0,∞]→ R, f (x) = limn→∞

x2n + x3 + x

x2n−1 + x2 + 1.

Atunci valoarea integralei I =

2Z12

f (x) dx este:

(a) 3/2; (b) 15/8; (c) 17/8; (d) 0; (e) -2/3.

103. Valoarea parametrului a ∈ R pentru care are loc relatia

πZ0

(x2 + ax) sinnxdx =π2

n,∀n ∈ N∗,

este:

(a) a = 2π; (b) a = −2π; (c) a = 3π;

(d) a = −3π; (e) a = 0.

104. Sa se determine numarul p al perechilor ordonate (m,n) ∈ R2 astfel ıncat

P (x) = x3 − 3mx+ n sa aiba o radacina reala dubla si

2Z0

P (x)dx = 2.

(a) p = 1; (b) p = 3; (c) p = 0; (d) p = 4; (e) p = 2.

105. Fie functia f : RÂ {2}→ R,

f(x) =x2 − 1(x− 2)2

.

Aria cuprinsa ıntre graficul functiei f si dreptele x = 3 si x = 4 este:

(a) ln 2 + 52; (b) 4 ln 2 + 5

2; (c) ln 2 + 5; (d) 5

2; (e) 4 ln 2.

106. Folosind sume Riemann, sa se calculeze:

limn→∞

µ1√

n2 + n+

1√n2 + 2n

+ · · ·+ 1√n2 + n2

¶.

(a) 2(√2− 1); (b) 2

√2; (c)

√2− 1; (d)

√22; (e) 2 +

√2.


107. Aria domeniului plan cuprins ıntre parabolele de ecuatii y2 = 2x si x2 =2y este:

(a) 0; (b) 43; (c) 1; (d) 1

3; (e) ∞.

108. Aria domeniului plan cuprins ıntre parabolele de ecuatii y2 = ax si x2 =by, unde a si b sunt constante reale pozitiv, este:

(a) 2ab; (b) a2b; (c) ab2; (d) ab; (e)ab

3.

109. Fief : (0, π)→ R, f(x) = (cosx) · ln(sinx).

Aria multimii cuprinse ıntre graficul lui f, axa Ox si dreptele de ecuatiix = π

4, x = π

2este:

(a) 1−√22−√24ln 2; (b) −1 +

√22+√24ln 2; (c) 1 +

√22−√24ln 2;

(d) −1 +√22+√24ln 2; (e) 1−

√22+√24ln 2.

110. Calculati volumul corpului de rotatie obtinut prin rotirea ın jurul axeiOx a subgraficului asociat functiei

f : [0, a]→ R, f (x) =a

2

¡ex/a + e−x/a

¢, cu a > 0 dat.

(a) V = πa3 (e− e−1 + 2) /8;

(b) V = aπ¡e1/a + e−1/a

¢/2;

(c) V = πa2 (2e2/a− 2e−2/a+ 2) /4;(d) V = πa2

¡e1/a − e−1/a + 1

¢/4;

(e) V = πa3 (e2 − e−2 + 4) /8.

Capitolul 3

Trigonometrie

1. Sa se elimine θ ıntre relatiile:

sin θ + cos θ = asin5 θ + cos5 θ = b.

(a) a(5− a4) = 4b; (b) a(3− a4) = 2b; (c) a4 − 3 = a3b;

(d) a5 + a3 − 1 = b; (e) a4 + b4 = 2ab.

2. Fie m ∈ R, n ∈ R. Sa se elimine x ∈ R ıntre relatiile½sinx− cosx = msin3 x− cos3 x = n

.

(a) m3 − 3m+ 2n = 0; (b) m

µ1 +

m2 − 12

¶= n;

(c) nu se poate elimina x;

(d) −mµ1 +

1−m2

2

¶= n; (e) m (m2 − 3) = 2n.

3. Sa se calculeze numarul cosπ

5.

(a)3

4; (b)

√10

4; (c)

√2 +√3

4; (d)

1−√5

4; (e)

1 +√5

4.

4. Valoarea expresiei:

E =1

sin 100−√3

cos 100

69

70 CAPITOLUL 3. TRIGONOMETRIE

este:

(a) E = 3; (b) E = 1; (c) E = 0;

(d) E = 2; (e) E = 4.

5. Sa se precizeze valoarea expresiei:

E = sin 700 cos 500 + sin 2600 cos 2800.

(a) E =1

2; (b) E =

√3

2; (c) E =

√3

4;

(d) E = 1; (e) E = 0.

6. Pentru x 6= kπ

2, k ∈ Z, valoarea expresiei:

E(x) =3 + cos 2x

2 + tg2 x+3− cos 2x2 + ctg2 x

este:

(a) 4 sinx; (b) 4 cosx; (c) 2 sin 2x; (d) 2; (e)√2(sinx+ cosx).

(c) x = π2+ kπ, k ∈ Z; (d) x = ±π

2+ kπ, k ∈ Z; (e) x ∈ ∅.

7. Sa se calculeze valoarea expresiei

E (x) =sinx+ sin 3x+ sin 5x

cosx+ cos 3x+ cos 5xın x =

π

12.

(a)√2/2; (b) −

√2/2; (c) 1; (d) −1; (e) cos

π

12.

8. Fie x = sin 1, y = cos 1, z = tg 1. Atunci:

(a) x < y < z; (b) y < z < x; (c) z < x < y;

(d) x < z < y; (e) y < x < z.

9. Se dau numerele x = cos 3, y = tg 3, z = ctg 3 Atunci

(a) x < y < z; (b) y < x < z; (c) z < y < x;

(d) x < z < y; (e) z < x < y.

10. Se considera unghiurile ascutite α, β, γ a caror suma este π/2. Stiind canumerele ctgα, ctg β, ctg γ sunt ın progresie aritmetica, sa se calculezevaloarea produsului ctgα · ctg γ.(a) sinβ + cos β; (b) tg β; (c) ctg β; (d) 3; (e) 1.

71

11. Fie

f : R→ R, f(x) = sinx+ cosx

si A = {y ∈ R|∃x ∈ R : f(x) = y} . Atunci:(a) A = [−2, 2] ; (b) A = [−1, 1] ; (c) A = ∅;

(d) A =£−√2,√2¤; (e) A = [0, 1] .


sin2 x

(1 + tg x) cosx− cos2 x

(1 + ctg x) sinx=√2

este:

(a)π

4+ 2kπ, k ∈ Z; (b)

3π

4+ 2kπ, k ∈ Z; (c) ∅;

(d) ± π

4+ kπ, k ∈ Z; (e) ± π

3+ 2kπ, k ∈ Z.

13. Sa se rezolve ecuatia:cos2 x+ sin2 2x = 2.

(a) x = kπ, k ∈ Z; (b) x = (2k + 1)π4, k ∈ Z;

(c) x = π2+ kπ, k ∈ Z; (d) x = ±π

2+ kπ, k ∈ Z; (e) x ∈ ∅.

14. Precizati valorile lui p ∈ R pentru care ecuatia admite cel putin o solutie:

sinx+ p cosx = 2p.

(a) |p| ≤ 1; (b) |p| ≤ 1

2√2; (c) |p| ≤ 1√

3;

(d) p ≤ 12; (e) p ≤ 1√

3.

15. Multimea solutiilor ecuatiei√3 sin 4x+ 8 sin2 x cos2 x = 1

este:

(a) x = (2k + 1)π

6; (b) x =

π

2+

kπ

6; (c) x =

π

24+

kπ

4;

(d) x =π

12+

kπ

4; (e) x = − π

24+

kπ

4.


16. Numarul solutiilor reale ale ecuatiei

arctg1

x− 1 + arctg1

x+ 1− arctg 1

x2 − 1 =π

4

este:

(a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3; (e) 4.


(sin 2x− cos 2x)¡1 + tg2 x

¢= 2

este:

(a) x ∈©kπ + π

3| k ∈ Z

ª; (b) x ∈ {2kπ | k ∈ Z} ;

(c) x ∈©kπ + π

4| k ∈ Z

ª∪ {arctg(−3) + kπ | k ∈ Z} ;

(d) x ∈©kπ + π

6| k ∈ Z

ª∪ {arctg(−3) + kπ | k ∈ Z} ;

(e) x ∈©kπ + π

2| k ∈ Z

ª∪ {arctg(−3) + kπ | k ∈ Z} .


cosx− sinx+ 2 = 2 cos2 x+ sin 2x

este:

(a) x ∈nπ4+ kπ | k ∈ Z

o∪n(−1)k π

6+ kπ | k ∈ Z

o;

(b) x ∈n2kπ +

π

2| k ∈ Z

o; (c) x ∈

nkπ +

π

3| k ∈ Z

o;

(d) x ∈ {kπ | k ∈ Z} ; (e) x ∈n2kπ − π

2| k ∈ Z

o.


8 cos6 x− 8 cos4 x+ 4cos2 x− 1 = 0

este:

(a) x ∈nπ4+ k

π

2| k ∈ Z

o; (b) x ∈

nkπ +

π

4| k ∈ Z

o;

(c) x ∈nkπ +

π

3| k ∈ Z

o; (d) x ∈ {kπ | k ∈ Z} ;

(e) x ∈n2kπ ± π

6| k ∈ Z

o

73


ctg2 x =1 + sinx

1 + cosx

este:

(a) x ∈nπ4+ kπ | k ∈ Z

o∪ {kπ | k ∈ Z} ;

(b) x ∈nkπ +

π

4| k ∈ Z

o∪n−π2+ 2kπ | k ∈ Z

o;

(c) x ∈n2kπ ± π

3| k ∈ Z

o; (d) x =

n(2k + 1)

π

2| k ∈ Z

o;

(e)nx = 2kπ ± π

6| k ∈ Z

o.

21. Precizati solutiile ecuatiei:

tg x+ tg(x+ a) = 0, a 6= kπ, k ∈ Z.

(a) x = kπ − a2; (b) x = kπ − a; (c) x = kπ

2− a

2;

(d) x = −a2; (c) x = ±a

2.

22. Solutiile ecuatiei

sin3 x cos 3x+ cos3 x sin 3x =3

8

sunt:

(a)π

24+ k

π

2, k ∈ Z; (b)

11π

24+ k

π

2, k ∈ Z; (c) ± π

24;

(d) (−1)k π

24+ k

π

4, k ∈ Z; (e) − π

24+ k

π

2, k ∈ Z.

23. Sa se rezolve:sin2 x+ sin2 2x = 2.

(a) x = kπ, k ∈ Z; (b) x = (2k + 1)π, k ∈ Z;

(c) ecuatia nu are solutii; (d) x =π

2+ kπ, k ∈ Z;

(e) x = kπ ± π

2, k ∈ Z.



cos(cosx) = sin(sinx)

este:

(a) (0, π); (b) [0, π]; (c) R; (d) ∅; (e)³0,π

2

´.

25. Sa se rezolve ecuatia trigonometrica

cos2 x+ cos2 2x = 2.

(a) x = 2kπ, k ∈ Z; (b) x = (2k + 1)π, k ∈ Z;

(c) x = kπ

2, k ∈ Z; (d) x = kπ, k ∈ Z; (e) x =

π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

26. Sa se rezolve ecuatia trigonometrica

sinx+ sin 2x+ sin 3x = 0.

(a) x = (−1)kπ3+ kπ, k ∈ Z; (b) x = 2kπ, k ∈ Z; (c) x = kπ, k ∈ Z;

(d) x =kπ

2sau x = 2kπ ± 2π

3, k ∈ Z; (e) x = (2k + 1)

π

2, k ∈ Z.

27. Sa se gaseasca solutiile din intervalul [0, 2π] ale ecuatiei

log√2 sinx (1 + cosx) = 2.

(a) x ∈nπ3, πo; (b) x ∈

½π

3,2π

3

¾; (c) x ∈

½π

3,2π

3,5π

3

¾;

(d) x ∈nπ3

o; (e) x ∈

½π,2π

3,5π

3

¾;

28. Sa se precizeze multimea solutiilor ecuatiei

arcsin(1 + x) = arccos(1− x).

(a) R; (b) ∅; (c) {0} ; (d) [0, 2] ; (e) [−2, 2] .

75

29. Se considera ecuatia:

8 cos 2x+ 8p cos2 x+ p = 0

ın care x este necunoscuta, iar p este un parametru real. Sa se precizezevalorile lui p pentru care ecuatia admite solutii.

(a) p ∈ (−2, 8) ; (b) p ∈ (−2, 8] ; (c) p ∈¡−2,−8

9

¢;

(d) p ∈£−89, 8¤; (e) p ∈ (−∞,−2) ∪

¡−2,−8

9

¢.


cos 3x cos3 x+ sin 3x sin3 x = 0

este:

(a) (π/4) + 2kπ; (b) (−π/4)± 2kπ; (c) (±π/4) + kπ;

(d) (π/4)± kπ; (e) (π/4) + kπ.

31. Multimea solutiilor sistemului de ecuatii(x− y =

π

6tg 3x+ tg 3y = 0

este:

(a) x = (2k + 1)π

6, y = (2k0 + 1)

π

6; (b) x =

π

2+

kπ

6, y =

π

3+

k0π

6;

(c) x =π

6+

kπ

3, y = −π

6+

k0π

3; (d) x =

π

12+

kπ

6, y = − π

12+

k0π

6;

(e) x = ±π

2+

kπ

6, y = −π

2+

k0π

6.Pentru k, k0 ∈ Z.

32. Multimea solutiilor sistemului½cosx cos y = 3

4

sinx sin y = −14

este:

(a) x = ±π

6+mπ, y = ±π

6+ nπ; (b) ;x = ±π

2+mπ, y = ±π

3+ nπ

(c) x = ±π

6+2mπ, y = ±π

6+kπ

3; (d) x =

π

12+mπ

6, y = − π

12+nπ

6;

(e) x = − π

12+

mπ

6, y = − π

12+

nπ

6. Pentru m,n ∈ Z.


33. Sa se rezolve inecuatia2 tg 2x ≤ 3 tg x

este:

(a)[k∈Z

µ−π4+

kπ

2; k

π

2

¸\n(2k + 1)

π

2

o; (b)

[k∈Z

µ−π4+

kπ

2; k

π

2

¸;

(c) ∅; (d)n(2k + 1)

π

2

o; (e)

[k∈Z

µ−π3+

kπ

2; k

π

2

¸\n(2k + 1)

π

2

o.

34. Sa se rezolve ecuatia:

sin(2x+ 1) = cos(2x− 1).

(a) ±π

8+ k

π

2; (b) ±π

8+ kπ; (c)

π

8+ k

π

2;

(d) (−1)kπ8+ k

π

2; (e) ±π

4+ k

π

2. Pentru k ∈ Z.

35. Sa se determine solutiile ecuatiei

sin10 x+ cos10 x =29

16cos4 2x.

(a)π

8+ k

π

2; (b) −π

8+ k

π

2; (c)

3π

8+ kπ;

(d)π

8+ k

π

4; (e) k

π

8. Pentru k ∈ Z.

36. Multimea solutiilor ecuatiei:

sin6 x+ cos6 x =1

4

este:

a) (−1)kπ4+ k

π

2; (b) (−1)k+1π

4+ k

π

2; (c) ±π

4+ k

π

2;

(d)π

4+ k

π

2; (e) (2k + 1)

π

2. Pentru k ∈ Z.

37. Fie M =nx | x ∈

h−π2,π

2

isi 4 |sinx| cosx = 1

o.

Sa se afle numarul de elemente al multimii {x+ y | x, y ∈M}.a) 2; b) 5; c) 7; d) 9; e) 10.

Capitolul 4

Geometrie

1. Precizati m ∈ R pentru care distanta dintre punctele A (4,m) si B (0, 4)sa fie 5:

(a) 5; (b) {1, 7} ; (c) 10; (d) {2, 5}; (e) {0, 5} .

2. Coordonatele a doua varfuri a unui triunghi echilateral sunt A(−1, 0) siB(1, 0). Coordonatele celui de al treilea varf sunt:

(a)©(−√3, 0), (

√3, 0)

ª; (b)

©(0,−

√3), (0,

√3)ª;

(c) {(0,−1), (0, 1)}; (d) {(0,−2), (0, 2)}; (e) {(−1, 0), (1, 0)} .

3. Se considera punctul A de coordonate (4, 2) . Punctele situate pe axa Oxaflate la distanta d = 2

√5 au coordonatele

(a)©(−2√5, 0), (2

√5, 0)

ª; (b)

©(0,−2

√5), (0, 2

√5)ª;

(c) {(0, 0), (0, 4)}; (d) {(0, 0), (8, 0)}; (e) {(0, 0), (4, 0)} .

4. Se considera punctul A de coordonate (4, 2) . Punctele situate pe axa Oyaflate la distanta d = 2

√5 au coordonatele

(a)©(−2√5, 0), (2

√5, 0)

ª; (b)

©(0,−2

√5), (0, 2

√5)ª;

(c) {(0, 0), (0, 4)}; (d) {(0, 0), (8, 0)}; (e) {(0, 0), (4, 0)} .

5. Doua varfuri consecutive ale unui paralelogram au coordonatele (1, 4) si(1, 2) iar punctul de intersectie al diagonalelor are coordonatele (3, 3) .Coordonatele celorlalte doua varfuri sunt:

(a) {(2, 6), (0, 2)} ; (b) {(4, 7), (4, 5)} ;(c) {(5, 2), (5, 4)}; (d) {(4, 5), (2, 5)}; (e) {(2,−1), (2, 1)} .

77

78 CAPITOLUL 4. GEOMETRIE

6. Se considera punctele A (−2,−3) , B (1,−7) si C (4,−3) . PunctulD, ast-fel ıncat patruleterul ABCD sa fie paralelogram, are coordonatele:

(a) (1, 1); (b) (−1,−10);(c) (2,−6); (d) (2, 2); (e) (2, 1).

7. Consideram punctulM de coordonate (−5, 9) . Coordonatele simetricelorfata de axa Ox,Oy si fata de origine sunt:

(a) {(−5,−9), (5, 9), (5,−9)} ; (b) {(−5, 9), (5, 9), (5,−9)} ;(c) {(−5,−9), (5, 9), (−5, 9)}; (d) {(−5,−9), (−5, 9), (5,−9)};(e) {(−5,−9), (5,−9), (5, 9)} .

8. Coordonatele punctului de pe dreapta de ecuatie x = 5 aflat la egaladistanta de A (−1,−1) si B (−3, 1) este:(a) (5, 1); (b) (−1, 7);(c) (2,−7); (d) (5, 7); (e) (−5,−7).

9. Se considera triunghiul cu varfurile A (−2, 0) , B (2, 0) , C (0, 6) . Coordo-natele centrului cercului circumscris si raza acestui cerc sunt:

(a) (1, 1), 2; (b) (0, 2), 2√2;

(c) (0, 83), 10

3; (d) (2, 2), 10

3; (e) (8

3, 0), 10

3.

10. Ecuatia dreptei care trece prin punctele A (2, 7) si B (2, 10) este:

(a) x = 2; (b) y = 2;

(c) y = 7; (d) x = 0; (e) x = 10.

11. Ecuatia dreptei care trece prin punctul A (2, 7) si formeaza cu axa Oxun unghi de 60◦ este:

(a) y + x√3 = 7; (b) y − x

√3 = 7− 2

√3;

(c) y − x√3 = 2

√3; (d) y − x 1√

3= 7− 2

√3;

(e) y − x√3 = 7 + 2

√3.

12. Ecuatia dreptei care trece prin punctul A (2, 7) si formeaza cu axa Oxun unghi de doua ori mai mare decat acela format de dreapta x−2y = 1este:

(a) y − x√3 = 7; (b) y − x

√3 = 2

√3;

79

(c) y − x√3 = 7− 2

√3; (d) y − x 1√

3= 7− 2

√3;

(e) y − x√3 = 7 + 2

√3.

13. Dreptele y = 0, x+y = 1,−x+y = 2 formeaza un triunghi. Coordonatelevarfurilor triunghiului sunt:

(a)©(−2, 0), (1, 0),

¡−12, 32

¢ª; (b) {(0,−2), (4,−4), (0, 0)} ;

(c)©(0,−2), (1, 1),

¡−12, 32

¢ª; (d)

©(0,−2), (0, 1),

¡−2, 3

2

¢ª;

(e) {(2,−1), (2, 1), (0, 0)} .

14. Dreptele (d1) : 3x− y+6 = 0, (d2) : 2x+ y− 6 = 0, (d3) : y = 0 formeazaun triunghi. Aria triunghiului este:

(a) 30; (b) 10; (c) 20; (d) 25; (e) 15.

15. Dreptele 12x+my+n = 0 si nx− 5y+3 = 0 reprezinta aceeasi dreaptapentru valorile:

(a) {(m = −10, n = 6), (m = 10, n = −6)} ;(b) {(m = −10, n = −6), (m = 10, n = −6)} ;(c) {(m = −10, n = 6), (m = −10, n = −6)};(d) {(m = 10, n = 6), (m = −10, n = −6)};(e) {(m = −10, n = 6), (m = 10, n = 6)} .

16. Ecuatia dreptei care trece prin punctul A (2, 4) astfel ıncat acest punctsa divida ın parti egale portiunea dreptei cuprinsa ıntre axe este:

(a) y − 2x = 8; (b) y − x = 2; (c) y + 2x = 7;

(d) y + 2x = 8; (e) y − x = 7 + 2√3.

17. Valoarile lui m pentru care dreptele 3x − 2my + 6 = 0, x − 2 = 0, y =mx− 1 sunt concurente sunt:(a) m = −2;m = −3

2(b) m = 2;m = 3

2;

(c) m = −2;m = 32; (d) m = 2;m = −1

2; (e) m = 2;m = −3

2.

18. Coordonatele punctului comun dreptelor 2x−3y−5 = 0, 3x+4y−16 =0, 4x− 23y + 7 = 0 sunt:(a) (4,−1); (b) (4, 1);

(c) (1,−1); (d) (2, 2); (e) (2, 1).

80 CAPITOLUL 4. GEOMETRIE

19. Ecuatia dreptei care este perpendiculara pe dreapta care trece ce treceprin punctele A (4, 2) si B (3,−5) si trece prin punctul C (4, 2) este:(a) x+ 7y = 18; (b) 2x− 7y = −6;(c) x− 7y = −10; (d) −x+ 7y = 18; (e) x+ y = 18.

20. Ecuatia dreptei care trece prin punctul de intersectie al dreptelor 2x −3y − 12 = 0, x+ y − 11 = 0 si prin punctul de coordonate (1, 1) este:(a) −1

8x+ y + 7

8= 0; (b) 8x− y − 7 = 0;

(c) 18x− y + 7

8= 0; (d) 1

8x− y − 7

8= 0; (e) 1

8x+ y + 7

8= 0.

21. Ecuatia dreptei care trece prin punctul de intersectie al dreptelor 2x −3y−12 = 0, x+y−11 = 0 si este perpendiculara pe dreapta 2x−3y+5 =0.

(a) −3x+ y + 7 = 0; (b) 3x− y − 7 = 0;(c) 3x+ y + 31 = 0; (d) 3x− 2y − 31 = 0; (e) 3x+ 2y − 31 = 0.

22. Valoarea lui k ∈ R pentru care dreptele 4x− ky = 6 si 6x+ 3y + 2 = 0sunt perpendiculare este:

(a) k = 8; (b) k = −8;(c) k = 1

8; (d) k = −1

8; (e) k = 4.

23. Distanta de la punctul (5, 6) la dreapta −2x+ 3y + 4 = 0 este:(a) 12

13

√12; (b) 12

13

√13;

(c) 1213; (d) 12; (e)

√13.

24. Cosinusul unghiului dintre vectorii −→a = −3−→i + 4−→j si−→b = 4

−→i + 6

−→j

este:

(a) 0; (b) π4; (c) 3π

2; (d) π

4; (e) π.

25. Fie drepta (d) : x+y+1 = 0 si punctul P (1, 2) . Coordonatele punctuluiQ ∈ (d) astfel ıncat |PQ| = 4 sunt:(a) {(−2, 1), (2,−1)} ; (b) {(1,−2), (−3, 2)} ;(c) {(−2, 1), (2,−3)}; (d) {(−1, 0), (3,−4)}; (e) {(0,−1), (4,−5)} .

Capitolul 5

Indicatii si raspunsuri

5.1 Algebra

1. Privim graficul unei functii de grad 2, adica o parabola cu axa de simetrieparalela cu Oy.

Raspuns corect: (e).

2. Impunem conditiile ∆ = 4(a2 − b) ≥ 0, S = −2a < 0, P = b > 0.

Raspuns corect (c).

3. Impunem conditiile x1x2 =m−2m

< 0, x1 + x2 = −m+1m

< 0,∆0 = (m +1)2 −m(m− 2) = 4m+ 1 > 0.

Raspuns corect: (c).

4. Calculam ∆ = 4(m2 − 5am + a2 + 2). i) ∆ ≥ 0, ∀m ∈ R ⇒ |a| ≤q

821,

ii) ∆ ≥ 0,∀a ∈ R ⇒ |m| ≤q

821,

Raspuns corect: (b).

5. Conditia implica mx2 + (m+ 1)x+m− 1 ≤ 0,∀x ∈ R. Rezulta m < 0si ∆ ≤ 0⇒ −3m2 + 6m+ 1 ≤ 0, m ∈

¡−∞, 1− 2

3

√3¤∪ (1 + 2

3

√3,∞)

Raspuns corect (d).

6. Varianta I. Echivalent avem mx2 + (m− 1)x − (m− 2) ≤ 0, ∀x ∈ R.Este necesar ca m < 0 ceea ce elimina raspunsurile a, c si e. Dar pentrum = −1 obtinem −x2 − 2x+ 3 ≤ 0 care nu se verifica daca x = 0.

81

82 CAPITOLUL 5. INDICATII SI RASPUNSURI

Raspuns corect: (d).

Varianta II. Se pun conditiile echivalente m < 0 si ∆ ≤ 0 care conduc laun sistem incompatibil.

7. Se studiaza ca o inecuatie ın x si se pune conditia ∆ < 0 pentru orice yreal.


8. Se impun conditiile m− 1 > 0,∆ < 0.

Raspuns corect (b).

9. Varianta I. Daca x = 1 inegalitatea este verificata ∀λ ∈ R. Daca x 6=1 inegalitatea este echivalenta cu λ > −2 x+1

(x−1)2 , ∀x ∈ [0, 1) ∪ (1, 3].Studiem variatia functiei din membrul drept si constatam ca valorileacesteia constituie intervalul (−∞,−2].Varianta II. Pentru λ = 0 inegalitatea se verifica ∀x ∈ [0, 3]. Daca λ 6= 0,interpretam membrul stang ca o functie de grad 2 si problema se reducela una din variantele:

i) λ > 0 si ecuatia atasata nu are radacini reale;

ii) λ > 0 si ecuatia are ambele radacini negative;

iii) λ > 0 si ecuatia are radacinile mai mari ca 3 sau

iv) λ < 0 si ecuatia are o radacina negativa, iar cealalta mai mare ca 3.

Raspuns corect: (d) .

10. Din relatiile lui Viete rezulta x21 + x22 = a2 − 2a, x31 + x32 = −a3 + 3a2.Conditia devine −a3 + 3a2 < a2 − 2a ⇔ a(a2 − 2a − 2) > 0, ceea ceimplica a ∈

¡1−√3, 0¢∪¡1 +√3,∞

¢.


11. Notam x1 + x2 = s, x1x2 = p si atunci relatiile date conduc la sistemul½4p− 5s = −4p− s = m

1−m.

Obtinem s = 41−m , p =

m+41−m , iar ecuatia de gradul al doilea este

(1−m)x2 − 4x+m+ 4 = 0,m ∈ R\ {1}.Pentru ca −1 < x1 < x2 < 1 impunem

5.1. ALGEBRA 83⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∆ > 0

−1 < − b2a

< 1a · f(−1) > 0a · f(1) > 0

⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩m(m+ 3) > 0−1 < 2

1−m < 19(1−m) > 01−m > 0

, de unde m ∈ (−∞,−3).


12. Membrii stangi ai ecuatiilor fiind polinoame omogene, amplificam primaecuatie cu 13 si o adunam la a doua de unde obtinem:

2³xy

´2− 5

³xy

´+ 2 = 0 etc.


13. Notam x + y = s si xy = p. Se obtine p + s = 11 si ps = 30 de undes = 5, p = 6 sau s = 6, p = 5 etc.


14. Inegalitatea este echivalenta cu −1 < 2x2 − 1x2 − 1 < 1.

Raspuns corect (e).

15. Varianta I. Inegalitatea este echivalenta cu inegalitatile: 7x−1(x−1)(x−3) < 0

si 2x2−x+5(x−1)(x−3) > 0.

Raspuns corect (e).

Varianta II. Observam ca pentru x = 2 inegalitatea devine 129< 1, fals,

deci raspunsurile (a), (b), (c) sunt excluse. Pentru x = 32inegalitatea

devine 73< 1, fals, deci raspunsul (d) este exclus. Cum un singur raspuns

este corect, rezulta ca acesta este (e).

16. Impunem conditiile x 6= 0, 1 − 4x2 ≥ 0 ⇒ x ∈£−12, 0¢∪¡0, 1

2

¤. Pentru

x ∈£−12, 0¢fractia este negativa, deci inferioara lui 3. Pentru x ∈

¡0, 1

2

¤inecuatia devine 1− 3x <

√1− 4x2. Pentru x ∈

£13, 12

¤inegalitatea este

verificata deoarece 1 − 3x ≤ 0. Pentru x ≤ 13inecuatia este echivalenta

cu 13x2 − 6x < 0⇒ x ∈¡0, 6

13

¢.

Raspuns corect (b).

17. Se observa ca√x− a ≥ 0,

√x− b ≥ 0,

√x− c ≥ 0 si d > 0.

Raspuns corect (a).


18. Varianta I. Existenta radicalilor impune x > 13. Cum, pentru x → 1

3,

x < 512, avem f(x)→ −

√2 < −1 putem alege solutia corecta.

Raspuns corect: (a) .

Varianta II. Scriem echivalent√3x− 1 + 1 >

√3x+ 1 si eliminam radi-

calii ridicand la patrat.

19. Se rezolva inegalitatile:1 + 4x

x≥ 0, 1 + 4x

x< 1.

Raspuns corect (e).

20. Inecuatia se scrie:p|x− 6| > |x− 6| si deoarece |x− 6| ≥ 0, ecuatie

devine |x− 6| > |x− 6|2 ⇒ 0 < |x− 6| < 1⇒ x ∈ (5, 7) .Raspuns corect (b).

21. a =6p7 +√48 < b =

6p7 +√50.

Raspuns corect (e).

22. Varianta I. Observam ca a =3

q¡−1 +

√3¢3 − 3

q¡1 +√3¢3= −2.

Raspuns corect: (b) .

Varianta II. Evident, a ∈ R si, eliminand radicalii, obtinem:

a3 + 6a+ 20 = 0⇔ (a+ 2) (a2 − 2a+ 10) = 0.

23. Expresia de sub radical trebuie sa fie ≥ 0. Consideram doua situatii:

i) a > 0 ⇒ 1 + (4− a2)x− x2 ≥ 0 ⇒

x ∈∙4−a2−

√(a2−4)2+42

,4−a2+

√(a2−4)2+42

¸, caz ın care l =

p(a2 − 4)2 + 4

care este minim pentru a2 = 4⇒ a = 2;

ii) a < 0⇒interval infinit de lungime infinita.Raspuns corect: (a).

24. Sistemul dat este echivalent cu:½−2 ≤ x− |x− 1|+ 1 ≤ 2

−1 ≤ x−12x≤ 1 ⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x− |x− 1| ≤ 1x− |x− 1| ≥ −3

−x−12x≤ 0

3x−12x≥ 0

,

5.1. ALGEBRA 85

de unde x ∈ {−1} ∪£13,+∞

¢.


25. Fie f1 : R→ R,f1(x) = x2 + 2mx − 1. Se observa ca f1 este strictdescrescatoare pe intervalul (−∞,−m] si strict crescatoare pe inter-valul [−m,+∞). Pentru ca functia f sa fie injectiva pe R e necesar carestrictia functiei f1 pe intervalul (−∞, 0] sa fie injectiva, deci −m ≥ 0,adicam ≤ 0. Dacam = 0 atunci functia f2 : R→ R,f2(x) = mx−1 esteconstanta pe R si atunci restrictia functiei f2 pe intervalul [0,+∞) nupoate fi injectiva. Dacam < 0 atunci functia f2 este strict descrescatoarepe R,deci si pe intervalul [0,+∞). Cum f1(0) = −1 ≥ −1 = f2(0)rezulta ca, pentru m ∈ (−∞, 0) , f este strict descrescatoare pe R, deciinjectiva. Prin urmare m ∈ (−∞, 0).


26. Varianta I.

Utilizam graficul functiei f . Acesta se compune din doua semidrepte deecuatie y = x+m pentru x ≤ 1 si y = 2mx−1 pentru x > 1. Este evidentaconditia m > 0, altfel multimea valorilor lui f nu ar acoperi R. Daca2m−1 > 1+m, f ar avea un salt ın punctul x = 1 si f nu ar lua valorilecuprinse ıntre m+1 si 2m−1. Se impune deci 2m−1 ≤ 1+m⇔ m ≤ 2.Deci daca 0 < m ≤ 2 functia f este surjectiva.Varianta II. Se observa ca f este continua pe (−∞, 1], deci imaginea in-tervalului (−∞, 1] prin functia f este intervalul (−∞, 1 +m]. De aseme-nea, f este continua pe (1,+∞), deci imaginea intervalului (1,+∞)prin functia f este intervalul (−∞, 2m− 1) daca m < 0, intervalul(2m− 1,+∞) daca m > 0 si multimea {−1} daca m = 0. Atunci,


daca m > 0 si 2m−1 ≤ 1+m, adica m ∈ (0, 2], functia f este surjectivape R cu valori ın R.


27. Din reprezentarea grafica a lui f se deduce ca f este strict descrescatoarepe R, ca este injectiva si surjectiva, deci inversabila. Pentru ∀y ∈ Rcautam unicul x ∈ R astfel ıncat f(x) = y. Cautam x ≥ 2 astfel ıncat2x − 1 = y ⇒ x = y+1

2, pentru y ≥ 3. Cautam x < 2 astfel ıncat

x+ 1 = y ⇒ x = y − 1, pentru y < 3. Atunci

f−1 : R→ R, f−1(y) =

½y+12, y ≥ 3

y − 1, y < 3Raspuns corect: (e).

28. x2 + x+m 6= 0,∀x ∈ R⇒ ∆ = 1− 4m < 0⇔ m > 14.

f(x) ≤ 2 ⇔ x2+(m+1)x+m+2x2+x+m

≤ 2 ⇔ x2 − (m− 1)x+m− 2 ≥ 0, ∀x ∈ R.∆0 = (m− 1)2 − 4(m− 2) ≤ 0⇔ (m− 3)2 ≤ 0⇒ m = 3.

Raspuns corect: (c) .

29. Conditii: x − 1 ≥ 0, x4 − x ≥ 0, x4 − x ≤ 1. Prin ridicare la patratsi efectuand calculele obtinem ecuatia 4x3 − 4x2 − x = 0 ⇒ x1 = 0,x2 =

1−√2

2, x3 =

1+√2

2. Numai x3 verifica ecuatia data.


30. Observam ca¡20 + 14

√2¢ ¡20− 14

√2¢= 8, de unde 20 − 14

√2 =

8

20 + 14√2. Notam t =

3p20 + 14

√2. Se observa ca

¡2 +√2¢3= 20 +

14√2, deci t = 2+

√2. AtunciH = t+

2

t= 2+

√2+

2¡2−√2¢¡

2 +√2¢ ¡2−√2¢ =

4.


31. Cum f (0) = f (1) = 0, f nu este injectiva. Dar f este surjectiva deoarece(∀)m ∈ Z, (∃)n ∈ Z astfel ca f (n) = m, anume n = 3m+ 1.

Intr-adevar, conform primei forme a lui f avem f (n) = f (3m+ 1) = m.

Raspuns corect: (c)

5.1. ALGEBRA 87

32. Varianta I. Observam ca membrul stang este crescator, cel drept estedescrescator iar pentru x = 0 avem egalitate.

Raspuns corect: (e)

Varianta II. Transformam echivalent inecuatia ın

e2x + ex − 2 > 0⇔ (ex − 1)(ex + 2) > 0⇔ ex > 1.

33. Ecuatia se mai scrie 2x + 2.2x + 22.2x = 6x + 6.6x sau 7.2x = 7.6x, adica2x (1− 3x) = 0. Cum 2x 6= 0, (∀)x ∈ R, rezulta ca 3x = 1, deci singurasolutie este x = 0.


34. Se noteaza 5x = y si se obtine ecuatia de gradul doi cu solutiile 1 si 2.

Raspuns corect (b).

35. Explicitarea celor doua module conduce la rezolvarea ecuatiei pentru:

i) x ∈ (−∞,−1) : 2−x−1 + 2x − 1 = 2x + 1 ⇔ 2−x−1 = 2 ⇒ x = −2 ∈∈ (−∞,−1) ;ii) x ∈ [−1, 0] : 2x+1 + 2x − 1 = 2x + 1⇔ 2x+1 = 2⇒ x = 0 ∈ [−1, 0] ;iii) x ∈ (0,+∞) : 2x+1− 2x+1 = 2x+1⇔ 2x+1 = 2x+1 ⇒ x ∈ (0,+∞) .Deci x ∈ [0,+∞) ∪ {−2} .Raspuns corect: (e).

36. Cum¡√3 + 1

¢x ¡√3− 1

¢x= 2x, ecuatia devine³√

3 + 1´x+³√3− 1

´x= 4

r³√3 + 1

´x ³√3− 1

´x.

Ridicam la patrat:¡√3 + 1

¢2x+¡√3− 1

¢2x−14 ¡√3 + 1¢x ¡√3− 1¢x =0. Notand z =

¡√3 + 1

¢x, y =

¡√3− 1

¢x, ajungem la (z/y)2−14 (z/y)+

1 = 0, care are solutiile 7±4√3. Rezolvand ecuatiile

³√3+1√3−1

´x= 7±4

√3

sau echivalent¡2 +√3¢x= 7± 4

√3, obtinem solutiile

x1 = log√3+2

³7 + 4

√3´, x2 = log√3+2

³7− 4

√3´.



37. k = log12 2 =1

log2 12= 1

log2(2·6)= 1

1+log2 6⇒; log6 16 = log6 24 = 4 log6 2 =

4log2 6

.


38. Notam y = 2x si f(y) = (m−2)y2+2(2m−3)y+m si impunem conditia:f(y) > 0 pentru y > 0. Avem urmatoarele cazuri posibile:

a) m = 2⇒ 2y > 0 pentru y > 0, adevarata.

b) m− 2 > 0 si ∆ = (2m− 3)2 − (m− 2)2 = (m− 1)(3m− 5) < 0⇒

m ∈µ1,5

3

¶. Rezulta m ∈ (2,∞) ∩

µ1,5

3

¶⇒ m ∈ ∅.

c) m− 2 > 0, ∆ = 0⇒imposibil

d) m− 2 > 0, ∆ = (m− 1)(3m− 5) > 0, S = −2m− 3m− 2 < 0,

P =m

m− 2 ≥ 0, unde S si P se refera la radacinile ecuatiei f(y) = 0,⇒

m ∈ (2,∞) ∩µ(−∞, 1] ∪

∙5

3,∞¶¶∩ ((−∞, 0) ∪ (2,∞))∩

∩µµ−∞,

3

2

¶∪ (2,∞)

¶⇒ m ∈ (2,∞) .

Raspuns corect (a).

39. log2a x− 3 loga x+ 2 = 0⇒ x1 = a, x2 = a2.

x 0 2 a a2

log2a x− 3 loga x+ 2 +++++++++ 0−−−−− 0 + +++x2 − 4 −−−− 0 + ++++++++++++++fractia −−−− | ++ + + 0 − − − − 0 + +++

Raspuns corect: (e) .

40. Conditii: x > 0. Demonstram existenta unei singure solutii tinand semade faptul ca f(x) = x+2x+log2 x este o functie continua monoton strictcrescatoare si f(0) = −∞, f(∞) =∞.Raspuns corect: (b) .

41. E =1n(1 + 3 + ... (2n− 1)) lg a2n(1 + 2 + ...n) lg a

=n

n+ 1.

Raspuns corect (c).

5.1. ALGEBRA 89

42. Se transforma toti logaritmii ın aceeasi baza a.

Raspuns corect (b).

43. Conditii de existenta: x > 0, x > 45. Inegalitatea din enunt este echiva-

lenta cu x2 > 5x− 4⇒ x ∈ (−∞, 1) ∪ (4,∞) .Raspuns corect: (c) .

44. Avem urmatoarele cazuri posibile:

a) 0 <x+ 4

2< 1⇒ x ∈ (−4,−2) ; log2

2x− 1x+ 3

> 1⇒ 2x− 1x+ 3

> 2⇒

x ∈ (−∞,−3)⇒ x ∈ (−4,−3) .

b)x+ 4

2> 1⇒ x ∈ (−2,∞) ; log2

2x− 1x+ 3

< 1⇒ 2x− 1x+ 3

< 2⇒

x ∈ (−3,∞)⇒ x ∈ (−2,∞) .Rezulta x ∈ (−4,−3) ∪ (−2,∞) .Raspuns corect (b).

45. Au loc cazurile:

1.a− 1a+ 1

> 1 ⇔ a < −1. Deoarece functia logaritmica este monoton

crescatoare rezulta x2 + 3 ≥ a− 1a+ 1

⇔ x2 +2a+ 4

a+ 1≥ 0,∀x ∈ R ⇔ a ≤

−2⇒ a ∈ (−∞,−2]

2. 0 <a− 1a+ 1

< 1 ⇔ a > 1. Deoarece functia logaritmica este monoton

descrescatoare rezulta

x2 + 3 ≤ a− 1a+ 1

⇔ x2 +2a+ 4

a+ 1≤ 0, ∀x ∈ R⇔ a ∈ ∅.

Deci a ∈ (−∞,−2] .Raspuns corect (c).

46. Impunem: x > 0, x 6= 2, x 6= 4⇒ x ∈ (0, 2) ∪ (2, 4) ∪ (4,∞) .Conditia log2 x

2 − 4 6= 0 implica log2 x2 6= 4⇒ x2 6= 24 ⇒ x 6= 4.

Deoarece log x28 =

3

log2 x− 1, log x

48 =

3

log2 x− 2, notam log2 x = t si

inegalitatea devine3

t− 1 +3

t− 2 <4t

2t− 4 ⇒2t2 − 8t+ 9(t− 1)(t− 2) > 0 ⇒

t ∈ (−∞, 1) ∪ (2,∞)⇒ x ∈ (0, 2) ∪ (4,∞) .



47. Observam ca log 13

µ¯x− 12x+ 3

¯+ 1

¶+ 16 < 16 ⇒ log 1

3

µ¯x− 12x+ 3

¯+ 1

¶<

0⇒¯x− 12x+ 3

¯+ 1 > 1.

Raspuns corect (b).

48. log2a x− 4 = 0⇒ x1 =1

a2, x2 = a2; logb2 x + 1 =

loga x

loga b2+ 1 =

loga xb2

loga b2;

logb2 x+ 1 = 0⇒ loga xb2 = 0⇒ x = 1

b2; dar

b2 > a2,1

b2<1

a2⇒ loga b

2 > loga a2 = 2.

x 1b2

1a2

a2 ∞log2a x− 4 + + + 0 − 0 + +logb2 x+ 1 − 0 + + + + + +log2a x−4logb2 x+1

− | + 0 − 0 + +

Raspuns corect (c).

49. Impunem conditiile: x > 0, x 6= 1, ax > 0 si ax 6= 1; trecem logaritmii ınbaza a.

Raspuns corect (e).

50. Impunem conditiile: x > 0, 3x − 2 > 0; trecem logaritmii ın baza 5 ⇒x3 − 3x+ 2 > 0, x3 − 3x+ 2 = (x+ 2) (x− 1)2 > 0.Raspuns corect (e).

51. Conditiile de existenta ale logaritmului implica x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1).Daca 0 < 1− x < 1⇒ x ∈ (0, 1) rezulta x+ 1 ≤ (1− x)2 ⇒x ∈ (−∞, 0) ∪ (3,∞)⇒ x ∈ ∅.Daca 1 < 1− x⇒ x ∈ (−1, 0) rezulta x+ 1 ≥ (1− x)2 ⇒x ∈ (0, 3)⇒ x ∈ ∅.Raspuns corect (c).

52. Conditii: x > 0, x 6= 1. Consideram cazurile:

a) 0 < x < 1⇒ log 1x

¡1 + 1

x

¢> 1⇒ 1 + 1

x> 1

x⇒ x ∈ (0, 1) .

5.1. ALGEBRA 91

b) x > 1⇒ log 1x

¡1 + 1

x

¢< 1⇒ 1 + 1

x> 1

x⇒ x ∈ (1,∞) .


53. Ecuatia se scrie echivalent 9− 2x > 23−x si notand 2x = y > 0 se obtiney2 − 9y + 8 < 0 deci y ∈ (1, 8) .Raspuns corect: (b).

54. Ecuatia se rescrie

(x4 − 3x3 + 5x2 − 4x+ 2) + i(x4 − x3 + x2 + 2) = P (x) + iQ(x) = 0.

Daca x ∈ R atunci este o radacina comuna a polinoamelor P si Q. Darc.m.m.d.c. al celor doua polinoame este x2−2x+2 si nu admite radacinireale.

Raspuns corect (e).

55. Se impune conditia ca −2 sa fie solutie⇒ b = 11a+16. Se aplica schemalui Horner (sau se ımparte polinomul la x+2), se obtine ecuatia de graduldoi 3x2 − 4x+ 16 = 0 si se impun conditiile ∆ ≥ 0, S > 0, P > 0.

Raspuns corect (b).

56. Impartim polinomul prin x2 + d si respectiv x2 − d si impunem conditiaca restul sa fie egal cu x respectiv −x.Raspuns corect (c).

57. Varianta I. Ecuatia se poate rescrie sub forma x3 =αx− 1x− α

de unde se

arata usor ca |x| ≤ 1⇔ |x| ≥ 1.Varianta II. Observam ca este o ecuatie reciproca si, prin substitutiax + 1

x= y, obtinem o ecuatie de grad 2. Apoi, calculam radacinile

ecuatiei constatand ca sunt complexe.

Observatie: tinand seama de unicitatea raspunsului este suficient sa con-sideram cazul α = 0.


58. Se verifica P (1) = 0, P 0 (1) = 0, P 00 (1) = 0, P 000 (1) 6= 0.Raspuns corect: (c).


Observatie. Nu se recomanda schema lui Horner ın acest caz. Totusi,ın baza unicitatii raspunsului, se poate testa cazul n = 3 obtinand usorP (x) = (x2 − 1)3.

59. DeoarecenP

k=1

f(k) = a0nP

k=1

1 + a1nP

k=1

k + a2nP

k=1

k2 + a3nP

k=1

k3 =

= a0n+ a1n(n+ 1)

2+ a2

n(n+ 1)(2n+ 1)

6+ a3

µn(n+ 1)

2

¶2,

si utilizand relatia din enunt se obtine

(a0 +12a1 +

16a2)n+ (

12a1 +

12a2 +

14a3)n

2 + (13a2 +

12a3)n

3 + 14a3n

4 = n4,

∀n ∈ N, n > 0. Identificand coeficientii puterilor lui n din cei doi membriai ecuatiei anterioare, rezulta un sistem de ecuatii liniare care are solutia

a0 = −1, a1 = 4; a2 = −6, a3 = 4.Raspuns corect: (a).

60. Se calculeaza P (i) = (a+ 2)i+ b si se egaleaza cu 0.

Raspuns corect (d).

61. Varianta I. Suma radacinilor este nula deci sunt posibile doar cazurile (a)si (d). In cazul (a), x3 = 0 implica m = 0 si ecuatia devine x3 − x = 0ın contradictie cu ipoteza.


Varianta II. Verificand radacina data obtinem m = 1 + i, apoi reducemecuatia la gradul 2.

62. Fie x, y, z solutiile ecuatiei X3 − α = 0, unde α = xyz ⇒x3 = y3 = z3 = α⇒ x6 + y6 + z6 = 3α2 ⇒ 3α2 = aα2 ⇒ a = 3(α 6= 0)Raspuns corect (a).

63. Ecuatia de gradul trei care are radacinile x, y, z care satisfac relatiile demai sus este

X3−αX2−2X+2α = 0⇒ X3−αX2−2X+2α = (X2 − 2) (X − α)⇒X = α, X = ±

√2, α2 6= 2⇒ p = 6.

Raspuns corect (a).

5.1. ALGEBRA 93

64. Din relatiile lui Viete rezulta ca partea reala este −a3. Conditia ca −a

3sa

fie radacina⇒ c =ab

3− 2a

3

27⇒ ecuatia x2+

2a

3x+b− 2a

2

9= 0 cu radacini

fie ın C \ R si ın acest caz partea reala este −a3, daca

a2

3− b < 0, fie

radacinile sunt egale cu −a3, daca

a2

3= b. Reciproc, daca c =

ab

3− 2a

3

27

atunci −a3este radacina, iar

a2

3− b ≤ 0 ⇒ toate radacinile au partea

reala egala cu −a3.

Raspuns corect (c).

65. Varianta I. Restul ımpartirii trebuie sa fie identic nul si m = 4, n == −3, p = −10.

Raspuns corect (d).

Varianta II. Observam ca x3+5x2+2x−8 = (x− 1) (x+ 4) (x+ 2) . FieP (x) = x4 +mx3 + nx2 + px + 8. Sistemul format din ecuatiile P (1) == 0, P (−2) = 0, P (−4) = 0 conduce la solutia m = 4, n = −3, p = −10.

66. Din conditiile problemei rezulta ca p(1) = −18 si p(−1) = −12. Se obtinesistemul

½a+ b = −20−a+ b = −12 .


67. Varianta I. Eventuala radacina comuna a celor doua ecuatii este radacinasi pentru suma celor doua ecuatii, adica pentru x3 + x2 + 4 = 0 ⇔(x+ 2) (x2 − x+ 2) = 0⇒ λ = 3. Observam ca pentru λ = −1 cea de-adoua ecuatie coincide cu factorul al doilea din produsul anterior, rezultaca cele doua ecuatii au doua radacini comune, deci satisfac conditiaceruta de enunt.

Varianta II. Prin scaderea celor doua ecuatii rezulta x(x2− x− 2λ) = 0.Cum x = 0 nu satisface nici una din ecuatii, rezulta ca radacina comunaeste diferita de zero si avem:½

x2 − x+ 2λ = 0x2 + λx+ 2 = 0.


Luand λ = −1 cele doua ecuatii coincid, deci avem radacinile complexecomune. Prin scaderea acestor doua ecuatii rezulta (λ + 1)(x + 2) = 0.Pentru x = −2, gasim λ = 3, deci ecuatiile au radacina comuna x = −2.Raspuns corect (c).

68. Varianta I. Tinem seama de identitatea x4 + 1 = (x2 +√2x+ 1)(x2−

−√2x+ 1).

Varianta II. Impartim polinomul si impunem conditia ca restul sa fieidentic nul.

Raspuns corect (a).

69. Rescriem polinomul sub forma P (x) = x3 − x2 − 5x+ 2−m(2x2 + 4x).Radacina care nu depinde de m trebuie sa verifice ecuatiile:

x3 − x2 − 5x+ 2 = 0 si 2x2 + 4x = 0, 2x2 + 4 ⇒ x = −2⇒(x+ 2) (x2 − (2m+ 3)x+ 1) = 0⇒ (2m+ 3)2 − 4 ≥ 0.Raspuns corect (a).

70. x1 + x2 + x3 = 0, x1x2 + x1x3 + x2x3 =32, x1x2x3 =

12,

S1 = y1 + y2 + y3 =(x1x2)

2 + (x1x3)2 + (x2x3)

2

x1x2x3=

=(x1x2 + x1x3 + x2x3)

2 − 2x1x2x3 (x1 + x2 + x3)

x1x2x3=9

2,

S2 = y21 + y22 + y23 = x21 + x22 + x23 = −3,S3 = x1x2x3 =

12.

Rezulta y3 − S1y2 + S2y − S3 = 0, y

3 − 92y2 − 3y − 1

2= 0.


71. Impunem conditia ca a, b, c sa verifice relatiile lui Viete. Obtinem relati-ile: b+ c = 0, ab = 1, c(a+ b) = b− 1.Raspuns corect: (d).

72. Conform Teoremei ımpartirii cu rest a polinoamelor scriem:

p(x) = c(x)(x2 − 2x− 3) + ax+ b, a, b ∈ R ⇒½p(3) = 3a+ bp(−1) = −a+ b

⇒½

a = 2b = −1 ⇒ r(x) = 2x− 1.

5.1. ALGEBRA 95

Raspuns corect: (a).

73. Folosim relatiile lui Viete si obtinem S3 = 4− 3a, S3 = 1⇒ a = 1.


74. Tinem seama de faptul ca xni + pxi + q = 0 si sumam ın raport cu i.


75. ∆ = (logam)2− 4(3 logam− 8) = (logam)2− 12 logam+32 < 0. Notam

logam = t⇒ t2 − 12t+ 32 < 0⇒ 4 < t < 8⇒ a4 < m < a8.


76. Varianta I. Suma Sn se mai scrie

Sn =nX

p=0

kp+1Cpn

p+1=

nXp=0

kp+1n!p!(n−p)!(p+1) =

=nX

p=0

kp+1

n+1· (n+1)!(p+1)![(n+1)−(p+1)]! =

1n+1

nXp=0

kp+1Cp+1n+1 =

= 1n+1[kC1

n+1 + k2C2n+1 + ...+ kn+1Cn+1

n+1 ] =(1+k)n+1−1

n+1.

Varianta II. Avem (1 + x)n = 1 + C1nx+ ...+ Cn

nxn. Integrand obtinem:

(1 + x)n+1

n+ 1= k + x+ C1

n

x2

2+ ...+ Cn

n

xn+1

n+ 1. (5.1)

Luand x = 0 determinam k = 1n+1

. Sn se obtine din relatia (5.1) pentrux = 1.


77. Se scrie cel de-al 10-lea termen pentru binomul dat si se impune sa fiecel mai mare. Se obtine m = 12.

Raspuns corect (a).

78. Tk+1 = Ckn(x

m)n−k(x−2m)k = Cknx

mn−3mk ⇒ T11+1 = C11n xmn−33m,

T23+1 = C23n xmn−69m ⇒

⎧⎨⎩ mn− 33m = 1mn− 69m = 5mn− 3mk = 0

⇒©m = −1

9, n = 24

ª.

Raspuns corect (c).


79. n = 7⇒ Tk+1 = Ck7 (x

− 19 )n−kx

k4 ⇒ T5 = 35

3√x2

Raspuns corect (b).

80. Scriem T5 = C4m2

m−4x4 si punem conditiile ca T5 > C5m2

m−5m5 si T5 >C3m2

m−3m3 ⇒ m = 5.

Raspuns corect (b).

81. Tk+1 = Ck2000

⎛⎝x

3

8

⎞⎠2000−k⎛⎝2x−13⎞⎠k

⇒ 3(2000− k)

8=

k

3⇒

k = 1800017

/∈ N⇒ h = 0.

Raspuns corect (b).

82. Tk+1 = Ck90(√3)90−k( 3

√2)k = Ck

90390−k2 2

k3 ⇒ k = 6l, 0 ≤ 6l ≤ 90 ⇒

l =£906

¤+ 1 = 16.

Raspuns corect (d).

83. Rezolvam inecuatia obtinuta prin trecerea logaritmilor ın aceeasi baza.Obtinem n ∈ (3, 9)⇒ n = 8, T7 = 28ab

2.


84. Se rezolva ınR ecuatia 22n−4−3·2n+1−256 = 0 si se aleg solutiile acesteiadin N. Se obtine n = 7. Se scrie termenul de ordin k al dezvoltarii,

Tk+1 = Ck7

µ3

ra√b

¶7−kµrb3√a

¶k

= Ckn ·a

7−k3− k

6 ·bk2− 7−k

6 . Se egaleaza

puterile lui a, respectiv b si se gaseste k = 3. Prin urmare termenul cautateste T4.


85. Cum C1n, C

2n si C

3n sunt respectiv primul, al treilea si al cincilea termen

al unei progresii aritmetice⇒½

n ∈ N, n ≥ 3C1n + C3

n = 2C2n

⇒ n = 7.

Atunci, ın ipoteza 10− 3x > 0 deducem:

T6 = 21⇔ C57 ·µ2lg(10−3x)

2

¶7−5·µ2(x−2) lg 3

5

¶5= 21⇔

⇔ 2lg 3x−2(10−3x) = 1⇔ 3x−2(10− 3x) = 1⇒ x ∈ {0, 2} .

5.1. ALGEBRA 97


86. Deoarece x−1x−x

12= 1+x−

12 si x−1

x23+x

13+1

= x13 − 1 atunci expresia din enunt

se poate scrie³x−

12 + x

13

´25. Deoarece Tk+1 = Ck

25

³x−

12

´25−k ³x13

´ksi

punand conditia ca puterea lui x sa fie egala cu 1, obtinem k = 15.


87. E = (a+ bi)n+in (a− bi)n = an+C1na

n−1bi+ C2na

n−2b2i2+ ·····+Cnnb

nin+in(an − C1

nan−1bi+ C2

nan−2b2i2 − · · ·+ (−1)nCn

nbnin) ∈ R⇔

in = 1⇔ n = 4k.

Raspuns corect (c).

88. ρ = 10, t = 4π3.

Raspuns corect (a).

89. Vom folosi graficele functiilor exponentiala respectiv logaritmica.

Daca 0 < a < 1, cele doua grafice se intersecteaza ıntr-un punct unicsituat pe prima bisectoare.

Daca a > 1, conditia de unicitate revine la faptul ca cele doua graficesunt tangente ıntr-un punct al primei bisectoare, aceasta fiind tangentacomuna.

Obtinem sistemul ax = x si ax ln a = 1 de unde x = e, a = e1e .

Raspuns corect (d).

90. Notam logtg x a = y de unde (tg x)y = a si (cos x)−y = a + 1. Obtinemecuatia (sinx)y+(cosx)−y = 1⇒ y = 2⇒ tg x =

√a⇒ x = arctg

√a+

kπ deci (d) sau (c).

Dar bazele logaritmilor trebuie sa fie strict pozitive.

Raspuns corect (e) .

91. Pentru a calcula economic putem aduna ultima linie la prima si apoidezvoltam dupa prima linie.



92. Solutia x = a este evidenta. Adunand coloanele la prima observam sisolutia x = −3a.Raspuns corect: (a).

93. Fie s = x1 + x2 + x3 = 2 si q = x1x2 + x2x3 + x3x1 = 2. Calculanddeterminantul obtinem s (3q − s2) = 4.


94. Efectand operatii asupra coloanelor determinantului obtinem succesiv:

D(x) =

¯¯ 1 x1 x21 + bx11 x2 x22 + bx21 x x2 + bx

¯¯ =

¯¯ 1 x1 x211 x2 x221 x x2

¯¯ = (x2− x1)(x− x1)(x− x2).


95. Observam ca P (x) = Q(x)(x2 + 3x + 1) + 6x2 + 17x + 2 deci P (xi) =6x2i + 17xi + 2 si utilizam relatiile lui Viete pentru polinomul Q(x).


96. Dezvoltarea determinantului conduce la ecuatia:

(x− a+ b+ c)(x2 − x(2a+ b+ c) + a2 + b2 + c2 + ac+ ab− bc) = 0.

Conditia ca radacinile sa fie reale implica ∆ = −3(b− c)2 ≥ 0⇒ b = c.

Raspuns corect (a).

97. Valoarea determinantului este: −3x2 + 15x− 19.Raspuns corect: (e).

98. Se calculeaza A2 =

⎛⎝ 2 0 20 1 02 0 2

⎞⎠ si A3 =

⎛⎝ 4 0 40 1 04 0 4

⎞⎠ .

Se obtine sistemul 2a+ b = 4 si a+ b = 1


99. det(A) det(A−1) = 1⇒ det(A−1) =1

det(A), det(A) = 11.


5.1. ALGEBRA 99

100. Avem det(A) = 0 si se observa ca matricea admite minori de ordinul doicu determinantii a2, b2, c2.

Raspuns corect (c) .

101. Fie A =

⎛⎝ a b cd e fg h i

⎞⎠ . Inlocuind ın ecuatie, obtinem sistemul:

⎧⎨⎩ a+ 2d+ 4g = 3b+ 2e+ 4h = 1c+ 2f + 4i = 2

. Rezulta imediat g = h = i = e = 0 si b = 1. Apoi,

a = 3, d = 0 sau a = 1, d = 1 respectiv c = 0, f = 1 sau c = 2, f = 0.

Raspuns corect (e).

102. Se poate scrie A =

µcos π

4sin π

4

− sin π4cos π

4

¶.

Rezultatul se verifica prin inductie.


103. Se calculeaza determinantul = (a+ 1) (a2 − 4).Raspuns corect: (d) .

104. rangA(λ) < 4⇔ detA(λ) = 0⇔ (λ+ 3)(λ− 1)3 = 0.Atunci M = {−3, 1} si α = −3+ 1 = −2. Mai mult, se poate observa capentru α = −3, rangA(−3) = 3, iar pentru α = 1, rangA(1) = 1


105. Raspuns corect: (c).

106. det(A) = x2(1−m) + 2x + 3− 2m 6= 0,∀x ∈ R. Rezulta ∆ = −2m2 +5m− 2 < 0.Raspuns corect: (d).

107. Se demonstreaza prin inductie ca Ak =

µ2k 00 3k

¶, ∀k ∈ N, k ≥ 1.

Atunci


B =nP

k=1

µ2k 00 3k

¶=

⎛⎜⎜⎝nP

k=1

2k 0

0nP

k=1

3k

⎞⎟⎟⎠ =

=

µ2 (2n − 1) 0

0 32(3n − 1)

¶. Cum detB = 3 (2n − 1) (3n − 1)⇒

⇒ B este inversabila si B−1 =

Ã1

2(2n−1) 0

0 132(3n−1)

!.


108. M =

µρ cosϕ −ρ sinϕρ sinϕ ρ cosϕ

¶= ρ

µcosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

¶⇒

Mn = ρnµcosnϕ − sinnϕsinnϕ cosnϕ

¶(se arata prin inductie).


109. Sistemul corespunzator relatiei din enunt este:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩a+ bc+ a2 + 1 = 0b+ ab+ bd = 0c+ ac+ cd = 0

d+ bc+ d2 + 1 = 0

.

Singura solutie reala a sistemului este£a = −d− 1, c = −1

b(d+ d2 + 1)

¤.

Se observa ca ın acest caz det(A) = 1.


110. Cum A4 = 32I3 ⇒

⇒ A2011 = A4·502+3 = 31008 ·A3 = 31008 ·

⎛⎝ 1 1 11 ε2 ε1 ε ε2

⎞⎠ .


111. Scriem A = B + C, unde B =

⎛⎝ λ 0 00 λ 00 0 λ

⎞⎠ = λI3, C =

⎛⎝ 0 1 00 0 10 0 0

⎞⎠ .

Cum B · C = C · B ⇒ An = C0nB

nI3 + C1nB

n−1C + C2nB

n−2C2 + O,deoarece

5.1. ALGEBRA 101

C2 =

⎛⎝ 0 0 10 0 00 0 0

⎞⎠ , Cn =

⎛⎝ 0 0 00 0 00 0 0

⎞⎠ , n ≥ 3.


112. A =

⎛⎜⎜⎝0 1 ... 11 0 ... 1... ... ... ...1 1 ... 0

⎞⎟⎟⎠ . Fie X =

⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ , Y =

⎛⎜⎜⎜⎝y1y2...yn

⎞⎟⎟⎟⎠ .

AX = Y ⇔

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x2 + x3 + ...+ xn = y1x1 + x3 + ...+ xn = y2...x1 + x2 + ...+ xn−1 = yn

.

Sumand aceste relatii deducem

(n − 1)(x1 + x2 + ... + xn) = y1 + y2 + ... + yn ⇒ x1 + x2 + ... + xn =1

n−1 (y1 + y2 + ...+ yn) ⇒ x1 =2−nn−1y1 +

1n−1y2 + ... + 1

n−1yn, ...,xn =

1n−1y1 +

1n−1y2 + ...+ 2−n

n−1yn. Rezulta A−1 =

⎛⎜⎝2−nn−1 ... 1

n−1...

. . ....

1n−1 ... 2−n

n−1

⎞⎟⎠ ,

det(A) =

¯¯ n− 1 n− 1 ... n− 11 0 ... 1...1 1 ... 0

¯¯ = (n− 1)

¯¯ 1 1 ... 11 0 ... 1...1 1 ... 0

¯¯ =

= (n− 1)

¯¯ 1 0 ... 01 −1 ... 0...1 0 ... −1

¯¯ = (−1)n−1(n− 1).

det(A−1 + In) = 0 deoarece A−1 + In are toate elementele egale cu

1n−1 .

Alta varianta de calcul a det(A−1 + In) este: A(In + A−1) = A + In ⇒detAdet(In +A−1) = det(A+ In) = 0. Dar detA 6= 0, de unde det(In+A−1) = 0.

Raspuns corect: (b)

113. Matricea A este nesingulara daca si numai daca detA 6= 0, adica λ3 −3λ+ 2 6= 0 sau λ 6= 1,−2.


Matricea inversa este A−1 = (1/detA)A∗ =


⎞⎠ , unde

α = (λ+ 1) / (λ− 1) (λ+ 2) , β = −1/ (λ− 1) (λ+ 2) .Raspuns corect: (e).

114. Determinantul sistemului ∆ = (m+1)(2m−3); pentru m = −1 sim = 32

sistemul este incompatibil.

Raspuns corect (b).

115. Evident, sistemul admite solutia banala si nu verifica solutia (b). Esteposibil sa aiba si alte solutii propuse la (c) si (d). Cum (d) este uncaz particular al (c) (pentru α = 0) consideram ın (c) α = 1 si β = 1constatand ca (1,−1, 1, 1) verifica toate ecuatiile.Raspuns corect: (c).

Observatie. O rezolvare directa a sistemului nu este recomandata datoritacalculelor laborioase.

116. Determinantul sistemului este egal cu zero. Se cauta un determinant

principal diferit de zero, ∆ =

¯2 11 −1

¯6= 0, iar determinantul caracter-

istic este egal cu zero independent de α.

Raspuns corect (e).

117. Se observa ca determinantul sistemului este zero oricare ar fi a, si conditiade compatibilitate nedeterminata este 2b = 2 + b, deci b = 2.


118. Varianta I. Se elimina imediat solutiile propuse la a si b iar cele de la c sie sunt cazuri particulare ale d acestea din urma verificand toate ecuatiilesistemului.

Raspuns corect: (d)

Varianta II. Calculam determinantul sistemului ∆ = (α− β) (γ − 1)2.Conditia de existenta si unicitate ne da α 6= β si γ 6= 1. Apoi, cal-culam ∆x = (α− β) γ (γ − 1)2, ∆y = − (α− β) (γ − 1)2 (2γ + 1), ∆z == (α− β) (γ − 1)2 (γ + 2) si x = ∆x

∆etc.

5.1. ALGEBRA 103

119. Se aplica teorema lui Rouche: Se cauta un determinant principal diferit

de zero, de exemplu ∆p =

¯1 1m 2

¯6= 0⇒ m 6= 2 si se impune conditia

∆car =

¯¯ 1 1 −1m 2 −3m2 4 −9

¯¯ = − ¡m2 − 5m+ 6

¢= 0

si m1 = 3 si m2 = 2, dar m 6= 2.Raspuns corect (e).

120. Se aplica teorema lui Rouche:

∆car =

¯¯ 1 −m −12 1 m2 m− 1 1−m

¯¯ = −6 ¡m2 − 1

¢si m1 = 1 si m2 = −1.Raspuns corect (a).

121. Calculam rangurile matricelor si obtinem rs = re = 2 si conform Teore-mei lui Kronecker-Capelli sistemul este compatibil nedeterminat.

Raspuns corect (a).

122. Calculam rangurile matricelor si obtinem rs = 2, re = 3 si conform Teo-remei lui Kronecker-Capelli sistemul este incompatibil.

Raspuns corect (b).

123.

¯¯ x εy ε2zε2x y εzεx ε2y z

¯¯ = xyz − 2xε3zy + ε6xzy = xyz (ε3 − 1)2 = 0, ecuatiile

doi si trei se obtin din prima prin inmultire cu ε.

Rezulta x = −εy − ε2z.

Raspuns corect (c).

124. Fie A =

⎛⎝ a a 11 a a1 1 a

⎞⎠ si A =

⎛⎝ a a 1 11 a a 11 1 a a

⎞⎠ .


Sistemul este compatibil nedeterminat⇔ rangA = rangA si detA = 0.Se observa ca detA = (a−1)2(a+1). Pentru a = 1, rangA = rangA = 1iar pentru a = −1, rangA = rangA = 2. Atunci A = {−1, 1} .Raspuns corect: (d).

125. Impunem conditia ca determinantul sistemului format din primele treiecuatii sa fie egal cu zero. Rezulta m = 3,m = −6, deci p = 2. Pentrum = −6 ⇒ x = 1

2z, y = −z. Inlocuind ın ultima ecuatie obtinem z =

−85± 2

5

√366 si obtinem doua solutii, iar pentru m = 3 obtinem z =

−7, z = 5, ınca doua solutii, rezulta q = 4.Raspuns corect (b).

126. Adunand prima ecuatie ınmultita cu doi la a doua si a treia ecuatieobtinem: x = 1. Inlocuind ın prima ecuatie obtinem: 3y + 3z = 0 ⇒y = z = 0; y = z = 2; y = z = 4; y = z = 6; y = z = 8; y = z = b10;y = 4, z = 6; z = 4, y = 6; y = 4, z = 8; y = 4, z = 8; y = 2, z = 8;z = 2, y = 8⇒ p = 12.

Raspuns corect (e).

127. Din conditia de comutativitate se obtine a = 2b, iar din cea de asocia-tivitate 4b2 − 2b− 1 = 0.Raspuns corect: (c).

128. Din proprietatea de comutativitate rezulta m = n. Din conditia de aso-ciativitate rezulta m = 1. Deci x y = x + y − 1. Se gaseste elementulneutru e = 1. Elementul invers x x∗ = 1⇒ x+x∗−1 = 1⇒ x∗ = 2−x.Raspuns corect: (d).

129. Din proprietatea de comutativitate rezulta 2a = b. Din conditia caoperatia admite element neutru rezulta x e = x⇒ bx+be+xe = x⇒(b+ e− 1)x = −be, ∀x ∈M ⇒ b+ e− 1 = 0 si be = 0⇒ b = 1, a = 1

2si

e = 0 sau b = 0, e = 1⇒ x y = xy, dar, ın acest caz M nu este ınchisala aceasta operatie. Din x x0 = 0⇒ x0 = − x

x+1.


130. Se verifica usor ca legea nu este asociativa. De exemplu, avem (1 ∗ 2) ∗∗3 = 24

13iar 1 ∗ (2 ∗ 3) = 24

17.


5.1. ALGEBRA 105

131. f(x ⊥ y) = f(x) + f(y),∀x, y ∈ R. f(x) = x3 este o bijectie f : R→ R

si avem f(x ⊥ y) =³

3px3 + y3

´3= x3 + y3 = f(x) + f(y).

Raspuns corect (b).

132. Varianta I. Cautam pe f de forma f(x) = ax + b, a, b ∈ Z ce se vordetermina din conditia de izomorfism f(x ⊥ y) = f(x) | f(y) ⇔a(x+y+1)+b = (ax+b)+(ay+b)−1⇒ b = a+1⇒ f(x) = ax+a+1.

Varianta II. Observam ca −1 respectiv 1 sunt elementele neutre ale celordoua grupuri si izomorfismul de grupuri trebuie sa satisfaca conditiaf(−1) = 1. Din cele patru variante numai functia de la punctul (e)verifica aceasta conditie.

Raspuns corect (e).

133. Din conditia ca legea de compozitie sa fie comutativa rezulta a = b; dinconditia ca legea sa admita element neutru, e, rezulta a = 1 si e = 1. Severifica ca orice element este inversabil si asociativitatea.

Raspuns corect (d).

134. Elementul neutru ın (M, ·) este 1, iar ın (R,+) este 0. Impunemf(1) = 0 ⇔ ln(m − 1 +

√m2 − 4) = 0 ⇒ m = 2. Se verifica lnxy =

lnx+ ln y si bijectivitatea.


135. Verificam ca 1 este element neutru. Observam ca legea este comutativa.Determinam elementele inversabile: x ∗ y = 1 ⇒ y = x, fiecare elementeste egal cu inversul sau.


136. Deoarece legea este comutativa determinarea elementului unitate se re-duce la rezolvarea ecuatiei x ◦ e = x,∀x ∈ R \ {1} ⇒ e = 3

2, c = 3.

Determinarea inversului se reduce la rezolvarea ecuatiei x ◦ x∗ = e ⇒

x∗ =x− 3

4

x− 1 , x ∈ R\{1} .Mai trebuie aratat ca x◦y 6= 1 (adica x◦y ∈M

pentru x, y ∈M).



137. Din z ∗ e = e ∗ z = z,∀z ∈ C⇒ ze+ i(z + e)− 1− i = z,∀z ∈ C⇒⇒ (z + i)(e+ i− 1) = 0, ∀z ∈ C⇒ e = 1− i ∈ C.Ecuatia devine z ∗ e = 3 + i⇒ z = 3 + i.


138. Varianta I. Se arata ca f :M∗3(R)→ R satisface f(t1+ t2) = f(t1)f(t2),

∀t1, t2 ∈ R. Mai mult, f este injectiva. Dar evident, f nu este surjec-tiva⇒ f este un morfism de la (R,+) la (M∗

3(R), ·).Varianta II. (R,+) este grup comutativ iar (M∗

3(R), ·) necomutativ.Raspuns corect: (c).

139. Elementul neutru ın (R∗+, ·) este 1, iar ın (G, ∗) este 0. Din conditiaf(1) = 0⇒ a = 1 (ca o conditie necesara). Aratam ca f(x · y) = f(x)∗∗f(y), ∀x, y ∈ R∗+ si bijectivitatea.Raspuns corect: (b).

140. Rezolvam ın Z12 ecuatia a · b = 1. Singurele solutii sunt a = 1, b = 1;a = 5, b = 5; a = 7, b = 7; a = b11, b = b11.Raspuns corect (a).

141. Determinam elementul neutru e : x ∗ e = x, ∀x ∈M ⇒xe +

p(x2 − 1)(e2 − 1) = x, ∀x ∈ M ⇒ e = 1. 1 are invers: 1 ∗ 1 = 1

(inversul lui 1 este 1). Daca x > 1⇒ x ∗ y = xy +p(x2 − 1)(y2 − 1) ≥

xy ≥ x > 1, ∀y ∈M. Deci oricare element diferit de 1 nu are invers.

Raspuns corect (a).

142. Se arata ca M(ab) =M(a)M(b),∀a, b 6= 0, etc.M(1) = I2, (M(a))

−1 =M( 1a).

Raspuns corect (b).

143. Se arata ca M(a)M(b) =M(a+ b),∀a, b 6= 0⇒M(a)M(b) =M(2a)

Inductie (M(a))n =M(na).

Raspuns corect (b).

5.1. ALGEBRA 107

144. In (1) luam y = x si t = 1/x si se obtine (x ∗ x)µz ∗ 1

x

¶= (xz) ∗ 1.

Conform (2) si (3) , gasim z ∗ 1x= xz, (∀)x, z ∈ Q∗+. Inlocuind x cu 1/x,

ajungem la z ∗ x = z/x, (∀)x, z ∈ Q∗+. Deci 27 ∗ 43 = 27/43.Raspuns corect: (a).

145. Fie

Ma,b =

⎛⎝ a b bb a bb b a

⎞⎠ , Mc,d =

⎛⎝ c d dd c dd d c

⎞⎠ ,

cu determinantii egali cu 1. Atunci se arata usor ca

Ma,bMc,d = Mac+2bd,ad+bc+bd, de unde rezulta ca ınmultirea matriceloreste o lege de compozitie interna pe G.

Asociativitatea ınmultirii are loc ın general, elementul neutru este I =M1,0, comutativitatea rezulta dintr-un calcul simplu. Cum detMa,b =1 6= 0, exista inversa matricei Ma,b. Se poate arata ca inversa matriceiMa,b este Ma0,b0 , unde ½

a0 = −ba2−2b2+ab

b0 = a+ba2−2b2+ab .

Deci, (G, ·) este grup comutativ.Raspuns corect: (e)

146. Operatiile ∗ si ◦ sunt legi de compozitie interna pe Z, asociative si co-mutative. Pentru ambele exista element neutru, anume e∗ = −1, e◦ = 1.Simetricul lui x ∈ Z la operatia ∗ este x0∗ = −x− 2 ∈ Z, iar la operatia◦ este x0◦ = −x+ 2.Deci (Z, ∗) si (Z, ◦) sunt grupuri, iar f (x) = x + 2 este un izomorfismıntre aceste doua grupuri.


147. Pentru x = −1 (opusul la + al elementului 1), conform proprietatiix6 = x, avem 1 = −1 sau 1 + 1 = 0, de unde x + x = 0, pentru oricex ∈ A. Atunci x+ x+ 1 + 1 = 0, (∀)x ∈ A.



148. Comutativitatea adunarii implica a = b si, asociativitatea adunarii im-plica a2 = a. Deci avem a = b = 1. Apoi deducem c = 3.


Observatie. Nu este necesar sa verificam celelalte axiome ale corpului elefiind implicate prin enunt si unicitatea raspunsului.

149. Pentru a avea comutativitatea celor doua operatii, trebuie a = b, c = d.

Asociativitatea operatiei >, (x>y)>z = x> (y>z) , (∀)x, y, z ∈ R im-plica a2x + az = ax + a2z, (∀)x, z ∈ R, deci a ∈ {0, 1} . Daca e esteelementul neutru la >, atunci ax+ae−2 = x, (∀)x ∈ R, de unde a = 1,e = 2. Deci a = b = 1.

Asociativitatea operatiei ⊥, (x⊥y)⊥z = x⊥ (y⊥z) , (∀)x, y, z ∈ R im-plica c2x + (6− c) z = (6− c)x + c2z, (∀)x, z ∈ R,adica c ∈ {−3, 2} .Fie E elementul neutru la operatia ⊥. Atunci (E − c− 1)x+6−cE = 0,(∀)x ∈ R, de unde E − c − 1 = 0 si cE = 6. De aici se obtine din nouc ∈ {−3, 2} . Cum orice element x ∈ R\ {2} trebuie sa admita un simetricx0, din conditia x0x−cx0−cx+6 = E, rezulta x0 = (E + cx− 6) /(x−c),pentru x 6= c. Deci c = 2 si E = 3. In concluzie, c = d = 2.

Pentru valorile a = b = 1, c = d = 2 se verifica usor si distributivitateaoperatiei ⊥ fata de >.Raspuns corect: (c).

150. Deoarece f(0) = 3, f(1) = 15 rezulta a = 12, b = 3, f(x) = 12x + 3.Atunci f(x) = 27⇒ 12x+ 3 = 27⇒ x = 2. Daca x0, y0 sunt simetricelelui x respectiv y atunci daca f(x) = y rezulta f(x0) = y0. Obtinemx0 = 1

2⇒ y0 = 12 · 1

2+ 3 = 9.

Raspuns corect (b).

5.2 Analiza

1. Utilizam formula 1 + 2 + . . .+ n = 12n (n+ 1).


Observatie. Fiecare termen al sumei tinde la 0, dar numarul acestora nueste marginit.

5.2. ANALIZA 109

2. Se amplifica cu conjugatul.

Raspuns corect (d).

3. Expresia de sub radical se rescrie n2+1n2+2n

· ln¡1 + 1

n

¢n.


4. an = ln£¡1− 1

2

¢ ¡1 + 1

2

¢. . .¡1− 1

k

¢ ¡1 + 1

k

¢. . .¡1− 1

n

¢ ¡1 + 1

n

¢¤=

= ln¡1232

¢ ¡2353

¢. . .¡n−1n

n+1n

¢= ln n+1

2n,

an+1 − an = lnn2+2n

n2+2n+1< 0, lim

n→∞an = lim

n→∞ln n+1

2n= ln 1

2.

Raspuns corect (b).

5.k2 + k

n3 + n2<

k2 + k

n3 + k2<

k2 + k

n3 + 1⇒

nXk=1

k2 + k

n3 + n2< an <

nXk=1

k2 + k

n3 + 1.


6. limn→∞

pan(a+ 5)(n+ 1) + (a+ 9)(n+ 3)(n+ 5)√

a2n2 + 1=

= limn→∞

qa(a+ 5)(1 + 1

n) + (a+ 9)(1 + 3

n)(1 + 5

n)q

a2 + 1n2

=√a2+6a+9|a| = |a+3|

|a| =

3.


7. bk =1

k2− 1

(k + 1)2⇒ an = 1−

1

(n+ 1)2→ 1.

Raspuns corect (c).

8. sin2(π√n2 + n+ 1) = sin2

£π¡¡√

n2 + n+ 1− n¢+ n

¢¤=

= sin2£π¡√

n2 + n+ 1− n¢¤= sin2

∙π

µn+ 1√

n2 + n+ 1 + n

¶¸⇒

limn→∞

sin2∙π

µn+ 1√

n2 + n+ 1 + n

¶¸= 1.



9. Se expliciteaza xn =

⎧⎪⎨⎪⎩−2− 3

n, n = 2k, k ∈ N∗

2 +3

n, n = 2k + 1, k ∈ N

.

Cum

x2k+2 = −2−3

2k + 2+ 2 +

3

2k> 0, ∀k ∈ N∗ ⇒

⇒ (x2k)k∈N∗ este subsir crescator. Mai mult

x2k+3 − x2k+1 = 2 +3

2k + 3− 2− 3

2k + 1< 0,∀k ∈ N⇒

⇒ (x2k+1)k∈N este subsir descrescator. Atunci

x2 < x4 < ... < x2k < ... < −2 < 2 < ... < x2k+1 < ... < x3 < x1.

In consecinta, minn∈N∗

xn = x2 = −7

2si max

n∈N∗xn = x1 = 5


10. Cum a0 = −a1 − a2 − ...− ak ⇒l = lim

n→∞[a1¡3√n+ 1− 3

√n¢+ +a2

¡3√n+ 2− 3

√n¢+ ...

+ak¡3√n+ k − 3

√n¢] = a1 lim

n→∞

n+ 1− n

3

q(n+ 1)2 + 3

pn (n+ 1) +

3√n2+ ...+

+ak limn→∞

n+ k − n

3

q(n+ k)2 + 3

pn (n+ k) +

3√n2=

= a1 · 0 + a2 · 0 + ...+ ak · 0 = 0.Raspuns corect: (a).

11. Se expliciteaza xn =

½3

2n+1, n = 2k, k ∈ N

12n−1 , n = 2k + 1, k ∈ N

.

Se observa ca (x2k)k∈N este subsir descrescator si (x2k+1)k∈N este subsirdescrescator ⇒ max

n∈Nxn = max (x0, x1) = max (3, 1) = 3⇒ (d) e fals. De

asemenea, se observa ca 0 < xn ≤ 3,∀n ∈ N⇒⇒ (xn)n e sir marginit⇒ (e) e fals. Mai mult ∃ lim

n→∞xn = 0⇒ (b) e fals.

Cum (xn)n∈N admite subsirul (x2k)k∈N descrescator⇒ (xn)n nu poate fisir crescator ⇒ (a) e fals.


5.2. ANALIZA 111

Observatie: Se poate explicita

xn+1xn

= 2+(−1)n+12+(−1)n · 2n+(−1)n

2n+2+(−1)n+1 =

½13, n = 2k, k ∈ N32n−12n+3

, n = 2k + 1, k ∈ N

si se observa ca sirul

µxn+1xn

¶n∈N

admite doua subsiruri cu limite diferite:

limk→∞

x2k+1x2k

=1

3, limk→∞

x2k+2x2k+1

= 3.

12. Se calculeaza: an =nP

k=1

ln kk+2

=nP

k=1

ln k −nP

k=1

ln (k + 2) = ln 2(n+1)(n+2)

;

bn = n ln n2+1(n+1)(n+2)

. Scriem n2+1(n+1)(n+2)

= 1 + αn cu αn = − 3n+1(n+1)(n+2)

si

bn = lnh(1 + αn)

1αn

inαn. Deoarece αn → 0 ⇒ bn → ln e−3 ⇒ l = −3.

Raspuns corect: (d)

13. an = limx→0(1 − x sinnx)

1

x2 = limx→0

e−x sinnx

x2 = e−n. bn = e−11− e−n

1− e−1⇒

b =1

e− 1 .

Raspuns corect (e).

14. 0 < an−1 ≤ an ⇒ a2n = a+an−1 ≤ a+an ⇒ a2n−an−a ≤ 0⇒ 1−√1+4a2

≤an ≤ 1+

√1+4a2

⇒ (an)n∈N marginit. Rezulta ca exista l = limn→∞

an ∈ R,l ≥ 0. Trecand la limita ın egalitatea a2n = a+ an−1 rezulta l

2 = a+ l⇒l = 1

2

¡1 +√1 + 4a

¢.


15. Se pun conditiile pentru existenta radicalului, fractiei si logaritmului:ln (−x2 + 4)−x2 + 4 ≥ 0 si −x2 + 4 > 0 si se gaseste x ∈

£−√3,√3¤.

Raspuns corect (b).

16. Se pun conditiile pentru existenta radicalului, fractiei si logaritmului:x2 − 1x+ 2

≥ 0, x+ 2 6= 0 si lnx > 0 si se gaseste x ∈ (1,+∞).

Raspuns corect (e).


17. Considerand siruri de argumente rationale respectiv irationale se con-stata ca punctele de continuitate sunt doar cele unde x2 = x.


18. Scriem expresia astfel :

2x − 1x

ln (1 + sinx)

sinx

³√1 + x+ 1

´ sinxsin 2x

cos 2x

si aplicam limite fundamentale.


19. l = limx→0

etg x(esinx−tg x − 1)etg 2x(esin 2x−tg 2x − 1) =

= limx→0

etg x

etg 2xesinx−tg x − 1sinx− tg x

sin 2x− tg 2xesin 2x−tg 2x − 1

sinx− tg xsin 2x− tg 2x =

= limx→0

sinx− tg xsin 2x− tg 2x = lim

x→0

cosx− 1cos2 x

2 cos 2x− 2cos2 2x

=

=1

2limx→0

cos3 x− 1cos3 2x− 1 =

1

8.


20. l = limx→∞

µx+√x

x−√x

¶√x= e

limx→∞

2x

x−√x = e2.

Raspuns corect (d).

21. L = limx→∞

lnx2(1− x+ 1x2)

lnx10(1 + 1x9+ 1

x10)= lim

x→∞

2 lnx+ ln(1− x+ 1x2)

10 lnx+ ln(1 + 1x9+ 1

x10).

Raspuns corect (b).

22. limx→0

ln (1 + x+ x2) + ln (1− x+ x2)

x2=

limx→0

ln (1 + x+ x2) (1− x+ x2)

x2= lim

x→0

ln (1 + x2 + x4)

x2=

limx→0

2x+ 4x3

2x (1 + x2 + x4)= lim

x→0

2 + 4x2

2 (1 + x2 + x4)= 1.

Raspuns corect (d).

5.2. ANALIZA 113

23. t1 =p(x+ 1)(x− 3)− x+ 1, t2 = −

p(x+ 1)(x− 3)− x+ 1,

L1 = −∞, L2 = −2Raspuns corect (c).

24. L = limx→∞

2 sin ln(x+1)−lnx2

cos ln(x+1)+lnx2

=

= limx→∞

2 sin³ln(1+x

x)12

´cos³ln [(x+ 1)x]

12

´= 0.

Raspuns corect (d).

25. Pentru n = 0, 1, 2, 3 limita se obtine usor calculand direct sau cu regulalui l’Hospital. Daca n ≥ 4 obtinem, cu aceeasi regula, ca limitele lateralesunt diferite daca n este par si sunt egale daca n este impar(limita esteinfinita).


26. limx→e

lnx− 1x− e

= limx→e

1

x− eln

x

e=

1

x− eln

µ1 +

x− e

e

¶=

= limx→e

ln

"µ1 +

x− e

e

¶ ex−e# 1

e

= ln e1e = 1

e.

Raspuns corect (d).

27. f(x) =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩µ1 +

x

x− 1

¶− 1x

, x < 0µ1 +

x

1− x

¶ 1x

, x > 0, x 6= 1.

limx→0,x<0

f(x) = limx→0,x<0

"µ1 +

−xx− 1

¶−x−1x

# 1x−1

= e,

limx→0,x>0

f(x) = limx→0,x>0

"µ1 +

x

1− x

¶ 1−xx

# 11−x

= e.

Raspuns corect (e).


28. Suntem ın cazul 1∞. Putem scrie f (x) = e1

sin2 x·ln tg x

x , apoi aplicam regulalui l’Hospital.


29. L = limn→∞

5 n

qn4

5n+ n2

5n+ 1

5n+ 1 = 5.


30. Scriem f (x) = ln(x+1)lnx

si calculam f 0 (x) observand ca este negativa.Totodata f (x) < 0 daca x < 1 si f (x) > 0 daca x > 1.


31. Se calculeaza f 0(x) = g(x) + (x+ 2)g0(x)⇒ f 0(0) = 0.

Raspuns corect (e).

32. Se calculeaza f 0(x) =mx2 − 2x+m

x2 + 1. Se impune conditia ca derivata sa

fie pozitiva pentru orice x real, m > 0,∆ ≤ 0.Raspuns corect (c).

33. Descompunem f (x) =2

x− 1 −1

x+ 1de unde

f (5) (x) = −5!µ

2

(x− 1)6− 1

(x+ 1)6

¶= 0 ⇔

µx− 1x+ 1

¶6= 2, x ∈

R\ {−1, 1} .Raspuns corect: (b).

34. Functia f(x) = x2 − 2 lnx+m este convexa, avand limita ∞ ın 0 si ∞.Punctul de minim este x = 1 deci conditia este ca f (1) < 0.


35. Observam ca x = ±1 sunt asimptote verticale. Singurul raspuns care lecontine este raspunsul corect.

Raspuns corect (c).

36. Se impune conditia de continuitate⇒ b = 127a−8. Conditia ca derivatelelaterale ın 2 sa fie egale implica a = 1

3.

Raspuns corect (d).

5.2. ANALIZA 115

37. Calculand derivatele, ınlocuind ın egalitate si identificand coeficientii seobtine sistemul a+ b+ c+ 1 = 0, 2a+ b+ 3 = 0 si 4a− 2b+ c− 8 = 0.Raspuns corect: (c) .

38. Domeniul exclude punctele x = 0 si x = −1 iar f 0 (x) = 0 ne da x = −12.


39. Functia este definita pe R daca x2 + x + m > 0, ∀x ∈ R de unde

m > 1. Calculam apoi f 0 (x) =(2−m) (x2 − 2x− (m+ 2))

(x2 + 2x+m)2. Pentru

ca f 0 (x) = 0 sa admita exact doua radacini este necesar ca m 6= 2 sim > −3.Raspuns corect: (a).

40. Se scrie f(x) = ex−1x2. Atunci f (n)(x) = C0ne

x−1x2+C1ne

x−12x+C2ne

x−12de unde obtinem ca f (n)(1) = n2 + n+ 1.


41. , f 0(x) = − 1√1−sin2 x

cosx = −1


42. f 0(x) =

½−e−x − 2x, x ≤ 0−ex − 3x2, x > 0

, f 0(0) = −1⇒ x = 0 nu este punct critic

pentru f ⇒ x = 0 nu este punct de extrem local pentru f.

f 00(x) =

½e−x − 2, x < 0−ex − 6x, x > 0

. Dar f 00(0) = −1 deci x = 0 nu este punctde inflexiune pentru f.

Raspuns corect (d).

43. Varianta I.

f(x) = g(g(x)) = ||x|− 1|− 1 =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−x− 2, x < −1x, −1 ≤ x < 0−x, 0 ≤ x ≤ 1x− 2 x > 1

.

Pentru x ∈ (−2,−1) ⇒ f(x)− f(−1) = −x− 1 > 0 si deoarece pentrux ∈ [−1, 0) ⇒ f(x) − f(−1) = x + 1 > 0 ⇒ x = −1 punct de minimrelativ.


Pentru x ∈ [0, 1] ⇒ f(x) − f(−1) = 1 − x ≥ 0 si deoarece pentrux ∈ [1, 2) ⇒ f(x) − f(−1) = x − 1 ≥ 0 ⇒ x = −1 punct de minimrelativ.

Varianta II. Tinand sema de expresia lui f ca functie liniara pe subin-tervale, se traseaza graficul functiei si se citeste rezultatul de pe grafic.

f(x) = ||x|− 1|− 1

-4 -2 2 4

2

x

y

Raspuns corect (a).

44. Derivata functiei este f 0 (x) = −x2−(m+2)x−3m+2(x+2)2

e−x si trebuie sa aiba doua

radacini diferite ın R \ {−2} .Raspuns corect: (d).

45. Functia f este continua ın x = 0 daca limx→0

f(x) = f(0) sau b = a.

f 0(x) =

½−e−x + 2ax, x < 0aex + 3bx2, x > 0.

Exista limx→0

f(x) ∈ R daca a = −1. Pentru ca f 0 sa fie continua ın x = 0

trebuie ca f 0(0) = −1. Atunci f 0(x) =½−e−x − 2x, x < 0−ex − 3x2, x > 0.

este con-

tinua pe R daca

(a, b) = (−1,−1).Raspuns corect (a).

46. Calculam f 0 (x) =mex + (1 +m) e−x + 2 (1 +m)

(1 + ex)2. Observam ca, daca

m ≥ 0, f 0 (x) > 0, ∀x ∈ R iar, daca m ≤ −1, f 0 (x) < 0, ∀x ∈ R.Pentru 1 < m < 0 fie g (x) = mex + (1 +m) e−x + 2 (1 +m). Avem

5.2. ANALIZA 117

limx→∞

g (x) = −∞ si limx→−∞

g (x) = ∞ deci f 0 (x) are semn variabil pe Rastfel ca f nu este monotona.


47. f 0(x) = 11+ 1−cos x

1+cos x

1

2q

1−cosx1+cosx

sinx(1 + cosx) + sinx(1− cosx)(1 + cosx)2

=

=1

2q

1−cosx1+cosx

sinx

1 + cosx=sinx

2 sinx=1

2.

Raspuns corect (c).

48. Notam f(x) = e4x − 4x3 − a2x − 1. Deoarece f(0) = 0 si din problemaf(x) ≥ 0, rezulta ca f(x) ≥ f(0) = 0,∀x ∈ R, deci x = 0 este punct deminim pentru f ⇒ f 0(0) = 0, f 0(x) = 4e4x− 12x2− a2, f 0(0) = 4− a2 ⇒a = −2 sau a = 2.

Raspuns corect (c).

49. f 0(x) = − sinx√1−cos2 x =

− sinxsinx

= −1.Raspuns corect (e).

50. f(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

µ1 +

ax

bx+ 1

¶ 1x

, x < 0

1, x = 0µ1 +

ax2

bx+ 1

¶ 1x2

, x > 0

,

limx→0,x<0

f(x) = ea, limx→0,x>0

f(x) = ea.

f este continua ın x = 0 daca ea = 1 sau (a, b) = (0, b), b ∈ R.Raspuns corect (c).

51. limx%0

f(x) = limx&0

f(x) = f(0) = 0, limx%1

f(x) = limx&1

f(x) = f(1) = 0,

f 0(x) =

⎧⎨⎩− 1(x−1)2 , x ∈ (−∞, 0)

1 + lnx, x ∈ (0, 1)ex, x ∈ (1,∞)

, limx%0

f 0(x) = −1; limx&0

f 0(x) = −∞;

limx%1

f 0(x) = 1; limx&1

f 0(x) = e1.



52. i) f 0(x) =e−x

(1 + e−x)2£me2x + 2mex + 1−m

¤. f 0(x) = 0⇒ m = −1

7.

ii) Notam ex = t > 0 si studiem semnul functiei mt2 + 2mt + 1 + mpentru t > 0. Daca m > 0 si ∆ = 4m(2m − 1) < 0 ⇒ m ∈

¡0, 1

2

¢.

Observam ca si valorile m = 0 si m = 12sunt bune, deci m ∈

£0, 1

2

¤.

Daca m > 0 si ∆ ≥ 0 atunci ambele radacini ale t1, t2 trinomului rebuiesa fie ≤ 0 ⇒ m > 0 si m ≥ 1

2, t1 + t2 < 0 si t1t2 ≥ 0 ⇒ m ∈

£12, 1¤.

Reunum cele doua rezultate si obtinem m ∈ [0, 1] .Raspuns corect: (b).

53. Scriem: ln f(x) =ln(2 |x|− x)− ln(x+ 1)2

ln |x| si gasim

limx→0

ln f(x) = limx→0

ln(2 |x|− x)

ln |x| = 1, deci l = e.


54. Se observa ca f e continua pe R. Mai mult, f este derivabila pe (−∞, 0),respectiv pe (0,+∞) . Se calculeazaf 0s (0) = lim

x→0x<0

ex−x−1−0x−0 = lim

x→0x<0

¡−1 + ex−1

x

¢= −1 + 1 = 0.

f 0d (0) = limx→0x>0

x3−3x2−0x

= 0.

Deci ∃f 0 (0) = 0⇒ ∃f 0 : R→R,f 0 (x) =

⎧⎨⎩ ex − 1, x < 0,0, x = 0,

3x2 − 6x, x > 0.

Studiind tabelul de variatie pentru f tragem concluzia ca: f e strictdescrescatoare pe (0, 2] si strict crescatoare pe [2,+∞) ; x = 2 e punctde minim local si global pentru f si min

x∈Rf(x) = f(2) = −4; x = 0 e

punct critic pentru f si nu e punct de extrem local.


55. f 0(x) = − 1

(x− 1)2 −1

(x− 2)2 −1

(x− 3)2 −1

(x− 4)2 < 0 ⇒ f este

monoton descrescatoare pe subintervale, dreptele x = 1, x = 2, x =

5.2. ANALIZA 119

3, x = 4 sunt asimptote verticale. limx→−∞

f(x) = 5, limx%1

f(x) = −∞, f

descrescatoare⇒ f intersecteaza axa Ox ıntr-un punct x0 ∈ (−∞, 1) ;limx&1

f(x) =∞, limx%2

f(x) = −∞ ⇒ f intersecteaza axa Ox ıntr-un punct

x1 ∈ (1, 2) etc.Raspuns corect: (e).

56. Utilizand dezvoltarea binomului lui Newton se observa ca:¡3 +√7¢n= xn + yn

√7,∀n ∈ N ⇒

¡3−√7¢n= xn − yn

√7, ∀n ∈ N.

Atunci xn =(3+

√7)

n+(3−

√7)

n

2si yn =

(3+√7)

n−(3−√7)

n

2√7

⇒

⇒ xnyn=

√7[(3+

√7)

n+(3−

√7)

n]

(3+√7)

n−(3−√7)

n =√7 ·

1+3−√7

3+√7

n

1− 3−√7

3+√7

.

Cum¯3−√7

3+√7

¯< 1⇒ lim

n→∞xnyn=√7 · 1+0

1−0 =√7.


57. Se expliciteaza f : (0,+∞)→ R, f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩1x, 0 < x < 13, x = 1

x+4

x, x > 1.

.

Se observa ca f este continua pe (0, 1)∪(1,+∞) , dar nu este continua ın

x = 1.Mai mult ∃f 0 : (0, 1)∪(1,+∞)→ R,f 0 (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩− 1x2, 0 < x < 1

x2 − 4x2

, x > 1.

Din tabelul de variatie pentru f se deduce ca x = 2 e punct de minimlocal si global pentru f si ca f e strict descrescatoare pe (0, 1) . Precizamca x = 1 nu este punct unghiular, deoarece f nu este continua ın x = 1.


58. Avem f 0 (x) = cosπ

x+

π

xsin

π

x− 1 si f 00 (x) = −π

2

x3cos

π

x< 0 pe (2,∞).

Deci f 0 este monoton strict descrescatoare pe [2,∞). Atunci, pentru 2 ≤x <∞, f 0 (x) > lim

x→∞f 0 (x) = 0. Deci f este strict crescatoare pe [2,∞).



59. Deoarece limx&−1

f (x) = +∞ si limx%−1

f (x) = −∞, rezulta ca f admite

asimptota verticala de ecuatie x = −1. Apoi limx%0

f (x) = 0, dar aplicand

teorema lui l’Hopital de doua ori, avem limx&0

f (x) = limx&0

1x+1

. limx&0

e1/x

1/x2=

limx&0

−1/x2e1/x−2/x3 = 1

2limx&0

e1/x

1/x= 1

2limx&0

−1/x2.e1/x−1/x2 = +∞,deci x = 0 este ecuatia

unei asimptote verticale. Intrucat limx→∞

f (x) = +∞ si limx→−∞

f (x) = −∞,

rezulta ca nu exista asimptote orizontale. Daca f admite asimptoteoblice, acestea au ecuatiile de forma y = mx+ n, unde

m = limx→±∞

f(x)x= lim

x→±∞x2

x2+xe1/x = 1,

n1 = limx→+∞

[f (x) − mx] = limx→+∞

x2

x+1(e1/x − 1) − lim

x→+∞x

x+1,daca prima

limita exista. Aplicand de doua ori regula lui l’Hospital, se obtine

limx→+∞

x2

x+1(e1/x − 1) = lim

x→+∞[2x(e1/x − 1)− x2. 1

x2e1/x] = lim

x→+∞2(e1/x−1)

1/x−

limx→+∞

e1/x = 2 limx→+∞

−1/x2.e1/x−1/x2 − 1 = 1, de unde n1 = 0. Analog n2 = 0,

deci asimptota oblica are ecuatia y = x (atat la +∞ cat si la −∞).Raspuns corect: (d)

60. Domeniul de definitie al lui f este R. Functia f este derivabila pe R dacasi numai daca x2+ (a− 2)x− a+2 6= 0, (∀)x ∈ R, ceea ce se realizeazadaca si numai daca discriminantul ∆ al trinomului este strict negativ,adica (a− 2)2 − 4 (−a+ 2) < 0 sau a ∈ (−2, 2) .Raspuns corect: (c).

61. Notam f (x) = x arctg x− ln (1 + x2) . Functia f este derivabila de douaori si avem f 0 (x) = arctg x − x

1+x2, f 00 (x) = 2x2

(1+x2)2.Cum f 00 (x) > 0,

rezulta ca f 0 este strict crescatoare pe (0,∞) , deci f 0 (x) > f 0 (0) = 0,(∀)x > 0. De aici se obtine ca f este strict crescatoare pe (0,∞) ; asadar,f (x) > f (0) = 0, (∀)x > 0, deci f > 0 pe (0,∞) .Raspuns corect: (e).

62. Notand cu ls (a) si ld (a) limita la stanga, respectiv la dreapta a functieif ın a, avem ls (1) = ld (1) = 23/2, ls (2) = ld (2) = 9, ls (3) = ld (3) = 8,rezulta ca f este continua pe R.

5.2. ANALIZA 121

Apoi, evident ca f derivabila pe R\ {1, 2, 3} si

f 0 (x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1, x < 1

25(−x2 + 1)/ (x2 + 1)2 , x ∈ (1, 2)(x2 − 2x− 3) / (x− 1)2 , x ∈ (2, 3)

0, x > 3.

Notand f 0s (a) si f0d (a) derivata la stanga, respectiv la dreapta ın a, avem

f 0s (1) = 1 6= f 0d (1) = 0, f0s (2) = f 0d (2) = −3 si f 0s (3) = f 0d (3) = 0. Deci

f este derivabila pe R\ {1} .Raspuns corect: (d).

63. Pentru x 6= −2/b, avem

f 0 (x) =bx2 + 4x+ 2a

(bx+ 2)2.

Punctele x = −8 si x = 4 sunt puncte de extrem pentru f daca f 0 (−8) =0, f 0 (4) = 0 si f 0 schimba semnul la stanga si la dreapta acestor douapuncte. Deci ½

32b− 16 + a = 016b+ 16 + 2a = 0,

de unde a = −16, b = 1. Atunci f : R\ {−2}→ R, f (x) = x2 − 16xx+ 2

, iar

f 0 (x) =x2 + 4x− 32(x+ 2)2

. Avem f 0 (x) > 0 pentru x ∈ (−∞,−8) ∪ (4,+∞)

si f 0 (x) < 0 pentru x ∈ (−8,−2) ∪ (−2, 4) . Deci x = −8 este punct demaximum, iar x = 4 este punct de minimum pentru f.


64. f continua pe R,

f 0(0) = limx→0

sin xx−1

x−0 = limx→0

sinx−xx2

= limx→0

cosx−12x

= limx→0

− sinxx

= 0, f 0(0) = 0

f 00(0) = limx→0

x cosx−sinxx2

−0x−0 = lim

x→0x cosx−sinx

x3= lim

x→0−x sinx3x2

= limx→0

− cosx3

=

−13.

Raspuns corect (b).


65. Se calculeaza f 0(x) =2x√

1 + x2¡1 +√1 + x2

¢ . Se observa ca x = 0 estepunct de minim.

Raspuns corect (d).

66. Se descompune ın fractii simple si calculeaza

0Z−1

³11−x +

2(1−x)2

´dx.

Raspuns corect (b).

67. Se calculeaza integrala

I(a) =

aZ2

x

x3 − 1dx =1

3ln (−1 + a)− 1

6ln¡a2 + a+ 1

¢+

+13

√3 arctan 1

3

√3 (2a+ 1) + 1

6ln 7− 1

3

√3 arctan 5

3

√3.

Raspuns corect (b).

68. Avem

π/2Z0

cos3 xdx =

π/2Z0

¡1− sin2 x

¢d sinx = 2

3etc.


69. Limitele de integrare, ce sunt numere opuse, ne sugereaza sa studiemparitatea integrandului ce se dovedeste a fi impar.


Observatie. Calculul integralelor definite, care sunt numere, nu se faceneaparat prin formula Leibniz-Newton care presupune determinarea pre-alabila a unei primitive.

70. DeoareceF 0(x) = f(x) > 0 ⇒ F strict crescatoare. Din teorema luiLagrange⇒ F (x + 1) − F (x) = ec

2pentru c ∈ (x, x+ 1) . Rezulta ca

limx→∞

F (x) =∞ si putem aplica de doua ori regula lui L’Hospital.


71. Notam√x+ a = y si, schimband variabila se obtine 2

R y2 − a

y2dy =

5.2. ANALIZA 123

= 2

µy +

a

y

¶+ c.


72. I =

π2Z0

sinx

1 + cos2 xdx = −

0Z1

dt

1 + t2= − arctg t|01 =

1

4π


73. Tinand seama de descompunerea

4x3 − 6x2 + 8x− 3 = (4x− 2)(x2 − x+ 1) + (2x− 1) obtinem:

I =

1Z0

(4x− 2)(x2 − x+ 1) + (2x− 1)(x2 − x+ 1)3

dx =

=

1Z0

µ(4x− 2)(x2 − x+ 1)

(x2 − x+ 1)3+

(2x− 1)(x2 − x+ 1)3

¶dx =

= − 2

x2 − x+ 1

¯10

− 1

2(x2 − x+ 1)2

¯10

= 0

Raspuns corect (c).

74. I =

Zlnx

x2dx =

Zlnx

µ−1x

¶0dx = − lnx

x+

Z1

x2dx = − lnx

x− 1

x+ C.

Raspuns corect (d).

75. Se face substitutia lnx = t. I =

Zdt√4 + t2

= ln(t+√4 + t2) + C.

Raspuns corect (a).

76. Impunem sinx−2 cosx 6= 0⇒ tg x 6= 2⇒ x 6= arctg 2⇒ gasim doua in-

tervale,³−π2, arctg 2

´si respectiv

³arctg 2,

π

2

´. Cel de lungime maxima

este³−π2, arctg 2

´. I =

Zdx

tgx− 2 , tg x = t⇒ I =

Zdt

(t− 2)(t2 + 1) =

−25arctan t+

1

5ln |t− 2|− 1

10ln¡t2 + 1

¢+ C.

Raspuns corect (a).


77. I =

Z(x2 + 1− x2) dx

(x2 + 1)2=

Zdx

(x2 + 1)−Zx

xdx

(x2 + 1)2=

= arctg x−Zx

µ− 1

2(x2 + 1)

¶0dx = arctg x+ 1

2

Zx

µ1

x2 + 1

¶0dx =

= arctg x+ 12

∙x

x2 + 1−Z

1

x2 + 1dx

¸.

Raspuns corect (a).

78. Observam ca x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4 ⇒ x + 1 = 2y ⇒ dx = 2dy si

integrala devine I =

Z2y2dy

(4y2 + 4)2=1

4

Zydy

(y2 + 1)2= −1

8

1

y2 + 1+C etc.

Raspuns corect (b).

79. Inmultim fractia de sub integrala cu conjugata ei si obtinem

I =

Z ¡√x2 + 1− x

¢dx.

Raspuns corect (c).

80. I =

Z ¡1− 1

x+2

¢2dx =

Z ³1− 2

x+2+ 1

(x+2)2

´dx = x−2 ln(x+2)− 1

x+2+

c.

Raspuns corect (e).

81. f (x) =

½ex pentru 0 ≤ x ≤ 1x2ex pentru 1 ≤ x ≤ 2 ⇒

I =

1Z0

exdx+

2Z1

x2exdx = e− 1 + e (2e− 1) = 2e2 − 1.

Raspuns corect (e).

82. Fie g : [0, 2] → R, g(x) = x − 2

1 + x2, g0(x) = 1 +

4x

(1 + x2)2> 0 ⇒ g

strict crescatoare, g(x) = 0⇒ x = 1.

I =

1Z0

xdx+

2Z1

2

1 + x2dx =

1

2+ 2 arctg 2− π

2.

Raspuns corect (a).

5.2. ANALIZA 125

83. f (x) =

½ex pentru 0 ≤ x ≤ 1e−x pentru − 1 ≤ x < 0

⇒

I =

0Z−1

e−xdx+

1Z0

exdx = − (1− e) + (e− 1) = 2 (e− 1) .

Raspuns corect (c).

84.R e1lnxxdx = ln2 x

2

¯e1= 1

2.

Raspuns corect (c).

85.

3Z2

tdt

1 + t2= 1

2ln (1 + t2)

¯32= 1

2(ln 10− ln 5) = 1

2ln 2.

Raspuns corect (a).

86. I = arctg sinx|π40 = arctg

√22.

Raspuns corect (e).

87. I = 2√x− 2 ln(1 +√x)|40 = 4− 2 ln 3.

Raspuns corect (d).

88. I =

1Z0

x√x2 + 1dx+

1Z0

√x2 + 1dx = I1 + I2.

I1 =

1Z0

x√x2 + 1dx = 1

2

1Z0

(x2 + 1)1/22xdx = 1

3(x2 + 1)

3/2¯10=

= 13

¡2√2− 1

¢.

I2 =

1Z0

√x2 + 1dx = x

√x2 + 1

¯10−

1Z0

xx√

x2 + 1dx =

=√2−

1Z0

x2 + 1− 1√x2 + 1

dx,


I2 =√2− I2 +

1Z0

1√x2 + 1

dx =√2− I2 + ln

¡x+√x2 + 1

¢¯10⇒

2I2 =√2 + ln

¡1 +√2¢⇒ I2 =

√22+ 1

2ln¡1 +√2¢.

Raspuns corect (c).

89. Observam ca x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1) (x− 1)2 ⇒

I =

1Z0

|x− 1|√x+ 1dx =

1Z0

(1− x)√x+ 1dx = I1 − I2.

I1 =

1Z0

√x+ 1dx =

2

3(2√2− 1),

I2 =

1Z0

x√x+ 1dx =

4√2

3− 16

√2

15+4

15.


90. f 00(x) = (x+ 5) (x+ 3) ex, f 00(x) = 0 ⇒ x1 = −5, x2 = −3 care sunt

punctele de inflexiune. S =

−3Z−5

(x2 + 4x+ 5)exdx = 6(e2 − 3)e−5.


91. I =

1Z0

arcsinx

µx2

2

¶0dx =

π

4−

1Z0

1√1− x2

· x2

2dx =

π

4+

+1

2

1Z0

x³√1− x2

´0dx =

π

4− 12

1Z0

√1− x2dx =

π

8.

Deoarece

1Z0

√1− x2dx =

π2Z0

cos2 xdx =π

4.


5.2. ANALIZA 127

92. Varianta I. Calculam

In =nR1

µ1− 2

x+ 1

¶dx = (x− 2 ln (x+ 1))|x=nx=1 = n− 1− 2 ln n+ 1

2⇒

⇒ Inn=

n− 1n− n+ 1

n·ln (n+1)

2n+12

.

Atunci limn→∞

Inn

(1)= 1 − 1 · 0 = 1. Am utilizat (1) lim

n→∞n∈N

lnn

n= 0, deoarece

limx→∞x∈R

lnx

x= 0.

Varianta II. Calculam, cu regula lui l’Hospital,

limx→∞

xR1

t− 1t+ 1

dt

x= lim

x→∞

x− 1x+ 1

= 1. Am utilizat faptul ca pentru f continuaµxRa

f(t)dt

¶0= f(x).


93. f(x) =

⎧⎨⎩ 2− x, x ∈ (−∞, 1)x, x ∈ [1, 3)3x− 6, x ∈ [3,∞)

⇒

F (x) =

⎧⎨⎩2x− x2

2+ C1, x ∈ (−∞, 1)

x2

2+ C2, x ∈ (1, 3)

3x2

2− 6x+ C3, x ∈ (3,∞)

.

Din conditia ca F sa fie continua rezulta C3 = 9⇒ F (4) = 9.


94. f (x) =1

x3 + x2 + 4x+ 4=

1

(x+ 1) (x2 + 4)=1

5

µ1

x+ 1− x− 1

x2 + 4

¶.

Atunci

I =1

5ln (x+ 1)|10 −

1

10ln¡x2 + 4

¢¯10+1

10arctg

x

2

¯10=

=1

10

µln16

5+ arctg

1

2

¶.



95. Se face schimbarea de variabila x = π − t si se obtine

I =0Rπ

(π − t) sin t

1 + (− cos t)2(−1) dt = π

πZ0

sin t

1 + cos2 t− I ⇒

⇒ I =−π2arctg (cos t)|t=πt=0 = −

π

2arctg (−1) + π

2arctg 1 = π arctg 1 =

=π2

4.


96. f(x) = 1(x+1)(x2−x+2) −

14(x+1)

= − x−24(x2−x+2) .

I = −14

1Z0

x−2x2−x+2dx = −

14

1Z0

[(2x−1)−3]dxx2−x+2 = 3

2√7arctg 1√

7.


97. I =

aZ0

xdx√x+a

=

aZ0

√x+ adx−a

aZ0

dx√x+ a

=(x+ a)

32

32

¯¯a

0

−a(x+ a)

12

12

¯¯a

0

=

23a√a(2−

√2).

Raspuns corect (c).

98. I =

aZ1

1

a− x+ 1dx+

3Za

1

x− a+ 1dx = ln [a(4− a)] .


99. Integrand prin parti avem

I = x√x2 + a2|a−a−

R a−a√x2 + a2dx = 2a2

√2−R a−a

x2 + a2√x2 + a2

dx = 2a2√2−

I − a2R a−a

1√x2 + a2

dx = 2a2√2− I − a2 ln

¡x+√x2 + a2

¢|a−a, deci I =

a2√2− a2 ln

p3 + 2

√2.


5.2. ANALIZA 129

100. Explicitam functia f :

f (x) =

⎧⎨⎩ 3x, 0 ≤ x ≤ 1µ1

3

¶x

, −1 ≤ x < 0.

Atunci I =

0Z−1

¡13

¢xdx +

1Z0

3xdx = [(1/3)x]|0−1/ ln (1/3) + (3x)|10/ ln 3 =

4/ ln 3.


101. Integrala se mai scrie

I = (1/2)

π/4Zπ/6

(1 + cos 2x)dx = (1/2) (x+ (sin 2x)/2)|π/4π/6 ,

deci I = π/24 + 1/4−√3/8.


102. f(x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x3 + x

x2 + 1pentru x ∈ [0, 1)

1 pentru x = 1x pentru x > 1

, I =

2Z12

xdx = 158.


103. Se integreaza prin parti.


104. P 0(x) = 3x2 − 3m⇒ m ≥ 0 si x = ±√m.

Pentru x =√m si P (

√m) = 0⇒ n = 2m

√m. Din

2R0

(x3 − 3mx+ n)dx = 2⇒ 4− 6m+ 2n = 2⇒ 3m− n = 1.

Din cele doua relatii rezulta m = 1, n = 2.

Pentru x = −√m si P (−√m) = 0⇒ n = −2m√m. Din cele doua relatii

rezulta m =1

4, n = −1

4⇒ p = 2.

Raspuns corect (e).


105.

4Z3

x2 − 1(x− 2)2

dx =

4Z3

µ1 +

4

x− 2 +3

(x− 2)2¶dx =

5

2+ 4 ln 2.

Raspuns corect (b).

106. σ∆n(f,kn) = 1

n

⎛⎝ 1q1 + 1

n

+1q1 + 2

n

+ · · ·+ 1p1 + n

n

⎞⎠ reprezinta suma

Riemann asociata functiei f : [0, 1] → R, f(x) =1√1 + x

si diviziunii

echidistante a intervalului [0, 1] ,

∆n =¡x0 = 0 < x1 =

1n< · · · < xn =

nn= 1

¢.

Deci

limn→∞

µ1√

n2 + n+

1√n2 + 2n

+ · · ·+ 1√n2 + n2

¶=

=

1Z0

dx√1 + x

= 2(√2− 1).


107. Parabolele se intersecteaza ın punctele (0, 0) si (2, 2). Astfel aria este

egala cu

2Z0

³√2x− x2

2

´dx.

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y


5.3. TRIGONOMETRIE 131

Observatie. Datorita simetriei domeniului fata de prima bisectoare pu-

tem calcula mai simplu aria = 2

2Z0

³x− x2

2

´dx.

108. Parabolele se intersecteaza ın punctele (0, 0) si³

3√ab2,

3√a2b´.

Astfel aria este egala cu

3√ab2Z0

³√ax− x2

b

´dx = 1

3ab.


109. Deoarece f(x) < 0 pentru x ∈£π4, π2

¤rezulta

A = −

π2Z

π4

(cosx) · ln(sinx)dx = 12

¡ln 1

2

√2¢√2 +

π2Z

π4

cosx dx =

= 12

¡ln 1

2

√2¢√2 + 1− 1

2

√2 = 1−

√22−√24ln 2.

Raspuns corect: (a)

110. Volumul corpului de rotatie obtinut prin rotirea ın jurul axei Ox a sub-graficului asociat functiei f se calculeaza dupa formula

V = πR a0f2 (x) dx,deci

V = (πa2/4)¡ae2x/a/2− ae−2x/a/2 + 2x

¢|a0,

de unde V = πa3 (e2 − e−2 + 4) /8.


5.3 Trigonometrie

1. Ridicand la patrat prima relatie se obtine sin θ cos θ = 12(a2−1). Apoi de-

scompunem sin5 θ+cos5 θ = (sin θ+cos θ)(sin4 θ−sin3 θ cos θ+sin2 θ cos2 θ−sin θ cos3 θ + cos4 θ). Folosind relatia sin2 θ + cos2 θ = 1 se obtine a(5 −a4) = 4b.

Raspuns corect (a).


2. Notam p = sinx cosx. Atunci relatiile din enunt devin:½n− 3pm = m3

m(1 + p) = n⇒ m = n = 0 sau m3 − 3m+ 2n = 0.


3. Calculam, mai ıntai, sin π5. Pentru aceasta dezvoltam

sin 5x = sinx¡16 sin4 x− 20 sin2 x+ 5

¢si notand sin π

5= u avem

u (16u4 − 20u2 + 5) = 0. Dar 0 < π5< π

4deci 0 < u <

√22. Se obtine

u =q

5−√5

8, apoi cos π

5=√1− u2.


Observatie. Calculul direct, plecand de la dezvoltarea lui cos 5x, conducela o ecuatie mai complicata.

4. Facand calculele obtinem E =4 sin(300 − 100)2 sin 100 cos 100

= 4.

Raspuns corect (e).

5. Tinem seama de egalitatile: sin 700 = cos 200, sin 2600 = − cos 100,cos 2800 = sin 100 ⇒ E = cos 200 cos 500 − cos 100 sin 100 =1

2(cos 700 + cos 300 − sin 200) = 1

2cos 300 =

√3

4.

Raspuns corect (c).

6. Se utilizeaza formulele 1 + tg2 x = 1cos2 x

, 1 + ctg2 x = 1sin2 x

,

cos2 x = 1+cos 2x2

, sin2 x = 1−cos 2x2

.

Raspuns corect (d) .

7. Folsind formulele trigonometrice cunoscute, gasim

E (x) =2 sin 3x cos 2x+ sin 3x

2 cos 3x cos 2x+ cos 3x= tg 3x,

pentru cos 3x 6= 0, cos 2x 6= −1/2. Pentru x = π/12 avem E (π/12) =tg π/4 = 1.



8. Deoarece π4< 1 < π

3avem cos 1 < cos π

4= sin π

4< sin 1 < sin 1

cos 1= tg 1.


9. Se tine cont ca 5π6< 3 < π de unde se obtin inegalitatile:

−∞ < ctg 3 < −√3 < −1 < cos 3 < −

√32< −

√33< tg3 < 0.


10. Numerele ctgα, ctg β, ctg γ sunt ın progresie aritmetica, deci

2 ctg β = ctgα + ctg γ. Dar ctg β = 1/ tg β = 1/ ctg (α+ γ) . De aicirezulta ca

ctg β =ctgα+ ctg γ

ctgα · ctg γ − 1 ,

deci ctg β =2ctg β

ctgα · ctg γ − 1 . Asadar, ctgα · ctg γ = 3.


11. f(x) =√2 sin(x+ π

4)⇒ |f(x)| ≤

√2.


12. Conditiile de existenta sunt tg x 6= −1, cosx 6= 0, sinx 6= 0. Ecuatiase transforma ın sinx − cosx =

√2 ⇔ cos

¡π4+ x

¢= −1 cu solutii

incompatibile cu conditiile de mai sus.


13. cos2 x+sin2 2x = 2⇒ 1+cos 2x2

+1−cos2 2x = 2⇒ 2 cos2 2x−cos 2x+1 = 0,ecuatie care nu are solutii reale.


14. Notand p = tgϕ⇒ |sinϕ| ≤ 12⇔ |p| ≤ 1√

3.

Raspuns corect (c).

15. Se folosesc formulele sin 2x = 2 sinx cosx si sin2 2x = (1 − cos 4x)/2.Obtinem ecuatia

√3 sin 4x− cos 4x = 0.

Raspuns corect (c).


16. Evident x 6= ±1 si scriem ecuatia sub forma arctg 1x−1 + arctg

1x+1

=

= π4+ arctg 1

x2−1 . Daca x2 6= 2 putem aplica functia tg ambilor mem-

bri obtinand 2x = x2, de unde solutiile posibile sunt 0, 2,√2,−√2 ce

urmeaza a fi verificate.

17. Se exprima sin 2x si cos 2x ca functii de tg x si se obtine ca x = kπ + π4,

x = arctg(−3) + kπ, k ∈ Z.Raspuns corect (c).

18. Se transforma sin 2x = 2 sinx cosx si se ınlocuieste ın ecuatia data. Seobtine cosx− sinx+2 sin2 x+2 cos2 x = 2 cos2 x+2 sinx cosx etc., careare solutiile x =

©π4+ kπ

ª∪n(−1)k π

6+ kπ

o, k ∈ Z.

Raspuns corect (a).

19. Ecuatia se scrie:

8 cos6 x−8 cos4 x+4cos2 x−1 = (2 cos2 x− 1) (4 cos4 x− 2 cos2 x+ 1)⇒2 cos2 x− 1 = 0.Raspuns corect (a).

20. cos2 xsin2 x

= 1+sinx1+cosx

⇔ sinx+ 1 = 0 sau sinx− cosx = 0.Raspuns corect (b).

21. Ecuatia este echivalenta cu tg(x+a) = tg(−x)⇒ x+a = kπ−x⇔ x =kπ2− a

2.

Raspuns corect (c).

22. Ne folosim de relatiile cos 3x = cosx (4 cos2 x− 3) sisin 3x = sinx

¡3− 4 sin2 x

¢. Dubland de doua ori unghiul obtinem ecuatia

echivalenta sin 4x = 12.


23. sin2 x + sin2 2x = 2 ⇒ cos2 x + cos2 2x = 0 ⇒ cosx = 0, cos 2x = 0,imposibil.



24. Varianta I. Ecuatia data este echivalenta cu

sin¡π2− cosx

¢= sin(sinx)⇔ 2 sin

π2−cosx−sinx

2cos

π2−cosx+sinx

2= 0.

Dar |cosx+sinx|2

≤√22⇒ −

√22≤ − cosx−sinx

2≤

√22⇒ π

4−

√22≤ π

4−

−cosx+sinx2

≤ π4+√22⇒ 0 < π

4− cosx+sinx

2< π

2, deci primul factor nu se

poate anula. Un rationament analog se face si pentru al doilea factor.

Varianta II. Este suficient sa aratam ca ecuatia nu are solutii pentrux ∈ [0, 2π]. Pentru aceasta observam ca daca x ∈ [π, 2π] membrul stangeste strict pozitiv iar membrul drept negativ, deci egalitatea nu poateavea loc. Consideram x ∈ [0, π] si ın acest caz consideram doua situatii:

i) pentru x ∈£0, π

2

¤au loc inegalitatile sinx + cosx ≤

√2 < π

2⇒

0 ≤ cosx < < π2− sinx⇒ cos(cosx) > sin(sinx).

ii) x ∈£π2, π¤, fie y = x − π

2⇒ y ∈

£0, π

2

¤. Ecuatia devine cos(sin y) =

sin(cos y), ∀y ∈£0, π

2

¤⇒ conform situatiei i) sin y < π

2− cos y ⇒

cos(sin y) > sin(cos y), ∀y ∈£0, π

2

¤.


25. Trebuie sa avem; cos2 x = 1, cos2 2x = 1⇒ sin2 x = 0, sin2 2x = 0⇒ x =kπ, k ∈ Z.Raspuns corect: (d).

26. (sinx + sin 3x) + sin 2x = 2 sin 2x cosx + sin 2x = sin 2x(2 cosx + 1) ⇒sin 2x = 0 ⇔ x =

kπ

2cu k ∈ Z sau cosx = −1

2⇔ x = 2kπ ± 2π

3cu

k ∈ Z.Raspuns corect: (d).

27. Impunem conditii de existenta⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x ∈ [0, 2π]√2 sinx > 0√2 sinx 6= 1

1 + cosx > 0

⇔

⎧⎨⎩ x ∈ (0, π)x 6= π

4si x 6= 3π

4

x ∈ [0, 2π] \ {π}⇔ x ∈ (0, π) \

©π4, 3π4

ª.

Ecuatia este echivalenta cu:

log√2 sinx (1 + cosx) = log√2 sinx(

√2 sinx)2 ⇒ 1 + cosx = 2 sin2 x⇔

⇔ 2 cos2 x+ cosx− 1 = 0⇒ cosx ∈©−1, 1

2

ª.


Utilizand conditiile de existenta obtinem doar x =π

3.


28. Impunem conditiile de existenta pentru functiile trigonometice inverse:−1 ≤ 1 + x ≤ 1 ⇒ x ∈ [−2, 0] , −1 ≤ 1 − x ≤ 1 ⇒ x ∈ [0, 2] ⇒ x = 0.Inlocuim ın ecuatie: arcsin 1 = arccos 1, fals.


29. Ecuatia se poate scrie de forma cos2 x = 8−p8(p+2)

, p 6= −2. Ecuatia aresolutii daca si numai daca 0 ≤ 8−p

8(p+2)≤ 1 si 8−p

8(p+2)≥ 0 ⇒ p ∈ (−2, 8] ;

8−p8(p+2)

≤ 1⇒ p ∈ (−∞,−2) ∪£−89,∞¢.


30. Din formulele lui cos 3x si sin 3x rezulta cos3 x = (cos 3x+ 3cosx) /4,sin3 x = (3 sinx− sin 3x) /4.Atunci ecuatia devine cos2 3x−sin2 3x+3 (cos 3x cosx+ sin 3x sinx) = 0,adica cos 6x+3 cos 2x = 0.Folosind din nou formulele de mai sus pentrucos 6x se ajunge la cos 2x = 0, de unde 2x ∈ {(±π/2) + 2kπ, k ∈ Z} ,deci x ∈ {(±π/4) + kπ, k ∈ Z} .Raspuns corect: (c).

31. Transformand ecuatia a doua ın produs rezulta 3(x+ y) = kπ si folosind

prima ecuatie rezulta x =π

12+

kπ

6, y = − π

12+

kπ

6.

Raspuns corect (d).

32. Adunam si scadem ecuatiile sistemului si obtinem:½cos(x− y) = 1

2

cos(x+ y) = 1⇒½

x− y = ±π3+ 2kπ, k ∈ Z

x+ y = 2hπ, h ∈ Z .


33. Impunem conditii de existenta: x 6= (2k + 1)π2, x 6= (2k + 1)π

4, k ∈ Z.

Rezulta 4 tg x1−tg2 x − 3 tg x ≤ 0 ⇔ tg x

1−tg2 x(1 + 3 tg2 x) ≤ 0 ⇔ 2 tg x

1−tg2 x ≤ 0⇔ tg 2x ≤ 0⇔ −π

2+ kπ < 2x ≤ kπ.


5.4. GEOMETRIE 137

34. Ecuatia se scrie echivalent

cos¡π2− 2x− 1

¢= cos (2x− 1)⇒ π

2− 2x− 1 = ± (2x− 1) + 2kπ.


35. Aplicand repetat formulele sin2 a =1

2(1 − cos 2a) si cos2 a =

1

2(1+

+cos 2a) se obtine ecuatia echivalenta 6 cos2 4x+ 7 cos 4x = 0 cu solutiacompatibila cos 4x = 0.

Raspuns corect (d).

36. Folosim relatia sin2 x+cos2 x = 1, o ridicam la puterea a treia si rezultasin6 x+ cos6 x+ 3 sin2 x cos2 x(sin2 x+ cos2 x) = 1⇒ sin2 2x = 1.

Raspuns corect (d).

37. Pentru x ∈£−π2, 0¤ecuatia devine sin 2x = −1

2cu solutiile − π

12si −5π

12

iar pentru x ∈£0, π

2

¤ecuatia devine sin 2x = 1

2cu solutiile π

12si 5π

12.

5.4 Geometrie

1. Se rezolva ecuatiap42 + (m− 4)2 = 5.

Raspuns corect (b).

2. Observam ca C(0,m), AB = 2, AC = BC = 2⇒√1 +m2 = 2⇒ m =

±√3

Raspuns corect (b).

3. Observam ca B(m, 0), AB = 2√5 ⇒

q(m− 4)2 + 4 = 2

√5 ⇒ m =

0,m = 8

Raspuns corect (d).

4. Observam ca B(0,m), AB = 2√5 ⇒

p16 + (m− 2)2 = 2

√5 ⇒ m =

0,m = 4

Raspuns corect (c).

5. Daca A (1, 4) si B (1, 2) , notam C(x, y) si D(u, v). Stim ca 1+x2= 3,

4+y2= 3, deci C (5, 2) . Analog se determina coordonatele punctului D.

Raspuns corect (c).


6. Punctul de intersectie al diagonalelor AC si BD, notat E, are coordo-natele

¡−2+42

, −3−32

¢= (1,−3) . Coordonatele lui D(u, v) se obtin din

relatiile 1+u2= 1, −7+v

2= −3.

Raspuns corect (a).

7. Raspuns corect (a).

8. Un punct de pe dreapta x = 5 are coordonatele N (5, y) . Din AN =

BN ⇒q62 + (y + 1)2 =

q82 + (y − 1)2 ⇒ y = 7.

Raspuns corect (d).

9. Observam ca mediatoarea segmentului AB este chiar axa Oy. Centrul vaavea coordonateleM (0, x) . Rezulta ca AM = BM = CM ⇒

√4 + x2 =√

4 + x2 = 6− x⇒ x = 83

Raspuns corect (c).

10. Raspuns corect (a).

11. y − 7 = tg π3(x− 2)⇒ y − 7 =

√3(x− 2)

Raspuns corect (b).

12. Panta dreptei x −√3y = 1 este tgα = 1√

3⇒ α = π

6⇒ 2α = π

3⇒

tg 2α =√3⇒ y − 7 =

√3(x− 2).

Raspuns corect (c).

13. Se rezolva sistemul format din cele trei ecuatii.

Raspuns corect (a).

14. Varfurile triunghiului au coordonatele A(0, 6), B(3, 0), C(−2, 0). Aria tri-unhiului este 15.

Raspuns corect (e).

15. Conditia ca cele doua ecuatii sa reprezinte aceeasi dreapta este 12n=

m−5 =

n3.

Raspuns corect (a).

5.4. GEOMETRIE 139

16. Coordonatele punctelor de intersectie ale dreptei cu axele de coordonatesunt dublul coordonatelor punctului dat, B (0, 8) si C (4, 0) .

Raspuns corect (d).

17. Sistemul

⎧⎨⎩ 3x− 2my + 6 = 0x− 2 = 0y = mx− 1

trebuie sa fie compatibil.

Raspuns corect (e).

18. Rezolvam sistemul

⎧⎨⎩ 2x− 3y − 5 = 03x+ 4y − 16 = 04x− 23y + 7 = 0

. Solutia este: [x = 4, y = 1] .

Raspuns corect (b).

19. Panta dreptei care trece prin punctele A si B este m = 2+54−3 = 7. Dreapta

perpendiculara pe dreapta determinata de punctele A si B are pantam0 = −1

7. Ecuatia dreptei cautate este y − 2 = −1

7(x− 4) , x+ 7y = 18.

Raspuns corect (a).

20. Punctul de intersectie al celor doua drepte este (9, 2) . Ecuatia drepteiva fi x−1

9−1 =y−12−1 ,

18x− 1

8= y − 1⇒ 1

8x− y + 7

8= 0.

Raspuns corect (c).

21. Punctul de intersectie al celor doua drepte este (9, 2) . Panta drepteicautate este −3

2.

Raspuns corect (e).

22. Pantele celor doua drepte sunt m1 =4k, k 6= 0, m2 = −2, dar m1m2 =

−1⇒ 4k· (−2) = −1⇒ k = 8.

23. Varianta I. Panta dreptei date este m = 23. Ecuatia dreptei care trece

prin punctul (5, 6) si este perpendiculara pe dreapta −2x + 3y + 4 = 0este y−6 = 2

3(x− 5) . Intersectia cu dreapta data este

¡8913, 4213

¢. Distanta

cautata esteq¡5− 89

13

¢2+¡6− 42

13

¢2= 12

13

√13.

Varianta II. Se aplica formula distantei de la un punct la o dreapta:|−2·5+3·6+4|√

4+9= 12

13

√13.


24. cos\³−→a ,−→b´=−→a ·−→b|−→a |

¯−→b¯ = −24 + 24√

9 + 16√64 + 36

= 0⇒ \³−→a ,−→b´=

π

2.

Raspuns corect (c).

25. Q ∈ (d) ⇒ Q (m,−1−m) . |PQ| =q(m− 1)2 + (−3−m)2 = 4 ⇒

m ∈ {1,−3} .Raspuns corect (b).

TESTE DE MATEMATICA PENTRU ADMITERE 2011 · i) S˘asea ﬂe aastfel ˆıncˆat ecuat¸ia s˘aaib...

Documents

Transcript of TESTE DE MATEMATICA PENTRU ADMITERE 2011 · i) S˘asea ﬂe aastfel ˆıncˆat ecuat¸ia s˘aaib...