Curs scurt de MATEMATICI SPECIALE

O.M. Gurzau

mai 2017

Ecuatii diferentiale 5

Introducere 5

Ecuatii dif. ordinare de ordin I integrabile prin cuadraturi 7Ecuatie diferentiala exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Cazuri particulare când se poate determina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Ecuatii cu variabile separate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Ecuatii cu variabile separabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Ecuatii diferentiale de ordin I omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Ecuatii diferentiale de ordin I reductibile la omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ecuatia diferentiala liniara de ordin I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Ecuatia diferentiala Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Ecuatia diferentiala Riccati** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Ecuatii diferentiale neexplicitate în raport cu 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Ecuatia diferentiala Clairaut 19Ecuatia diferentiala Lagrange 20

Exercitii si probleme cu ecuatii diferentiale ordinare de ordin I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Ecuatii diferentiale ordinare de ordin superior 22

Sisteme de ecuatii diferentiale ordinare 24Sisteme simetrice de ecuatii diferentiale ordinare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Ecuatii cu derivate partiale de ordin 1 liniare si cvasiliniare 30Teoria functiilor de o variabila complexa 39

Structura algebrica si topologica a numerelor complexe 39Forma trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Punctul de la infinit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Functii elementare 43Functia polinomiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Functia rationala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Functia exponentiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Functiile trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

- 2-

Functiile hiperbolice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Functia logaritmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Functia putere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Functiile trigonometrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Functiile hiperbolice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Continuitatea si derivabilitatea functiilor complexe de o variabila complexa 52Continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Derivabilitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Integrarea functiilor complexe de o variabila complexa 57Formulele lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Serii Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Reziduuri si aplicatii 65Reziduu: definitie, calcul, teorema reziduurilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Aplicatii la calculul unor integrale reale 70Calculul integralelor de forma

R 20

(sin cos) d unde (sin cos) este o functie rationala în sin si cos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Calculul integralelor de forma

R∞−∞

()()

unde () si () sunt polinoame. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Calculul integralelor de formaR∞0

()()

d unde () si () sunt polinoame. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Calculul integralelor de formaR∞0

()()

d unde () si () sunt polinoame ( ) + 1 ≤ (), iar ∈ (0 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Transformata Laplace 79

Definitii 79Proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Integrarea unor ecuatii diferentiale cu coeficienti constanti 86Integrarea unor sisteme de ecuatii diferentiale liniare de ordin întâi cu coeficienti constanti 89

Serii Fourier 92

Functii periodice 92

Sistemul de functii trigonometrice 93

Aproximarea functiilor continue prin polinoame 98

- 3-

Curbe Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Exemplu rezolvare exercitii 100Bibliografie 103

- 4-

1Ecuatii diferentiale

1.1 Introducere

Definitia 1.1 Se numeste ecuatie diferentiala ordinara de ordin 1:0 () = ( ()) (EDO)

unde este functia necunoscuta, iar este o functie de doua variabile definita într-un domeniu plan

Remarca 1.1 Ecuatia (EDO) este sub forma normala.

Remarca 1.2 O ecuatie diferentiala de ordin 1 se poate da si sub forma:

0 () =d

d; ( ) = − ( )

( )

( ) d+ ( ) d = 0(1.1.1)sau implicit:

( 0) = 0

Remarca 1.3 Daca se tine cont de interpretarea geometrica a derivatei, ecuatia (EDO) se poate interpreta astfel: sa se determine functiile = () a caror grafic în punctul ( ()) are panta tangentei ( ())

- 5-

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Definitia 1.2 Se numeste solutie pentru ecuatia (EDO) orice functie : → R derivabila care verifica ecuatia, adica:0 () = ( ()) ∀ ∈

Definitia 1.3 Se numeste solutie generala pentru ecuatia (EDO) într-un domeniu ⊂ R2o multime de solutii ale ecuatiei de forma = () unde este o constanta arbitrara, cu proprietatea ca pentru orice (0 0) ∈ exista o singura valoare 0 astfel încât = (0) verifica conditia0 = (0 0); se numeste solutie particulara a ecuatiei (EDO) o solutie care se obtine din solutia generala pentru o anumita valoare a constantei;se numeste solutie singulara a ecuatiei (EDO) o solutie care nu se poate obtine din solutia generala pentru nici o valoare a constantei.

Exemplul 1.1 Fie ecuatia:0 () = 2

Solutia generala este

() =

Z2d = 2 +

iar o solutie particulara este: = 2 + 5

Definitia 1.4 A integra o ecuatie diferentiala înseamna a afla solutia generala, eventual solutiile singulare. A integra o ecuatie diferentiala princuadraturi înseamna a afla solutiile ei folosind calculul integral.

- 6-

Una din problemele de baza care apar legate de ecuatia diferentiala este Problema Cauchy:Sa se afle solutia ecuatiei diferentiale (EDO) care verifica conditia Cauchy (numita si conditie initiala):

(0) = 0 (Cauchy)pentru (0 0) ∈

Existenta si unicitatea solutiei problemei Cauchy este data de:

Teorema 1.1 Daca functia are derivata partiala continua pe domeniu 1 atunci pentru orice punct (0 0) ∈ exista un interval

(0 − 0 + ) cu centrul în punctul 0 si o unica functie : (0 − 0 + )→ R care verifica:

1. (0) = 0

2. pentru orice ∈ (0 − 0 + ) ( ()) ∈

3. este solutie pentru ecuatia diferentiala (EDO):0 () = ( ()) ∀ ∈ (0 − 0 + )

Demonstratia acestei teoreme (care asigura existenta si unicitatea problemei Cauchy) nu o reproducem aci.Ideea demonstratiei: p.C. este echivalenta cu aflarea solutiei ecuatiei integrale:

() = 0 +

Z

0

( ()) d

1.2 Ecuatii dif. ordinare de ordin I integrabile prin cuadraturi

1.2.1 Ecuatie diferentiala exacta

( ) d+ ( ) d = 0(1.2.1)

=

(1.2.2)

1 este domeniu daca este o multime deschisa (adica odata cu un punct contine si un disc cu centrul în punctul respectiv) si conexa (oricare doua puncte din multime pot fi unite cuo linie poligonala inclusa în multime).

- 7-

cf. consec. formula Green: = ( ) d+ ( ) d

= ( )

= ( )

Sol. generala: ( ) =

( )− (0 0) =

Z

0

( ) +

Z

0

(0 )

Exemplul 1.2 (62 + 43) d+ (62 + 32) d = 0. Avem: ( ) = 62 + 43 ( ) = 62 + 32

= 12 =

Ecuatia este exacta, deci exista astfel încât

= 62 + 43

= 62 + 32

Din prima egalitate:

( ) =

Z ¡62 + 43

¢d = 322 + 4 + ()

Atunci, din egalitatea de mai sus si = 62 + 32 rezulta:

62 + 32 = (322 + 4 + ())

= 62 + 0 ()

Rezulta 0 () = 32

adica () = 3

deci ( ) = 322 + 4 + 3

Solutia generala a ecuatiei diferentiale este:322 + 4 + 3 =

Teorema 1.2 Daca (1.2.2) nu este verificata atunci exista asfel încât : ( ) ( ) d+ ( ) ( ) d = 0

- 8-

sa fie ecuatie exacta.

Remarca 1.4 se numeste factor integrant.

Remarca 1.5 se determina : ( )

=

()

+

=

+

(1.2.3)

1.2.2 Cazuri particulare când se poate determina

1. = () :

=

µ

−

¶

=

−

= 1 ()

Zln (||) =

Z −

d

2. = () :

ln (||) =Z −

+

d

Exemplul 1.32d+ d = 0

- 9-

= 2

=

= 2 6=

= 1

−

=

1

= 1 ()

ln =

Z1

d = ln () + ln = 1

= 1

2d+ 2d = 0

( )− (00) =

Z

0

2+

Z

0

02 = 2

2 = =

2

1.2.3 Ecuatii cu variabile separate

() d+ () d = 0

=

= 0

Sol. generala:

( ) = unde ( ) =Z

0

() +

Z

0

()

1.2.4 Ecuatii cu variabile separabile

1 () 1 () d+ 2 () 2 () d = 0admite factor integrant:

=1

1 () 2 ()ecuatia devine:

1 ()

2 ()d+

2 ()

1 ()d = 0

Z- 10-

care este cu var. separate, care este exacta.

Exemplul 1.4 Sa se afle solutia generala a ecuatiei diferentiale:

cosd

d=

ln

d

cos=

ln d

Zd

cos=

Zln d

1

2ln (2 sin+ 2)− 1

2ln (2− 2 sin) =

1

2ln2 + ln

1.2.5 Ecuatii diferentiale de ordin I omogene

0 = ³

´(1.2.4)

Teorema 1.3 Ecuatia (1.2.4) se reduce la o ecuatie cu variabile separabile prin schimbarea de functie:

=

= · = ()

0 = 0+

Demonstratie:

0 + = () 0 () =

→

()− =

Remarca 1.6 Sol. gen. : Z

()− = ln+ ln :=

- 11-

pot exista sol. singulare: = 0

unde 0 este sol. ()− = 0

Exemplul 1.5

0 =³

´2cu () = () :

0 + = 2

2 − =

Z

2 − =

Z

ln |(− 1)|− ln || = ln ||+ ln

− 1

=

−

=

sol. singulara: = 0

= nu e sol. singulara pt. ca se obtine = 0

Remarca 1.7 Tot ecuatii diferentiale omogene sunt si de forma: ( ) d+ ( ) d = 0

unde sunt functii omogene de acelasi grad (adica ( ) = ( ) ), substitutia fiind aceeasi dar d = d+ d.

Exemplul 1.6 Sa se integreze ecuatia diferentiala: ¡2 + − 2

¢d− 2d = 0

- 12-

Avem = 2 Schimbarea de functie = d = d+ d obtinem:¡2 + 2− 22

¢d− 2 (d+ d) = 0| : 2¡

1 + − 2¢d− d− d = 0¡

1− 2¢d = dZd

=

Zd

1− 2

Obtinem:

ln+ ln =1

2ln

¯+ 1

− 1¯; =

ln () =1

2ln

¯ +

−

¯ =

s¯ +

−

¯22

1=

+

−

2 + 1

−1 + 2=

2

2⇒ =

2 + 1

−1 + 2

Sol. singulare posibile : = = − nu sunt singulare = 0 sau →∞

Exemplul 1.7 Sa se afle curba care trece prin (0 1) si pentru care = unde este punct pe curba iar este segmentul de petangenta la curba cuprins între si unde este intersectia tangentei cu în cu

- 13-

Ox

y

M

A

N

indicatie: se ajunge la ec. dif.p2 + 2 = − 0

1.2.6 Ecuatii diferentiale de ordin I reductibile la omogene

0 =

µ1+ 1 + 12+ 2 + 2

¶(1.2.5)

Teorema 1.4 Ecuatia (1.2.5) se reduce la o ecuatie omogena daca½1+ 1 + 1 = 02+ 2 + 2 = 0

are solutie unica (0 0) si la o ecuatie cu variabile separabile daca sist. n-are solutie unica.

Demonstratie: daca sist. are sol. unica atunci se face schimbarea de variabila si de functie− 0 = − 0 = = ()

0 () : = 0 ()rezulta:

0 () =

µ1 (+ 0) + 1 ( + 0) + 12 (+ 0) + 2 ( + 0) + 2

¶=

=

µ1+ 1

2+ 2

¶=

µ1 + 1

2 + 2

¶= 1

³

´- 14-

iar în celalat caz schimbarea de functie = 1+ 1 + 1 0 () = 1 + 1

0 ()

Exemplul 1.8 Sa se integreze ec. dif.:

0 =+ 2 + 3

2+ 4 + 5noua functie: = + 2 + 3 0 = 1 + 20 deci 0 = 0−1

2ecuatia devine:

0 − 12

=

2 − 10 =

2 + 2 − 12 − 1

(2 − 1)4 − 1 d = d|

ZZ(2 − 1)4 − 1 d = +

1

2 − 1

8ln

µ − 1

4

¶= +

solutia:1

2(+ 2 + 3)− 1

8ln

µ+ 2 + 3− 1

4

¶= +

1.2.7 Ecuatia diferentiala liniara de ordin I

0 () + () () = ()(1.2.6)

Remarca 1.8 daca () == 0 atunci ecuatia se numeste Ecuatie diferentiala liniara de ordin I, omogena, si neomogena în caz contrar.

Teorema 1.5 Ecuatia (1.2.6) admite factor integrant functie de

Demonstratie:

0 () =d

d( () − ()) d+ d = 0

- 15-

( ) = () − ()

( ) = 1−

=

()

1

Corolarul 0.1 Solutia generala a ecuatiei diferentiale (1.2.6) este:

() = −()d

µZ () () d+

¶unde: () =

()d

Demonstratie: Ecuatia :0 + () = ()

se înmulteste cu factorul integrant () = ()d si deoarece 0 () = () () rezulta:

0 () () + () ()0()

() = () ()

( () ())0 = () ()cu solutia:

() () =

Z () () d

adica:

() = −()d

µZ()d () d+

¶

Exemplul 1.90 −

+ 1 = (1 + ) ∈ R

Factorul integrant: () =

−

+ 1d

= − ln(+1) = (+ 1)− prin înmultire cu ecuatia devine:¡(+ 1)−

¢0= (1 + ) (+ 1)−

integrând:(+ 1)− = +

deci sol. generala va fi: () = (+ 1) + (+ 1)

- 16-

Remarca 1.9 SOC ca Solutia generala a ec. dif. liniare este de forma: () = () + ()

unde () este sol. gen. a ec. liniare omogene, iar () o sol. particulara a ec. neomogene:

() = −()d () = −

()d

Z()d () d

Remarca 1.10 Solutia se poate afla din prin metoda variatiei constantei ( 0 () = − () () ): () = () −

()d(1.2.7)

unde functia () se determina din conditia ca sa fie solutie pentru (1.2.6):³ () −

()d

´0+ () () = ()

0 () −()d − () () −

()d + () () −

()d = ()

0 () = ()d ()

() =

Z ³()d ()

´d

1.2.8 Ecuatia diferentiala Bernoulli

0 + () = () 6= 0 1(1.2.8)

Teorema 1.6 Ecuatia (128) se reduce la ecuatia dif. liniara cu schimbarea de functie () = ()1−

Demonstratie: împartim ecuatia data cu si obtinem:−0 + () 1− = ()

Se observa ca (1−)0 = (1− ) −0 notând = 1− ecuatia devine:0

1− + () = ()

care este ec. dif. liniara în

Remarca 1.11 Dupa rezolvarea ec. în se revine la functia initiala prin schimbarea de functie = 1(1−)- 17-

Exemplul 1.100 + 2 = 233

= 3 Se împarte ec. cu 3 si rezulta:−30 + 2−2 = 23

= −2 0 = −2−300

−2 + 2 = 23

0 − 4 = −43factor integrant: =

−4d = −22; Prin înmultire cu f.i. rezulta:³

−22´0= −43−22

de unde:

−22

=

Z−43−22d

−22

=1

2−2

2

+ 2−22

+

=1

2+ 2 + 2

2

Revenind la functia initiala:1

2=

1

2+ 2 + 2

2

= ± 1q12+ 2 + 22

1.2.9 Ecuatia diferentiala Riccati**

0 + () = () + ()2(1.2.9)

Teorema 1.7 Ecuatia (1.2.9) se reduce la ec. dif. Bernoulli daca se cunoaste o solutie a ei 1 prin schimbarea de functie = − 1

Demonstratie:- 18-

0 + () = () + ()2

01 + () 1 = () + ()21Scazând ec. rezulta:

( − 1)0 + () ( − 1) = ()

¡2 − 21

¢Înlocuind = − 1 = + 1 rezulta:

0 + () = () ( + 21)

0 + ( ()− 21 ()) = () 2

Remarca 1.12 Daca se face schimbarea de functie = 1−1 se obtine direct o ec. dif. liniara în

Remarca 1.13 Daca nu se cunoaste o solutie particulara a ec. Riccati s-a dem. ca ecuatia nu se poate integra prin cuadraturi. De ex.:0 = 2 + 2

Solutia p.C. 0 = 2 + 2 (0) = 1 are as. verticala la 0 ≈ 207

1.2.10 Ecuatii diferentiale neexplicitate în raport cu 0

2.10.1 Ecuatia diferentiala Clairaut

= 0 + (0)(1.2.10)Metoda de integrare: notam 0 = () si derivam ecuatia data. Ecuatia devine:

0 = 0 + 0

+ 0 (0)

0

tinând cont de 0 = rezulta:

(+ 0 ())

= 0

rezulta:1.

= 0 adica = (constant) si obtinem solutia generala:

= + () - 19-

2. + 0 () = 0 adica, tinând cont de ec. data: ½ = −0 ()

= −0 () + ()care reprezinta o solutie singulara data parametric.

Exemplul 1.11 = 0 + 02

( (0) = 02; () = 2 )

Solutia generala: = + 2

Solutia singulara: ½ = −2

= −22 + 2

Adica = −2 = −

2

4

Exemplul 1.12 Sa se determine curbele pentru care lungimea segmentului de pe tangenta cuprins între axele de coordonate este (constanta).Sol.singulara: astroida : 23 + 23 = 23

2.10.2 Ecuatia diferentiala Lagrange

= (0) + (0)(1.2.11)unde (0) 6= 0

0 = si rezulta: = () + ()(1.2.12)

Derivând în raport cu rezulta:

= () + 0 ()d

d+ 0 ()

d

dRezulta:

d

d( ()− ) + 0 () = −0 ()

care este o ecuatie dif. liniara de ordin 1, cu functie necunoscuta si variabila. Rezolvând ecuatia obtinem: = ( )

= ( ) () + ()

care reprezinta solutia generala data parametric.- 20-

Daca 1 este solutie pentru ecuatia: ()− = 0

atunci = 1+ (1) este o solutie (singulara) pentru ecuatia data.

Exemplul 1.13 = −0 + 02Notând 0 = rezulta = −+ 2 Derivând:

= −− d

d+ 2

d

dde unde:

2d

d+ = 2

saud

d+

2= 1

Conform schemei de la ecuatia liniara calculam () =

Zd

2 = 12ln =

√ si înmultim ecuatia cu avem:

(√)0 =

√

rezulta:

√ =

Z √ =

Z12 =

32

32+

adica solutia generala:

=2

3+ −12

= −µ2

3+ −12

¶+ 2

Solutie singulara: 2 = 0 1 = 0 deci = 0 (axa ). Graficul câtorva solutii particulare este:- 21-

1.5 2.0 2.5 3.0

�1

1

2

3

1.2.11 Exercitii si probleme cu ecuatii diferentiale ordinare de ordin I

1.3 Ecuatii diferentiale ordinare de ordin superior

Definitia 1.5 Se numeste ecuatie diferentiala ordinara de ordin sub forma normala o ecuatie de forma:() () =

¡ () 0 () (−1) ()

¢(1.3.1)unde este o functie data de + 1 variabile.

Exemplul 1.14 La miscarea rectilinie daca notam spatiul parcurs cu legea lui Newton este:

2

2=

µ

¶unde este forta care actioneaza asupra corpului de masa Caz particular caderea libera:

2

2=

- 22-

rezulta2

2=

Z

= + 1

Z =

2

2+ 1+ 2

Definitia 1.6 Se numeste problema Cauchy pt. ec. dif. (1.3.1) aflarea unei solutii a ecuatiei dif. care verifica conditiile initiale: (0) = 0

0 (0) = 1 (−1) (0) = −1

Definitia 1.7 Se numeste solutie generala pentru ecuatia (1.3.1) o multime de solutii ale ec. care depinde de constante arbitrare: () = (1 ) (1.3.2)

Remarca 1.14 Daca avem solutia generala problema Cauchy se reduce la determinarea constantelor din sol. gen. prin rezolvarea unui sistem: (0 1 ) = 0

(0 1 ) = 1

−1−1

(0 1 ) = −1

Remarca 1.15 Aflarea sol. gen. a ec.(1.3.1) este o problema dificila, rezolvata teoretic doar pentru anumite tipuri de ecuatii diferentiale, ca deexemplu pentru ecuatia dif. liniara de ordin cu coef. constanti:

() + −1(−1) + + 10 + 0 = ()

unde 0 −1 ∈ R .

Exemplul 1.15 Ecuatia oscilatorului armonic:00 () + 2 () = 0

- 23-

solutia generala este: () = 1 cos () + 2 sin ()

sau () = sin (+ ) unde:

=q22 + 2

1 sin =1 cos =

2

Exemplul 1.16 Ecuatia Bessel:200 () + 0 () + (2 − 2) () = 0

daca ∈ atunci sol. generala: = 1 () + 2− ()

unde:

() =∞X=0

(−1) ¡2

¢2+!Γ (+ + 1)

unde:

Γ () =

Z ∞

0

−−1d

Γ (+ 1) = ! ∈ N

1.4 Sisteme de ecuatii diferentiale ordinare

Definitia 1.8 Se numeste sistem de ecuatii diferentiale ordinare sub forma normala sistemul:⎧⎨⎩01 = 1 ( 1 )

...0 = ( 1 )

(SFN)

unde functiile necunoscute sunt 1 iar este variabila acestor functii, 1 sunt functii de + 1 variabile definite pe multimi ∈R+1 = 1 2

Remarca 1.16 Sistemul se poate scrie matriceal: 0 = ( )

- 24-

unde:

=

⎛⎜⎜⎝12...

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝1 ( 1 )2 ( 1 )

... ( 1 )

⎞⎟⎟⎠

Remarca 1.17 Orice ecuatie diferentiala de ordin superior sau un sistem în care apar derivate de ordin superior sunt echivalente cu un sistemsub forma normala, prin introducerea unor noi functii (derivatele de ordine mai mici ca cel maxim ale functiilor necunoscute), ca în urmatorulexemplu :

Exemplul 1.17 Ecuatia 00 + 2 = 0 este echivalenta cu sistemul (notând 1 = 2 = 0 )½01 = 2

02 = −21

Remarca 1.18 *Un sistem sub forma normala este echivalent cu o ecuatie diferentiala de ordin superior, obtinuta prin derivari succesive aleunei ecuatii , înlocuirea derivatelor functiilor care apar în partea dreapta cu expresia lor din celelalte ecuatii si eliminarea celorlalte functii dinexpresiile obtinute pentru derivatele functiei alese.

Exemplul 1.18 ½01 = 2

02 = −21Derivând prima ec. avem:

001 = 02 = −21adica:

001 = −21

Exemplul 1.19 Sa se reduca la o ecuatie diferentiala ordinara de ordin 2 sistemul:½01 = 2 − 2102 = 32 − 41

- 25-

001 = 02 − 201 = (32 − 41)− 2 (2 − 21) == (3 (01 + 21)− 41)− 2 (01 + 21 − 21)

*

Definitia 1.9 Se numeste problema Cauchy pentru sistemul () aflarea functiilor 1 (definite pe un interval care contine punctul 0 )care verifica sistemul si conditiile initiale:

1 (0) = 10 (0) = 0 (CI)

Definitia 1.10 Se numeste solutia generala a sistemului (SFN) o multime de functii (1 ) care este solutie pentru sistem si depinde de constante arbitrare: ⎧⎨⎩ 1 = 1 (1 )

= (1 )

(SG)

Exemplul 1.1 01 = 202 = −21 solutia generala:

1 = 1 cos () + 2 sin ()

2 = −1 sin () + 2 cos ()

Daca vrem sa rezolvam p.C. 1 (0) = 1 2 (0) = 0 din s. gen. punând = 0 rezulta:1 = 1

0 = 2deci sol. va fi

1 () = cos ()

2 () = − sin ()

Remarca 1.19 Daca avem o ecuatie diferentiala de ordin 2 :00 () = ( () 0 ())

- 26-

se foloseste pentru "desenarea" graficului solutiilor spatiul fazelor:( () 0 ()) Pentru exemplul precedent solutia gasita reprezentata spatiul fazeloreste curba data parametric:

() = cos ()

() = − sin () ∈ R

1.4.1 Sisteme simetrice de ecuatii diferentiale ordinare

Daca în (SFN) 01 =d1d 0 =

dd

¡0 =

dd = 1

¢obtinem:

d1d

= 1 dd

=

echivalent cu:d11

= =d

=d

1renotând 1 cu 1 cu si cu +1 si numitorii cu 1 +1 rezulta:

d11

= =d+1+1

(SFM)

care se numeste sistem de ec. dif. sub forma simetrica. ( ecuatii).

Exemplul 1.20d

2=d

2=

d

2 − 2(1.4.1)

care este echivalent cu sist. sub forma normala:

0 =d

d=2

2

0 =d

d=

2 − 2

2

Definitia 1.11 Se numeste integrala prima pentru sistemul () o functie de variabilele (1 +1) care nu e constanta, dar are o valoareconstanta daca (1 +1) e solutie pentru sistem.

Exemplul 1.21 pentru ecuatia dif. de ordin 1 :0 = ( )

d

=

d

1- 27-

sol.generala: = ()

Din ec.precedenta: = 1 ( )

unde 1 va fi o integrala prima.

Exemplul 1.22 Pt (1.4.1) o integrala prima este ( ) =

( ) =

= =

d = dd

2=

d

2

Teorema 1.8 Daca exista functiile 1 +1 si o functie astfel încâtd = 1d1 + + +1d+1

11 + + +1+1 = 0

atunci este o integrala prima pentru sistemul (SFM).

Demonstratie:d11

= =d+1+1

=1d1 + + +1d+111 + + +1+1

=d

0rezulta:

d = 0

=

Exemplul 1.23d

2=d

2=

d

2 − 2- 28-

1 = −1 2 =

1

3 = 0

d

2=

d

2=

d

2 − 2=−d

+ d

+ 0

−2 + 2 + 0=

d (ln − ln)0

( ) = ln

sau1; ( ) =

alta integrala prima:d

2=

d

2=

d

2 − 2=

−d+ d + 2d

−22 + 22 + 22 − 22=

=d³−2

2+ 2

2+ 2

´0

A doua int. prima va fi 2 ( ) = 22 − 2 + 2

Teorema 1.9 Exista integrale prime functional independente.(Daca avem +1 integrale prime 1 +1 atunci exista o functie Φ astfel încâtΦ (1 +1) == 0)

Teorema 1.10 Daca este integrala prima atunci pentru orice functie Φ Φ ( ) este integrala prima.

Exemplul 1.24 Fie sistemul:d

2=d

2=

d

2 − 2

Conform exemplului (1.23) integrale prime sunt: 1 ( ) = 2 ( ) = 2

2 − 2 + 2Solutia generala va fi: ½

= 1

22 − 2 + 2 = 2sau explicitând si ca functii de : ½

= 122 = 2 + 2 − 2

12

- 29-

unde 1 si 2 sunt constante arbitrare. Solutia problemei Cauchy pentru sistemul dat si (1) = (1) = 2 este:½ = 2

22 = 11− 32(1.4.2)

având graficul (curba de intersectie a celor 2 suprafete date de ecuatiile (1.4.2)):

�2 0 2

�5

0

5

�10

�5

0

5

10

Exemplul 1.25 Legea caderii liberii în câmp gravitational:00 () = −

înmultind ambii membri cu 0 rezulta:000 = −0

integrând în raport cu :

02

2+ =

sau cu notatiile uzuale din fizica:

= 2

2+ =

= +

( este o int. prima).

1.5 Ecuatii cu derivate partiale de ordin 1 liniare si cvasiliniare

- 30-

Definitia 1.12 Se numeste ecuatie cu derivate partiale de ordin I, liniara :

1

1+ +

= 0 (EDPL)

unde = (1 ) = 1 iar este functia necunoscuta cu variabilele (1 )

Teorema 1.11 Daca 1 si 2 sunt solutii pentru ecuatia (EDPL) si ∈ R atunci 1 + 2 si 1 sunt solutii pentru aceeasi ecuatie.

Definitia 1.13 Se numeste sistem caracteristic atasat (EDPL) sistemul:d11

= =d

(SC)

Teorema 1.12 Daca este int. prima pt. (SC) atunci este solutie pt. (EDPL) si reciproc.

Exemplul 1.262

+ 2

+ (2 − 2)

= 0

d2= d

2= d

2−2Int. prime pt. sist.: 1 ( ) =

2 ( ) = 2

2−2+2 = 1 , = 2 sunt sol. pt. ec. cu der. partiale. Sol. generala va fi = Φ (1 2) unde Φ este o functie de 2 var. arbitrara.

=

Φ

11

+Φ

22

= −

2Φ

1+ (−2) Φ

2|·2

=

Φ

11

+Φ

22

=1

Φ

1+ (2)

Φ

2|·2

=

Φ

11

+Φ

22

= 0Φ

1+ (4)

Φ

2

¯·2 − 2

2

+ 2

+¡2 − 2

¢

=Φ

1

µ³−

2

´· 2 + 2

¶+

+Φ

2

¡−42 + 42 + 42 − 42¢ = 0

- 31-

Corolarul 0.2 Daca 1 −1 sunt integrale prime functional independente pentru sistemul caracteritic atunci solutia generala a EDPL este: = Φ (1 −1)

unde Φ este o functie arbitrara de − 1 variabile.

Remarca 1.20 Solutia generala a sist. simetric (SFM) este (1 −1 sunt integrale prime independente):1 = 1

−1 = −1unde 1 −1 sunt constante arbitrare, iar solutia solutia generala a (EDPL) este:

= Φ (1 −1)unde Φ este o functie arbitrara de − 1 variabile.

Definitia 1.14 Se numeste problema Cauchy pt. (EDPL) determinarea solutiei care verifica: (10) = (2 )

unde este data.

Remarca 1.21 Determinarea functiei Φ din sol. gen. pt. problema Cauchy se face ca la generari de suprafete:1 = 1

−1 = −1 = (2 )

1 = 10elimininam 1 si obtinem o relatie de forma (1 −1 ) = 0 sau = Φ (1 −1)

- 32-

Exemplul 1.27 2 + 2

+ (2 − 2)

= 0 = 1 = + 2

= 1

22 − 2 + 2 = 2

= 1

= + 2

= 1

= 1

2 =2 + 1− 2

1

2

= 1 +2 + 1− 2

1

2=

=

+22 − 2 + 2 + 1− ¡

¢22

Câteva suprafete de nivel constant sunt reprezentate grafic mai jos:

- 33-

Definitia 1.15 Se numeste ecuatie cu derivate partiale de ordin I cvasiliniara :

1

1+ +

= +1 (EDPcL)

unde = (1 ) iar este functia nec.

Definitia 1.16 Se numeste sistem caracteristic atasat (EDPcL) sistemul:d11

= =d

=d

+1(SCq)

Teorema 1.13 Daca este int. prima pt. (SCq) atunci este solutie pt. (EDPcL) si reciproc.

Teorema 1.14 Solutia generala a (EDPcL) este data implicit sub forma:Φ (1 ) = 0

unde Φ este o functie de var. arbitrara, iar 1 sunt integrale prime functional independente pentru sist. caracteristic..

Exemplul 1.28

2

+ 2

= 2 − 2

Sist. car.:d

2=d

2=

d

2 − 2

care are int. prime 1 ( ) = 2 ( ) = 2

2 − 2 + 2 Solutia generala:

Φ³ 22 − 2 + 2

´= 0

22 − 2 + 2 = ³

´2 =

2 − 2

2+

³

´- 34-

probl. Cauchy: = 1 =

= 1

22 − 2 + 2 = 2

= 1

=

= 1 = 1 = 1

221 − 1 + 2

1 = 2

3³

´2− 1 = 22 − 2 + 2

Exemplul 1.29 Sa se rezolve sistemul:d

2=d

2=

d

(2 + 2)

d2= d

2⇔ 2d− 2d = 0

⇔ 2 − 2 = 1

- 35-

d

2=

d

2=

d

(2 + 2)=

d+ d

− d

2 + 2 − (2 + 2)

⇔ ln+ ln − ln = ln2

= 2

solutia gen. a sistemului:2 − 2 = 1

= 2

Exemplul 1.30 Sa se rezolve ecuatia:

2

+ 2

+

¡2 + 2

¢ = 0

sist. caract.:d

2=d

2=

d

(2 + 2)

sol. gen. = Φ

³2 − 2

´

unde Φ este o functie arbitrara.

Exemplul 1.31 Sa se rezolve ecuatia:

2

+ 2

=

¡2 + 2

¢sist. caract.:

d

2=

d

2=

d

(2 + 2)

d

2=

d

2=

d

2 + 2=

d+ d

− d

= d (ln+ ln − ln ))

2 + 2 − (2 + 2)sol. gen.

Φ³2 − 2

´= 0

= ¡2 − 2

¢ = () = 2 − 2

p.C.: = 1 = (1− 2) = (2 − 2)

- 36-

�2

�1

0

1

2

Ox

�2

�1

0

1

2

Oy

�5

0

5

Oz

Exemplul 1.32 Sa se afle solutia generala a ecuatei:

+

= 2

Sistemul caracteristic:d

=d

=d

2Din primele doua rapoarte:

d

=d

Zln = ln + ln1

= 1

din primul si al treilea raport:d

=d

2

Z2 ln = ln + ln2

2

= 2- 37-

deci solutia ecuatiei va fi:

Φ

µ

2

¶= 0

2=

³

´ ( ) = 2

³

´unde este o functie arbitrara de o variabila, derivabila.

- 38-

2Teoria functiilor de o variabila complexa

2.1 Structura algebrica si topologica a numerelor complexe

La început sa recapitulam cunostiintele despre numerele complexe. Vom nota multimea numerelor complexe cu C, iar numerele complexe culiterele (daca nu se specifica altfel). Sub forma algebrica2 numerele complexe sunt date de:

C =© = + | ∈ R 2 = −1ª (2.1.1)

În formula (2.1.1) se numeste partea reala a numarului complex , iar coeficientul partii imaginare ( se numeste partea imaginaraa numarului complex , iar se numeste unitatea imaginara), si vom utiliza notatiile:

= Re = Im(2.1.2)

O

M de afixz=x+iy

x

iy

arg(z)

||

Z

x=Re z

y=

Imz

1 = 1 + 1 2 = 2 + 2

1 + 2 = (1 + 2) + (1 + 2)

1 · 2 = (12 − 12) + (12 + 21)

= +

= −

|| =p2 + 2 =

√ ·

unde se numeste conjugatul nr. complex

2 aceasta forma apare în mod natural la rezolvarea ecuatiei 2 + + = 0 cu ∈ R, si ∆ = 2 − 4 0.- 39-

2.1.1 Forma trigonometrica

= +

= (cos + sin )

= || =p2 + 2

= arg :

½cos =

sin =

∈ [0 2) 6= 0

= {arg + 2 ∈ Z} = cos = sin

Exceptie: = 0 + 0 || = 0 arg nedeterminat.

1 = 1 (cos 1 + sin 1)

2 = 2 (cos 2 + sin 2)

1 = 2 ⇐⇒ 1 = 2 1 = 2 + 2 ∈ Z1 · 2 = 12 (cos (1 + 2) + sin (1 + 2))

12

=12(cos (1 − 2) + sin (1 − 2))

Formula lui Moivre ( ∈ N ):(cos + sin ) = cos () + sin ()

Aplicatie: cos (3) = Re (cos + sin )3 = cos3 − 3 cos sin2

=

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1 = 4

= 4 + 1−1 = 4 + 2mod ( 4) = 2

− = 4 + 3 = cos

2+ sin

2

= cos

2+ sin

2

- 40-

Ecuatie binoma: = = (cos + sin )

=√

µcos

+ 2

+ sin

+ 2

¶ = 0 − 1

Exemplu: 5 = −1 = 1 (cos + sin) =5√1¡cos +2

5+ sin +2

5

¢ = 0 4

O x

iy

1

i

p/5

z

z

z

z

z

2 /5p

0

1

2

3

4

Distanta dintre 2 nr. complexe: |1 − 2| Limita: ( = + )∈ :

lim→∞

= ⇔ lim

→∞| − | = 0

= + = +

lim→∞

= lim→∞

=

2.1.2 Punctul de la infinit

Ideea lui Gauss a fost de a adauga la planul complex un singur punct la "infinit", punând în corespodenta bijectiva punctele din planul complexsi punctele unei sfere de raza 1 tangenta la plan în origine (asa numita proiectie stereografica):

- 41-

la orice punct din planul complex îi corespunde un unic punct pe sfera obtinut prin intersectia dreptei cu sfera (unde este punctul depe sfera diametral opus punctului ). La punctul de pe sfera nu îi corespunde nici un punct. Pentru a corespunde la fiecare punct de pe sferaun punct în plan se adauga la C un singur punct, punctul de la infinit, notat cu ∞ caruia îi va corespunde la punctul Vom nota în cele ceurmeaza cu C = C ∪ {∞}

Definitia 2.1 sirul ()∈N are limita ∞ daca si numai daca lim→∞ || = +∞

Definitia 2.2 functia : → C este continua în punctul ∈ daca si numai daca lim→∞ = ⇒ lim→∞ () = ()

Definitia 2.3 ⊆ C este deschisa daca odata cu un punct contine si un disc cu centrul în punctul respectiv.

Definitia 2.4 ⊆ C este conexa (dintr-o bucata) daca odata cu 2 puncte contine si o linie poligonala care uneste cele 2 puncte.

Definitia 2.5 ⊆ C se numeste domeniu daca este o multime deschisa si conexa

- 42-

2.2 Functii elementare

2.2.1 Functia polinomiala

: C→ C definita de:

() =X

=0

(2.2.1)

unde ∈ C , = 0 Putem prelungi pe C punând (∞) =∞ ( ≥ 1) 2.2.2 Functia rationala

Fie 1 2 doua functii polinomiale; functia : C\{ ∈ C|2 () = 0}→ C definita prin:

() =1 ()

2 ()

se numeste functie rationala. Putem prelungi pe C :

e () =⎧⎨⎩ () 2() 6= 0

∞ 2 () = 0lim→∞ () =∞

functia e ( se citeste tilda) fiind continua pe CCaz particular: functiile omografice:

() = +

+

∈ C

¯

¯6= 0

2.2.3 Functia exponentiala

: C→ C () = exp =

= lim

→∞

³1 +

´

Teorema 2.1 Daca = + atunci = (cos + sin ) =(2.2.2)

= Re (cos (Im ) + sin (Im ))(2.2.3)- 43-

Demonstratie: = (cos + sin )⇔|| = arg () =

lim→∞

¯1 +

¯= lim

→∞

Ãr³1 +

´2+³

´2!

=

= lim→∞

µ1 +

µ2

+

2

2+

2

2

¶¶2

=

= lim→∞

õ1 +

µ2

+

2

2+

2

2

¶¶ 12 + 2

2+2

2

!2

2+ 2

2+ 2

2

=

= lim→∞

2

2+ 2

2+ 2

2

=

Corolarul 0.3 Este adevarata egalitatea: = −1

Teorema 2.2 Functia exponentiala este periodica de perioada 2

Demonstratie:+2 = ++2 =

= (cos ( + 2) + sin ( + 2)) =

= (cos + sin ) =

Corolarul 0.4 Nu exista lim→∞

Remarca 2.1 Toate formulele de la exponentiala reala ramân valabile: 12 = 1+2

- 44-

2.2.4 Functiile trigonometrice

sin =

− −

2

cos =

+ −

2

tan =sin

cos

cot =cos

sin

sec =

1

cos

csc =

1

sin sec=secanta, csc=cosecanta.

Remarca 2.2 Toate formulele de trigonometrie ramân valabile, de ex.:sin2 + cos2 = 1∀ ∈ C

(dar de aici nu rezulta ca |sin | ≤ 1 )

Remarca 2.3 Daca ∈ R atunci valorile functiilor trigonometrice sunt cele cumoscute din liceu ( sin 6= 1

2 )

Exemplul 2.1 sin() =?

sin () =∗ − −∗

2=

=−1 − 1

2=

= −1−

2= 1 175 2

- 45-

2.2.5 Functiile hiperbolice

sinh =

− −

2

cosh =

+ −

2

tanh =sinh

cosh

coth =cosh

sinh

Remarca 2.4 Formula de baza pentru functiile hiperbolice:cosh2 − sinh2 = 1

Remarca 2.5 Se mai folosesc notatiile sh ch th cth în loc de sinh cosh tanh coth

2.2.6 Functia logaritmica

Definitia 2.6 Pentru 6= 0∞ :Ln = ⇔ =

Teorema 2.3Ln = ln ||+ (arg + 2) ∈ Z

Demonstratie: = = + = (cos + sin )

(cos + sin ) = (cos + sin )⇒ = = + 2 ∈ Z = ln = ln || = arg + 2 ∈ Z

- 46-

Remarca 2.6 Ln se numeste functie multiforma. Pt. un fixatLn = ln ||+ (arg + 2)

se numeste o ramura a functiei logaritm natural. Pt. = 0 avem "determinarea principala" a functiei logaritmice, notata ln

Remarca 2.7 Daca ∈ R∗+ atunci ln este logaritmul natural al numarului

Remarca 2.8 ln(2) = ln |2|+ arg (2) = ln 2 + 2; ln (−1) == ln |−1|+ arg(−1) = 0 +

ln¡¢= ln (−1)

= ln (−1)

2.2.7 Functia putere

Definitia 2.7 Pentru 6= 0∞ ∈ Z : = ⇔ Ln =

= Ln

Remarca 2.9 = ∈ atunci =

are valori:

Ln = Ln =

(ln||+(arg +2))

=

= ln||

arg

2 = 0 − 1

In cazul particular = 12avem:

12 =√ =

12(ln||+ arg ) = 0 1

Se observa ca cele doua determinari ale√ difera între ele prin factorul = −1 de aceea la formula de rezolvare a ecuatiei de gradul doi în C

nu se mai pune ± în fata radicalului.

- 47-

Exemplul 2.2√2|C =

12(ln|2|+ arg 2) =

½12ln|2| =

√2 = 0

12ln|2| = −√2 = 1

unde la ultimele egalitati√2 ≈ 1414 este numarul real si pozitiv care ridicat la patrat da 2

2.2.8 Functiile trigonometrice inverse

Arcsin = ⇔ sin =

Arccos = ⇔ cos =

Arctan = ⇔ tan =

Arccot = ⇔ cot =

Sa calculam acum expresia lui Arcsin :

sin = ⇔ − −

2=

notam =

− 1= 2

2 − 2− 1 = 0

= +

q()2 + 1 = +

√1− 2

deci: = +

√1− 2

= Ln³ +

√1− 2

´ = Arcsin = −Ln

³ +

√1− 2

´analog:

Arccos = −Ln³ +√2 − 1

´- 48-

Arctan = − −

+ −=

2 − 12 + 1

=

122

2=

+ 1

1−

2 = −

−− =

−

+

2 =−

+

= Arctan =1

2Ln

µ−

+

¶Analog se arata ca:

Arccot =1

2Ln

µ +

−

¶

Remarca 2.10 Domeniul de definitie al functiilor trigonometrice inverse este format din C mai putin punctele în care se anuleaza sau devineinfinita expresia de sub radical sau de sub logaritm (de exemplul la Arcsin domeniul de definitie este C \{−1 1} la Arctan este C \{− } ).

Exemplul 2.3 Sa se calculeze Arcsin (12) Arcsin 2 Solutie: pentru prima rezolv ecuatia:

sin =1

2- 49-

adica: − −

2=

1

2; =

2 − 1

= 1

2 − − 1 = 0

12 =+√2 + 4

2=

±√32

= Ln

ñ√32

!= ln

¯¯±√3

2

¯¯+

Ãarg

ñ√32

!+ 2

! = ln (1) + (2 + ) = 6 sau = − 6

= {2 + 6| ∈ Z} ∪ {2 + − 6| ∈ Z}Pentru al doilea "numar":

sin = 2 − −

2= 2; =

2 − 12

= 2

2 − 4− 1 = 0

12 = 2+

q(2)2 + 1 = 2±

√3

= ³2±√3´

= Ln³³2±√3´´= ln

¯³2±√3´¯+ ³arg

³³2±√3´´+ 2

´ = − ln

³2±√3´+ (2 + 2) ∈ Z

= ± ln³2−√3

´+ (2 + 2) ∈ Z

- 50-

2.2.9 Functiile hiperbolice inverse

Arcsinh = ⇔ = sinh

Arccosh = ⇔ = cosh

Arctanh = ⇔ = tanh

Arccoth = ⇔ = coth

sinh = ⇔ − −

2=

notam =

− 1= 2

2 − 2− 1 = 0

= +√2 + 1 = +

√1 + 2

deci: = +

√1 + 2

= Ln³ +√1 + 2

´ = Arcsinh = Ln

³ +√1 + 2

´Analog:

Arccosh = Ln³ +√−1 + 2

´Arctanh = Ln

µ1 +

1−

¶Arccoth = Ln

µ + 1

− 1¶

Remarca 2.11 Se mai folosesc si notatiile Argsh Argch Argth Argcth în loc de Arcsinh Arccosh Arctanh respectiv Arccoth si în acest cazse citesc "argument sinus hiperbolic",....

- 51-

Remarca 2.12 Domeniul de definitie al functiilor hiperbolice inverse este format din C mai putin punctele în care se anuleaza sau devine infinitaexpresia de sub radical sau de sub logaritm (de exemplul la Arcsinh domeniul de definitie este C \{− } la Arctanh este C \{−1 1} ).

2.3 Continuitatea si derivabilitatea functiilor complexe de o variabila complexa

In cele ce urmeaza vom considera functii : → C , unde este un domeniu din C Putem interpreta geometric o functie de acest fel ca ocorespundenta între punctele a doua plane. Mai exact, daca notam = + si () = + = atunci stabileste o corespodenta întrepunctele planelor () si () :

z=x+iyw=u+iv

f

O x

iy

O u

iv

D

Remarca 2.13 A defini o functie complexa de o variabila complexa : → C este echivalent cu a defini doua functii reale de doua variabilereale, : → R legate de prin:

() = (+ ) = ( ) + ( )(2.3.1)

2.3.1 Continuitate

Definitia 2.8 Functia este continua în punctul ∈ daca si numai daca pentru orice sir ()∈N care are limita sirul valorilor functiei( ())∈N are limita ()

"Grafic" functia este continua în punctul ∈ daca si numai daca pentru orice disc cu centrul în = + = () exista un disc cucentrul în astfel incât orice punct din discul cu centrul în este "dus" de functia într-un punct din discul cu centrul în :

- 52-

z=x+iyw=u+iv

f

O x

iy

O u

iv

D

Se poate demonstra ca toate functiile elementare sunt continue pe domeniul lor de definitie. De asemenea sunt valabile teoremele referitoarela operatii cu functii continue si compuneri de functii continue cunoscute de la studiul functiilor reale.

Legatura dintre continuitatea functiei si functiile definite de (2.3.1) este data de:

Teorema 2.4 Functia este continua în punctul = + daca si numai daca functiile sunt continue în ( )

2.3.2 Derivabilitate

Fie : → C , ∈ Definitia derivatei functiei în este ca pentru functii reale:

Definitia 2.9 este derivabila (monogena) în daca exista limita finita:

lim∆→0

( +∆)− ()

∆= 0 () (2.3.2)

Definitia 2.10 Functia : → C este olomorfa pe multimea daca este derivabila în fiecare punct din

Interpretarea geometrica a derivatei: Fie o curba din domeniul care trece prin punctul punctul +∆ punct pe care tindecatre iar Γ curba care se obtine din prin în planul () = () punctul corespunzator lui pe Γ iar 0 () 6= 0 Notând cu elementulde arc pe curba calculat în cu elementul de arc la Γ în cu unghiul facut de tangenta la în cu axa cu unghiul facut detangenta la Γ în cu avem (formule care rezulta din scrierea câtului din membrul stâng sub forma trigonometrica si trecerea la limita, calcul

- 53-

care nu mai îl reproducem aici):= | 0 ()|

− = arg ( 0 ())(2.3.3)

z=x+iyw=u+iv

f

O x

iy

O u

iv

D

g

G

��

Formulele (2.3.3) transpuse în cuvinte arata ca | 0 ()| reprezinta coeficientul de "alungire" a curbei iar arg ( 0 ()) reprezinta unghiul cu care seroteste prin transformarea definita de functia (totul local, în si nedepinzând de curba )

Legatura dintre derivata functiei si derivatele partiale ale functiilor este data de:

Teorema 2.5 este monogena în punctul = + daca si numai daca functiile sunt diferentiabile în ( ) si derivatele lor partialeverifica conditiile Cauchy-Rieman: ⎧⎪⎨⎪⎩

( ) =

( )

( ) = −

( )

(C-R)

Demonstratie: Demonstram doar o parte din teorema, si anume ca daca este monogena în punctul = + atunci au derivatepartiale si sunt verificate conditiile (C-R). Pentru aceasta consideram ca ∆ = ∆+ 0 si din (2.3.2) rezulta:

0 () = lim∆→0

(+ +∆)− (+ )

∆=

= lim∆→0

(+∆ )− ( )

∆+ lim

∆→0 (+∆ )− ( )

∆=

=

( ) +

( )

- 54-

analog, daca ∆ = 0 + ∆ :

0 () = lim∆→0

(+ + ∆)− (+ )

∆=

= lim∆→0

( +∆)− ( )

∆+ lim

∆→0 ( +∆)− ( )

∆=

= −( ) +

( )

Egalând partile reale si imaginare din ultimele doua expresii ale lui 0 () rezulta conditiile Cauchy-Riemann.

Remarca 2.14 Din demonstratia de mai sus rezulta si formule de calcul pentru derivata unei functii complexe folosind derivatele partiale alefunctiilor :

0 () = 0 (+ ) =

( ) +

( ) =

( )−

( )

De exemplu pentru () = = + = (cos + sin ) avem ( ) = cos ( ) = sin conditiile Cauchy-Riemann sunt verificate:

( ) =

= cos

( ) = −

( ) = sin

si deci 0 () = cos + sin =

Remarca 2.15 Se demonstreaza ca toate formulele de derivare valabile pentru functii reale de variabila reala sunt adevarate si pentru functiicomplexe de o variabila complexa.

Remarca 2.16 (tan )0 = 1cos2

= 1 + tan2

Corolarul 0.5 Daca functia : → C este olomorfa pe si functiile au derivate partiale de ordin 2 continue pe atunci functiile - 55-

verifica ecuatia lui Laplace:2

2+

2

2= 0

2

2+

2

2= 0

Corolarul 0.6 Daca : → C este olomorfa pe domeniul simplu conex atunci daca se cunoaste functia ( ) functia ( )este unicdeterminata abstractie facând de o constanta reala.

Demonstratie: Din conditiile Cauchy-Riemann rezulta:

d =

d+

d =

= −d+

d

si deci:

( )− (0 0) =

Z

0

−( ) +

Z

0

(0 )

Exemplul 2.4 Sa se det. functia olomorfa () = (+ ) = ( ) + ( ) stiind ca ( ) = 2+2

=

2 + 2 − 22(2 + 2)2

= − 2

(2 + 2)2

atunci:

( )− (0 0) =

Z

0

2

(2 + 2)2d+

Z

0

2 − 20(20 + 2)

2d =

= = −

2 + 2+

020 + 20

adica ( ) = − 2+2

+ deci () = (+ ) = 2+2

− 2+2

+ =

+ = 1

+

Remarca 2.17 în formulele obtinute mai sus se tine cont de :

= +

2 =

−

2- 56-

2.4 Integrarea functiilor complexe de o variabila complexa

Fie : → C , o curba neteda, orientata, inclusa în

�

Definitia 2.11 Se numeste integrala functiei de curba numarul complex notat cuR () d definit de :Z

() d=

Z

( ) d− ( ) d +

Z

( ) d+ ( ) d(2.4.1)

unde integralele din partea dreapta a egalitatii sunt integrale curbilinii reale de speta a doua.

Remarca 2.18R () =

R(+ ) (d+ d) =

Rd+ d + d+ 2d

Remarca 2.19 Mentionam, fara demonstratie, inegalitatea:¯Z

()

¯≤Z

| ()| unde integrala din dreapta e integrala curbilinie de speta întâi pe curba

Remarca 2.20 Parametrizari în C : cercul de centru si raza : = + ∈ [0 2] d = d; segmentul [0 1] : = 1+(1− ) 0 ∈ [0 1] ; d = (1 − 0) d

Exemplul 2.5 IC()

d

− = 2

- 57-

IC()

d

− =

Z 2

0

d

=

Z 2

0

d = 2

Teorema 2.6 (Cauchy) Daca este o functie olomorfa pe domeniul ⊂ C , si ⊂ este o curba închisa cu () ⊂ atunci are locegalitatea: I

() d = 0

Demonstratie: Se bazeaza pe conditiile Cauchy-Rieman (C-R) si formula lui Green.

Corolarul 0.7 Daca : → C este olomorfa si{ ≤ | − | ≤ } ⊂

atunci: I()

() =

I()

()

2.4.1 Formulele lui Cauchy

Teorema 2.7 Daca este o functie olomorfa pe domeniul ⊂ C , ∈ si C ( ) ⊂ are loc egalitatea:

() =1

2

IC()

()

− d(2.4.2)

Remarca 2.21 Formula 2.4.2 este cunoscuta sub numele de formula lui Cauchy pentru functii olomorfe.

Demonstratie. Fie figura urmatoare ??:- 58-

a

rz

D

Figura urmatoareAre loc urmatoare egalitate (pentru orice astfel încât C ( ) ⊂ ):I

C()

()

− =

IC()

()− ()

− +

IC()

()

− (2.4.3)

Dar: IC()

()

− = ()

IC()

1

− = 2 ()(2.4.4)

iar fiind olomorfa în punctul pentru orice 0 exista un astfel încât daca ¯ ()− ()

− − 0 ()

¯

de unde rezulta ca pentru ¯ ()− ()

−

¯ | 0 ()|+ (2.4.5)

si deci: ¯¯ IC()

()− ()

−

¯¯ (| 0 ()|+ ) 2(2.4.6)

Facând în 2.4.6 pe → 0 obtinem ca:

lim→0

IC()

()− ()

− = 0(2.4.7)

- 59-

Dar, din proprietatile integralelor functiilor olomorfe integrala din partea stânga a egalitatii 2.4.7 nu depinde de deci:IC()

()− ()

− = 0(2.4.8)

Înlocuind (2.4.8) si (2.4.4) în (2.4.3) rezulta formula lui Cauchy (2.4.2).

Teorema 2.8 Daca este o functie olomorfa pe domeniul ⊂ C , ∈ si C ( ) ⊂ atunci are derivate de orice ordin în si au locegalitatile:

() () =!

2

IC()

()

( − )+1d(2.4.9)

Remarca 2.22 Formulele (2.4.9) sunt formulele lui Cauchy pentru derivatele unei functii olomorfe si se obtin derivând formal integrala dinmembrul drept al egalitatii (2.4.2) în raport cu parametrul . Demonstratia teoremei de mai sus consta în a arata ca aceasta operatie de derivaresub semnul integrala este permisa, folosind inductia în raport cu

2.4.2 Serii Taylor

În cele ce urmeaza vom stabili legatura dintre functiile olomorfe si seriile de puteri. Seria de puteri se defineste astfel:

Definitia 2.12 Se numeste serie de puteri în jurul punctului seria:

() =∞X=0

( − ) (2.4.10)

unde se numesc coeficientii seriei ( ∈ C ).

În legatura cu seriile de puteri amintim teorema lui Abel:

Teorema 2.9 Exista un numar R≥0 (numit raza de convergenta a seriei (2.4.10) ) astfel încât seria (2.4.10) este convergenta pentru orice ∈ Ccare verifica inegalitatea | − | si este divergenta pentru orice ∈ C care verifica inegalitatea | − |

- 60-

Remarca 2.23 Numarul se poate calcula folosind formula Cauchy-Hadamard:

=1

lim sup→∞

p|| (2.4.11)

Remarca 2.24 Daca exista limita lim→∞

|||+1| = atunci =

Operatiile cu serii de puteri (suma, produsul) sunt ca si la polinoame, adica daca:

1() =∞X=0

( − )

atunci:

() + 1() =∞X=0

( + ) ( − )

() · 1 () =∞X=0

( − ) unde =X

=0

−

De asemenea (admitem fara demonstratie) este adevarata urmatoarea teorema:

Teorema 2.10 Suma seriei de puteri () din (2.4.10) este o functie olomorfa în interiorul cercului C () si derivata ei se obtine derivândseria din dreapta termen cu termen, adica:

0 () =∞X=1

( − )−1 :=+1=

∞X=0

(+ 1) +1 ( − ) (2.4.12)

si în plus () se poate integra termen cu termen, adica:Z

0

() d =∞X=0

+ 1

¡( − )+1 − (0 − )+1

¢(2.4.13)

(integrala fiind considerata pe o curba arbitrara cu originea 0 si extremitatea , inclusa in interiorul cercului C () )

Legatura inversa dintre functiile olomorfe si seriile de puteri de tip (2.4.10) este data de:

- 61-

Teorema 2.1 Daca : → C este o functie olomorfa pe domeniul conex atunci pentru orice punct ∈ exista un 0 astfel încât pentruorice cu proprietatea | − | este adevarata egalitatea:

() =∞X=0

( − ) () ()

!(2.4.14)

Demonstratie. Ideea demonstratiei este folosirea formulelor lui Cauchy si a dezvoltarii în serie a progresiei geometrice.

D

a

z

u

r

r

Figura de mai sus

Fie ∈ discul D ( ) ⊂ si un punct ∈ D ( ) (vezi figura de mai sus). Conform formulei lui Cauchy:

() =1

2

IC()

()

− (2.4.15)

Dar:1

− =

1

(− )− ( − )=

1

− · 1

1− −−

=(2.4.16)

=1

− ·Ã

X=0

µ −

−

¶

+

¡−−¢+1

1− −−

!

- 62-

Ultima egalitate din egalitatile 2.4.16 rezulta din identitatea: 11− =

P=0

+ +1

1− pentru = −− Înlocuind 2.4.16 în 2.4.15 rezulta:

() = 12

IC()

()

(− )·µP

=0

¡−−¢+( −−)

+1

1− −−

¶ =

=X=0

⎛⎜⎝ 1

2

IC()

()

(− )+1

⎞⎟⎠ ( − ) +()

(2.4.17)

unde:

() =1

2

IC()

1

−

¡−−¢+1

1− −−

() (2.4.18)

Conform formulelor lui Cauchy pentru derivate, 12

HC()

()

(−)+1 =()()

! ceea ce înlocuit în (2.4.17) ne conduce la:

() =X=0

() ()

!( − ) +()

Daca în formula de mai sus facem ca sa tinda la infinit si aratam ca:lim→∞

() = 0(2.4.19)

va rezulta egalitatea (2.4.14). Pentru a demonstra (2.4.19) vom majora integrala din (2.4.18). Notând = max∈C() | ()| tinând cont ca¯H ()

¯≤ H

| ()| avem:

| ()| ≤ 1

2

IC()

¯¯ 1

−

¡−−¢+1

1− −−

()

¯¯ ≤

≤ 1

2

IC()

¯¯¡−−¢+1

−

¯¯ ≤ 1

2

IC()

¡

¢+1 −

=

=1

2

¡

¢+1 −

(2) =

−

³

´+1(pentru inegalitatea |− | − vezi figura de mai sus). Deoarece

1 rezulta lim→∞

¡

¢+1= 0 si deci (2.4.19) este adevarata. Sa

remarcam ca dezvoltarea (2.4.14) este valabila în discul de centru si raza egala cu distanta de la punctul la frontiera domeniului

Remarca 2.25 Pentru determinarea razei de convergenta a seriei de puteri a unei functii olomorfe nu e necesar sa aplicam formula lui Hadamard- 63-

(2.4.11), ci putem sa aplicam regula: raza de convergenta este egala cu distanta de la punctul la cel mai apropiat punct în care functia olomorfa nueste definita.

Exemplul 2.6 Dezvoltarea în serie Taylor în jurul originii a functiei exponentiale:

=∞X=0

! || ∞ (exp)

Caz particular = 1 :

=∞X=0

1

!

'20X=0

1

!' 2 718 3

Exemplul 2.7 Dezvoltarea în serie Taylor în jurul originii a functiei putere (1 + ) (seria binomiala):

(1 + ) = 1 +∞X=1

(− 1) · · · (− + 1)

! || 1 (binomiala)

Exemplul 2.8 Seria Taylor în jurul originii ( = 0 ) a functiei arctan

(arctan )0 =1

1 + 2=

= 1 +∞X=1

(−1) (−2) · · · (−)!

2 =

=∞X=0

(−1) 2 || 1

arctan =∞X=0

(−1) 2+1

2+ 1 || 1

4=

∞X=0

(−1) 1

2+ 1

- 64-

Remarca 2.26 Exemplele precedente sunt cele mai utile, deoarece majoritatea dezvoltarilor în serie în jurul originii se reduc la acestea, folosindsi teorema 2.10.

Exemplul 2.9 Seria Taylor a functiei sin :

sin = − −

2=

=1

2

à ∞X=0

()

!−

∞X=0

(−)!

!=

=∞X=1

2−1

(2− 1)! (−1)−1 || ∞

Remarca 2.27 Egalitatea (2.4.14) poarta numele de dezvoltarea functiei în serie Taylor în jurul punctului Pentru cazul = 0 aceastaegalitate se numeste dezvoltarea în serie MacLaurin.

Din consecintele dezvoltarii serie Taylor a unei functii olomorfe amintim (fara demonstratie) urmatoarele doua rezultate:

Corolarul 0.8 (Teorema lui Liouville) Daca : C→ C este o functie olomorfa si exista un numar ∈ N astfel încât lim→∞()+1

= 0 atunci este este un polinom de grad cel mult .

Corolarul 0.9 (Teorema fundamentala a algebrei D’Alembert-Gauss) Orice polinom de grad mai mare sau egal cu unu are cel putin oradacina complexa.

Pentru bibliografie recomandam [1],[2].

2.5 Reziduuri si aplicatii

În acest curs vom prezenta notiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor si câteva aplicatii ale teoremei reziduurilor,în special la calculul unor tipuri de integrale definite de functii reale.

- 65-

2.5.1 Reziduu: definitie, calcul, teorema reziduurilor

Sa consideram în cele ce urmeaza o functie olomorfa : → C ( ⊂ C , domeniu).Fie acum ∈ C astfel încât admite dezvolare în serieLaurent:

() =∞X

=−∞ ( − )(2.5.1)

în coroana circulara:0 | − | (2.5.2)

Definitia 2.13 Punctul se numeste punct ordinar penru functia daca seria Laurent (2.5.1 ) este serie Taylor (nu are termeni cu puterinegative ale lui ( − ) ) , punct singular esential izolat daca partea principala are un numar infinit de termeni si pol de ordin k0 daca parteaprincipala are un numar finit de termeni, primul coeficient nenul fiind − (adica () =

P∞=− ( − ) − 6= 0 ).

Definitia 2.14 Daca a este un punct singular esential izolat sau un pol; se numeste reziduul functiei în punctul a câtul dintre valoarea integraleifunctiei f pe o curba închisa simpla situata în coroana circulara (2.5.2) ( curba care sa înconjoare punctul si sa fie parcursa în sens direct) si2:

Rez( ) =1

2

IC

() d(2.5.3)

conform figurii urmatoare:

a

R

D

C

Definitia 2.15 Se numeste reziduul functiei f în punctul de la infinit câtul dintre valoarea integralei functiei pe o curba simpla închisa parcursaîn sens invers, (în exteriorul curbei functia neavând alt punct singular decât (eventual) punctul de la infinit) si 2.

- 66-

Legatura dintre seria Laurent (2.5.1) si reziduul functiei în punctul este data de:

Teorema 2.2 Reziduul functiei în punctul a este egal cu coeficientul lui 1− din dezvoltarea în serie Laurent (2.5.1):

Rez( ) = −1iar reziduul punctului de la infinit este egal cu acelasi coeficient înmultit cu −1:

Rez( ) = −−1din dezvoltarea în serie Laurent în exteriorul unei coroane circulare:

() =∞X

=−∞

||

Demonstratia teoremei se bazeaza pe posibilitatea integrarii termen cu termen a seriei Laurent si pe egalitatile:IC

( − ) d =

½0 6= −12 = −1

Deoarece calculul dezvoltarii seriei Laurent a unei functii olomorfe necesita un volum mare de calcul, în cazul în care punctul în care secalculeaza reziduul este pol, se pot folosi:

Teorema 2.3 Daca a este pol de ordin k pentru functia f atunci

Rez( ) =1

( − 1)! lim→

³( − ) ()

´(−1)(2.5.4)

Teorema 2.4 Daca () = ()()

cu () 6= 0 () = 0 0 () 6= 0 (adica a este pol simplu) atunci:

Rez( ) = ()

0 ()(2.5.5)

Exemplul 2.10 Sa se calculeze

Rez

µ

3 0

¶- 67-

Aplicam formula (2.5.4) pentru = 0 = 3 () =

3 Avem:

Rez

µ

3 0

¶=1

2!lim→0

µ3

3

¶00=1

2!

Altfel:

3=

1 + 1! + 22! + 33! +

3=

=1

3+

1

1!2+1

2!+1

3!+

coeficientul lui 1 este 12! = Rez¡

3 0¢

Teorema cea mai utila în aplicatii este teorema reziduurilor. Pentru aceasta sa consideram o functie olomorfa si o curba Γ închisa sim-pla, care are în interiorul ei punctele singulare de tip poli sau puncte singulare esentiale izolate notate 1 2 , conform figurii de mai jos:

D

G

T1

Tn

T2

a1

a2

an

C1

C2Cn

Teorema 2.5 (teorema reziduurilor) Integrala functiei pe curba Γ este egala cu suma reziduurilor functiei pe punctele 1 2 înmultitacu 2 : I

Γ

() d = 2X

=1

Rez( )

O consecinta a teoremei reziduurilor si a definitiei reziduului punctului de la infinit este:

Corolarul 2.1 Daca este o functiei care este olomorfa în tot planul complex, mai putin punctele 1 2 care sunt poli sau puncte singulare- 68-

esentiale izolate, atunci suma tuturor reziduurilor functiei (inclusiv în punctul de la infinit) este nula:X

=1

Rez( ) + Rez(∞) = 0

Remarca 2.28 Rez( () ∞) = Rez(− 12¡1

¢ 0)

Exemplul 2.11 Sa se calculeze Rez ( ) unde () = cos = 0 Aplicam formula (2.5.5) pentru () = cos () = = 0 :

Rez³cos

0´=cos 0

0|=0 =cos 0

1= 1

Exemplul 2.12 Sa se calculeze Rez ( ) unde () = cos 3

= 0 Aplicam formula (2.5.4) pentru = 0 = 3 :

(cos )() = cos³ +

2

´

Rez³cos

3 0´=

1

(3− 1)! lim→0³3cos

3

´(3−1)=

=1

2lim→0

(cos )00 =1

2lim→0

cos³ + 2

2

´=

=1

2(cos) = −1

2

Altfel:

cos = 1− 2

2!+

4

4!− 6

6!+ · · ·

cos

3=

1

3− 1

2!+

4!− 3

6!+ · · ·

coef. lui 1= − 1

2!= Rez

¡cos 3

0¢

Exemplul 2.13 Sa se calculeze Rez ( ) unde () = 1 = 0 :

1 =∞X=0

(1)

! || 0

Rez¡1 0

¢=

1

1!= 1

- 69-

2.6 Aplicatii la calculul unor integrale reale

2.6.1 Calculul integralelor de formaR 20

(sin cos) d unde (sin cos) este o functie rationala în sin si cos.

Pentru calculul acestor integrale facem schimbarea de variabila = si conform formulelor lui Euler:

sin = − −

2=

− 1

2 cos =

+ −

2=

+ 1

2 iar d = d(2.6.1)

de unde d = d Cu aceasta schimbare de variabila integrala va deveni o integrala pe cercul de raza 1 si centrul adica:Z 2

0

(sin cos) d =

IC(1)

µ − 1

2 + 1

2

¶d

=

IC(1)

1()d(2.6.2)

Pentru calculul ultimei integrale din formula (2.6.2) aplicam teorema reziduurilor pentru functia 1() pe cercul C( 1) (vezi figura de maijos).

-1 1O x

jy

z2 zn

z0z1

Conform acestei teoreme ZC(1)

1()d = 2X

||1=0Rez (1 () )(2.6.3)

(în suma se considera reziduurile functiei 1 () în toate punctele singulare, care vor fi poli, din interiorul cercului C( 1) notate în figura alaturatacu 01 2 · · · )

Exemplul 2.1 Fie de calculatR 20

d13+5 cos

Cu schimbarea de variabila 2.6.1 integrala devine:IC(1)

13 + 5+ 1

2

=2

IC(1)

52 + 26 + 5(2.6.4)

Radacinile numitorului din ultima inegrala sunt 1 = −5 2 = −15 A doua radacina este situata în interiorul cercului unitate si reziduul corespun-- 70-

zator este

Rez

µ1

52 + 26 + 5−15

¶=

1

10 + 26

¯=−15

=1

24Aplicând formula ?? avem:

2

ZC(1)

52 + 26 + 5=2

· 2 · 1

24=

6

De unde rezulta caR 20

13+5 cos

= 6 (Sa observam ca folosind teorema reziduurilor calculul acestei integrale se reduce la o schimbare de variabila

si la calculul derivatei unui polinom de gradul doi într-un punct).

Exemplul 2.2 Sa se calculeze

=

Z 2

0

cos ()

1− 2 cos+ 2d || 1

Notam integrala cu si consideram

=

Z 2

0

sin ()

1− 2 cos+ 2d

Atunci :

+ =

Z 2

0

1− 2 cos+ 2d

- 71-

Cu schimbarea de var. = avem:

+ =

I(01)

1− 2+12+ 2

=

=1

I(01)

−2 − + (1 + 2) =

=1

−I

(01)

2 − (+ 1) + 1 =

=2

− Rezµ

2 − (+ 1) + 1 ¶=

=−2

2 − (+ 1) |= =−2

2− − 1 =

=2

1− 2

De unde =

2

1− 2 = 0

2.6.2 Calculul integralelor de formaR∞−∞

()()

unde () si () sunt polinoame.

Pentru convergenta integralei de mai sus e necesar ca sa aiba gradul cu cel putin doua unitati mai mic decât gradul lui Pentru a putea aplicateorema reziduurilor la calculul acestor integrale avem nevoie de urmatoarea lema:

Lemma 2.1 (lema 1 Jordan) Daca Γ este un arc de cerc cu centrul în origine si de raza , : → o functie olomorfa cu Γ ⊂ pentru suficient de mare si lim||→∞ () = 0 atunci

lim→∞

ZΓ

() = 0(2.6.5)

Demonstratie: Din lim→∞ () = 0 rezulta ca pentru orice 0 exista un 0 astfel încât pentru = || avem | ()| .- 72-

Atunci: ¯ZΓ

()

¯≤ZΓ

¯ ()

¯|| ≤

ZΓ

≤

2 = 2

pentru de unde rezulta (2.6.5).Sa revenim acum la calculul integralelor de forma

R∞−∞

()()

d unde n-are radacini reale si are gradul mai mare cu cel putin doua unitati

ca Pentu a gasi formula consideram functia () = ()()

si integrala ei pe conturul format din [−] ∪ Γ parcurs în sensul trigonometric(vezi figura de mai jos)

-R R

GR

O x

jy

z0

zn

fiind suficient de mare astfel încât toate radacinile lui cu partea imaginara pozitiva sa fie în interiorul acestui contur (punctele 0 ).Conform teoremei reziduurilor I

[−]∪Γ

() = 2X

()=0Im 0

Rez ( () )(2.6.6)

Dar I[−]∪Γ

() =

Z[−]

() +

ZΓ

() (2.6.7)

iar din cauza gradelor lim||→∞ () = lim||→∞ ()()

= 0 prin urmare functia verifica conditiile din lema 1 Jordan. Trecând la limita în (2.6.7)

pentru →∞ a doua integrala va tinde la 0 . Tinând cont de 2.6.6 rezulta (pe (−∞∞) () = () = ()()

):Z ∞

−∞

()

()d = 2

X()=0Im 0

Rez

µ ()

()

¶(2.6.8)

- 73-

Calculul Z ∞

−∞

d

4 + 1Zd

4 + 1

:√2¡14arctan

¡√2− 1¢− 1

4 + 1

4arctan

¡√2+ 1

¢+ 1

8ln¡2 +

√2+ 1

¢− 18ln¡2 −√2+ 1¢¢Avem în formula (2.6.8) () = 1 () =

4 + 1 Rezolvând ecuatia () = 0 avem: 4 = −1 = cos + sin de unde solutiile = cos +24+ sin +2

4 = 0 3 Radacinile lui cu

partea imaginara pozitiva sunt cele care au argumentul între 0 si deci 0 si 1 Conform formulei 2.6.8:Z ∞

−∞

4 + 1= 2

µRez

µ1

4 + 1 0

¶+Rez

µ1

4 + 1 1

¶¶=

= 2

µ1

430+

1

431

¶= 2

µ0440

+1441

¶=

= 2

µ0 + 1−4

¶= −

2

µcos

4+ sin

4+ cos

3

4+ sin

3

4

¶=

= −22

√2

2=

√2

2

Exemplul 2.3 Z ∞

−∞

1

4 + 2 + 1d

Aflam radacinile numitorului:4 + 2 + 1 = 0| ∗ ¡2 − 1¢

6 − 1 = 0 6= ±1solutiile:

= cos2

6+ sin

2

6=

26 = 0 5

- 74-

Cele cu partea imaginara pozitiva sunt 1 2 Deci:Z ∞

−∞

1

4 + 2 + 1 = 2

µRez

µ1

4 + 2 + 1; 1

¶+Rez

µ1

4 + 2 + 1; 2

¶¶=

= 2

µ1

431 + 21+

1

432 + 22

¶=

= 2

µ1

4 + 23+

1

42 + 223

¶=

= 2

Ã1

−4 + 2 ¡12 + √32¢ + 1

4 + 2¡−12 +

√32¢! =

= 2

µ1

−3 + √3+

1

3 + √3

¶=

= 23 +

√3− 3 +

√3

−3− 9 = 22√3

−12 =√3

3

Pentru calculul urmatoarelor tipuri de integrale avem nevoie de urmatoarea lema:

Lemma 2.2 (lema 2 Jordan) Daca este un arc de cerc cu centrul în origine si de raza , : → o functie olomorfa cu ⊂ pentru suficient de mic si lim||→0 () = 0 atunci

lim→0

Z

() = 0(2.6.9)

Demonstratia este analoaga cu cea a lemei 1 Jordan.

Remarca 2.1 Daca lim||→0 () = si este un arc de cerc cu centrul în origine de raza si unghi constant atunci se poate demonstra calim→0

R () =

2.6.3 Calculul integralelor de formaR∞0

()()

d unde () si () sunt polinoame.

În acest caz se presupune ca n-are radacini reale si pozitive si are gradul mai mare cu cel putin doua unitati ca Pentru a calcula aceastaintegrala se considera functia () = ()

()ln si integrala ei pe conturul ( fiind suficient de mic si suficient de mare astfel încât toate radacinile

lui sa fie în interiorul conturului):- 75-

Ox

jy

z2zn

z0z1

B

A' B'

A

GR

gr

Avem: H[]∪Γ∪[00]∪−

()()

ln =

=R[]

()()

ln +RΓ

()()

ln +R[00]

()()

ln +R−

()()

ln =

= 2P

()=0

Rez³ ()()

ln ´(2.6.10)

Dar Z[]

()

()ln =

Z

()

()ln →

Z ∞

0

()

()ln

când → 0 si →∞ Z[00]

()

()ln = −

Z

()

()(ln+ 2) → −

Z ∞

0

()

()ln − 2

Z ∞

0

()

()

(am tinut cont ca prin trecerea de la la 0 se face o rotatie de 2 în jurul originii, deci ln îsi mareste valoarea cu 2 ) când → 0 si →∞De asemenea se constata ca functia verifica ipotezele din lemele 1 si 2 Jordan, deci:

lim→0

Z−

()

()ln = 0

lim→∞

ZΓ

()

()ln = 0

Trecând la limita în (2.6.10) când → 0 si →∞ si tinând cont de limitele de mai sus obtinem:

−2Z ∞

0

()

() = 2

X()=0

Rez

µ ()

()ln

¶

- 76-

sau: Z ∞

0

()

()d = −

X()=0

Rez

µ ()

()ln

¶(2.6.11)

Exemplul 2.4 Z ∞

0

d

3 + 1

Aplicam formula (2.6.11) pentru () = 1 () = 3 + 1 Radacinile lui sunt (folosind notatia exponentiala) 0 = 3 , 1 =

+23 = −1

2 = +4

3 Atunci Rez¡

13+1

ln ¢= ln

32= − ln

3 (3 = −1 ) si deci:Z ∞

0

()

() =

1

3(0 ln 0 + 1 ln 1 + 2 ln 2) =

=1

3

µ

33 + +

5

353

¶=

=

9

µcos

3+ sin

3− 3 + 5 cos 5

3+ 5 sin

5

3

¶=

=

9

Ã1

2+

√3

2− 3 + 5 ∗ 1

2+ 5

Ã−√3

2

!!=

=

9·Ã−4√3

2

!=2√3

9

2.6.4 Calculul integralelor de formaR∞0

()()

d unde () si () sunt polinoame ( ) + 1 ≤ (), iar ∈ (0 1)

Pentru calculul acestor integrale se face acelasi rationament ca la cazul precedent, pentru () = ()()

(aceleasi conditii asupra gradelorpolinoamelor, iar poate sa aiba ca radacina reala (simpla) doar pe 0). Avem:Z

[00]

()

() = −

Z

2 ()

()→ −2

Z ∞

0

()

()

obtinem: ¡1− 2

¢ Z ∞

0

()

()d = 2

X:()=0

Rez

µ

()

()

¶(2.6.12)

- 77-

Exemplul 2.5R∞0

3√2

2+1d În acest caz în formula (2.6.12) avem = 2

3 () = 1 () = 2 + 1 Radacinile lui sunt ± iar reziduurile

corespunzatoare sunt:

Rez

Ã23

2 + 1

!=

23

2=

2·2

3

2

Rez

Ã23

2 + 1−

!=− 23−2 =

3

2·2

3

−2si deci: ⎛⎝1−

4

3

⎞⎠Z ∞

0

3√2

2 + 1= 2

Ã2· 23

2+

32· 23

−2

!=

= ³3 −

´De unde rezulta: Z ∞

0

3√2

2 + 1 =

³3 −

´³1−

43

´ =

43 = ∗ 3 = −3

- 78-

3Transformata LaplaceÎn cele ce urmeaza vom studia transformata Laplace, care din punct de vedere matematic nu este decât o integrala improrie si cu parametru (veziformula (3.1.1)), dar are numeroase aplicatii. Capitolul din matematica care studiaza proprietatile transformatei Laplace se numeste Calcululoperatorial.

3.1 Definitii

Definitia 3.1 Se numeste functie original functia : R→ C care satisface conditiile:

1. () = 0 02. este derivabila pe portiuni3.3. ∃ 0 si 0 ≥ 0 astfel încât: | ()| 0 (0 se numeste indice de crestere a functiei ).

Definitia 3.1 Transformata Laplace a functiei original : [0∞)→ C este functia:

() :=

Z ∞

0

− () d(3.1.1)

Teorema 3.1 Integrala care defineste functia de variabila complexa este convergenta în semiplanul { ∈ C | Re 0}

Remarca 3.1 Vom nota L{ ()} () = ()

3 f derivabila pe portiuni:[0∞) = ∪=0[ +1)

si este derivabila pe fiecare interval ( +1)- 79-

3.1.1 Proprietati

Teorema 3.2 este o functie olomorfa pe domeniul sau de definitie si derivata sa se calculeaza :

0() =

Z ∞

0

− (− ()) dsau altfel

0 () = L{− ()} ()

1. L{ () + ()} () = () + () (liniaritate)2. L{ ()} () = 1

L{ ()} ¡

¢= 1

¡

¢(schimbarea de scara).

3. L{ ()} () = (− ) (translatia în complex)

L© ()ª () =

Z ∞

0

− () d =

=

Z ∞

0

−(−) () d = (− )

4. L{ (− ) (− )} () = − () (translatia la dreapta în real, 0)5. L{ (+ )()} () =

¡ ()− R

0− ()

¢(translatia la stânga în real, 0)

6. L{ 0 ()} () = ()− (0+) :

L{ 0 ()} () =

Z ∞

0

− 0 () d

() = −

0 () = 0 ()=

= − () |=∞=0 +

Z ∞

0

− () d = − (0+) + ()

7. L© () ()ª () = ()− −1 (0+)− −2 0 (0+)− − (−1) (0+)

8. L{(−) ()} () = () ()

9. LnR

0 () d

o() = ()

10. Ln()

o() =

R∞

() d

11. lim→∞

() = (0+) = lim→00

() (teorema valorii initiale)

- 80-

12. lim→0

() = lim→∞ ()(teorema valorii finale).

13. L{( ∗ ) ()} () = () () unde

( ∗ ) () :=Z

0

() (− ) d

este produs de convolutie al functiilor si

Se deduce usor urmatorul tabel de transformate:() () () 4 1

−1 Γ(+1)+1

sin () 2+2

cos 2+2

sin (−)2+2

() 1−

.

L{ ()} () = R∞0

−d = −1−|=∞=0 = −1 (0− 1) = 1

L{ ()} () = 1− (am folosit formula 3 pentru () = ()).

L{} () =

Z ∞

0

−d==

=

=

Z ∞

0

−

=

1

+1

Z ∞

0

−d =Γ ( + 1)

+1

L{sin ()} () = L½ − −

2

¾() =

=1

2

¡L©ª ()− L©−ª ()¢ ==

1

2

µ1

− − 1

+

¶=

2 + 2

4 () =

1 00 0

functia treapta a lui Heaviside.

- 81-

L{cos ()} () = L©(sin ())0 ª () ==

1

(L{sin ()} ()− sin ( ∗ 0)) =

=

2 + 2

Exercitiul 3.1 Folosind acest tabel si formulele 1-12 sa se calculeze transformata Laplace a urmatoarelor functii :

1. () = (− )2 (− )

2. () = 2 (− )

3. () = cos

4. () = sin () = cos

5. () = −

6. () = 2(cos −cos )

7. () = sin

8. () = −2−1

sin 3

9. () = −2√

10. () verifica: 2 00 () + 0 () + 2 () = 0 (0) = 1 0 (0) = 0

Solutii:1: Aplicând formula 4 si transformata Laplace a lui 2 (vezi tabelul, linia 3, pentru = 2) avem succesiv: L©(− )2 (− )

ª() =

−L{2} () = − Γ(3)3= − 2!

3=2−

3

2: Deoarece 2 = (− )2 + 2 (− ) + 2, aplicând aceleasi formule ca la exercitiul precedent si formula 1 rezulta: L{2 (− )} () =L©¡(− )2 + 2 (− ) + 2

¢ (− )

ª() =

³23+ 2 1

2+ 2

´−

3 Aplicam formula 8 pentru = 1 si transformata Laplace a functiei cos: L{ cos} () = − (L{cos} ()) = −

¡

2+2

¢=

−(2+2)−·2(2+2)2

= 2−2(2+2)2

4 Pentru a calcula mai rapid, folosim formulele lui Euler si calculam transformata Laplace a functiei () = () + () Avem () =

cos+ sin = Atunci conform formulei 8 si liniei 7 din tabel: L{ ()} () = (−1) ¡ 1−

¢()= (−1) (−1)!

(−)+1 = ! (+)+1

(2+2)+1 Privind

ca o variabila reala, rezulta ca L{ ()} () = !Re(+)+1

(2+2)+1L{ ()} () = ! Im(+)

+1

(2+2)+1(Adica L{ ()} () = !

+1−2+1−12+4+1−34−(2+2)+1

si- 82-

analog L{ ()} () = !1+1

−3+1−23+(2+2)+1

formule care, datorita proprietatilor functiilor olomorfe, sunt valabile pentru orice cu Re 0).

Altfel: L{ ()} () = L{} (− ) = !(−)+1

5 Aplicam întâi formula 10 apoi linia 7 din tabel si calculam integrala care apare: Ln−

o() =

R∞L© −

ª() =

R∞

¡1

− − 1−¢ =

ln −−¯∞= ln −

− (am tinut cont ca lim→∞ ln −− = ln 1 = 0).

6 Aplicând aceleasi formule si linia 5 din tabel rezulta: Ln2(cos −cos )

o() =

R∞

¡2

2+2− 2

2+2

¢ = ln 2+2

2+2

¯∞= ln 2+2

2+2

7 L© sin

ª() =

R∞

12+1

= arctg |∞ =

2− arctg = arctg 1

8 Ln−2−1

sin 3

o() = L

n−2 sin 3−sin 3

o() =

R∞

³3

(+2)2+32− 3

2+32

´ =

=¡arctg +2

3− arctg

3

¢¯∞= arctg

3− arctg +2

3= arctg

3− +2

3

1+ 3+23

= arctg −62+2+9

9 Ln−2√

o() =

R∞Ln−2√

o() =

R∞

12√

³Γ(12)

(−)12 −Γ(12)

(−)12´ =¡√

− −√− ¢¯∞

=√− −√− (am aplicat formulele 10, 3, si linia 3 din tabel pentru = 12 si am tinut cont ca Γ (12) =

√).

10 00 () + 0 () + () = 0 (0) = 1 0 (0) = 0Aplicam tr. Laplace la ec. de mai sus, notez L{ ()} () = () Atunci L{ ()} () = − 0 () ; L{ 0 ()} () = () − 1

L{ 00 ()} () = − (2 ()− · 1− 0) = −2 ()− 2 0 () + 1

Rezulta:−2 ()− 2 0 () + 1 + ( ()− 1)− 0 () = 0−2 ()− 2 0 () + ()− 0 () = 0¡

1 + 2¢ 0 () = − () 0 () ()

= −12

2

2 + 1

Zln () = −1

2ln¡2 + 1

¢+ ln

() =√2 + 1

Din teorema valorii initiale lim→∞ () = (0+) = 1 rezulta = 1 deci () = 1√2+1

311

Exercitiul 3.2 Sa se deduca formula pentru transformata Laplace a functiilor periodice de perioada si apoi sa se calculeze transformata Laplace aurmatoarelor functii (desenând si graficul functiilor original), având perioada indicata:

1. () = |sin| =

- 83-

2. () = ∈ [0 1) = 13. () =

½2 0 14− 2 1 2

= 2

4. () = sign (sin ()) = 2

Solutii:Daca are perioada atunci scriem integrala din definitia transformatei Laplace ca suma de integrale pe intervale de lungime egala cu

perioada si facem în fiecare integrala schimbare de variabila astfel încât intervalul de integrare sa fie [0 ] :

L{ ()} () =

Z ∞

0

− () =∞X=0

Z (+1)

− () +==

=∞X=0

Z

0

−(+) ( + ) =∞X=0

−Z

0

− () =

=

µZ

0

− () ¶Ã ∞X

=0

−!=

R 0− () 1− −

(Shimbarea de variabila a fost = + , am tinut cont de faptul ca daca este periodica de perioada atunci ( + ) = () pentru oricenumar ∈ N si pentru orice ∈ R. Am folosit si formula pentru suma unei progresii geometrice

P∞=0

= 11− cu = −).

1 Deoarece = formula de mai sus devine: L{ ()} () =

0 − sin 1−− Pentru a calcula integrala de la numarator folosim formulele

lui Euler si obtinem: Z

0

− sin =1

2

Z

0

¡−+ − −−

¢ =

1

2

µ(−)

− − −(+)

−−

¶

=0

=

=1

2

µ−

− +

−−

+

¶− 1

2

µ1

− +

1

+

¶=

=−− − 1

2

µ1

− +

1

+

¶=

1 + −

2 + 2

Înlocuind obtinem: L{|sin|} () = 1+−2+2

1−− =

2+2

cth 2

- 84-

1 2 3 4 5

0.20.40.60.81.0

Grafic pentru |sin ()|

2 L{ ()} () = 11−−

R 10− = 1

1−−³12− −(+1)

2

´|1=0 =

+ 1−

2 (1− )

2 4 6 8

0.20.40.60.81.0

Grafic pentru 2

3 L{ ()} () = 11−−2

³R 102−− R 2

1(2− 4) −

´= = 2

21+−21−−2 =

22cth

2 4 6 8 10

0.5

1.0

1.5

2.0

Grafic pentru 3

4 L{ ()} () = 11−−2

³R 10−− R 2

1−

´=(1−−)2(1−−2) =

1−−(1+)

= 1th

2

2 4 6 8 10

�1.0

�0.5

0.5

1.0

Grafic pentru 4

Pentru inversarea trasformatei Laplace mentionam urmatoarea teorema:

Teorema 3.3 Daca este o functie complexa de variabila complexa care satisface conditiile:- 85-

1. este olomorfa în semiplanul Re 0

2. lim→∞ () = 0, uniform în raport cu arg pentru orice cu Re ≥ 0,

3. integralaR +∞−∞ () este absolut convergenta,

atunci functia definita de formula (Mellin - Fourier):

() =1

2

Z +∞

−∞ () d

este o functie original si L{ ()} () = () Pentru determinarea inversei sunt utile urmatoarele doua teoreme a lui O. Heaviside (vezi [2]):

Teorema 3.4 Daca este o functie rationala cu gradul numaratorului mai mic decât gradul numitorului:

() = ()

()si are radacinile 12 cu ordinele de multiplicitate 1 atunci functia original este data de:

() =X

=1

1

( − 1)! lim→

¡(− )

() ¢(−1)

Remarca 3.1 La aplicarea acetei teoreme se descompune () în fractii simple ("partial fractions") si se determina originalul fiecarei fractiisimple.

Teorema 3.5 Daca () =P∞

=1

(pentru || ) atunci () =

P∞=1

(−1)!

−1 (seria fiind absolut si uniform convergenta pe R+).

3.1.2 Aplicatii

1.2.1 Integrarea unor ecuatii diferentiale cu coeficienti constanti

Fie ecuatia diferentiala liniara neomogena, cu coeficienti constanti:

() () + −1(−1) () + · · ·+ 10 () + 0 () = ()(3.1.2)

- 86-

Ne propunem sa determinam solutia : [0∞)→ R care verifica conditiile initiale: (0) = 0

0 (0) = 1 (−1) (0) = −1(3.1.3)

Pentru aceasta aplicam la ecuatia data transformata Laplace, si notam L{ ()} () = () L{ ()} () = () Aplicând proprietatile (1,6)rezulta ecuatia operatoriala asociata ecuatiei diferentiale (3.1.2) si conditiilor initiale (3.1.3):Ã

X=0

! ()−

−1X=0

Ã−−1X=0

−−−−1!= ()(3.1.4)

Din aceasta ecuatie rezulta

() =

P−1=0

³P−−1=0 −−−−1

´P

=0

+1P

=0 ()

Aplicând la prima fractie teorema 3.4 a lui Heaviside iar la a doua fractie aceeasi teorema si formula convolutiei (13) obtinem solutia ()

Exemplul 3.1 Fie ecuatia oscilatorului liniar:00 () + 2 () = ()(3.1.5)

cu conditiile intiale: (0) = 0

0 (0) = 1(3.1.6)Aplicând metoda de mai sus obtinem ecuatia operatoriala:

(2 + 2) ()− 0 − 1 = ()

de unde:

() =0 + 12 + 2

+ ()

2 + 2Din tabelul de transformate rezulta:

() = 0 cos+1sin+

1

() ∗ sin =

= 0 cos+1sin+

1

Z

0

() sin ( (− )) d =

= sin (+ ) +1

Z

0

() sin ( (− )) d

unde

=

r20 +

³1

´2

: sin =0 cos =

1

- 87-

Exemplul 3.2 Daca în exemplul anterior () = sin () :

1

Z

0

sin () sin ( (− )) d =1

2

Z

0

(cos ( − (− ))− cos ( + (− ))) d =

=1

2

Z

0

(cos (2 − )− cos ()) d =

=1

2

µ1

2sin (2 − ) |==0 − cos ()

¶=

=1

2

µ1

2(sin () + sin ())− cos ()

¶=

=1

22sin ()− cos ()

2

Remarca 3.2 Daca ecuatia e de ordin 2 rezolvarea se face cu urmatorii pasi:

1. Se aplica transformata Laplace, înlocuind functia cu 0 cu − (0) 00 cu 2 − (0) − 0 (0) si membrul drept cu transformataLaplace corespunzatoare.

2. Se rezolva ecuatia în

3. Se descompune în fractii simple si se afla originalul corespunzator fiecarei fractii simple.

Exemplul 3.3 Sa se afle solutia problemei Cauchy:00 ()− 30 () + 2 () = sin (0) = 0 (0) = 0

1. Ecuatia operatoriala:

2 ∗ − 3 ∗ + 2 =1

2 + 1

2. Se rezolva ecuatia de mai sus:

=1

(2 + 1) (−3+ 2 + 2)- 88-

3. Se descompune în fractii simple:

() =310+ 1

10

2 + 1− 1

2 (− 1) +1

5 (− 2)de unde:

() =3

10cos +

1

10sin − 1

2 +

1

52

1.2.2 Integrarea unor sisteme de ecuatii diferentiale liniare de ordin întâi cu coeficienti constanti

Fie un sistem de ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti scris sub forma matriciala:0 () = · () + ()

unde este o matrice patrata de ordin , () este o matrice coloana formata din functiile necunoscute = 1 () o matrice coloana formatadin functii date = 1 Ne propunem sa aflam solutia sistemului care verifica conditiile initiale (0) = 0 = 1 ( 0 va fi matriceacoloana a conditiilor initiale). Aplicam si aci transformata Laplace, si notând matricea unitate de ordin cu transformata Laplace a lui ()cu (), transformata Laplace a lui cu rezulta :

()− 0 = · () + ()

de unde () = −(− )

−10 − (− )−1 ()

Pentru a afla solutia aplicam transformata Laplace inversa si tinem cont de tabelul de transformate, proprietatile (1-13) si teoremele lui Heaviside.

Exemplul 3.1 ½0 = 4+ − 360 = −2+ − 2 (0) = 0 (0) = 1

Solutie: Notez L{ ()} = () L{ ()} = () Aplicând tr. Laplace la sistem:½ ()− 0 = 4 () + ()− 36

2

()− 1 = −2 () + ()− 2−1

Sistemul în si : ½(− 4) ()− () = −36

2

2 () + (− 1) () = 1− 2−1

- 89-

() =

¯ −362

−11− 2

−1 − 1¯

¯− 4 −12 − 1

¯ =

() =

¯− 4 −36

2

2 1− 2−1

¯¯− 4 −12 − 1

¯ =

() = − 1

2 (− 1) (2 − 5+ 6)¡−3 + 392 − 72+ 36¢

() =1

2 (− 1) (2 − 5+ 6)¡4 − 73 + 122 + 72− 72¢

Descompunem în fractii simple:

() =10

− 2 −1

− 1 −8

− 3 −1

+6

2

() =3

− 1 −20

− 2 +8

− 3 +10

+12

2

De unde, folosind tabelul de transformate si proprietatile transformatei Laplace: () = 102 − − 83 − 1 + 6 () = 3 − 202 + 83 + 10 + 12

Exemplul 3.2 Sa se afle solutia problemei Cauchy:0 () = 2 () 0 () = 2 () (0) = 2 (0) = 2

Aplic tr. Laplace: ½ ()− 2 = 2 () ()− 2 = 2 ()

- 90-

de unde: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

() =

2 −22 − 2

− 2 −2−2 − 2

= 2

−4

() =

− 2 2−2 2

− 2 −2−2 − 2

= 2

−4

de unde: () = 24 () = 24

Exemplul 3.3 Sa se afle solutia problemei Cauchy:0 () = 3 () + 4 () 0 () = 4 ()− 3 () (0) = (0) = 1

Aplicând tr. Laplace: ½ ∗ − 1 = 3 + 4 ∗ − 1 = 4 − 3

, rezulta:

=1

2 − 25 (+ 7) =1

2 − 25 (+ 1)de unde:

() =6

55 − 1

5−5 () =

2

5−5 +

3

55

- 91-

4Serii Fourier

4.1 Functii periodice

Definitia 4.1 O functie : → R , ⊂ R se numeste periodica de perioada daca: (+ ) = () ∀ ∈ + ∈

Exemplul 4.1 functia sin () este periodica de perioada 2=

Teorema 4.1 Daca functia este periodica de perioada atunci ea este periodica de perioada ∈ Z Daca este continua si neconstantaatunci exista o perioada 0 astfel încât orice 1 nu este perioada.

Demonstratie: prima afirmatie se demonstreaza prin inductie dupa ∈ N si daca e perioada atunci si − e perioada. A doua afirmatieprin reducere la absurd.

Exemplul 4.2 () = sin (+ ) este periodica de perioada = 2 ( este oscilatie armonica). = 2 se poate scrie si sub forma:

() = sin (+ ) = cos () + sin ()

=√2 + 2 sin =

cos =

Exemplul 4.3

() =

⎧⎨⎩ 1 ∈ Q0 ∈ RQ

are perioada = ∀ ∈ Q

- 92-

4.2 Sistemul de functii trigonometrice

Fie functiile: 1 cos sin cos (2) sin (2) cos () sin () Aceste functii sunt periodice de perioada = 2 Sa calculam :Z

−cos () sin () dZ

−cos () cos () dZ

−sin () sin () d

∈ N . Z

−cos () sin () d =

1

2

Z

−sin ((+ )) + sin (( − )) d =

=1

2

µ−cos (+ )

+ |− −

cos (− )

− |−¶=

=1

2

à − cos(+)+cos(−(+))+

−−− cos(−)+cos(−(−))

−

!= 0 6=

Obs. cos ((+ )) = (−1)+ ; daca = :R − sin (( − )) d = 0

Z

−cos () cos () d

6=

=1

2

Z

−cos ((+ )) + cos ((− )) d

=1

2

µsin (+ )

+ |− +

sin (− )

− |−¶= 0Z

−cos2 () d =

1

2

Z

−(1 + cos (2)) d =

=1

2

µ2 +

sin (2)

2|−¶=

Analog: Z

−sin () sin () d =

⎧⎨⎩ 0 6= =

- 93-

Z

−d = 2

Definitia 4.2 Se numeste serie trigonometrica pe intervalul [− ] seria: () =

02+

∞X=1

cos () + sin ()

unde ∈ R .

Fie : [− ]→ R si presupunem ca avem:

() =02+

∞X=1

cos () + sin ()(4.2.1)

=? =?În (4.2.1) înmultesc egalitatea cu cos () si integrez de la − la :Z

− () cos () d

=

Z

−

0 cos ()

2d+

∞X=1

Z

−cos () cos () d+

Z

−cos () sin () d

= 0 +

de unde rezulta:

=1

Z

− () cos () d(4.2.2)

Analog rezulta:

=1

Z

− () sin () d(4.2.3)

0 =1

Z

− () d(4.2.4)

Definitia 4.3 Seria trigonometrica din membrul drept al egalitatii (4.2.1) cu coeficientii calculati cu formulele (4.2.2), (4.2.3), (4.2.4) se numesteseria Fourier atasata functiei pe [− ]

- 94-

Definitia 4.4 Functia se numeste neteda pe portiuni pe [− ] daca exista un numar finit de puncte 1 2 astfel încât este derivabila pe (− 1) (1 2) ... (−1 ) ( ) si are limite laterale în punctele − 1 2 ( lim→1

1 () = (1 − 0) ,

lim→11

() = (1 − 0) ).

Teorema 4.2 Daca este neteda pe portiuni pe [− ] si notam cu () seria Fourier atasata functiei pe [− ] atunci daca este punct decontinuitate pentru :

() = ()daca ∈ {1 2 }

() = (− 0) + (+ 0)

2iar daca ∈ {− } :

() = ( − 0) + (− + 0)

2

Observatie: se poate demonstra ca in conditile teoremei precedente:lim→∞

= lim→∞

= 0

Exemplul 4.4 Fie () = 2 Sa se determine seria Fourier pe [− ]

Solutie 4.1

0 =1

Z

−2d =

1

3

3|− =

22

3

=1

Z

−2 sin () d = 0

=1

Z

−2 cos () d =

1

4 cos ()

3=4 (−1)

2

Rezulta:

2 =2

3+

∞X=1

4 (−1)2

cos () ∈ [− ](4.2.5)

- 95-

în egalitatea de mai sus = :

2 =2

3+

∞X=1

4 (−1) (−1)2

2 =2

3+ 4

∞X=1

1

2

∞X=1

1

2=

2

6

Teorema 4.3 în conditile teoremei precedente:1

Z

−2 () d =

202+

∞X=1

¡2 + 2

¢

(egalitatea lui Parseval).

Exemplul 4.5 Fie () = 0 0 () = ≥ 0 ∈ [− ] Sa se determine seria Fourier.

Solutie 4.2

0 =

Z

0

d =2

2

=

Z

0

cos () d

= 0 = cos ()0 = 1 = sin()

=

= sin ()

|0 −

Z

0

sin ()

d = −cos ()

2|0 =

= −(−1) − 12

=

⎧⎪⎨⎪⎩ 0 par2

(2+1)2 = 2 + 1

- 96-

=1

Z

0

sin () =

Daca intervalul e [− ] seria Fourier a unei functii este: () =

02+

∞X=1

cos

µ

¶+ sin

µ

¶cu :

=1

Z

− () cos

µ

¶d

=1

Z

− () sin

µ

¶d

Exemplul 4.6 Fie o functie periodica de perioada = 2

() =

½1 0 1−1−1 0

Sa se determine seria Fourier pentru

Solutie 4.3 Functia fiind impara = 0 iar

=1

1

Z 1

−1 () sin

µ

1

¶d =

= 2

Z 1

0

sin

µ

1

¶d = − 2

cos

µ

1

¶|10 =

= − 2

³cos³1

´− 1´=2

(1− cos ())

=2

(1− (−1))

Deci:

() =∞X=1

2

(1− (−1)) sin () 6= ∈ Z

Graficul functiei si a sumei partiale a seriei Fourier cu 25 termeni este:- 97-

4.3 Aproximarea functiilor continue prin polinoame

Fie : [0 1]→ R , continua. Pentru fixat numim polinomul lui S.N.Berstein (1912) de grad asociat functiei :

() () =X

=0

µ

¶ (1− )−

µ

¶

Teorema 4.4 Daca este continua pe [0 1] atunci:lim→∞

max | () ()− ()| = 0

Teorema 4.5 Daca este crescatoare atunci () este crescator.

Teorema 4.6 Daca este convexa atunci () este convex.

4.3.1 Curbe Bezier

Fie ( ) = 0

- 98-

Definitia 4.5 Se numeste curba Bezier corespunzatoare puntelor date curba data parametric:

() =X

=0

µ

¶ (1− )−

() =X

=0

µ

¶ (1− )−

1 = ((1− ) + ) =X

=0

µ

¶ (1− )−

Cele mai utilizate curbe Bezier sunt cele pentru care = 3 (vezi fisierele .ttf)

- 99-

5Exemplu rezolvare exercitii1. Sa se afle solutia generala a ecuatiei:

0 = + + −Rezolvare: ecuatia se poate scrie:

d

d=

¡ + −

¢separând variabilele:

d

+ −= d

integrând: Zd

+ −=

ZdZ

d

2 + 1= Z

d

2 + 1==

Zd

2 + 1= arctan +

solutia generala:arctan + =

= tan ( − )

2. Sa se afle solutia generala a sistemului simetric:d

2 + 2=d

Rezolvare: sistemul dat este echivalent cud− ¡2 + 2¢ d = 0

care este o ecuatie omogena. Se face schimbarea de functie = d = d+ d

d− ¡2 + 2¢ (d+ d) = 0 : 2

d− (1 + 2)d− (1 + 2)d = 0

(1 + 2)d+ 22d = 0 : 22

1 + 2

2d = −d

Z−1+ 2 ln = − ln+ ln

- 100-

Revenind la functia initiala :−+ 2 ln

+ ln = (5.0.1)

3. Sa se afle solutia generala a ecuatiei cu derivate partiale:¡2 + 2

¢ +

= 0

Rezolvare: sistemul caracteristic este cel de la problema precedenta; din solutia generala a sistemului caracteristic (5.0.1) rezulta ca solutiaecuaei cu derivate partiale este:

( ) =

µ−+ 2 ln

+ ln

¶unde este o functie arbitrara , derivabila, de o variabila.

4. Sa se determine functia olomorfa () = (+ ) stiind ca Re = 22 − 22 Rezolvare: Se folosesc conditile Cauchy-Rieman: ( ) =22 − 22 iar ( ) verifica: ⎧⎪⎨⎪⎩

= −

= 4

=

= 4

Din prima: ( ) = 4 + ()

= 4+ 0 () = 4

deci 0 () = 0 de unde = deci ( ) = 4 + adica (+ ) = 22 − 22 + (4 +)

5. Sa se dezvolte în serie Taylor în jurul originii functia () = 1√1+

Rezolvare: se aplica formula binomiala:

(1 + ) = 1 +∞X=1

(− 1) (− + 1)

!

pentru = −12:

() =1√1 +

= 1 +∞X=1

−12

¡−32

¢¡−2−1

2

¢!

6. Sa se calculeze Rez¡

13−1 ; 1

¢ Rezolvare 1 este radacina simpla pentru 3 − 1 = 0 Se foloseste formula de calcul pentru pol simplu:

Rez

µ1

3 − 1; 1¶=

1

32|=1 = 1

3

- 101-

7. Sa se calculeze, folosind reziduuri,R∞−∞

4+1

Rezolvare:Z ∞

−∞

4 + 1= 2

XIm 0

Rez

µ1

4 + 1

¶4 + 1 = 0 : 4 = −1 = cos + sin deci solutiile:

= cos + 2

4+ sin

+ 2

4 = 0 1 2 3

are partea imaginara pozitiva doar pentru = 0 1 rezulta:Z ∞

−∞

4 + 1= 2

µRez

µ1

4 + 1 0

¶+Rez

µ1

4 + 1 1

¶¶Rez

µ1

4 + 1 0

¶=

1

430=

04 (−1) = −

04

analog pentru 1 rezulta: Z ∞

−∞

4 + 1= 2

³−04− 14

´=

= −2(cos (4) + sin (4) + cos (34) + sin (34)) =

= −2

Ã√2

2+

√2

2−√2

2+

√2

2

!=

√2

2

8. Sa se afle, folosind transformata Laplace, solutia problemei Cauchy:00 () + 20 () + () = sin

(0) = 0(0) = 0Rezolvare: se aplica transformata Laplace ecuatiei date L{ ()} () = () ; L{0 ()} () = () − (0) = () L{00 ()} () =2 () ()− (0)− 0 (0) = 2 () L{sin } () = 1

2+1 Obtinem:¡

2 + 2+ 1¢ () =

1

2 + 1

() =1

(2 + 1) (+ 1)2

Se descompune () în fractii simple:

() =+

2 + 1+

+

2=

=1

2 (+ 1)− 12

2 + 1+

1

2 (+ 1)2

- 102-

de unde () =

1

2− − 1

2cos +

1

2−

Bibliografie

[1] Borislav Crstici Si Col. Matematici Speciale. Editura Didactica si Pedagogica, 1981.[2] Caius Iacob Si Col. Matematici clasice si moderne, volume II. Editura tehnica, Bucuresti, 1979.

- 103-