Test de admitere în clasa a V-a la Colegiul Naţional „Vasile Alecsandri” Galaţi

Sesiunea iunie 2017

Varianta 1

Problema 1 (30 puncte = 3´10 puncte) a) Să se calculeze: ( )14 13 4 :11 12+ ´ ´

b) Să se determine numărul natural a din egalitatea: ( )4 160: 14 13 4 :11 12 6a+ + + ´ ´ =é ùë û

c) Să se calculeze diferența dintre cel mai mare și cel mai mic număr natural ab care verifică egalitatea:

( )3 5 3 3 2700ab ba+ ´ + = .

Soluție. a) Avem că ( )( )14 13 4 :11 12 2puncte

14 52 :11 12 2puncte66 :11 12 2puncte6 12 2puncte72 2puncte

+ ´ ´ =

= + ´ =

= ´ == ´ ==

b) Avem că:

( )( )

( )( )

4 160 : 14 13 4 :11 12 6

4 160 : 72 6 1punct

160 : 72 6 4 2puncte

160 : 72 2 1punct72 160 : 2 2puncte72 80 2puncte80 72 1punct8 1punct

a

a

a

aaaaa

é ù+ + + ´ ´ =ë û+ + =

+ = -

+ =

+ =+ == -=

c) Avem că: ( )3 5 3 3 2700ab ba+ ´ + =

( )3 5 3 2700 3ab ba+ ´ = -

( )3 5 3 2697ab ba+ ´ = 1 punct

3 5 2697:3ab ba+ = 1 punct

3 5 899ab ba+ = 1 punct

300 500 899ab ba+ + + = 1 punct

899 800ab ba+ = - 1 punct

99ab ba+ = . 1 punct Deci,

___99

ab

ba

+

de unde obținem că 9a b+ = 1 punct Cel mai mare număr este 90 1 punct Cel mai mic număr este 18 1 punct Răspuns: 90 18 72- = 1 punct Problema 2 (20 puncte = 2´10 puncte)

În două cutii sunt bomboane. Dacă din fiecare cutie se scot câte 7 bomboane, atunci în prima cutie ar fi de 9 ori mai puține decât în a doua, dar dacă în fiecare cutie s-ar adăuga câte 8 bomboane, atunci în prima cutie ar fi de 3 ori mai puține decât în a doua. Să se determine:

a) Numărul bomboanelor din fiecare cutie; b) Câte bomboane ar trebui scoase din a doua cutie și puse în prima, pentru ca în a doua cutie să fie de

7 ori mai puține bomboane decât în prima ? Soluție. a) Prima situație ( 7- bomboane)

1 punct A doua situație ( 8+ bomboane)

4 puncte Comparând ultimele două segmmente corespunzătoare celei de-a doua cutii obținem: 9 segmente 15 3 segmente 45+ = + 2 puncte 9 segmente - 3 segmente 45 15= - 6 segmente 30= 1 segment 30 : 6=

1 segment 5= 1 punct 5+ 7 = 12 ( bomboane în prima cutie) 1 punct 5× 9+ 7 = 52 ( bomboane în a doua cutie) 1 punct b) 52+12 = 64 ( bomboane în total) 4 puncte 64 :8 = 8 ( în a doua cutie, după ce s-au scos bomboanele) 3 puncte 52−8 = 44 ( bomboane s-au scos) 3 puncte

Problema 3 (20 puncte = 10 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b) + 5 puncte pentru c))

Un ogar urmăreşte un iepure care se află la distanţa de 100 metri de el. Săritura ogarului are lungimea de 2 metri, iar cea a iepurelui are lungimea de o treime de metru. Ogarul face 3 sărituri într-o secundă, iar iepurele face 8 sărituri pe secundă. Să se determine:

a) În câte secunde prinde ogarul iepurele;

b) Distanța parcursă de iepure până când a fost prins de ogar;

c) Distanța maximă la care poate să se afle ogarul de iepure pentru a putea să-l prindă în 2 minute.

Soluție. a) Din ipoteză avem că: săritura iepurelui are lungimea de o treime de metru, deci pentru a parcurge un metru iepurele trebuie să facă 3 sărituri. În concluzie, o săritura a ogarului are lungimea cât a 6 sărituri de iepure.

Avansul iepurelui este de 100 metri, ceea ce reprezintă 100 3 300´ = sărituri de iepure 2 puncte

Distanță: 1 săritură de ogar …….………………………….….. 6 sărituri de iepure 3´

Timp: 3 sărituri de ogar ……………….……………….….. 8 sărituri de iepure

Distanță: 3 săritură de ogar …………………………………… 18 sărituri de iepure 2 puncte

În concluzie, la fiecare 3 sărituri efectuate de ogar el recuperează 18 8 10 sărituri- = de iepure 2 puncte

Deci, 300 :10 30= de grupe de sărituri trebuie să efectueze ogarul/iepurele 2 puncte

Ogarul efectuează 30 3 90´ = sărituri până când prinde iepurele și are nevoie de 90 :3 30= secunde până când prinde iepurele 2 puncte

b) Iepurele efectuează 30 8 240´ = sărituri până când este prins de ogar , 3 puncte

deci iepurele parcurge 240 :3 80 metri= până când este prins de ogar 2 puncte

c) Din subpunctul a) deducem că ogarul recuperează 100 m în 30 secunde 2 puncte 2 minute 120 secunde 4 30 secunde= = ´ , deci ogarul poate recupera în 2 minute 4 100 400´ = metri 3 puncte

Metoda a II-a. Avem că 2minute 120 secunde= , de unde rezultă că ogarul face 120 3 360´ = sărituri a căror lungime totală este 360 2 720´ = metri 2 puncte

Iepurele face 120 8 960´ = sărituri a căror lungime totală este 960 :3 320= metri 2 puncte

Distanța maximă la care poate să se afle ogarul de iepure pentru a putea să-l prindă în 2 minute este egală cu 720 320 400- = metri 1 punct

Problema 4 (20 puncte = 10 puncte pentru a) + 5 puncte pentru b) + 5 puncte pentru c))

Se consideră şirul

0,1,2,3,10,11,12,13,20,21,22,23,30,31,32,33,100,101,102,103,....

a) Completaţi şirul cu ȋncă 5 termeni.

b) Câte numere de trei cifre conţine şirul?

c) Ce loc ocupă ȋn şir numărul 3322?

Soluție. a) 110,111, 112, 113, 120 10 puncte

b) Numerele de trei 3 cifre sunt de forma abc , unde a poate lua valorile 1, 2, 3 (3 posibilități) 2 puncte

iar b și c pot lua valorile 0, 1, 2, 3 (4 posibilități) 2 puncte

de unde rezultă că avem 3 4 4 48´ ´ = de numere. 1 punct

c) Numărul 3333 este cel mai mare număr de 4 cifre din șirul dat. 1 punct

În șirul dat avem 4 numere de o cifră, 3 4 12´ = numere de două cifre, 3 4 4 48´ ´ = numere de trei cifre și 3 4 4 4 192´ ´ ´ = numere de patru cifre, deci 3333 este al 4 12 48 192 256+ + + = -lea număr din șir 3 puncte

Avem că, 3322, 3323, 3330, 3331, 3332, 3333, de unde rezultă că 3322 este al 251-lea termen din șir 1 punct