Teorie Mate Clasa a IX A

NOIUNI TEORETICE PENTRU BACALAUREAT M.1 ( CLASA a IX - a )

Formule de calcul222 2)( bababa ++=+222 2)( bababa +=))((22 bababa +=

a ))(( 2233 bababab ++=a ))(( 2233 bababab ++=+(a+b) 32233 33 babbaa +++= (a-b) 32233 33 babbaa +=

Funcia de gradul IDefiniie.f : R R, f ( x ) = ax + b, a 0 , a, b R , se numete funcie de gradul I

Proprieti : Dac a > 0 => f este strict cresctoare Dac a < 0 => f este strict descresctoare

A = )(),( fG f

Funcia de gradul IIDefiniie.f : R R, f(x) = ax 0,2 ++ acbx cu : a, b, c R se numete funcie de gradul II

Maximul sau minimul funciei de gradul II :

Dac a < 0 atunci max(f) realizata

,4max

= pentru x =

ab

2

Dac a > 0 atunci min(f) realizata

,4min

= pentru x =

ab

2

Vrful parabolei V ( ab

2

, )4a

Ecuaia de gradul II :ax 02 =++ cbx

Cu rdcinile : x acba

b 4,2

22,1 =

=

Relaiile lui Viette : xacxx

abx ==+ 2121 ,

Dac 0 ecuaia are rdcini reale.Dac > 0 ecuaia are rdcini reale i diferite.Dac = 0 ecuaia are rdcini reale i egale.Dac


Cazul : a < 0x

ab

2

f(x)a4

Cazul : a > 0x

ab

2

f(x)a4

Semnul funciei de gradul II :

0>X - x 1 x 2

f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

0=X - x 21 x=

f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

0 Im(f) = ( , ]4a

Dac : a > 0 => Im(f) = [ ),4

a

2


Progresii aritmetice.

Definiie. Se numete progresie aritmetic un ir de numere reale a n n care diferena oricror doi termeni consecutivi este un numr constant r, numit raia progresiei aritmetice : a 1,1 =+ nrann .

Se spune c numerele a naa ,,, 21 sunt n progresie aritmetic dac ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Teorem.irul 1)( nna este progresie aritmetic 2,2

11 += + naaa nnn

Termenul general al unei progresii aritmetice : a rnan )1(1 +=

Proprietate : Numerele a, b, c sunt n progresie aritmetic

2cab +=

Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice : S2

)( 1 naa nn

+=

Trei numere x 1 , x 2 , x 3 se scriu n progresie aritmetic de forma :x1 = u r, x 2 = u, x 3 = u + r ; u,r R .

Patru numere x 1 , x 2 , x 3 , x 4 se scriu n progresie aritmetic astfel :x1 = u 3r, x 2 = u r , x 3 = u + r , x 4 = u + 3r, u,r R .

3


Progresii geometrice.

Definiie. Se numete progresie geometric un ir de numere reale b 0, 1 bnn care raportul oricror doi termeni consecutivi este un numr

constant q, numit raia progresiei geometrice: qbb

n

n=

+1 , q 0

Se spune c numerele b nbb ,,, 21 sunt n progresie geometric dac ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice.

Teorem : irul 1)( nnb este progresie geometric 2,11

2 = + nbbb nnn

Termenul general al unei progresii geometrice : b 11 = nn qb

Proprietate : numerele a, b, c sunt n progresie geometric cab = 2

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice : S1

)1(1

=

qqb n

n

, q 1 sau S pentrubnn ,1= q = 1

Trei numere x 321 ,, xx se scriu n progresie geometric de forma :

x 0,,, 321 === qquxuxqu

Patru numere x 1 , x 2 , x 3 , x 4 se scriu n progresie geometric de forma:

x 1 = 0,,,,3

4323 === qquxquxqux

qu

Formule utile :1 + 2 + 3 +

2)1( +

=+nnn

16

)12)(1(2 222 ++=+++ nnnn

1 2333 ]2

)1([2 +=+++ nnn

Modulul numerelor reale.

4

NOIUNI TEORETICE PENTRU BACALAUREAT M.1( CLASA a IX - a )

aaxaax

7. 0),,[],( > aaaxax

8. yxyx ++

Partea ntreag.

1) x = [x]+{x}, Rx , [x] Z i {x} )1,0[

2) [x] x< [x] + 1 [x] = a xa < a+1

3) [ x + k ] = [ x ] + k, ZkRx ,

4) { x + k } = { x }, ZkRx ,

Geometrie vectorial.

5


Definiie :Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeai direcie, acelai sens i acelai modul. Doi vectori se numesc opui dac au aceeai direcie, acelai modul i sensuri contrare :

BAAB =

Definiie :Doi vectori se numesc coliniari dac cel puin unul este nul sau dac amndoi sunt nenuli i au aceeai direcie. n caz contrar se numesc necoliniari.

Teorem : Fie bia doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , exist , )(uniceR astfel nct bav +=

22 )()( ABAB yyxxAB += -modulul vectorului ABlecoordonateyyxxAB ABAB ),( vectorului AB

Mijlocul segmentului AB : x2

,2

BAM

BAM

yyyxx +=+=

Centrul de greutate al triunghiului ABC : x3

,3

CBAG

CBAG

yyyyxxx ++=++=

Adunarea vectorilor se poate face dup regula paralelogramului sau regula triunghiului :

Teorem : Vectorii u i v sunt coliniari R a.i. v = u .Punctele A, B, C sunt coliniare R a.i. AB = ACAB CD R a.i. AB = AC

Produsul scalar a doi vectori .),cos( vuvuvu =

jyixu 11 += , jyixv 22 += 2121 yyxxvu += ,2

12

1 yxu +=

Dac 0, vu , atunci 0= vuvuElemente de geometrie i trigonometrie

Formule trigonometrice. Proprieti.

6


sin Rxxx =+ ,1cos 22-1 Rxx ,1sin -1 Rxx ,1cossin(x+2k xsin) =pi , ZkRx , cos(x+2k

= kRxx ,,cos)pisin(a+b)=sinacosb+sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosb cos(a-b)=cosacosb+sinasinbsin2x=2sinxcosx, cos2x=cos

xx 22 sin

sin xx cos)2

( =pi cos xx sin)2

( =pi

sina+sinb=2sin2

cos2

baba + cosa+cosb=2cos

2cos

2baba + sina-sinb=2sin

2cos

2baba +

cosa-cosb= -2sin2

sin2

baba +

tgx= 0cos,cossin

xxx ctgx= 0sin,

sincos

xxx

tg(x+k tgx=)pi ctg(x+k ctgx=)pitg ctgxx = )

2(pi ctg tgxx = )

2(pi

tg(a+b)= tgatgbtgbtga

+

1 tg(a-b)= tgatgbtgbtga

+

1

sinx =

21

22

2 xtg

xtg

+ cosx =

21

21

2

2

xtg

xtg

+

tg2x=

xtgtgx

212+

Valori principale ale funciilor trigonometrice :

x 06pi

4pi

3pi

2pi pi

23pi pi2

sinx 021

22

23 1 0 -1 0

cosx 123

22

21 0 -1 0 1

tgx 033 1 3 R 0 R 0

7

NOIUNI TEORETICE PENTRU BACALAUREAT M.1( CLASA a IX - a )

ctgx R 3 133 0 R 0 R

Semnele funciilor trigonometrice :

sin : +, +, -, - cos : +, -, -, + tg. : +, -, +, - ctg. : +, -, +, -

Paritatea funciilor trigonometrice :

sin(- x) = - sinx (functie impar )

tg(- x) = - tgx (functie impar ) cos(-x)=cosx ( functie par )

ctg(- x) = - ctgx (functie impar )

8


Teorema sinusurilor :

Cc

Bb

Aa

sinsinsin== = 2R, unde R este raza cercului circumscris

triunghiului.

Teorema cosinusului :

a Abccb cos2222 +=

Aria unui triunghi :

A2hb

= A 2),sin( ACABACAB

=

A ))()(( cpbpapp = unde p= 2cba ++ ( semiperimetrul

triunghiului ).

A2

21 cccdreptunghi

=

A4

32llechilatera =

Raza cercului circumscris unui triunghi :

9


R = S

abc4

, unde S este aria triunghiului.

Raza cercului nscris ntr-un triunghi :

r = pS , unde S este aria triunghiului, iar : p =

2cba ++

( semiperimetrul triunghiului ).

10

Teorie Mate Clasa a IX A

Documents

Transcript of Teorie Mate Clasa a IX A