TEORIA SISTEMELOR AUTOMATETestul de controlabilitate x( t ) R n, A R nxn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ......

TEORIA SISTEMELOR

AUTOMATE

Prof. dr. ing. Valer DOLGA,

Prof. dr. ing. Valer DOLGA 2

Cuprins_11

Proprietatile sistemelor

1. Controlabilitate

2. Observabilitate

3. Stabilitatea

a) Introducere

b) Raspunsul indicial si stabilitatea

c) Criteriul Hurwitz

d) Exemple


Introducere

PROCES TEHNIC

U (t)Y(t)

SAR = sistem de reglare automata:

• determinarea modelului matematic al procesului tehnic;

• obtinerea legilor de reglare necesare

Teoria reglarii:

• clasica

• moderna


Controlabilitate

Termenul de controlabilitate se referă la posibilitatea de a ghida

sistemul dintr-o stare iniţială x spre origine, într-un timp finit, prin

intermediul unei intrări bine definite, u.

)()(

)(

)(

)(

tutx

tx

dt

tdxdt

tdx

+

=

0

1

00

10

2

1

2

1

• Mărimea de intrare u(t) nu are nici un efect asupra variabilei de stare x2(t).

• Pentru o stare iniţială [x1(t), x2(t)]T, se poate alege o mărime de intrare u(t)

care să direcţioneze variabila x1(t) spre zero, pe când x2(t) rămâne

neschimbată;

• Mărimea de stare x1(t) este controlabilă, nu însă şi x2(t).


• Definitie: Un sistem are starea complet controlabila daca oricare ar

fi starea X(t0) poate fi gasit un vector U(t) care sa determine trecerea

sistemului in starea X(t1).

• Dacă toate mărimile din modelul de stare al unui sistem sunt

controlabile, atunci sistemul este complet controlabil.

• Absenţa controlabilităţii complete nu este sesizabilă în funcţia de

transfer, ci doar în modelul de stare.

• Controlabilitatea are un rol important în numeroase probleme de

reglare, cum ar fi stabilizarea unui sistem instabil prin feedback sau prin

control optimal.

• Controlabilitatea este o proprietate intrinseca a sistemelor, invarianta

fata de forma ecuatiilor matriceale de stare.


Testul de controlabilitate

nxnn RARtx ,)(

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxdt

tdx

+=

+=

Modelul este complet controlabil, dacă şi numai dacă matricea de

controlabilitate a sistemului, ΓC[A, B], definită de relaţia are rang

de linie complet (rangul matricii este egal cu numărul liniilor).

BABAABBBA n

c

12 ...],[ −=


Ce este rangul unei matrici ?

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

..

........

..

..

21

22221

11211Rangul matricii A = ordinul maximal

al minorului diferit de zero

−−

−

−−

−

=

54474

13110

24121

01342

A

012

342

−

−=D

1

110

121

342

3 =

−

−

−

=D

D4=0

Rang (A)=3


Exemplu_1

Sa se verifice controlabilitatea sistemului pentru care se cunosc

matricile:

=

=

0

1

00

10BA ,

=

+

+==

00

01

00100

01101],[ ABBBAc

1= )( cRang

Numărul liniilor matricii de controlabilitate a sistemului este 2

sistemul nu este complet controlabil


Exemplu_2

R1

C1

R2

R3

C3

AO

+

- Vi

Ve

V+

V-

)()( 11 titx R=

)()( 32 tVtx C=Variabile de stare

Care sunt conditiile care asigura controlabilitatea ?


( )+−= VVdt

dCi iC 11

1

1R

VVi iR

+−=

2

2R

ViR

+=

121 RRC iii −=

R1

C1

R2

R3

C3

AO

+

- Vi

Ve

V+

V-


( ))(

1)(

)(

211

1

211

211 tVRRC

tiRRC

RR

dt

tdiiR

R ++

−=

)()()( 11 tVtiRtV iR +−=+

)(1

)(1)(

3333

3

3tV

CRtV

CRdt

tdVC

C−+−=

)()( 3 tVtV Ce =


=

+

−−

+−

=

)(

)(10)(

)(1

1

)(

)(0

)(

)(

3

1

33

211

3

1

33

1

33

1

211

21

3

1

tV

titV

tV

CR

RRC

tV

ti

CR

R

CR

R

RRC

RR

dt

tdVdt

tdi

C

R

e

i

C

R

C

R

( )( )( )( )

+−

+−

==

12

2

33

3312

33

2

211

31

211

1

1

,

CRCR

CRCR

CR

RCR

RR

RCRABBBAC

( )( )

( )33112

21321

2,det CRCRCCRRR

RBAC +−=

Sistemul este controlabil daca 3311 CRCR


Observabilitatea starii

Definitie: un sistem liniar se numeste observabil dupa stare daca

vectorul de stare X(t) poate fi completat determinat pe baza vectorului

Y(t) si a vectorului de intrare U(t).

=

−

−=

)(

)(01)(

)(

)(

11

01

2

1

2

1

2

1

tx

txty

tx

tx

dt

dxdt

dx

y(t) – este determinat de x1(t) dar nu este influentat de x2(t)

Sistemul nu este complet observabil


iesire)de(ecuatia

stare)deladiferentia(ecuatia

uDxCy

uBxAdt

dx

+=

+=

=

1-n

O

CA

...

CA

C

CA,Γ

Sistemul este complet observabil daca rangul matricii este egal cu

numarul coloanelor


Exemplu_3

11

1

1

01

22

−=

=

−=

C

B

A

2301

2211 −=

−−=CA

Sistemul este complet observabil.

( ) 0det

23

11

−

−=

=

CA,Γ

CA

CCA,Γ

O

O


Exemplu_4

R3

C3

Vi

AO

+

-

V-

Ve

R1

C1

R2

V+

)()( 31 tVtx C=

)()( 12 titx R=

)(1

)(1)(

3333

3

3tV

CRtV

CRdt

tdViC

C +−=

)()( 3 tVtV C=+


( ))(

1)(

)(

211

1

211

211 tVRRC

tiRRC

RR

dt

tdiR

R−+

+−=

)()()( 11 tVtiRtV iRe +−=

−=

+

+−

−

=

)(

)(0)(

)(

0

1

)(

)(

1

01

)(

)(

1

3

1

331

3

211

21

121

33

1

3

ti

tVRtV

tVRCti

tV

RRC

RR

CRR

CR

dt

tdidt

tdV

R

C

e

i

R

C

R

C


+

−−

−

=

=

21

21

1233

1

11

1

,

RC

RR

CRCR

R

BACA

CΓ

O

( ) ( )3311

313

1det CRCR

CCR+−=BA,Γ

O

3311 CRCR


Stabilitatea. Introducere

Destinaţia sistemelor automate:

• a menţine o anumită mărime, numită mărime reglată, la o valoare

constantă;

• de a o varia marimea reglata după o lege anume, în condiţiile în care,

fie că variază mărimea perturbatoare ce acţionează asupra sistemului,

fie mărimea de intrare.

• dacă la varierea mărimii de intrare, sau la acţiunea unei

perturbaţii, sistemul nu revine în stare staţionară, el este instabil.

• dacă un sistem automat este slab stabil, o mică modificare a unui

parametru al sistemului l-ar putea împinge peste „graniţă”, în zona de

instabilitate;

• intenţia este de a proiecta sisteme cu o anumită rezervă („margine”)

de stabilitate. De aceea, e necesară şi o „măsură a stabilităţii”.


Mm Mr

M

Ω Ω0

M0

1

2

3

4 43

21

MM

MM

A

A – punct de functionare stabila


Mr Mm

M

Ω Ω0

M0

1

2

3

4 43

21

MM

MM

B

B – punct de functionare instabila


Raspunsul indicial al sistemului si

stabilitatea

• un mod general de a caracteriza stabilitatea sau instabilitatea

sistemului este analiza răspunsului la semnal treaptă unitară („răspunsul

indicial”);

• sistemul automat căruia i se aplică la intrare un semnal treaptă

unitară este stabil, dacă componenta tranzitorie a răspunsului se

anulează.

−

= = −+

−+==

in

k

i

qq

i

q

k

k

ss

C

ss

C

s

C

s

sGsH

1 1

0

)(

)()(

G(s) – o functie de transfer


)()()( thhth t+=

Componenta de

regim stabilizat

Componenta de

regim tranzitoriu

tsi

i

in

k

ts

k

- ik etAAeCCsHth )....()]([)(1

1

1

0

1 −−

=

++++== L

)()( tSCh 10 ==

tsi

i

in

k

ts

k

-

tik etAAeCsHth ).....()]([)( 1

1

1

1 −−

=

+++== L


• Componenta tranzitorie se anulează numai dacă fiecare din

componentele sale se anulează:

0....21 === tsts ee

• Stabilitatea sistemului depinde de semnul rădăcinilor ecuaţiei

caracteristice, adică de semnul valorilor care anulează numitorul

funcţiei de transfer, adica de polii funcţiei de transfer.

;; kkkkkk jsjs −=+= +1

Forma generala a polilor:

Re Im


sk+1

sk

-s k

s

j?

t

xetk

-s k

s

j?

t

xetk

Ck

Ck

sk+1

sk

s k

s

j?

t

xetk

Ck

s

j?

t

xetk

Ck

sk=-s k

sk=-s k

a)

b)

c)

d)

Dacă toţi polii funcţiei de transfer sunt complex conjugaţi şi

au partea reală negativă, (adică σk<0), deci sunt localizaţi în

semiplanul stâng al planului s, sistemul este stabil (cazul a); la

acţiunea unei perturbaţii, efectuează oscilaţii amortizate


sk+1

sk

-σk

σ

jω

t

xetk

-σk

σ

jω

t

xetk

Ck

Ck

sk+1

sk

σk

σ

jω

t

xetk

Ck

σ

jω

t

xetk

Ck

sk=-σk

sk=-σk

a)

b)

c)

d)

Dacă toţi polii funcţiei de transfer sunt reali (adică

ωk=0) şi sunt negativi (adică σk<0), sistemul este de

asemenea stabil; amortizarea componentei tranzitorii

se realizează fără oscilaţii (cazul b);

Atât în cazul a, cât şi în cazul b, durata regimului

tranzitoriu este determinată de existenţa componentei xetk

cu | σk| cel mai mic, adică polii cei mai apropiaţi de axa jω,

numiţi poli dominanţi


sk+1

sk

-σk

σ

jω

t

xetk

-σk

σ

jω

t

xetk

Ck

Ck

sk+1

sk

σk

σ

jω

t

xetk

Ck

σ

jω

t

xetk

Ck

sk=-σk

sk=-σk

a)

b)

c)

d)

Dacă din cei n poli, cel puţin o pereche are σk>0, sistemul

este instabil; el efectuează oscilaţii cu amplitudine

crescătoare, teoretic, până la infinit (cazul c).


sk+1

sk

-σk

σ

jω

t

xetk

-σk

σ

jω

t

xetk

Ck

Ck

sk+1

sk

σk

σ

jω

t

xetk

Ck

σ

jω

t

xetk

Ck

sk=-σk

sk=-σk

a)

b)

c)

d)

Dacă din cei n poli, cel puţin unul este real şi pozitiv,

(σk>0, ωk=0), atunci sistemul este de asemenea instabil,

dar amplitudinea componentei tranzitorii tinde la infinit

fără oscilaţii (cazul d)


sk=0, (poli în origine), sau cel

puţin o pereche de poli complex

conjugaţi au σk=0 (poli pe axa

imaginară) şi restul de poli au σ<0

În primul caz (sk=0), după

amortizarea celor n-1 componente,

componenta tranzitorie rezultantă

este

ktkt Chth ==)(

Stabil neutru :

sistem inutil

+jωk

σ

jω

t

xetk

σ

jω

Ck

sk=0

b

a

-jωk

)sin()( kkkt tCth +=

Stabil

neutru


OBS.

Pentru ca sistemul automat să fie stabil, este necesar şi suficient ca toţi

polii funcţiei de transfer să fie localizaţi în semiplanul stâng al planului

complex s.

Determinarea polilor funcţiei de transfer a sistemului automat nu este

totdeauna o operaţie simplă.

Este necesară formularea unor criterii de stabilitate practice, care să

permită rezolvarea problemei de stabilitate conform criteriului general,

fără a fi necesară cunoaşterea polilor funcţiei de transfer;

Trebuie determinată influenţa asupra stabilităţii a diferitelor constante

fizice ce caracterizează sistemul.

Se cere de asemenea determinarea modului în care pot fi modificate

diferite constante fizice ale sistemului, astfel încât, stabil fiind, sistemul

să funcţioneze cu anumiţi parametri de calitate în regim tranzitoriu şi

staţionar.


Criteriul Hurwitz

• criteriul de stabilitate Hurwitz se bazează pe relaţia care trebuie să

existe între coeficienţii unei ecuaţii diferenţiale, pentru ca rădăcinile

acesteia să fie localizate în semiplanul complex stâng.

• este de tip algebric şi se mai numeşte „criteriul coeficienţilor”.

01

1

1210 ...))...()(()( asasassssssssP n

n

n

n +++=−−−= −

−

Fie numitorul funcţiei de transfer, P0(s) şi rădăcinile acestuia, s1, s2, ...sn

kkk

kkk

js

js

−−=

+−=

+1

22

1 )()]()][([ kkkkkkkk sjsjsss ++=−−−+−−= +

0ka Conditie necesara pentru stabilitate dar nu si

suficienta


????

????

????

????

????

4

3

2

1

−

−

−

−

=

n

n

n

n

a

a

a

a

H

• se formează diagonala principală din coeficienţii de la an-1 la a0

• se completează coloanele în celulele superioare diagonalei cu

coeficienţi în ordine descrescătoare, iar în celulele inferioare diagonalei

principale, cu coeficienţi în ordine crescătoare;

• în locul coeficienţilor ai căror indici sunt mai mici ca zero, sau mai

mari ca n, se scrie valoarea zero;

• se construiesc toţi determinanţii minori de nord-vest, adică acei minori

care au linia superioară şi coloana din stânga în coincidenţă cu cele ale

determinantului Hurwitz


42

531

642

7531

0

0

−−

−−−

−−−

−−−−

=

nnn

nnn

nnnn

nnnn

aaa

aaa

aaaa

aaaa

H

31

42

531

3

2

312

11

0 −−

−−

−−−

−

−−

−

=

=

=

nn

nnn

nnn

nn

nn

n

aa

aaa

aaa

H

aa

aaH

aH • Dacă toţi determinanţii minori H1,...Hn

sunt pozitivi, atunci toate rădăcinile ecuaţiei

P0(s)=0 sunt localizate în semiplanul stâng al

planului complex s.

• Sistemul având funcţia de transfer

este stabil

)(

)()(

sP

sQsG

0

0=


Exemplu_1

))(()( 111 223 ++=+++= ssssssP

• Cerinţa privind valorile strict pozitive ale tuturor coeficienţilor ak

este respectată:

1111 0223 ==== aaaa ,,,

110

011

011

0

0

0

02

13

02

==

aa

aa

aa

H

011

11

1

13

022

21

===

==

aa

aaH

aH

Deoarece minorul de ordinul doi, H2, nu respectă cerinţa de a fi strict

pozitiv, sistemul nu este stabil !!!


( )( )11

1)(

2 ++=

sssG

( )( )11

1)()(

2 ++==

ssss

sGsH


( )( )11)(

21++

=ss

ssG

( )( )11

1)()(

2

1

++==

sss

sGsH


Exemplu_2

12162

2

234 −−++

−=

ssss

ssG )(

)2s)(1s)(2s)(3s(12s16ss2s)s(P 234 −+++=−−++=

Criteriul Hurwitz

•coeficienţii a1 şi a0 sunt negativi !!!

2123 4321 +=−=−=−= ssss ,,,

• Aplicând criteriul general de stabilitate, rezultă că sistemul este

instabil, deoarece are un pol pozitiv, la s=2

280

1620

1211

0162

1816211

162

2

12110

01620

01211

00162

3

2

1

−=

−

−

−

=

=+=−

=

=

−

−

−

−

=

H

H

H

H

280

1620

1211

0162

1816211

162

2

12110

01620

01211

00162

3

2

1

−=

−

−

−

=

=+=−

=

=

−

−

−

−

=

H

H

H

H

Valoare

negativa

Sistem instabil


Dacă se simplifică însă funcţia de transfer prin s-2, deoarece s=2 este şi

un pol şi un zero, se obţine

6116

1

23 +++=

ssssG )(

• Aceasta are toţi coeficienţii numitorului ak pozitivi

60666111

66

6

660

0111

066

2

1

=−==

=

=

H

H

H

Sistemul pare stabil; în realitate, prin simplificarea unui pol cu un

zero, s-a pierdut informaţie din funcţia de transfer


Exemplu_3

1001023 23 +++=

sss

SsG )(

Ce valoare trebuie să aibă sensibilitatea mecanică S a sistemului

deschis, pentru ca sistemul cu feed-back unitar să fie stabil?

1102102 321 −=−−=+−= sjsjs ,,

s1

s2

s3

Im

Re


Ssss

S

sG

sGsGcl

++++=

+=

10010231 23)(

)()(

Coeficientii trebuie sa fie pozitivi:

Sa += 1000 100−S

SSS

H

H

S

S

H

−=−−=+

=

=

+

+

=

2061003061021

1003

3

10030

01021

01003

2

1 206S

206100 − S


S = -100 S = 207S = 100

TEORIA SISTEMELOR AUTOMATETestul de controlabilitate x( t ) R n, A R nxn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ......

Documents

Transcript of TEORIA SISTEMELOR AUTOMATETestul de controlabilitate x( t ) R n, A R nxn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ......