Teoria haosuluiTeoria haosuluisauteoria sistemelor complexeeste o ramur amatematiciiifiziciimoderne care descrie comportamentul anumitorsisteme dinamiceneliniare, a acelor sisteme care prezint fenomenul de instabilitate numit sensibilitate fa de condiiile iniiale, motiv pentru care comportamentul lor pe termen relativ lung (dei se conformeaz legilordeterministe) este imprevizibil, adic aparent haotic (de unde i denumirea teoriei).Teoria haosului a fost formulata deEdward Lorenzn 1960. Savantul spunea, "Un fenomen care pare a se desfura la ntmplare, are de fapt un element de regularitate ce ar putea fi descris matematic." In termeni mai simpli, exist o ordine ascuns n orice evoluie aparent haotic a oricrui sistem dinamic complex.Numele deTeorie a Haosuluivine de la faptul ca n sistemele descrise de aceasta exist o dezordine aparent. Teoria haosului este un domeniu de studiu nmatematic,fizic,economieifilozofiei se ocup cu studierea comportamentului sistemelor dinamice care sunt foarte sensibile fa de conditiile iniiale. Aceasta sensibilitate mai este numita iefectul fluturelui. Mici modificri ale condiiilor iniiale (cum ar fi rotunjirea numerelor cu care se lucreaz) au ca efect rezultate haotice, facnd ca anticiparea efectelor pe termen lung sa fie imposibil. Acest lucru se ntampl chiar daca sistemele sunt deterministe, ceea ce nseamna c comportamentul lor viitor este determinat n ntregime de condiiile iniiale, fr intervenia altor elemente aleatorii. Cu alte cuvinte, natura determinist a acestor sisteme nu le face predictibile. Acest comportament este cunoscut sub denumirea de haos determinist.Comportamentul haotic a fost observat n laborator pe o varietate de sisteme care include circuite electrice, lasere, reacii chimice oscilante, dinamica fluidelor i aparate magneto-mecanice i mecanice, dar i n simulri virtuale ale proceselor haotice. Una dintre aplicaiile cele mai de succes a teoriei haosului este n ecologie, unde sistemele dinamice de genul modelului lui Ricker au fost folosite pentru a arata cum creterea populaiei n raport cu suprafaa ocupat duce la o dinamica haotic.Sistemele complexe sunt sistemele care conin att de multe elemente n micare nct e nevoie de un calculator care s calculeze toate posibilitile de interaciune. Acesta e motivul pentru care Teoria Haosului nu avea cum sa apara inainte de sfritul secolului al XX-lea. Mai exist un alt motiv pentru care aceasta teorie a aparut att de recent, acel motiv e Revoluia Mecanicii Cuantice i felul n care a terminat Era Determinist.Pn la apariia mecanicii cuantice, oamenii credeau c fenomenele sunt cauzate de alte fenomene i c tot ce se duce n sus trebuie s vin n jos, i numai prin descoperirea i etichetarea fiecrei particule dinUniversam putea s cunoatem tot ce urma s se ntmple. Sisteme ntregi de gndire au fost bazate pe aceasta idee i din nefericire nc sunt.Atunci cndSigmund Freuda inventat psihanaliza, el a pornit de la ideea ca problemele mentale sunt rezultatul unor traume din trecut. Regresia permitea pacientului s i strbat amintirile, s gseasc i s nfrunte problema. Toata aceast idee se baza pe o cauz i un efect liniar.Teoria Haosului ne arat c natura lucreaz dup anumite tipare care sunt suma mai multor impulsuri mrunte.n 1960,Edward Lorenza creat un model meteorologic pe unul din calculatoarele Universitii dinMassachusetts. Modelul meteorologic al lui Lorentz era compus dintr-o serie larga de formule complexe. Colegii i studenii au rmas uimii n faa modelului, deoarece acesta nu parea s repete nici o secven, era ct se poate de asemntor cu vremea real. Unii oameni chiar au sperat c dac vor fi introduse nite date meteorologice, care s fie n concordan cu vremea de afar, modelul s-ar transforma ntr-un adevrat profet.ntr-o zi, Lorentz a schimbat modul de lucru al modelului. A lsat programul s ruleze anumii parametri n baza crora s genereze un anumit tipar meteorologic pentru a putea s observe mai bine finalitatea procesului. Dar n loc s lase programul s ruleze cu setrile iniiale i s calculeze rezultatul, Lorentz a decis s opreasc i apoi s porneasc programul de la jumtatea secventei de rulare prin introducerea valorilor pe care programul le calculase mai devreme si l-e tiprise. Dar imprimanta putea s tipreasc doar ultimele 3 zecimale. Deci n loc s introduc exact aceleai numere cu 6 zecimale calculate de masina (care tineau loc de vant, soare, etc.), Lorentz a introdus numere cu doar 3 zecimale. Aceast inexactitate aparent minor a fost amplificat i a dat peste cap ntreg sistemul. Aceast exactitate este foarte important. Vremea reprezint comportamentul tuturor moleculelor care formeaza atmosfera. Principiul Incertitudinii ne impiedic s localizm cu exactitate o particul, acesta este motivul pentru care previziunile meteorologice nu sunt valabile mai mult de 2-3 zile, i totodat acesta e motivul pentru care ele sunt simple aproximari ale situaiei din acel moment. Prin prisma ideilor convenionale ale acelei vremi, Lorenz nu fcuse nimic gresit. El ar fi trebuit s obin un rezultat destul de asemntor cu cel precedent. Un cercettor se poate considera norocos dac msurtorile sale au o acuratee de 3 zecimale. i e evident c cea de a 5-a si cea de 6-a zecimala sunt imposibil de msurat prin metode rezonabile i totodat c aceste valori att de mici nu au cum s influeneze rezultatul experimentului. Lorentz a demonstrat c aceast idee e greit.Teoria Feingold-PeresLucrarea de doctorat a profesoruluiMario Feingold, sub conducerea profesoruluiAsher Peresde laTechnionuldinHaifaa dus la lansarea teoriei Feingold-Peres despre distribuia de elemente matri n sisteme haotice[1].Efectul fluturelui

Un exemplu de soluie a atractorului LorenzEfectul se refer la diferena dintre punctele de pornire ale celor dou curbe din grafic, care este att de mic nct poate fi comparat cu btaia aripilor unui fluture."Micarea aripilor unui fluture azi poate produce o mic schimbare a atmosferei. Din aceast cauz i de-a lungul unei anumite perioade de timp, atmosfer se va schimba. Peste o luna poate, o tornad care trebuia s loveasc coasta Indoneziei nu va mai aprea. Sau din contr, tocmai din aceast cauz va aprea."Acest fenomen este cunoscut mai ales pentru dependena sa de condiiile iniiale. Cea mai mic schimbare a condiiilor iniiale duce la rezultate complet diferite. Aceast schimbare poate proveni de la zgomot experimental sau de fond, lipsa de acuratee a instrumentelor etc. Acest gen de probleme sunt imposibil de evitat, chiar i n cel mai performant i dotat laborator existent. Dac se folosete ca baz a experimentului numrul 2, rezultatul va fi complet diferit fa de experimentul n care este folosit 2.0000001. Un asemenea nivel de acuratee este practic imposibil de exemplu, este dificil de msurat 0.0000001cm.Un exemplu de sistem complet dependent de condiiile iniiale este aruncarea unei monede. Exist dou variabile n aruncarea unei monede: ct de repede lovete pmntul i ct de repede se rotete. Teoretic, este posibil s se controleze aceste variabile, reuind astfel s se stabileasc ce fa va cdea n sus. Practic ns, este imposibil de controlat n mod exact viteza de rotaie a monedei i nlimea la care e aruncat. Este posibil s se stabileasc o medie ai acestor parametri, dar este imposibil ca n baza lor s se fac estimri exacte asupra rezultatului final. Aceast problem poate fi regsit nbiologiela estimarea populaiilor biologice. Ecuaia ar fi simpl dac acele populaii doar ar crete, dar efectul prdtorilor i a rezervei limitate de hran schimb totul.Exemple de sisteme haoticeCele mai multe fenomene, procese din natur, au la baz transformri neliniare: Principalele aspecte ale Teoriei Haosului sunt:cea mai mic schimbare a parametrilor initiali va produce un comportament complet diferit al acelui sistem complex.

principiul incertitudinii neag acurateea. De aceea situaia iniial a unui sistem complex nu poate fi determinat cu precizie, prin urmare nici evoluia unui sistem complex.

sistemele complexe, de obicei, incearca sa ajung ntr-o anumita situaie. Acea situaie poate fi static (Atractor) sau dinamic (Atractor Straniu).

Curba lui KochUn alt matematician,Helge von Koch, a creat o construcie matematic numit Curba lui Koch. Pentru a crea curba lui Koch, imaginai-v un triunghi echilateral. Adugai pe fiecare latur un alt triunghi echilateral i continuai s adaugati pe fiecare din laturile triunghiurilor un alt triunghi echilateral, ceea ce rezult e o curb Koch. Orice parte a ei, marita, arata exact ca originalul. Aceasta e o figur autosimilar. Curba lui Koch prezinta un paradox interesant. De fiecare dat cnd un nou triunghi este adaugat la figura central, lungimea liniei crete. Dar aria interioar a curbei lui Koch rmne mai mic dect aria unui cerc desenat in jurul triunghiului original. n esen, este o linie de o lungime infinit ce nconjoar o zon finit.FractaliiPentru a putea depi aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensiunile fractale. Cuvntulfractalprovine din cuvntul fracional. Un fractal este o figur geometric fragmentat sau franta care poate fi divizata in parti, astfel nct fiecare dintre acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie miniaturala a ntregului. Dimensiunea fractal a curbei lui Koch e de 1.26. O dimensiune fractionala e imposibil de perceput, dar are sens. n comparatie cu o simpla linie sau curba, care au o singura dimensiune, curba Koch e brut i ncreit. De aceea ea ocup spaiu mai uor, dar nu il poate umple asemenea unui ptrat cu doua dimensiuni, deoarece nu are arie. Prin urmare dimensiunea curbei Koch e undeva ntre cele doua. Termenul de fractal a ajuns s descrie orice imagine care prezint atributul de auto-similaritate.Mai trziu, un cercettor pe numeFeigenbaumstudia bifurcaiile unei diagrame i ncerca s ii dea seama ct de repede apar acele bifurcaii. A reusit s i de-a seama c au o vitez de apariie constanta. El a calculat-o la 4.669, cu alte cuvinte, a descoperit scara la care diagrama devenea auto-similar. Dac se micora diagrama de 4.669 ori, ea ar fi artat ca una din regiunile bifurcaiei. A decis s studieze si celelalte ecuaii cutnd un factor de scalare a lor. Spre surpriza sa, factorul de scalare era acelai. Nu numai c aceast ecuaie complicat ddea dovada de regularitate, dar regularitatea era identic cu cea a unei ecuaii mult mai simple. Aceasta era o descoperire revoluionar. El a descoperit c o ntreag clas de funcii matematice se comportau n acelasi fel. Aceast universalitate putea s i ajute pe ali cercettori care studiau ecuaiile haotice. Universalitatea oferise cercettorilor unealta necesara pentru a studia sistemele haotice. Acum ei puteau utiliza o simpl ecuaie pentru a afla rezultatul unei ecuaii mai complexe. Structurile fractale au fost observate i n alte locuri n afara minii unui matematician. Vasele de snge care se ramific, ramurile unui copac, structura intern a plmnilor, graficele de la burs, etc. Toate acestea au un singur lucru n comun: auto-similaritatea.ExempleVremea, nmeteorologie

Pendululdublu

Pendulul magnetic

Problema celor trei corpuri

Ritmul cardiac

Turbulena, nmecanica fluidelor

Reacia Belousov-Jabotinski(en), nchimie

Dinamica populaiei, mai ales n cazul speciilor slbatice, asimilabile modelului "prad - prdtor"

Transformarea "dublare - njumtire", n cazul sistemelor discrete

Cursul bursier