Teoreme Laurian.doc

8/9/2019 Teoreme Laurian.doc

1/16

Punctul lui Gergonne1

Dacnatura n-ar fi att de minunatnici n-ar merita so cunoatem,iar viaa n-ar merita sfie trit. Am n vedere nu frumuseeacare i sare n ochi, ci acea frumusee profundcare se dezvolt n armonia componentelor sale i este accesibil numai raiunii.Frumuseea intelectualofersatisfacie prin sine nsi. Henri Poincar2

1) ntr-un triunghi ABCdreptele care unesc vrfurile triunghiului cu punctele de contact ale cercului

nscris cu laturile opuse sunt concurente.Demonstraie.Fie , ,a b cC C C punctele de tangendintre cercul

nscris n triunghiulABCi laturile BC, AC respectiv AB (Fig.1). Cum ,a cBC BC= a bCC CC = i ,b cAC AC= avem:

1a b c

a b c

C B C C C A

C C C A C B = , iar din reciproca teoremei lui Ceva rezult

cdreptele ,a b

AC BC ic

CC sunt concurente.

Punctul de concuren al dreptelor ,a bAC BC i cCC se

numetepunctul lui Gergonne.

2) Dac ( ) este punctul lui Gergonne al triunghiului ABC,iar a b cC C C triunghiul su de contact, atunci

( )

( )( )a

A a p a

C p b p c

=

,

( )

( )( )b

B b p b

C p c p a

=

,

( )

( )( )c

C c p c

C p a p b

=

.

Demonstraie. Din teorema lui Van-Aubel rezult c b

c c b

AC ACA p a p a

C C B C C p b p c

= + = + =

( )

( )( )

a p a

p b p c

.

Analog se demonstreazi celelalte douegaliti.

3) Consecin. Este adevratrelaia:4

a b c

A B C R

C C C r

=

.

Demonstraia este imediat innd cont de teorema precednt i de formulele

[ ] ( )( )( ) 4ABCabcA p p a p b p c prR

= = = .

4) Dac ( ) este punctul lui Gergonne al triunghiului ABC, atunci pentru orice punct M din planul

triunghiului ABC este adevrat egalitatea:1 1 1 1

M MA MB MCs p a p b p c

= + +

, unde

1 1 1s

p a p b p c= + +

.

Demonstraie. Din( )

( )( )a

A a p a

C p b p c

=

rezult

( )( )( )

( )1

( )( )

a

a p aMA MC

p b p cM

a p a

p b p c

+

=

+

(1), dar a

a

BC p b

C C p c

=

de

unde( ) ( )

1a

p bMB MC

p c MB p b MCp cMC

p b a

p c

+

+ = =

+

(2). Din relaiile (1) i (2) rezultconcluzia.

1Joseph Gegonne (1771-1859) matematician francez, fondator al revisteiAnnales de Mathmatiquesn 18102Henri Poincar (1854 -1912) matamatician i fizician francez, contribuii importante n toate ramurile matematicii

A

BCaC

bC cC

Fig. 1


2/16

5) Coordonatele baricentrice relative ale punctului lui Gergonne sunt1 1 1

, ,p a p b p c

.

Demonstraia rezultdin proprietatea precedent.

6) Fie , ,A B Cz z z sunt afixele vrfurilorA,B,C ale triunghiului ABCde laturi a,b,c. Afixul punctului lui

Gergonne corespunztor triunghiuluiABC este egal cu1 1 1

1 1 1

A B Cz z zp a p b p c

z

p a p b p c

+ +

=

+ +

.

Demonstraia rezultdin proprietatea (2).

7) Punctul lui Gergonne ( )al triunghiului ABCeste punctul simedianal triunghiului de contact altriunghiuluiABC.Demonstraie. Fie a b cC C C triunghiul de contact al triunghiului ABC i { } a b cAC BC CC = .

Deoarece simediana dintr-un vrf al unui triunghi conine punctul de intersecie al tangentelor la cerculcircumscris duse n celelalte dou vrfuri ale triunghiului (vezi Simediane), rezult c

aC A ,

bC B i

cC Csunt simediane n triunghiul a b cC C C , deci punctul lor de intersecie , este punctul lui Lemoine al

triunghiului de contact a b cC C C .

8) Punctele lui Gergonne( ) i Nagel ( )N ale triunghiului ABCsunt puncte izotomice.

Demonstraie.Fie a b cC C C triunghiul de contact al triunghiului ABCi aD , bE , cF punctele de tangen

ale cercurilor exnscrise cu laturile BC, CA , respectiv AB . Deoarece a aBD CC p c= = , rezult c

punctele aD i aC sunt simetrice fade mijlocul laturii BC. Analog, punctele bE i bC , respectiv cF i

cC sunt simetrice fade mijloacele laturilor AC, respectiv AB . Deci punctele de concurenale dreptelor

( , , )a b c

AC BC CC i ( , , )a b cAD BE CF adic punctul lui Gergonne, respectiv punctul lui Nagel sunt

izotomice.

9) Fie ABC un triunghi neisoscel, a b cC C C triunghiul su de

contact,{ '} b cA C C BC= ,{ '} a cB C C AC= , { '} a bC C C AB= .Punctele 'A , 'B , 'C sunt coliniare.Demonstraie. Teorema lui Menelaus aplicat n triunghiulABC (Fig. 2) pentru transversalele ( ', , )

c bA C C , ( ', , )

c aB C C , respectiv

( ', , )a b

C C C d:'

1'

c b

c b

C A C C A B

A C C B C A = ,

'1

'a c

a c

C B C AB C

B A C C C B = i

'1

'a b

a b

C B C C C A

C B C C C A = , de unde rezult:

2' ' '

1' ' '

a b c

a b c

C C C A C BA B B C C A

A C B A C B C B C C C A

= =

. Atunci, din reciproca

teoremei lui Menelaus rezultcpunctele 'A , 'B , 'C sunt coliniare.

Observaie: Dreapta ce conine punctele 'A , 'B , 'C se numetedreapta lui Gergonne.

10) Dreapta lui Gergonne a triunghiului ABCeste polara triliniara punctului lui Gergonne.Demonstraiarezultdin proprietatea precedent, triunghiurile

a b cC C C i ABCfiind omologice, punctul

lui Gergonne fiind polul triliniar.

11) Punctul lui Gergonne, punctul lui Nagel i retrocentrul unui triunghi sunt coliniare.

A

B

C

A '

B'

C'

aC

bC cC

Fig. 2


3/16


4/16

Soluia 2.Din

=

a

a

B p c

C p b

rezultcafixul punctului a este

( ) ( )

1a

B C

B C

p cz z

p b z p c zp bz

p c a

p b

+

+ = =

+

i analog se obin relaii similare pentru punctele b i c . Dac ( ) aP A i =a

APk

P

atunci

1

+=

+

aA

P

z kzz

k

de unde rezult:

1 1( ) ( ) ( )

1

= + +

+ P A B C

k kz p a z p b z p c z

k p a a a. Se obine o form

simetric pentru relaia din parantez dac1

=

k

p a a, adic pentru =

ak

p a i fie N punctul

corespunztor acestei valori a lui k. Obinem un punct ce va avea afixul1

[( ) ( ) ( ) ].= + + N A B Cz p a z p b z p c zp

Simetria relaiei precedente arat c punctul N aparine i

dreptelor bB , respectiv cC .

Observaii:

1) Punctul de concurenal dreptelor , ,a b cA B C se numetepunctul lui Nagel.

2) Afixul punctul lui Nagel (N) al triunghiuluiABCeste dat de:1

[( ) ( ) ( ) ].= + + N A B Cz p a z p b z p c zp

2) Triunghiul a b c se numetetriunghiul lui Nagel(sautriunghiul cotangentic).

3) Triunghiul cotangentic a b c este triunghiul cevian al punctului lui Nagel.

2) DacN este punctul lui Nagel al triunghiului ABC, atunci pentru orice punct M din planul

triunghiului este adevrategalitatea:1

[( ) ( ) ( ) ].MN p a MA p b MB p c MCp

= + +

Demonstraia rezultdin precedenta.

3) Coordonatele baricentrice absolute ale punctului lui Nagel sunt , ,p a p b p cNa b c

.

Demonstraia rezultdin proprietatea de mai sus.

4) Punctul lui Nagel este centrul de omologie dintre triunghiul neisoscel ABC i triunghiul sucotangentic

a b c .

Demonstraie. TriunghiurileABCi a b c sunt omologice, centrul de omologie fiind punctul lui Nagel al

triunghiuluiABC(ca o consecina teoremei lui Desargues).


5/16

5) ntr-un triunghi ABC,punctul lui Nagel ( N ),centrul de greutate (G) i centrul cercului nscris (I)sunt coliniare i 2 .GN GI = Demonstraie. Soluia 1. Fie 'A piciorul bisectoarei din A (Fig. 4). Din teorema bisectoarei rezult

'

' =

A B c

A C b i de aici: '

+=

+

a cA B

b c. Teorema bisectoarei aplicat n triunghiul 'ABA ne d:

(1)' '

+

= =

IA c b c

IA A B a de unde:

'

;' 2

IA a

AA p= Dac aM este mijlocul segmentuluiBCiar a i b punctelede tangen al cercurilor A exnscris i B exnscris cu latura BC respectiv AC, atunci

( )( ) , ' ,

2 2 2 2( )

= = = =

+ +a a a

a b c a ac a b cM p b A M

b c b c de unde (2).

+=a

M b c

MA a

Din relaiile (1) i (2)

rezult a aIM A i de aici: (3).'=a

a

IM IA

A AA Fie { } .= aG AM IN Cum IM AN rezult

(4).= =a a

GA AN GN

GM IM GI Din relaiile (3) i (4) rezult

' (5).

'=

a a

GA NA AA

GM A IA Teorema lui Menelaus

aplicat n triunghiul aA C i transversala , ,b N B ne d: 1 =b a

b a

A NBC

C B NA

, de unde

1

=

aNp c a

p a p c NA

i de aici

=a

N p a

NA a

, adic =a

a

N a

A p

. Atunci, relaia (5) devine

22= =

a

GA a p

GM p a, de unde 2 (6)= aGA GM , adicGeste centrul de greutate al triunghiuluiABC,deci

puncteleN, GiIsunt coliniare. Din relaiile (4) i (6) rezult 2 .=GN GI Soluia 2.Afixele centrului de greutate G al centrului cercului nscrisIsunt i al punctului lui Nagel sunt:

,3 2

+ + + += =A B C A B CG I

z z z az bz czz z

p respectiv

1[( ) ( ) ( ) ].= + + N A B Cz p a z p b z p c z

p Atunci,

1

2

=

G I

N G

z z

z zdeci punctele G, Ii Nsunt coliniare i 2 , = N G G Iz z z z adic: 2 .=NG GI

Observaie: Dreapta INse numetedreapta lui Nagel.

A

B C

N G I

aM A '

a

b

Fig. 4


6/16

Teorema bisectoarei interioare

Teorema este mai presus de constatare i mai presus de greeal.-Gh. ieica5

Teorema bisectoareiFie triunghiul ABCi AD, ( )D BC bisectoarea unghiului BAC. Atunci, .=

BD AB

DC AC

Demonstraie.

Fie CE AD , E AB (Fig. 5 ). Atunci ACE DAC ( unghiuri alterne interne) i BAD CEA .

Cum BAD DAC, rezult ACE AEC, adictriunghiulACE este isoscel, deci AC AE. Din teorema

lui Thales rezult: .= =BD AB AB

DC AE AC

Reciproca teoremei bisectoarei interioare

n triunghiul ABC, fie ( )D BC astfel nct ,DB AB

DC AC= atunci (AD este bisectoarea interioar a

unghiului .BAC

Demonstraie. Fie , .CE AD E AB Din teorema lui Thales n triunghiul BCErezultBD AB

DC AE= , iar cu

relaia din ipotezDB AB

DC AC= obinem ,AE AC= adictriunghiulAECeste isoscel, deci AEC ACE

(1). Cum AD CE rezult DAC ACE (2) (unghiuri alterne interne) i BAD AEC (3) (unghiuricorespondente). Din relaiile (1), (2) i (3) rezult ,BAD DAC adic AD este bisectoarea unghiului

.BAC

5Gheorghe ieica (1873-1939) matematician romn, profesor la Universitatea din Bucureti, membru al Academiei Romne,contribuii importante n geometrie

Fig. 5

A

B CD

E


7/16

Teorema lui Stewart6

Geometria este cea mai bun i mai simpl dintre toate logicile, ceamai potrivit sdea inflexibilitate judecii i raiunii. Denis Diderot7

Fie triunghiul ABC i M un punct pe latura BC. Atunci:2 2 2

.AB MC AC BM AM BC BC BM MC + = Demonstraie.Aplicnd teorema cosinusului n triunghiurile ABMi

AMC obinem:2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos .

AB AM BM AM BM AMB

AC AM MC AM MC AMC

= +

= +

Cum cos( ) cos(180 ) cos ,AMC AMB AMB= = rezult:2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos .

AB MC AM MC BM MC AM BM CM AMB

AC MB AM MB CM MB AM BM CM AMB

= +

= + +

Sumnd

egalitile precedente obinem:2 2 2( ) ( )AB MC AC BM AM MC MB BM MC MB MC + = + + + adic

2 2 2 .AB MC AC BM AM BC BM MC BC + = +

Consecine:1) Teorema medianei

Fie M mijlocul laturii BC a triunghiului ABC. Atunci,2 2 2

2 2( )

4ab c a

m +

= (unde am reprezint

lungimea medianeiAM).

Demonstraie. Avem .2

aBM MC= = Din relaia lui Stewart aplicat n triunghiulABCi punctului M

rezult2 2 2

2 2( ) .4a

b c am

+ =

2) Lungimea bisectoarei interioare

Fie triunghiul ABC, ( AD bisectoarea interioar a unghiului ,BAC unde D BC ). Atunci2

2

4( )

( )

bcAD p p a

b c=

+, undepeste semiperimetrul triunghiuluiABC.

Demonstraie. Din teorema bisectoarei rezult ,c BD

b DC= de unde

c b BD DC

b DC

+ +=

abDC

b c=

+ (1) i

acBD

b c=

+ (2) (Fig. 7). Teorema lui

Stewart n ABC pentru M D d: 2 2 2 2AD a c DC b BD a DB DC = +

(3). Din relaiile (1), (2) i (3) rezult 22

4( )

( )abc

l p p ab c

= +

(unde prina

l am

notat lungimea bisectoareiAD).

6Matthew Stewart (1714-1785) geometru scoian, profesor la Universitatea din Edinburgh7Denis Diderot (1713-1784) scriitor i filosof francez

A

B CM

Fig. 6

A

BCD

Fig. 7


8/16

Teorema lui Ceva8

Geometria este tiina care restaureazsituaia dinainte de creaia lumiii ncearcsumple "golul", renunnd la oficiile materiei. - L. Blaga9

Teorema lui Ceva

Fie triunghiulABC i punctele D BC , E CA , F AB . Dac dreptele AD, BE i CF sunt

concurente, atunci 1AF BD CE

FB DC EA = .

Demonstraie: Fie { }K AD BE CF = .

Prin A ducem o paralella BC, iar G i F sunt punctele deintersecie dintre dreptele BE respectiv CF cu aceast

paralel. Din AHF BCF rezultAF AH

FB BC = (1),

BCE AEG rezultCE BC

EA AG= (2),

AGK BDK rezultAG AK

BD DK

= (3),

CDK AHK rezultAH AK

DC DK= (4). Din relaiile (3) i

(4) obinemAG AH

BD DC= de unde

AG BD

AH DC= (5). Din relaiile (1) , (2) i (5) rezult

1AF BD CE AH AG BC

FB DC EA BC AH AG= =

Reciproca teoremei lui Ceva

Fie triunghiulABCi punctele D BC , E CA , F AB . Dac 1AF BD CE

FB DC EA

= , atunci dreptele

AD, BE i CF sunt concurente.

Demonstraie. Fie { }K BE CF = i { '}D AK BC= . Conform primei pri rezult'

1'

AF BD CE

FB D C EA =

care mpreuncu relaia din ipotezd:'

'

BD BD

D C DC= de unde

' '

'

BD D C BD DC

D C DC

+ += deci

'

BC BC

D C DC=

i de aici rezultc 'D C DC= , adic '.D D

8Giovanni Ceva (1647-1734) matematician italian, profesor la Universitatea din Mantua, contribuii n geometrie9Lucian Blaga (1895-1961) - filozof, umanist, jurnalist, poet, dramaturg, traductor, profesor universitar i diplomat romn, membru

titular al Academiei Romne

A

B CD

EF

GH

K

Fig. 8


9/16

Teorema lui Menelaus10Un punct pierdut e lumea n haosul imens.

Toattiina noastr: cuvinte frsens.Om, pasre i floare sunt umbre n abis.Zadarnic este gndul, iar existena - vis.

Omar Khayyam11Teorema lui MenelausFie triunghiulABC i punctele 'A BC , 'B CA , 'C AB .Punctele ', ', 'A B C sunt coliniare dac i

numai dac' ' '

1' ' '

A B B C C A

A C B A C B = .

Demonstraie. Presupunem c punctele ', ', 'A B C sunt coliniare. Conform axiomei lui Pasch,cel puinunul din punctele ', ', 'A B C se afl pe prelungirealaturilor triunghiului ABC. Fr a restrngegeneralitatea putem presupune c

' ( )B AC , ' ( )C AB i ' [ \ [ ]A CB CB (Fig. 9).

Soluia 1. Fie 1 ,A 1B , 1C proieciile punctelorA, B, C

pe dreapta ' '.A B .Din asemnrile triunghiurilor:

1'A BB i 1'A CC ; 1'B CC i 1'B AA ; 1'C AA i1'C BB rezult egalitile

1 1 1

1 1 1

' ' ', ,

' ' '

BB CC AAA B B C C A

A C CC B A AA C B BB= = = care prin

nmulire dau:' ' '

1' ' '

A B B C C A

A C B A C B = .

Soluia 2. Egalitatea evident [ ' '] [ ' '] [ ' ']

[ ' '] [ ' '] [ ' ']

1AC B BC A CA B

BC A CA B AC B

A A A

A A A = este echivalent cu:

' ' ' sin ' ' ' ' ' sin ' ' ' ' ' sin ' ' 1,' ' ' sin ' ' ' ' ' sin ' ' ' ' ' sin( ' ' )

C A C B AC B A C A B C A B B A B C A B C

C B C A A C B A B A C CA B B A B C A B C

=

adic

' ' '1.

' ' '

A B B C C A

A C B A C B =

Soluia 3. Fie ' ' ( )BP A B P AC . Din asemnarea triunghiurilor BPC cu ' 'A B C, respectiv a

triunghiurilor ' 'AC B cu ABPrezult:' '

' '

B P A B

B C A C= i

' '

' '

B A C A

B P C B= care prin nmulire dau concluzia.

Reciproc,presupunem c' ' '

1' ' '

A B B C C A

A C B A C B = (1) i demonstrm cpunctele ', ', 'A B C sunt coliniare. Fie

' [ \ [ ]A CB CB , ' ( )C AB i { "} ' 'B A C AC= . Atunci, conform primei pri rezult:

' " '1

' " '

A B B C C A

A C B A C B = care cu relaia (1) d

' "

' "

B C B C

B A B A= i de aici

' "B C B C

AC AC= ,adic ' "B C B C= i cum

existdoar un punct interior laturiiAC pentru care ' "B C B C= , rezult ' "B B , deci punctele ', ', 'A B C sunt coliniare.

10Menelaus (70-130) mathematician grec, contribuii importante n geometrie11Omar Khayyam (1048-1122) matematician, poet, filosof, astronom persan, contribuii n algebri geometrie

A

B C

A1

B1

C1

Fig. 9

A '

B'

C' P


10/16

Teorema lui Leibniz12

Sub aspect elementar, numeroase teoreme interesante sunt create mereu fie de c tre amatori devotai, fie de ctre mariimatematicieni, care ori de cte ori au nelegerea srevinla problemele elementare, le-au privit sub aspecte noi, dnd demonstraiimai simple sau ncadrri mai naturale. N. Mihileanu13

Fie Gcentrul de greutate al triunghiuluiABC.Pentru orice punctM din planul triunghiuluiABC este

adevratrelaia:2 2 2

2 2 2 23 ( ).3

AB BC CAMA MB MC MG

+ ++ + = +

Demonstraie.

Fie 'A mijlocul laturii BC. Relaia lui Stewart aplicat n triunghiul 'AMA d:

2 2 2' ' ' ' 'MA A G MA AG AA AG GA MG AA + = . Egalitile' 2

' , ',3 3

A AA G A G A A= =

2 2 22 2 ( )'

4

M B M C B CM A

+ = ,

2 2 22 2( )'

4

AB AC BCAA

+ = nlocuite n relaia precedentdau

concluzia.

Consecine:

1) Dac ,M G atunci2 2 22 2 2

3AB BC CA

GA GB GC + +

+ + = i relaia din teorema lui Leibniz devine

2 2 2 2 2 2 23 .MA MB MC GA GB GC MG+ + = + + +

2) Din relaia lui Leibniz rezultc2 2 2

2 2 2

3

AB AC BCMA MB MC

+ ++ + cu egalitate dacpunctul M

coicide cu G.3) DacM coincide cu O centrul cercului circumscris triunghiului ABC - atunci relaia ( ) devine:

2 2 22 23 3

3

a b cOA OG

+ += + , adic

2 2 22 2

9

a b cOG R

+ += .

4) n orice triunghi ABCeste adevratrelaia: 2 2 2 29 .R a b c + +

Demonstraie: Cum2

0OG avem:

2 2 22

9

a b c

R

+ +

, adic2 2 2 2

9R a b c + + .5) Fie Hi Oortocentrul, respectiv centrul cercului circumscris triunghiului ABC.

Atunci: i) 2 2 2 2 29 ( ),OH R a b c= + + ii)2 2 2

2 2 4( )49

a b cGH R

+ += ,

12Gottfried von Leibniz (1646-1716) matematician german, contribuii importante n analiza matematic13Nicolae Mihileanu (1912-1998) matematician romn

A

BC

M

A '

G

Fig. 10


11/16

Teorema lui Desargues14

Matematica a aprut i se dezvolt, printr-un continuu proces de modelare la nivelul Gndirii a fenomenelor lumii fizice,Matematicaservind, pe aceast cale, nelegerii acestor fenomene. - Aristotel15

Teorema lui DesarguesPunctele de intersecie ale dreptelor omologe, a doutriunghiuri omologe coplanare, sunt coliniare.Demonstraie.

FieABC i ' ' 'A B C doutriunghiuri coplanare astfel nct ' ' ' { }AA BB CC O = . Teorema lui Menelaus

aplicat triunghiurilor , ,OBC OCA OAB i transversalelor ' 'B C , ' 'C A respectiv ' 'A B

d:' '

1

' '

=LC B B C O

LB B O C C

,' '

1

' '

=MA C C A O

MC C O A A

,'

' '1

'

=NB A A B O

NA A OB B

, relaii care prin nmulire membru

cu membru dau: 1LC NB MA

LB NA MC = i conform teoremei lui Menelaus aplicat triunghiului ABC i

punctelor , ,L M N rezultcpunctele , ,L M Nsunt coliniare.

Observaie: Dreapta ce conine punctele , ,L M N se numete axa de omologie. Triunghiurile ABC i' ' 'A B C se numescomologice.

Reciproca teoremei lui DesarguesFie triunghiurile ABC i ' ' 'A B C cu proprietatea c exist punctele , ,L M N astfel nct

{ } ' '= L BC B C, { } ' '= M AC A C i { } ' '= N AB A B , iar dreptele 'AA i 'BB nu sunt paralele.

Doar punctele ,L M i Nsunt coliniare, atunci dreptele 'AA , 'BB i 'CC sunt concurente.

Demonstraie. Fie { } ' '= O AA BB . Dar { } ' '= N AB A B MN i conform teoremei lui Desargues,dreptele suport ale laturilor triunghiului 'LB B i 'MAA se intersecteaz doar cte dou n trei punctecoliniare O , Ci 'C : { } ' '= O AA BB , { } = C LB MA ., { '} ' '= C MA LB , deci 'O CC , adic

dreptele ', ', 'AA BB CC sunt concurente n punctul O .

14Grard Desargues (1591-1661) matematician francez , fondatorul geometriei proiective15Aristotel (384-322 .e.n.) filosof grec

M

A

B

C

L

C'

B'

A ' N

Fig. 11

O


12/16

Teorema lui Van - Aubel

nvnd matematica, nvei sa gandeti. Grigore Moisil16

Teorema lui Van-AubelDacAD, BE i CF sunt trei ceviene concurente ntr-un punct P interior triunghiului ABC, atunci

.AP AF AE

PD FB EC = +

Demonstraie. Avem: [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

AP B A PC A PB AP C

B PD P C D B P D P C D

A A A AA P

P D A A A A

+= = =

+de unde rezultc:

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

(1).APB APC APB APC

BPC BPC BPC

A A A AAP

PD A A A

+= = + Dar

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

(2)ACF APF ACF APF APC

FCB FPB FCB FPB BPC

A A A A AAF

FB A A A A A

= = = =

i analog

[ ]

[ ]

(3).APB

BPC

AAE

EC A= Din relaiile (1), (2) i (3) rezultconcluzia

Teorema lui Pompeiu17

Dimitrie Pompeiu tia spriveasclucrurile vechi cu ochi noi. Paul Montel18

Fie triunghiul echilateralABCiMun punct n planul sau ce nuaprine cercului circumscris triunghiului. Distanele MA, MB,MC reprezintlungimile laturilor unui triunghi.Demonstraie. Soluia 1. Fie 'M punctul obinut din M prinrotaia de centru Ai unghi de 60. Atunci 'MM MA (deoarecetriunghiul AMM este echilateral). Din congruena triunghiurilorBAM i 'CAM ( 'AM AM , BA CA ,

) )( ( 'm BAM m CAM = = )60 (m CAM + ), rezult ',MB CM deci

lungimile laturilor triunghiului 'MM C sunt egale cu cele alesegmentelorMA, MB, MC(Fig.12).Observaie: DacpunctulMse aflpe centrul cercului circumscristriunghiului echilateralABC, atunci conform teoremei lui Schootensegmentul cu cea mai mare lungime dintre segmentele MA, MB, iMCau lungimea egalcu suma lungimilor celorlalte dou.Soluia 2. Notm cu litere mici afixele punctelor corespunztoare.Plecnd de la relaia evident: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (1)m a b c m b c a m c a b + + =

rezult: ( )( ) ( )( ) ( )( )m a b c m b c a m c a b = . Trecnd la modul n egalitatea precedent obinem:

( )( ) ( )( )m a b c m a c a m c a b = + m b c a m c a b + , de unde:

m a m b m c + adic .MA MB MC + CumMnu aparine cecului circumscris triunghiului ABC

rezult .MA MB MC< + Din simetria relaiei (1) rezultinegalitile MB MC MA< + i MC MA MB< + ,

adicsegmenteleMA, MB, MCdeterminun triunghi.

16Grigore Moisil (1906-1973) matematician romn, profesor la Universitatea din Iai, membru al Academiei Romne17Dimitrie Pompeiu (1873-1954) matematician romn, profesor la Universitatea din Iai, membru al Academiei Romne, contribuii

importante n analiza matematic18Paul Montel (1876-1975) matematician francez, membru al Academiei Franceze, contribuii n analiza matematic

A

B C

M

M '

Fig. 12

60


13/16

Teorema lui Steiner - Lehmus19

Steiner este cel mai mare geometru de la Apollonius ncoace. W. Ball

Un triunghi care are doubisectoare interioare egale (msurate de la vrf la latura opus) este isoscel.Demonstraie.

Fie BE i CF bisectoarele unghiurilor B, respectiv C ale ABC (Fig. 13). Presupunem c AB AC i

anume fie AB AC< , atunci ( ) ( ) (1) construim paralelogramul BEGF. Astfel EG BF ,

( )

( )2

=m ABC

m FGE , FG BE FC = = , de unde ( ) ( )=m FGC m FCG . Din

( ) ( )

( ) ( )2 2

= > =m ABC m ACB

m FGE m FCE rezult c ( ) ( ) i atunci rezultAB AC= , adictriunghiulABC este isoscel.

120Jakob Steiner (1796 1863) matematician german, profesor la Universitatea din Berlin, contribuii n geometria proiectivDaniel Lehmus (1780 1863) matematician german, profesor la Universitatea din Berlin

A G

C

F E

B

Fig. 13


14/16

Teorema lui Coni20

Matematica este o tiin n care nu se tie niciodat despre ce sevorbete i nici daceste adevrat ce se vorbete. Bertrand Russel21

Teorema lui Coni

Fie O centrul cercului circumscris unui triunghi ABC i X, Y, Z centrele cercurilor circumsrisetriunghiurilorBOC, COA,respectivAOB.DrepteleAX,BYi CZsunt concurente.Demonstraia1.

Fie 1{ } ,A AX BC= 1{ } ,B BY CA= 1{ } = C CZ AB (Fig. 14). Deoarece

( ) ( )= = m BOX m OCX 1

( ) ( ),2

= m BOC m A rezult ( ) 90 ( )= = m OBC m BOX

90 ( ) m A i ( ) ( ) ( ) ( )= = = m CBX m BCX m A m OBC

2 ( ) 90 . =m A Analog, ( ) 2 ( ) 90= = m ACY m B i ( ) 2( ) 90 .= = m AZB C Avem:

[ ]1

1

= =ABX

ACX

ABA

A C A

1s in ( ) s in ( )2

1 s in ( )s in ( )2

++

=+

+

A B B X BA B B

A C C

A C C X C

sau 1

1

cos( ).

cos( )

BA AB C A

A C AC B A

=

Analog, 1

1

cos( )

cos( )

CB CB A B

B A BA C B

=

i 1

1

cos( ).

cos( )

C A CA B C

C B CB A C

=

Atunci, 1 1 1

1 1 1

1BA CB C A

A C B A C B = (unde am inut cont

c cos( ) cos ,x x x = ) i din reciproca teoremei lui Ceva rezult c dreptele AX, BY i CZ sunt

concurente.

20Cesar Coani(1910-1962) matematician roman, profesor la Universitatea din Bucureti21Bertrand Russell (1872 - 1970) filosof, logician i matematician englez, laureat al Premiului Nobel pentru literatur

A

B

C

X

Y Z

O1C 1

B O

1A

Fig. 14


15/16

Teorema Carnot22

dacDumnezeu existcu adevrat i a creat lumea, atunci, dupcum tim cu toii, a creat-o conform Geometriei Euclidiene i anzestrat mintea umancu concepia a numai trei dimensiuni spaiale. Cu toate acestea au existat i mai existncmatematicieni, uniichiar geniali, care se ndoiesc cntregul univers a fost creat conform geometriei euclidiene. Feodor Dostoievski23

Teorema lui Carnot

Fie triunghiul ABCi punctele 'A BC , 'B AC respectiv 'C AB . Perpendicularele duse dinpunctele ', ', 'A B C pe laturile , ,BC AC respectiv AB sunt concurente dac i numai dac

2 2 2 2 2 2' ' ' ' ' ' 0AC BC BA CA CB AB + + = (0).Demonstraie.

Presupunem cperpendicularele se ntlnesc ntr-un punct P. Din teorema lui Pitagora rezult:2 2 2' 'AC C P AP+ = (1)2 2 2' 'BC C P BP+ = (2)

2 2 2' 'BA A P BP+ = (3)2 2 2' 'CA A P CP+ = (4)2 2 2' 'CB B P CP+ = (5)2 2 2' 'AB B P AP+ = (6)

Din ecuaiile (1), (3) i (5) respectiv (2), (4) i (6) prin sumare rezult:

2 2 2 2 2 2 2 2 2' ' ' ' ' 'AC C P BA A P C B B P AP BP C P+ + + + + = + + (7), respectiv2 2 2 2 2 2 2 2 2' ' ' ' ' 'BC C P CA A P AB B P BP CP AP+ + + + + = + + (8). Scznd membru cu membru

relaiile (7) i (8) rezult concluzia. Pentru a demonstra reciproca, fie { } ' 'P A P B P= . Fie D piciorul

perpendicularei duse din P pe latura AB. Conform primei pri avem2 2 2 2 2 2' ' ' ' 0AD BD BA CA CB AB + + = , care cu ipoteza d 2 2 2 2' 'AD BD AC BC = ( ) . Fie

,BD x= 'DC y= i ' .C A z= Atunci, x y z c+ + = i din relaia ( ) rezult '.D C

22Lazare Carnot (1753-1823) matematician i inginer francez23Feodor Dostoievski (1821-1881) - scriitor rus

A

B C A '

B' C'

P

Fig. 15


16/16

Teorema lui Mathieu24

Istoria ne arat, cviaa este doar un episod ntre douvenicii ale morii i n acest episod gndirea contient dureaz doar oclip. Gndirea este doar o explozie de luminn mijlocul unei nopi lungi, dar aceastexplozie este totul. - Henri Poincar25

ntr-un triunghi izogonalele a trei ceviene concurente sunt la rndul lor concurente.Demonstraie.

Fie triunghiul ABC i cevienele ', ', 'AA BB CC concurente n punctul 'M . Fie ", ", "AA BB CC

( A'' BC , B'' AC , C'' AB ) izogonalele dreptelor ', 'AA BB , respectiv 'CC (Fig. 16). Atunci,

( ') ( " ),=m BAA m A AC ( ' ) ( " )=m B BA m B BC i ( ') ( " ).=m ACC m C CB Din forma trigonometric a

teoremei lui Ceva aplicat pentru cevienele concurente n M rezult:

sin BAA' sin ' sin ' 1sin A'AC sin ' sin '

=

ABB ACCB BC C CB

sau sin '' sin '' sin '' 1sin " sin '' sin ''

A AC B BC C CBBAA ABB ACC

=

i din reciproca

teoremei lui Ceva rezultcizogonalele AA'',BB'',CC'' sunt concurente ntr-un punct ".M

Observaie: Punctele 'M i "M se numescpuncte izogonale.

24Claude Mathieu (1783-1875) matematician francez, profesor la Ecole Polytechnique din Paris25Henri Poincar ( 1854 -1912) matematician i fizician francez, contribuii importante n toate ramurile matematicii

A

B CA ' A"

C"

C'

B'

B" M ''

M '

Fig. 16

Teoreme Laurian.doc

Documents

Transcript of Teoreme Laurian.doc