Tema Clubul Matematicienilor p . 162-172

7/24/2019 Tema Clubul Matematicienilor p . 162-172

1/11

Probleme

propuse

1. Calculali

urmitoarele

integrale

(formula

Leibniz-Newton).

t2

"t

IQ'+t)'a*;

b)

lQ-J;)'a.;

c)

00

a'l*,*t

o,"i*'

:f*

*,

/

x'+l

ot'l-La*,

dJx'+t

ot'ffia*t

Q

lsinxdx;

0

a' ( -a)'

a.

,^{t'#)-

l1

y

l-)

^a*;

6x -+

3l

?X

-X+Z

,

e)

I

.,

,

tu.

;

n

-l

1

"t\-La*t

Jt-"

2rx2

+ x +l

l_dc.

/x

,l

{(z'

+z-')dx.

"1

lia*:

;x

+r

"l'l#art

r/x'+l

n

'l__l

.

a*.

lr,.l4-3x'

o' ffa.,

"t' (-.1)'ar,

n'[fa.,

a'[ffia,

2.

Calculali

urmdtoarele

integrale

(formula Leibniz-Newton).

at

(x-t)a..

I

at

[(z'-z-")ax.

3. Calculali

urmdtoarele

integrale

(formula

Leibniz-Newton).

d)

u,l

E

E

=

o

L

r(

A.

f

U

U

l

z

g

OE

ul

c

j

t

v

rn

ul

z

r(

@

G

llr

tt\,

ci

IIJ

t,

z

o

E

o

z

=

I

162

4.

Calculali

urmdtoarele

integrale


5. Calcula{i

urmdtoarele

integrale


ET

2

il

fcosxdx:

-T

4

d ltpxdx:

0

n

"t

)

i,

I

isrn- x

6

^l#*;

n^l**,

,

; cos

-r

**;

c)

1".^,--t;n*

int x cos2 x

*'

'

n

r\r\ Jr

6;

6. Calculali

urmltoarele

integrale

(aditivitatea la interval).

a1

(1*-rldx;

b)

frl*'tV"

Q

(xtxl&;

Q

f,x{xldx;

e)

7. Calcula{i

urmdtoarele

integrale

(formula

de integrare

prin par i).

a)

lxe"dx;

"2

")

lr'Inxdr

;

I

"rlnx

,

I L

dx.

Jx'

b)

lx'ze'dx:

c)

[lnxdx:

d)

" ln'rd*

.

,

"1Eaa*;

iVx


2/11

8.

Calculali

urmdtoarele

integrale

(prima

formuld de schimbare

de variabild).

aS

[r'[-l

+ur;

e1

rVz",f'

4

[xe"

dx

:

D

l

x'e"

dx:

O

l 7a*:

o

o

lVt

9.

Se

considerd

funcliile

/

:

(0,+.o) -+

R,

/(r)

=

e*

lnx

qi

g

:

(0,+m)-+

JR.,

2

a)

Catcutali

[s(')*

),.

,, ,,

D/ Calculafi

l"

'

"'d*

.

r

xe^

""

c)

Demonstrall

ca

J(/(r)+

g(x))dx

=

e" .

Bacalaureat

20ll

10. Se

considerd

funciia

/

: R

-+ re,

"f

(")

=3x2

+2x+I .

a)

Calcula\ia

aria suprafelei

cuprinse

intre

graficul funcfiei

f,

axa Ox

9i

dreptele

de

ecualiir=0Six=1'

/

/

r)

b)

Ardta1icd

orice

primitivd

a

funcfiei/este

concavd

pe intervalul

I

-*'--

l.

^

\

3)

c)

Demonshali

cd, oricaie

ar

fi.

at

2, arelocinegalitatea

" f

(rW>

3a2

+2

-

Bacalaureat 2071

11. Se considerl

tunclia

/

:1R

-+

R,/(x)

=

e'.

'l

a)

Calcula.ti

lf

Q)ax

b)

Ardrali

ca'

f

(t)

dt


3/11

14.

Se considerd

funclia

[8,"t

/

:

(0.+oo)

-+ R.

/(x)

=

j,i,

l;'ucx


4/11

a/

Calculafi

'(

tV)- \*

1\"

.,

*/

D) Determinali

volumul

corpului

oblinut

prin

rotafia

in

jurul

axei

Ox

a

graficului

tuncfiei g:lt,Zl+

R,

g(x)

=

f

(r).

e

c/

Calcutafi

lf

G)

tnxdx

.

Bacalaureat

2010

19.

Seconsiderituncliile

f

,h:(0,+n)+R,/(x)=#

ut

n(r)=\#

a) Ardtali

cd/este

o

primitivl

a funcliei

&.

6) Determinaji

volumul

corpului

oblinut prin

rotalia,

in

jurul

axei

ox, a graficului

tuncliei

g:lt,e]+R,

g(x)

=JiG).

e

c/ Calcula{i

)"f'0"

(*)n(*)a*.

20.

Se

"on.ia"ra'n

n c1ille

,g:(0,+.o)-+R,/(x)=+

qi

g(")

=zJi(nx-Z)

V'x

c,) Demonstrali

c[

g

este

o

primitiv6

a funcfieil

4

b) catcutali

lf

(.)a,

)

c/ Calculafi

[Zrt't

.711a,

.

Bacataureat2ltr

21.

Pentru

r.

Nl

r. considerf,

func(iile

f,

:(0,+a)+R,,

(*)

=

*,

.tn,

1

a.)

Calculali

I ' ,* ,

a,

.

i

J,lx)

D)

Demonstrali

cd

primitivele

funcliei

f

sunt convexe pe

intervalul

[1,*-]

.

le )

c/

carcurafi

"1$ a*

22.

Se considerl

tunclia

/:

JR

-+

re,.f

(")

=:-

+l

Bacalaureat

2010

a)

catcurali

[f

(,t;)a"

b) Ardftalica

If

Q)at=z[f

(t)at, vr>0.

c)

rJtilizdndeventual

inegalitatea

ytoou

1

J

x, Vx e

[0,t]

afttali

cd

' t(r**W7tn2.

l\l

=

I

r(

\.,

=

I

E

I

165


5/11

f,(r)=

x"

'e'

a)

catcutagi'lf-Q) a* .

ie"

b) cataila\i'{t,t4*

t

c/

Ardtagi

ca

' f,(x')dxr*.

Vr

e N..

tf-

ze.Se considerr

eirul

(1.)-,,

r.

="1-- -6,.

4tn.t

,

lx+2012

a)Calculali

1,.

b)

Ardta[icd In*,

1I,,Yn]1.

c)

Ardtalicd

0


6/11

b)

Ardtatice

lf

(x)ax=

If

(.)*

c)

Ardt,{ticd qirul

(x,),,r,

xn

=l-' f

(J--)a-

este

o

progresie

geometricl.

,o

29.

Se

considerd

Ci*l

(1,

),_o

,

I

,

=

x,.e'

dx

.

a)

Calculali

Io.

b)

Calcula[i 1,.

c) ll;dta[i

cd I

n*,

0.

d)

Ardtalicd,

Irorr12.

30. Pentru

fiecare

numir

natural

n

se consideri

funcJia

f,

:

JR -+

R,l,

(r)

=(x,

+2x)^

.

I

a)

Catcutali

If,(.)*

i

6/ catcutali

IU,@--,)'o''

*.

22

c)

Ardta\i

ca

-f,(r)a*

1.

31.

Se

considerd

irn.liu

/:

JR-+

JR,

/(x)

=

e'.

d

a/ Calculafi

lf

Ola*

.

b)

Calculali

I*'

f

(r')

a*

.

A,

c)

Ardtali

ca

f,f

(x'\")dx


7/11

c/

tuarari

,a'[t,(rv*>fr.

or.

*-.

34.

Pentru

orice

ne

N-

se considerb

funcliile

7,

:lO,t]

)

R,

,

A)

=;A

a)

Sd

se calculeze

[(r++)'

f,(t)tu,

x

e

[o,t]

.

6.)

Sd

se

calculeze

'[*fr(*\x

c)

Sd

se

arate

c6 aria

suprafelei

cuprinse

intre

graficul

funcliei

froov

axa

ox

p

dreptele

x

=

0

qi

x

=

I este

un

numdr

din

intervalul

ti

;]

Bacalaureat

20M"

35.

Pentru orice

numdr

n e

N-

se

considerd

funclia

f,:lO,t]+

R,

f,

(')

= *"

e'

'

u)

catcutali

lbf

*,x

e

[o,t].

1l

b)

Arttalica

lf,QYrr-

[f,,,(*),*,

vn

e

N-.

00

11

\ E

Q

Atdra\ica

f,(.\t*

=

"-nlf.-,(r)dr,

vr e

N.

.

0

0

l

o

;

36.

Se

considerd

funclia

/:

(0,m)

-->

R,

/(x)

=

lnx

'

;'n

?

a/

calculali

If

(nV-

.

36

r,J

'-1

.j

D)

Calculati

I'

f'0"

(tFt.

.

ix

=

d

Determinali

volumul

corpului

oblinut

prin rotalia

graficului

funcliei

E

g:ll,e)-+

R.,

g(x)

=

f

(x)

in

jurul

axei

Ox'

r

=

37.

Se

considerd

tunclia

/:

(0,m)

-+

iR,

/(x)

=

lnx

'

;r.

$

a/

Calculati

I*'

'f

k"W-

Z0

E

"r(

l\

E

Q

Aratali

ca

ll

e./(x)

+e'

-

Vx

=

s"

'

ttn

i\

xl

dee

+

e

Ardtali

ca

[f

'

(xpx

+ n

If*'

(*V*

=

u" .

\Jll

Z2

Eyt.

Fie

I,=

lx'e*dx,

pentrun

eN.

z1

:

a/

Sd

se

calculeze

10.

r

D)

Sb

se arate

cd

Ir

=

e2

-

168


8/11

c,) Sd se

demonstreze

cd

(n

+ l)

t

"

* I,*r

=

e

(2'.'

e

-

l),

pentru

orice

n

e

N

.

Variante

Bacalaureat 2009

39.

Pentru fiecare num[r natural

n

e

N-

definim funclia

f

:

[0,+oo)

-+

JR,

.f,(')=

Vx'+l

'

a) Calculali aria suprafelei determinate de

graficul

funcliei

-f,

axa

Ox

qi

dreptele

de

ecualii

x=0

$i

r=1.

'l

D/

calculari

l.lf,(n))'

*

c)

Arlf;alicd

qirul

(1,),.r,

I,

=

-r+

l(f,{*))'

a,

40.

Se considerr

girul

(,1,

).,^,

I,

=tl -u,

.

n/nzo' ,

Jrtr+l

a) Calcula\i

Ir.

b)Ardtalicd

I,,r-1,>0, Vn eN.

c)

Ardtalicd In*r+ t,

=3'.)1?,

41.

Pentru fiecare

numlr

natural nenul

n,

fie funclia

f,:10,+a)-+

R,

, (i

=

#

.

I

a) catcutali

[f,(.)a,

otl

D) Ssse

aratecd

f,(r)a**Jrn(x+r)ar

=1n2.

c)

Ardtalicd

pentru

orice numere a,b e

(0,+a)

cu b

-

a=

l,

avem'1f,1*7*

=r.

42.

Se

considerd

girul

(,1,

),r,,

I

,

=tH

u*

a) Calcula[i

Ir.

h)

Ardta[i

cd

I,*,

?

.

c)

Sd se

determine volumul corpului oblinut

prin

rotalia in

jurul

axei Ox a

graficului

functiei

g:f0'll

-+

IR'

g(r)

=

'f

(x)+

f

(-x)'

variante Bacaraureat 2009

rt6.

Pentru

fiecare

numdrreal a se consideri funclia

f

: R + re,,4

(r)

=

tfu

a)

Ardtati cA,

pentru

orice

a e

JR

,

orice

primitivd

a

funcliei

f,,

este

o funclie

crescdtoare.

b) Calcula[i aria suprafelei

plane

determinate de

graficul

funcliei

.f,

,

axa Ox

qi

dreptele

deecuafiir=0qir=1.

d

c/ Aratafi ca

If,@)dr


10/11

b)

Ardta[i"u'V,Q)a"

o.

[2'.

x(0

a)

Ardtali cdf admite

primitive

pe

JR

.

b)

Calcuta[i

f,f

@)*.

c)

tJtilizdndinegalitatea

,


11/11

53.

Se

considerd

tuncfia

/,g:

(0,+.o)+

R,

/(x)

:1[xe,

si

g(x)

-

e.

(t+:-r)

.

3{7

a) Ardtati

cdf

este

o

primitivd

a funcliei g.

b)

Catculali

f,

s@a*.

"'

o'

-.

.

c)

Ardfta\ica

lf{x)dx=n'.u

-t-

Jffa-.

54.

Pentru

fiecare numdr

natural

n

se

considerd

funclia

J

:

[0,+m)

-+

R,

,

(r)

=

G,

+

I

a)

Catcutali

It,(r)*.

b)

Ardta\i"5oori."

primitivd

a

func{iei h,=

fnu- f,

estedescrescdtoare

pe

[O,t]

li

crescdtoare

pe

[l,+co)

.

Q

Arifiali

cf,

volumul

corpului

obfinut prin

rotatia graficului

g(r)

=

frorr(*)

in

jurul

axei Ox

este un numdr

cuprinsintre

n

55.

Se

considerd

funclia

/

:(0,+co) -+

lR.,

/(x)

=

J-xe'

.

funcliei

.3n

sl

-.

2

g

:

[0,1]

-+

1R

,

ur

E

ts

E

f

o

L

4

l

l,

U

f

z

s

e,

uI

4

j

f

v

ra

uI

z

o

E,

ul

t1"

ci

u,l

I

v

z

o

OE

o

z

j

I

172

a)

calcutali

^l[V)a,,

ie"

D) Determinali

ana

suprafelei

plane

cuprinse

intre

graficul

funcliei

g:[12]+R,

g(r)

=

.f'(*)

qi

axa

Ox.

c)

ArFfia[icd

tunc]ia

h

:

(0,+a)-+

R,

ft

(x)

=' ,liA

at

este convexd.

56.

Se

considerb

tuncfia

/

:

(0,+oo)

-+ IR,

/(x)

=

",hto".

a/

calculali

"1f( a-

iVx

b) Determinafi

volumul

corpului

obfinut

prin

rotalia graficului

funcliei

g:|,el-+

IR,

g(x)

=

"f

(*)

in

jurul

axei

Ox.

"'

(*ld*

=n'oo'

-l

c/

Ardtagi

cd

lf'I",

1007

Tema Clubul Matematicienilor p . 162-172

Documents

Transcript of Tema Clubul Matematicienilor p . 162-172