Tema 3Limite, continuitate, derivabilitate şi diferenţiabilitate pentru funcţii reale

de o variabilă reală. Aplicaţii.

Modulul 3.1 - Limite de funcţii şi funcţii continue.

Funcţiile definite pe mulţimi abstracte au în general puţine proprietăţi şi din acest motiv, puţine aplicaţii în rezolvarea unor probleme concrete. Proprietăţile generale şi operaţiile algebrice cu funcţii depind în primul rând de structurile algebrice definite pe mulţimile X şi Y.

În cazul se numeşte funcţie reală de o variabilă reală şi este destul de generală; de aceea în liceu s-au studiat funcţiile reale de o variabilă reală concrete, adică funcţii prin care legea de asociere a lui xX cu yY este dată printr-o expresie analitică precizată şi graficul lui f, Gf R2 =R R. Clasa funcţiilor de la R la R cuprinde următoarele funcţii concrete: funcţii polinomiale, funcţii trigonometrice directe şi inverse, funcţia putere, funcţia exponenţială, funcţia logaritmică, funcţiile etajate (sau în scară) ş.a. Vom nota cu “trig” una dintre funcţiile trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă, cotangentă; cu “arctrig” una dintre funcţiile trigonometrice inverse: arcsinus, arccosinus, arctangentă, arccotangentă; prin “exp” exponenţiala de baza a (a > 0; a 1); prin log a funcţia logaritmică de bază a (a > 0; a 1); prin (·)a

funcţia putere de exponent a (aR) şi prin 1R:RR identitatea pe R (1R(x)=x, xR) şi prin const funcţia constantă.

Definiţia 3.11] Clasa de funcţii reale:(1) E0 se numesc funcţii elementare

de bază.2] O funcţie se numeşte funcţie elementară dacă se obţine din E0 prin aplicarea de un număr finit de ori a celor patru operaţii aritmetice: adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea şi a operaţiei de compunere a două funcţii. Notăm cu E mulţimea funcţiilor elementare.

Observaţii1. Orice funcţie elementară poate fi dată printr-o formulă adică printr-un număr finit de simboluri matematice aplicate funcţiilor elementare de bază din E0.2. O funcţie elementară se notează şi prin:“y = f(x) cu x X în loc de f:X Y”3. Dacă mulţimea de definiţie a lui f nu este precizată se subînţelege că ea este mulţimea, notată: Df={x R | f(x) R}, a punctelor x din R pentru care are sens f(x) în R. Mulţimea Df se numeşte împropriu domeniu maxim de definiţie al funcţiei f, fără a avea în vedere sensul topologic al conceptului de domeniu.

47

Exemple1o E (funcţia putere cu ).

.

2o Efuncţia polinomială.3o E (funcţia radical de ordin n).

4o

sunt funcţii trigonometrice hiperbolice şi E.5o Dacă avem relaţia binară , atunci există o mulţime maximă

a.î. relaţia este o funcţie f care se numeşte funcţia naturală asociată relaţiei binare . Când se spune “funcţia elementară ” este vorba de funcţia naturală asociată relaţiei binare de la R la R. Definiţia 3.2Fie , atunci se definesc:

numite: suma algebrică, produs, cât al funcţiilor f şi g. Exemple 1o cu proprietatea că există , funcţia constantă, notată f = c; pentru c = 0, funcţia f = 0 este funcţia identic nulă pe A sau funcţia nulă pe A.

2o

funcţia modul (normă pe R)

3o

funcţia signum.

48

0

y

x

y

0 x

y=1

y=-1

4o f:RR dată prin: f(x) este cel mai mareîntreg n cu proprietatea n x, adică

numită funcţiaparte întreagă notată prin [x] sau x* sau E(x).

5o se numeştefuncţia partea zecimală şi numărul

se numeşte partea zecimală a

lui x, notat şi prin . Se

constată din definiţie că avem ,

deoarece pentru , partea înteagă a lui x, .Limite de funcţii reale

Vom prezenta conceptul de limită a unei funcţii într-un punct care este o generalizare naturală a limitei unui şir numeric şi apoi conceptul de funcţii continue într-un punct care este un caz particular de funcţii cu limită.Ideea centrală privind existenţa unei funcţii f cu limita un element l într-un punct x0, este exprimată prin faptul că la orice punct x apropiat de x0, imaginea sa prin f este suficient de apropiată de l; f este continuă în x0, dacă la orice două puncte apropiate între ele şi vecine cu x0 corespund imagini prin f apropiate între ele. Noţiunea de limită a unei funcţii are sens în x0 punct de acumulare pentru A, adică . Definiţia 3.3 (Definiţia cu vecinătăţi) Fie

.1] Funcţia f are limită în punctul x0 egală cu elementul l, notată:

, dacă şi numai dacă, avem:

2] Fie . Dacă există atunci spunem că l1

este limita lui f în x0 relativ la mulţimea B, notată:

.

Observaţii1. Condiţia ne asigură că există puncte

49

y

0 x1 2 3-1-2-3

y

0 x

x A respectiv x B cu există imaginea sa prin

.2. Punctul x0 A’ poate fi din A: x0 A sau x0 A.

3. Funcţia f nu are limită în x0 sau

VV(l) a.î. U V(x0), Teorema 3.1 (de caracterizare a funcţiilor cu limită)Fie . Următoarele afirmaţii sunt echivalente:(i) (definiţia cu vecinătăţi)

(ii)

(definiţia cu (ε,δ))

(iii) .

Demonstraţie I (i) (ii) Dacă (i) adevărată pentru ε > 0 dat luăm care poate fi de forma

corespunzător lui

tocmai (ii)

II (ii) (iii) Presupunem (ii) adevărată şi fie cu

. Pentru ε > 0 dat alegem

adică şi (iii) adevărată.

III (iii) (i) Fie (iii) adevărată şi demonstrăm implicaţia prin metoda reducerii la absurd. Presupunem (i) falsă

Pentru n 1 luăm şi alegem

cu este absurd, deoarece avem (iii) adevărată, deci

(3) este falsă şi atunci este adevărată negaţia lui (3) adică (i). ◄ Observaţii1. După teorema 3.1, condiţia (ii) este caracterizarea limitei cu (ε,δ) şi condiţia (iii) este caracterizarea limitei cu şiruri. Fiecare dintre ele poate fi considerată

50

definiţie pentru limita unei funcţii în punct şi definiţia cu vecinătăţi devine atunci condiţie de caracterizare.2. Folosind condiţia de caracterizare a limitei (iii) se vor demonstra proprietăţi ale funcţiilor cu limită folosind proprietăţi cunoscute ale şirurilor numerice convergente în R.3. Echivalenţa (ii) (iii) se numeşte criteriul Heine pentru existenţa limitei. Teorema 3.2 (Cauchy-Bolzano)Fie , atunci:

Demonstraţia acestei teoreme de caracterizare pentru existenţa limitei unei funcţii în punct în bibliografie ([13]; [16]) ◄

Observaţii1. Fie atunci

este limita la stânga în x0 a lui f.

Pentru cu atunci

este limita la dreapta în x0 a lui f.

2. dacă

3.

Limita unei funcţii în punct este o noţiune locală deoarece existenţa şi valoarea ei depind de comportarea funcţiei pe o vecinătate a punctului.4. este funcţie lipschitziană pe

. După teorema 3.2 (Cauchy-Bolzano),

o funcţie f lipschitziană pe A are limită finită în fiecare . Teorema 3.3 (Proprietăţi ale funcţiilor cu limită în punct)Fie care admite limite finite în x0, atunci avem:

51

Demonstraţia teoremei este imediată folosind caracterizarea limitei într-un punct cu şiruri şi operaţiile algebrice cu şiruri convergente în R. ◄ Observaţie. Teorema 3.3 este valabilă dacă

cu respectarea convenţiilor privind operaţiile algebrice cu elemente din , enumerate în definiţia mulţimii. Exemple.

1o nu există

avem .

2o Funcţia Dirichlet: nu are limită în nici un punct x0 R.

Pentru x0 R există la fel există

.

Definiţia 3.41] Fie , atunci avem:

2] Dacă , avem:

52

Observaţie. Din (6) şi (7) se pot caracteriza în acelaşi mod şi cazurile:.

Exemplu. .

Teorema 3.4 (Limita compunerii de funcţii). Fie

cu . Dacă există şi există

, atunci există .

Demonstraţie. Fie notăm

. Cum

. Prin ipoteză

există

.◄ Teorema 3.5Fie , atunci au loc afirmaţiile.

1) Dacă şi există , atunci

2) Dacă a.î. f este mărginită pe şi

atunci .

3) Dacă şi există

, atunci există .

53

Demonstraţia se obţine direct folosind caracterizarea limitei cu şiruri şi proprietăţile şirurilor convergente. ◄ Teorema 3.6Fie I R interval şi f: I R o funcţie monotonă, atunci punct interior există şi avem:

Demonstraţie Presupunem f monoton crescătoare pe I. Fie

crescător şi interior; în plus . Cum

şi f crescătoare, avem , deci şirul este

crescător şi din adică este mărginit

superior. După teorema de convergenţă a şirurilor monotone este

convergent în R şi . La fel se arată că există

şi are loc (8). ◄ Definiţia 3.5 Fie o funcţie

1] Elementul se numeşte limita inferioară a funcţiei

f în x0, notată:

2] Elementul se numeşte limita superioară a

funcţiei f în x0, notată:

Observaţie. Elementele există totdeauna în R sau în .

Avem .

Exemple.

1o

2o ,

54

3o

Funcţii continue în punct şi pe o mulţimeFuncţiile continue sunt un caz particular de funcţii care au limită. Conceptul de continuitate este o ipoteză fundamentală în studiul unor fenomene din realitate, dar de multe ori apar şi fenomene care prezintă discontinuităţi. Proprietăţile unui fenomen discontinuu se vor studia prin aproximarea acestuia cu alt fenomen continuu suficient de asemănător în aspectele sale esenţiale. Definiţia 3.6Fie 1] Funcţia f este continuă în x0 A

(definiţia cu vecinătăţi)2] Funcţia f este continuă pe A sau f este funcţie continuă f este continuă în .3] Dacă f nu este continuă în x0 A, prin definiţie, f este funcţie discontinuă în x0 şi x0 se numeşte punct de discontinuitate al funcţiei f din A. Teorema 3.6 (Teoremă de caracterizare pentru funcţii continue)Fie , următoarele afirmaţii sunt echivalente:(i) f continuă în x0 A (definiţie cu vecinătăţi)

(ii)

(iii)

Demonstraţia se obţine din teorema de caracterizare a limitei în punct luănd x0 A, renunţând la x x0 (xn x0) şi pentru l = f (x0) R.◄ Consecinţa 3.1. Dacă f : A R este continuă în x0 A, avem:

Teorema 3.7 (Teoremă de caracterizare pentru funcţii continue)Fie , atunci avem:

1) Dacă , f continuă în

2) Dacă punct izolat, f este continuă în x0. Demonstraţia este imediată folosind caracterizarea continuităţii cu şiruri (3) şi se obţine 1) şi la fel pentru 2) folosind definiţia unui punct izolat al A. ◄

55

Definiţia 3.7Fie I R interval, x0 I punct interior şi f : I R1] Punctul x0 I este punct de discontinuitate de speţa a I-a

2] Punctul x0 I este punct de discontinuitate de speţa a II-a

Observaţii1. x0 I este punct de discontinuitate de speţa a II-a a lui f : A R

2. Pentru funcţia f : A R are sens definiţia limitei lui f în x0 numai pentru . Continuitatea lui f în x0 are sens numai pentru

x0 A. Dacă funcţia f poate fi continuă în x0, dar nu are limită în acest punct.3. Punctul x0 A şi f : A R, x0 se numeşte punct de discontinuitate aparentă sau neesenţială sau eliminabilă dacă există . În acest caz se asociază lui f o funcţie continuă pe A care diferă de f numai în punctul x0 A.

4. Dacă există şi şirul valorilor

nu are limită în R sau limita sa este diferită de f (x0), atunci f este discontinuă în x0 A (condiţia (iii) din teorema 1. (sau (3))).5. Fie f : A R şi x0 B A R, dacă f este continuă în x0, atunci este continuă în x0 şi au loc cazurile speciale: I şi f este continuă la stânga în x0 A

este continuă în x0 A.

II şi f este continuă la dreapta în x0 A

este continuă în x0 A.6. Din teorema 2 şi observaţia 5, rezultă echivalenţele:

(8) f continuă în x0 A

56

Exemple. 1o Fie f : [-1,1] R cu f (x) = 3, x A = [-1,1] f continuă pe A.

2o funcţia caracteristică a mulţimii

A = [0,1] este continuă pe (0,1) şi are puncte de discontinuitate de speţa a I-a în: x0 = 0 şi x0 = 1.

Pentru x0 R - {0,1} fixat şi , avem:

I Dacă x0 (0,1) atunci există n0 N, n0 1 a.î. xn (0,1) şi pentru n n0 f (xn) = 1 f (x0) = 1 f continuă în x0 (0,1).

II Fie xn < 0 cu şi (xn) fixat, atunci f (xn) = 0 şi ,

iar deci x0=0 este punct de discontinuitate de speţa

a I-a.La fel se arată că x0 = 1 este punct de discontinuitate de speţa a I-a.

3o Funcţia Dirichlet este discontinuă în

x0R şi x0 este punct de discontinuitate de speţa a II-a. Fie x0 R fixat şi presupunem, prin reducere la absurd, că f este continuă în x0. Pentru xnQ

(n0) şi , avem: .

Pentru cum

şi avem este absurd, deci f nu este continuă în

x0. Cum pentru avem

şi pentru avem

, rezultă că nu există . La fel se arată că nu

există .

57

4o Funcţia cu f funcţia Dirichlet de

la 3o. Funcţia F este continuă în x0 = 0. Pentru xn R cu avem: F (xn)

= xn, dacă xn Q şi ; iar pentru avem

. Deci există . Funcţia F este

discontinuă în . Definiţia 3.8. Fie două mulţimi şi o funcţie continuă pe A.1] Funcţia f poate fi prelungită prin continuitate pe B, dacă există continuă astfel încât .2] Dacă , funcţia f poate fi prelungită prin continuitate în x0, dacă există continuă astfel încât . Teorema 3.8 Fie o funcţie continuă. Există o funcţie unică continuă astfel încât , dacă şi numai dacă, în orice x0

punct de acumulare pentru şi x0 A, există finită.

Demonstraţie Fie (închiderea lui A), funcţie continuă cu , atunci pentru (punct de acumulare pentru B) cu x0 A, există

şi avem şi f este

prelungită prin continuitate în x0. Dacă , avem

.◄ Exemple.

1o se poate prelungi prin continuitate în x0 = 0 R,

deoarece există .

2o nu poate fi prelungită prin continuitate în

x0 = 0 .

3o nu poate fi prelungită prin continuitate în

x0 = 0, deoarece .

Teorema 3.9 Fie funcţii continue în

x0 A, atunci funcţiile:

58

sunt continue în x0 A. Demonstraţia este imediată folosind (iii) (3) din teorema 3.6 şi operaţiile cu şiruri convegente din R. ◄ Teorema 3.10 funcţii. Dacă f este continuă în x0 A şi g este continuă în , atunci este continuă în x0 A.

Demonstraţie. Fie şi cum f este continuă în x0

A, avem . Funcţia g este continuă în

şi avem:

şi g este

continuă în x0 A. Conform teoremei 1 ((iii) (3)), dacă f continuă pe A şi g continuă pe B, atunci este continuă pe A. ◄

Proprietăţi ale funcţiilor continue pe mulţimi din RFie A R şi în unele cazuri A = I interval, iar o funcţie.

Teorema 3.11 (Teorema lui Bolzano)Dacă este o funcţie continuă, atunci este interval.

Demonstraţie. Fie şi să dovedim că I este interval.După definiţie: săaratăm că . Dacă , se dovedeşte că

există astfel încât şi atunci , deci J este interval. ◄ Consecinţa 3.2 (Teorema intersecţiei a lui Cauchy)Dacă este o funcţie continuă şi pentru avem

, atunci există cel puţin un punct c între x1 şi x2 astfel încât f (c) = 0. Demonstraţia este directă din teorema 3.11 pentru = 0. ◄ Consecinţa 3.3 (Teorema valorilor intermediare)Fie I R interval şi f : I R funcţie continuă, atunci f areproprietatea Darboux (proprietatea valorilor intermediare) pe I. Demonstraţie. Dacă I1 I este interval, după teorema 1, f (I1) este interval şi deci f are proprietatea Darboux (a, b I cu [a, b] = I1, atunci f (I1) = J1

interval, adică pentru între f (a) şi f (b) există c (a, b) astfel încât f (c) = ).◄

Consecinţa 3.4Dacă f : I R este funcţie continuă pe intervalul I şi ,atunci f are semn constant pe I (fie f > 0 pe I, fie f < 0 pe I).

59

Teorema 3.12 (Teorema de invarianţă a mulţimilor compacte)Fie A R o mulţime compactă şi f : A R. Dacă f este funcţie continuă pe A, atunci f (A) R este mulţime compactă. Demonstraţie A R este mulţime compactă A este închisă şi mărginită

conţine un subşir cu

. Fie pentru şi un subşir al său

.

Dacă , atunci există a.î.

şi cum A este compactă există a.î.

deci

şi f (A) este mulţime compactă. ◄ Teorema 3.13 (Teorema lui Weierstrass)Fie A R o mulţime compactă şi f : A R o funcţie continuă, atunci f este mărginită şi îşi atinge marginile pe A.

Demonstraţie

mărginită şi închisă f mărginită pe A (conform definiţiei) şi sup f (A), inf f (A) f (A), adică există x1, x2 A a.î. f (x1) f (x) f (x2), x A şi f (x1) = inf f (A), f (x2) = sup f (A). ◄ Consecinţa 3.5Fie I R interval compact şi f : I R funcţie continuă, atunci f (I) R este interval compact. Consecinţa 3.6Fie I R interval şi f : I R funcţie monotonă pe I.Pentru , există cu

şi f are numai puncte de discontinuitate de speţa a I-a pe I. Teorema 3.14Fie I R interval şi f : I R funcţie monotonă, iar este interval, atunci f este continuă pe I. Demonstraţia în bibliografie ([10], [13], [16]). ◄ Teorema 3.15În mulţimea R au loc următoarele limite fundamentale:

60

Demonstraţia în bibliografie ([11]; [13]; [16]). ◄ Definiţia 3.9Fie I R interval şi f : I R o funcţie.1] f este funcţie

uniformcontinuă pe A

2] f este funcţie Lipschitz

sau funcţie lipschitziană

pe APentru f se numeşte contracţie pe A. Observaţii.1. Noţiunea de funcţie continuă în este cu caracter local, depinde de

.2. Noţiunea de funcţie uniform continuă pe A are caracter global, este valabilă pe toată mulţimea A.3. Funcţia f nu este uniform continuă pe A, dacă şi numai dacă avem:

Teorema 3.16 Dacă f : I R este funcţie Lipschitz pe A, atunci f este uniform continuă pe A. Demonstraţie. Avem:

f este uniform continuă pe A.◄

61

Teorema 3.17 Dacă f : I R este funcţie uniform continuă pe A, atunci f este continuă pe A. Demonstraţie x0 A fixat şi x A, cum f este uniform continuă pe A, avem:

f continuă în x0 A f continuă pe A. ◄ Observaţii1. Din teoremele IV şi V rezultă implicaţiile: f contracţie pe A f este funcţie Lipschitz pe A f uniform continuă pe A f continuă pe A.2. Facă f este uniform continuă pe B A cu , nu rezultă obligatoriu f continuă pe B. Exemplu Fie A = R, B = [0,1] A şi f : R R funcţia caracteristică a lui B; f este uniform continuă pe B şi totuşi f nu este continuă în x1 = 0 şi x2 = 1, deci f nu este continuă pe B.3. Dacă f este continuă pe A, nu implică f uniform continuă pe A. Exemplu

este continuă pe A=(0,1), dar f nu este uniform continuă pe A.

Teorema 3.18 (Teorema lui Cantor)Fie A R şi f : A R o funcţie continuă pe A. Dacă A este mulţime compactă din R (închisă şi mărginită) atunci f este uniform continuă pe A. Demonstraţia prin metoda reducerii la absurd din bibliografie ([10], [11], [13]). ◄ Exemple1o . Pentru , avem:

dacă f este uniform

continuă pe R. De fapt f este funcţie Lipschitz pe R cu L = |a| > 0 şi după teorema IV este uniform continuă pe R.2o este funcţie Lipschitz pe R cu L = 1, avem:

f esteuniform continuă pe R.

3o nu este uniform continuă pe A. Prin reducere

la absurd, presupunem că f este uniform continuă pe A. Pentru

dacă

în aceste condiţii avem pentru .

62

Fie şi avem: este absurd, deoarece

f nu este uniform continuă pe A.

4o şi fie , iar .

Avem:

. Dacă luăm şi pentru

, deci f este uniform continuă pe [0,).

Modulul 3.2 - Derivate şi diferenţiale de ordin I pentru funcţii reale de o variabila reală. Aplicaţii

Derivata şi diferenţiala sunt două concepte fundamentale ale matematicii, care reprezintă o sinteză pe plan matematic a unor probleme concrete din: geometrie, fizică, economie, informatică, tehnică etc.

Derivata permite studiul vitezei de variaţie a unor procese care depind de mărimi variabile din realitatea fizică; din punct de vedere matematic, derivata reprezintă "viteza de variaţie a unei funcţii în raport cu variaţia argumentului".

Diferenţiala este intim legată de problema aproximării locale a unor procese neliniare prin procese liniare; în limbaj matematic, diferenţiala permite "aproximarea locală a unor funcţii prin funcţii liniare" (sau funcţii polinomiale de gradul întâi).

Problema centrală a "Calculului diferenţial în R" şi în general în Rn (n 1), constă în aproximarea unei funcţii date în vecinătatea unui punct, cu o funcţie liniară, astfel încât eroarea pe care o facem sa fie un infinit mic de ordin superior faţă de variaţia argumentului.

Fie D R o mulţime deschisă (notaţie consacrată în text pentru această clasă de mulţimi), x0 R un punct de acumulare pentru D, x0 D' R şi în acest caz s-a definit noţiunea de limită în punct pentru

. Dacă x0 R D D', atunci s-a definit noţiunea de funcţie continuă în punct. Noţiunea de funcţie continuă în punct se poate caracteriza astfel:

f continuă în x0 D D' există pentru

, avem pentru , avem

.

63

În punctele de acumulare x0 D D' există o legătură intrinsecă între creşterea (variaţia) argumentului notată şi creşterea (variaţia) funcţiei în punctul x0, notată = f(x) – f(x0). Vom evalua comportarea lui

faţă de comportarea lui în două moduri diferite:I raportul

II diferenţasau

, care vor conduce la noţiunea de funcţie derivabilă în punct şi respectiv noţiunea de funcţie diferenţiabilă în punct . Definiţia 3.10Fie mulţime deschisă, .1] Funcţia f are derivată în x0 D, elementul notat f' (x0) dat prin:

2] Funcţia f este derivabilă în x0 D, dacă există .3] Funcţia f este derivabilă pe D, dacă este derivabilă în orice x0 Dşi îi asociem funcţia:

numită f'

funcţia derivată sau derivata lui f pe D.

4] Dacă există , f are derivată la stânga în x0

D şi în cazul f este derivabilă la stânga înx0 D.

Dacă există , f are derivată la

dreapta în x0D şi în cazul f este derivabilă la dreapta în x0D. Teorema 3.19Funcţia este derivabilă în , dacă şi numai dacă,

64

există . Demonstraţia este directă din legătura între limitele laterale şi limita într-un punct de acumulare x0 D D'. ◄ Definiţia 3.11Fie D R mulţime deschisă, f : D R şi x0 D.1] Funcţia f este diferenţiabilă în x0 D dacă există o constantă A R şi o funcţie : D R continuă şi nulă în x0

astfel încât:

2] Funcţia f este diferenţiabilă pe D, dacă este diferenţiabilă în orice x0 D. Se numeşte diferenţiala lui f în x0 D, funcţia liniară, notată

, dată prin:

Observaţii1. Dacă fixăm x0 D şi considerăm funcţia:

atunci există f' (x0), dacă şi numai dacă, există:

2. Interpretarea geometrică a derivatei în punct: este panta tangentei geometrice la graficul funcţiei y = f (x), x D în punctul(x0, f (x0))=Gf şi ecuaţia tangentei în acest punct este:

3. Din definiţia diferenţialei în punct prin (4), rezultă că graficul lui este o dreaptă care trece prin origine de pantă m = f' (x0) şi care este paralelă cu tangenta la graficul lui f în punctul (x0, f (x0)). În aceste condiţii graficul lui f diferenţiabilă în x0 D poate fi aproximat pe V D, V V (x0) suficient de mică cu graficul tangentei sale în punctul (x0, f (x0)) Gf. Teorema 3.20

65

Dacă f : D R este derivabilă în x0 D, atunci (în mod necesar) f este continuă în x0 D. Demonstraţie Pentru x0 D D', considerăm identitatea:

şi prin trecerea la limită,

avem:

f continuă în x0 D. ◄ Observaţii1. Dacă este derivabilă la stânga în x0, atunci f este continuă la stânga în x0. Dacă f este derivabilă la dreapta în x0, atunci f este continuă la dreapta în x0.2. Reciproca teoremei 3.20 nu este în general adevărată. Exemplu este continuă în x0 = 0 D, dar nu este derivabilă

în x0 = 0; avem .3. Dacă există ( x0) cu x0 D, nu rezultă obligatoriu că f este continuă în x0.

Exemplu are derivată şi f este

discontinuă în x0 = 0.4. Dacă f este discontinuă în x0 D, atunci în mod sigur, f nu este derivabilă în x0.5. Mulţimea funcţiilor derivabile în x0 D (f : D R) este strict înclusă în mulţimea funcţiilor continue în x0 D.

Exemplu este continuă în x0 = 0 şi continuă pe R

avem şi , deci f nu este derivabilă

în x0 = 0. Teorema 3.21Dacă este diferenţiabilă în x0 D mulţime deschisă, atunci f este continuă în x0 D. Demonstraţie Are loc identitatea (3):

şi luând , prin trecere la limită avem:

66

f continuă în x0 D. Dacă x0 D este punct izolat, atunci f este continuă în x0. Teorema 3.22 Fie D R mulţime deschisă şi x0 D. Funcţia f este diferenţiabilă în x0 D, dacă şi numai dacă, f este derivabilă în x0 Dşi avem: . DemonstraţiePresupunem f diferenţiabilă în x0 D. Are loc identitatea:

şi pentru , avem:

, de unde prin trecere la limită

şi

conform definiţiei 1, f este derivabilă în x0 D cu .Presupunem f derivabilă în x0 A. Există

şi luăm . Definim funcţia prin:

şi avem:

şi este continuă şi nulă în x0 D.

Din () pentru x x0, avem:

valabilă

pentru , În acest caz din (4) avem:

.◄ Consecinţa 3.7Funcţia f : D R, D mulţime deschisă, f este diferenţiabilă pe D, dacă şi numai dacă, f este derivabilă pe D şi avem

Observaţii1. Fie funcţia identitate: şi în

67

particular ; aceste funcţii sunt derivabile

, deci sunt funcţiidiferenţiabile pe R şi respectiv pe D. Notăm diferenţiala lui 1R respectiv 1D prin dx pentru x R şi respectiv x D. Avem conform definiţiei 2, identitatea

2. Folosind observaţia precedentă din (5), avem:

3. Din identitatea (3) definiţia 2, dacă f este diferenţiabilă în x0 D,avem: şi variaţia

funcţiei în x0: se poate aproxima cu partealiniară din (3') şi se obţine:

Dacă f este derivabilă pe D, atunci derivata lui f în x0 D esteraportul dintre diferenţiala lui f în x0 şi diferenţiala funcţiei identitate

1R, deci .

Teorema 3.23 (Operaţii cu funcţii derivabile şi funcţii diferenţiabile)Fie D R mulţime deschisă cu x0 D D' şi f,g: D R.Dacă f,g sunt derivabile în x0, deci şi diferenţiabile în x0, atunci

funcţiile: sunt

derivabile şi deci diferenţiabile în x0 D şi au loc formulele de calcul:

68

Demonstraţie pentru regulile (I1) - (IV1) sunt cele directe, cu ajutorul definiţiilor 1 - (1), care sunt prezentate în toate manualele de matematică din liceu. Regulile (I2) - (IV2) se deduc din regulile de derivare (I1) - (IV1) folosind formulele (5'). ◄ Teorema 3.24 (Derivarea şi diferenţierea funcţiilor compuse)Fie D, E R mulţimi deschise şi f : D R, g : E R, iar x0 D D' şi y0 = f (x0) E E'. Dacă f este derivabilă în x0 D şig este derivabilă în x0 E, atunci f ○ g : D R este derivabilă în x0 D cu derivata dată prin:

Demonstraţia este imediată folosind definiţia 1 - (1) şi caracterizarea limitei în punct cu şiruri. ◄ Consecinţa 3.8Fie D, E R mulţimi deschise şi f : D R, g : E R funcţii diferenţiabile f în x0 D şi g în y0 = f (x0) E, atunci f ○ g este diferenţiabilă în x0 D şi avem:

Demonstraţia este imediată din (5') şi (8). ◄ Teorema 3.25 (Derivarea funcţiei inverse)Fie I, J R intervale deschise şi f : I J o funcţie continuă şi bijectivă. Dacă f este derivabilă în x0 I cu f '(x0) 0, atunci funcţia inversă f -1 : J I este derivabilă în y0 I cu y0 = f (x0) şi avem:

Demonstraţie Notăm y = f (x) J pentru x I şi după definitia 1,

avem:

Din continuitatea lui f pe I, rezultă:

este

derivabilă în y0 J şi are loc (10). ◄Derivatele unor funcţii elementare

69

70

Observaţii1. Din formulele (1o) – (11o) folosind (5') se deduc regulile de diferenţiere ale unor funcţii elementare.2. Alte funcţii elementare au derivate care se pot calcula folosind (8) din teorema 6 şi (10) din teorema 7.

Proprietăţi ale funcţiilor derivabile pe un interval din R(Teoreme fundamentale ale calculului diferenţial)

Teorema 3.26 (Teorema lui Fermat)Fie I R interval x0 I punct interior şi punct de extrem local pentru f : I R. Dacă f este derivabilă în x0, atunci (în mod necesar) . Consecinţa 3.9Fie I R interval şi f : I R. Dacă f este derivabilă pe I, atunci punctele de extrem local ale lui f se gasesc pentru soluţiile ecuaţiei: . Observaţii1. Dacă x0 din teorema lui Fermat nu este punct interior lui I, afirmaţia nu este obligatoriu valabilă. Exemplu: un punct de minim absolut din I, şi un punct de maxim absolut, totuşi:

.2. În general, nu orice punct de extrem local este un punct critic (staţionar) adică o soluţie x I a ecuaţiei ; invers, nu orice punct critic (soluţie a

ecuaţiei ) este punct de extrem local.

Exemplu este punct

critic al lui f din I; dar , deci f este strict crescătoare pe I şi nu are punct de extrem local interioare lui I.3. Din punct de vedere geometric, teorema lui Fermat exprimă faptul că dacă, graficul lui f admite o tangentă într-unpunct de extrem local interior intervalului de definiţie, atunci tangenta la grafic în acest punct este paralelă cu axa Ox. Teorema 3.27 (Teorema lui Rolle)Fie a,b R cu a < b şi f : [a, b] R o funcţie cu proprietăţile: 1) f continuă pe [a, b]; 2) f derivabilă pe (a, b); 3) f (a)=f (b). Atunci există cel puţin un punct c (a, b) astfel încât .

71

Consecinţa 3.10Fie I R interval şi f : I R derivabilă pe I şi a, b I cu a < b, atunci au loc afirmaţiile:

(i) Între două radacini (soluţii) consecutive ale ecuaţiei f (x) = 0se află cel puţin o rădăcină (soluţie) a ecuaţiei f '(x) = 0.

(ii) Între două radacini (soluţii) consecutive x1, x2 ale ecuaţieif '(x) = 0 se află cel mult o rădăcină (soluţie) a ecuaţiei f (x) = 0 şi exact o singură rădăcină dacă f(x1)f(x2) < 0. Demonstraţiile pentru (i) şi (ii) sunt directe din teorema lui Rolle. ◄ Observaţii1. Din punct de vedere geometric are loc interpretarea următoare: dacăf este continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b) cu f (a)=f (b), atunci există un punct c (a, b) astfel încât tangenta geometrică la graficul lui f în punctul (c, f (c)) Gf este paralelă cu axa Ox.2. Dacă f : [a, b] R satisface condiţiile din teorema lui Rolle, conform consecinţei 2, ecuaţia f '(x) = 0 poate avea o soluţie, unnumăr finit arbitrar de soluţii sau o infinitate numărabilă de soluţii pe (a, b). Exemple 1o satisface condiţiile din teorema

Rolle şi ecuaţia are o singură soluţie x0 = 0 (-1,1).

2o , ecuaţia

are exact (n + 1) soluţii în punctele cu

.

3o pentru , avem

şi după teorema lui Rolle pe intervalul ,

n 1, ecuaţia are o infinitate numărabilă de soluţii xn cu n 1. Observaţie. Fiecare dintre condiţiile: 1), 2), 3) din teorema lui Rolle sunt esenţiale pentru valabilitatea concluziei sale.Exemple 1o derivabilă pe (0,1) şi f (0) f(1), admite

72

2o derivabilă pe (0,1) cu f (0) = f (1) = 1, dar f

este discontinuă în x0 = 0 şi evident avem .

3o şi f derivabilă pe deci f nederivabilă în x0 = 0; avem

.

Observaţie. Condiţiile din teorema Rolle sunt numai suficiente şi nu obligatoriu necesare ca derivata să se anuleze într-un punct. Exemple

1o este continuă numai în x0 = 0

şi avem

2o este derivabilă pe [-1,1] cu şi

totuşi, se anulează în x0 = 0 (-1,1) . Teorema 3.28 (Teorema lui Lagrange)Fie a,b R cu a < b şi f : [a, b] R o funcţie cu proprietăţile:1o] f continuă pe [a, b]2o] f derivabilă pe (a, b), atunci există un punct c(a, b) astfel încât:

Consecinţa 3.11 (din teorema lui Lagrange)Fie I R interval şi f : I R o funcţie continuă pe I şi f derivabilă în orice punct interior x I, atunci au loc următoarele afirmaţii:(c1) Pentru x1, x2 I cu x1 < x2 există c (x1, x2) a.î.

(c2) Dacă f este derivabilă pe I şi , atunci f este constantă pe I.(c3) Funcţia f derivabilă pe I este:

(c4) Dacă I R este interval compact şi f derivabilă pe I are f ' funcţie mărginită pe I, atunci f este funcţie Lipschitz pe I. Demonstraţiile se obţin direct prin aplicarea teoremei Lagrange.◄

73

Observaţii1. Dacă f : I R este derivabilă şi strict monotonă, nu rezultă obligatoriu f ' > 0 pe I (sau f ' < 0 pe I). Exemplu derivabilă şi strict crescătoare pe R cu

pe R; avem .2. Din punct de vedere geometric teorema lui Lagrange are următoareainterpretare: dacă f este continuă pe [a, b] şi derivabilă pe (a, b) atunci există cel puţin un punct c (a, b) a.î. tangenta geometrică la graficul lui f în punctul (c, f (c)) Gf este paralelă cu dreapta care trece prin punctele A(a, f (a)) şi B(b, f (b)) (A,B Gf).3. Teorema lui Lagrange permite demonstrarea unor inegalităţi. Teorema 3.29 (Teorema lui Cauchy)Fie a,b R cu a < b şi f, g : [a, b] R două funcţii cu proprietăţile:1o] f, g continue pe [a, b]2o] f, g derivabile pe (a, b)3o] g'(x) 0, x (a, b), atunci g(a) g(b) şi există cel puţin un punct c (a, b) astfel încât:

.

Observaţie Teorema Lagrange este caz particular al teoremei lui Cauchy pentru g(x) = x, x [a, b]. Teorema 3.30 (Teorema lui Darboux)Fie I R interval şi f : I R o funcţie derivabilă pe I, atunci derivata sa f ' : I R are proprietatea Darboux pe I. Demonstraţie. Pentru cuprins între f '(a)şi f '(b) să dovedim că există x0 (a, b) a.î. f ' (x0) = (proprietatea valorilor intermediare pentru funcţia f ' ).Presupunem f '(a) < f '(b) şi R cu f '(a) < < f '(b) şi considerăm F : I R cu F (x) = f (x) - x, x I şi pentru f '(a) < < f '(b), avem: F' (a) = f ' (a) - < 0 şi F' (b) = f ' (b) - > 0

După definiţie: şi

şi în aceste condiţii după proprietăţile

funcţiilor cu limită în punct există c, d (a, b) a.î.

Funcţia F este continuă pe [a, b] compact din R şi atunci există

74

x0 [a, b] a.î. şi din (4) avem x0 a şi x0 b, deci x0 (a, b) şi este punct de minim. După teorema lui Fermat avem

şi f are proprietatea Darboux pe I.◄ Consecinţa 3.12Fie I R interval, funcţie derivabilă de I şi dacă ,

atunci avem fie fie . Demonstraţia este directă din teorema lui Darboux. ◄ Teorema 3.31 (Consecinţă a teoremei Lagrange)Fie I R interval, x0 I şi funcţie cu proprietăţile:1o f continuă pe I 2o f derivabilă pe I - {x0} 3o există

, atunci există . Dacă l R funcţia

este continuă în x0 I. Demonstraţia din teorema lui Lagrange, în bibliografie ([10], [13], [16]).◄ Observaţii1. Teorema VI este adevărată şi în cazul existenţei limitelor laterale în

: .

2. Continuitatea lui f în x0 I este o condiţie esenţială pentru valabilitatea teoremei VI.

Exemplu este

discontinuă în x0 = 0. Avem şi deci,

şi nu există f '(0), avem .3. Condiţiile 1o, 2o, 3o din teorema VI sunt suficiente dar nu şi necesare obligatoriu pentru existenţa lui f ' în x0 I. Exemple

1o este continuă şi derivabilă pe R* cu

; f este continuă şi în x0 = 0. Nu există

şi totuşi avem .

75

2o (funcţia lui Hahn) este continuă pe R cu

şi există şi cum f continuă

în x0 = 0, avem , deci f ' este continuă pe R.

Înlăturarea formelor de nedeterminareTeorema lui Cauchy are aplicaţii în eliminarea formelor de nedeterminare. Definiţia 3.11Fie A R, punct de acumulare şi f, g : A R. Presupunem că există V V (x0) a.î. .

Dacă există limita: se notează prin .

1] Dacă , prin definiţie, este o nedeterminare

de forma: .

2] A înlătura sau a elimina sau a ridica o nedeterminare de forma înseamnă a

gasi valoarea limitei în cazul când această limită există.

3] La fel se definesc nedeterminările de forma: .

Teorema 3.32

Fie A R, punct de acumulare, f, g : A R. Dacă

prezintă o nedeterminare de forma ea se reduce la o

nedeterminare de forma .

Demonstraţie (I) Fie , atunci există V V (x0)

a.î. şi notând

76

; avem:

cu nedeterminarea se reduce la nedeterminarea .

La fel

(II) permite reducerea

nedeterminării la nedeterminarea .

(III) unde se

reduce la şi prin (II) la .

(IV) , atunci există V V (x0) a.î. f (x) > 0,

g (x) > 0, şi pentru

avem cu

.◄

Teorema 3.33 (Teorema lui Cauchy)Fie I R interval, x0 I şi cu proprietăţile:1o] 2o] f şi g derivabile în x0 şi , atunci există V

V (x0) cu şi avem

.

Demonstraţie În ipotezele teoremei, avem:

de unde rezultă .◄

Teorema 3.34 (Teorema lui L'Hospital)Fie un interval cu

, iar funcţii cu proprietăţile:

1o (respectiv )

77

2o f, g sunt derivabile pe I − {x0} şi g(x) 0, x I − {x0}

3o există atunci g(x) 0, x I − {x0}.

(respectiv există V V (x0) cu g(x) 0, x I − {x0}) şi există

Demonstraţia în bibliografie ([11]; [13]; [16]). ◄ Exemple

1o şi nu se aplică teorema lui

L'Hospital:

2o

3o

.

4o .

5o

6o .

78

Modulul 3.3 - Derivate de ordin superior.Formula lui Taylor. Aplicaţii

Derivate de ordin superiorFie A R o mulţime care îşi conţine punctele de acumulare, A' A şif : A R o funcţie derivabilă pe A. Definiţia 3.12 Fie f : A R funcţie derivabilă pe A cu f ': A Rderivata sa.1] Funcţia f este derivabilă de două ori pe A sau derivabilă de ordin II pe A, dacă şi numai dacă, funcţia derivată f ': A R este derivabilă pe A şi avem:

2] În mod recursiv, funcţia f este derivabilă de n ori pe A sau derivabilă de ordin n (n 2) pe A, dacă şi numai dacă există f ', f ''...,f (n−1): A R; şi funcţia f (n−1) este derivabilă pe A, avem:

.3] Funcţia f este de clasă n pe A, notat , sau f de clasă Cn pe A, dacă şi numai dacă, există f ', f ''...,f (n−1), f (n) pe A şi f (n) este funcţie continuă pe A. Teorema 3.35 (Operaţii cu funcţii derivabile de ordin n)Fie A R cu A' A şi f, g : A R. Dacă f şi g sunt funcţii derivabilede n ori pe A, atunci f ± g, f ( R), fg sunt funcţii derivabile de n ori pe A şi au loc formulele de calcul:

Demonstraţie Formulele (3) şi (4) se deduc, direct prin metoda inducţiei. Pentru formula (5) pentru n = 1, avem:

, deci P(1) adevărată.pentru k 1 presupunem P(k) adevărată:

şi să

demonstrăm că, este adevărată P(k+1). În acest scop derivăm şi

folosind relaţia de recurenţă:

79

obţinem expresia lui P(k+1) şi deci P(n) adevărată pentru orice n 1. ◄ Consecinţa 3.13Fie A R cu A' A şi f, g : A R. Dacă cu

, atunci: , şi . Demonstraţia este directă din teorema 1 şi definiţia 1 − 3. ◄ Observaţii1. Din definiţia 1, teorema 1 şi consecinţa 1, rezultă că din punct de vedere algebric mulţimea Cn(A) are structură de inel comutativ cu element unitate, în raport cu operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire a funcţiilor f, g : A R cu A R mulţime deschisă.2. Din definiţia 1 rezultă că şi are loc şirul de incluziuni:

unde este mulţimea funcţiilor continue f : A R.3. Prin inducţie se calculează derivata de ordin n (n 2) pentru funcţii elementare şi anume:

80

4. Vom enunţa unele teoreme pentru funcţiile derivabile pe un interval în cazul general al funcţiilor f Cn (A), A R ([11], [13], [16]). Teorema 3.36 (Teorema lui Rolle generalizată)Fie f : [a, b] R derivabilă de n ori pentru care există punctele

astfel încât , atunci există

. Demonstraţia se obţine aplicând în mod inductiv teorema lui Rolle, în bibliografie ([11], [16]). ◄ Teorema 3.37 (Teorema lui Cauchy generalizată)Fie I R interval, x0 I interior şi f, g : I R funcţii cu proprietăţile:1o] 2o] f şi g sunt derivabile de n ori în x0 I

3o] 4o] , atunci există

Teorema 3.38 (teorema lui L'Hospital generalizată)Fie interval, iar

, şi funcţii cu proprietăţile:

1o f, g derivabile de n ori şi

2o (respectiv ) pentru

3o există atunci

şi există .

Formula lui Taylor. Aplicaţii ale formulei Taylor.Fie I R interval, f : I R o funcţie derivabilă în x0 I, dacă există:

. Considerând funcţia

81

, atunci are loc

identitatea:cu

. În concluzie, dacă f este derivabilă ( diferenţiabilă) în x0 I, atunci f este aproximativ egală cu funcţia de gradul unu: , deci

.Folosind constatarea de mai sus, să dovedim că existenţa derivatei de ordin n (n 2) a funcţiei f în x0 I, antrenează faptul că f este “aproximativ egală” cu un polinom de gradul n în (x – x0) cu coeficienţi reali pe V V (x0), deci:

unde funcţia Rn(x) are proprietatea:

şi atunci, avem: . Răspunsul la

această problemă va fi dat prin formula luii Taylor care este o generalizare a formulei lui Lagrange: . Definiţia 3.13Fie A R mulţime deschisă, x0 A, f : A R o funcţie derivabilă de n ori în punctul x0 A.1] Polinomul:

se numeşte polinom Taylor de grad n

asociat lui f şi punctului x0.2] Funcţia

se numeşte rest

Taylor de ordin n asociat lui funcţiei f şi punctului x0.3] Identitatea: se numeşte formula lui Taylor şi membrul II din (3) se numeşte dezvoltarea Taylor de ordin n a funcţiei f în punctul x0 A. Teorema 3.39Fie I R interval deschis, x0 I şi f : I R o funcţie derivabilă de n ori în x0, atunci f poate fi exprimată pe I prin formula Taylor:

82

.

unde restul de ordin n, Rn(x) are proprietatea: .

Demonstraţie Formula (7) revine la a dovedi egalitatea (4) în ipotezele teoremei. Din (6) şi (7), avem:

. Funcţiile F şi G sunt derivabile de n ori în

x0I, cu: pentru

şi . După teorema 3 (teorema lui Cauchy generalizată) cu f şi g derivabile de n ori în x0 I, avem:

este adevărată. ◄

Teorema 3.40 (Teorema lui Taylor cu rest Peano)Dacă f : I R este derivabilă de n ori în x0 I cu I interval deschis din R, atunci există o funcţie : I R continuă şi nulă în x0 I a.î.:

restul lui Peano şi are loc formula Taylor

cu rest Peano:

.

Demonstraţia Folosind (4) verificată de funcţia Rn(x) după teorema I,

definim şi obţinem

, iar după (3) şi (8) are loc formula lui Taylor (9). ◄

83

Teorema 3.41 (Formula lui Taylor cu rest Lagrange)Fie I R interval, f : I R o funcţie derivabilă de (n+1) ori pe I, atunci pentru x I şi x0 I fixat, există un punct între x şi x0

astfel încât:

restul lui Lagrange şi are loc formula Taylor cu rest Lagrange:

Demonstraţie Fie x, x0 I şi considerăm A R pentru a defini egalitatea:

şi să determinăm A a.î. Rn(x) să fie restul Lagrange dat prin (10). Definim funcţia ajutătoare : J R cu Jsegmentul de extremităţi x0 şi x inclus în I, prin:

,

. După ipotezele din teorema 3.41, funcţia satisface condiţiile teoremei Rolle pe segmentul J şi atunci există un punct între x0 şi x a.î. '() = 0. Din (13) prin derivare, avem:

şi cum

şi

restul Lagrange din (10).◄

Teorema 3.42 (Formula lui MacLaurin)Dacă I R interval, f : I R o funcţie derivabilă de (n+1) ori pe I şi0 I, atunci există un punct între 0 şi x astfel încât are loc formula MacLaurin:

84

.

Demonstraţia este directă, prin formula (11) din teorema 3.41. ◄

Aplicaţii ale formulei lui Taylor

I] Pentru n = 1 din formula lui Taylor cu rest Peano (9) se obţine

care, prin definiţie, caracterizează funcţia f diferenţiabilă în x0 I cu A = f '(x0) R.II] Pentru n = 0 din formula lui Taylor cu rest Lagrange (11) se obţine:

cu între x şi x0

formula lui Lagrange pe [x0, x] sau [x, x0].III] Formula Taylor permite unele precizări în studiul variaţiei unei funcţii reale de o variabilă reală.Dacă f : [a, b] R este funcţie de clasă C2, f C2([a, b]), atunci prin definiţie:

(i) f este convexă pe [a, b] sau f “ţine apa” dacă pentru x, x0 [a, b] avem: , adică graficul lui f este situat deasupra tangentei în orice punct (x0, f (x0)) Gf.

(ii) f este concavă pe [a, b] sau f „nu ţine apa” dacă pentrux, x0 [a, b] avem: , adică graficul lui f este situat sub tangentă în orice punct (x0, f (x0)) Gf.După formula lui Lagrange cu rest de ordin 1 (pentru n = 1) avem:

cu situat între x şi x0, de

unde rezultă:(i) f este convexă pe [a, b] f '' 0 pe [a, b](ii) f este concavă pe [a, b] f '' 0 pe [a, b]

Din (14) avem:

unde şi

.Determinarea punctelor de extrem local

Teorema 3.43Fie I R interval, f : I R o funcţie derivabilă de n ori în x0 I (n 2) cu

, atunci au loc situaţiile:i) Dacă n este par, x0 I este punct de extrem local pentru f

85

1) punct de minim local când

2) punct de maxim local când ii) Dacă n este impar , x0 I nu este punct de extrem local. Demonstraţia În ipotezele teoremei are loc formula lui Taylor cu rest Peano:

cu şi

rezultă:

şi există

. După o proprietate a

funcţiilor cu limită în punct există V V (x0) a.î.

şi după (9''), avem:

. Are loc discuţia:

i) Dacă n este par, atunci şi avem

, deci conform definiţiei punctelor de extrem local:

1) x0 punct de minim pentru

2) x0 punct de maxim pentru

ii) Dacă n este impar are semn variabil pe , deci are semn variabil pe şi x0 I nu este punct de extrem local pentru f.◄

Consecinţa 3.14Fie I R interval, x0 I punct interior şi f : I R o funcţie de clasă C2 pe I, f C2(I), Dacă atunci x0 este punct de minim local, iar

pentru x0 este punct de maxim local. Demonstraţia este directă pentru n = 2.◄ Observaţii

86

1. Consideraţia este esenţială pentru valabilitatea teoremei V.

2. Exemplu şi să determinăm punctele de extrem

local din . Avem:

şi pentru

sunt puncte critice

ale lui f din I = [0, 2]. Avem:

etc.

I nu este punct de extrem local (n = 3).

II este punct de

maxim local şi .

III este punct de minim

local şi .

IV nu este punct de extrem local.

Aproximarea funcţiilor reale prin polinoame1. În aplicaţii se foloseşte mai mult formula Taylor cu rest Lagrange datorită formei simetrice a restului Rn faţă de ceilalţi termeni:

pentru f : I R derivabilă de (n+1) ori pe I.

2. Punctul situat între x şi x0 se poate exprima sub forma: astfel: notăm şi din sau

87

sau

.

3. Formula lui Taylor cu rest Lagrange (11) se scrie sub forma:

,

, 4. Formula MacLaurin (14) se scrie sub forma:

.

5. Din formula Taylor cu rest Lagrange (11) şi forma (11 '), rezultă că pe o vecinătate V V (x0) suficient de mică funcţia f poate fi aproximată prin polinomul Taylor de grad n:

6. Din formula (11') rezultă următoarele probleme legate de aproximarea lui f prin Tn pe V I:I Daţi h şi n, să se determine eroarea pe care o facem înlocuind f cu Tn pe V I.II Dat n şi cerându−se o anumită eroare En să se determine h, adică vecinătatea V = (x0 − h, x0 + h) V (x0) şi V I pe care apare o eroare mai mică decât En

când înlocuim f cu Tn pe V I.III dat h şi cerând o anumită eroare mai mică decât En, să se determine gradul n (n N) al lui Tn a.î. înlocuind f cu Tn pe intervalul (x0 − h, x0 + h) = V I să se obţină o eroare mai mică decât En.Răspunsurile la aceste probleme de aproximare se dau prin teorema următoare: Teorema 3.44 (Teorema de aproximare a funcţiilor prin polinoame)Fie I R interval deschis, f : I R cu f C(I) şi Tn şirulpolinoamelor Taylor, (Rn) şirul resturilor Taylor asociate lui f în x0 I, atunci au loc afirmaţiile:i) Dacă pentru fiecare x I fixat şirul polinoamelor (Rn (x)) n 0

converge la zero, deci: , în fiecare x I, atunci şirul polinoamelor Taylor (Tn (x)) n 0 converge la f (x), deci: în fiecare x I şi pe I.ii) Dacă I este un interval mărginit din R şi există un şir de numere reale pozitive (an)n 0 convergent la zero a.î.

, atunci şirul polinoamelor Taylor (Tn (x)) n 0 converge la f (x) în x I şi eroarea comisă prin aproximarea lui f prin

Tn este mai mică sau egală cu an, deci: ,

88

pe I.iii) Dacă I este interval mărginit de lungime l = lung (I) > 0 şi există

M R cu M > 0 a.î. , atunci şirul

polinoamelor (Tn) converge la f şi eroarea comisă En prin aproximarea lui f cu

Tn este mai mică sau egală cu numărul , deci

,

x I. Demonstraţie (i) Fie x0 centru intervalului I şi după formula Taylor cu rest Lagrange (11), avem din (16) în fiecare x I.

Dacă x I este fixat, există

în fiecare x I fixat şi atunci: în fiecare x I.

ii) Din (16) şi (17), avem: , x I şi

nN cu în fiecare x I fixat.iii) După ipoteza (18) şi inegalitatea (19) din formula (11) avem:

. Şirul numeric (bn este descrescător şi mărginit inferior de

zero cu lim bn = 0) şi atunci rezultă că există: .◄

Observaţii1. În cazul i) din teorema VI, Tn aproximează punctual f pe I, în sensul că pentru > 0 dat, se poate determina un polinom Tn (x) a.î.

pentru fiecare x I.2. În cazurile ii) şi iii) din teorema VI, Tn aproximează global funcţia f pe I, în sensul că > 0 dat, se poate determina un polinom Tn a.î.

pentru fiecare x I.3. Teorema VI se foloseşte pentru aproximarea funcţiilor reale indefinit derivabile pe un interval I R, adică f C(I), prin şirul polinoamelor Taylor Tn asociat lui f în orice punct x0 I. Exemple1o I) .

89

Avem şi după formula MacLaurin (14').

II) Pentru x R fixat, avem: în fiecare x I fixat;

În particular, pentru x = 1:

III) Pentru x [0, 1] să determinăm n N a.î. prin aproximarea

eroarea

pentru n = 3 şi avem: ,

.

2o ,

I) deci f C(R) şi avem

Din rezultă:

. Pentru fiecare x R fixat:

în fiecare x R şi

.

II) În particular, pentru x [0, 1], avem cu

90

.

III) Pentru radiani, obţinem cu o eroare

.

3o I)

. Avem:

.II) Pentru x [0, 1], avem:

şi deci:

cu

.

III) În particular, pentru n = 9 obţinem:

IV) Pentru x = 1, avem:

Calculul unor limite

În cazul calculului limitei: când şi se

poate folosi formula Taylor (9) sau (11) şi respectiv formula MacLaurin (14) pentru x0 = 0, în loc de a aplica teorema lui Cauchy sau teorema lui L'Hospital.

91

Exemple

1o după (9)

2o

.

3o Fie şi să se găsească primii trei termeni din

formula MacLaurin (14) aplicată lui f. Avem , şi

.

92