PERFORMANTA IN MATEMATICA DE GIMNAZIU

Multimi. Operatii cu multimi Partea I+II

Tema Nr. 14

Cls. a V a

4.02.2012 si 18.02.2012

Material intocmit de prof. Bajan Mariana

Tema de casa: exercitiile 6, 14, 15, 20

Se repet noiunile teoretice:

- mulime; element; relaia de apartenen

- relaii ntre mulimi; submulimi

- operaii cu mulimi

- cardinalul unei mulimi finite

Operaii cu mulimi.

1) Intersecia

AB={x/x A i x B}

2) Reuniunea

AB={x/x A sau x B} A B3) Diferena

A\B={x/x A i x B}4) Diferena simetric

AB=(A\B)U(B\A)

5) Produsul cartezian

AXB={(a;b) / a A, b B}

Ex: Fie A={x/x=2n, n N, n

AB={0,2,4,6,8,12}AB={0,6}

A\B={2,4,8}

B\A={12}

AB=(A\B)(B\A)={2,4,8}{12}={2,4,8,12}AxB={(0;0),(0;6),(0;12),(2;0),(2;6),(2;12),(4;0),(4;6),(4;12),(6;0);(6;6),(6;12),(8;0),

(8;6),(8;12)}

Proprieti:

1) Reuniunea, intersecia i diferena simetric sunt comutative.

AB = BAAB = BA

AB = BA

2) Diferena i produsul cartezian nu sunt comutative.

A\B B\A

AxB BxA

3) Reuniunea, intersecia i diferena simetric sunt asociative.

A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C

A(BC)=(AB)C

4) Reuniunea este distributiv fa de intersecie.

A(BC) = (AB)(AC)5) Intersecia este distributiv fa de reuniune.

A(BC) = (AB)(AC)

6) A= AA=

A\=A

\A=

Cardinalul unei mulimi finite reprezint numrul elementelor din acea mulime.

Se noteaz card A.

Observaie: Nr. submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n

Relaii ntre cardinalul mulimilor i operaii cu acestea.

1) Principiul includerii i excluderii

card (AB) = card A + card B card (AB)

2) card (AB) = card (A\B) + card (B\A) + card(AB)3) card (A\B) = card A card (AB)

4) card (ABC) = card A + card B + card C card (AB) card (AC) card (BC) + card (ABC)

EXERCITII PROPUSE

1). Sa se determine submultimile multimii {1,2,3,4,5} care indeplinesc simultanconditiile:

a. A B C = {1,2,3,4,5}b. A B C={4}c. A - B = {1,2}d. A C = {1,3}

e. 5 A B

2) Etapa judeteana Cluj, 2007

Sa se arate ca multimile A si B sunt disjuncte, unde

A = {n2 + n + 7 / n N} si B = {n4 + 5/ n N }

3) Concursul Iulian Maziliu, 2007

Fie A o submultime care indeplineste urmatoarele conditii:

a. {2; 6} Ab. Daca x A atunci 4x + 1 Ac. Daca x2 A atunci 3x + 1 A

Aratati ca {10; 13; 37; 165} A4) Concursul Marian Tarina, Turda, 2003

Sa se determine nr. naturale x astfel incat multimile:

A = {2x, 6x + 4} si B = {2x 1, 2x + 1, 5x + 6}

sa aiba un singur element comun.

5) Etapa judeteana Timis, 2008

Se considera multimile

A = {x / 22006 < x < 22008 22006} si

B = {y / 22008 22007 < y < 22008}

Determinati nr. de elemente al multimii A, nr. de elemente al multimii B si nr. deelemente al multimii A .

6) Concursul Cezar Ivanescu, Targoviste, 2005

Fie A = { x / 22005 < x 22007} si

B = {y / 32003 y < 32005}

a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element almultimii B

b) Stabiliti care multime are mai multe elemente

7) Etapa locala Constanta, 2007

Fie A1, A2, A3.......submultimi ale multimii nr. naturale astfel incat:

A1 = {0, 1, 2}

A2 = {3, 4, 5, 6, 7}

A3 = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}

A4 = {15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}

a) Determinati cardinalul fiecareia dintre multimile A1, A2, A3, A4

b) determinati multimea A5

c) Calculati suma cardinaleleor multimii A1, A2, .... A102, A103

d) Determinati primul elemeeennnt al multimii A44 si justificati daca 2007 A44

8) Concursul Grigore Moisil Bistrita, 2006

Determinati numarul submultimilor multimii

A ={1, 2, 3,.....,70,71} care au suma elementelor egala cu 2549

9) G. M. 1/ 2006

Fie multimile

A = { 2a | a }, B = { 3b | b }, C = { 5c - 1| c }

Sa se determine multimea A B C.

10) Etapa judeteana Braila, 2008

Fie multimile:

A = {20, 20+21, 20+21+22, 20+21+22+23, .....}

B = {30, 30+31, 30+31+32, 30+31+32+33,....}

Determinati A .

11) Etapa judeteana Ilfov, 2008

Multimile A si B au ca elemente nr. naturale consecutive. Daca A = {2008} si

diferenta dintre cel mai mare si cel mai mic element din A B este 2007, aratati ca

multimile nu pot avea acelasi cardinal.

12). Dac card (AB) = 20, card A = 16, card B = 17, s se determine card(AB), card (A\ B), card (B\A), card (AB).

13) Etapa judeean Vrancea 2009

ntr-o clas sunt 30 elevi. Dintre acetia 15 joac fotbal, 13 baschet i 12volei. Se tie c 8 elevi joac fotbal i baschet, 5 elevi fotbal i volei, 7 elevibaschet i volei, iar 3 elevi practic toate cele trei sporturi. Ci elevi din clas nujoac niciunul dintre sporturile precizate?

14) ntr-o coal sunt 1095 elevi. Fiecare particip la ceva: 51 la spectacol isport, dar nu n excursie, 63 doar la spectacol, 720 la excursie i 90 doar nexcursie i la sport.

n excursie i la spectacol merg de 3 ori mai muli elevi dect cei de la toateactivitile i nr. lor este egal cu al celor care merg doar la sport. Ci elevi mergdoar n excursie?

15) Etapa judeean Mehedini 2009

Se dau mulimile:

A = {x / x = 2k + 5, k N} i

B = {y / y = n2 + n, n N}, cu elementele ordonate cresctor.

a) Artai c 2009 A \ B

b) Gsii cel de-al 30- lea element al mulimii A

c) Artai c cele dou mulimi sunt disjuncte.

16) Etapa judeean Vlcea 2009

Se d mulimea A = {1,2,3,...,101}. S se determine cte submulimi M alemulimii A, de tipul M = {a, b, c, d}, au proprietatea c a + b = c + d = 101

17) Etapa judeean Teleorman 2009

Fie mulimile: M1 = {1}, M2 = {1; 3}, M3= {1; 3; 6}, M4 = {1; 3; 6; 10},

M5 = {1; 3; 6; 10; 15}...........

a) Determinai mulimile M10\ M9

b) Exist n nr. natural nenul astfel nct 2009 Mn ?

c) Aflai nr. elementelor divizibile cu 5 din M2009

18) Etapa judeean Alba 2009

Se consider mulimea A = {x N / 22009 < x < 22010}

a) Aflai numrul elementelor mulimii A

b) Aflai cel mai mic numr natural prim, mai mare dect 3, care divide suma celormai mici 2009 elemente din mulimea A.

19 ) Etapa judeean Covasna 2009

a) Aflai elementele mulimilor

A = {u N | u este ultima cifr a nr. x = 5n + 2, n N}

B = {n N* / < < }

C = {n N / N}

b) Determinai elementele mulimii (AUB) \ (BC)

c) Determinai card (ABC) i card (AUBUC)

20) Etapa local Botoani 2009

Se consider mulimea de nr. naturale A, care ndeplinete simultancondiiile:

a) 2 A

b) dac x A, atunci 3x + 2 A

c) dac x2 + 1 A, atunci x A

S se arate c {1, 4, 5, 26} A

21) Etapa local Cara Severin 2009

S se gseasc mulimile A i B, care ndeplinesc simultan condiiile:

a) card A = card B = 3

b) 4 B

c) x 2 B

d) suma elementelor mulimii B este triplul sumei elementelor mulimii A.22) Etapa local Harghita 2009

Determinai mulimile A i B, tiind c satisfac simultan condiiile:

a) AB = {1; 2; 3; 4 }

b) 1 \B

c) AB

d)B\A {2; 4}

e) A\B23). Etapa judeean Harghita 2009

S se determine mulimile A, B i C care ndeplinesc simultan condiiile:

a) ABC = {x | x N, x < 10}b) AB =

c) C B

d) A \ C = {1; 3; 7}

e) B \ C = {5; 9}24) Etapa judeean Maramure 2009

Aflai mulimile A,B i C care satisfac simultan condiiile:

a) ABC = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}b) AB = BC = CA = {1; 5}

c) A\C = {2; 6; 9}

d) B\C = {3; 7; 8}

25) Gsii 2 mulimi A i B tiind c sunt ndeplinite simultan condiiile:

a) mulimea A are 4 elemente, iar mulimea B are 3 elemente

b) elementele mulimii A sunt nr. naturale pare consecutive, iar elementelemulimii B sunt nr. naturale impare consecutive

c) cel mai mare element al mulimii A este cu 7 uniti mai mare dect cel mai micelement al mulimii B

d) suma elementelor mulimii AUB este 2003

26) Determinai mulimile A i B tiind c ndeplinesc simultan condiiile:

a) AB = {a, b, c, d, e, f}b) AB = { c, d,}

c) A{e,f } =

d) {a,b} B

27) Etapa judeean Vrancea 2001

S se determine mulimile A i B tiind c sunt ndeplinite simultan condiiile:

a) AB = {1; 2; 3; 4}

b) 1

c) {3; 4} A

d) (A\B) (B\A) = {1; 4}

28) Sa se determine mulimile A, B i C tiind c:

a) ABC = {1; 2; 3; 4}

b) AB = {2}

c) A\B =

d) A\C = B\{3}

29) Etapa judeean Gorj 1999

Fie a, b, c, d, e numere naturale nenule distincte dou cte dou, a crorsum este egal cu 28 i mulimile:

A = {a,b, c, d,e} i B = {2k + 1| k

a) Demonstrai c A B are cel puin dou elemente

b) Artai c A B are cel mult patru elemente.30) Etapa local Bihor 2005

Aflai mulimile X i Y care satisfac simultan condiiile:

a) 3 X Y

b) X\{1} = Y {2, 4, 5, 7}c) Y\{1; 3; 6} = X {2; 4}

d) XY {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}e) mulimea X are cu trei elemente mai mult dect mulimea Y.

31). Etapa local Bistria Nsud 2005

Dou mulimi A i B au acelai numr de elemente, numere naturale consecutive.Gsii cele dou mulimi, dac suma elementelor celor dou mulimi este 170, iarsuma elementelor din mulimea A B este 17.