tehnica masurarii

8/17/2019 tehnica masurarii

1/8

1.7. ESTIMAREA ERORILOR DE MĂSURARE

1.7.1. Definirea erorii de măsurare. Surse de erori

- reluat.

Fig. 1.21.Erorile şi procesul de măsurare

Având în vedere interacţiunile din procesul de măsurare (fig. 1.21), distingem următoarele sursede erori:• modelul considerat pentru obiectul supus măsurării , datorită simplificărilor şi idealizărilor unora

din proprietăţile sale, •

interacţiunea obiect - MEM datorită acţiunii perturbatoare pe care o exercită mijlocul electric demăsurare asupra obiectului supus măsurării. O perturbare a obiectului supus măsurării se produce laorice măsurare. În principiu, la scara macroscopică, orice măsurare poate fi făcută neperturbatoare, prin creşterea “fineţii” aparatului de măsurat. La scară microscopică (scara fenomenelor atomice),măsurarea are o limită naturală, impusă de legile fizicii. Astfel, principiul lui Heiselberg afirmă că poziţia x şi impulsul p al unei particule pot fi cunoscute cu incertitudini ∆x şi delta ∆ p al căror produs este dat de relaţia:

∆x ⋅ ∆ p = h; h = 6,62⋅10-34 Js - constanta lui Plank.• mijlocul electric de măsurare - prin erorile instrumentale dependente de concepţia şi construcţia

aparatului. În condiţii obişnuite de utilizare a aparatului de măsurare, limitele erorilor instrumentalesunt cunoscute din documentaţia tehnică. De aceea, ele sunt cele ale căror evaluare este cea mai

uşoară pentru utilizator. • influenţe exterioare - prin erorile de influenţă datorate în principal factorilor de mediu (temperatură,

umiditate, radiaţii, şocuri etc.) dar şi a altor factori: condiţii de alimentare electrică (tensiune,frecvenţă, poziţie, fixare etc.)

• .

1.7.3. Estimarea erorilor aleatoare

Rezultatele individuale ale măsurărilor repetate au valori întâmplătoare, distribuite după oanumită lege în jur ul valorii medii. Oricare ar fi legea de distribuţie, practica arată că se pot admiteurmătoarele două propoziţii:

a) Media aritmetică a celor n rezultate individuale:

n

X

X

n

i

i∑== 1 (1.65)

este cea mai bună aproximare a valorii adevărate x a mărimii. b) Abaterea standard:

n

X X X nn

22

2

2

1 )(..)()(lim µ µ µ

σ −++−+−

=∞→

(1.66)

este o măsură a dispersiei rezultatelor în jurul mediei, adică a erorilor aleatoare. Aprecieri cantitative se pot face numai dacă se admite o anumită lege de distribuţie a erorilor.


2/8

Distribuţia normală (Gauss) prezintă o deosebită importanţă în ştiinţa măsurării. Se disting douăsituaţii în care se poate aplica această distribuţie: • la efectuarea unor măsurători, riguros în aceleaşi condiţii experimentale, aceleeaşi mărimi fizice X. • la efectuarea unor măsurători pentru determinarea unei caracteristici a unei populaţii.

Pentru distribuţia normală (Gauss), densitatea de probabilitate de repartiţie a rezultatelor unui şirde măsurători este:

2

2

2

)x(

e21Y σ

µ−−

πσ= (1.67)

unde:y este densitatea de probabilitate;x - mărimea măsurată; µ - valoarea medie;σ - eroarea medie pătratică

Fig.1.23. Curba repartiţiei normale Gauss

Legea normală de distribuţie redă proprietatea de simetrie a erorilor aleatoare (erorile aleatoarede semne difer ite se întâlnesc cu aceeaşi probabilitate) şi proprietatea de concentrare (erorile aleatoaremici în valoare absolută apar mai frecvent decât cele mari).

Probabilitatea ca variabile aleatoare X să se afle într -un interval X1, X2 este:

∫=


3/8

În practică, pentru un număr mic de măsurători se utilizează estimatori ai indicatorilor µ şi σ .- media µ se aproximează prin media aritmetică:

n

X X X X n

+++=

..21 (1.72)

- eroarea medie practică se aproximează prin eroarea medie pătratică a unei măsurători:

1n

)XX(s

2

n

1k k

−

∑ −= = (1.73)]

Valorile X şi s, fiind estimări, bazate pe un număr relativ mic de măsurări, nu se bucură de proprietăţile enunţate mai sus pentru µ şi σ şi determinarea intervalelor de încredere cu ajutorulcoeficienţilor q nu mai este posibilă.

Pentru construirea acestor intervale de încredere corespunzătoare nivelelor de încredere dorite,se foloseşte parametrul t al distribuţiei Student valabilă şi pentru un număr mai mic de măsurări. Acest tdepinde de n iar limitele intervalului de încredere devin ± ts. Pentru acelaşi nivel de încredere t este maimare decât q din distribuţia Gauss cu cât numărul de măsurări este mai mic.

1.7.4. Estimarea erorilor sistematice

Erorile sistematice sunt produse de factori perturbatori care au o acţiune permanentă în timpulmăsurării. Ele sunt caracteristice pentru un anumit mijloc de măsurare, pentru o anumită metodă demăsurare sau pentru anumite condiţii de măsurare şi prin definiţie, sunt neestimabile prin experimentulîn sine. Pentru a evalua erorile sistematice sunt necesare informaţii din afara experimentului considerat:rezultatele altor măsurători; date suplimentare privind aparatura folosită, metode, condiţiile măsurăriietc.

Exemple de erori sistematice: a)strâmbarea acului indicator - conduce la apariţia unei erorisistematice constante (pozitivă sau negativă); b) trasarea incorectă a unei scări gradate - conduce la

apariţia unei erori sistematice progresive (crescătoare sau descrescătoare); c) dacă la un aparat cu scarăcirculară, pe care acul indicator parcurge mai multe ture în timpul măsurării (cronometru, tahometru,etc.), cadranul este montat excentric faţă de axul acului indicator, se produce o eroare sistematică periodică.

Modul uzual de caracterizare a erorilor sistematice este prin estimarea limitelor ± a între care seapreciază că este situată valoar ea erori sistematice.

Întrucât în interiorul acestor limite eroarea poate lua orice limite valoare, se poate consideraechiprobabilă între ± a (distribuţiei rectangulară a probabilităţii erorii sistematice ). Eroarea medie pătratică, în cazul acestei distribuţii rectangulare este:

3

a=σ (1.74)

În cazul mai multor surse de erori sistematice, se estimează contribuţia acestora, atribuindu-sefiecăreia o eroare medie pătratică σ i (i = 1,2...m,) m fiind numărul surselor de erori sistematice luate înconsiderare. Se pune problema estimării efectului global al acestor erori componente.

Conform teoriei probabilităţilor, eroarea medie pătratică totală, datorată unor erori componenteindependente între ele, se obţine prin însumarea pătratică.

∑ ∑ σσ+σ=σ=

<=

m

1i ji

1 j,i jiij

2it r 2 (1.75)

unde: r ij - coeficient de corelaţie dintre variabilele caracterizate prin parametri σ i , σ j (r ij = ± 1 →

variabilele corelate total între ele)..


4/8

În general, se poate scrie, independent de legile de repartiţie ale variabilelor:

22

2

2

1 ... mt σ σ σ σ +++= (1.76)

Dacă din cele m variabile numai variabilele 1 şi 2 sunt corelate între ele, cu r 12 = 1, celelaltevariabile fiind practic necorelate între ele, relaţia devine:

22

2

2

21 ...)( mt σ σ σ σ σ ++++= (1.77)

1.7.5. Erori grosolane

Prin eroare grosolană se înţelege o eroare ce depăşeşte considerabil erorile probabile, specificeunui proces de măsurare.

Dacă se fac măsurări separate, valoarea afectată de o eroare grosolană se detaşează din repartiţiastatistică a şirului. De exemplu dacă într -un şir de rezultate, caracterizat prin eroarea medie pătratică σ , ovaloare diferă cu peste 3σ de valoarea medie, este vorba - cu o probabilitate foarte mare - de o eroaregrosolană şi valoarea respectivă trebuie exclusă.

În realitate în cazurile practice în care numărul măsurătorilor nu este foarte mare, valoarea lui σ

nu este cunoscută (este doar estimată prin s) deci criteriul devine inoperant. Pentru cazul legii de repartiţie normale, unul din criteriile uzuale de indentificare a erorilorgrosolane este criteriul Grubbs-Smirnov.

Se ordonează şirul de rezultate x1...xn în ordine crescătoare şi se suspectează valoarea cea maimare xn. Se calculează raportul :

s

XX n −=ν (1.78)

şi se compară cu valoarea νn,α din tabelul 1.8 corespunzătoare numărului n de valori ale şirului şiriscului α ales (de obicei 0.05 sau 0.01).

Dacă ν≥νn,α, valoarea X n trebuie exclusă din şirul de rezultate. Dacă ν≤ν

n,α, , ipoteza erorii grosolane nu se confirmă şi valoarea x

n trebuie menţinută în şir.

Dacă se suspectă valoarea X1 - cea mai mică din şir - metoda se aplică identic.

1.4.6. Estimarea erorilor în măsurările electrice directe La efectuarea unei măsurări cu un mijloc electric de măsurare trebuie să se estimeze eroarea cu

care se va obţine valoarea măsurată. a)Eroarea limită de măsurare - lx∆ reprezintă valoarea maximă posibilă pentru eroarea

instrumentală, garantându-se că pentru întreg intervalul de măsurare erorile de măsurare sunt mai micisau egale cu

Eroarea limită de măsurare se determină ca: ∆ ∆ ∆

x x xl i v= +

unde:

∆ xi - eroarea intrinsecă (eroarea limită de măsurare în condiţii de referinţă)

∆ xv - eroarea suplimentară provocată de variaţia mărimilor de influenţă în afara intervalelor dereferinţă dar în interiorul intervalului de utilizare.

Ca exemplu, în fig. 1.24 sunt prezentate pentru temperatură: valoarea de referinţă, intervalul dereferinţă, intervalul de utilizare, intervalul condiţiilor de transport şi depozitare, stabilite de standarde invigoare, pentru aparatele electronice din grupa 1.


5/8

Fig. 1.24. Intervalele de temperatura la aparate de măsurare electronice din grupa 1

1) La măsurarea cu aparate analogice. Pentru estimarea erorii limită de măsurare a aparatelor analogice s-a introdus noţiunea de clasă

de precizie. Clasa de precizie reprezintă ansamblul mijloacelor electrice de măsurare a căror precizie,calculată cu aceeaşi formulă, este caracterizată prin acelaşi număr (indice de clasă) precum şi printr -unansamblu de proprietăţi metrologice specificate prin norme internaţionale sau standarde de stat.

Indicele de clasă poate lua următoarele valori: 0,0005; 0,001; 0,002; 0,005; 0,01; 0,02; 0,05; 0,1;0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5.

Indicele clasei de precizie a aparatului este egal cu eroarea raportată tolerată limită (exprimată în procente):

(%) Rt c ε = (1.66)

%100(%) max

c

Rt X

X ∆±=ε (1.67)

Valoarea convenţională Xc poate fi: a) limita superioară a intervalului de măsurare X lim la aparatele care au raportul la extremitatea

scării sau în afara ei şi limita superioară a intervalului de măsurare finită. Exemple: ampermetru, voltmetru, wattmetru b) valoarea nominală a mărimii de măsurat pentru aparatele destinate să măsoare în jurul unei

valori nominale a mărimii de măsurat. Exemplu: frecvenţmetrele pentru măsurarea frecvenţei reţelei.

c) Suma modulelor limitelor de măsurare - la aparatele având reperul zero în interiorul scării. Observaţii: 1) Pentru aparatele din aceste categorii clasa de precizie este înscrisă pe cadranul lor printr -un număr2) Eroarea a bsolută limită este:

( )maxlim∆ X

cX = ±

100 (1.68)

3) Valoarea reală X a mărimii de măsurat este cuprinsă în intervalul:

X X X X X m m− < < +( ) ( )max max∆ ∆ (1.69)

- Eroarea relativă cu care se face măsurarea mărimii X1 < Xlim este:


6/8

ε r X

X

X

X c

X

X = ± ≤ = ±

∆ ∆1

1 1 1

100 100( )

(%)max lim (1.70)

d) o valoare egală cu lungimea scării gradate X c = L la aparatele cu scară neliniară sau limitasuperioară a intervalului de măsurare infinită. Exemplu: fazmetre, ohmmetre.

Dacă raportarea se face la lungimea scării gradate, atunci sub cifra care indică clasa de precizieexistă un semn suplimentar( ca în Tab.1.10)

e) La o serie de aparate electrice de măsurare analogice (contoare, transformatoare de măsură,rezistenţe decadice, etc.) eroarea absolută limită se determină în funcţie de valoarea măsurată

( )max∆ X cX

=100 (1.71)

2) Măsurări efectuate cu punţi şi compensatoare

Eroarea absolută tolerată limită se calculează cu o sumă dintre eroarea intrinsecă ∆ xi şi cea

suplimentară ∆ xv

∆ ∆ ∆ x x xl i v= + (1.72)

Eroarea intrinsecă (mijlocul de măsurare fiind în condiţii de referinţă ) se calculează cu relaţia:

∆ x c X

k X

i m= ± +100

( )lim (1.73)

unde:c- indicele clasei de precizieiXlim - limita intervalului de măsurarek - constanta indicată de constructor (uzual k=10) Xm - valoarea măsurată

Eroarea suplimentară ∆ X v - apare la variaţia între anumite limite a unui singur factor deinfluenţă, ceilalţi menţinându-se la valorile de referinţă.

În normele metrologice se prezintă limitele domeniului nominal de utilizare şi variaţiileadmisibile ale erorii ( ∆ X )v pentru punţi.

Exemplu. Cu o punte Wheatstone cu clasa de precizie c = 0,05 având decade cu X lim = 104Ω şi raport

a

b=

1000

1000 se măsoară rezistenţa unui rezistor obţinându-se Xm = 1540,1 Ω .

Temperatura la locul măsurării este 24°C. Să se calculeze: eroarea intrinsecă, eroarea limită şiintervalul de incertitudine pentru rezultatul măsurării.

Din cartea tehnică k = 10 deci:

( ) ,

( , ) ,∆ Ω X i = ± + = ±0 05

100

10

101540 1 1 27

4

Deoarece temperatura de 24°C este în afara domeniului de referinţă. ∆ ∆ Ω X X v i= ± = ±100 1 27(%). ,

şi deci: ∆ Ω X i = ±2 54,

Rezultatul măsurării cu intervalul de incertitudine calculat, va fi: X = ±1540 1 2 54, ,Ω Ω

3. Măsurări efectuate cu aparate numerice În general eroarea absolută tolerată limită, în condiţii de referinţă ale mediului, este de forma:

digit X b X a X m 1(%)(%))( limmax ±±±=∆ (1.74)

unde:


7/8

a,b - numere pozitive exprimate în procenteXlim - limita intervalului de măsurare

Xm - valoarea măsurată ± 1 digit - incertitudinea cifrei ultimului rang zecimal al afişajului.

Unele firme constructoare utilizează relaţia:

( ) (%)max X b X nm= ± ± digiţi (1.75)

unde: b - număr pozitiv exprimat în procente Xm - valoarea măsurată citită pe afişaj n - incertitudinea afişajului numeric cumulată cu eroarea constantă independentă de mărimea de

măsurat

1.4.7. Estimarea erorilor totale pentru metodele de măsurare indirectă Valoarea x a mărimii de măsurat este funcţia de mărimile x1 x2…xn măsurabile direct:

x = f(x1,x2…xn) (1.76)

încât se pune problema modului în care erorile măsurărilor directe asupra lui x1 x2…xn se propagă asupra

rezultatului obţinut prin calcul pentru mărimea x: Metoda cea mai simplă de calcul este metoda diferenţialei logaritmice.Se logaritmează relaţia (1.76):

),...,(lnln 21 n x x x f x = (1.77)

şi se diferenţiază această relaţie:

f

dx x

f dx

x

f dx

x

f

x x x f

x x xdf

x

dx n

n

n

n ∂

∂++

∂

∂+

∂

∂

==

..

),...,(

),...,( 2

2

1

1

21

21

(1.78)

Înlocuind diferenţialele dx, dx1…dxn cu creşterile finite foarte mici ∆x, ∆x1 , ∆x2 , …∆xn seobţine:

∆

∂

∂++∆

∂

∂+∆

∂

∂=

∆n

n

x x

f x

x

f x

x

f

f x

x..

12

2

1

1 (1.79)

deci:

n

n

x x

f x

x

f x

x

f x ∆

∂

∂++∆

∂

∂+∆

∂

∂=∆ ..2

2

1

1 (1.80)

Eroarea absolută maximă probabilă va fi:

k

n

k k

x x

f x ∆⋅

∂

∂±=∆ ∑

=1

)( (1.81)

În tabelul 1.14 se prezintă eroarea maximă probabilă pentru diferite funcţii f de dependenţă amărimii calculate de mărimile măsurate direct.

Tabelul 1.14 Exemple: a) Eroarea maximă probabilă la măsurarea puterii electrice în c.c. cu ampermetru şi voltmetru dupărelaţia: P = UIrezultă (caz 3)


8/8

)()(

)()(

I

I

U

U

P

P

I U U I P

mp

mp

∆+

∆±=

∆

∆+∆±=∆

b) Eroarea maximă probabilă la măsurarea puterii electrice după relaţia:

P RI = 2

considerând: R

I A A

= ±

= ±

100 0 1

2 0 01

Ω Ω,

,

rezultă (caz 4):

%2,1100)2

01,02

100

2,0()2()(

)2()( 2

±=+±=∆

+∆

±=∆

∆+

∆±=∆

I

I

R

R

P

P

I

I

R

R RI P

mp

mp

tehnica masurarii

Documents

Transcript of tehnica masurarii