Tcm Badea12

Prof.dr.ing. Adrian Alexandru Badea

INITIERE IN TRANSFERUL DE CALDURA SI MASA

2004

CUPRINS

Cap.1 Consideraţii generale 1.1. Definiţii…………………………………………………… 1 1.1.1. Câmpul de temperatură………………………... 1 1.1.2. Suprafaţa izotermă…………………………….. 2 1.1.3. Gradientul de temperatură…………………….. 2 1.1.4. Fluxul termic…………………………………... 3 1.1.5. Fluxuri termice unitare………………………... 3 1.1.6. Linii şi tub de curent…………………………. 3 1.2. Analogia electrică a transferului de căldură…………… 4 1.3. Modurile fundamentale de transfer al căldurii………… 4 1.3.1. Conducţia termică……………………………... 4 1.3.2. Convecţia termică…………………………….. 5 1.3.3. Radiaţia termică………………………………. 7 Cap.2 Transferul de căldură prin conducţie 2.1. Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice…………… 9 2.1.1. Ecuaţia legii lui Fourier……………………….. 9 2.1.2. Ecuaţia generală a conducţiei termice………… 9 2.1.3. Condiţii de determinare univocă a proceselor

de conducţie……………………………………

13 2.1.4. Conductivitatea termică……………………….. 15 2.2. Conducţia termică unidirecţională în regim constant….. 17 2.2.1. Corpuri cu forme geometrice simple fără surse

interioare de căldură………………………….

17 2.2.1.1. Peretele plan………………………………….. 17 2.2.1.2. Peretele cilindric………………………………. 30 2.2.1.3. Peretele sferic…………………………………. 36 2.2.2. Corpuri cu forme geometrice simple cu surse

interioare de căldură uniform distribuite……..

38 2.2.2.1. Peretele plan………………………………….. 38 2.2.2.2. Peretele cilindric………………………………. 42 2.2.2.3. Perete cilindric tubular………………………… 43 2.2.3. Conducţia termică prin suprafeţe extinse……... 46 2.2.3.1. Ecuaţia generală a nervurilor………………….. 46 2.2.3.2. Nervura cu secţiune constantă………………… 48 2.2.3.3. Nervura circulară……………………………… 54

Iniţiere în transferul de căldură şi masă viii

2.2.3.4. Transferul de căldură printr-un perete nervurat.. 58 2.3 Conducţia termică bidirecţională în regim constant………. 61 2.3.1. Metoda separării variabilelor………………….. 61 2.3.2. Metoda grafică………………………………… 65 2.3.3. Metode numerice……………………………… 71 2.4. Conducţia termică în regim tranzitoriu…………………… 73 2.4.1. Conducţia tranzitorie prin corpuri cu rezistenţe

interne neglijabile……………………………...

75 2.4.2. Conducţia tranzitorie prin corpuri cu rezistenţe

de suprafaţă neglijabile……………………….

78 2.4.3. Conducţia tranzitorie prin corpuri cu rezistenţe

interne şi de suprafaţă finite…………………...

80 2.4.3.1. Perete plan infinit……………………………… 80 2.4.3.2. Discretizarea ecuaţiei diferenţiale a conductei

tranzitorii………………………………………

87 Cap.3 Convecţia termică 3.1. Introducere în convecţia termică………………………….. 91 3.1.1. Elemente fundamentale şi definiţii……………. 91 3.1.2. Ecuaţiile diferenţiale ale convecţiei…………… 94 3.1.2.1. Ecuaţia conducţiei…………………………….. 94 3.1.2.2. Ecuaţia mişcării……………………………….. 95 3.1.2.3. Ecuaţia continuităţii…………………………… 97 3.1.2.4. Condiţii de determinare univocă………………. 98 3.1.3. Factorii care influenţează transferul de căldură.. 99 3.1.4. Metode de determinare a coeficientului de

convecţie……………………………………….

100 3.1.5. Studiul experimental al proceselor de convecţie

termică…………………………………………

103 3.1.5.1. Bazele teoriei similitudinii…………………….. 104 3.1.5.2. Analiza dimensională………………………….. 106 3.1.5.3. Planificarea experimentului şi corelarea datelor

experimentale…………………………………..

111 3.2. Convecţia liberă…………………………………………... 114 3.2.1. Convecţia liberă în spaţii mari………………… 115 3.2.2. Convecţia liberă în spaţii limitate…………….. 119 3.3. Convecţia forţată monofazică exterioară…………………. 122 3.3.1. Convecţia forţată la curgerea peste o placă…… 122 3.3.2. Convecţia forţată la curgerea peste un cilindru.. 126 3.3.3. Transferul de căldură la curgerea forţată peste

un fascicul de ţevi……………………………..

130 3.4. Convecţia forţată monofazică la curgerea prin canale……. 135 3.4.1. Curgerea prin canale circulare………………… 135 3.4.1.1. Transferul de căldură la curgerea laminară…… 135 3.4.1.2. Transferul de căldură la curgerea turbulentă….. 139

Cuprins ix

3.4.2. Curgerea prin canale necirculare……………… 144 3.4.2.1. Canale inelare…………………………………. 144 3.4.2.2. Canale rectangulare…………………………… 146 3.4.2.3. Canale ondulate……………………………….. 147 3.5. Transferul de căldură la fierbere………………………….. 150 3.5.1. Clasificarea proceselor de fierbere……………. 150 3.5.2. Fierberea în volum mare………………………. 151 3.5.2.1. Condiţiile amorsării nucleaţiei………………… 151 3.5.2.2. Regimurile fierberii…………………………… 153 3.5.2.3. Transferul de căldură la fierberea nucleică……. 156 3.5 .2.4. Transferul de căldură la fierberea peliculară….. 161 3.5.3. Fierberea cu convecţie forţată………………… 162 3.5.3.1. Mărimi caracteristice………………………….. 162 3.5.3.2. Structura curgerii bifazice…………………….. 163 3.5.3.3. Transferul de căldură la fierberea cu convecţie

forţată………………………………………….

167 3.6. Transferul de căldură la condensare………………………. 168 3.6.1. Condensarea peliculară . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . 169 3.6.1.1. Transferul de căldură la condensarea peliculară

cu curgere laminară…………………………….

171 3.6.1.2. Transferul de căldură la condensarea peliculară

cu curgere turbulentă…………………………..

176 3.6.1.3. Influenţa vitezei vaporilor asupra coeficientului

de convecţie……………………………………

177 3.6.1.4. Influenţa prezenţei gazelor necondensabile

asupra condensării peliculare…………………..

178 3.6.1.5. Condensarea peliculară în interiorul ţevilor…... 179 3.6.2. Transferul de căldură la condensarea nucleică... 181 Cap.4 Radiaţia termică 4.1. Elemente fundamentale…………………………………… 183 4.1.1. Natura fenomenului…………………………… 183 4.1.2. Definiţii………………………………………... 184 4.1.3. Legile radiaţiei termice………………………... 189 4.1.3.1. Legea lui Planck………………………………. 189 4.1.3.2. Legea lui Stefan Boltzmann…………………… 191 4.1.3.3. Legea lui Kirchhoff……………………………. 194 4.1.3.4. Legea lui Lambert……………………………... 195 4.2. Transferul de căldură prin radiaţie între corpuri separate

prin medii transparente……………………………………

195 4.2.1. Transferul de căldură prin radiaţia între două

suprafeţe plane paralele………………………..

195 4.2.2. Transferul de căldură prin radiaţie între două

corpuri oarecare………………………………..

198 4.3. Radiaţia gazelor…………………………………………… 205

Iniţiere în transferul de căldură şi masă x

Cap.5 Intensificarea transferului termic 5.1. Intensificarea transferului termic convectiv……………… 212 5.1.1. Metode de intensificare………………………... 212 5.1.2. Nervurile………………………………………. 216 5.1.3. Inserţiile……………………………………….. 220 5.1.4. Suprafeţe rugoase……………………………… 221 5.1.5. Intensificarea transferului termic la fierbere…... 223 5.1.6. Intensificarea transferului de căldură la

condensare……………………………………..

225 5.2. Intensificarea transferului termic prin radiaţie…………… 228 Cap.6 Transferul de masă 6.1. Transferul de masă prin difuziune moleculară……………. 229 6.1.1. Definiţii. Legi de bază………………………… 229 6.1.2. Ecuaţii diferenţiale ale difuziei moleculare…… 235 6.1.2.1. Ecuaţia de continuitate………………………… 235 6.1.2.2. Forme speciale ale ecuaţiei de continuitate…… 238 6.1.2.3. Condiţii iniţiale şi la limită……………………. 240 6.1.3. Difuzia masică prin medii cu geometri simple

fără reacţii chimice care generează masă în volum…………………………………………..

241 6.2. Transferul de masă convectiv……………………………... 243 6.2.1. Ecuaţii de bază………………………………… 244 6.2.2. Transferul de masă interfazic………………….. 245 Bibliografie

CAP.1 CONSIDERAŢII GENERALE

1.1. Definiţii

Transferul de căldură este ştiinţa proceselor spontane, ireversibile, de propagare a căldurii în spaţiu şi reprezintă schimbul de energie termică între două corpuri, două regiuni ale unui corp sau două fluide sub acţiunea unei diferenţe de temperatură. Transferul de căldură face parte din ştiinţa mai largă a studiului căldurii, el respectând cele două principii ale termodinamicii: primul principiu care exprimă legea conservării energiei termice în procesele de transfer şi cel de al doilea principiu potrivit căruia transferul de căldură se realizează întotdeauna de la o temperatură mai ridicată către o temperatură mai coborâtă.

1.1.1. Câmpul de temperatură

Temperatura caracterizează starea termică a unui corp, caracterizând gradul de încălzire a acestuia. În fiecare punct M (x,y,z) dintr-un corp solid, lichid sau gazos se poate defini o temperatură, funcţie scalară de coordonatele punctului şi de timp: T= T (x,y,z,τ) (1.1)

Câmpul de temperatură definit de relaţia (1.1) este tridimensional şi

nestaţionar. Dacă temperatura nu depinde de timp, câmpul de temperatură este staţionar sau permanent. Cel mai simplu câmp de temperatură, care va fi utilizat cel mai des în acest curs este câmpul staţionar unidirecţional:

T = T (x). (1.2)

Iniţiere în transferul de căldură şi masă 2

1.1.2. Suprafaţa izotermă

Suprafaţa izotermă este locul geometric al punctelor din spaţiu care la un moment dat au aceeaşi temperatură. În regim nestaţionar suprafeţele izoterme sunt mobile şi deformabile; în regim staţionar ele sunt invariabile. Suprafeţele izoterme nu pot intersecta, acelaşi punct din spaţiu la acelaşi moment de timp, neputând avea temperaturi diferite. Unitatea de măsură pentru temperatură este gradul Kelvin [ ]Κ , definit ca 1/273,16 din temperatura termodinamică a punctului triplu al apei. In sistemul internaţional de unităţi de măsură este tolerat şi gradul Celsius [°C], care are aceeaşi măsură cu gradul Kelvin, diferind doar originea scării de măsură. Din aceste considerente vom utiliza în lucrare atât K cât şi °C.

1.1.3. Gradientul de temperatură

Câmpul de temperatură fiind o funcţie derivabilă se poate defini în orice punct M, la fiecare moment τ un vector al gradientului de temperatură în direcţia normală la suprafaţa izotermă care trece prin acel punct (1.1):

grad T = ⋅∆∆

=∂∂

→∆ nT

nt

n 0lim [K/m] . (1.3)

Fig.1.1 Gradientul de temperatură

n

x

T+∆t ∆n ∆x

T

Consideraţii generale 3

1.1.4. Fluxul termic

Fluxul termic este cantitatea de căldură care trece printr-o suprafaţă izotermă în unitatea de timp:

τ∆

⋅∆=

QQ [W] . (1.4)

unde: Q∆ este cantitatea de căldură, în J; ∆ τ este intervalul de timp în s.

1.1.5. Fluxuri termice unitare

Fluxul termic unitar de suprafaţă (densitatea fluxului termic) reprezintă fluxul termic care este transmis prin unitatea de suprafaţă:

SQqs = [W/m2] . (1.5)

Fluxul termic unitar linear este fluxul termic transmis prin unitatea de lungime a unei suprafeţe:

LQql = [W/m] (1.6)

Fluxul termic unitar volumic este fluxul termic emis sau absorbit de unitatea de volum dintr-un corp:

VQqv = [W/m3] . (1.7)

1.1.6 Linii şi tub de curent

Liniile de curent sunt tangentele la vectorii densităţii fluxului termic

⋅→

sq Ansamblul liniilor de curent pentru un contur dat formează tubul de curent.


1.2. Analogia electrică a transferului de căldură

Două fenomene sunt analoge dacă diferă ca natură dar au ecuaţii care le caracterizează identice ca formă. În cazul transferului de căldură există o analogie a acestuia cu fenomenul de trecere a curentului electric printr-un circuit:

t

s RTq ∆

= [W/m2], respectiv: eRUI ∆

= [A], (1.8)

unde: et RR , sunt rezistenţele termice, respectiv electrice, în (m2⋅K)/W, respectiv ;Ω T∆ – diferenţa de temperatură, în K; U∆ – diferenţa de potenţial, în V; I – curentul electric, în A. În baza acestei analogii, se pot aplica problemelor de transfer de căldură o serie de concepte din teoria curentului electric, pentru un circuit termic putând construi un circuit electric echivalent , pentru care calculul rezistenţei termice totală se face cu aceleaşi reguli ca la circuitele electrice.

1.3. Modurile fundamentale de transfer al căldurii

Transferul de energie termică se poate realiza prin trei moduri fundamentale distincte: conducţia termică , convecţia termică şi radiaţia termică.

1.3.1. Conducţia termică este procesul de transfer al căldurii dintr-o zonă cu o temperatură mai ridicată către una cu temperatură mai coborâtă, în interiorul unui corp (solid, lichid sau gazos) sau între corpuri solide diferite aflate în contact fizic direct, fără existenţa unei deplasări aparente a particulelor care alcătuiesc corpurile respective [ 1 ] .

Mecanismul conducţiei termice este legat de cinetica moleculară, de interacţiunea energetică între microparticulele care alcătuiesc corpurile (molecule, atomi, electroni).

În corpurile solide nemetalice , conducţia se realizează prin transferul energiei vibraţiilor atomilor. Purtătorii asociaţi acestor unde longitudinale şi transversale sunt fononi (teoria statistică Bose-Einstein şi Debye) [ 11 ] .


În cazul metalelor conducţia termică se realizează atât prin fononi cât şi prin electroni liberi (teoria statistică Fermi-Dirac). În acest caz ponderea electronilor liberi este de 10 – 30 ori mai mare decât cea a fononilor.

În cazul gazelor macroscopic imobile, conducţia termică se efectuează prin schimbul de energie de translaţie, de rotaţie şi vibraţie a moleculelor (teoria cineticii gazelor, statistica Maxwell-Boltzmann).

Pentru lichide există două mecanisme de propagare a căldurii prin conducţia: ciocnirile elastice legate de mişcarea de mică amplitudine a moleculelor în jurul poziţiilor lor de echilibru şi deplasarea electronilor liberi (potenţialul Van der Waals).

Ecuaţia fundamentală a conducţiei termice este ecuaţia legii lui Fourier (1822):

dxdTSQ λ−= [W]. (1.9)

sau: gradTqs λ−= [W/m2] , (1.10) unde: λ este conductivitatea termică, în W/(mK); S – suprafaţa, în m2;

sqQ, – fluxul termic, respectiv fluxul termic unitar de suprafaţă, în W, respectiv W/m2; T – temperatura, în K. Ecuaţia legii lui Fourier este valabilă pentru conducţia termică unidirecţională în regim staţionar, prin corpuri omogene şi izotropă, fără surse interioare de căldură. Semnul minus din ecuaţia (1.1) şi (1.2) ţine seama că fluxul termic se propagă de la o temperatură mai ridicată către una mai coborâtă, având sens invers gradientului de temperatură.

1.3.2. Convecţia termică

Convecţia termică reprezintă procesul de transfer de căldură între un perete şi un fluid în mişcare, sub acţiunea unei diferenţe de temperatură între perete şi fluid. Convecţia presupune acţiunea combinată a conducţiei termice în stratul limită de fluid de lângă perete, a acumulării de energie internă şi a mişcării de amestec a particulelor de fluid. Intensitatea procesului de convecţie depinde în măsură esenţială de mişcarea de amestec a fluidului. După natura mişcării se disting două tipuri


de mişcare cărora le corespund două tipuri de convecţie: liberă sau naturală şi forţată. Mişcarea liberă este datorată variaţiei densităţii fluidului cu temperatură. La încălzirea fluidului densitatea lui scade şi el se ridică; la răcire, densitatea creşte şi fluidul coboară pe lângă suprafaţa de schimb de căldură. Intensitatea mişcării libere este determinată de natura fluidului, diferenţa de temperatură între fluid şi perete, volumul ocupat de fluid şi câmpul gravitaţional. Mişcarea forţată a unui fluid este determinată de o forţă exterioară care îl deplasează (pompă, ventilator, diferenţă de nivel, etc.). Ecuaţia fundamentală a convecţiei termice este dată de formula lui Newton (1701):

TSTTSQ pf ∆α=−α= // [W] , (1.11) sau: Tqs ∆= α [ W/m2] . (1.12) unde: α este coeficientul de convecţie, în W/(m2⋅K); pf TT , – temperaturile fluidului, respective a peretelui, în K; S – suprafaţa, în m2. Coeficientul de convecţie α , caracterizează intensitatea transferului de căldură convectiv. El este diferit de legea lui Newton ca fluxul termic transmis prin convecţie prin unitatea de suprafaţă izotermă la o diferenţă de temperatură de 1 K. Coeficientul de convecţie se poate modifica în lungul suprafeţei de transfer de căldură. Valoarea sa într-un anumit punct se numeşte locală. În calculele termice se utilizează de obicei valoarea medie în lungul suprafeţei a coeficientului de convecţie. Valoarea coeficientului de convecţie depinde de numeroşi factori: natura fluidului, viteza fluidului, presiune, temperatură, starea de agregare, geometria suprafeţei, etc. În tabelul 1.1 sunt prezentate ordinele de mărime a coeficientului de convecţie pentru diferite fluide [39].


Tabelul 1.1

Ordinul de mărime a coeficientului de convecţie α

Fluidul şi tipul convecţiei α, în W/(m2⋅K) Gaze, convecţie liberă 6 - 30 Gaze, convecţie forţată 30 - 300 Ulei, convecţie forţată 60 - 1800 Apă, convecţie forţată 500 - 40.000 Apă, fierbere 3000 - 60.000 Abur, condensare 6000 - 120.000

1.3.3 Radiaţia termică

Radiaţia termică este procesul de transfer de căldură între corpuri cu temperaturi diferite separate în spaţiu. Orice corp S emite prin radiaţii electromagnetice energie. Transportul se realizează prin fotoni, care se deplasează în spaţiu cu viteza luminii. Energia transportată de aceştia este în funcţie de lungimea de undă a radiaţiei. Transferul de căldură prin radiaţie se realizează de la distanţă. Fenomenul are dublu sens: un corp radiază energie către altele, dar la rândul său primeşte energie emisă sau reflectată de corpurile înconjurătoare. Dacă avem două corpuri S şi S′ , corpul S emite energie prin radiaţie către corpul S′ dar şi primeşte radiaţie de la corpul S′ , emisă sau reflectată de acesta. Dacă ,'ss TT > pe ansamblu apare un flux termic net transmis de corpul S către corpul S′. Relaţia de bază a transferului de căldură prin radiaţie a fost stabilită experimental de Stefan în 1879 şi teoretic de Boltzmann în 1984. Ecuaţia Stefan – Boltzmann exprimă fluxul termic emis de un corp negru absolut sub forma:

40STQ σ= [W] (1.13)

unde: σ0 este coeficientul de radiaţie a corpului negru ( 8

0 1067,5 −⋅=σ W/(m2⋅K4); S, T – suprafaţa, respective temperatura, în m2, respective K.

CAP. 2 TRANSFERUL DE CǍLDURǍ PRIN CONDUCŢIE

2.1. ECUAŢIILE DIFERENŢIALE ALE CONDUCŢIEI TERMICE

2.1.1. Ecuaţia legii lui Fourier

Această ecuaţie care caracterizează conducţia termică unidirecţională, în regim permanent prin corpuri omogene şi izotrope, fără surse interioare de căldură, reprezintă ecuaţia fundamentală a conducţiei.

Ea a fost enunţată în capitolul anterior şi are forma:

dxdTqS λ−= [W/m2]. (2.1)

2.1.2. Ecuaţia generală a conducţiei termice

Această ecuaţie caracterizează conducţia tridimensională, în regim nestaţionar, prin corpuri cu surse interioare de căldură uniform distribuite.

Ipotezele care stau la baza determinării acestei ecuaţii sunt: - corpul este omogen şi izotrop, astfel încât conductivitatea termică

este constantă şi are aceleaşi valori în toate direcţiile: .;constzyx =λ=λ=λ=λ

- căldura specifică pc şi densitatea ρ sunt constante în intervalul de temperatură considerat;

- în interiorul corpului există surse de căldură uniform distribuite cu densitatea volumică (flux termic unitar volumic) qv [W/m3] = const.;

- deformarea corpului prin dilataţie datorită variaţiei temperaturii este neglijabilă:

Pentru determinarea acestei legi se consideră un element cu volumul dv dintr-un corp (figura 2.1), pentru care se va scrie bilanţul termic [20].


Fig.2.1. Conducţia termică printr-un element de volum

Ecuaţia bilanţului termic pentru elementul dv are forma: cǎldura intratǎ şi rǎmasǎ în corp cǎldura generatǎ de surse prin suprafeţele lui exterioare (dQ1) interioare de cǎldurǎ (dQ2) cǎldura acumulatǎ în corp (dQ3) Căldura intrată în elementul dv prin conducţie după direcţia Ox, se poate scrie, utilizând ecuaţia legii lui Fourier:

τ∂∂

λ−=τ= dydzdxTdydzdqdQ sx1 [J], (2.3)

unde: dxdz este suprafaţa de schimb de căldură prin care intrǎ căldura după direcţia Ox. Căldura ieşită din elementul dv după aceeaşi direcţie, ţinând seama

că temperatura feţei A'B'C'D' a elementului dv este dxxTT

∂∂

+ , va fi:

τλ dydzddxxTT

xdQx

∂∂

+∂∂

−=2 [J]. (2.4)

Căldura rămasă în elementul dv după direcţia Ox va fi atunci:

dQy2

A' A

D

C

D'

C'

B B'

T dQx1

dQz1

dQx2

dQy1 dQz2

∂∂

+ dxxTT

O

y

x

z

+ =

=

Transferul de cǎldurǎ prin conducţie 11

τλτλ

τλτλ

ddvxTdxdydzd

xT

dydzddxxTT

xdydzd

xTdQdQdQ xxx

⋅∂∂

=∂∂

=

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=−=

2

2

2

2

21

[J]. (2.5)

În mod analog se poate scrie cantitatea de cǎldurǎ rǎmasǎ în elementul dv după direcţiile Oy şi Oz:

τλ ddvyTdQy 2

2

∂∂

= , (2.6)

.2

2

τ∂∂

λ= ddvzTdQz (2.7)

Cantitatea totală de căldură intrată prin suprafaţa laterală a elementului dv şi rămasă în aceasta va fi:

,22

2

2

2

2

2

1 τ∇λ=τ

∂∂

+∂∂

+∂∂

λ= dTdvddvzT

yT

xTdQ (2.8)

unde: T2∇ este laplacianul temperaturii. Cantitatea de căldură generată de sursele interioare de căldură uniform distribuite este:

τddvqdQ v ⋅⋅=2 [J] . (2.9) Căldura acumulată în corp se poate determina utilizând relaţia:

ττ∂

∂ρ=τ

τ∂∂

= dTdvcdTcmdQ pp3 [J] . (2.10)

Înlocuind valorile lui 321 ,, dQdQdQ în ecuaţia bilanţului termic (2.2), se obţine:

τ+τ∇λ=ττ∂

∂ρ ddvqTdvdddvTc vp

2 , (2.11)

sau:

.2

cpqT

cpT v

ρ+∇

ρλ

=τ∂

∂ (2.12)

Definind difuzivitatea termică pc

aρλ

= ecuaţia generală a

conducţiei are forma:

λ

+∇=τ∂

∂ vqTTa

21 (2.13)


Difuzivitatea termică a reprezintă o proprietate fizică a unui material, ea caracterizând capacitatea acestuia de transport conductiv al căldurii. Ecuaţia generală a conducţiei termice are o serie de cazuri particulare, prezentate în tabelul 2.1

Tabelul 2.1

Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice

Denumire Regimul Ecuaţia

Ecuaţia generală a conducţiei

Regim tranzitoriu cu surse interioare de

căldură λ+∇=

τ∂∂ vqTT

a21

Ecuaţia lui Poisson Regim constant cu surse interioare de căldură 02 =

λ+∇ vqT

Ecuaţia lui Fourier Regim tranzitoriu fără

surse interioare de căldură

TTa

21∇=

τ∂∂

Ecuaţia lui Laplace Regim constant fără surse interioare de

căldură 02 =∇ T

În cazul corpurilor neomogene şi neizotrope : ( ),,, zyx λλλλ=λ la care )(Tρ=ρ şi )(Tcc pp = şi care au surse interne de căldură discrete în punctele xi, yi, zi, cu densităţile ( ),,,, τiiii zyxq ecuaţia generală a conducţiei se poate scrie [39] :

( ) ( )

( ).,,,0 τλ

λλτ

ρ

ii

n

iiiz

yxp

zyxqzT

z

yT

yxTTTTc

∑=

+

∂∂

∂∂

+

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

=∂∂

(2.14)


2.1.3. Condiţii de determinare univocǎ a proceselor de conducţie

Ecuaţiile diferenţiale prezentate descriu o scară largă de procese de conducţie termică. Pentru descrierea unui proces concret de transfer conductiv, ecuaţiilor diferenţiale trebuie să li se ataşeze condiţii de determinare univocǎ a procesului.

Aceste condiţii sunt de următoarele tipuri: Condiţii geometrice, care dau forma şi dimensiunile spaţiului în

care se desfăşoară procesul de conducţie. Condiţii fizice, care dau proprietăţile fizice ale corpului: pc,,ρλ şi

variaţia surselor interioare de căldură. Condiţiile iniţiale, care apar în cazul proceselor nestaţionare şi dau

de obicei, valorile câmpului de temperatură, la momentul iniţial 0=τ . Condiţiile limită sau de contur, care definesc legătura corpului cu

mediul ambiant şi care se pot defini în mai multe forme [36] : a) Condiţiile la limită de ordinul I (condiţii Dirichlet) se referă la

cunoaşterea câmpului de temperatură pe suprafaţa corpului în orice moment de timp: ( ).,,, τzyxTp

Un caz particular al acestui tip de condiţii la limită este cel în care suprafaţa corpului este izotermă în timp: ctTp = .

b) Condiţiile limită de ordinul II (condiţii Neumann), la care se cunosc valorile fluxului termic unitar pe contur în orice moment de timp:

( )τ=

∂∂

λ−= ,,, zyxfnTq

psp (2.15)

În acest caz există două cazuri particulare: - fluxul termic unitar pe suprafaţă este constant: .constqsp = ; - fluxul termic unitar la suprafaţă este nul (corp izolat termic,

adiabat):

.0=

∂∂

pnT (2.16)

c) Condiţiile la limită de ordinul III, la care se dau temperatura fluidului care înconjoară corpul fT şi legea de transfer de căldură între corp şi fluid.

În cazul în care transferul de căldură între corp şi fluid se realizează prin convecţie, condiţia la limită de ordinul III se scrie:


).( fpp

TTnT

−α=

∂∂

λ− (2.17)

d) Condiţiile limită de ordinul IV, care caracterizează condiţiile de transfer la interfaţa dintre două corpuri solide de naturi diferite (figura 2.2)

Fig.2.2 Condiţii la limită de ordinul IV În cazul în care contactul între cele două corpuri este perfect (nu există rezistenţe termice de contact), fluxul termic unitar de suprafaţă fiind acelaşi în ambele corpuri, condiţiile la limită de ordinul IV se scriu:

.22

11

pp dxdT

dxdT

λ=

λ (2.18)

La interfaţa de contact pantele celor două variaţii ale temperaturilor îndeplinesc condiţia:

.1

2

2

1 consttgtg

=λλ

=ϕϕ (2.19)

2.1.4. Conductivitatea termică

Conductivitatea termică se defineşte din ecuaţia legii lui Fourier:

Tgrandqs=λ [W/(mK)] . (2.20)

Solid 1 Solid 2

T

x

Ts

T1

ϕ1

T2 ϕ2

λ1 λ2


Ea reprezintă fluxul transmis prin conducţie prin unitatea de

suprafaţă izotermă la un gradient de temperatură de 1K/m. Conductivitatea termică este o proprietate a corpurilor care depinde

de natura acesteia, temperatură şi presiune. Ordinul de mărime al conductivităţii termice pentru diferite materiale este prezentat în figura 2.3 [39].

Fig. 2.3. Ordinul de mărime al conductivităţii termice

pentru diferite materiale [20] Pentru corpurile solide influenţa presiunii asupra lui λ este

neglijabilă, variaţia cu temperatura având forma: ( )Tβ±λ=λ 10 [W/(mK)] (2.21)

Variaţiile conductivităţii termice pentru câteva solide, lichide sau gaze sunt prezentate în figurile (2.4), (2.5) şi (2.6) [20].


Fig.2.4. Variaţia cu temperatură a conductivităţii termice pentru solide

Fig. 2.5. Variaţia cu temperatură a conductivităţii termice pentru lichide


Fig.2.6. Variaţia cu temperatură a conductivităţii termice pentru gaze

2.2. Conducţia termicǎ unidirecţionalǎ în regim constant

2.2.1. Corpuri cu forme geometrice simple fǎrǎ surse interioare de cǎldurǎ

2.2.1.1. Peretele plan

Se considerǎ un perete plan ci grosimea δp, dintr-un material cu conductivitatea termicǎ λp, prin care se transmite căldura de la un fluid cald cu temperatura Tf1, la un fluid rece cu temperatura Tf2 (figura 2.7)

a) Conducţia la limitǎ de ordinul I În acest caz mărimile cunoscute sunt: grosimea peretelui δ, în m; conductivitatea termicǎ λp, în W/(mK); temperaturile celor doi pereţi Tp1 şi Tp2, suprafaţa peretelui S, în m2.


Se ce mărimile: câmpul de temperaturǎ T(x), fluxul termic unitar qs şi fluxul termic Q. În acest caz conducţii a fiind unidirecţionalǎ, în regim permanent, fǎrǎ surse interioare de cǎldurǎ se poate pleca de la ecuaţia legii lui Fourier:

Fig. 2.7 Conducţia termicǎ printr-un perete plan

dxdTqs λ−= (2.22)

Prin separarea variabilelor şi integrare se obţine:

∫∫δ

λ−=2

10

p

p

p T

Tps dTdxq , (2.23)

sau: ( )21 pppps TTq −λ=δ . (2.24)

Rezultǎ:

Tp1

Fluid cald α1

Fluid rece α2

Tf1

Tf2

Tp2

x x =δp

λp

Tf1 Tf2 Rs1 Rs2 Rs3

Tp1 Tp2

qs


p

p

pps

TTq

λ

δ−

= 21 [W/m3] . (2.25)

Comparând ecuaţia (2.25) cu ecuaţia analogiei electrice (1.8), rezultǎ cǎ rezistenţa termicǎ conductivǎ pentru un perete plan este:

p

psR

λ

δ= [(m2K)/W] (2.26)

Fluxul termic va fi: Q = qs ⋅ S [W] (2.27] Pentru determinarea câmpului de temperaturǎ ecuaţia (2.22) se va integra de la 0 la x, respectiv de la Tp1 la T(x). Rezultǎ: qsx = λ [Tp1 − T(x)] , (2.28) de unde, înlocuind pe qs cu valoarea din (2.25), rezultǎ:

xTT

TTp

pppx δ

−−= 21

1 . (2.29)

Rezultǎ cǎ variaţia temperaturii prin perete este linearǎ. În cazul în care conductivitatea termicǎ nu este constantǎ, ci variază liniar cu temperatura: λ = λ0(1 + βT) [W/(mK)] , (2.30) ecuaţia legii lui Fouriei va fi:

dxdTTqs )1(0 β+λ−= [W/m2] . (2.31)


( ) ( )22

21210 2 ppppps TTTTq −

β+−λ=δ , (2.32)

sau:

( )21210

21 pp

pp

ps TT

TTq −

+β+

δλ

= [W/m2] , (2.33)


( )21 ppm

s TTq −δ

λ= [W/m2] . (2.34)

Rezultǎ cǎ în acest caz pentru determinarea fluxului termic unitar se poate utiliza aceeaşi ecuaţia ca pentru cazul λ = ct., conductivitatea termicǎ calculându-se la temperatura medie a peretelui Tm = 0,5 (Tp1 + Tp2). În cazul în care λ = λ0 (1 + βT), câmpul de temperaturǎ, determinat analog ca pentru λ = ct., are forma:

β

−βλ

−

+

β=

121)(0

2

1xqTxT s

p . (2.35)

Variaţia temperaturii prin perete în acest caz este prezentatǎ în figura 2.8.

Fig. 2.8 Distribuţia temperaturii la conducţia termicǎ printr-un perete plan omogen

b) Condiţii la limitǎ de ordinul III În acest caz mărimile cunoscute sunt temperaturile celor douǎ fluide Tf1 şi Tf2, cei doi coeficienţi de convecţie α1 şi α2, grosimea şi conductivitatea termicǎ a peretelui δp şi λp, suprafaţa de schimb de căldurǎ S.

Tp1

Tp2

λ = const.(β=0)

λ=λ0(1+βt)

T(x)

T

δ

β<0

x O x

β>0


Se cere determinarea fluxului termic unitar qs, a fluxului termic şi a temperaturilor peretelui Tp1 şi Tp2. Fluxul termic unitar de suprafaţǎ se poate scrie în acest caz:

( ) ( ) ( )22221111 fpppp

ppfs TTTTTTq −α=−

δ

λ=−α= [W/m2] (2.36)

Din aceste egalităţi vor rezulta:

α=−

λ

δ=−

α=−

222

21

111

1

1

sfp

p

pspp

spf

qTT

qTT

qTT

(2.37)

Prin însumare se obţine:

α+

λ

δ+

α=−

2121

11

p

psff qTT . (2.38)

Rezultǎ fluxul termic unitar de suprafaţǎ:

21

21

11α

+λ

δ+

α

−=

p

p

ffs

TTq [W/m2] . (2.39)

La acelaşi rezultata se ajunge folosind analogia electricǎ a transferului de căldurǎ. În acest caz apar trei rezistenţe termice înseriate: Rst = Rs1 + Rs2 + Rs3 [(m2K)/W] , (2.40) unde: Rs1 este rezistenţa termicǎ convectivǎ la transferul între fluidul cald şi perete; Rs2 − rezistenţa termicǎ conductivǎ prin perete; Rs3 − rezistenţa termicǎ convectivǎ de la perete la fluidul rece; Rst − rezistenţa termicǎ totalǎ. Fluxul termic unitar la convecţie este dat de relaţia lui Newton:

( )s

pfpfs R

TTTTTq ∆

=

α

−=−α= 1

. (2.41)

Rezultǎ cǎ rezistenţa termicǎ convectivǎ în cazul peretelui plan este:


α

=1

scvR [(m2K)/W] . (2.42)

Atunci fluxul termic unitar de suprafaţǎ va fi:

21

21

11α

+λ

δ+

α

−=

∆=

p

p

ff

sts

TTR

Tq [W/m2] . (2.43]

Se defineşte coeficientul global de transfer de cǎldurǎ Ks:

21

1111

α+

λ

δ+

α

==

p

psts R

K [W/(m2K)] . (2.44)

Fluxul termic transmis va fi: Q = Ks S Tf1 − Tf2) [W] . (2.45) Temperaturile suprafeţelor peretelui se stabilesc fie din ecuaţiile (2.36 ), fie cu ajutorul rezistenţelor termice. În general temperatura într-un punct oarecare din perete se determinǎ cu relaţia: Tx = T0 ± qs Rs, o−x , (2.46) unde: T0 este temperatura cunoscutǎ într-un punct de referinţǎ;

Rs,o−x − rezistenţa termicǎ între punctul de referinţǎ şi punctul cu Tx. Aplicând relaţia (2.46) rezultǎ: ( )322111 sssfssfp RRqTRqTT ++=−= , sau:

α+

λ

δ+=

α−=

2111

112

p

psfsfp qTqTT ; (2.47)

şi


( ) 322112 ssfsssfp RqTRRqTT +=+−= , sau:

2

21

1211

α+=

λ

δ+

α−= sf

p

psfp qTqTT . (2.48)

c) Rezistenţe termice de contact Dacǎ douǎ suprafeţe plane vin în contact una cu cealaltă, contactul fizic direct, datoritǎ rugozităţii suprafeţelor, se realizează pe o suprafaţǎ Sc, care reprezintă o micǎ parte din suprafaţǎ totalǎ de contact S (figura 2.9)

Fig. 2.9 Rezistenţa termicǎ de contact Suprafaţa efectivǎ de contact este funcţie de rugozitatea suprafeţelor şi de forţa de strângere între acestea, ea reprezentând între 1÷8% din suprafaţa totalǎ. Deoarece conductivitatea termicǎ a fluidului din interstiţiile între cele douǎ suprafeţe este diferitǎ de conductivitatea termicǎ a celor douǎ suprafeţe, la suprafaţa de contact apare o diferenţǎ de temperaturǎ ∆Tc, datoritǎ unei rezistenţe termice de contact Rsc definitǎ ca:

s

csc q

TR ∆= [(m2K)/W] . (2.49)

Mǎrimea inversǎ rezistenţei termice de contact este conductanţa termicǎ de contact:


scR

1* =α [W/(m2K)] . (2.50)

Rezistenţa termicǎ de contact este compusǎ din douǎ rezistenţe termice legate în paralel: rezistenţa termicǎ prin punctele solide de contact Rss şi rezistenţa termicǎ prin fluidul din interstiţii Rsf:

sfsssc RRR

111* +==α [W/(m2K)] . (2.51)

Fluxul termic transmis în zona de contact va fi:

( )21*2121 TTSS

RTTS

RTTQ f

sfc

ss

−α=−

+−

= [W] . (2.52)

Dar:

2

2

1

1

λδ

+λδ

=ssR , (2.53)

f

sfRλδ

= . (2.54)

Înlocuind valorile Rss şi Rsf în ecuaţia (2.52) şi făcând ipoteza: δ1 = δ2 = δ/2, rezultǎ:

λ+

λ+λλλ

⋅δ

=α ffc

SS

SS

21

21* 21 , (2.55)

sau:

λ+λ

δ=α f

fmed

c

SS

SS1* [W/(m2K)] , (2.56)

unde: λmed este media armonicǎ a conductivităţii celor douǎ corpuri în contact (λ1 şi λ2). Din relaţia (2.56) rezultǎ cǎ rezistenţa termicǎ de contact, respectiv conducţia termicǎ de contact sunt dependente de:

− presiunea de strângere a celor douǎ suprafeţe; − rugozitatea suprafeţelor; − rezistenţa la rupere σr a materialului cu duritate mai micǎ; − conductivitatea termicǎ a celor douǎ solide; − conductivitatea termicǎ a fluidului din interstiţii.


În figura 2.10 sunt date curbele de variaţie a conductanţei termice de contact în funcţie de presiunea de strângere pentru 10 perechi de materiale prezentate în tabelul 2.2 [37].

Fig. 2.10 Variaţia conductanţei termice de contact


Tabelul 2.2

Caracteristicile suprafeţelor în contact corespunzătoare curbelor de conductanţǎ termicǎ din figura 2.10

Curba nr.

Perechea de materiale

Rugozitatea suprafeţelor

µm

Fluidul din interstiţiu

Temperatura medie de contact

°C 1 Aluminiu 1,22−1,65 Vid (10-2 Pa) 43 2 Aluminiu 1,65 Aer 93

3 Aluminiu 0,15−0,2 (neplane)

Foiţǎ de plumb (0,2 mm) 43

4 Oţel inoxidabil 1,08−1,52 Vid (10-2 Pa) 30 5 Oţel inoxidabil 0,25−0,38 Vid (10-2 Pa) 30 6 Oţel inoxidabil 2,54 Aer 93 7 Cupru 0,18−0,22 Vid (10-2 Pa) 46

8 Oţel inoxidabil− aluminiu 0,76−1,65 Aer 93

9 Magneziu 0,2−0,41 (oxidat) Vid (10-2 Pa) 30

10 Fier−aluminiu − Aer 27

d) Perete plan neomogen cu straturi perpendiculare pe direcţia de propagare a căldurii Vom considera un perete plan format din 2 straturi cu rezistenţǎ termicǎ de contact între ele, cu condiţii la limitǎ de ordinul III (figura 2.11). Mărimile cunoscute în acest caz vor fi: temperaturile celor douǎ fluide Tf1 şi Tf2, coeficienţii de convecţie α1 şi α2, grosimile celor doi pereţi δ1 şi δ2, conductivitǎţile termice ale pereţilor λ1 şi λ2, conductanţa termicǎ de contact α* şi suprafaţa de schimb de căldurǎ S. .


Fig. 2.11 Transferul căldurii între douǎ fluide printr-un perete omogen cu straturi perpendiculare pe direcţia de propagare a căldurii: a − distribuţia temperaturii; b − schema electricǎ echivalentǎ.

Se cer: fluxul termice unitar de suprafaţǎ qs, fluxul termic Q şi temperaturile pereţilor Tp1, Tp2, Tp3, Tp4. Vom porni de la schema electricǎ echivalentǎ care este formatǎ din 5 rezistenţe termice înseriate. Rezultǎ:

∑

=

−= 5

1

21

isi

ffs

R

TTq [W/m2] , (2.57)

sau, înlocuind valorile celor 5 rezistenţe:

∆T

Tp1 1

111α

==∆ ssps qRqT

*

1α

==∆ sscsc qRqT

2

222 λ

δ==∆ sspsp qRqT

222

1α

==∆ sss qRqT

1

111 λ

δ==∆ sspsp qRqT

Tf2

Tf1

Tp2

Tp3 Tp4

δ2 δ1

λ2 λ1

α2

α1

qs S

a)

11

1α

=sR1

11 λ

δ=spR *

1α

=scR 2

22 λ

δ=spR

22

1α

=sR

Tf1 Tf2 Tp1 Tp2 Tp3 Tp4

qs

b)


22

2*

1

1

1

21

111α

+αδ

+α

+λδ

+α

−= ff

s

TTq [W/m2] . (2.58)

Coeficientul global de transfer de căldurǎ va fi:

22

2*

1

1

1

11111

α+

λδ

+α

+λδ

+α

==st

s RK [W/(m2K)] (2.59)

Fluxul termic transmis va fi: Q = qs ⋅ S = Ks S (Tf1 − Tf2) [W] . (2.60) Aplicând regula datǎ de relaţia (2.46) rezultǎ:

1

11111

α−=−= sfssfp qTRqTT ; (2.61)

( )

λδ

+α

−=+−=1

1

112112

1sfsssfp qTRRqTT ; (2.62)

( )

α

+λδ

+α

−=++−= *1

1

1132113

11sfssssfp qTRRRqTT ; (2.63)

2

2241

α+=+= sfspsfp qTRqTT . (2.64)

e) Perete compozit Pentru exemplificarea acestui caz vom considera faţada unei clǎdiri (figura 2.12) constituitǎ din beton cu conductivitatea termicǎ λ1 (haşurat) şi un material izolant (aer sau polistiren) cu conductivitatea termicǎ λ2 [1].


Ţinând seama de simetria sistemului, acesta se poate descompune, în elemente de înǎlţime identicǎ b. Schema electricǎ echivalentǎ este compusǎ din 7 rezistenţe termice legate în serie şi paralele.

Fig. 2.12 Perete compozit [1] Rezistenţa termicǎ totalǎ echivalentǎ va fi:

76

543

21 1111

ss

sss

ssst RR

RRR

RRR ++++

++= . (2.65)

Pentru determinarea rezistenţelor termice vom scrie fluxul termic unitar pe fiecare zonǎ, considerând o lăţime a peretelui z, astfel ca z⋅b=1m2. Vom obţine pentru zonele omogene 1, 2, 4 şi 5:

5241

12

1

111 TTTTqs ∆α=∆

δλ

=∆δλ

=∆α= . (2.66)

δ1

b3

b

b

∆T3 ∆T1 ∆T2 ∆T4 ∆T5

Rs2 Rs1

Rs3

Rs4

Rs5

Rs6 Rs7 Tf1 Tf2

Tf1 Tf2 α1 α2

b1

b2

δ2 δ1


Rezultǎ:

2

71

16

1

12

11

1;;;1α

=λδ

=λδ

=α

= ssss RRRR [(m2K)/W] (2.67)

Pentru zona 3 care este neomogenǎ fluxul termic unitar va fi:

332

22

2

11

2

2321 Tzbzbzbqqqq ssss ∆

δλ

+δλ

+δλ

=++= . (2.68)

Rezultǎ:

12

2

12

2

2

123

1bb

zbzbRs λδ

=λ

δ=

δλ

= ; (2.69)

21

2

21

2

2

2114

1bb

zbzbRs λδ

=λ

δ=

δλ

= ; (2.70)

32

2

32

2

2

325

1bb

zbzbRs λδ

=λ

δ=

δλ

= . (2.71)

2.2.1.2. Peretele cilindric Se considerǎ un perete cilindric tubular cu raza interioarǎ ri (diametrul di) şi raza exterioarǎ re (diametrul exterior de), alcătuit dintr-un material omogen cu conductivitatea termicǎ λ = const. a) Condiţii la limitǎ de ordinul I Se dau: diametrele di şi de, conductivitatea termicǎ λ, lungimea l a cilindrului şi temperaturile pe cele douǎ feţe Tp1 şi Tp2. Se cer: determinarea câmpului de temperaturǎ, fluxului termic unitar linear şi fluxului termic. În cazul peretelui cilindric suprafaţa sa variază în lungul razei şi în consecinţǎ şi fluxul termic unitar de suprafaţǎ va fi variabil în funcţie de


razǎ. Din aceste motive în acest caz se utilizeazǎ fluxul termic unitar linear ql. Legătura între cele douǎ fluxuri unitare este: dqq sl π= [W/m] . (2.72)

Fig. 1.13 Transferul de căldurǎ conductiv printr-un perete cilindric: a) variaţia temperaturii; b) schema electricǎ echivalentǎ

Pentru determinarea fluxului termic unitar linear se porneşte de la ecuaţia legii lui Fourier:

drdTSlqQ l λ−=⋅= . (2.73)

Suprafaţa de schimb de căldurǎ este: S = 2πrl. Rezultǎ:

ri

re

di

de

Tp1

Tp2

Tf1

Tf2

dr r

d

dT

l=1m

λ=const.

T ql

a)

b) Tf2 Tf1 Tp2 Tp1

Rl2 Rl1 Rl3


drdTrql λπ−= 2 . (2.74)

Separând variabilele şi integrând se obţine:

r

drqdTe

i

p

p

r

r

eT

T

⋅πλ

=− ∫∫ 2

2

1

, (2.75)

de unde:

i

e

ppl

rr

TTq

ln2

121

πλ

−= [W/m] . (2.76)

Din analogia electricǎ va rezulta valoarea rezistenţei termice lineare pentru peretele cilindric:

i

e

i

el d

drrR ln

21ln

21

πλπλ== [(mK)/W] . (2.77)

Pentru determinarea ecuaţiei câmpului de temperaturǎ ecuaţia (2.75) se va integra de la Tp1 la T(r), respectiv de la ri la r. Se obţine:

i

lp r

rqrTT ln2

)(1 πλ=− . (2.78)

Înlocuind valoarea lui ql din (2.77), se obţine:

( ))/(ln)/(ln

)( 211ie

ippp rr

rrTTTrT −−= , (2.79)

relaţie care aratǎ cǎ distribuţia temperaturii în peretele cilindric este de tip logaritmic. În cazul în care conductivitatea termicǎ este variabilǎ linear cu temperatura: λ = λ0 (1+βT) ecuaţia (2.74) devine:

( )drdTrTql πβ+λ−= 210 . (2.80)


Prin integrare între limitele r1 şi r, respectiv Tp1 şi T(r), rezultǎ:

( )β

−βπλ

−

+

β=

1/ln1)(0

12

1rrqTrT l

p . (2.81)

Distribuţia temperaturii prin perete în funcţie de semnul lui β este prezentatǎ în figura 2.14 b) Conducţii la limitǎ de ordinul III În acest caz mărimile cunoscute vor fi: temperaturile celor douǎ fluide Tf1 şi Tf2, coeficienţii de convecţie αi, αe, diametrele şi lungimea peretelui: di, de, l şi conductivitatea termicǎ λ. Pentru determinarea fluxului termic unitar linear se va utiliza analogia electricǎ a transferului termic pentru schema echivalentǎ din figura 2.13.

Fig. 2.14 Distribuţia temperaturii la conducţia termicǎ printr-un perete cilindric omogen

Fluxul termic unitar linear va fi:

d1

λconst.(β=0) T(r)

β<0

β>0

λ=λ0(1+Tβ)

Tp1

Tp2

T

d2

r

ql


321

21

lll

ffl RRR

TTq

++

−= [W/m] , (2.82)

unde: Rl1 şi Rl3 sunt rezistenţe termice convective, în m⋅K/W; Rl2 − rezistenţa termicǎ conductivǎ, în m⋅K/W. Pentru determinarea valorii rezistenţei termice convective se pleacă de la relaţia legii lui Newton: TrlTSQ ∆π⋅α=∆α= 2 [W] . (2.83) Rezultǎ:

απ

∆==

d

TlQql 1

[W/m] . (2.84)

Rezistenţa termicǎ linearǎ convectivǎ va fi:

απ

=d

R cvl1

, [(mK)/W] . (2.85)

Înlocuind în (2.82) valorile rezistenţelor termice calculate cu (2.85) şi (2.77), rezultǎ:

eei

e

ii

ffl

ddd

d

TTq

απ+

πλ+

απ

−=

1ln2

1121 [W/m] . 2.86)

Definind coeficientul global linear de transfer de căldurǎ:

eei

e

ii

l

ddd

d

K

απ+

πλ+

απ

=1ln

211

1 [W/(mK)] , (2.87)

fluxul termic va fi: ( )21 ffl TTlKQ −⋅⋅= [W] . (2.88) Pentru determinarea temperaturilor pereţilor se va aplica relaţia (2.46):

ei

lfllfp dqTRqTT

απ−=−=

11111 ; (2.89)


( )

eelfllf

i

e

iilflllfp

dqTRqT

dd

dqTRRqTT

απ

πλαπ

1

ln2

11

232

12112

+=+=

=

+−=+−=

. (2.90)

c) Perete cilindric neomogen cu straturi perpendiculare pe direcţia de propagare a căldurii Se considerǎ un perete cilindric format din douǎ straturi cu rezistenţǎ termicǎ de contact între ele (figura 2.15). Rezistenţa termicǎ totalǎ este:

232

3

2*

21

2

111

2211

1ln2

11ln2

11απ

+πλ

+απ

+πλ

+απ

=

=++++=

ddd

ddd

d

RRRRRR llplclpllt

. (2.91)

Coeficientul global de schimb de căldurǎ, fluxul termic unitar linear şi fluxul termic se determinǎ cu relaţiile:

Fig. 2.15 Transferul căldurii printr-un perete cilindric neomogen cu straturi perpendiculare pe direcţia de propagare a căldurii

232

3

2*

21

2

111

1ln2

11ln2

111

απ+

πλ+

απ+

πλ+

απ

=

ddd

ddd

d

K l [W/(mK)];(2.92)

Tf1

∆ T

Tp1 11

111απ

==∆d

qRqT lll

*2

1απ

==∆d

qRqT llclc

2

3

222 ln

21

dd

qRqT llplp πλ==∆

2322

1απ

==∆d

qRqT lll

1

2

111 ln

21

dd

qRqT llplp πλ==∆

Tf2

Tp2

Tp3 Tp4

λ2 λ1

α2

α1

qi l

d1 d2

d3

α*


( )11 pfll TTKq −= [W/m] . (2.93) Temperaturile peretelui se determinǎ analog ca în cazul anterior (relaţia 2.46). Pentru exemplificare:

( )

( )222

1113

lpllf

lclpllfp

RRqTRRRqTT

++=

=++−= [°C] . (2.94)

2.2.1.3. Peretele sferic a) Condiţii la limitǎ de ordinul I Se considerǎ un perete sferic (sferǎ goalǎ la interior, (figura 2.16) cu raza interioarǎ r1 şi cea exterioarǎ r2, dintr-un material cu conductivitatea termicǎ λ. Se cunosc cele douǎ temperaturi pe suprafaţǎ Tp1 şi Tp2.

Fig. 2.16 Transferul căldurii prin conducţie printr-un perete sferic omogen

T Tp1

Tp2

T(r)

r1

r2 r dr

dT

d1 d2

0

λ=const.


Fluxul termic, conform ecuaţiei legii lui Fourier va fi:

( )drdTr

drdTSQ 24πλ−=λ−= [W] . (2.95)


∫∫ πλ=−

2

1

2

1

24

r

r

T

T rdrQdT

p

p

, (2.96)

Rezultǎ:

−

πλ=−

2121

114 rrQTT pp . (2.97)

Fluxul termic va fi:

( )

−

πλ

−=

−

−πλ=

21

21

21

21

112

1114

dd

TT

rr

TTQ pppp [W] . (2.98)

Rezultǎ cǎ rezistenţa termicǎ conductivǎ în cazul sferic va fi:

−

πλ=

21

112

1dd

Rtcd [K/W] (2.99)

Prin integrarea relaţiei (2.96) de la Tp1 la T(r), respectiv de la r1 la r, rezultǎ ecuaţia câmpului de temperaturǎ:

( )21

1211

11 11

1111

4)(

rr

rrTTTrr

QTrT pppp

−

−−−=

−

πλ−= (2.100)

Relaţia (2.100) aratǎ cǎ variaţia temperaturii prin perete este în acest caz de tip hiperbolic. b) Condiţii la limitǎ de ordinul III Ecuaţia fluxului termic convectiv în cazul sferei este:


απ

∆=∆απ=∆α=

2

2

1d

TTdTSQ [W] (2.101)

Rezultǎ cǎ rezistenţa termicǎ convectivǎ în cazul peretelui sferic este:

απ

= 2

1d

Rtcv [K/W] . (2.202)

Aplicând analogia electricǎ, în cazul condiţiilor la limitǎ de ordinul III fluxul termic va fi:

222211

21

21

1

21

1112

11

2

απ+

−

πλ+

απ

−=

=++

−=

dddd

TTRRR

TTQ

ff

tcvtcdtcv

ff

[W] , (2.103)

sau: ( )21 ffsf TTKQ −= [W] . (2.104) Rezultǎ coeficientul global de schimb de căldurǎ pentru peretele sferic:

222211

21

1112

111

απ+

−

πλ+

απ

=

dddd

K sf [W/K] . (2.105)

2.2.2. Corpuri cu forme geometrice simple cu surse interioare de cǎldurǎ uniform distribuite

2.2.2.1. Peretele plan a) Perete răcit uniform pe ambele feţe (fig.2.17a) Ecuaţia diferenţialǎ care caracterizează conducţia termicǎ prin corpuri cu surse interioare de cǎldurǎ uniform distribuite în regim permanent este ecuaţia lui Poisson, care scrisǎ pentru câmpul de temperaturǎ unidirecţional este:


02

2

=λ

+ vqdx

Td . (2.106)

Integrând de douǎ ori se obţine:

1CxqdxdT v +

λ−= , (2.107)

212

2CxCxqT v ++

λ−= (2.108)

Pentru determinarea constantelor de integrare C1 şi C2 se pot pune condiţii la limitǎ de ordinul I sau ordinul III. Peretele fiind răcit uniform pe ambele feţe, în centrul plăcii temperatura va fi maximǎ, deci:

• la x = 0 , 0=dxdT . (2.109)

Fig. 2.17. Distribuţia temperaturii printr-un perete plan cu sursa interioarǎ de cǎldurǎ uniform distribuitǎ: a) răcit uniform pe ambele feţe; b) răcit neuniform

În cazul condiţiile la limitǎ de ordinul I:

• la x = δ , T =Tp . (2.110) Cu aceste condiţii la limitǎ cele 2 constante rezultǎ:

0

δ δ

S Tf Tf

Tp

Q1/2 Q1/2

Tp

Tm

x

α α

qv=const.

λ=const.

a)

qv=const. λ=const.

Q1 Q2

Qx Qx+dx

x dx

xm

Tm

S

Tf1

Tf2

Tp1

Tp2

α1 α2

2δ

0 x b)


01 =C şi 22 2

δλ

+= vp

qTC . (2.111)

Rezultǎ:

δ−δ

λ+=

22 1

2xqTT v

p . (2.112)

Temperatura maximǎ a peretelui va fi:

2

2δ

λ+= v

pmqTT . (2.113)

Ecuaţia câmpului de temperaturǎ se poate scrie şi pornind de la temperatura maximǎ, punând condiţia la limitǎ:

• la x = 0 , T = Tm . (2.114) Rezultǎ: C1 = 0; C2 = Tm şi:

λ

−=2

2xqTT vm . (2.115)

În cazul condiţiilor la limitǎ de ordinul III, vom avea:

• la x = 0, 0=dxdT ;

• la x = δ , ( )fp TTdxdT

−α=λ− . (2.116)

Se obţine: C1 = 0 şi:

αδ

+= vfp

qTT . (2.117)

Înlocuind valoarea lui Tp în relaţia (2.112), rezultǎ:

δ−δ

λ+

αδ

+=2

2 12

xqqTT vvf . (2.118)

Fluxul termic transmis prin fiecare faţǎ a peretelui cu suprafaţa S va fi:

δ±=λ−=δ±=

SqdxdTSQ v

x2/1 [W] . (2.119)


b) Perete rǎcit neuniform pe cele douǎ feţe (fig. 2.17.b)

În acest caz punând condiţiile la limitǎ de ordinul I: • la x = 0 , T = Tp1 ; • la x = 2δ , T = Tp2 ,

rezultǎ: C2 = Tp1 şi

λδ

+δ

−= vpp qTT

C2

121 . (2.120)

Ecuaţia câmpului de temperaturǎ va fi:

112

2

22 pvppv TxqTTxqT +

λδ

+δ

−+

λ−= . (2.121)

Temperatura maximǎ se realizează la distanţa x = xm, care rezultǎ din ecuaţia dT/dx = 0 :

δ

−⋅

λ+δ=

212 pp

vm

TTq

x . (2.122)

Înlocuind valoarea lui xm în ecuaţia (2.121), rezultǎ temperatura maximǎ:

( ) ( )212

122

2

21

82 ppppv

vm TTTT

qqT ++−

δλ

+λδ

= . (2.123)

Fluxurile termice transmise prin cele douǎ feţe, având suprafaţa S este:

λδ

+δ

−λ−=−= vpp

mvqTT

SSxqQ2

121 [W] ,

(2.124)

( )

δ

−−

λδ

λ−=−δ−=2

2 122

ppvmv

TTqSxSqQ [W] .

(2.125) Condiţiile la limitǎ de ordinul III vor fi:

• la x = 0 , ( )111 fp TTdxdT

−α−=λ− ;

• la x = 2δ , ( )22 fp TTdxdT

−α=λ− .


Rezultǎ temperaturile suprafeţelor peretelui:

δ

λα

+αα

+

λδ

+α

δ+−+=

1

2

1

212

11

21

12 vff

fp

qTTTT ;

(2.126)

δ

λα

+αα

+

λδ

+α

δ+−+=

2

1

2

121

22

21

12 vff

fp

qTTTT . (2.127)

Înlocuind aceste valori în ecuaţia (2.121) se stabileşte ecuaţia câmpului de temperaturǎ.

2.2.2.2. Peretele cilindric (fig. 2.18)

Ecuaţia lui Poisson pentru conducţia unidirecţionalǎ în coordonate cilindrice are forma:

012

2

=λ

++ vqdrdT

rdrTd , (2.128)

cu soluţia generalǎ:

21

2

ln4

CrCrqT v ++λ

−= . (2.129)

Punând condiţiile la limitǎ:

• la r = 0 , 0=drdT ;

• la r = 0 , T = Tm , rezultǎ: C1 = 0 şi C2 = Tm. Ecuaţia câmpului de temperaturǎ va fi:

λ

−=4

2rqTT vm . (2.130)

Temperatura peretelui se obţine pentru r = R:

λ

−=4

2RqTT vmp . (1.131)

Fluxul termic generat în perete şi transmis prin suprafaţa acestuia este:


( )lTTlqRdrdTSQ pmv

r

−πλ=π=λ−==

42

0

[W] . (1.132)

Fig. 2.18 Perete cilindric cu surse interioare de cǎldurǎ uniform distribuite

2.2.2.3. Perete cilindric tubular În cazul transferului de cǎldurǎ printr-un perete tubular, dacǎ tubul cilindric are pereţi subţiri (de/di ≤ 1,1) el poate fi tratat cu bunǎ aproximaţie ca un perete plan. În cazul tuburilor cu pereţi groşi (de/di > 1,1) se pot întâlni trei cazuri:

• tubul are suprafaţa interioarǎ izolatǎ termic, fiind rǎcit numai la exterior (fig. 2.19.a);

• tubul are suprafaţa exterioarǎ izolatǎ termic, fiind rǎcit numai la interior (fig. 2.19.b);

• tubul termic este rǎcit pe ambele feţe (fig. 1.19.c). Ecuaţiile câmpului de temperaturǎ, razei la care apare temperatura maximǎ şi fluxurile transmise prin cele douǎ feţe sunt prezentate în tabelul 2.3

qv = const.

λ = const. Tf Tf

Tp Tp

Tm

Qr+dr Qr

dr r l

R

r 0

α


Fig. 2.19. Perete tubular cu surse interioare de cǎldurǎ uniform distribuite:

a) rǎcit la exterior; b) rǎcit la interior; c) rǎcit pe ambele feţe

qv=const qv=const

qv=const

λ=const. λ=const.

λ=const.

Supr

afaţ

ǎ iz

olat

ǎ

term

ic

Supr

afaţ

ǎ iz

olat

ǎ

term

ic

Fluid de rǎcire

Fluid de rǎcire

Fluid de rǎcire

Fluid de rǎcire

Re Re

Re

Ri Ri

Ri

Ti

Ti

Ti

Te

Te

Te

Tm

Rm

Qe

Qe Qi

Qi

a) b)

c)

Tabelul2.3

Perete tubular cu surse interioare de cǎldurǎ

Mǎrimea Rǎcit la exterior (fig.2.19.a)

Rǎcit la interior (fig.2.19.b)

Rǎcit pe ambele feţe (fig.2.19.c)

Câmpul de temperaturǎ

−−

λ

−= 1ln24

22

ii

ivi R

rRrRqTT

−−

−= 1ln2

4

22

ee

eve R

rRrRq

TTλ

( ) ( )( )

( ) ( )

λ−

−−⋅

⋅+λ−

−=

4

/ln/ln

422

22

ievei

ei

iivi

RRqTT

RRRrRrqTT

Raza la care temperatura este maximǎ

Rm = Ri Rm = Ri

( ) ( )

i

ev

iev

ie

m

RRq

RRqTTR

ln2

422

λ

−λ

+−=

Fluxul transmis prin peretele interior

( ) viei lqRRQ 22 −π= 0 ( ) vimi lqRRQ 22 −π=

Fluxul transmis prin peretele exterior

0 ( ) viee lqRRQ 22 −π= ( ) vmee lqRRQ 22 −π=


2.2.3. Conducţia termicǎ prin suprafeţe extinse

În cazul transferului de cǎldurǎ între un fluid cald şi unul rece, printr-o suprafaţǎ de schimb de cǎldurǎ, coeficientul global de schimb de cǎldurǎ este mai mic decât cel mai mic coeficient de convecţie (Ks < αmin). Dacǎ cei doi coeficienţi de convecţie au valori care diferă mult (douǎ ordine de mǎrime), coeficientul global de schimb de cǎldurǎ este practic egal cu αmin. De exemplu, dacǎ α1 = 5000 W/(m2K) (convecţia monofazicǎ în fazǎ lichidǎ); α2 = 50 W(m2K) (convecţia monofazicǎ în fazǎ gazoasǎ); λp = 45 W(mK) (perete de oţel); δp = 0,002 m, coeficientul global de schimb de cǎldurǎ va fi Ks = 49,39 W/(m2K). Rezultǎ cǎ pentru a mǎri coeficientul global de schimb de cǎldurǎ, în aceste cazuri, trebuie intensificat transferul de cǎldurǎ convectiv pe partea fluidului cu αmin (de obicei un gaz). O altǎ metodǎ de a mǎri coeficientul global de schimb de cǎldurǎ o constituie extinderea suprafeţei de schimb de cǎldurǎ pe partea fluidului cu αmin. Aceasta se realizează prin prevederea unor nervuri longitudinale, radiale sau aciculare (fig.2.20), executate din acelaşi material sau din materiale diferite cu peretele suport.

Fig.2.20. Exemple de nervuri: a) cu secţiune constantǎ; b) cu secţiune variabilǎ; c) circularǎ; d) acicularǎ.

2.2.3.1. Ecuaţia generalǎ a nervurilor Pentru determinarea acestei ecuaţii se considerǎ o nervurǎ cu secţiunea transversalǎ variabilǎ S = S(x) şi perimetrul variabil P = P(x), realizatǎ dintr-un material cu λ = const. Nervura vine în contact cu un fluid


cu temperaturǎ constantǎ Tf = const., coeficientul de convecţie între nervurǎ şi fluid fiind de asemenea constant: α = const. (fig. 2.21).

Fig. 2.21 Bilanţul energetic al unei nervuri

Pentru un element de volum cu grosimea dx din aceastǎ nervurǎ, în ipoteza transferului de cǎldurǎ conductiv numai în lungul nervurii (ipotezǎ valabilǎ pentru nervurile subţiri şi lungi), bilanţul termic va avea forma: convdxxx QQQ += + [W] , (2.133) unde: Qx este fluxul termic care intrǎ prin conducţie în elementul considerat, în W; Qx+dx − fluxul termic care iese prin conducţie din elementul considerat, în W; Qconv − fluxul termic schimbat prin convecţie între suprafaţa lateralǎ a elementului considerat şi fluidul înconjurător, în W. Fluxul termic Qx poate fi calculat cu ecuaţia legii lui Fourier, transferul de cǎldurǎ conductiv fiind unidirecţional în regim staţionar, fǎrǎ surse interioare de cǎldurǎ:

dxdTSQx λ−= [W] . (2.134)

Fluxul termic Qx+dx va fi:

dxdx

dQQQ xxdxx +=+ [W] , (2.135)

sau:


dxdxdTS

dxd

dxdTSQ dxx

λ−λ−=+ . (2.136)

Deoarece şi S şi T sunt funcţii de x se obţine:

dxdx

TdSdxdxdT

dxdS

dxdTSQ dxx 2

2

λ−λ−λ−=+ .

(2.137) Fluxul termic transmis prin convecţie este: ( ) ( )ffsconv TTPdxTTAQ −=−= αα , (2.138) unde: As este suprafaţa lateralǎ a elementului considerat: As = Pdx. Înlocuind valorile lui Qx, Qx+dx, Qconv, în relaţia (2.133) rezultǎ:

( )fTTPdxdx

dxTdS

dxdxdT

dxdS

dxdTS

dxdTS

−α+λ−

−λ−λ−=λ−

2

2 ,

(2.139) sau:

( ) 02

2

=−−+ fTTPdxdxdxdT

dxdSdx

dxTdS αλλ , (2.140)

sau:

( ) 012

2

=−λα

−+ fTTSP

dxdT

dxdS

SdxTd

. (2.141)

Notând: fTT −=θ − excesul de temperaturǎ între perete şi fluid şi:

SPm

λα

=2 [m-2] , (2.142)

Ecuaţia generalǎ a nervurii capǎtǎ forma:

01 22

2

=θ−θ

+θ m

dxd

dxdS

Sdxd . (2.143)

2.2.3.2. Nervura cu secţiune constantǎ Din aceastǎ categorie fac parte nervurile longitudinale cu profil rectangular (figura2.22a) şi nervurile aciculare cu profil cilindric (figura 2.22b).


În aceste cazuri secţiunea transversalǎ a nervurii este constantǎ (S=ct.), ecuaţia generalǎ a nervurii fiind:

022

2

=θ−θ m

dxd . (2.144)

Soluţia generalǎ a ecuaţiei este: mxmx eCeC −+=θ 21 .

Fig. 2.22 Nervuri cu secţiune constantǎ a) nervura rectangularǎ; b)nervura cilindricǎ

Pentru determinarea constantelor C1 şi C2 se pot pune diferite tipuri de condiţii la limitǎ. a) Cǎldura transmisǎ prin vârful nervurii este neglijabilǎ În acest caz condiţiile la limitǎ vor fi:

• la x = 0, T = T0, respectiv 0θ=θ ;


• la x = L , 0=dxdT , respectiv 0=

θdxd

Rezultǎ:

=

θ=+−mLmL meCmeC

CC

21

021 (2.145)

De unde:

mLmL

mL

eeeC −

−

+θ= 01 ; (2.146)

mLmL

mL

eeeC −+

= 02 θ . (2.147)

Distribuţia temperaturii în lungul nervurii va fi:

mLmL

mxmLmxmL

eeeeee

−

−−

++

=θθ

0

, (2.148)

sau:

mL

mx

mL

mx

ee

ee

220 11 −

−

++

+=

θθ . (2.149)

Utilizând funcţiile hiperbolice: shx = (ex - e-x)/2; chx = (ex +e-x)/2, ecuaţia (2.149) se poate scrie:

( )[ ]( )mLch

xLmch −=

θθ

0

(2.150)

Din analiza relaţiei (2.150) rezultǎ cǎ temperatura nervurii scade în lungul sǎu, scăderea fiind cu atât mai mare cu cât parametrul m este mai mare. Fluxul termic transmis prin nervurǎ este egal cu fluxul termic care intrǎ prin baza nervurii:

( )( )mLchmLshSm

dxdSQ

xn θλ=

θλ−=

=0

Dar SPm λα= / , atunci: ( )mLthSPQn 0θλα= (2.151)


Înlocuind pe S = bδ0 rezultǎ:

( )( )mLch

mLmshbQn00 θλδ

= , (2.152)

sau: ( )mLthbmQn 00 θλδ= [W] . (2.153) Randamentul nervurii se defineşte ca raportul între fluxul termic transmis prin nervurǎ şi fluxul maxim care s-ar transmite dacǎ nervura ar avea pe toatǎ lungimea temperatura de la baza ei T0. Rezultǎ:

( )0

00

max 2 αθθλδ

==ηLb

mLthbmQQn

n . (2.154)

sau:

( )L

mLmthn

0

2λδ

α=η . (2.155)

Dar: 0

2 2λδ

α=m , deci:

( )mLmLth

n =η (2.156)

Pentru a se lua în consideraţie cǎldura cedatǎ prin vârful nervurii Harper-Brown, propune ca sǎ se mǎreascǎ fictiv lungimea nervurii L cu o lungime ∆L, astfel încât, fluxul de cǎldurǎ transmis prin vârful nervurii sǎ fie egal cu cel transmis prin suprafaţa lateralǎ a prelungirii fictive cu ∆L a nervurii (figura 2.23).

Fig.2.23 Nervura echivalentǎ cu capǎtul

Izolaţie termicǎ

θL θ = 0

δ0

∆L L


izolat termic (aproximaţia Harper-Brown) Lbb L ∆α=θαδ 20 ; (2.157) rezultǎ: 2/0δ=∆L (2.158) Noua lungime de calcul a nervurii va fi: 2/0δ+= LLc (2.159) b) Nervura infinitǎ În acest caz condiţiile la limitǎ vor fi:

• la x = 0 , 0θ=θ • la x = ∞ , 0=θ

Rezultǎ: C1 = 0 şi C2 = 0θ Atunci variaţia temperaturii în lungul nervurii va fi:

mxe−=θθ

0

(2.160)

Fluxul termic transmis prin nervurǎ şi randamentul nervurii vor fi: 00 θλδ= bmQn [W] ; (2.161)

mn1

=η (2.162)

c) Nervura cu lungime finitǎ În acest caz condiţiile la limitǎ vor fi:

• la x=0 , T = T0, respectiv 0θ=θ ;

• la x = L , ( )fLL TTdxdT

−α=λ− , respectiv LLdxd

θα=θ

λ−

Rezultǎ:


( )

+λα

−=−=θ

θ=+

−−

=

mLmLmLmL

Lx

eCeCmeCmeCdxd

CC

2121

021 ;

(2.163) Rezolvând sistemul (2.163) se obţine:

λα

−+

λα

+

λα

−θ=

mme

mC

mL2

0

1 ; (2.164)

λα

−+

λα

+

λα

+θ=

mme

meC

mL

mL

2

20

2 .

(2.165) Variaţia temperaturii în lungul nervurii va fi:

λα

−+

λα

+

λα

++

λα

−=

θθ

−

mme

meeme

mL

mLmxmx

2

2

0

,

(2.166) Sau utilizând funcţii hiperbolice:

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )mLshm

mLch

xLmshm

xLmch

λα

+

−λ

α+−

=θθ

0

. (2.167)

Fluxul termic transmis prin nervurǎ va fi:

0=

θλ−=

xn dx

dSQ ; (2.168)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )mLshmmLch

mLchmmLshSPQn λα+λα+

λαθ=//

0 . (2.169)


2.2.3.3. Nervura circularǎ Pentru extinderea suprafeţei ţevilor de cele mai multe ori se utilizează nervuri circulare (figura 2.20.c) Elementele geometrice ale acestei nervuri (figura 2.24) sunt: S = 2πrδ0; P = 4πr + 2δ0 , sau deoarece δ0 << r: P ≈ 4πr. Cu aceste valori ecuaţia generalǎ a nervurii (2.142 devine:

022

1 202

2

=θ−θ

πδδπ

+θ m

drd

rdrd ; (2.170)

Fig. 2.24 Nervura circularǎ

01 22

2

=θ−θ

+θ m

drd

rdrd (2.171)

sau

0222

22 =θ−

θ+

θ rmdrdr

drdr (2.172)

Ecuaţia (1/172) este o ecuaţie Bessel, care are soluţia: ( ) ( )mrKCmrIC 0201 +=θ , (2.173)

Tf = const.

T=T(r)

r1

r2 r

T0

α λ

δ0

r 0


unde: I0 şi K0 sunt funcţiile Bessel modificate de speţa I şi ordinul 0, respectiv speţa II şi ordinul 0. Considerând cǎldura degajatǎ prin vârful nervurii neglijabilǎ, vom avea condiţiile la limitǎ:

• la r = r1 , 0θ=θ ;

• la r = r2 , 0=θ

drd

Rezultǎ:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )21102110

021021

0 mrImrKmrKmrImrKmrImrImrK

++

=θθ

, (2.174)

unde: I1 şi K1 sunt funcţiile Bessel modificate de speţa I şi ordinul I, respectiv de speţa II şi ordinul I. Fluxul termic transmis prin nervurǎ va fi:

11

010 2rrrr

n drdr

drdTSQ

==

θδπλ−=λ−= . (2.175)

Rezultǎ ψθλδπ 0012 mrQn = , (2.176) unde:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )21102110

11211121

mrKmrImrImrKmrImrKmrKmrI

+−

=ψ (2.177)

Randamentul nervurii va fi:

( )ψ−π

=η 21

22

12rr

rn . (2.178)

În tabelul (2.4) şi în figurile (2.25) şi (2.26) sunt prezentate valorile randamentului nervurii şi variaţia acestuia în funcţie de (mL) pentru principalele tipuri de nervuri.


Tabelul 2.4 Valorile randamentului nervurii

Tipul nervurii Randamentul nervurii 1 2

Nervuri longitudinale Rectangulara S = 2bLc Lc = L+(δ/2)

c

cn mL

mLtanh=η

Triunghiulara S=2b[L2+(δ/2)2]1/2

)2()2(1

0

1

mLImLI

mLn =η

Parabolica S=b[C1L+ +(L2/δ)ln(δ/L+C1)] C1=[1+(δ/L)2]1/2

( )[ ] 114

22/12 ++

=ηmL

n

Nervuri circulare Rectangulara

( )21

222 rrS c −π=

r2c = r2 + (δ/2)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )cc

ccn mrImrKmrKmrI

mrKmrImrImrKC21102110

211121112 +

−=η

( )( )2

12

2

12

/2rrmrC

c −=

Nervuri aciculare Rectangularăb Af=πDLc Lc=L+(D/4)

c

cn mL

mLtanh=η

Triunghiularăb

( )[ ] 2/122 2/2

DLDS +π

=

( )( )mLI

mLImLn 2

22

1

2=η

Parabolicăb

[ ] 34

43

3

)/2(ln2

8

CLDCDL

CCDLS

+−

−π

=

C3 = 1+2(D/L)2 C4 = [1+(D/L)2]1/2

[ ] 11)(9/42

2/12 ++=η

mLn

a m = (2α/λδ)1/2 b m = (4α/λD)1/2


Fig. 2.25 Variaţia randamentului nervurilor longitudinale

Fig. 2.26 Variaţia randamentului nervurilor circulare

O altǎ mărime care caracterizează performanţele nervurǎrii este eficienţa nervurǎrii, definitǎ ca raportul între fluxul termic transmis prin nervurǎ şi fluxul termic transmis dacǎ nu ar exista nervurarea:


00θα

=εSQn

n , (2.179)

unde S0 este secţiunea la baza nervurii. Dacǎ, exprimǎm valoarea lui εn pentru nervura infinitǎ cu secţiunea constantǎ, va rezulta:

mbbm

n αλ

=αθδ

θλδ=ε

00

00 , (2.180)

sau înlocuind valoarea 2/1

λα

=SPm , rezultǎ:

SP

n αλ

=ε (2.181)

Din analiza relaţiilor de calcul ale randamentului nervurilor a figurilor (2.25) şi (2.26) şi a valorii eficienţei nervurii rezultǎ urmǎtoarele observaţii:

• randamentul şi eficienţa nervurii creşte odată cu conductivitatea termicǎ a materialului λ, din acest motiv se recomandǎ ca nervurile sǎ se realizeze din cupru sau aluminiu;

• în cazul nervurilor longitudinale profilul recomandat este parabolic sau triunghiular;

• pentru o eficienţǎ ridicatǎ nervurile trebuie sǎ aibǎ raportul P/S ridicat, pentru aceasta nervura trebuie sǎ fie „zveltǎ”, cu grosimea micǎ şi înălţimea ridicatǎ;

• nervurarea este eficientǎ numai în cazul în care coeficientul de convecţie este coborât, din aceste motive de obicei nervurarea se face pe partea gazelor la care valorile lui α sunt de ordinul zecilor de W/(m2K);

• nervurarea se justificǎ de obicei numai la valori (λP/αS)1/2 > 4.

2.2.3.4. Transferul de cǎldurǎ printr-un perete nervurat Dacǎ se considerǎ un perete plan nervurat pe una din pǎrţi cu suprafaţa pe partea ne nervuratǎ S1 şi suprafaţa pe partea nervuratǎ St: St = Sn + Snn [m2] (2.182)

unde: Sn, Snn sunt suprafaţǎ nervurilor, respectiv suprafaţa din perete ne nervuratǎ (dintre nervuri).


Fig.2.27 Transferul de cǎldurǎ printr-un

perete plan nervurat. Fluxul termic transmis pe partea nervuratǎ va fi:

0022 θα=θα+θα=+= trednnnnnnn SSSQQQ [W] (2.183) Dar: 0θη=θ nn , deci: 00202 θα=θα+θηα= trednnnn SSSQ [W] , (2.184) de unde:

t

nnnnred S

SS +ηα=α 2 [W/(m2K)] . (2.185)

Fluxul termic transmis de la fluidul cald cu Tf1, cǎtre cel rece cu temperatura Tf2 va fi:

( ) ( ) ( )222111111 fptredpppf TTSTTSTTSQ −α=−δλ

=−α= [W]

(2.186) Din acest şir de egalităţi rezultǎ:


( )

red

tt

tff

tred

ff

SS

SS

STT

SSS

TTQ

α+

λδ

+α

−=

α+

λδ

+α

−=

11111

111

21

111

21 [W] (2.187)

În cazul peretelui nervurat se pot defini doi coeficienţi globali de schimb de cǎldurǎ, dupǎ cum aceştia se referǎ la suprafaţa nervuratǎ sau ne nervuratǎ: ( ) ( )2122111 fftSffS TTSKTTSKQ −=−= [W] . (2.188) Rezultǎ:

tred

S

SSK

1

1

1 111

αλδ

α++

= [W/(m2K)] , (2.189)

red

ttS

SS

SSK

αλδ

α11

1

111

2

++= [W/(m2K)] . (2.190)

Raportul St/S1, poartǎ denumirea de coeficient de nervurare:

1S

Sn t= . (2.191)

Din analiza relaţiei (2.189), rezultǎ ca prin nervurare (în ipoteza ηn=1), coeficientul de convecţie pe partea nervuratǎ se măreşte de n ori. Din acest motiv în multe lucrări nervurarea este menţionatǎ ca o metodǎ de intensificare a transferului de cǎldurǎ convectiv.


2.3. Conducţia termicǎ bidirecţionalǎ în regim constant

Tratarea unidirecţionalǎ a problemelor de conducţie dǎ rezultate acceptabile în cazul corpurilor cu grosimea mult mai micǎ faţǎ de lungimea lor, cum sunt ţevile, plăcile subţiri, cilindri cu diametru mic, la care transferul de căldurǎ are loc predominant transversal. Existǎ însă cazuri în care corpurile au contururi neregulate sau la care temperaturile pe contur nu sunt uniforme. În aceste situaţii tratarea problemelor trebuie făcutǎ bidirecţional sau chiar tridimensional. Rezolovarea problemelor de conducţie bi sau tridimensionalǎ se poate realiza prin metode analitice, grafice sau numerice.

2.3.1. Metoda separării variabilelor

Pentru exemplificarea acestei metode vom considera o placǎ rectangularǎ la care trei laturi sunt menţinute la o temperaturǎ constantǎ T1, iar cea de−a patra fatǎ este menţinutǎ la temperatura T2 ≠ T1 (figura 2.28). Scopul studiului va fi determinarea câmpului de temperaturǎ T(x,y) în placǎ Transferul de căldurǎ conductiv va fi bidirecţional, în regim staţionar printr-un corp omogen şi izotrop, fǎrǎ surse interioare de cǎldurǎ. Ecuaţia diferenţialǎ care caracterizează procesul va fi:

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yT

xT . (2.192)

Pentru simplificarea soluţiei vom face schimbarea de variabilǎ:

12

1

TTTT

−−

=θ , (2.193)

în acest caz ecuaţia diferenţialǎ fiind:

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yxθθ , (2.194)

condiţiile la limitǎ fiind: ( ) 0,0 =θ y şi ( ) 00, =θ x ; (2.195) ( ) 0, =θ yL şi ( ) 1, =θ Wx . (2.196)


Fig. 2.28 Conducţia termicǎ bidirecţionalǎ printr-o placǎ

Pentru rezolvarea ecuaţiei se utilizează metoda separării variabilelor, considerând funcţia θ ca un produs a douǎ funcţii, una numai funcţie de x, cealaltă numai funcţie de y: ( ) ( ) ( )yYxXyx ⋅=θ , . (2.197) Ecuaţia (2.194) devine:

2

2

2

2 11dy

YdYdx

XdX

=− (2.198)

Pentru a avea aceastǎ egalitate, fiecare membru al ei trebuie sǎ fie egal cu aceeaşi constantǎ. Pentru ca sǎ se obţină o soluţie care sǎ respecte condiţiile la limitǎ impuse, constanta trebuie sǎ fie pozitivǎ ( )2λ . Vom scrie atunci:

022

2

=λ+ Xdx

Xd (2.199)

022

2

=λ− Ydy

Yd (2.200)

T (x,y) T1,θ = 0 T1,θ = 0

T1,θ = 0

T2,θ = 1

0

W

L

y

x


Soluţiile generale ale ecuaţiilor (2.199) şi (2.200) sunt: xCxCX λ+λ= sincos 21 ; (2.201) yy eCeCY λλ− += 43 . (2.202) Soluţia generalǎ a funcţiei θ va fi: ( )( )yy eCeCxCxC λλ− +λ+λ=θ 4321 sincos . (2.203) Din condiţia θ (0, y) = 0 , rezultǎ cǎ C1 = 0 Din condiţia θ (x, 0) = 0 , rezultǎ: ( ) 0sin 432 =+λ CCxC (2.204) Deoarece C2 nu poate fi zero, pentru cǎ în acest caz funcţia θ nu ar mai fi variabilǎ cu x, rezultǎ: C3 + C4 = 0, deci C3 = −C4. Soluţia generalǎ devine: ( )yy eexCC λ−λ −λ=θ sin42 (2.205) Din condiţia ( ) 0, =θ yL , se obţine: ( ) 0sin42 =−λ λ−λ yy eeLCC Aceastǎ condiţie se poate realiza numai dacǎ constanta λ va lua valori pentru care 0sin =λL . Aceste valori sunt:

Lnπ

=λ cu n = 1, 2, 3.... (2.206)

Atunci:

( )LynLyn eeL

xnCC //42 sin π−π −

π=θ . (2.207)

Combinând cele 2 constante C2 şi C4 şi trecând la funcţii hiperbolice se obţine:

L

ynL

xnCn

nππ

θ sinhsin1

∑∞

=

= . (2.208)

Pentru determinarea lui Cn se pune ultima condiţie la limitǎ ( ) 1, =θ Wx :

1sinhsin1

=∑∞

= LWn

LxnC

nn

ππ . (2.209)

Pentru determinarea lui Cn din ecuaţia (2.209) vom folosi analogia cu dezvoltarea în serii a funcţiilor ortogonale [20]. Astfel un şir infinit de funcţii g1(x), g2(x), ....., gn(x), .... va fi ortogonal în domeniul a ≤ x ≤ b, dacǎ:

( ) ( )∫ =b

anm dxxgxg 0 , m ≠ n . (2.210)


Orice funcţie f(x) poate fi exprimatǎ ca o sumǎ infinitǎ de funcţii ortogonale:

( ) ( )xgAxf nn

n∑∞

=

=1

(2.211)

Forma coeficientului An din aceastǎ serie se poate determina prin multiplicarea fiecărui membru al ecuaţiei cu gn(x) şi integrarea între limitele a şi b:

( ) ( ) ( ) ( )dxxgAxgdxxgxf nn

n

b

an

b

an ∑∫∫

∞

=

=1

.

(2.212) Ţinând seama de condiţia (2.209) rezultǎ ca în membrul drept al ecuaţiei (2.212) va rămâne din sumǎ numai un singur termen pentru care integrala nu este egalǎ cu zero, deci:

( ) ( ) ( )dxxgAdxxgxfb

annn

b

a∫∫ = 2 (2.213)

Rezultǎ:

( ) ( )

( )dxxg

dxxgxfA b

an

n

b

an

∫

∫=

2

. (2.214)

Pentru determinarea lui Cn din ecuaţia (2.209) vom alege f(x) = 1 şi ( ) ( )Lxnxgn /sin π= . Se va obţine:

( )n

dxL

xn

dxL

xn

An

L

L

n112

sin

sin 1

0

2

0 +−π

=π

π

=+

∫

∫ . (2.215)

Înlocuind An în ecuaţia (2.211) avem:

( ) 1sin112 1

1=

π+−π

+∞

=∑ L

xnn

n

n (2.216)

Comparând ecuaţia (2.216) cu (2.209), rezultǎ:

( )[ ]( )LWnhn

Cn

n /sin112 1

ππ+−

=+

, n = 1, 2, 3 ... (2.217)

Atunci ecuaţia (2.208) devine:


( ) ( ) ( )( )LWn

LynL

xnn

yxn

n

/sinh/sinhsin112,

1

1

πππ

πθ ∑

∞

=

+ +−= (2.218)

Ecuaţia (2.218) este o serie convergentǎ, care permite calculul lui θ pentru orice valoare x şi y. În figura 2.29 sunt prezentate izotermele obţinute pentru placa consideratǎ [20].

Fig. 2.29 Izotermele pentru o placǎ cu conducţie bidirecţionalǎ

2.3.2. Metoda graficǎ

Metoda graficǎ poate fi utilizatǎ pentru problemele la care conturul corpului studiat este izoterm şi adiabat. Metoda se bazează pe faptul cǎ izotermele şi liniile care indicǎ direcţia fluxului termic sunt perpendiculare. Obiectivul metodei este sǎ construiască o reţea de izoterme şi linii ale fluxului termic. Procedura de construcţie a reţelei exemplificatǎ pentru un canal pătrat cu lungimea l (figura 2.30), are următoarele etape [1]:

0.75

0.50

0.25

0.1

θ = 0

θ = 1 W

L

y

x

θ = 0 θ = 0

0


1. Prima etapǎ o constituie identificarea liniilor de simetrie şi descompunerea corpului în elemente identice care vor fi analizate (figura 2.30b).

2. Liniile de simetrie sunt adiabate, izotermele fiind perpendiculare pe ele.

3. Se trasează toate izotermele cunoscute pe contur şi se face o încercare de construire a celorlalte izoterme, care va trebui sǎ fie perpendiculare pe adiabate.

4. Se trasează întreaga reţea de izoterme şi liniile de flux constant, obţinându-se o reţea de pătrate curbilinii care trebuie sǎ îndeplinească condiţia ca liniile de temperaturǎ şi flux constant sǎ formeze unghiuri drepte şi fiecare laturǎ a unui pătrat sǎ aibă aproximativ aceeaşi lungime. Deoarece ultima condiţie este dificil de respectat strict, se acceptǎ ca sǎ fie egale sumele feţelor opuse ale fiecărui pătrat. Pentru unul din pătrate (figura 2.30c) condiţia se scrie:

22bdacycdabx +

=∆≈+

=∆ . (2.219)

Fig. 2.30 Conducţia bidirecţionalǎ într-un canal cu secţiune pătratǎ şi lungime l: a) liniile de simetrie;

b) reţeaua de izoterme şi linii de flux; c) element curbiliniu al reţelei

T1 T2

Linii de simetrie

Adiabate

Izoterme

∆Tj qi qi

T1

T2

∆Tj

∆y

∆x

a b

c d

qi

y

x

(a)

(b)

(c)


Realizarea unei reţele corecte se poate realiza numai prin iteraţii succesive cu răbdare şi simţ artistic. După obţinerea reţelei finale se dispune de o distribuţie a temperaturii în corp şi se poate calcula fluxul termic unitar. Astfel pentru celula din figura 2.30c avem:

( )xT

lyx

TAQ jj

ii ∆

∆⋅∆λ=

∆

∆λ= , (2.220)

Deoarece creşterea de temperaturǎ este aceeaşi pentru fiecare celulǎ:

NTT j

21−∆=∆ , (2.221)

unde: N este numărul de intervale (paşi) de temperaturǎ între feţele cu temperaturile T1 şi T2. Ţinând seama cǎ avem M culoare paralele de flux termic şi cǎ

yx ∆≈∆ , fluxul termic total va fi:

21−∆λ== TNMlMQQ i (2.222)

Raportul Ml/N=B depinde de forma geometricǎ a corpului şi poartǎ numele de factor de formǎ. Atunci:

21−∆λ= TSQ [W] . (2.223)

Tabelul 2.5 Factorul de formǎ pentru câteva sisteme bidirecţionale

Nr. Sistemul Schema Restricţii Factorul de formǎ

1 2 3 4 5

1 Sferǎ izotermǎ într-un mediu semi-infinit

z > D/2 zD

D4/1

2−

π

2 Cilindru orizontal izoterm cu lungimea L într-un mediu semi-infinit

L >> D L >> D z > 3D/2

( )

( )DzL

DzhL

/4ln2

/2cos2

1

π

π−

3 Cilindru vertical într-un mediu semi-infinit

L >> D ( )DLL/4ln

2π

4 Doi cilindri cu lungimea L în mediu infinit

L >> D1, D2 L >> w

−−π

−

21

22

21

21

24cos

2

DDDDwh

L

L T1

D

T2

L D T1

z

T2

T1 D

z

T2

T

T

DD

w

Tabelul 2.5 (continuare)

1 2 3 4 5

5

Cilindru orizontal cu lungimea L între douǎ plane paralele cu aceeaşi lungime şi lăţime infinitǎ

z >> D/2 L >> z ( )Dz

Lπ

π/8ln

2

6 Cilindru cu lungimea L într-un cub cu aceeaşi lungime

w > D L >> w ( )Dw

L/08.1ln

2π

7 Cilindru excentric cu lungimea L, într-un cilindru cu aceeaşi lungime

D > s L >>D

−+π

−

DdzdDh

L

24cos

2222

1

T1

T2

T2

z

z D

∞ ∞

∞

∞

w T1

D

T2

D

d

z

T1 T2

Tabelul 2.5

(continuare) 1 2 3 4 5

8 Conducţia în muchea a doi pereţi

D > L/5 0.54 D

9 Conducţia prin colţul de intersecţie a trei pereţi

L << lungimea şi lăţimea peretelui 0.15 L

10 Disc pe un mediu semi-infinit

− 2 D

L

L L

D

T1

T2

L

L

D

T2

T1

k


2.3.3. Metode numerice

Pentru geometri complexe şi condiţii pe frontierǎ de ordinul II, metoda analiticǎ şi graficǎ nu pot oferi soluţii fiabile. În aceste cazuri cea mai bunǎ alternativǎ o constituie utilizarea metodelor numerice, care sunt: metoda diferenţelor finite, metoda elementelor finite şi metoda elementelor de frontierǎ [6,10,43] conductivitatea termicǎ a celor douǎ solide; Deoarece analiza acestor metode face obiectul altor discipline, în prezentul paragraf se va prezenta numai modul în care ecuaţia lui Laplace pentru conducţia bidirecţionalǎ în regim permanent poate fi transformatǎ într-o ecuaţie algebricǎ. Spre deosebire de soluţiile analitice, la care ecuaţiile descriu câmpul de temperaturǎ în orice punct, soluţiile numerice permit determinarea temperaturii în puncte discrete. Prima etapǎ a oricărei analize numerice presupune alegerea acestor puncte. Pentru aceasta corpul studiat se împarte în mici regiuni, în centrul căreia se ia un punct de referinţǎ (figura 2.31) care poartǎ numele de nod. Suma acestor noduri formează reţeaua de noduri sau grilǎ. Fiecare nod reprezintă o regiune şi temperatura lui este temperatura medie a regiunii. El este caracterizat de o schemǎ numericǎ (figura 2.31a), coordonatele x şi y fiind desenate de indicii m şi n. Alegerea grilei de discretizare se face ţinând seama de geometria corpului şi de precizia pe care o dorim. Cu cât grila este mai finǎ, cu atât precizia este mai mare, dar numărul de ecuaţii creşte, crescând timpul de calcul.

xTT

xT

xTT

xT

nmnm

nm

nmnm

nm

∆−

=∂∂

∆−

=∂∂

+

+

−

−

,,1

,2/1

,1,

,2/1

Fig. 2.31 Conducţia bidirecţionalǎ: a) Reţeaua de noduri

b) Aproximarea cu diferenţe finite

∆x

∆x

∆y

x,m

y,n

m−1,n

m+1,n

m,n−1

m,n+1

m,n

21

−m21

+m m+1

m−1

m

∆x x

T(x)

(a)

(b)


Pentru aproximarea ecuaţiei (2.192) cu diferenţe finite se vor exprima derivatele de ordinul unu şi doi ale temperaturii:

xTT

xT nmnm

nm ∆−

≈∂∂ −

−

,1,

,2/1

; (2.224)

x

TTxT nmnm

nm ∆−

≈∂∂ +

+

,,1

,2/1

; (2.225)

şi

x

xT

xT

xT nmnm

nm ∆∂∂

−∂∂

≈∂∂ −+ ,2/1,2/1

,2

2

. (2.226)

Atunci:

( )2

,,1,1

,2

2 2x

TTTxT nmnmnm

nm ∆

−+≈

∂∂ −+ . (2.227)

Similar:

( )2

,1,1,

,2

2 2y

TTTyT nmnmnm

nm ∆

−+≈

∂∂ −+ . (2.228)

Înlocuind în (2.192) şi utilizând o reţea la care yx ∆=∆ , ecuaţia lui Laplace scrisǎ cu elemente finite, caracterizând conducţia bidirecţionalǎ prin corpuri omogene, fǎrǎ surse interioare de cǎldurǎ, în regim staţionar va fi: 04 ,,1,11,1, =−+++ −+−+ nmnmnmnmnm TTTTT (2.229) Aceastǎ ecuaţie trebuie scrisǎ pentru fiecare nod al reţelei, prin rezolvarea sistemului de ecuaţii obţinut se determinǎ temperaturile din diferite noduri. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii se pot realiza prin diferite metode [6,43]: metoda relaxării, inversiunea matricelor, metoda Gauss-Seidel etc.


2.4. Conducţia termicǎ în regim tranzitoriu

În tehnicǎ procesele termice tranzitorii pot apare în trei categorii de procese:

• procese tranzitorii care în final ating regimul constant; • procese tranzitorii de scurtǎ duratǎ la care nu se atinge regimul

constant; • procese tranzitorii periodice, în care temperatura şi fluxul termic

au variaţii ciclice. În prezentul capitol ne vom ocupa numai de prima categorie de procese tranzitorii, care au o largǎ răspândire. Cel mai simplu proces de conducţie tranzitorie este cele de încălzire a unei piese într-un cuptor (figura 2.32a) în care temperatura este Tf [33]. Corpul începe sǎ se încălzească în timp de la suprafaţa acestuia (Tp), temperatura în centrul corpului (T0) începând sǎ crească după o perioadǎ de timp. Dupǎ un interval de timp (teoretic infinit) corpul ajunge la echilibru cu mediul din cuptor. Fluxul primit de corp (Q) descreşte în timp ajungând 0 la echilibru. În cazul conducţiei printr-un perete între un fluid cald cu Tf1 şi unul rece cu Tf2 (figura 2.32b), dacǎ printr-un salt de temperaturǎ, temperatura fluidului cald creşte de la '

1fT la "1fT , temperatura fluidului rece rămânând

constantǎ '2fT , temperaturile peretelui cresc în timp (figura 2.32b) creşterea

fiind simţitǎ întâi pe partea fluidului cald, Tp1, apoi pe partea fluidului rece, Tp2 (figura 2.32c). Variaţia fluxurilor termice cedate de fluidul cald Q1 şi primite de fluidul rece Q2 (figura 2.32d), evidenţiază căldura acumulatǎ în perete (suprafaţa haşuratǎ) pentru a modifica entalpia acestuia. La încălzirea sau răcirea în regim tranzitoriu a corpurilor se evidenţiază douǎ tipuri de rezistenţe termice: rezistenţele termice interioare, date de procesul de conducţie şi rezistenţele termice de suprafaţǎ, datorate convecţiei între corp şi fluidul cu care vine în contact.


Fig. 2.32 Conducţia termicǎ în regim tranzitoriu

Tratarea analiticǎ a proceselor de conducţie tranzitorie se poate face în trei ipoteze:

• corpuri cu rezistenţe interne neglijabile; • corpuri cu rezistenţe de suprafaţǎ neglijabile; • corpuri cu rezistenţe interne şi de suprafaţǎ finite.

τ1 τ2 τ3

''1fT

'1fT

'2fT

'2pT

''2pT

''1pT

'1pT

δ

0

T

x

b) a)

c) d)

τ

T

T=f (τ)

Tf

Tp T0

0

Q=f (τ)

τ

Q

0

0 0

'1pT

''2pT

Tp1

Tp2 '2pT

''1pT

''pT∆

'pT∆

Q T

τ τ

Q1

Q2

Q’

Q’’


2.4.1. Conducţia tranzitorie prin corpuri cu rezistenţe interne neglijabile

În acest caz temperatura în interiorul corpului va fi constantǎ, ea variind numai în timp. Fluxul de cǎldurǎ schimbat de corp cu mediul ambiant prin convecţie va fi egal cu fluxul acumulat în corp:

( )τ

ρ=−α=ddTVcTTSQ pf [W] , (2.230)

unde: S,V sunt suprafaţa de schimb de cǎldurǎ, respectiv volumul corpului, Tf, T − temperatura fluidului, respectiv a corpului; α − coeficientul de convecţie între corp şi fluid; ρ, cp − densitatea, respectiv căldura specificǎ a corpului. Separând variabilele şi integrând ecuaţia (2.230) devine:

∫∫τ−

−

τρα

=− 00

dVc

STT

dTp

TT

TT f

f

f

, (2.231)

unde T0 este temperatura corpului la momentul iniţial. Rezultǎ:

VcS

f

f peTTTT ρ

τα−

=−

−

0

. (2.232)

Relaţia 2.232 este analogǎ cu cea care caracterizează descărcarea unui condensator electric pe o rezistenţǎ electricǎ:

τ−

= eeCReEE 1

0

, (2.233)

unde Re, Ce sunt rezistenţa, respectiv capacitatea electricǎ. Din aceastǎ analogie se poate defini o rezistenţǎ şi o capacitate termicǎ:

ptt VcCS

R ρ=α

= ;1 . (2.234)


Raportul SVc p αρ / poate fi interpretat ca o constantǎ de timp a sistemului, ea fiind:

( ) ttpt CRVcS

=ρ

α=τ

1 [s] , (2.235)

unde: Rt este rezistenţa termicǎ convectivǎ, în K/W; Ct − capacitatea termicǎ, în J/K. Creşterea rezistenţei şi capacităţii termice vor face ca răspunsul corpului la modificarea temperaturii mediului înconjurător sǎ fie mai lent şi echilibrul termic sǎ se realizeze dupǎ un timp mai mare (figura 2.33).

Fig. 2.33 Rǎspunsul termic tranzitoriu pentru corpuri cu rezistenţe interne neglijabile

Ecuaţia (2.232) poate fi generalizatǎ pentru câteva forme geometrice simple prin utilizarea criteriilor adimensionale Biot şi Fourier. Criteriul lui Biot reprezintǎ raportul dintre rezistenţa termicǎ de conducţie şi rezistenţǎ termicǎ convectivǎ:

λ

α=

α

δ==L

L

RRBi

cv

cond

1 (2.236)

ttp

t CRS

Vc=

α

ρ=τ

τ1 τ2 τ3 τ4

f

f

TTTT

−

−=

θθ

00

1

0


Criteriul lui Fourier, care are semnificaţia de timp relativ este definit de relaţia:

2LaFo τ

= (2.237)

Lungimea caracteristicǎ L pentru plǎci este egalǎ cu jumătate din grosime, iar pentru cilindri sau sfere cu raza. În funcţie de Bi şi Fo, ecuaţia (2.232) devine:

VSL

LaL

f

f eTTTT ⋅

τ⋅

λα

−=

−

− 2

0

; (2.238)

sau:

BiFoG

f

f eTTTT −=

−

−

0

, (2.239)

unde: VSLG = este factorul geometric al corpului care are valorile: G =1

pentru plǎci infinite; G = 2 pentru cilindri infiniţi; G = 3 pentru sfere. Fluxul termic transferat la un timp oarecare τ se determinǎ cu relaţia: ( ) ( ) VcS

ffpeTTSTTSQ ρτα−α=−α= /

0 [W] (2.240) Cantitatea de cǎldurǎ transferatǎ în intervalul de timp de la τ = 0 la timpul τ este:

( )∫∫τ

ρτα−τ

−α=τ=∆0

/

00

VcSf

peTTSQdQ ; (2.241)

( )[ ]τρα−−−ρ=∆ )/(

0 1 VcSfp

peTTVcQ [J]. (2.242)

Ipoteza rezistenţei interne neglijabile este valabilǎ analitic numai dacǎ λ→∞, ceea ce în practicǎ nu se poate realiza. Dacǎ însă rezistenţele interne sunt mult mai mici decât cele de suprafaţǎ ipoteza se poate utiliza cu bunǎ aproximaţie. Aceasta se poate realiza pentru corpurile cu λ mare şi grosimea sau diametru mici, care primesc sau cedează cǎldurǎ cu coeficienţi de convecţie reduşi (convecţie naturalǎ la gaze). Verificarea se face prin calcularea criteriului Biot. Dacǎ Bi < 0,1 ipoteza rezistenţelor interne neglijabile se poate utiliza cu bune rezultate.


Influenţa lui Biot asupra distribuţiei tranzitorii a temperaturii printr-o placǎ este prezentatǎ în figura 2.34. Se observǎ cǎ pentru Bi << 1 variaţia temperaturii în placǎ este neglijabilǎ, iar pentru Bi >> 1, diferenţa între temperatura peretelui şi a fluidului este neglijabilǎ (rezistenţele de suprafaţǎ sunt neglijabile).

Fig. 2.34 Distribuţia tranzitorie a temperaturii pentru valori diferite ale criteriului Biot [20]

a) Bi <<1; b) Bi ≈ 1; c) Bi >> 1

2.4.2. Conducţia tranzitorie prin corpuri cu rezistenţe de suprafaţǎ neglijabile În acest caz temperatura peretelui corpului este egalǎ cu temperatura fluidului înconjurător şi este constantǎ în timp. Ipoteza este valabilǎ pentru valori mari ale criteriului Biot (figura 2.34c). Pentru o placǎ planǎ infinitǎ (figura 2.35) ecuaţia care caracterizează procesul este:

2

2

xTaT

∂∂

=τ∂

∂ , (2.243)

cu următoarele condiţii iniţiale şi la limitǎ:

T (x,0)=T0 T (x,0)=T0

L L L L -L -L -L -L Tf Tf Tf Tf

t

Bi<<1 T≈T(t)

Bi=1 T=T(x,t)

Bi>>1 T=T(x,t)

Tf,α

Tf,α


• la τ = 0, T = T0(x); • la x = 0, T = Tf; • la x = L, T = Tf

Fig. 2.35 Placǎ infinitǎ cu rezistenţe de suprafaţǎ neglijabile

Soluţia ecuaţiei, determinatǎ prin metoda separării variabilelor (vezi paragraful următor), în cazul în care la τ = 0, T = T0 = ct. este:

( )Fon

np

p exL

nnTT

TT 2/

10

sin14 πππ

−∞

=

=

−

−∑ ,

(2.244) unde n = 1, 3, 5, 7 .... Variaţia temperaturii centrale la diferite corpuri cu forme geometrice simple, în ipoteza rezistenţei interne neglijabile este prezentatǎ în figura 2.36.[39]

T

L x

0

Tf=Tp Tf=Tp

τ1 τ2

τ=0 T=T0(x)


Fig. 2.36 Variaţia temperaturii centrale pentru corpuri cu geometrii simple

2.4.3. Conducţia tranzitorie prin corpuri cu rezistenţe interne şi de suprafaţǎ finite

În acest caz, în special pentru forme geometrice şi condiţii iniţiale şi la limitǎ complexe, tratarea analiticǎ a problemei este practic imposibil de abordat, singura modalitate utilǎ de rezolvare a problemei fiind utilizarea metodelor numerice. Rezolvarea analiticǎ a ecuaţiei conducţiei în acest caz se poate totuşi realiza pentru forme geometrice simple.

2.4.3.1. Perete plan infinit

Se considerǎ un perete plan infinit cu grosimea 2L, mult mai micǎ decât lăţimea şi înălţimea sa (figura 2.37), astfel încât ipoteza transferului conductiv unidirecţional este apropiatǎ de realitate.

p

pc TT

TT−

−=θ

0


Fig. 2.37 Perete plan infinit Ecuaţia care caracterizează conducţia unidirecţionalǎ tranzitorie va fi datǎ de relaţia (2.243), care cu schimbarea de variabilǎ fTT −=θ , devine:

2

2

xa

∂∂

=∂∂ θ

τθ , (2.245)

cu condiţiile iniţiale şi la limitǎ: • la τ = 0 ( ) ( )xFTxfTT ff =−=−=θ 0 ;

• la x = 0 0=∂θ∂x

;

• la x = δ θλα

−=∂θ∂x

.

Pentru rezolvarea ecuaţiei se va utiliza ca şi în paragraful 2.3.1 metoda separării variabilelor, scriind [21]:

( ) ( ) ( )xx ψτϕ=τθ=θ , (2.246)

Atunci ecuaţia (2.245) devine:

T

x

Tf

T0

α

λ

0

2 L


( ) ( ) ( ) ( )τϕ∂ψ∂

=ψτ∂τϕ∂

2

2

xxax , (2.247)

sau: ( ) ( ) ( ) ( )τϕψ=ψτϕ xax "' . (2.248) Separând variabilele se obţine:

( )( )

( )( ) ε==

ψψ

=τϕτϕ const

xxa "' (2.249)

Deoarece o soluţie ne banalǎ pentru ( )xψ se obţine numai pentru ε < 0, vom alege: 2k−=ε , obţinându-se sistemul de ecuaţii: ( ) ( ) 0' 2 =τϕ+τϕ ak ; (2.250) ( ) ( ) 0" 2 =+ xkx ψψ . (2.251) Soluţiile celor douǎ ecuaţii diferenţiale sunt: ( ) τ−=τϕ

2

1akeC ; (2.252)

( ) ( ) ( )kxCkxCx cossin 32 +=ψ . (2.253) Atunci: ( ) ( )[ ]kxCkxCeC ak cossin 321

2

+=θ τ− (2.254) Determinarea constantelor C1, C2, C3 şi k se face utilizând condiţiile iniţiale şi la limitǎ.

Din condiţia 00

=

∂θ∂

=xx, rezultǎ:

( ) ( )[ ] 0sincos 0321

2

=− =−

xak kxCkxCkeC τ (2.255)

Pentru a avea aceastǎ egalitate rezultǎ: C2 = 0. Soluţia generalǎ devine: ( ) ( )kxAekxeCC akak coscos

22

31τ−τ− ==θ . (2.256)

Punând cea de a doua condiţie la limitǎ rezultǎ:

LxLxx =

=

θλα

−=

∂θ∂ , (2.257)

sau:

( ) ( )kLAekLkAe akak cossin22 τ−τ−

λα

−=−

De unde:


( )

λα

= LkLkLctg (2.258)

Dar: λ

α=

LBi şi notǎm kL = µ. Rezultǎ:

Bi

ctg µ=µ (2.259)

Fig. 2.38 Reprezentarea graficǎ a ecuaţiei (2.259) Reprezentarea graficǎ a ecuaţiei (2.259) evidenţiază faptul cǎ vom avea pentru constanta µ un şir infinit de soluţii. Primele patru soluţii în funcţie de valoarea criteriului Biot sunt prezentate în tabelul 2.6.

3π

y1=ctgµ y1 y1 y1

µ1 µ2 µ3 µ4 µ

π 2π 0

y

'2 Biy µ

=


Tabelul 2.6

Valorile constantelor µ în funcţie de Bi

Bi µ1 µ2 µ3 µ4 Bi µ1 µ2 µ3 µ4 0 0,0000 3,1416 6,2832 9,4248 1,0 0,8603 3,4256 6,4373 9,5293 0,001 0,0316 3,1419 6,2833 9,4249 1,5 0,9882 3,5422 6,5097 9,5801 0,002 0,0447 3,1422 6,2835 9,4250 2,0 1,0769 3,6436 6,5783 9,6296 0,004 0,0632 3,1429 6,2838 9,4252 3,0 1,1925 3,8088 6,7040 9,7240 0,006 0,0774 3,1435 6,2841 9,4254 4,0 1,2646 3,9352 6,8140 9,8119 0,008 0,0893 3,1441 6,2845 9,4256 5,0 1,3138 4,0336 6,9096 9,8928 0,01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 6,0 1,3496 4,1116 6,9924 9,9667 0,02 0,1410 3,1479 6,2864 9,4269 7,0 1,3766 4,1746 7,0640 10,0339 0,04 0,1987 3,1543 6,2895 9,4290 8,0 1,3978 4,2264 7,1263 10,0949 0,06 0,2425 3,1606 6,2927 9,4311 9,0 1,4149 4,2694 7,1806 10,1502 0,08 0,2791 3,1668 6,2959 9,4333 10,0 1,4289 4,3058 7,2281 10,2003 0,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 15,0 1,4729 4,4255 7,3959 10,3898 0,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 20,0 1,4961 4,4915 7,4954 10,5117 0,3 0,5218 3,2341 6,3305 9,4565 30,0 1,5202 4,5615 7,6057 10,6543 0,4 0,5932 3,2636 6,3461 9,4670 40,0 1,5325 4,5979 7,6647 10,7334 0,5 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 50,0 1,5400 4,6202 7,7012 10,7832 0,6 0,7051 3,3204 6,3770 9,4879 60,0 1,5451 4,6353 7,7259 10,8172 0,7 0,7506 3,3477 6,3923 9,4983 80,0 1,5514 4,6543 7,7573 10,8606 0,8 0,7910 3,3744 6,4074 9,5087 100,0 1,5552 4,6658 7,7764 10,8871 0,9 0,8274 3,4003 6,4224 9,5190 ∞ 1,5708 4,7124 7,8540 10,9956 Rezultǎ ca vom avea pentru fiecare valoare µi o distribuţie a temperaturii, de tipul:

µ=θ

µ=θ

µ=θ

τµ−

τµ−

τµ−

22

222

221

cos

...........................

cos

cos

222

111

La

nnn

La

La

n

eLxA

eLxA

eLxA

(2.260)

Soluţia generalǎ va fi atunci suma şirului de soluţii:

∑∞

=

τµ−

µ=θ

1

22

cosn

La

nnn

eLxA (2.261)

Constanta An se va determina din conducţia iniţialǎ (τ = 0):


( )

µ==θ ∑

∞

= LxAxF n

nn cos

10 . (2.262)

Pentru determinarea lui An vom folosi proprietăţile funcţiilor ortogonale, în mod similar cu cele prezentate la studiul analitic al conducţiei bidirecţionale (vezi paragraful 2.3). În relaţia (2.214) vom alege:

( )

µ=

Lxxg nn cos , şi

( ) ( )xFxf = . Se va obţine:

( )

dxLx

dxLxxF

A L

Ln

L

Ln

n

∫

∫

−

−

µ

µ

=cos

cos . (2.263)

Ţinând seama cǎ:

24

2sincos2 xmmxmxdx +=∫ , (2.264)

( )n

nnn

n

n

L

L

L

Ln

nL

Ln

LL

xLx

Lx

µµ+µµ

=δ+µ

µ=

=+

δµ

µ

=

µ

−−−∫

cossin2

2sin

24

2sincos2

(2.265)

Atunci:

( ) ( ) dxLxxF

LA n

L

Lnnn

nn

µ

µ+µµµ

= ∫−

coscossin

(2.266)

Soluţia generalǎ a ecuaţiei conducţiei va fi:

( ) ( ) 22

coscoscossin1

La

n

L

Ln

n nnn

n ne

Lxdx

LxxF

L

τµ−

−

∞

=

µ

µ

µ+µµµ

=θ ∫∑ .

(2.267) Dacǎ vom considera cǎ la momentul iniţial corpul are aceeaşi temperaturǎ în toatǎ masa sa: F(x) = θ0 = ct.,


n

n

L

Ln

n

L

Ln

LLxLdx

Lx

µµ

θµµ

θµθsin2sincos 000 =

=

−−∫ (2.268)

Atunci soluţia generalǎ devine:

2coscossin

sin210

La

nn nnn

n ne

Lx τ

µ−∞

=

µ

µµ+µµ

=θθ ∑ (2.269)

Mărimile Lx

La

n ,,, 20

τµ

θθ sunt adimensionale.

Dacǎ vom nota:

0θθ

=Θ − temperatura adimensionalǎ, LxX = − coordonata adimensionalǎ,

2LaFo τ

= − criteriul lui Fourier, soluţia generalǎ devine:

( ) ( )FoX nn

nnnn

n 2

1

expcoscossin

sin2µ−µ

µµ+µµ

=Θ ∑∞

=

(2.270)

Analiza soluţiei. Şirul µ1, µ2, µ3, µn este rapid crescător şi cu cǎt este mai mare µi cu atât rolul elementului următor din şir este mai mic asupra lui θ. Studiile au arătat cǎ pentru procese tranzitorii care nu sunt foarte rapide, Fo ≥ 0,3 în ecuaţia (2.270) este suficient sǎ considerǎm numai primul termen al şirului:

( ) ( )FoX 211

111

1 expcoscossin

sin2µ−µ

µµ+µµ

=Θ (2.271)

Dar µ1 este numai funcţie de criteriul Biot. De obicei intersectează temperatura în centrul plăcii X=0 sau pe suprafaţa sa X=1. Atunci:

( )FoBiNX

21

00

exp)( µ−=θθ

=

; (2.272)


( )FoBiPX

21

10

exp)( µ−=θθ

=

. (2.273)

În figurile (2.39) şi (2.40) sunt prezentate variaţiile calculate cu relaţiile (2.272) şi (2.273) pentru plǎci. Soluţiile obţinute în paragrafele anterioare pentru câmpul de temperaturǎ în cazul rezistenţelor interne neglijabilǎ (Bi < 0,1, µ1 →0) sau rezistenţelor de suprafaţǎ neglijabilǎ (Bi →∞), pot rezulta şi ca nişte cazuri particulare ale relaţiei 2.270.

2.4.3.2. Discretizarea ecuaţiei diferenţiale a conductei tranzitorii Se va considera sistemul bidirecţional din figura 2.31. În cazul conducţiei tranzitorii bidirecţionale fǎrǎ sursa interioarǎ de căldurǎ ecuaţia este:

2

2

2

21yT

xTT

a ∂∂

+∂∂

=τ∂

∂ . (2.274)

Fig.2.39 Variaţia Θ =f (Fo,Bi) pentru centul plǎcii


Fig. 2.40 Variaţia Θ =f (Fo,Bi) pentru suprafaţa plăcii

Pentru a se obţine o ecuaţie cu diferenţe finite se vor utiliza pentru

2

2

xT

∂∂ şi 2

2

yT

∂∂ , relaţiile (2.227) şi (2.228), unde m şi n fiind coordonatele x şi

y pentru un nod discret.[14] Pentru discretizarea timpului se va introduce numărul întreg p, definit de relaţia: τ∆=τ p (2.275) Derivata temperaturii în funcţie de timp în nodul m, n, va fi:

τ∆

−≈

τ∂∂ + p

nmp

nm

nm

TTT ,1

,

.

(2.276)

pnm

pnm TT ,1

, ,+ − sunt valorile temperaturii în nodul de coordonate m şi n la momentele p+1, respectiv p, separate între ele de intervalul de timp τ∆ . Înlocuind (2.227), (2.228) şi (2.276) în ecuaţia (2.274) se obţine:


( )

( )2,1,1,

2,,1,1,

1,

2

21

yTTT

xTTTTT

ap

nmp

nmp

nm

pnm

pnm

pnm

pnm

pnm

∆

−++

+∆

−+=

τ∆−

−+

−++

(2.277) Considerând yx ∆=∆ , temperatura în nodul m, n la momentul p+1 va fi: ( ) ( ) p

nmp

nmp

nmp

nmp

nmp

nm TFoTTTTFoT ,1,1,,1,11

, 41−++++= −+−++ , (2.278)

unde: Fo este criteriul lui Fourier scris cu diferenţe finite:

( )2xaFo∆

τ∆= (2.279)

Dacǎ sistemul este unidirecţional, ecuaţia (2.278) devine: ( ) ( ) p

mp

mp

mp

m TFoTTFoT 21111 −−+= −+

+ . (2.280) Calculele sunt cu atât mai precise cu cât x∆ şi τ∆ sunt mai mici, bineînţeles însă timpul de calcul creşte corespunzător. Din păcate ecuaţiile (2.278) şi (2.280) pot deveni instabile, soluţiile devenind divergente şi ne convergând cǎtre o nouǎ stare staţionarǎ. Pentru a se obţine o stare stabilǎ a sistemului, condiţia de stabilitate este ca, coeficientul temperaturii p

nmT , sǎ fie ≥ 0: • pentru conducţia bidirecţionalǎ:

( ) 41;041 ≤≥− FoFo ;

(2.281) • pentru condiţia unidirecţionalǎ:

( ) 21;021 ≤≥− FoFo .

(2.282) Din aceste condiţii se determinǎ care trebuie sǎ fie intervalul τ∆ , în funcţie de x∆ , pentru a se obţine o soluţie stabilǎ. În cazul nodurilor situate pe suprafaţa corpurilor (figura 2.41), relaţia care dǎ variaţia în timp a temperaturii pe suprafaţǎ se determinǎ din bilanţul termic al elementului cu grosimea 2/x∆ şi suprafaţa A:


acumcondconv QQQ =− , [W] (2.283) unde Qconv este fluxul termic transmis de element prin convecţie; Qcond − fluxul termic transmis prin conducţie; Qacum − căldura acumulatǎ în timp în element. Explicitând valorile fluxurilor:

( ) ( )τ∆−∆

ρ=−∆λ

+−α+ pp

pppp

fTTxAcTT

xTTA 0

10

010 2 (2.284)

Fig. 2.41 Transferul de cǎldurǎ pentru un nod de suprafaţǎ (conducţie unidirecţionalǎ)

De unde:

( ) ( ) 001201

022 TTT

xcTT

xcT pp

p

pf

p

p +−∆ρ

τ∆λ+−

∆ρτ∆α

=+ . (2.285)

Ţinând seama cǎ: a = λ/ρcp şi :

BiFox

axxc p

2222 =

∆∆

⋅∆

=∆

∆ τλ

αρ

τα ,

( ) ( ) p

fpp TBiFoFoBiTTFoT 01

10 2212 −−++=+ (2.286)

Condiţia de stabilitate a ecuaţiei 2.286 este: 0221 ≥−− BiFoFo , (2.287) sau: ( ) 2

11 ≤+ BiFo . (2.288)

Qconv Qcond Qac

Tf, α

∆x 2x∆

T0 T1 T2 T3

A

x

CAP. 3 CONVECŢIA TERMICǍ

3.1. Introducere în convecţia termicǎ

3.1.1. Elemente fundamentale şi definiţii

Convecţia termicǎ reprezintă transferul de cǎldurǎ între un perete şi un fluid în mişcare. Procesul se realizează prin acţiunea simultanǎ a conducţiei în strat de fluid din imediata apropiere a peretelui şi a convecţiei propriu-zise care presupune amestecul particulelor de fluid. Fluxul termic unitar transmis în procesul de convecţie va fi [21]: convcond qqq rrr

+= [W/m2] , (3.1) unde: Tqcond ∇λ−=

r este fluxul transmis prin conducţie; hwqconvrr

ρ= – fluxul transmis prin convecţie; ρ – densitatea fluidului; wr – viteza fluidului; h – entalpia fluidului. Atunci: hwTq rr

ρ+∇λ−= [W/m2] . (3.2) Utilizarea ecuaţiei (3.2) pentru calcule tehnice este extrem de dificilǎ, din aceste motive ecuaţia fundamentalǎ a convecţiei termice (ecuaţia lui Newton) este: ( )∫α−=

SfpS dSTTq [W/m2] , (3.3)

sau: ( )fpS TTSq −α=

r [W/m2] , (3.4)

unde: Tp, Tf sunt temperaturile peretelui, respectiv a fluidului; αα, – coeficientul local, respectiv mediu de convecţie, în W/(m2K); S – suprafaţa de transfer de cǎldurǎ, în m2. Procesul de convecţie este strâns legat de hidrodinamica curgerii fluidului. Existǎ douǎ tipuri de bazǎ de curgere a unui fluid: laminarǎ şi turbulentǎ. La curgerea laminarǎ curgerea se desfǎşoarǎ în straturi paralele, fǎrǎ transfer de particule (de masǎ) între acestea.


Curgerea turbulentǎ presupune un amestec continuu a fluidului. Viteza instantanee a acestuia fiind suma unei viteze medii temporale şi a unei pulsaţii de vitezǎ. Pulsaţiile de vitezǎ sunt atât transversale cât şi longitudinale. Pulsaţiile transversale fac ca particulele de fluid sǎ fie deplasate perpendicular pe direcţia de curgere, împreunǎ cu pulsaţiile longitudinale formând vârtejuri de fluid, care duc la o mişcare continuǎ de amestec. Între cele douǎ tipuri de bazǎ existǎ o curgere tranzitorie, în care o particulǎ de fluid are alternativ porţiuni de curgere laminarǎ şi turbulentǎ. Regimul curgerii este caracterizat de criteriul Reynolds, care reprezintă raportul între forţele de inerţie şi cele de viscozitate:

ν=

ηρ

=wlwlRe , (3.5)

unde: νηρ ,, sunt densitatea, în kg/m3, viscozitatea dinamicǎ, în Ns/m2, respectiv viscozitatea cineticǎ, în m2/s; l – lungimea caracteristicǎ, în m. Valorile limitǎ a criteriului Reynolds care definesc regimurile de curgere sunt funcţie de geometria curgerii şi vor fi prezentate în paragrafele următoare. Un concept deosebit de util studiului hidrodinamicii şi transferului convectiv de cǎldurǎ este stratul limitǎ. Stratul limitǎ hidraulic reprezintă stratul de fluid din vecinătatea peretelui care îşi păstrează regimul laminar de curgere, indiferent de regimul de curgere al restului masei de fluid. El se datorează forţelor de frecare cu peretele şi forţelor produse de viscozitatea fluidului. Grosimea stratului limitǎ δ se defineşte, în mod convenţional, ca distanţa de la suprafaţa peretelui în care viteza acestuia creşte de la valoarea zero la perete, la 99% din viteza fluidului neperturbat de perete ( )∞w (figura 3.1). Stratul limitǎ hidraulic împarte zona de curgere în douǎ regiuni: una subţire lângă perete, în care gradientul vitezei şi forţele de frecare cu peretele sunt mari, şi o regiune exterioarǎ stratului limitǎ unde viteza este constantǎ, iar efectele viscozitǎţii sunt neglijabile. În mod analog se defineşte stratul limitǎ termic, în care temperatura fluidului variază de la Tp la 99% din temperatura fluidului neperturbatǎ de perete T∞ (figura 3.1.b).

Convecţia termicǎ 93

Fig.3.1 Stratul limitǎ la curgerea peste o placǎ: a) stratul limitǎ hidraulic; b) stratul limitǎ termic

La orice distanţǎ x de la începutul curgerii peste o placǎ fluxul termic unitar local se poate determina aplicând legea lui Fourier, pentru y = 0:

0=∂

∂λ−=

yS y

Tq . (3.6)

Coeficientul de convecţie va fi:

∞

=

−

∂∂

λ−

=αTT

yT

p

y 0 . (3.7)

Rezultǎ cǎ gradientul de temperaturǎ în stratul limitǎ termic determinǎ valoarea coeficientului de convecţie.

τ

w w∞

w∞

y

y

x

x

τ δ

δt

w∞ T∞ T∞

Tp

T

δ(x)

δt(x)

0=∂∂

yT

0≠∂∂

yT

0=∂∂

yw

0≠∂∂

yw

a)

b)


O datǎ cu creşterea grosimii stratului limitǎ termic tδ (creşterea lui x) gradientul de temperaturǎ scade şi în consecinţǎ coeficientul de convecţie scade şi el.

3.1.2. Ecuaţiile diferenţiale ale convecţiei

3.1.2.1. Ecuaţia conducţiei Pentru un element de volum din stratul limitǎ termic ecuaţia conducţiei are forma:

TazT

yT

xT

cdDT

p

22

2

2

2

2

2

∇=

∂∂

+∂∂

+∂∂

ρλ

=τ

(3.8)

Deoarece elementul de volum se aflǎ în mişcare derivata totalǎ a temperaturii va fi:

τ∂

∂+

τ∂∂

+τ∂

∂+

τ∂∂

=τ d

dzzT

ddy

yT

ddx

xTT

dDT . (3.9)

Dar τττ ddzddyddx /,/,/ sunt componentele vitezei dupǎ cele trei direcţii: wx, wy, wz. Atunci:

zTw

yTw

xTwT

dDT

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

+τ∂

∂=

τ (3.10)

τ∂∂T reprezintă variaţia localǎ în timp a temperaturii iar

zTw

yTw

xTw zyx ∂

∂+

∂∂

+∂∂ este componenta convectivǎ a variaţiei

temperaturii. Înlocuind (3.10) în (3.8) rezultǎ ecuaţia conducţiei pentru un element de volum al stratului limitǎ termic:

TazTw

yTw

xTwT

zyx2∇=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+τ∂

∂ . (3.11)

3.1.2.2. Ecuaţia mişcării Pentru determinarea acestei ecuaţii pentru elementul de volum dv din stratul limitǎ hidraulic, vom stabili rezultanta forţelor care acţionează asupra acestui element, care va fi egalǎ cu masa înmulţitǎ cu acceleraţia


elementului. Forţele care acţionează asupra elementului dv sunt: greutatea , forţele de presiune şi forţele de frecare (figura 3.2) [21].

Fig. 3.2 Forţele care acţioneazǎ asupra elementului dv în mişcare. a) forţele de presiune şi greutate; b) forţele de

frecare Proiecţia acestor trei forţe pe axa 0x este:

• forţa de greutate acţionează în centrul de greutate al elementului, proiecţia ei pe axa 0x este:

dvgdf xρ=1 [N] , (3.12) • forţa de presiune care acţionează pe suprafaţa superioarǎ va fi:

pdydz. Presiunea pe suprafaţa inferioarǎ va fi dxxpp

∂∂

+ , iar forţa

corespunzătoare: dydzdxxpp

∂∂

+ . Rezultanta celor douǎ forţe

va fi:

dvxpdydzdx

xpppdydzdf

∂∂

−=

∂∂

+−=2 [N] . (3.13)

• forţa de frecare care acţionează pe suprafaţa din stânga a elementului dv va fi – sdxdz. Semnul minus este datorat faptului cǎ viteza fluidului wx în stânga elementului este mai micǎ decât în element. La suprafaţa din dreapta, în exteriorul elementului

dz

x

y

z

dx

dy

ρgx

dxxpp

∂∂

+

p 0

x

x

dx

y dy y

0

S

SP+S

wx

a) b)


viteza fiind mai mare sensul forţei de frecare se inversează. Ea va

fi dxdzdydydss

+ . Rezultanta celor douǎ forţe este:

dvdydssdxdzdxdzdy

dydssdf =−

+=3 [N] (3.14)

Conform legii lui Newton forţa de frecare unitarǎ de suprafaţǎ este:

dy

dws xη= [N/m2] , (3.15)

unde ηeste viscozitatea dinamicǎ, în Pas. Atunci:

dvdy

wddf x2

2

3 η= [N] . (3.16)

Ecuaţia (3.16) este valabilǎ numai pentru o mişcare unidirecţionalǎ. În cazul general în care wx se modificǎ dupǎ toate cele 3 direcţii, proiecţia forţei de ferecare pe axa 0x se va calcula cu relaţia:

dvwdvzw

yw

xwdf x

xxx 22

2

2

2

2

2

3 ∇η=

∂

∂+

∂∂

+∂

∂η= (3.17)

Prin însumarea celor trei forţe se obţine:

dvwdxdpgdf xx

∇η+−ρ= 2 [N] . (3.18)

Conform legii a doua a mecanicii aceastǎ forţǎ va fi egalǎ cu masa înmulţitǎ cu acceleraţia:

dvd

Dwdf x

τρ= [N] (3.19)

Atunci se va scrie după direcţia 0x ecuaţia mişcării:

xxx w

xpgdv

dDw 2∇η+

∂∂

−ρ=τ

ρ (3.20)

Dezvoltând derivata totalǎ a vitezei wx:

z

wwy

wwx

wwwd

Dw xz

xy

xx

xx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+τ∂

∂=

τ , (3.21)

vom obţine forma ecuaţiei mişcării după direcţia 0x:

xxx

zx

yx

xx w

xpg

zww

yww

xwww 2∇η+

∂∂

−ρ=

∂

∂+

∂∂

+∂

∂ρ+

τ∂∂

ρ (3.22)

În mod analog se poate scrie ecuaţia după celelalte douǎ direcţii:


zzz

zz

yz

xz

yyy

zy

yy

xy

wzpg

zww

yww

xww

zw

wypg

zw

wy

ww

xw

ww

2

2

∇η+∂∂

−ρ=

∂

∂+

∂∂

+∂

∂ρ+

∂∂

ρ

∇η+∂∂

−ρ=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ρ+

τ∂

∂ρ

(3.23)

În formǎ vectorialǎ ecuaţia va fi:

wgdwd rrr

2∇η+ρ∇−ρ=τ

ρ (3.24)

3.1.2.3. Ecuaţia continuităţii Pentru determinarea ecuaţiei continuităţii se considerǎ un element de volum de fluid dv din stratul limitǎ hidraulic, pentru care se va calcula un bilanţ masic (figura 3.3).

Fig. 3.3 Fluxurile masice pentru elementul de volum dv.

Masa de fluid care intrǎ în elementul de volum după direcţia 0x este: τρ= dydzdwdM xx [kg] (3.25) Masa care iese din elementul de volum după aceeaşi direcţie va fi:

( )

τ

∂ρ∂

+ρ=+ dydzdxwwdM x

xdxx [kg] (3.26)

Masa rǎmasǎ în element este:

z

x

y

dMz+dz

dMx+dx

dMy+dy

dMz

dMx

dMy


( )τ

∂ρ∂

=−+ dvdxwdMdM x

xdxx (3.27)

În mod analog masa rǎmasǎ în element după direcţiile 0y şi 0z va fi:

( )

τ∂

ρ∂=−+ dvd

yw

dMdM yydyy , (3.28)

( )τ

∂ρ∂

=−+ dvdzwdMdM z

zdzz . (3.29)

Suma acestor mase va conduce la modificarea în timp a densitǎţii fluidului din elementul dv:

( ) ( ) ( )τ

τ∂ρ∂

=τ

∂ρ∂

+∂

ρ∂+

∂ρ∂ dvddvd

zw

yw

xw zyx , (3.30)

sau:

( ) ( ) ( ) 0=

∂ρ∂

+∂

ρ∂+

∂ρ∂

+τ∂ρ∂

zw

yw

xw zyx (3.31)

Pentru fluidele incompresibile ( ρ = const.) şi:

( ) ( ) ( ) 0=

∂ρ∂

+∂

ρ∂+

∂ρ∂

zw

yw

xw zyx , (3.32)

sau: 0=wdiv r

(2.33)

3.1.2.4. Condiţii de determinare univocǎ Ecuaţiile diferenţiale care descriu matematic procesul de convecţie monofazicǎ sunt: ecuaţia fluxului convectiv (3.2), ecuaţia conducţiei (3.11), ecuaţia mişcării (3.24) şi ecuaţia continuităţii (3.31). Pentru a diferenţia fenomenul studiat de alte fenomene similare, setului de ecuaţii diferenţiale trebuie sǎ li se ataşeze condiţii de determinare univocǎ a procesului. Analog cu cazul conducţiei (vezi § 2.1.3) acestea sunt: condiţii geometrice, condiţii fizice, condiţii iniţiale şi condiţii la limitǎ. Primele 3 condiţii sunt similare cu cazul conducţiei. Dintre condiţiile la limitǎ în cazul convecţiei putem avea: temperatura sau fluxul termic unitar la peretele solid (Tp sau qsp), temperatura şi viteza fluidului la începutul procesului de transfer, valoarea vitezei la perete (de obicei wp=0), etc.


Pentru exemplificare, în cazul convecţiei forţate la curgerea staţionarǎ a unui lichid printr-o ţeavǎ condiţiile de determinare univocǎ a procesului sunt:

• condiţii geometrice: diametrul d şi lungimea l a ţevii; • condiţii fizice: )(),(),(),( TTTcT p ρηλ ; • procesul fiind staţionar nu se pun condiţii iniţiale; • condiţii la limitǎ: temperatura fluidului la intrare în ţeavǎ Tfi şi la

perete Tp, viteza la intrare w, iar viteza la perete wp = 0.

3.1.3. Factorii care influenţeazǎ transferul de cǎldurǎ

Transferul de cǎldurǎ convectiv este determinat în primul rând de modificarea sau nu a fazei. Din acest punct de vedere convecţia se împarte în douǎ mari categorii: convecţia monofazicǎ (fǎrǎ schimbarea stării de agregare) şi convecţia bifazicǎ (fierberea şi condensarea). Transferul de cǎldurǎ convectiv monofazic este influenţat de patru categorii de factori [39]: natura mişcării, regimul de curgere, proprietăţile fizice ale fluidului şi forma şi dimensiunile suprafeţei de schimb de cǎldurǎ.

• În funcţie de cauza care o determinǎ mişcarea unui fluid poate fi liberǎ (naturalǎ) sau forţatǎ. Mişcarea liberǎ este cauzatǎ numai de modificarea densităţii

fluidului o datǎ cu modificarea temperaturii sale: fluidul prin încălzire îşi micşorează densitatea şi se ridicǎ pe lângă suprafaţa de încălzire; la răcirea sa, densitatea crescând fluidul coboară. Transferul de cǎldurǎ între un perete şi un fluid care are o astfel de mişcare se numeşte convecţie liberǎ (naturalǎ). Mişcarea forţatǎ este datoratǎ unei fote exterioare produsǎ de o pompǎ, un ventilator, diferenţa de nivel, vânt etc. În acest caz transferul de cǎldurǎ se realizează prin convecţie forţatǎ.

• Regimul de curgere a unui fluid poate fi: laminar, turbulent sau de tranziţie (intermediar). Tipul de regim de curgere este determinat de valoarea criteriului lui Reynolds şi de geometria spaţiului în care are loc curgerea.

• Proprietăţile fizice ale fluidului influenţează transferul de cǎldurǎ convectiv. Principalele mărimi fizice care influenţează convecţia monofazicǎ sunt cele care apar în ecuaţiile diferenţiale ale convecţiei: conductivitatea termicǎ λ , căldura specificǎ cp,


viscozitatea dinamicǎ η , densitatea ρ . Aceste mărimi sunt variabile cu temperatura fluidului şi uneori (pentru gaze) şi cu presiunea.

• Forma şi dimensiunile suprafeţei de schimb de cǎldurǎ: planǎ, cilindricǎ, interioarǎ (prin canale), exterioarǎ (peste o placǎ, peste un cilindru, peste un fascicul de ţevi) au o influenţǎ extrem de importantǎ asupra hidrodinamicii curgerii şi legat de aceasta asupra transferului de cǎldurǎ.

În funcţie de elementele menţionate anterior, în tabelul 3.1 este prezentatǎ o clasificare a proceselor de convecţie.

3.1.4. Metode de determinare a coeficientului de convecţie

Pentru determinarea coeficientului de convecţie α se pot utiliza patru metode principale:

• soluţii matematice exacte a ecuaţiilor stratului limitǎ; • analiza aproximativǎ a stratului limitǎ prin metoda integrale; • analogia dintre transferul de cǎldurǎ şi impuls; • experiment şi analiza dimensionalǎ.

Determinarea unor relaţii pentru calculul coeficientului de convecţie prin rezolvarea analiticǎ a ecuaţiilor stratului limitǎ este extrem de dificilǎ şi se poate realiza numai pentru un număr extrem de limitat de tipuri de curgere (de obicei pentru curgerea laminarǎ), prin introducerea unor ipoteze simplificatoare şi a unor variaţii empirice pentru grosimea stratului limitǎ. Practic nu existǎ astăzi o corelaţie de calcul a coeficientului de convecţie determinatǎ analitic, care sǎ-şi fi dovedit utilitatea în calculele tehnice. Nici analiza aproximativǎ a stratului limitǎ care foloseşte ecuaţii simplificate pentru distribuţia vitezei şi temperaturii în stratul limitǎ, nu oferă relaţii de calcul utile pentru coeficientul de convecţie. Metoda analogiei între transferul de cǎldurǎ şi impuls are meritul de a construi modele simplificate pentru fenomenele de convecţie, evidenţiind modul în care diferitele mărimi influenţează coeficientul de convecţie. Singura metodǎ care s-a dovedit utilǎ pentru studiul proceselor de convecţie este cea experimentalǎ. Ea porneşte de la construirea unei instalaţii experimentale utilizând elementele teoriei similitudinii, pe care se va realiza un program de experimentări utilizând teoria planificării experimentului.

Tabelul 3.1

Clasificarea convecţiei termice

Convecţia termicǎ

bifazicǎ

regim turbulent

regim turbulent

convecţie liberǎ

convecţie forţatǎ

în spaţii mari

în spaţii limitate monofazicǎ

• peste plǎci

• peste cilindri

• peste fascicule de ţevi

• prin canale

regim laminar

regim laminar

regim laminar regim turbulent

regim intermediar

regim laminar regim intermediar regim turbulent

fierbere

condensare

în volum mare

cu convecţie forţatǎ

nucleicǎ pelicularǎ

nucleicǎ pelicularǎ

nucleicǎ

pelicularǎ pe pereţi verticali pe cilindri orizontali peste un fascicul


Forma ecuaţiei criteriale care caracterizează fenomenul se obţine prin analiza dimensionalǎ, valorile exponenţilor şi constantelor ecuaţiei dimensionale fiind determinate prin prelucrarea datelor experimentale. Din aceste motiv în prezentul capitol vom analiza numai metoda experimentalǎ de determinare a coeficientului de convecţie, la studiul condensării peliculare prezentând şi o metodǎ analiticǎ de determinare a coeficientului de convecţie

3.1.5. Studiul experimental al proceselor de convecţie termicǎ

Din punct de vedre istoric, analiza experimentalǎ a proceselor termoenergetice este cea mai veche şi cea mai bogatǎ în informaţii. Ea a apărut odată cu nevoia omului de a cunoaşte natura şi a o controla, iar mai târziu de a o reflecta în universul sǎu tehnologic. Cercetările experimentale se pot împǎrţi în douǎ mari grupe: cercetări directe, la scarǎ naturalǎ şi cercetări indirecte, pe modele. Cercetările la scarǎ naturalǎ se realizează prin observaţii şi măsurători direct în naturǎ, sau pe instalaţii tehnologice existente în funcţiune. Scopul lor este de a obţine informaţii cât mai fidele despre procesele analizate, în contextul inter condiţionǎrilor cu celelalte fenomene şi procese existente în mediu investigat. Deşi prezintă avantajul obţinerii informaţiilor direct de la sursǎ, cercetarea la scarǎ naturalǎ implicǎ o serie de limitări şi restricţii care o fac uneori ineficientǎ. Cercetare pe modele se realizează pe standuri special construite, pe baza teoriei similitudinii, într-un climat funcţional perfect controlabil. În general, în procesul modelării spunem cǎ existǎ un sistem S0 ale cărui proprietăţi urmeazǎ sǎ fie modelate şi pe care îl numim obiect modelat, sau original şi un alt sistem SM care constituie un model al originalului. Sistemul SM reflectǎ sistemul S0 în esenţa lui, fapt ce ne permite sǎ înlocuim în anumite privinţe originalul cu modelul şi sǎ stabilim reguli de trecere de la informaţiile obţinute pe model, la informaţiile obţinute pe original. În desfăşurarea procesul modelării apar trei faze distincte [9,21,33]:

• trecerea de la original la model; • cercetarea pe model; • transferul pe original a rezultatelor obţinute pe model.


3.1.5.1. Bazele teoriei similitudinii În general, despre un model nu se poate spune cǎ este adevărat, sau fals, pozitiv sau negativ, bun sau necorespunzǎtor, etc. Proprietatea fundamentalǎ a unui model este adecvarea lui, respectiv gradul de reflectare al procesului sau sistemului original. Cu cât un model este mai adecvat, cu atât corespondenţa lui cu originalul este mai puternicǎ. Modul de abordare a unui model se numeşte similitudine şi ea poate fi de naturǎ structuralǎ, sau funcţionalǎ. În primul caz, accentul se pune pe asemănarea geometricǎ dintre model şi prototip, urmărindu-se o realizare la scarǎ cât mai exactǎ a modelului, în raport cu originalul. În cel de-al doilea caz, accentul se pune pe realizarea unei corespondenţe între ecuaţiile care descriu procesul original şi cele care descriu procesul aferent modelului. Cea mai simplǎ şi mai intuitivǎ formǎ de similitudine este cea geometricǎ. Între model şi prototip existǎ o similitudine geometricǎ dacǎ este asiguratǎ proporţionalitatea lungimilor omoloage şi egalitatea unghiurilor. Astfel, unui punct al modelului îi corespunde un singur punct al prototipului şi reciproc. Punctele aflate în corespondenţǎ se numesc puncte omoloage şi ele pot determina, suprafeţe omoloage şi volume omoloage. Noţiunea de similitudine poate fi însă extinsǎ la orice fenomen fizic. Putem avea o asemănare între curgerea unor fluide: similitudine cinematicǎ, o asemănare a forţelor care apar între douǎ curgeri similare: similitudine dinamicǎ, o asemănare a câmpurilor termice: similitudine termicǎ, etc. Teoria similitudinii se bazează pe o serie de reguli [33]: a) Procesele simile trebuie sǎ aibǎ aceeaşi naturǎ şi ecuaţii diferenţiale care le caracterizează identice ca formǎ şi conţinut. Dacǎ procesele au ecuaţii care le caracterizează identice ca formǎ dar diferite în conţinut procesele sunt analoage. (vezi analogia electricǎ a transferului de cǎldurǎ, analogia între transferul de cǎldurǎ, masǎ şi impuls, etc.). b) Orice fenomene fizice simile respectǎ similitudinea geometricǎ. Deci studiul experimental a unui proces fizic nu se poate face decât într-un model simil geometric. c) La analiza fenomenelor simile se pot raporta numai mărimile care au aceeaşi naturǎ fizicǎ şi aceeaşi ecuaţie dimensionalǎ, raportarea făcându-se în coordonate şi la momente de timp omologe. Aceasta înseamnă cǎ, în fiecare pereche de puncte omologe, la timpi omologi, fiecare mărime fizicǎ trebuie sǎ determine un raport constant între valoarea ei pe model şi valoarea corespunzătoare din modelul real. Aceste rapoarte constante se numesc scările mărimilor fizice sau rapoarte (constante) de similitudine.


Pentru mărimile fundamentale (lungime, masǎ, timp, temperaturǎ) aceste rapoarte se numesc fundamentale:

'''' ;;;TTkk

mmk

llk Tml =

ττ

=== τ , (3.34)

unde: l, m, τ , T se referǎ la model şi l’, m’, τ ’, T’ se referǎ la procesul modelat. Scările celorlalte mărimi derivate se pot stabili apoi în funcţie de coeficienţii fundamental. De exemplu pentru forţǎ:

22

2

2 '''''

''''

'''−τ⋅⋅=

ττ

=τ

τ=

ττ

=== kkkll

mm

lmml

xmmv

amma

FFk lmf (3.35)

d) Pentru douǎ fenomene similare, toate mărimile care le caracterizează sunt similare. Aceasta înseamnă cǎ în puncte şi la momente omoloage orice mărime ϕ de pe model este proporţionalǎ cu mărimea 'ϕ din fenomenul modelat: 'ϕ=ϕ ϕk . (3.36) Constantele de similitudine ϕk nu depind nici de coordonate şi nici de timp. Constantele de similitudine pentru diferitele mărimi care caracterizează fenomene simile nu se iau la întâmplare. Între ele existǎ legǎturi stricte care rezultǎ din analiza modelului matematic al procesului. Aceste legǎturi poartǎ denumirea de criterii de similitudine. Ele sunt complexe adimensionale formate din mărimile care caracterizează un fenomen. Pentru orice fenomen fizic, pornind de la descrierea matematicǎ a sa se pot obţine criterii de similitudine. Modul de determinare a criteriilor care caracterizează un fenomen fizic, precum şi principalele criterii de similitudine vor fi prezentate în paragraful următor. Teoria similitudinii, care stǎ la baza construirii unui model experimental se bazează pe trei teoreme:

• Prima teoremǎ a similitudinii se formulează astfel: procesele simile au criterii de similitudine identice.

• A doua teoremǎ a similitudinii aratǎ cǎ pentru orice proces fizic se poate determina o ecuaţie între criteriile de similitudine care caracterizează procesul;

( ) 0,...., 21 =πππ nf (3.37) Aceastǎ ecuaţie poartǎ denumirea de ecuaţie criterialǎ. Deoarece

pentru procesele simile criteriile de similitudine au aceleaşi valori, rezultǎ cǎ


o ecuaţie criterialǎ stabilitǎ prin experimentări pe un model este valabilǎ pentru orice alt proces simil.

• A treia teoremǎ a similitudinii stabileşte care sunt condiţiile necesare şi suficiente pentru ca douǎ fenomene sǎ fie simile. Ea se formulează astfel: procesele asemenea au condiţii de determinare univocǎ asemenea şi criteriile rezultate din mărimile care intrǎ în condiţiile de determinare univocǎ identice ca valoare numericǎ. Rezultǎ cǎ ecuaţiile criteriale care caracterizează un proces conţin criterii de similitudine formate numai din mărimile care caracterizează univoc procesul. Aceste criterii se numesc determinante.

În concluzie, teoria similitudinii permite ca pornind de la ecuaţiile diferenţiale care caracterizează un proces, fǎrǎ a le integra, sǎ se determine pe cale experimentalǎ o ecuaţie criterialǎ, valabilǎ pentru toate procesele similare.

3.1.5.2. Analiza dimensionalǎ Analiza dimensionalǎ porneşte de la premisa cǎ orice fenomen poate fi descris de o ecuaţie dimensionalǎ corectǎ şi omogenǎ între anumite variabile. Ea îşi propune stabilirea grupărilor adimensionale (numerele criteriale) şi forma ecuaţiei criteriale care caracterizează fenomenul, oferindu-ne un mod în care trebuie planificat experimentul şi modul de prelucrare a rezultatelor experimentale. Primele rezultate ale folosirii metodei au fost obţinute de Galilei, Newton şi Mariotte. Fourier dezvoltǎ principiul omogenitǎţii dimensionale a relaţiilor fizice, iar mai târziu Stokes, Froude, Reynolds, Rayleigh şi alţii aduc contribuţii importante la dezvoltarea şi aplicarea analizei dimensionale. Teorema π sau a lui Buckingham constituie o regulǎ de determinare a numărului de criterii de similitudine necesare pentru descrierea unui fenomen. Ea se formulează astfel: numărul necesar de numere criteriale independente care pot fi formate prin combinarea mărimilor fizice care descriu univoc fenomenul este egal cu numărul n al acestor mărimi fizice minus numărul m de unităţi de mǎsurǎ primare necesare pentru exprimarea formulelor dimensionale ale celor n mărimi fizice. Notând numele criteriale cu π , rezultǎ cǎ ecuaţia criterialǎ care va descrie un fenomen va fi de forma: ( ) 0,....,, 21 =πππ −mnF . (3.38) Analiza dimensionalǎ începe prin selectarea celor n mărimi care descriu univoc fenomenul, pornindu-se de la ecuaţiile diferenţiale şi


condiţiile de determinare univocǎ ale fenomenului. Selectarea parametrilor iniţiali implicǎ existenţa unei bune experienţe în analiza dimensionalǎ. Dacǎ nu sunt incluşi toţi parametri atunci rezultatele experimentale obţinute vor fi incomplete sau insuficient de edificatoare. Dacǎ lista parametrilor conţine şi mărimi nesemnificative, atunci vor apărea din analiza dimensionalǎ criterii suplimentare, pe care experimentul nu le va valida sau le vor dovedi nesemnificative. Urmează stabilirea unui sistem de unităţi de mǎsurǎ primare care pot descrie dimensional cele n mărimi care descrie fenomenul. Pentru procesele de transfer de cǎldurǎ şi masǎ aceste unităţi sunt: masa M, lungimea L, timpul T şi temperatura θ . În tabelul 3.2 sunt prezentate principalele mărimi care pot interveni în procesele termoenergetice, cu ecuaţiile lor dimensionale.

Tabelul 3.2 Simboluri şi unităţi de mǎsurǎ primare

Unitǎţi de mǎsurǎ

Mărimea fizicǎ Simbol Sistemul

SI Sistemul dimensional

MLTθ 1 2 3 4

Masǎ m kg M Lungime l m L Timp τ s T Temperaturǎ T °C, K θ Forţǎ F N ML/T2 Cǎldurǎ Q J ML2/T2 Vitezǎ w m/s L/T Acceleraţie a, g m/s2 L/T2 Lucru mecanic L J ML2/T2 Presiune p N/m2 M/T2L Densitate ρ kg/m3 M/L3 Energie internǎ specificǎ u J/kg L2/T2 Entalpie specificǎ i J/kg L2/T2 Cǎldurǎ specificǎ c J/(kg⋅°C) L2/T2θ Entropia specificǎ s J/(kg⋅°C) L2/T2θ



1 2 3 4

Viscozitatea dinamicǎ η (N⋅s)m2 M/LT Viscozitatea cinematicǎ v=η/ρ m2/s L2/T Conductivitate termicǎ λ W/(m⋅°C) ML/T3θ Difuzivitate termicǎ a m2/s L2/T Rezistenţǎ termicǎ R W/°C T3θ/ML2 Coeficientul de dilatare β l/°C l/θ Coeficientul de convecţie α W/(m2⋅°C) M/T3θ Pentru ilustrarea în continuare a modului de obţinere a formei ecuaţiei criteriale care caracterizează un fenomen, vom considera un proces de convecţie forţatǎ monofazicǎ la curgerea unui fluid cu viteza w printr-o ţeava cu diametrul d [39]. Lista variabilelor care descriu acest proces cuprinde: conductivitatea termicǎ – λ, viteza fluidului – w, diametrul conductei – d, viscozitatea fluidului – η, densitatea fluidului – ρ, căldura specificǎ a fluidului – cp şi coeficientul de convecţie – α. Unităţile de mǎsurǎ primare se vor exprima în sistemul MLTθ, conform tabelului de mai sus. Aplicând teorema Π rezultǎ cǎ se pot determina n–m = 7–4 = 3 grupuri adimensionale, astfel ca ( ) 0,, 321 =ΠΠΠF , sau ( )3211 ,ΠΠ=Π F

Deoarece nu ştim structura acestor grupuri de la început, scriem o relaţie funcţionalǎ generalǎ, de forma: gf

pedcba cdw αρηλ=Π (3.39)

Introducând unităţile de mǎsurǎ fundamentale date în tabelul 3.2 pentru sistemul MLTθ, rezultǎ:

[ ]gfed

cba

TM

TL

LM

TLML

TL

TML

θ

θ

θ=Π 32

2

33 . (3.40)

Pentru ca Π sǎ rezulte ca o mǎrime adimensionalǎ, trebuie ca suma exponenţilor fiecărei dimensiuni primare sǎ fie egalǎ cu zero. Se obţine astfel sistemul de ecuaţii:


=−−−θ=−−−−−=+−−++

=+++

0:0323:023:

0:

gfagfdbaTfedcbaL

gedaM

(3.41)

Se observǎ cǎ sistemul este nedeterminat, deoarece conţine 7 necunoscute şi numai 4 ecuaţii. Pentru ieşirea din acest impas se vor considera trei dintre aceşti exponenţi, cu valori cunoscute (g = – 1, b şi f) Rezultǎ:

+−=−θ++−=−−

−−=−−+=++

fafbdaT

fbedcaLedaM

1:233:

23:1:

(3.42)

Soluţia sistemului, în funcţie de b, f şi g, este: a = 1– f, c = b –1, d=f–b, e=b. Punând C/1=Π , unde C este o constantǎ oarecare, se obţine:

111/1 −−−− αρηλ= fp

bbfbbf cdwC (3.43) Rearanjând termenii, se poate scrie:

f

pb cwdCd

=

λ

η

ηρ

λα (3.44)

sau, în forma grupurilor adimensionale ( )3211 , ΠΠ=Π F (3.45) Prin identificare directǎ, se obţin cele trei grupuri adimensionale:

=Π1 Nu λ

η

ηρ

λα pCwdd

==Π==Π= Pr;Re; 32 (3.46)

Am recunoscut deci criteriile Nusselt – care caracterizează intensitatea procesului de transfer a cǎldurii la suprafaţa de contact dintre fluid şi perete, Reynolds – care caracterizează regimul de curgere a fluidului respectiv Prandtl – care caracterizează proprietăţile fizice ale fluidului. Folosind analiza dimensionalǎ, relaţia funcţionalǎ dintre cei 7 parametri se transformǎ într-o relaţie mult mai simplu de cercetat experimental, de forma: Nu = CRebPr f (3.47) Deşi obţinerea grupurilor adimensionale are la bazǎ o serie de procedee matematice, fiecare dintre ele are o anumitǎ semnificaţie fizicǎ.


Aceasta rezultǎ prin combinarea semnificaţiilor fizice ale mărimilor grupate, care descriu procesul analizat. Prezentǎm, în cele ce urmează semnificaţia fizicǎ pentru cele mai importante grupuri adimensionale, sau criterii folosite în analiza experimentalǎ a proceselor termoenergetice. Criteriul Reynolds (Re) caracterizează regimul de curgere a fluidului şi se defineşte ca raportul dintre forţele de inerţie şi forţele de viscozitate pentru unitatea de volum de fluid. Criteriul Prandtl (Pr) caracterizează proprietăţile fizice ale fluidului şi reprezintă raportul dintre difuzivitatea molecularǎ a impulsului şi difuzivitatea molecularǎ a căldurii, respectiv raportul dintre distribuţia vitezei şi distribuţia de temperaturǎ. Criteriul Peclet (Pe) se defineşte ca raport dintre fluxurile de cǎldurǎ transmise prin convecţie, respectiv prin conducţie, la aceeaşi diferenţǎ de temperaturǎ ∆T. Criteriul Nusselt (Nu) reprezintă raportul dintre gradientul temperaturii fluidului la suprafaţa peretelui şi un gradient de referinţǎ al temperaturii. Criteriul Stanton (St) reprezintă raportul dintre fluxul de cǎldurǎ transmis prin convecţie şi fluxul de cǎldurǎ acumulat de fluid. Criteriul Grashof (Gr) se foloseşte în deosebi în procesele de convecţie liberǎ şi caracterizează acţiunea reciprocǎ a forţelor ascensionale şi a forţelor de viscozitate a fluidului. Criteriul Biot (Bi) reprezintă raportul dintre rezistenţa termicǎ interioarǎ la conducţie şi cea exterioarǎ la convecţie pentru transferul de cǎldurǎ între un corp solid şi mediul ambiant. Criteriul Fourier (Fo) este caracteristic proceselor de transfer de cǎldurǎ tranzitorii şi exprimǎ timpul de propagare a cǎldurii, în unitǎţi adimensionale. Expresiile de calcul pentru aceste criterii sunt date în tabelul 3.3.

Tabelul 3.3 Criterii adimensionale folosite în analiza proceselor termoenergetice

Criteriul Simbol Relaţie de calcul

1 2 3 Reynolds Re Re = wl/v = wlρ/η Prandtl Pr Pr = ηcp/λ = v/a Péclet Pe Pe = Re Pr = Wl/a Nusselt Nu Nu = αl/λ Stanton St St = Nu/Re Pr = α/cpρw Colburn j j = St Pr2/3 = Nu/Re Pr1/3 Grashof Gr Gr = βgl3∆t/v2



1 2 3

Biot Bi Bi = αl/λ Fourier Fo Fo = aτ/l2 Rayleigh Ra Ra = Gr Pr = βgl3∆t/va Froude Fr Fr = w3/gl Galilei Ga Ga = Re2/Fr = gl3/v2 Arhimede Ar Ar = Ga (ρ – ρ0)/ρ Kutateladse K K = r/cpt Newton Ne Ne = wτ/l Euler Eu Eu = ∆p/ρw2 Graetz Gz Gz = Gcp/λl Schmidt Sc Sc = η/ρD Mach M M = w/w0 Notaţiile folosite în aceste relaţii sunt următoarele: ρ, ρ0 – densitatea fluidului în douǎ puncte diferite, în kg/m3; η – viscozitatea dinamicǎ a fluidului, în (N⋅s)/m2; v – viscozitatea cinematicǎ a fluidului în m2/s; cp – cǎldura specificǎ la presiune constantǎ, în J/(kg°C); λ – conductivitatea termicǎ, în W/(mK); a – difuzitatea termicǎ, în m2/s; β – coeficient de dilatare volumicǎ, în l/K; r – cǎldurǎ latentǎ de vaporizare, în J/kg; T – temperatura, în K; w – viteza fluidului, în m/s; l – lungimea caracteristicǎ a curgerii, în m; α – coeficientul de convecţie, în W/(m2K); g – acceleraţia gravitaţiei, în m/s2; ∆T – diferenţa de temperaturǎ, în °C; τ – timpul, în s; ∆p – diferenţa de presiune, în Pa; G – debitul de fluid, în kg/s; D – coeficientul de difuzie, în m2/s; w0 – viteza sunetului în fluid, în m/s.

3.1.5.3. Planificarea experimentului şi corelarea datelor experimentale Planificarea experimentului reprezintǎ procedeul de alegere a numărului şi condiţiile de desfăşurare a încercărilor, necesare şi suficiente pentru rezolvarea unei probleme propuse cu precizia cerutǎ [9]. Planificarea experimentului asigurǎ cercetarea optimǎ a diverselor procese şi instalaţii, în sensul:

• minimizării numărului de experimentări prin urmare a timpului şi cheltuielilor;

• realizării unor planuri speciale ale experimentului care sǎ prevadă varierea simultanǎ a tuturor variabilelor;

• utilizării aparatului statisticii matematice care sǎ permită formalizarea acţiunilor experimentatorului şi luarea de hotărâri fundamentate (argumentate), dupǎ fiecare serie de experienţe.


Metodele de planificare a experimentului pot fi aplicate atât pentru obiecte cât şi pentru procese şi instalaţii termoenergetice de diferite tipuri. Toatǎ multitudinea de factori care determinǎ fenomenul (procesul) studiat poate fi împărţitǎ în: (fig. 3.4a). a) variabile controlabile şi reglabile x1, x2, ..., xn, care în procesul de experimentare pot sǎ se schimbe în concordanţǎ cu un plan oarecare. Se considerǎ cǎ aceste variabile sunt independente între ele şi cǎ precizia de determinare a lor este destul de ridicatǎ; b) variabile nereglabile z1, z2, ..., zm; c) perturbaţii necontrolabile k1, k2, ....., kd; d) variabile de ieşire ca funcţii numerice y1, y2, ...., yn. În figura 3.4b este prezentatǎ schema transformatǎ a obiectului conectat cu o sigurǎ funcţie obiectiv: yi = ηi + εi unde ηi este valoarea realǎ de ieşire a experimentului i; εi – eroare adiţionalǎ, corespunzătoare experimentului i, constituitǎ ca urmare a însumării acţiunilor parametrilor de intrare nereglabili. Se considerǎ cǎ dependenţa η = ϕ(x) este derivabilǎ şi se poate dezvolta în serie Taylor.

Fig.3.4 Schema structuralǎ a obiectului (fenomenului) cercetat Planificarea experimentului se utilizează pentru rezolvarea următoarelor tipuri de probleme:

• determinarea factorilor cei mai importanţi care influenţează experimentul;

• aprecierea cantitativǎ a influenţei diferiţilor factori asupra funcţiei obiectiv;

• determinarea condiţiilor optime; • construirea modelului matematic a obiectului studiat;

η

kn k2

OBIECT STUDIAT

OBIECT STUDIAT

x1 x2

xn

y1 y2

yn

x1 x2

xn

k1

z1 z2 zn

y

ε

a) b)


• stabilirea coeficienţilor, constantelor din modelul teoretic care descrie fenomenul studiat şi alegerea celui mai bun model dintr-o serie analizatǎ.

Planificarea experimentului a devenit în ultimii ani o ramurǎ importantǎ a fizicii experimentale căreia i-au fost dedicate numeroase lucrări . Pentru corelarea datelor experimentale în vederea obţinerii unei ecuaţii criteriale, de exemplu ecuaţia (3.47) din exemplul anterior, se va realiza o reprezentare graficǎ a materialului experimental obţinut într-o diagramǎ logaritmicǎ pentru a obţine variaţii lineare. Într-adevăr, prin logaritmarea ecuaţiei (3.47) se obţine: log Nu PrlogReloglog fbC ++= , (3.48) care în coordonate logaritmice reprezintă o familie de drepte (fig.3.5).

Fig. 3.5 Variaţia Nu = f (Re, Pr):

a) pentru Pr = ct; b) pentru Re = ct Cu cât numărul de experimentări este mai mare cu atât precizia determinării exponenţilor b şi f va fi mai mare. Din figura 3.5 rezultǎ simplu cǎ: b = tg ϕ; f = tg Ψ . (3.49) Având valoarea lui Re, Pr, b, f, rezultǎ imediat valoarea constantei C.

ψ ϕ

Pr2

log Nu log Nu

log Re log Pr

Pr3

Pr1

Re3

Re2

Re1

a) b)


3.3 Convecţia liberǎ

Convecţia naturală apare datoritǎ modificării densităţii particulelor de fluid încălzite sau răcite în contact cu o suprafaţǎ caldǎ sau rece. Pentru majoritatea fluidelor întâlnite în practicǎ variaţia densităţii cu temperatura este linearǎ. Astfel dacǎ un fluid cu temperatura Tf şi densitatea

fρ vine în contact cu un perete fierbinte cu temperatura Tp (figura 3.6a), densitatea fluidului într-un punct cu temperatura T din stratul limitǎ format va fi: ( )[ ]ff TT −β−ρ=ρ 1 [kg/m3] (3.50) unde: β este coeficientul de dilatare volumicǎ a fluidului. Deoarece fρ<ρ asupra particulelor de fluid cu temperatura T va acţiona o forţǎ ascensionalǎ (arhimedicǎ) egalǎ cu: ( ) ( )fffa TTggf −βρ=ρ−ρ= [N] . (3.51) Rezultǎ cǎ forţa ascensionalǎ care asigurǎ mişcarea naturalǎ a fluidului este direct proporţionalǎ cu acceleraţia gravitaţiei, coeficientul de dilatare volumicǎ şi diferenţa de temperaturǎ ∆T = T – Tf.

Fig. 3.6 Stratul limitǎ la convecţia liberǎ pe lângă un perete vertical: a) stratul limitǎ laminar;

b) tranziţia spre curgerea turbulentǎ

Fluid în repaus

Tf, ρf

Tp > Tf Tp > Tf

x

y

w(y))

g

g Turbulent

Laminar

xc

x

Transiţie Rax,c≈109

a) b)

Fluid în repaus, Tf


Ecuaţia de definiţie pentru coeficientul de dilatare volumicǎ este:

pT

∂ρ∂

ρ−=β

1 [1/K] (3.52)

Pentru gazele ideale RTp /=ρ , rezultând:

TRT

pRTp

1/1

2 ==β . [1/K] (3.53)

Pentru lichide sau gaze neideale valoarea lui β în funcţie de temperaturǎ se poate lua din tabele cu proprietăţile termodinamice ale fluidelor . Analiza dimensionalǎ a convecţiei naturale evidenţiază cǎ forma ecuaţiei criteriale care o caracterizează este [21,14]: Nu = f (Gr, Pr) , (3.54)

unde: Nu = λαl (3.55)

este criteriul lui Nusseldt;

Gr = 2

3

ν∆β

lTg (3.56)

este criteriul lui Grashof;

a

c p ν=

λ

η=Pr (3.57)

este criteriul lui Prandtl.

3.2.1. Convecţia liberǎ în spaţii mari

Convecţia liberǎ în spaţii mari apare în cazul contactului unui fluid cu un perete vertical sau înclinat sau cu un cilindru, o sferǎ sau o placǎ orizontalǎ, mai calde sau mai reci decât fluidul.

• Perete vertical În cazul curgerii laminare se poate obţine o relaţie analiticǎ pentru calculul lui α [20 ], pornind de la ecuaţiile diferenţiale ale stratului limitǎ. Rezultǎ, pentru calculul coeficientului de convecţie local la distanţa x de la începutul mişcării, relaţia criterialǎ [20 ]:

Nux = ( )Pr4

4/1

gGrx xx

=

λα , (3.58)


unde:

( )( ) 4/12/1

2/1

Pr238,1Pr221,1609,0Pr75,0Pr

++=g . (3.59)

Coeficientul de convecţie mediu pe toatǎ lungimea L a peretelui este:

x

L

xxdLα=α=α ∫

0 341 . (3.60)

În numeroase cazuri curgerea în stratul limitǎ format la un moment dat devine turbulentǎ (figura 3.6b). Apariţia curgerii turbulente se produce de la valoarea:

Raxcr = Grxcr( ) 9

3

10Pr ≈ν

−β=

axTTg fp , (3.61)

unde Ra este criteriul lui Rayleigh (Ra = GrPr) Observaţie În toate ecuaţiile criteriale ale convecţiei apar proprietăţile fizice ale fluidului, acestea se determinǎ: – la temperatura fluidului Tf → indice f – la temperatura peretelui Tp → indice p – la temperatura medie în stratul limitǎ Tm = 0,5 (Tf +Tp) * → indice m Pentru determinarea lui α la convecţia naturalǎ pe pereţi sau ţevi verticale existǎ diferite ecuaţii experimentale. În numeroase lucrări se recomandǎ relaţia:

Nuf = nRaCL=

λα , (3.62)

unde: – pentru curgerea laminarǎ: C = 0,59, n = 1/4; – pentru curgerea tubularǎ: C = 0,10, n = 1/3.

* În unele lucrǎri se propune: Tm = Tp – 0,38(Tp – Tf)


Miheev [33], recomandǎ relaţiile: Nuf = 0,76 ( ) 25,025,0 Pr/Pr pffRa , (3.63) pentru 103 ,Raf < 109 (regim laminar) Nuf = 0,15 ( ) 25,033,0 Pr/Pr pffRa , (3.64) pentru Raf >105. În aceste relaţii (Prf / Prp)0,25 este o corecţie care ţine seama de variaţia temperaturii în stratul limitǎ. Churchill şi Chu [12 ] propun o relaţie valabilǎ atât pentru curgerea laminarǎ cât şi turbulentǎ:

Nuf = [ ]

2

27/816/9

6/1

)Pr/492,0(1

387,0825,0

++

f

fRa (3.65)

În toate aceste relaţii lungimea caracteristicǎ este lungimea peretelui L.

• Pereţi înclinaţi sau orizontali În cazul pereţilor înclinaţi (figura 3.7a,d) forţa ascensionalǎ are douǎ componente: una paralelǎ cu peretele, care produce mişcarea fluidului în lungul plǎcii şi alta perpendicularǎ pe perete. Rezultǎ o micşorare a vitezei fluidului, comparativ cu peretele vertical şi în consecinţǎ o reducere a coeficientului de convecţie. Pentru calculul coeficientului de convecţie se pot utiliza aceleaşi relaţii ca pentru pereţi verticali, doar la calculul criteriului Groshof Gr, respectiv Rayleigh, în locul lui g se va utiliza

θcosg , unde θ este unghiul format de placǎ cu verticalǎ. Pentru plăcile (pereţii) orizontali mişcarea este determinatǎ, atât în cazul plăcilor calde cât şi a celor reci, de direcţia în care are loc convecţia (figura 3.7) Pentru calculul coeficientului de convecţie în aceste cazuri se pot utiliza relaţiile propuse de Mc Adams [19 ]:

• plǎi reci cu convecţia inferioarǎ şi plǎci calde cu convecţia superioarǎ (figura 3.7 c, e):

Num = 4/154,0 mm

RaL=

λα ( )74 1010 ≤≤ mRa ; (3.66)

Num = 3/115,0 mm

RaL=

λα ( )117 1010 ≤< mRa (3.67)


Fig. 3.7 Curgerea naturalǎ în cazul pereţilor înclinaţi sau orizontali:

a) perete rece înclinat; b) perete rece orizontal cu convecţie inferioarǎ; c) perete rece cu convecţie superioarǎ; d) perete cald înclinat; e) perete

cald cu convecţie superioarǎ; f) perete cald cu convecţie inferioarǎ

• plǎci reci cu convecţia superioarǎ şi plǎci calde cu convecţie inferioarǎ (figura 3.7b, d):

Num = 4/127,0 mm

RaL=

λα ( )105 1010 ≤≤ mRa (3.68)

În relaţiile de mai sus lungimea caracteristicǎ L se calculează cu relaţia:

PAL 4

= [m] , (3.69)

unde A, P reprezintă aria, respectiv perimetrul plăcii.

• Cilindri orizontali În cazul cilindrilor orizontali (figura 3.8), valoarea localǎ a coeficientului de convecţie este variabilǎ pe conturul cilindrului, fiind maximǎ la partea inferioarǎ, unde grosimea stratului limitǎ este minimǎ.


Fig. 3.8 Stratul limitǎ pentru convecţia naturalǎ pe un cilindru orizontal

Pentru calculul valorii medii a coeficientului de convecţie pot fi utilizate relaţiile:

• relaţia lui Churchill şi Chu [12 ]:

Num = ( )[ ]

2

27/816/9

6/1

Pr/559,01

387,060,0

++=

λα

m

m

m

RaD , (3.70)

pentru: 1210≤mRa • relaţia lui Miheev [33 ]:

Nuf = ( ) 25,025,0 Pr/Pr5,0 pfff

RaD=

λα , (3.71)

pentru: 83 1010 << fRa

3.2.2. Convecţia liberǎ în spaţii limitate

În cazul spaţiilor închise între doi pereţi verticali sau orizontali, sau între doi cilindri, convecţia naturalǎ (mişcarea) este influenţatǎ atât de poziţia suprafeţelor cât şi de distanţa între ele (figura 3.9).

Nu θ

0

fluid Tf + Strat

limitǎ

Panǎ

Ts

θ

π/2 π


În cazul pereţilor verticali dacǎ distanţa dintre ei este suficient de mare (figura 3.9a) mişcarea pe cei doi pereţi (cald şi rece) se desfǎşoarǎ ca şi pentru pereţii separaţi, dacǎ însă distanţa se micşorează (figura 3.9b) cei doi pereţi se influenţează reciproc, în interiorul canalului formându-se bucle de circulaţie. În cazul pereţilor orizontali, dacǎ peretele cald este cel superior (figura 3.9c) în canal nu apare mişcare, apărând o stratificare a fluidului, iar transferul de cǎldurǎ se realizează numai prin conducţie. În cazul în care peretele cald este la partea inferioarǎ, în canal apar bucle de circulaţie ascensionalǎ – descendentǎ (figura 3.9.d). În cazul spaţiului dintre doi cilindri sau douǎ sfere mişcarea depinde de care din cei doi cilindri este încălzit. Dacǎ cilindrul interior este cald (figura 3.9e) mişcarea apare numai deasupra generatoarei sale inferioare. Sub cilindrul interior nu apare mişcare. Dacǎ cilindrul exterior este cald (figura 3.9f) mişcarea apare numai sub generatoare superioarǎ a cilindrului interior.

Fig. 3.9 Convecţia naturalǎ în spaţii limitate


În cazul convecţiei naturale în spaţii limitate pentru calculul coeficientului mediu de convecţie se poate utiliza relaţia [21]:

δ

λ=α ech [W/(m2K)] , (3.72)

unde: δ este distanţa dintre pereţi, în m; λech – conductivitatea termicǎ echivalentǎ: fkech λε=λ [W/(mK)] (3.73) εk este un coeficient de corecţie care ţine seama de convecţia naturalǎ care se poate calcula cu relaţiile:

• 3,0105,0 fk Ra=ε , (3.74)

pentru 63 1010 << fRa

• 2,04,0 fk Ra=ε , (3.75)

pentru 106 1010 << fRa • 1=εk , (3.76) pentru 310<fRa .

În cazul convecţiei naturale între douǎ plǎci orizontale ( ( )°=ω 0 , verticale ( )°=ω 90 sau înclinate, pentru gazele biatomice la presiune atmosfericǎ, şi 710<fRa , se pot utiliza relaţiile lui Graf Van der Held [20], prezentate în tabelul 3.4.

Tabelul 3.4 Relaţii pentru calculul lui α la convecţia naturalǎ în spaţii limitate

Poziţia Domeniul de valabilitate Relaţia de calcul

1 2 3 ω = 0° (pereţi orizontali)

Grf <2⋅103 2⋅103 < Grf < 5⋅104 5⋅104 < Grf < 2⋅105 Grf > 2⋅105

Nuf = 1 Nuf = 0,0507 4,0

fGr Nuf = 3,8 Nuf = 0,0426 37,0

fGr

ω = 30° Grf <2⋅103 2⋅103 < Grf < 5⋅104 5⋅104 < Grf < 2⋅105 Grf > 2⋅105

Nuf = 1 Nuf = 0,0507 4,0

fGr Nuf = 3,6 Nuf = 0,0402 37,0

fGr



1 2 3

ω = 60° Grf <5⋅103 5⋅104 < Grf < 5⋅104 Grf > 2⋅105

Nuf = 1 Nuf = 0,0431 37,0

fGr

Nuf = 0,0354 37,0fGr

ω = 90° (pereţi verticali)

Grf <7⋅103 7⋅104 < Grf < 8⋅104 Grf > 8⋅104

Nuf = 1 Nuf = 0,0384 37,0

fGr

Nuf = 0,0317 37,0fGr

La calculul lui Nuf şi Grf lungimea caracteristicǎ este distanţa între plǎci δ. Pentru alte gaze decât cele biatomice la determinarea lui α, criteriu Nu calculat cu relaţiile din tabelul 3.4 se înmulţeşte cu factorul de corecţie: ( ) 37,0Pr fK = . (3.77)

3.3. Convecţia forţatǎ monofazicǎ exterioarǎ

3.3.1. Convecţia forţatǎ la curgerea peste o placǎ

La curgerea unui fluid în lungul unei plǎci pe aceasta începe sǎ se formeze stratul limitǎ hidraulic (figura 3.10) în care viteza fluidului variază de la zero la perete la viteza fluidului neperturbat de perete w0. La început curgerea fluidului în strat este laminarǎ, grosimea stratului crescând în lungul curgerii. La un moment dat la distanţa xcr1 începe o zonǎ de curgere instabilǎ, caracterizatǎ de valoarea criteriului Reynolds Recr1. La coordonata xcr2, caracterizatǎ de Recr2, începe curgerea turbulentǎ stabilizatǎ la suprafaţa peretelui rămânând un micro strat laminar. Studiile experimentale au evidenţiat cǎ Recr are valori între 104 şi 4⋅106, în funcţie de intensitatea transferului de cǎldurǎ, rugozitatea peretelui, vibraţii etc. În cele mai multe lucrări se recomandǎ Recr = 5⋅105 [22,33,34]


Fig. 3.10 Stratul limitǎ hidraulic la curgerea peste o placǎ

Grosimea stratului limitǎ laminar se poate calcula cu relaţia:

5,0

05,0 5

Re5

ν==δ

wxx

xl . (3.78)

Pentru grosimea stratului limitǎ turbulent se recomandǎ relaţia:

5/1

0

4

2,0 37,0Re

37,0

ν==δ

wxx

xt . (3.79)

În procesul de transfer de cǎldurǎ la perete se formează stratul limitǎ termic în care temperatura variază de la Tp la temperatura fluidului neperturbat Tf. În figura 3.11 se prezintă variaţia grosimii stratului limitǎ termic ∆. În stratul limitǎ laminar diferenţa între ∆ şi δ este datǎ numai de valoarea lui Pr. Pentru Pr = 1, grosimea celor douǎ straturi este egalǎ:

ll δ=∆ . La curgerea turbulentǎ variaţia temperaturii de la Tp la Tf se face în microstratul vâscos de lângă perete în care curgerea rămâne laminarǎ. Din figura 3.11b, c, rezultǎ cǎ atât în stratul limitǎ laminar, cât şi cel turbulent variaţia vitezei şi temperaturii sunt analoge. Un prim calcul teoretic a distribuţiei temperaturii în stratul limitǎ laminar a fost realizat de Pohlhausen, în 1921, în ipoteza unei temperaturi constante a peretelui şi a unor proprietăţi fizice a fluidului constante în stratul limitǎ.

Laminar Turbulent Tranziţie

Zona turbulentǎ

Strat tampon Substrat laminar

xc1

w0

xc2

w0

w0


Fig. 3.11 Stratul limitǎ laminar şi turbulent la curgerea peste o placǎ

El a stabilit cǎ variaţia temperaturii T a fluidului în stratul limitǎ, la distanţa y de perete este funcţie de Pr şi de o variabilǎ η:

( )ηϕ=−

−Pr,

pf

p

TTTT

, (3.80)

unde: νη xwy /0= . Fluxul termic unitar transmis va fi:

0→∂

∂λ−=

ys y

Tq (3.81)

Derivata 0→∂

∂

yyT , ţinând seama de (3.80) este:

( ) ( )

( )0

0

00

→

→→

−=

=∂∂

−=∂

−∂=

∂∂

η

η

ηϕ

ν

ηηϕ

dd

xwTT

yddTT

yTT

yT

pf

pfp

y (3.82)

Studiile lui Pohlhausen [20] au arătat cǎ:


3/1

0

Pr33,0=ηϕ

→ηdd (3.83)

Atunci:

( ) ( ) 3/10 Pr33,0x

wTTTTq fpfps νλα −=−= (3.84)

Înmulţind în ambii membri ai egalităţii cu x, se obţine:

3/12/1

0 Pr33,0

ν=

λα xwx , (3.85)

sau: Nux = 3/12/1 PrRe33,0 x . (3.86) Pe baza prelucrării unui bogat material experimental pentru calculul coeficienţilor de convecţie locali şi medii la curgerea laminarǎ peste o placǎ, Jukauskas [24]propune relaţiile: Nuxf = ( ) 25,033,05,0 Pr/PrPrRe33,0 pffxf (3.87) şi Nulf = ( ) 25,033,05,0 Pr/PrPrRe66,0 pffllf (3.88) Pentru curgerea turbulentǎ, calculul coeficientului local de convecţie se poate face cu relaţia:

Nufx = ( ) 25,043,08,0 Pr/PrPrRe0296,0 pfffx . (3.89) Valoarea medie în lungul plăcii a coeficientului de convecţie este: Lx=α=α 25,1 . (3.90) Pentru calculul valorii medii a coeficientului de convecţie pentru o curgere mixtǎ, iniţial laminarǎ, apoi turbulentǎ (figura 3.10) se poate utiliza ecuaţia: NuL = ( ) 33,08,0 Pr871Re037,0 −L (3.91) Relaţia este valabilǎ pentru 0,6<Pr <60, 5⋅105<ReL≤108 şi Recr = 5⋅105 .


3.3.2. Convecţia forţatǎ la curgerea peste un cilindru

La curgerea peste un cilindru curgerea laminarǎ pe întregul profil al cilindrului nu se poate observa decât la valori extrem de mici a lui Reynolds (Re < 5). La valori mai mari în punctul frontal (figura 3.12) liniile de curent se separǎ viteza fluidului în stratul limitǎ w∞ diferă de viteza din faţa cilindrului w.

Fig.3.12 Stratul limitǎ la curgerea peste un cilindru

Viteza fluidului în stratul limitǎ w∞ creşte pe mǎsurǎ ce presiunea p scade. Într-o primǎ zonǎ, datoritǎ unui gradient favorabil de presiune (dw∞ /dx > 0, când dp/dx < 0), ea creşte de la w∞ = 0 la punctul frontal, până la o valoare maximǎ atinsǎ când dp/dx = 0, apoi ea începe sǎ scadă datoritǎ unui gradient de presiune advers (dw∞ /dx < 0, când dp/dx > 0). În punctul de separe gradientul vitezei la perete devine nul 0/

0=∂

=ydyw . După acest

punct viteza îşi schimbǎ direcţia în zona de la perete apărând un flux invers şi formându-se vârtejuri (figura 3.13).


Fig. 3.13 Formarea fluxului invers şi vârtejurilor la curgerea peste un cilindru

Unghiul la care are lor desprinderea stratului limitǎ este funcţie de Re. Pentru 5102Re ⋅≤ , punctul de separare este la °−°≈θ 9080 . Dacǎ

5102Re ⋅> , punctul de desprindere se mutǎ spre °≈θ 140 (figura 3.14) [20]

Fig. 3.14 Efectul turbulenţei asupra punctului de desprindere a) desprinderea stratului limitǎ laminar; b) desprinderea

stratului limitǎ turbulent

Gradient de presiune favorabil Gradient de presiune advers

0<∂∂

xp 0>

∂∂

xp

Punct de separare

Flux invers

vârtejuri

u∞(x)


Variaţia coeficientului de convecţie pe periferia cilindrului este legatǎ de forma curgerii (figura 3.15) [22]

Fig. 3.15 Variaţia coeficientului de convecţie pe periferia cilindrului: 1 – Re = 70800;

2 – Re = 219000 În cazul stratului limitǎ laminar (figura 3.15, curba 1) coeficientul de convecţie are valoarea maximǎ la punctul frontal ( 0=θ ) când grosimea stratului limitǎ este minimǎ. Pe mǎsurǎ ce θ creşte, grosimea stratului limitǎ creşte şi coeficientul de convecţie scade. După depăşirea punctului de separare α începe sǎ crească datoritǎ turbulenţei formate. În cazul curbei 2 (Re > 2⋅105) vom avea douǎ pante ascendente: una datoratǎ trecerii de la stratul limitǎ laminar la cel turbulent, iar cea de a doua datoratǎ desprinderii stratului limitǎ turbulent şi formǎrii vârtejurilor. Valoarea coeficientului de convecţie în punctul frontal se poate calcula cu relaţia:


Nuf )0( =θ 33,05,00 PrRe15,1 ff

D== =

ναθ (3.92)

Pentru calculul coeficientului mediu de convecţie se poate utiliza relaţia lui Hilpert [20 ]: Nu = C Rem Pr1/3 . (3.93) Valorile constantelor C şi m pentru cilindri circulari sunt prezentate în tabelul 3.5. Ecuaţia 3.93 poate fi utilizatǎ şi pentru prisme cu diferite secţiuni, valorile constantelor C şi m fiind prezentate în tabelul 3.6.

Tabelul 3.5

Valorile constantelor C şi m pentru cilindri

Re C m 0,4 – 4 4 – 40

40 – 4000 4000 – 40000

40000 – 400000

0,989 0,911 0,683 0,193 0,027

0,330 0,385 0,466 0,618 0,805

Tabelul 3.6

Valorile constantelor C şi m la curgerea peste prisme

Geometrie ReD C m

V→ 5×103–105 0,246 0,588

V→ 5×103–105 0,102 0,675

V→

5×103–1,95×104

1,95×104–105 0,160

0,0385 0,638 0,782

V→ 5×103–105 0,153 0,638

V→ 4×103–1,5×104 0,228 0,731

D

D

D

D

D


Jukauskas [24] propune pentru calculul coeficientului mediu de convecţie următoarele relaţii:

• pentru 5 < Re < 103 Nuf = ( ) 25,038,05,0 Pr/PrPrRe5,0 pff ; (3.94) • pentru 103 < Re < 2⋅105

Nuf = ( ) 25,038,06,0 Pr/PrPrRe25,0 pff ; (3.95) • pentru 2⋅105 <Re < 2⋅106

Nuf = ( ) 25,037,08,0 Pr/PrPrRe023,0 pf (3.96)

În toate aceste relaţii lungimea caracteristicǎ este diametrul exterior al cilindrului D. Relaţiile prezentate sunt valabile pentru cazul în care unghiul ψ format de fluxul de curgere cu axa cilindrului (unghiul de atac) este de 90°. Dacǎ ψ = 30 ÷ 90° se va introduce o corecţie pentru valoarea lui α: ( )ψ−α=α °=ψψ

290 cos54,01 (3.97)

3.3.3. Transferul de cǎldurǎ la curgerea forţatǎ peste un fascicul de ţevi

În numeroase aparate de transfer de cǎldurǎ curgerea fluidelor se face peste un fascicul de ţevi. Ţevile sunt aşezate în fascicul, în cele mai multe cazuri, în coridor (aliniate) sau în şah (alternate) (figura 3.16). Curgerea fluidului este influenţatǎ atât de modul de aşezare a ţevilor în fascicul, cât şi de pasul longitudinal (în lungul curgerii) SL şi cel transversal (perpendicular pe direcţia curgerii) ST (figura 3.17). Turbulenţa fluidului creşte de la primul rând, în profunzimea fasciculului. În numeroase lucrări se considerǎ cǎ turbulenţa s-a stabilizat numai dupǎ 20 de rânduri [20 ], alte lucrări considerǎ stabilizatǎ curgerea de la rândul al 10-lea, sau chiar al 4-lea [4,21,33].


Fig. 3.16 Aşezarea ţevilor în fascicul a) în coridor; b) alternatǎ

Fig. 3.17 Curgerea fluidului prin fascicul a) aşezarea în coridor; b) aşezarea alternatǎ

Pentru calculul coeficientului mediu de convecţie de la rândul al 10-lea încolo, Grimison propune relaţia [20 ]:

w, Tf w, Tf

ST ST

SL SL SD

A1

A1

A1 A2

A2

D D

a) b)


Nu ( )

3/1max110 PrRe13,1 m

N CL

=≥ , (3.98) unde: Remax este valoarea criteriului Reynolds la viteza maximǎ din fascicul:

ν

=Dwmax

maxRe . (3.99)

Valoarea exponentului m şi constantei C1 din relaţia (3.98) sunt date în tabelul 3.7, în funcţie de tipul aşezării şi de paşii longitudinali şi transversali.

Tabelul 3.7

Valorile constantelor C1 şi m din relaţia 3.98

ST/D 1.25 1.5 2.0 3.0 SL/D C1 m C1 m C1 m C1 m Coridor 1,25 0,348 0,592 0,275 0,608 0,100 0,704 0,0633 0,752 1,50 0,367 0,586 0,250 0,620 0,101 0,702 0,0678 0,744 2,00 0,418 0,570 0,299 0,602 0,229 0,632 0,198 0,648 3,00 0,290 0,601 0,357 0,584 0,374 0,581 0,286 0,608 Alternat 0,600 – – – – – – 0,213 0,636 0,900 – – – – 0,446 0,571 0,401 0,581 1,000 – – 0,497 0,558 – – – – 1,125 – – – – 0,478 0,565 0,518 0,560 1,250 0,518 0,556 0,505 0,554 0,519 0,556 0,522 0,562 1,500 0,451 0,568 0,460 0,562 0,452 0,568 0,488 0,568 2,000 0,404 0,572 0,416 0,568 0,482 0,556 0,449 0,570 3,000 0,310 0,592 0,356 0,580 0,440 0,562 0,428 0,574

La aşezarea ţevilor în coridor viteza maximǎ se obţine în secţiunea A1 (figura 3.16a) şi va fi:

DS

SwwT

T

−=max . (3.100)

În cazul aşezării alternative secţiunea minimǎ de curgere este A1 sau A2 (figura 3.16b). Se considerǎ viteza maximǎ în secţiunea A2 dacǎ:


22

2/122 DSSSS TTLD

+<

+= . (3.101)

Atunci:

( ) wDS

SwD

T

−=

2max . (3.102)

Relaţia 3.98 este valabilǎ de la rândul 10 de ţevi din fascicul. Pentru ţevile din primele 9 rânduri se introduce un coeficient de corecţie C2:

Nu ( )10<LN =C2 Nu ( )10≥LN (3.103) Valorile lui C2 sunt prezentate în tabelul 3.8.

Tabelul 3.8 Factorul de corecţie C2 din relaţia 3.103

NL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Aliniate 0,64 0,80 0,87 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 0,99 Alternate 0,68 0,75 0,83 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 Jukauskas [24] propune pentru calculul coeficientului de convecţie după al 20 rând relaţia: Nu ( ) ( ) 25,036,0

max20 Pr/PrPrRe pffm

fNf CL

=≥ (3.104) Valorile constantei C şi exponentului m sunt prezentate în tabelul 3.9.

Tabelul 3.9 Constantele C şi m din relaţia 3.104

Configuraţia ReD,max C m Coridor 10 – 102 0,80 0,40 Alternat 10 – 102 0,90 0,40 Coridor 102 – 103 Alternat 102 – 103 Ca la cilindri izolaţi

Coridor 103 – 2 × 105 0,27 0,63 (ST/SL > 0,7)a Alternat 103 – 2 × 105 0,35(ST/SL)1/5 0,60 (ST/SL < 2) Alternat 103 – 2 × 105 0,40 0,60 (ST/SL > 2) Alternat 2 × 105 – 2 × 106 0,021 0,84 Coridor 2 × 105 – 2 × 106 0,022 0,84 aPentru ST/SL > 0,7 transfer ineficient nu se recomandǎ aşezarea în coridor


În mod analog cu relaţia lui Grimison, pentru primele 19 rânduri de ţevi din fascicul se introduce corecţia C2, prezentatǎ în tabelul 3.10.

Tabelul 3.10 Valorile constantei C2

NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16 Aliniate 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 Alternate 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 Miheev [33] propune o serie de relaţii valabile pentru ţevile de la rândul 3 din fascicul:

• Aşezarea în coridor: Nuf = ( ) 25,036,05,0

max Pr/PrPrRe56,0 pfff , (3.105) – pentru Refmax < 103; Nuf = ( ) 25,036,065,0

max Pr/PrPrRe22,0 pfff , (3.106) – pentru Refmax > 103; • Aşezarea alternatǎ: Nuf = ( ) 25,036,05,0

max Pr/PrPrRe5,0 pfff , (3.107) – pentru Refmax < 103; Nuf = ( ) 25,036,06,0

max Pr/PrPrRe40,0 pfff , (3.108) – pentru Refmax > 103.

Factorii de corecţie C2 pentru primul rând de ţevi este C2 = 0,6, iar pentru cele de al doilea rând C2 = 0,9 la aşezarea în coridor şi C2 = 0,7 la aşezarea alternatǎ. Valoarea medie pe fascicul a lui α se determinǎ ca o medie ponderatǎ:

m

mmfasc FFF

FFF+++

α++α+α=α

.........

21

2211 , (3.109)

unde: mααα ..., 21 sunt valorile lui α pentru rândurile 1, 2 ...m: F1, F2, ... Fm – suprafeţele ţevilor din rândurile 1, 2....m.


3.4. Convecţia forţatǎ monofazicǎ la curgerea prin canale

3.4.1. Curgerea prin canale circulare

La curgerea prin canale pot apare trei regimuri de curgere: – regimul laminar: pentru Re ≤ 2300; – regimul intermediar: pentru 2300 Re < 104; – regimul turbulent: pentru Re > 104

3.4.1.1. Transferul de cǎldurǎ la curgerea laminarǎ

• Hidrodinamica curgerii La intrarea fluidului cu viteza w într-un canal circular cu raza r0 şi diametrul d, fluidul este frânat datoritǎ frecării cu peretele. Datoritǎ forţelor de viscozitate care apar pe perete se formează un strat limitǎ (figura 3.18).

Fig. 3.18 Structura curgerii laminare în canale circulare

La curgerea laminarǎ grosimea acestui strat creşte în lungul canalului până când în acesta se stabilizează acelaşi regim de curgere în toatǎ secţiunea. Aceastǎ lungime poartǎ denumirea de lungime de stabilizare hidraulicǎ lsh şi pentru curgerea laminarǎ are valoarea: dl fsh Re05,0≈ [m] (3.110) La curgerea laminarǎ stabilizatǎ ecuaţia profilului vitezei este: ( )2

02

0 /1 ryww −= [m/s] , (3.111) unde w0 este viteza în axul canalului. Viteza medie de curgere prin canal va fi:


∫ ===f

wf

Vwdff

w 05,01 , [m/s] (3.112)

unde: f este secţiunea transversală a canalului în m2; V – debitul volumic, în m3/s.

• Transferul de căldură Analog ca în cazul hidrodinamicii curgerii la intrarea în canal există o zonă de intrare în care stratul limită termic nu cuprinde toată secţiunea canalului (figura 3.19). Lungimea de stabilizare termică lst se determină cu relaţia: ffst dl PrRe05,0≈ . (3.113)

Fig. 3.19 Variaţia stratului limită termic la curgerea laminară printr-un canal circular

Rezultă că dacă Prf > 0 lungimea de stabilizare termică este mai mare decât cea hidraulică. Pentru unele fluide, cum ar fi uleiurile la care Prf ≥50, lungimea de stabilizare termică la curgerea laminară poate depăşi 5000 de diametre. Pentru gaze la care Pr = 0,6...0,8 diferenţa între cel două lungimi de stabilizare nu este mare, în schimb pentru metalele lichide (Pr < 0,02) lungimea de stabilizare termică este foarte mică. Există numeroase analize analitice a transferului de căldură la curgerea laminară stabilizată, care pornesc de la ecuaţiile diferenţiale ale convecţiei şi utilizează două tipuri de condiţii la limită: temperatura peretelui constantă în lungul canalului (Tp = ct) sau fluxul termic unitar de suprafaţă constant (qsp = ct). Problema este tratată de asemenea, în două ipoteze:


a) în zona încălzită a canalului hidrodinamica curgerii este stabilizată, existând numai stabilizarea termică (ipoteză valabilă dacă există o zonă neîncălzită la intrarea în canal în care se stabilizează curgerea sau în cazul valorilor mari ale lui Pr (Pr ≥ 100);

b) în canal se suprapune stabilizarea hidraulică cu cea termică (stabilizare combinată).

În figura 3.20 se prezintă rezultatele obţinute de Kays [ ] în ambele ipoteze şi cu ambele tipuri de condiţii la limită.

Fig. 3.20 Variaţia criteriului Nussett la curgerea laminară [20]

Variaţia lui Nu este prezentată în funcţie de inversul numărului Graetz:

dx

Gz/PrRe⋅

= . (3.114)

La intrarea în canal (x = 0) numărul Nusselt este în principiu infinit şi scade apoi asimptotic în zona stabilizată hidraulic şi termic el devenind constant, independent de valorile lui Re şi Pr. Se recomandă deci pentru ţevile foarte lungi:


Nu = 3,66 (3.115) pentru Tp = ct Nu = 4,36 (3.16) pentru qsp = ct Pentru ţevile scurte sau foarte scurte cele mai des recomandate relaţii sunt prezentate în tabelul 3.11.[20,21,33,34]

Tabelul 3.11 Relaţii pentru convecţia monofazică

în regim laminar, prin ţevi

Relaţia

Condiţii de valabilitate

Autorul

Nuf= 3 33 /PrRe61,166,3 ldff+ 0,1<RePrd/l<104 Schliinder

Nuf= 3/2Pr]Re)/[(04,01PrRe)/(0668,0

66,3f

ff

ldld

++ 0,1<RePrd/l<104 Hansen

Nuf=14,03/1

/PrRe

86,1

η

η

p

fff

dl

100<Re<2100 l/d<0,1RePr 0,48<Pr<100

Sieder–Tate

Nuf= ( ) ( )25,0

33,04,0 Pr/PrPr/Re4,1 pfff ld

l/d>10

15Pr/Re 6/5 >ffld Miheev

Nuf= ldfff

/PrRePr1664,0

6 l/d<10 Pohlhausen

Nuf= ( ) ( ) lpflPed ε⋅ηη 14,03/1 //55,1

+

=ε

−

ld

dl

l Re15,21

Re11,0

7,1

1,0Re1

<dl Petuhov


3.4.1.2. Transferul de căldură la curgerea turbulentă În cazul curgerii turbulente la intrarea în canal se formează pe o porţiune un strat limită hidraulic laminar, care la o anumită lungime de la intrare se transformă într-un strat limită turbulent, la contactul cu peretele rămânând un microstrat laminar (figura 3.21).

Fig. 3.21 Hidrodinamica curgerii şi variaţia coeficientului de convecţie la curgerea turbulentă printr-un canal circular

Coeficientul de convecţie scade în zona stratului limită laminar, pe măsura creşterii grosimii acestuia, urmează apoi o creştere a lui α la începutul formării stratului limită turbulent. După o uşoară scădere în zona de stabilizare termică, valoarea coeficientului de convecţie se stabilizează.

Fig. 3.22 Profilul vitezei (a) şi valoarea vitezei medii la curgerea turbulentă


Profilul vitezei la curgerea turbulentă (figura 3.22a) poate fi aproximat cu o lege logaritmică, fiind mult mai aplatisat ca la curgerea laminară. Viteza medie va fi în consecinţă mai apropiată de viteza maximă în centrul canalului (figura 3.22b), fiind de obicei în intervalul

( ) 09,0...8,0 ww = . Primele studii ale transferului de căldură turbulent prin canale au fost făcute de Nusselt, utilizând pentru prima dată teoria similitudinii şi stabilind forma ecuaţiei criteriale care este de forma: Nu = C Rea Prb εl εt , (3.117) unde εl şi εt sunt corecţii pentru lungimea de stabilizare şi variaţia proprietăţilor fizice ale fluidului în stratul limită. Valorile corecţiei pentru stabilizarea curgerii sunt prezentate în tabelul 3.12 [33] sau se poate calcul cu relaţia [20]:

dll /

21+=ε , (3.118)

sau

3/2

1

+=ε

ld

l (3.119)

Tabelul 3.12

Valorile corecţiei εl = f (l/d,Re) pentru curgerea tubulară

l/d Ref 1 2 5 10 15 20 30 40 50 1·104 1,65 1,50 1,34 1,23 1,17 1,13 1,07 1,03 1 2·104 1,51 1,40 1,27 1,18 1,13 1,10 1,05 1,02 1 5·104 1,34 1,27 1,18 1,13 1,10 1,08 1,04 1,02 1 1·105 1,28 1,22 1,15 1,10 1,08 1,06 1,03 1,02 1 1·106 1,14 1,11 1,08 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1 Corecţia εt se poate calcula pentru lichide cu relaţiile:

25,0

PrPr

=ε

p

ft , (3.120)

sau


14,0

η

η=ε

p

ft (3.121)

Pentru gaze corecţia εt se poate calcula cu relaţia [22 ]:

55.0

=

p

ft T

Tε , pentru 1<Tp/Tf<3,5

−=

f

pt T

T27,027,1ε pentru0,5< Tp/Tf<1 (3.122)

unde: Tf şi Tp sunt temperaturile absolute ale fluidului şi peretelui, în K. În tabelul 3.13 sunt prezentate principalele relaţii recomandate pentru curgerea turbulentă de diverşi autori, ele dând rezultate apropiate. În toate aceste relaţii lungimea caracteristică este diametrul interior al ţevii sau diametrul hidraulic în cazul canalelor cu secţiune necirculară:

pfdh

4= , (3.123)

unde f este secţiunea de curgere a canalului, în m2; p – perimetrul canalului udat de fluid, în m.

Tabelul 3.13 Relaţii pentru calculul coeficientului de convecţie la curgerea turbulentă prin canale [20,22,30,34]

Relaţia Condiţii de valabilitate Autorul

1 2 3

Nuf = 0,023Re0,8Pr1/3 Ref >104; 0,7<Prf <160 l/d > 60

Colburn

Nuf = nff PrRe023,0 8,0

n = 0,4 (încălzire); n = 0,3 (răcire)

Ref >104; 0,7 < Prf ≤ 120 l/d ≥ 60

Dittus–Boelter

Nuf = 25,0

43,08,0

PrPr

PrRe021,0

p

fff

104 < Ref < 5·106 0,6 < Pr < 2000 l/d > 50

Miheev



1 2 3

Nuf = 14,0

3/18,0 PrRe027,0

η

η

p

f Ref >104; 0,7 < Prf < 16700 l/d > 10

Sieder–Tate

Nuf = ( )( ) t

f

ff

ff

ε−+ 1Pr8/7,1207,1

PrRe8/3/2

f – coeficientul de frecare f = 1/(1,82 lg Ref – 1,64)2 sau f =1/(0,790 ln Ref – 1,64) 2 εt = (ηf /ηp)n; n = 0,11 (încălzire)

n = 0,25 (răcire)

104 < Ref < 5·106 0,5 < Prf < 2000 l/d > 50

Petuhov

Nuf = ( ) ( )

( ) ( ) tf

ff

ff

ε−+

−

1Pr8/7,121

Pr1000Re8/3/22/1

2300 < Ref < 5·106 0,5 < Prf < 2000

Gnielinski

Nuf = ( )

+−

3/24,08,0 1Pr100Re0214,0

ld

ff

0,6 < Pr < 1,5

Nuf = ( )

+−

3/24,087,0 1Pr280Re012,0

ld

ff

1,5 < Prf < 500

2300 < Ref < 5·106 Gnielinski (simplificată)

Nuf = 4,82+0,0185Pe0,827

Re >104 qs = const. 0,003 < Prf < 0,05 (metale lichide)

Skupinski

În cazul regimului intermediar de curgere (2300 < Re < 104) pot fi utilizate relaţiile lui Gnieliuski din tabelul 3.13 sau relaţiile:

• Relaţia lui Miheev [33]:

Nuf = 25,0

43,00 Pr

PrPr

p

ffK , (3.124)

unde:


K0 = f (Re) valorile fiind prezentate în tabelul 3.14

Tabelul 3.14 Valorile lui K0 din relaţia 3.124

Re·10-3 2,2 2,3 2,5 3,0 3,5 4 5 6 7 8 9 10 K0 2,2 3,6 4,9 7,5 10 12,2 16,5 20 24 27 30 33

• Relaţia lui Hausen [20]:

Nuf = ( )

+

η

η−

3/214,0

3/13/2 1Pr125Re116,0ld

p

fff (3.125)

În cazul transferului de căldură prin ţevi curbe (figura 3.23), schimbarea direcţiei de curgere în coturi, curbe, serpentine măreşte coeficientul de convecţie α, în comparaţie cu ţevile drepte. Datorită mişcării centrifuge, fluidul este presat către peretele exterior, apărând şi o circulaţie secundară în secţiunea transversală, fluidul căpătând o mişcare elicoidală (figura 3.23a). Pentru ţevile în serpentină cu diametrul interior d şi raza de curbură R, se definesc două numere Reynolds limită:

28,0

218500Re";4,16Re'

==

Rd

dR . (3.126)

Aceste numere limită delimitează 3 domenii: • Ref < Re’ (regiunea 1): curgerea este laminară fără circulaţie

secundară, pentru determinarea lui α se utilizează relaţiile pentru ţevi drepte.

• Re’ < Ref < Re” (regiunea 2): curgerea este laminară cu circulaţie secundară, pentru determinarea lui α se poate utiliza relaţia lui Petuhov pentru curgerea turbulentă prin ţevi drepte (tabelul 3.13).

• Ref > Re” (regiunea 3): curgerea este turbulentă cu circulaţie secundară, pentru determinarea lui α utilzându-se relaţiile pentru curgerea turbulentă (tabelul 3.13) multiplicate cu corecţia εr:


Rd

r 8,11+=ε . (3.127)

Fig.3.23 Transferul de căldură convectiv prin ţevi curbe a) curgerea fluidului printr-un cot; b) domeniile de curgere

3.4.2. Curgerea prin canale necirculare

Cu o aproximaţie acceptabilă în cazul canalelor necirculare se pot utiliza relaţiile prezentate anterior pentru canalele circulare, lungimea caracteristică fiind diametrul hidraulic (relaţia 3.123). Pentru câteva tipuri de canale mai des întâlnite în aparatele de transfer de căldură studiile diferiţilor cercetători au propus şi relaţiile speciale.

3.4.2.1. Canale inelare La aceste canale caracterizate de diametrele de şi di (figura 3.24), diametrul hidraulic are valoarea:

( )( ) ie

ie

ieh dd

dddd

pfd −=

+π−π

==224 (3.128)

p

1

2

3

A–A

A

A

R

Re’

Re”

log Re1

log (d/R)

a) b)


Fig. 3.24 Secţiune printr-un canal inelar În cazul regimului laminar de curgere, în ipoteza temperaturii constante a peretelui se poate utiliza relaţia lui Stephan [20]:

Nuf = Nu∞ + ( )[ ] ( )( ) 467,0

8,05,0

/PrRe117,01/PrRe19,0

/14,01ld

ldddh

hei +

+ − , (3.129)

unde: l este lungimea canalului; Nu∞ – este valoarea Nusselt când lungimea canalului este foarte mare (curgere complet stabilizată): Nu∞ = 3,66 + 1,2 (di / de)–0,8 . (3.130) Relaţia este valabilă pentru, Ref < 2300; 0,1 < Prf < 103; 0 < di/de < 1. În cazul curgerii turbulente Isacenko recomandă relaţia[21]: Nuf = ( ) ( ) 18,025,04,08,0 /Pr/PrPrRe017,0 iepfff dd . (3.131) Keys [20] recomandă pentru regimul turbulent utilizarea relaţiilor pentru ţevi drepte, introducându-se corecţia:

de

di


( ) 16,0/86,0 −=ε eic dd . (3.132) 3.4.2.2. Canale rectangulare În cazul canalelor cu secţiunea dreptunghiulară (figura 3.25) diametrul hidraulic este:

( ) baa

baabdh /1

22

4+

=+

= . (3.133)

În cazul în care lăţimea canalului este mult mai mare ca înălţimea sa (b>>a) se poate utiliza: dh = 2a.

Fig. 3.25 Secţiune printr-un canal rectangular În cazul regimului laminar stabilizat prin astfel de canale, valoarea criteriului Nu şi a coeficientului de frecare sunt prezentate în tabelul 3.15.[20]

Tabelul 5.15 Valorile lui Nu şi f pentru curgerea

laminară complet stabilizată

NuD khDh≡

Secţiunea de trecere

ab ( "

sq uniform) (Ts uniform) hDf Re

1 2 3 4 5 – 4,36 3,66 64

1,0 3,61 2,98 57

1,43 3,73 3,08 59

a

b

a

b

a

b



1 2 3 4 5

2,0 4,12 3,39 62

3,0 4,79 3,96 69

4,0 5,33 4,44 73

8,0 6,49 5,60 82

∞ 8,23 7,54 96

– 3,11 2,47 53

Pentru regimul turbulent se pot utiliza relaţiile pentru ţevile circulare (tabelul 3.13), lungimea caracteristică fiind în locul diametrului interior al ţevii, diametrul hidraulic.

3.4.2.3. Canale ondulate În cazul schimbătoarelor de căldură cu plăci, canalele prin care se realizează curgerea au o formă ondulată (figura 3.26). Principalii parametri geometricei sunt: – unghiul de ondulare α, format de direcţia principală de curgere cu direcţia pliurilor plăcii. Se disting geometri de ondulare perpendiculare pe direcţia de curgere: α = 90° (figura 3.26a) sau geometri de ondulare înclinate: α < 90° (figura 3.26b); – pasul ondulării p: distanţa între două ondulări; – înălţimea canalului H0; – înălţimea ondulărilor e (figura 3.26c)

a

b

a

b

a

b

a b


– diametrul hidraulic dh ≈ 2H0.

Fig. 3.26 Geometria canalelor ondulate: a) ondulare perpendiculară; b) ondulare

înclinată; c) parametri geometrici ai canalului

În figura 3.27 se prezintă diferitele structuri ale curgerii, într-un canal cu ondulare perpendiculară, în funcţie de valoarea numărului Reynolds. Re Configuraţia curgerii Caracteristicile curgerii

< 100

Curgere laminară uniformă

100 ↓

200

CCurgere divizată în două zone: • curgere predominant laminară în

centru • recirculare dinamică şi stabilă în

cavităţi

200 ↓

350

CCurgere divizată în două zone: • curgere predominant laminară în

centru • curgere turbulentă instabilă în

cavităţi

e

p

H0

p

β

β=90

p L

l

β

β=60

a) b)

c)


200 ↓

2000 CCurgere turbulentă instabilă în tot canalul

>2000

CCurgere turbulentă divizată în două zone: • curgere predominant turbulentă în

centru • zone cu viteze relative reduse la

periferie

Fig. 3.27 Regimuri de curgere într-un canal ondulat cu unghiul de ondulare α=90° [46]

Pentru calculul coeficientului de convecţie se recomandă relaţia [46]: Nuf = ( ) 13,033,0 Pr/PrPrRe pff

bfa . (3.134)

Valorile constantelor a şi b, în funcţie de unghiul de ondulare α sunt prezentate în tabelul 3.16 [46].

Tabelul 3.16 Valorile constantelor a şi b din relaţia 1.134

Geometrie a b Domeniul de

valabilitate α = 15° 0,102 0,685 40 < Re < 12600 α = 30° 0,212 0,638 45 < Re < 14600 α = 45° 0,289 0,653 45 < Re < 14600 α = 60° 0,287 0,705 45 < Re < 13200 α = 75° 0,282 0,698 45 < Re < 12500


3.5. Transferul de căldură la fierbere

3.5.1. Clasificarea proceselor de fierbere

Fierberea este procesul de transformare a lichidului aflat la temperatura de saturaţie în vapori. Fierberea este un proces izobar şi izoterm. Pentru un fluid dat fierberea poate avea loc între coordonatele punctului triplu şi cele ale punctului critic (figura 3.26)

Fig. 3.28 Punctul triplu şi critic Fierberea, în funcţie de locul de amorsare a procesului poate fi: fierbere de suprafaţă sau fierbere în volum (globală). Fierberea de suprafaţă este procesul în care formarea vaporilor se face la o suprafaţă solidă încălzită cu care lichidul vine în contact. Fierberea în volum se realizează în toată masa de lichid, de obicei prin expandarea (micşorarea presiunii) acestuia. În prezenta lucrare vom discuta numai despre fierberea de suprafaţă. În funcţie de deplasarea sau absenţa curgerii fluidului fierberea poate fi: fierbere în volum mare (cu convecţie liberă) sau fierbere cu convecţie forţată. Fierberea în volum mare se produce pe suprafeţe încălzire care vin în contact cu un lichid staţionar. Fierberea cu convecţie forţată apare într-un canal încălzit prin care lichidul, apoi amestecul bifazic curg. În funcţie de mecanismul procesului de fierbere se disting: fierberea nucleică şi fierberea peliculară. În cazul fierberii nucleice pe suprafaţa de schimb de căldură se formează bule de vapor care cresc, se

LICHID

T

P

Ts

Ps fierbere VAPORI SOLID

Punctul triplu

Punctul critic

T

C


desprind de suprafaţă şi se deplasează în masa de fluid, transferul de căldură fiind foarte intens. La fierberea peliculară pe suprafaţa de transfer de căldură se formează o peliculă de vapori. În funcţie de temperatura în stratul limită fierberea poate fi: la saturaţie sau subrăcită. În primul caz (figura 3.29a) întregul volum de lichid se află la temperatura de saturaţie, în cel de al doilea caz (figura 3.29b), fierberea se produce numai în stratul limită de lângă perete, unde temperatura depăşeşte temperatura de saturaţie, în restul lichidului temperatura fiind inferioară celei de saturaţie.

Fig. 3.29 Fierberea la saturaţie (a) şi fierberea subrăcire (b)

Fierberea la saturaţie şi la subrăcire pot fi de tip nucleic sau pelicular.

3.5.2. Fierberea în volum mare

3.5.2.1. Condiţiile amorsării nucleaţiei Pentru amorsarea fierberii trebuie să se îndeplinească două condiţii: – încălzirea fluidului peste temperatura de saturaţie Ts; – existenţa centrelor de nucleaţie. Pentru apariţia fierberii, experimentele au arătat că temperatura lichidului la perete trebuie să depăşească temperatura de saturaţie corespunzătoare presiunii respective. Diferenţa de temperatură spe TTT −=∆ (Tp, Ts sunt temperatura peretelui, respectiv de saturaţie), necesară pentru formarea primelor bule de vapori pe suprafaţa de schimb de căldură (declanşării nucleaţiei) este funcţie de proprietăţile fizice ale fluidului, de

Strat limită de lichid supraîncălzit

Strat limită de lichid supraîncălzit

T

Tf

Tf T

T T

T T

y y

qs qs

a) b)


puritatea sa, prezenţa gazelor dizolvate în lichid, rugozitatea suprafeţei de schimb de căldură. Experimentele au evidenţiat că la fierberea apei această diferenţă este °≈∆ 5eT C. Dacă însă suprafaţa de schimb de căldură este foarte fin prelucrată, lichidul este pur şi degazat această diferenţă poate atinge zeci de grade. Până la urmă însă procesul de fierbere se produce însă la un moment dat, având un caracter exploziv, căldura de supraîncălzire a fluidului producând schimbare de fază şi temperatura lichidului scăzând brusc până la Ts. Existenţa centrelor de nucleaţie (neregularităţi pe suprafaţa de schimb de căldură, gaze dizolvate în lichid, impurităţi) favorizează formarea bulelor de vapori în jurul acestora. Buclele formate cresc în diametru şi la un moment dat se desprind de la suprafaţa de schimb de căldură. După desprindere la început diametrul lor continuă să crească. Aceasta se explică prin faptul observat experimental (figura 3.30) că temperatura în volumul de fluid depăşeşte uşor temperatura de saturaţie. Astfel la fierberea apei la presiunea atmosferică, supraîncălzirea este de 0,2÷0,5°C. Pe măsura creşterii lui ∆Te intensitatea generaţiei de bule creşte, transferul de căldură devenind tot mai intens

Fig. 3.30 Variaţia temperaturii în volum de apă la fierbere (Tp = 109,1°C, ps = 1 bar,

qs = 22500 W/m2)[33]

109

108

107

106

105

104

103

102

101

100

0 1 2 3 4 5 6 7 cm 8 Distanţa de suprafaţă

Tem

pera

tura

Suprafaţa apei Apa

Abur

°C

100,4 100°


3.5.2.2. Regimurile fierberii Evidenţierea regimurilor care apar la transferul de căldură în volum mare a fost făcută pentru prima dată de Nukiyama în 1934, printr-un experiment în care a studiat fierberea apei în jurul unei sârme de nichel–crom şi ulterior de platină, la presiunea atmosferică. Instalaţia (figura 3.31) constă dintr-un vas în care o sârmă încălzită electric a fost imersată în masa de apă. Prin mărirea intensităţii curentului electric I la o tensiune E dată s-a realizat mărirea fluxului termic.

Fig. 3.31 Instalaţia experimentală a lui Nukiyama

Prin măsurarea diferenţei de temperatură între temperatura peretelui şi temperatura de saturaţie: see TTT −=∆ , s-a trasat curba de variaţie

( )es Tfq ∆= , care evidenţiază 4 regimuri de transfer de căldură (figura 3.32). Zona 1 Convecţia naturală monofazică apare în porţiunea

eAe TT ∆<∆ . În această zonă nu apare încă fierberea. Transferul de căldură se realizează prin convecţie naturală, coeficientul de convecţie fiind proporţional cu ∆Te la puterile 1/4 sau 1/3, deci fluxul termic unitar va fi proporţional cu ∆Te la puterile 5/4 sau 4/3. Zona 2 Fierberea nucleică În punctul A excesul de temperatură este suficient de mare ca să permită nucleaţia bulelor de vapori în zonele adiacente suprafeţei încălzite. În prima parte a zonei (A–B) deoarece temperatura nu a atins temperatura de

Vapori, 1atm

Apă, Tsat Fir, qs, ∆Te=Tp–Tsat

I E


saturaţie în toată masa de lichid bulele desprinse de pe suprafaţa de schimb de căldură, condensează cedând căldura latentă fluidului care se încălzeşte. Această subzonă caracterizată de Tp > Ts > Tf este zona fierberii nucleice subrăcite (nedezvoltate). După punctul B temperatura de saturaţie s-a atins în toată masa de fluid, astfel că bulele nu mai condensează şi sub formă de jeturi sau coloane de bule străbat masa de lichid şi ies prin suprafaţa sa liberă. Este zona fierberii nucleice la saturaţie (dezvoltată). Pe măsura creşterii lui ∆Te densitatea de bule pe suprafaţa de schimb de căldură, crescând coeficientul de convecţie, ceea ce permite realizarea unor fluxuri termice unitare de suprafaţă mari la diferenţe de temperatură moderată, de ordinul zecilor de grade.

Fig. 3.32 Regimurile fierberii pentru apă la presiunea atmosferică

107

106

105

104

103 1000 120 30 10 5 1

∆Te =Ts – Tsat (°C)

q s (W

/m2 )

Punctul Leidenfrost qcr2

Fluxul critic

A

B

C

D

E

F

G qcr2

qcr1

∆Te,A ∆Te,B ∆Te,C ∆Te,D

Convecţie naturală

Fierbere nucleică

Fierbere tranzitare

Fierbere peliculară

nedezvoltată dezvoltată


În punctul C la atingerea fluxului critic qcr se produce criza de ordinul I a transferului de căldură la fierbere, datorită trecerii de la fierberea nucleică la fierberea peliculară. După atingerea punctului C parcurgerea curbei fierberii depinde de modul de încălzire a suprafeţei de schimb de căldură. Dacă încălzirea se face la flux termic constant ca în cazul încălzirii electrice sau a elementelor combustibile a reactoarelor nucleare, în momentul apariţiei unor zone de fierbere peliculară, în acele porţiuni creşterea temperaturii este explozivă, trecerea făcându-se pe direcţia CE şi este însoţită de obicei de arderea suprafeţei de schimb de căldură. Spre exemplu dacă presupunem qcr1 = 1,2·106 W/m2, ∆Tcr = 30°C şi

40000. =α nuclf W/(m2·K), în momentul trecerii la fierberea peliculară, peretele venind în contact cu un gaz, coeficientul de convecţie scade brusc la circa 600. ≈α pelicf W/( m2·K), rezultă la acelaşi flux termic ∆Te = 2000°C. Fenomenul care s-a observat şi în cazul experimentului lui Nukiyama prin arderea sârmei de nichel–crom, a fost numit iniţial burnout (arderea în limba engleză). Criza transferului de căldură la fierbere este un fenomen extrem de periculos în special pentru reactorii nucleari, caracterizaţi de fluxuri termice mari. Din aceste motive el trebuie evitat absolut în instalaţiile energetice, putând conduce la accidente extrem de grave. În cazul încălzirii suprafeţei de schimb de căldură cu abur care condensează, păstrându-se constantă astfel temperatura peretelui şi în consecinţă a lui ∆Te, curba fierberii poate fi urmărită pe calea CDE. Zona 3 Fierberea tranzitorie Regiunea corespunzând DeeCe TTT ,, ∆≤∆≤∆ poartă denumirea de fierbere tranzitorie, fierbere peliculară instabilă sau fierbere peliculară parţială. În aceste condiţii, bulele de vapori se produc cu o frecvenţă mărită, iar densitatea centrelor de nucleaţie devine atât de mare încât practic suprafaţa de schimb de căldură se acoperă cu un film de vapori, care, în mod periodic, se distruge şi apoi se reface, dând procesului un caracter de instabilitate termică şi hidrodinamică. Transferul de căldură se face atât prin fierberea nucleică cât şi prin convecţie prin filmul de vapori cu valori scăzute ale coeficientului de convecţie, ceea ce pentru ∆Te = const., produce o reducere a fluxului qs. Zona 4 Fierberea peliculară Fierberea peliculară stabilă apare după punctul D, caracterizat de qcr2, care poartă denumirea de punctul Leidenfrost. Pe suprafaţa de schimb de căldură se formează un film stabil de vapori transferul de căldură creşte uşor, la temperaturi ridicate şi datorită radiaţiei termice, păstrându-se însă la


valori coborâte. Creşterea fluxului termic se realizează în special datorită creşterii diferenţei de temperatură. Trecerea de la fierberea peliculară la cea nucleică, poartă denumirea de tranziţia Leidenfrost (DG) şi are loc la al doilea flux critic qcr2.

3.5.2.3. Transferul de căldură la fierberea nucleică Procesul fierberii nucleice poate fi împărţit în mai multe stadii. Stadiul iniţial îl constituie formarea primelor bule în centre de nucleaţie de la suprafaţa de schimb de căldură. Dimensiunea minimă a bulelor în momentul formării lor este caracterizată de raza critică (Rk). Cea mai simplă relaţie pentru raza critică, rezultată numai din echilibrul de forţe are forma:

( )spv

sk TTr

TR−ρ

σ=

2 , (3.135)

unde: Tp şi Ts sunt temperaturile peretelui şi de saturaţie; ρv – densitatea vaporilor; r – căldura latentă de vaporizare; σ – tensiunea superficială a lichidului. Rezultă ca raza critică se micşorează o dată cu creşterea diferenţei de temperatură ∆Te şi cu micşorarea tensiunii superficiale. După formarea bulelor în centre de nucleaţie cu R > Rk are loc creşterea bulelor, prin primirea de căldură prin conducţie de la fluidul mai cald din jurul bulei prin suprafaţa laterală a bulei Fb şi prin suprafaţa de sub bulă Fp. Parametrul care determină viteza de creştere a bulelor este criteriul lui Jakob:

r

TcJa ep∆

= ‚ (3.136)

unde cp este caldura specifică a lichidului Criteriul lui Jakob creşte cu mărimea excesului de temperatură ∆Te şi cu micşorarea presiunii. Pentru presiuni mai mari ca presiunea atmosferică ( 20≤Ja ), mărirea razei bulei în timp se face după legea: τβ= aJaR 2 , (3.137) unde: a este difuzivitatea termică a fluidului; τ – timpul de contact a bulei cu peretele. Pentru presiuni coborâte legea de variaţie este: τγ= aJaR 2 . (3.138)


Parametri γ şi β depind de gradul de udare a peretelui de către lichid, având valori: 49,01,0 ÷=γ ; β = 6. Bula formată creşte până la un diametru d0, la care ea se desprinde (figura 3.33). Diametrul critic d0 se determină din echilibrul de forţe care acţionează asupra bulei (forţa de adeziune, forţa arhimedică şi forţa de greutate). El se poate calcula cu relaţia: ( )vlgd ρ−ρσθ= /0208,00 , (3.139 unde θ este unghiul de udare la fierbere.

Fig. 3.33 Schema simplificată de creştere a bulei Procesele de formare, creştere, desprindere şi deplasare a bulei influenţează transferul de căldură prin intermediul a trei procese principale:

− conducţie termică prin suprafaţa laterală a bulei de la lichidul supraîncălzit;

− evaporarea la suprafaţa microstratului de sub bulă; − convecţia liberă pe suprafeţele neacoperite de bule de vapori. Intensitatea transferului de căldură la fierberea nucleică este cu unul

sau chiar două ordine de mărime mai mare ca la convecţia monofazică, aceasta putându-se explica prin trei mecanisme (figura 3.34):

20d

Rk

θ


− agitaţia impus de bule (figura 3.34a) − schimbul vapori-lichid (figura 3.34b) − evaporarea microstratului de sub bulă (figura 3.34c).

Primul mecanism consideră intensificarea transferului de căldură pe seama agitaţiei induse de bulele de vapori. Al doilea mecanism este caracterizat de efectul de pompaj, care ridică prin creşterea şi desprinderea bulelor stratul de lichid fierbinte de lângă perete, permiţând ocuparea locului rămas cu lichid mai rece. Al treilea mecanism atribuie creşterea transferului termic pe seama procesului de evaporare a microstratului de lichid de sub fiecare bulă.

Fig. 3.34 Mecanisme ale fierberii nucleice

Una dintre primele relaţii pentru calculul coeficientului de convecţie la fierberea nucleică în volum mare a fost propusă de Rohsenow [37]:

( ) ( ) 3

,Pr

−−=

fsnl

spplvlls Cr

TTCgrqσ

ρρη (3.140)

Lichid fierbinte

Lichid rece

Lichid supraîncălzit

Microstrat de lichid

Condensare

Evaporare

a)

b)

c)


Indicii l şi v indică faptul că mărimile fizice respective se referă la lichid sau vapori. Coeficienţii Cs,f şi n sunt funcţie de combinaţiile fluid- perete. În tabelul 3.17 sunt prezentate valorile pentru o serie de combinaţii

Tabelul 3.17

Valorile coeficienţilor Cs,f şi n pentru combinaţii fluid−perete

Combinaţie fluid−perete Cs,f n

1 2 3 Apă − cupru rugos 0,0068 1,0 Apă – cupru lucios 0,0130 1,0 Apă – oţel inoxidabil 0,0130 1,0 Apă – nichel 0,0060 1,0 Apă – alamă 0,0060 1,0 Apă – platină 0,0130 1,0 n –Penton – cupru 0,0154 1,7 Benzen – crom 0,1010 1,7 Alcool etilic – crom 0,0027 1,7 Relaţii care dau o bună concordanţă cu materialul experimental sunt cele propuse de Labunţov [21]: Nu* = 3/165,0

* PrRe125,0 , dacă Re* ≥ 0,01; (3.141) Nu* = 3/15,0

* PrRe0625,0 , dacă Re* < 0,01 , (3,142) unde:

lv

s

rlqνρ

= **Re ; Nu* =

l

lλα * ;

( )2*;Prv

slpl

l

l

rTc

la ρ

σρν==

Formulele lui Labunţov sunt valabile pentru 0,86≤Pr≤7,6; 105≤Re*≤ 104; p = 0,045...175 bar. Pentru apă, în tabelul 3.18 sunt date valorile l*, l*/ ),( lvr νρ şi

),/( lvl r νρλ .


Tabelul 3.18 Valorile mărimilor l*, l*/ ),( lvr νρ şi ),/( lvl r νρλ

din formulele (3.141) – (3.142) pentru apă

ts °C

l*106 m

6* 10lvr

lνρ

m2/W

210lv

l

r νρλ

l/°C

ts °C

l*106 m

6* 10lvr

lνρ

m2/W

210lv

l

r νρλ

l/°C 1 2 3 4 5 6 7 8

30 16450 276870 1040 200 0,296 0,123 27,5 40 5950 73345 782 210 0,200 0,0718 23,5 50 2305 20894 587 220 0,136 0,0426 20,2 60 960 6543 450 230 0,0938 0,0254 17,3 70 423 2201 347 240 0,0646 0,0155 15,1 80 197 798 273 250 0,0451 0,00989 13.6 90 96 304 216 260 0,0318 0,00593 11,4 100 48,7 122,4 172 270 0,0224 0,00373 9,80 110 25,9 51,8 138 280 0,0158 0,00243 8,80 120 14,2 22,8 110 290 0,0114 0,00153 7,47 130 8,05 10,7 96 300 0,0080 0,000911 6,16 140 4,70 5,13 75 310 0,00565 0,000609 5,64 150 2,82 2,58 60,5 320 0,00398 0,000388 4,93 160 1,73 1,33 52,6 330 0,00278 0,000249 4,34 170 1,08 0,710 44,5 340 0,00192 0,000158 3,77 180 0,715 0,396 37,5 350 0,00126 0,0000989 3,36 190 0,450 0,216 32,2 Pentru fierberea nucleică dezvoltată o relaţie răspândită este şi cea a lui Kutadeladze: ( ) 33,354,02,22 sps TTpq −= , (3.143) unde p este presiunea în bar. Fluxul critic a fost mult studiat, existând numeroase relaţii de calcul, unele contradictorii. Una dintre relaţiile cele mai răspândite este cea obţinută de Kutadeladze prin analiză dimensională şi Zuber prin analiza stabilităţii hidrodinamice:

( ) 4/1

21 149,0

ρ

ρ−ρσρ=

v

vvcr

lg

rq . (3.144)


Pentru mai multe detalii privind fluxul critic se pot consulta lucrările lui Tong [44] şi Doroşciuk [17]. Fluxul critic al tranziţiei Leidenfrost poate fi calculat cu relaţia propusă de Zuber [20]:

( )

( )

4/1

22 09,0

ρ+ρ

ρ−ρσρ=

vl

vvcr

lg

rq (3.145)

3.5.2.4. Transferul de căldură la

fierberea peliculară În procesul de fierbere peliculară (în film) pe suprafaţa de schimb de căldură se generează un strat de vapori care izolează lichidul de suprafaţa încălzită. Căldura este transferată prin conducţie până la interfaţa lichid–vapori unde se produce evaporarea. Coeficientul de convecţie este influenţat de poziţia suprafeţei (orizontală, verticală), natura fluidului şi excesul de temperatură spe TTT −=∆ . În tabelul 3.19 sunt prezentate câteva relaţii pentru fierberea în film [20,13].

Tabelul 3.19 Relaţii pentru calculul coeficientului de convecţie la fierberea peliculară

Geometria Autor Relaţia

Ţevi orizontale, sfere Bromley

Nu = ( ) 4/13

∆λνρ−ρ

=λα

evv

vl

v TrdgCd

C = 0,62 pentru cilindri C = 0,67 Pentru sfere

Ţevi orizontale Berenson Nu = ( ) ( )

4/13

4,0425,0

∆+

∆ληρ−ρρ

epevv

vlv TcrT

gX

( )vlgX ρ−ρσ= /

Suprafeţe verticale Labunţov Nu = ( ) 3/1

24,0

λη

ρ−ρρ

vv

pvvlv gcH

H – înălţimea peretelui

Ţevi verticale Hsu ( )

3/1

3

26,0Re0114,0

−

λρ−ρρ

η=α

vvlv

v

g

ve

ab

dG

ηπ=

4Re ; Gab – debitul de vapori la partea

superioară a ţevii; de – diametrul exterior


În cazul temperaturilor ridicate ale peretelui (Tp ≥ 300°C) la efectul convecţiei se adaugă şi radiaţia, coeficientul total de convecţie se va calcula cu relaţia αtot = αconv + αrad , (3.146) unde: αconv se va calcula cu una din relaţiile din tabelul 3.19, iar αrad cu relaţia:

( )

sp

sprad TT

TT−

−=

440εσ

α , (3.147)

unde: ε este factorul de emisie al peretelui, 0σ factorul de emisie al corpului negru (vezi capitolul 4): 0σ =5,67 10-8 W/(m2K4).

3.5.3. Fierberea cu convecţie forţată

3.5.3.1. Mărimi caracteristice Curgerea bifazică presupune prezenţa celor două faze: lichid şi vapori, care se deplasează împreună şi interacţionează reciproc, hidrodinamica curgerii şi transferul de căldură fiind legate între ele. Principalele mărimi care caracterizează amestecul bifazic sunt:

• titlul masic care reprezintă raportul între debitul de vapori Dv şi debitul total al amestecului D:

DDx v= . (3.148)

• titlul volumic (coeficientul de goluri) reprezintă raportul între

volumul (suprafaţa din secţiunea canalului) ocupat de vapori şi volumul (suprafaţa totală) a canalului:

SS

VV vv ==β . (3.149)

• densitatea amestecului bifazic, care se poate scrie:

VV

Vm

VV

Vm

Vmm

Vm v

v

vl

l

lvl +=+

==ρ . (3.150)


Dar: VVVVVmVm lvvvvlll /1;/;/;/ =β−=β=ρ=ρ Atunci: ( ) βρ+β−ρ=ρ vl 1 (3.151)

• entalpia amestecului bifazic se determină cu relaţiile:

( )rxixrii vsls −−=+= 1 [kJ/kg], (3.152)

unde: ils, ivs sunt entalpiile lichidului, respectiv al vaporilor la saturaţie; r=ivs–ils – căldura latentă de vaporizare.

• titlul termodinamic se defineşte din ecuaţia entalpiei:

( ) riix lst /−= . (3.153) Pentru i > ils titlul termodinamic are aceleaşi valori ca titlul masic. Spre deosebire de aceasta însă, titlul termodinamic poate avea şi valori negative, care caracterizează fierberea subrăcită.

• alunecarea fazelor este definită ca raportul vitezelor celor două faze:

v

l

l

v

xx

wws

ρρ

⋅β

β−⋅

−==

11

(3.154)

Alunecarea fazelor este o mărime care intervine în calculul pierderilor de presiune la curgerea bifazică.

3.5.3.2. Structura curgerii bifazice Configuraţia sau structura curgerii bifazice, respectiv forma geometrică şi modul de dispunere a fazelor, are deosebită importanţă pentru interacţiunea termohidraulică dintre fluidul bifazic şi canalul de curgere.

• Canalul adiabat (neîncălzit)

În cazul canalului neîncălzit vertical principalele tipuri de structuri ale curgerii bifazice sunt (figura 3.25):


– bule de vapori dispersate în masa de lichid; – dopuri de vapori; – curgere inelară; – picături de lichid dispersate în masa de vapori. În canalele orizontale pe lângă cele 4 tipuri de curgere de la canalul vertical mai pot apărea: – curgerea stratificată a fazelor; – curgerea stratificată cu valuri de suprafaţă.

Fig. 3.35 Structura curgerii bifazice printr-un canal adiabat (neîncălzit) [33]

Titlul vaporilor creşte progresiv de la prima spre ultima configuraţie. Tipul configuraţiei este funcţie atât de titlul x cât şi de viteza masică ρw. În figura 3.36 este prezentată una dintre diagramele întocmite de Becker pentru stabilirea structurii curgerii [8, 17].

Bule de vapori

Lichid

Dopuri de vapori

Lichid Vapori

Film de lichid

Picături de lichid lichid

Picături de lichid

Vapori

d) b) c) a)

Valuri de suprafaţă

e) f)

Vapori Lichid


Fig. 3.36 Diagrama regimurilor de curgere bifazică (p=70bar) 1– bule de vapori; 2 – inelară; 3 – dispersă

• Canalul diabat (încălzit)

În cazul unui canal încălzit în care intră un lichid subrăcit şi ies vapori suraîncălziţi se pot evidenţia 6 zone de curgere şi de transfer de căldură aferent (figura 3.37). În zona I lichidul este subrăcit (xt < 0), temperatura peretelui fiind mai mică ca temperatura de saturaţie, nu există condiţii de apariţiei a fierberii. Curgerea este monofazică, iar transferul de căldură se realizează prin convecţie forţată monofazică. În zona II la perete s-a depăşit temperatura de saturaţie existând condiţii de nucleaţie . Bulele de vapori formate cresc, se desprind de perete şi se deplasează în fluxul de fluid condensând. Curgerea este cu bule de vapori dispersate în lichid, iar transferul de căldură este fierbere nucleică subrăcită (nedezvoltată). Titlul termodinamic este în continuare negativ. În zona III temperatura fluidului depăşeşte uşor temperatura de saturaţie în toată masa de fluid, fierberea nucleică fiind la saturaţie (dezvoltată). Bulele se generează cu o frecvenţă crescândă iniţial sub forma unei spune de vapori, apoi sub formă de dopuri de vapori din ce în cei mai mari.

0,2

0,4

0,6 0,8

1

2

4

6 8

0,5 1,0 0

2

1 3

ρw·10-3

x

kg / (m2·s)


Fig. 3.37 Configuraţia curgerii bifazice într-un canal încălzit

În zona IV titlul volumic creşte mult, apărând tranziţia către curgerea inelară, când pe perete se formează o peliculă de vapori, iar vaporii cu picături de lichid dispersate în el curg în centrul canalului. Transferul de căldură se face prin convecţie în pelicula de lichid şi prin vaporizarea picăturilor dispersate. La un moment dat pelicula de lichid se transformă într-o micropeliculă asupra căreia acţionează următoarele fenomene: vaporizarea micropeliculei, ruperea de picături de lichid din peliculă datorită alunecării mari între cele două faze şi transportul unor picături de lichid dispersate în vapori în micropelicule. Cele trei fenomene conduc la distrugerea (uscarea) micropeliculei. În acest moment peretele vine în contact cu vaporii,

Lichid subrăcit

Bule de vapori ataşate

Simplă fază

Bule de vapori detaşate de perete

Bule de vapori Spumă

Dopuri de vapori Spumă

Film inelar pe perete Picături dispersate în centru

Vapori saturaţi

Simplă fază Vapori supraîncălziţi

Convecţie monofazică

Convecţie prin filmul de lichid şi fierbere

Fierbere nucleică în toată masa de fluid (fierbere la saturaţie)

Fierbere nucleică numai lângă perete (fierbere subrăcită)


Vaporizarea picăturilor dispersate


IV

V

VI

III

II

I

A

B

Tperete

Tsat

xreal

xtermo-

dinamic

300 200 100 100 0 0

Configuraţia curgerii

Transferul de căldură

Temperatura, °C Titlul, %

Tsat

IIcrx

Tfluid


coeficientul de convecţie scăzând brusc şi în consecinţă înregistrându-se un salt al temperaturii peretelui. Fenomenul poartă denumirea de criză de ordinul II a transferului de căldură la fierbere, sau criza fierberii prin uscarea filmului de lichid (CFU) sau „dryout”. Saltul de temperatură nu este la fel de brusc ca la criza de ordinul I, fenomenul fiind numit în unele lucrări criza lentă (slow burnout). În zona V secţiunea canalului este umplută de vapori cu picături dispersate de lichid – curgere ceaţă (mist-flow). Transferul de căldură este predominant monofazic, cu vaporizarea picăturilor dispersate. La sfârşitul acestei zone titlul atinge valoarea 1, procesul de vaporizare încheindu-se. În zona VI vaporii saturaţi uscaţi încep să se supraîncălzească. Convecţia termică este monofazică în faza de vapori.

3.5.3.3. Transferul de căldură la fierberea cu convecţie forţată Toate metodele recomandate pentru calculul coeficientului de convecţie în acest caz se bazează pe suprapunerea efectelor fierberii şi convecţiei forţate. În acest scop se calculează coeficientul de convecţie la fierberea nucleică în volum mare, αvm şi coeficientul de convecţie la curgerea monofazică lichidă, αcf. Pentru calculul coeficientului de convecţie la fierberea cu curgere forţată se recomandă diferite relaţii [21]:

• relaţia lui Kutadeladze:

22cfvm α+α=α ; (3.155)

• relaţiile lui Labunţov: – dacă ;:5,0/ cfcfvm α=α≤αα (3.156) – dacă 0,5 < αvm /αcf < 2:

vmcf

vmcfcf α−α

α+αα=α

54

; (3.157)

– dacă αvm /αcf ≥ 2: vmα=α . (3.158)

• relaţia lui Gungor [20 ]


cfvm PS α+α=α , (3.159)

unde: P şi S sunt coeficienţi determinaţi în funcţie de criteriul Lockart – Mortinelli:

1,05,09,01

ηη

ρρ

−

=v

l

l

vtt x

xX (3.160)

Pentru calculul parametrului F se poate utiliza relaţia: 86,0

16,1 137,1240001

++=

ttXBoF (3.161)

Numărul fierberii Bo, caracterizează contribuţia fierberii în coeficientul qs de convecţie:

rwqBo

ll

s

ρ= (3.162)

Coeficientul S se poate determina cu formula:

17,126 Re1015,111

lFS −⋅+

= , (3.163)

( )l

illl

dxwη

−ρ=

1Re , (3.164)

unde: qs este fluxul termic unitar, în W/m2; wl – viteza lichidului, în m/s; x – titlul amestecului; r – căldura latentă, în J/kg. 3.6. Transferul de căldură la condensare

Condensarea este procesul prin care vaporii saturaţi sunt transformaţi în lichid saturat. Procesul, ca şi cel de fierbere, este izobar şi izoterm. În tehnică condensarea se realizează prin contactul vaporilor cu o suprafaţă rece (figura 3.38a, b). Acest tip de condensare poartă numele de condensare pe suprafaţă. Condensarea se poate realiza şi în volumul vaporilor prin scăderea presiunii acestora, formându-se o ceaţă (figura 3.38c). Se poate obţine de asemenea condensarea vaporilor prin contactul acestora cu picături reci de fluid sau barbotarea vaporilor printr-o masă de lichid rece (figura 3.38d).


Fig. 3.38 Moduri de realizare a condensării a) peliculară pe suprafaţă; b) nucleică pe

suprafaţă; c) omogenă prin scăderea presiunii; d) prin contact direct

Condensarea de suprafaţă poate fi: peliculară sau nucleică. La condensarea peliculară pe suprafaţa de schimb de căldură se formează o peliculă de condensat care curge laminar sau turbulent sub acţiunea forţei gravitaţiei. În cazul condensării nucleice pe suprafaţa de schimb de căldură se formează picături de condensat. Condensarea peliculară apare la fluidele care udă suprafaţa de schimb de căldură, iar cea nucleică la fluidele care nu udă suprafaţă de schimb de căldură.

3.6.1. Condensarea peliculară

La condensarea peliculară pe un perete vertical curgerea condensatului în peliculă poate fi (figura 3.39): – laminară cu suprafaţa plană a peliculei; – laminară cu suprafaţă ondulată a peliculei; – turbulentă. Elementul care caracterizează tipul curgerii este criteriul Reynolds:

Film

Tp < Tsat Tp < Tsat

Picături Vapori

Ceaţă

Lichid

Lichid pulverizat

Picături

Vapori

Lichid

Vapori

b) a) c)

d)


η

ρ= echxdwRe (3.165)

Dar pentru o peliculă cu lăţimea peretelui de 1 m (b = 1) dech = 4δ, iar debitul de lichid care circulă prin peliculă este G(x) = δρ xw . Atunci:

η

=G4Re (3.166)

Dar din bilanţul termic: Grhq = şi ( )ps TTq −α= , (3.167) unde h este înălţimea peliculei. Rezultă:

rThG ∆α

= , (3.168)

Fig. 3.39 Curgerea fluidului prin peliculă Atunci:

η

αr

Th∆= 4Re (3.169)

Valorile limită ale lui Reynolds, cel mai des întâlnite în literatură sunt:

• Re ≈ 30 pentru limita între curgerea laminară plană şi ondulată; • Re ≈ (1600...1800) pentru curgerea turbulentă.

Laminar, ondulat

Laminar, plan

Turbulent

Reδ ≈ 30

Reδ ≈ 1800

G(x) = ρlwmδ(x)

δ

x

b

a) b)


3.6.1.1. Transferul de căldură la condensarea peliculară cu curgere laminară Una dintre primele relaţii propuse prin tratarea ecuaţiilor stratului limită este datorată lui Nusselt, care a făcut următoarele ipoteze simplificatoare: – temperatura la suprafaţa peliculei este constantă şi egală cu temperatura de saturaţie Ts; – temperatura peretelui este constantă în lungul peretelui, Tp; – curgerea lichidului în peliculă este laminară; – frecarea între faza lichidă şi gazoasă se neglijează, pelicula având o suprafaţă plană; – caracteristicile fizice ale condensatului nu depind de temperatură; – forţele de inerţie în peliculă sunt neglijabile faţă de forţele de frecare şi de greutate; – densitatea vaporilor este mică faţă de densitatea condensatului; – se neglijează transferul de căldură convectiv în peliculă şi conductiv în lungul ei, luându-se în considerare numai schimbul de căldură conductiv transversal (perpendicular pe perete).

Fig. 3.40 Stratul de condensat în ipoteza lui Nusselt

dq dq

mrddq &= x

dx

0=∂∂

δ=yyw

Stratul limită hidraulic

Stratul limită termic Tsat Ts

y

mdm && +

md &

)(xm&

qs (b· dx)

δ (x) Vapori


În ipotezele făcute ecuaţiile diferenţiale pentru pelicula de condensat sunt:

• ecuaţia conducţiei unidirecţionale:

02

2

=dy

Td ; (3.170)

• ecuaţia mişcării:

( )vlx

l gdy

wdρ−ρ+η 2

2

=0 (3.171)

Condiţiile la limită vor fi: – la y = 0 , T = Tp şi wx = 0

– la y = δ , T = Ts şi 0=dy

dwx (din ipoteza că frecarea cu faza lichidă

este neglijabilă s = η (dwx /dy) = 0) Din ecuaţia conducţiei, prin integrare rezultă:

1Cdydt

= şi 21 CyCT += (3.172)

Punând condiţiile la limită obţinem:

δ

−== ps

p

TTCTC 12 ;

Atunci:

δ

−= ps TT

dydT . (3.173)

Coeficientul de convecţie va fi:

ps

psl

ps

l

ps

s

TT

TT

TTdydT

TTq

−δ

−λ

=−

λ=

−=α . (3.174)

Deci:

δλ

=α l (3.175)

Prin integrarea ecuaţiei mişcării (3.171) rezultă:

212 CyCygw

l

vlx ++

ηρ−ρ

= (3.176)

Punând condiţiile la limită rezultă:


C2 = 0 şi ( )

ηδρ−ρ

= vlgC1 .

Atunci:

−

−= 2

21 yygw

l

vlx δ

ηρρ (3.177)

Cantitatea de lichid, care trece în unitatea de timp prin secţiunea x, pentru o lăţime a peretelui b = 1 m, este:

3

211

30 0

2

δη

ρρρ

δη

ρρρ

δδρδρ

δ δ

l

vll

l

vllxlxl

gG

dyyygdywwG

−=

=

−

−=== ∫ ∫

(3.178)

Rezultă:

( )33

vl

l

gG

ρ−ρν

=δ . (3.179)

Debitul G este format prin condensarea vaporilor în porţiunea 0–x, el putând fi determinat din ecuaţia bilanţului termic:

rGxqdxqQ s

x

s === ∫0

. (3.180)

Înlocuind în (3.180) valoarea lui G din (3.178) şi cea a lui qs din (3.174) se obţine:

( ) 3

0 3δ

νρ−ρ

=δ

−λ ∫l

vlx

ps rgdxTT . (3.181)

Deoarece la x = 0, δ = 0, ecuaţia lui δ, în funcţie de x este de forma: nxC=δ . (3.182) Înlocuind ultima expresie în (3.181) se obţine:

( ) n

l

vln

ps xCrgn

xC

TT 331

31 νρ−ρ

=−

−λ −

. (3.183)

Deoarece indicii puterii lui x trebuie să fie identici în cei doi membri, rezultă: 1–n = 3n, deci n = 1/4.

Înlocuind valoarea lui n în (3.183) rezultă:

( )( )

4/14

ρ−ρ

ν−λ=

vl

lps

rgTT

C (3.184)

Atunci:


( )

( )

4/14

ρ−ρ

ν−=δ

vl

lps

rgxTTx

(3.185)

Înlocuind în (3.175), rezultă valoarea coeficientului local de convecţie:

( )( )

4/13

4

−−

==xTT

rglps

vl

νρρλ

δλ

α (3.186)

Valoarea medie a coeficientului de convecţie pe înălţimea h a plăcii va fi:

( )( )

4/13

0 4341

−−

== ∫ hTTgrxd

h lps

vlh

νρρλ

αα , (3.187)

sau:

( )( )

4/13

943,0

−−

=hTT

grlps

vl

νρρλ

α (3.188)

Dacă se notează:

( ) 4/13

ν

ρ−ρλ= vlgrA , (3.189)

( ) 4/1943,0

hTA

∆=α . (3.190)

Studiile lui Sparow, Chen [20] şi Labunţov [22] au evidenţiat că ecuaţia lui Nusselt dă rezultate bune (eroare sub 3%) pentru valori ale

criteriului Jakob

∆=≤

rTc

JaJa p1,0 şi 1 ≤ Pr ≤ 100.

Pentru a ţine seama de variaţia proprietăţilor fizice ale fluidului cu temperatura în pelicula de condensat şi de ondularea peliculei, Miheev[33] recomandă relaţia:


0εεα=α tN . (3.191) unde: εt este corecţia pentru variaţia temperaturii în pelicula de condensat; ε0 – corecţia pentru ondularea peliculei. Se recomandă:

8/13

ηη

λ

λ=ε

p

s

s

pt ; (3.192)

( ) 04,00 4/Re s=ε .

În cazul ţevilor înclinate cu unghiul ψ faţă de orizontală se va introduce o corecţie suplimentară [33 ]: ( ) 4/1sin ψ=εψ . (3.193) Labunţov [22] recomandă pentru curgerea laminară o peliculă de condensat pe un perete vertical relaţia: 78,08,3Re ZBhT =∆α= (3.194) unde:

llr

Bνρ

=4 ; (3.195)

AhTZ ∆= ; (3.196)

νρ

λ

ν=

rgA

3/1

. (3.197)

Relaţia este valabilă pentru Re ≤ 1600 şi Z < 2300. Pentru condensarea pe ţevi orizontale Nusselt propune relaţia:

( ) 4/13

725,0

∆η

ρ−ρρλ=α

TDgr

l

vlll , (3.198)

unde D este diametrul ţevii. Labunţov recomandă relaţia:


( ) 25,0

75,0 125,3TRB

A∆π

=α , (3.199)

A şi B au aceleaşi valori ca la relaţia pentru pereţi vertical; R este raza ţevii. La curgerea peste un fascicul de ţevi cu N rânduri se recomandă introducerea unei corecţii pentru fascicul, pentru care se recomandă relaţia [33]:

4

1Nft =ε . (3.200)

Pentru un calcul mai exact se recomandă metodologia lui Kutadeladze [29], care propune calcularea valorii coeficientului de convecţie pentru fiecare rând cu relaţia:

07,0

1

1

−

=

=αα ∑

n

n

ii

n

G

G , (3.201)

unde: Gi este debitul de vapori condensaţi pe rândul i. Valoarea coeficientului de convecţie mediu pe fascicul se caracterizează ca o medie ponderată pentru fiecare rând din fascicol (relaţia 3.107).

3.6.1.2. Transferul de căldură la condensarea peliculară cu curgere turbulentă În cazul curgerii turbulente a peliculei de condensat pe un perete vertical, cu Re > 1600 sau Z > 2300, Labunţov [22] recomandă relaţia:

( )3/4

5,0

25,0

2300PrPrPr069,0253Re

−

+=∆α= ZBhT s

p

s , (3.202)

Notaţiile sunt aceleaşi ca la curgerea laminară a peliculei de condensat. La condensarea pe ţevi orizontale cu curgere turbulentă acelaşi autor propune relaţia:


Nu =

16,03282,0

3/1

2

32

Re14,1

ηη

λ

λ

ηρ −

p

s

s

pcd

l

l Dg , (3.203)

unde:

( )[ ] 4/3

3/5

3/1

11,9Re

−∆

=r

gTDl

vlllcd η

ρρρλ . (3.204)

3.6.1.3. Influenţa vitezei vaporilor asupra coeficientului de convecţie Relaţiile prezentate în paragrafele anterioare sunt valabile pentru condensarea vaporilor în repaus sau pentru viteze mici ale vaporilor. La viteze mari ale aburului apare o interacţiune dinamică între abur şi pelicula de condensat. Dacă aburul are aceeaşi direcţie de curgere cu pelicula acesta produce o mărire a vitezei de curgere în peliculă, o micşorare a grosimii acesteia şi o intensificare în consecinţa a transferului de căldură. La o curgere a vaporilor de jos în sus, viteza de curgere în peliculă este frânată şi coeficientul de convecţie scade. La viteze mai mari însă se rup picături din peliculă şi grosimea acesteia scăzând, coeficientul de convecţie creşte. Pentru luarea în considerare a vitezei vaporilor la condensarea pe ţevi şi suprafeţe verticale, se poate utiliza relaţia:

Nu = ( )( )[ ] 5,05,0

5,05,0

11

1232

MMhwh v

++

++

=

ηρ

λα (3.205)

unde:

( )psw TTwrghM

−=

λη16 ,

în care: ρ, η, λ sunt densitate, viscozitatea dinamică şi conductivitatea condensatului, ww – viteza vaporilor; h – înălţimea ţevii. În cazul condensării pe ţevi orizontale, pentru valori ale debitului specific wvρv < 1 kg/(m2·s), viteza aburului este neglijabilă. Pentru wvρv > 1 se poate utiliza relaţia:

58,08,03,28 −Π= rr

Nuαα , (3.206)

unde:


λραρ

gw rvv

2

=Π . (3.207)

3.6.1.4. Influenţa prezenţei gazelor necondensabile asupra condensării peliculare Dacă vaporii condensează în prezenţa unor gaze necondensabile, moleculele de vapori antrenează şi pe cele de gaz în mişcarea lor spre pelicula de condensat. Gazele necondensabile se acumulează la suprafaţa peliculei de condensat formând un film de gaz. Se creează o barieră prin care vaporii trebuie să treacă pentru a ajunge la peliculă (figura 3.41).

Fig. 3.41 Condensarea în prezenţa gazelor necondensabile

Filmul de gaz incondensabil creează o rezistenţă termică suplimentară importantă, înrăutăţind transferul de căldură. Aşa cum rezultă fin figura 3.42, 10% gaz necondensabil (aer) în vaporii de apă reduc coeficientul de convecţie la condensare cu mai mult de 50%. Din aceste motive în toate condensatoarele de vapori trebuiesc luate

Tc Tp2 Tp1

TI

Ts

Mg Mv

mv

Mg Mv - dMv

dS

perete condensat pelicula de gaze necondensabilă

amestec vapori

gaze necondensabile +

lichid

refrige- rant


măsuri speciale pentru eliminarea aerului sau altor gaze necondensabile din aparat.

Fig. 3.42 Efectul prezenţei aerului asupra transferului de căldură la condensare

3.6.1.5. Condensarea peliculară în interiorul ţevilor Dacă într-o ţeavă răcită intră un debit G” de vapori cu viteza w,,, pe măsura condensării unei părţi a vaporilor debitul de vapori scade în lungul ţevii şi corespunzător se micşorează şi viteza sa, în schimb debitul de condensat G’ se măreşte. Particularitatea condensării în ţevi o constituie interacţiunea dinamică între vapori şi pelicula de condensat. În ţevile verticale la curgerea vaporilor de sus în jos, interacţiunea dinamică a vaporilor şi forţa de greutate acţionează în acelaşi sens. La ţevile scurte şi pentru viteze limitate ale vaporilor, pelicula se deplasează în special datorită forţei de greutate, influenţa vaporilor fiind neglijabilă. În acest caz pentru determinarea coeficientului de convecţie pot fi utilizate

1

1

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

α/α0

x

w = 5m/s

w = 2m/s

w = 0,5m/s


relaţiile la condensarea pe pereţi verticali. În cazul ţevilor lungi, atunci când viteza vaporilor este importantă, viteza condensatului în peliculă creşte, grosimea peliculei se micşorează şi coeficientul de convecţie creşte. În cazul în care vaporii curg prin ţevi verticale de sus în jos se calculează:

28,03/2

22

ReRe −

νν

ρρ

=ψ lxl

v

l

v

l

v

Ga , (3.208)

unde:

l

slx

ll

v

vv r

xqdgGadwη

=ν

=ν

= Re;;Re 2

3

Dacă ψ ≤ 35 influenţa vitezei aburului este neglijabilă. În caz contrar raportul între coeficienţii locali de convecţie cu luarea şi fără luarea în considerare a vitezei aburului este:

( ) 1005,0005,0 2 +ψ+ψ=αα

xr

x . (3.209)

În cazul condensării prin ţevi orizontale, structura curgerii şi transferul de căldură depind de viteza vaporilor. Pentru valori limitate ale acesteia:

35000Re <η

ρ=

v

ivvv

dw , (3.210)

pelicula de vapori se îngroaşe la partea inferioară umplând o mare parte din partea inferioară a ţevii (figura 3.43a). La viteze mari a vaporilor curgerea devine inelară, grosimea peliculei fiind uniformă pe periferia ţevii (figura 3.43b).

Fig.3.43 Condensarea peliculară în ţevi orizontale a) secţiune transversală prin ţeavă la viteze reduse ale vaporilor; b) secţiune longitudinală la viteze

mari a vaporilor

Vapori Vapori

Condensat

Condensat

a) b)


Pentru viteze mici a vaporilor Chato [20] recomandă relaţia:

( )( )

4/1*3

555,0

−ηλρ−ρρ

=αipsl

lvll

dTTrg , (3.211)

unde:

( )pspl TTcrr −+=83* . (3.212)

3.6.2. Transferul de căldură la condensarea nucleică

Condensarea nucleică apare în cazul în care condensatul nu udă suprafaţa de schimb de căldură, forţele de coeziune a condensatului fiind mai mari ca forţele de adeziune la suprafaţa de schimb de căldură. Observaţiile experimentale cu camera rapidă de luat imagini au evidenţiat că picăturile de condensat formate în jurul unor neregularităţi pe suprafaţa de schimb de căldură, cresc la început cu o viteză foarte mare. pe măsura creşterii dimensiunilor viteza de creştere se micşorează, apărând în acelaşi timp un proces de unire a picăturilor, care sub acţiunea gravitaţiei şi a vitezei vaporilor se desprinde de la suprafaţa de schimb de căldură. La diferenţe de temperatură (∆T = Ts –Tp) mari se poate observa şi formarea unei micropelicule cu grosime de aproximativ 1 µm, care este instabilă, se rupe în picături şi apoi se reface. Transferul de căldură la condensarea nucleică este foarte intens, fiind de obicei cu un ordin de mărime mai mare ca la condensarea peliculară. Din acest motiv trecerea de la condensarea peliculară la cea nucleică este una dintre metodele de intensificare a transferului de căldură la condensare. Variaţia coeficientului de convecţie la condensarea nucleică a vaporilor de apă pe suprafeţe hidrofobe, în funcţie de ∆T este prezentată în figura 3.45 [30 ]. Griffith [20] propune ca pentru condensarea nucleică a vaporilor de apă să se utilizeze relaţiile: sT204451104 +=α [W/(m2K)] , pentru 20°C≤Ts≤100°C (3.213) 255510=α [W/(m2K)] , pentru Ts > 100°C (3.214) O analiză detaliată a procesului de formare a picăturilor de condensat este făcută de Isacenko [22], care recomandă pentru calculul coeficientului de convecţie relaţiile:


Fig. 3.44 Variaţia coeficientului de convecţie la condensarea nucleică a vaporilor de apă în

funcţia de ∆T = Ts – Tp şi Ts

• pentru Rex = 8·10-4 ÷ 3·10-3: Nu = 3,2·10-4 3/116,184,0

* PrRe kπ− ; (3.215) • pentru Rex = 3·10-3 ÷ 3,5·10-2: Nu = 5·10-6 3/116,157,1

* PrRe kπ− , (3.216) unde:

Nu = ( )( )

;Re;2 **

l

psl

l

k

psll

s

l

k

rTTRw

TTrTR

η

−λ=

ν=

−ρλσα

=λ

α

( )

l

l

ll

s

ll

pskk ar

TTTR ν=

νρξσ

=νρ

−ξσ=π Pr;

222

2

2 ,

în care: Rk – raza critică a picăturilor (raza minimă pentru formarea acestora):

( )psl

sk TTr

TR−ρ

σ=

2 , (3.217)

σ – tensiunea superficială a condensatului;

∂∂

=Tσ

σξ

1 – coeficientul de temperatură a tensiunii superficiale.

CAP. 4 RADIAŢIA TERMICĂ

4.1. Elemente fundamentale

4.1.1. Natura fenomenului

Toate corpurile cu o temperatură superioară temperaturii de T = 0K emit energie sub formă de radiaţii. Radiaţia are un dublu caracter ondulatoriu şi corpuscular. Energia şi impulsul sunt conţinute în fotoni, iar probabilitatea de a se găsi într-un punct oarecare din spaţiu este caracterizat de unde. Rezultă că radiaţia este caracterizată de lungimea sa de undă λ sau frecvenţa ν, legătura dintre cele două mărimi fiind: ν = c / λ , (4.1) unde c este viteza luminii (c = 2,998·108 m/s). În funcţie de lungimea de undă radiaţiile pot fi de diferite tipuri, începând cu radiaţiile γ şi continuând cu radiaţiile X, ultraviolete, vizibile, infraroşii şi radio (microunde) (figura 4.1) [20].

Fig. 4.1 Spectrul radiaţiilor electromagnetice

Alb

astru

V

iole

t

Ver

de

Gal

ben

Roş

u

Vizibile

Radiaţie termică

Infraroşii Ultraviolete

Radiaţii X

Microunde Radiaţii γ

10-5 10-4 10-5 10-2 10-1 105 104 102 10 1 λ(µm)

0,4 0,7


Radiaţia termică este rezultatul transformării energiei interne a corpurilor în energie cu lungimile de undă cuprinse între λ = 0,1÷100 µm, incluzând o porţiune din radiaţiile ultraviolete şi în întregime spectrele radiaţiilor vizibile şi infraroşii.

4.1.2. Definiţii

Mărimile fizice care caracterizează radiaţia sunt caracterizate de două criterii independente: compoziţia spectrală şi distribuţia spaţială (direcţională). În funcţie de compoziţia spectrală, mărimile fizice se pot referi la tot spectrul de radiaţii şi se numesc totale sau la o anumită lungime de undă, mărimile numindu-se monocromatice. Mărimile se numesc emisferice dacă se referă la toate direcţiile în care o suprafaţă emite sau primeşte radiaţie şi direcţionale dacă caracterizează o direcţie dată de propagare a radiaţiei. Fluxul termic radiant emis total, eQ& [W], reprezintă energia emisă de un corp în unitatea de timp, în tot spaţiu. Fluxul radiant Q& care cade pe o suprafaţă poate fi absorbit de aceasta (QA), reflectat (QR) sau trece prin suprafaţă (QD) (figura 4.2):

Fig. 4.2 Distribuţia energiei radiante Q = QA + QR + QD ; [W] (4.2) A + R + D = 1 , (4.3) unde: A este coeficientul de absorbţie, R – coeficientul de reflexie; D – coeficientul de difuzie.

QR

QD

QA

Q n

Radiaţia termică 185

Coeficienţii A, R, D pot avea valori cuprinse între 0 şi 1, în funcţie de natura corpului, starea suprafeţei, spectrul radiaţiei incidente şi temperatură. Corpul negru absoarbe toată radiaţia incidentă, astfel că: A = 1; R=D=0. Corpul alb reflectă toată radiaţia incidentă: R = 1; A=D=0. Corpul diaterm este transparent pentru radiaţia incientă: D = 1; A=R=0. Suprafaţa unui corp este lucie dacă reflectă radiaţia incidentă într-o singură direcţie, unghiul de incidenţă fiind egal cu cel de reflexie, este mată dacă reflectă radiaţia incidentă în toate direcţiile. Dacă considerăm o suprafaţă elementară dS, care emite radiaţia în direcţia unei suprafeţe dSn, caracterizată în coordonate sferice de unghiul zenital θ şi azimutal ϕ, (figura 4.3) se defineşte intensitatea de radiaţie monocromatică ( )ϕθλλ ,,,eI , cu relaţia:

( )λΩθ

=ϕθλλ dddSQdI e

e cos,,

1,

& [W/(m2·sr·µm)] (4.4)

unde: Ω este unghiul solid sub care se vede suprafaţa dSn din centrul suprafeţei dS1.

Fig. 4.3 Definirea intensităţii de radiaţie (a) şi a unghiului solid (b)

Radiaţie emisă

dSn

dS1 dΩ

n

θ

ϕ dSn

r

+ +

2rdSd n≡Ω

a) b)


Unghiul solid dΩ este definit de relaţia:

2rdSd n=Ω [sr] , (4.5)

În coordonatele sferice unghiul solid se poate determina cu relaţia: ϕθθ=Ω ddd sin (4.6) Dacă vom nota: λ=λ ee QddQd && / , (4.7) Rezultă: ( ) Ωθϕθλ= λλ ddSIQd ee cos,, 1,

& (4.8) sau înlocuind valoarea lui dΩ din relaţia (4.6): ( ) ϕθθθϕθλ= λλ dddSIQd ee cossin,, 1,

& . (4.9) Intensitatea totală a radiaţiei emise, Ie(θ, ϕ) reprezintă fluxul radiant emis pe toate lungimile de undă în direcţia (θ, ϕ) de unitatea de suprafaţă a unui corp, în unghiul solid dΩ, care conţine direcţia (θ, ϕ):

( )Ωθ

=ϕθddS

QdI ee cos

,1

& [W/(m2·sr)] . (4.10)

În unele lucrări [38] intensitatea de radiaţie este denumită luminiscenţă, fiind notată cu L. Puterea de emisie monocromatică reprezintă fluxul radiat emis de unitatea de suprafaţă a unui corp în toate direcţiile pe o anumită lungime de undă:

( ) ( ) ϕϕϕθϕλθ=λ ∫∫π

λ

π

λ dIdE e sincos,,2/

0,

2

0

[W/(m2·µm)] (4.11)

Puterea totală de emisie reprezintă fluxul radiat de unitatea de suprafaţă a unui corp, în toate direcţiile şi pe toate lungimile de undă:

( )∫∞

λ λλ=0

dEE [W/m2] . (4.12)

Înlocuind valorile lui Eλ(λ) din relaţia (4.11):

( ) λϕθϕϕϕθλ= ∫ ∫ ∫∞ ππ

λ dddIE e sincos,,0

2

0

2/

0, . (4.13)


Dacă intensitatea de radiaţie este independentă de direcţie emisia poartă denumirea de emisie difuză (izotropă) şi ( ) ( )λ=ϕθλ λλ ee II ,, ,, . Înlocuind în relaţia (4.11) se obţine:

( ) ( ) ∫∫ππ

λλ ϕϕϕθλ=λ2/

0

2

0, sincos ddIE e , (4.14)

Rezolvând integralele: ( ) ( )λπ=λ λλ eIE , ; (4.15) şi: eIE π= , (4.16) Iradiaţia reprezintă radiaţia incidentă pe o suprafaţă care provine din emisia sau reflexia altor suprafeţe. Iradiaţia monocromatică (figura 4.4) se defineşte cu relaţia:

( ) ( ) ϕθθθϕθλ=λ ∫ ∫ππ

λλ ddIG i sincos,,2

0

2/

0, [W/(m2·µm)] (4.17)

Fig. 4.4 Natura direcţională a iradiaţiei

Radiaţia incidentă, Iλ, i

dΩ dS1

n

θ

ϕ


Iradiaţia totală va fi:

( ) λλ= ∫∞

λ dGG0

, [W/m2] (4.18)

sau:

( ) λϕθθθϕθλ= ∫ ∫ ∫∞ ππ

λ dddIG i0

2

0

2/

0

sincos,, . (4.19)

Dacă radiaţia incidentă este difuză: ( ) ( )λπ=λ λλ iIG , ; (4.20)

iIG π= (4.21) Radiozitatea caracterizează toată energia radiată de o suprafaţă care include emisia proprie şi emisia datorată iradiaţiei reflectate (figura 4.5).

Fig. 4.5 Radiozitatea unei suprafeţe Radiozitatea monocromatică se defineşte cu relaţia:

( ) ( ) ϕθθθϕθλ=λ ∫ ∫ππ

+λλ ddIJ re sincos,,2

0

2/

0, [W/m2·µm)] . (4.22)

unde: Iλ, e+r este intensitatea radiaţiei asociată emisiei şi reflexiei. Radiozitatea totală va fi:

( ) λλ= ∫∞

λ dJJ0

[W/m2] (4.23)

În mod analog ca la puterea de emisie şi iradiaţie, pentru cazul emisiei şi reflexiei difuze:

Radiozitatea

Iradiaţia reflectată

Iradiaţia Emisia


( ) reIJ += ,λλ πλ [W/(m2·µm)] (4.24) reIJ +π= (W/m2] (4.25)

4.1.3. Legile radiaţiei termice

Majoritatea legilor radiaţiei termice se referă la corpul negru. Acesta este un corp care îndeplineşte următoarele cerinţe:

• absoarbe în întregime toată radiaţia incidentă; • emite radiaţia difuz independent de direcţie; • pentru o temperatură şi o lungime de undă dată, emite energie

mai mult decât orice alt corp. Mărimile referitoare la corpul negru se vor nota cu indicele 0.

4.1.3.1. Legea lui Planck Legea lui Planck reprezintă legea de distribuţie a intensităţii de radiaţie Iλ în funcţie de lungimea de undă şi temperatură, care este de forma:

( ) ( )[ ]1/exp2

,0

5

20

0 −λλ=λλ kThc

hcTI [W/( m2·µm)] (4.26)

unde: h = 6,6256·10-34 J·s; k = 1,3805·10-23 J/K sunt constantele universale ale lui Planck, respectiv Boltzmann; c0 = 2,998·108 m/s – viteza luminii; T – temperatura absorbantă a suprafeţei, în K, λ – lungimea de undă, în m. Puterea de emisie va fi atunci:

( ) ( )[ ]1/exp)(,

25

100 −

==TC

CTITEλλ

λπλ λλ [W/( m2·µm)] (4.27)

Relaţia (4.27) este cea mai cunoscută formă a legii lui Planck. Aici:

2

482

01 10742,22m

mWhcC µ⋅⋅=π= ; C2 = (hc0/k) = 1,439·104µm·K, sunt

constantele radiaţiei ale lui Planck. Reprezentarea grafică a legii lui Planck este prezentată în figura 4.6.


Fig. 4.6 Puterea de emisie spectrală a corpului negru [20] Din analiza distribuţiei spectrale a puterii de emisie se pot face următoarele observaţii:

• Puterea de emisie variază continuu cu lungimea de undă; • Puterea de emisie monocromatică tinde către 0 când λ→0 şi

λ→∞, având un maxim pentru fiecare temperatură; • Puterea de emisie creşte cu temperatura pentru o lungime de

undă dată; • O mare parte a puterii de emisie a soarelui care poate fi

aproximat cu un corp negru cu temperatura 5800 K se emite în zona vizibilă a radiaţiilor, în schimb pentru corpuri cu temperatura T ≤ 800 K, toată radiaţia se face în spectrul infraroşu.

Legea lui Planck are două cazuri extreme, în funcţie de valoarea λT, comparată cu constanta C2. Legea lui Rayleigh–Jeans Estre un caz particular al legii lui Planck în cazul în care λT >> C2.


În acest caz din dezvoltarea în serie a TCe λ/2 se pot reţine numai primii doi termeni:

.....!2

1!1

112

22/2 +

λ+

λ+=λ

TC

TCe TC

şi relaţia (4.27) devine:

( ) 42

10, ,

λ=λλ C

TCTE [W/( m2·µm)] (4.28)

Legea lui Wien Ea se obţine în cazul în care λT << C2, astfel că în relaţia (4.27) în paranteza dreaptă se poate neglija unitatea. Se obţine:

TCeCE λ−λ λ

= /51

0,2 [W/( m2·µm)] (4.29)

Pentru determinarea valorii lui λ pentru care Eλ,0 are un maxim se egalează cu zero derivata ecuaţiei (4.29) şi se obţine: λmax T = C3 = 2897,8 [µmK] (4.30) Rezultă că la creşterea temperaturii maximul puterii spectrale de emisie se deplasează către lungimi de undă mai mici.

4.1.3.2. Legea lui Stefan–Boltzmann Legea lui Stefan–Boltzmann, care reprezintă legea fundamentală a radiaţiei termice se poate determina analitic prin integrarea legii lui Planck (4.27) pe întregul spectru de lungimi de undă. Ea se formulează astfel: Puterea totală de emisie a corpului negru este proporţională cu temperatura absolută a acestuia la puterea patra:

4

04

0 100

=σ=

TCTE [W/m2] , (4.31)

unde: σ = 5,67·10-8; C0 = 5,67 [W/(m2K4)] reprezintă coeficienţii de radiaţie a corpului negru. Pentru corpurile cenuşii puterea totală de emisie se calculează cu relaţia:


( ) ( )4

00 100

ε=ε=

TCTETE [W/m2], (4.32)

unde: ε(T) este factorul de emisie total al corpului. Se poate defini şi un factor de emisie spectral (monocromatic):

( ) ( )( )TE

TETλ

λ=λε

λ

λ

0

,, . (4.33)

În figura 4.7 este prezentată variaţia factorului de emisie spectral în funcţie de lungimea de undă pentru diverse materiale, iar în figura 4.8 se poate observa variaţia cu temperatura a factorului de emisie total.

Fig. 4.7 Variaţia factorului de emisie spectral

cu lungimea de undă [20 ]

Fig. 4.8 Variaţia factorului de emisie total cu temperatura [20 ]


Valorile orientative ale factorului de emisie total pentru diferite tipuri de materiale sunt prezentate în figura 4.9.

Fig. 4.9 Valori ale factorului de emisie total

Din analiza datelor din figura 4.9 rezultă o serie de observaţii:

• factorul de emisie a metalelor este în general mic, el crescând cu prezenţa oxizilor pe suprafaţa acestora;

• factorul de emisie pentru materialele nemetalice are valori mai ridicate, superioare de obicei valorii de 0,6;

• pentru metale ε creşte cu temperatura, pentru nemetale putem avea creşteri sau descreşteri a factorului de emisie cu temperatura;

• factorul de emisie depinde puternic de natura suprafeţei, metode de fabricaţie, tratamentele termice, reacţiile chimice cu mediul înconjurător.

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0

Metale noi, nepolizate

Metale oxidate

Oxizi, mat. ceramice

Carbon, grafit

Minerale, sticlă

Vegetale, apă, piele

Vopsele speciale

Metale puternic polizate

Metale polizate

Metale

0,15 0,10 0,05 0


4.1.3.3. Legea lui Kirchhoff Legea lui Kirchhoff stabileşte legătura între proprietăţile emisive şi absorbante ale unui corp. Dacă se consideră o incintă mare cu temperatura Ts considerată un corp negru în care sunt incluse corpuri cu suprafeţe S1, S2, S3....Sn mult mai mici ca suprafaţa incintei (figura 4.10).

Fig. 4.10 Transferul radiativ într-o incintă izotermă

Iradiaţia primită de cele n corpuri aflate în echilibru termic cu incinta: T1 = T2 = ....= Ts, este aceeaşi şi egală cu puterea totală de emisie a corpului negru: G1 = G2 = G3 = .....= G = E0 (T) = σ0T4 [W/m2] (4.34) Dacă se scrie bilanţul termic pe unul din corpuri cu suprafaţa S1, obţinem: A1GS1 = E1(Ts) S1 , (4.35) unde: A1 este coeficientul de absorbţie al corpului 1. Rezultă că:

( ) ( )TEGATE s

01

1 == (4.36)

Generalizând pentru toate suprafeţele se obţine forma matematică a legii lui Kirchhoff:

( ) ( ) ( )sss TE

ATE

ATE

02

2

1

1 ... === (4.37)

A1

A2

E1 A3 E2

E3

G=Eb(Ts)

G Ts


Ea poate fi enunţată astfel: pentru toate corpurile raportul între puterea totală de emisie şi coeficientul de absorbţie este acelaşi şi egal cu puterea totală de emisie a corpului negru. Conform legii Stefan–Boltzmann: .....,; 022011 EEEE ε=ε= rezultă din (4.37):

1....2

2

1

1 =ε

=ε

AA , (4.38)

sau: ε = A (4.39) Deci factorul total de emisie a unui corp este egal cu coeficientul său total de absorbţie.

4.1.3.4. Legea lui Lambert Legea lui Lambert stabileşte energia radiată de o suprafaţă în direcţia unei alte suprafeţe. Potrivit acestei legi intensitatea totală de radiaţie a corpului negru într-o direcţie dată este proporţională cu intensitatea de radiaţie totală în direcţia normală la suprafaţă şi cosinusul unghiului θ, format de cele două direcţii. θ=θ cosnII . (4.40) În paragraful 4.1.2. a fost prezentată valoarea intensităţii de radiaţie şi a puterii de emisie, ţinând seama de legea lui Lambert.

4.2. Transferul de căldură prin radiaţie între corpuri separate prin medii transparente

4.2.1. Transferul de căldură prin radiaţia între două suprafeţe plane paralele

Schimbul de căldură prin radiaţie reprezintă un proces complex de reflexii şi absorbţii repetate şi amortizate. O parte din energia radiantă se reflectă şi se reîntoarce la sursa iniţială, frânând astfel procesul de schimb de căldură.


În figura 4.11 este prezentat cazul cel mai simplu al radiaţiei între două plăci paralele cu coeficienţii de absorbţie A1 şi A2, puterile de emisie ε1 şi ε2 şi cu temperaturile T1 şi T2.

Fig. 4.11 Schema schimbului de căldură prin radiaţie între două suprafeţe plane paralele

Prima suprafaţă emite radiaţia E1. Din aceasta, cea de-a doua suprafaţă absoarbe E1A2 şi refelctă înapoi E1(1 – A2). Din aceasta, prima suprafaţă absoarbe E1(1 – A2)A1 şi reflectă E1(1 –A2)(1 – A1). A doua suprafaţă absoarbe din nou E1(1 – A2)(1 – A1)A2 şi radiază E1(1 – A2)2(1– A1), procesul repetându-se astfel la infinit. În mod analog se petrece fenomenul cu radiaţia emisă de suprafaţa a doua E2, din care prima absoarbe E2A1 şi radiază E2(1 –A1) ş.a.m.d. Pentru determinarea energiei pe care prima suprafaţă o transmite celei de-a doua, este necesar ca din energia emisă iniţial E1 să se scadă în primul rând ceea ce se reflectă şi este absorbită de prima suprafaţă şi în al doilea rând energia absorbită de prima suprafaţă din energia emisă de cea de-a doua: qs = E1 – E1(1+p+p2+...)(1–A2)A1– – E2A1(1+p+p2+...) [W/m2] , (4.41) unde s-a notat p = (1–A1)(1–A2), qs fiind fluxul termic unitar de suprafaţă. Deoarece p < 1, suma unei progresii geometrice descrescătoare este:

p

pp−

=+++1

1...1 2 . (4.42)

E1A2

E2(1-A1)2(1-A2)A2

E1(1-A2)(1-A1)A2

E2(1-A1)A2

E2(1-A1)2(1-A2)2A1

E1(1-A1)2(1-A2)A1

E2(1-A1)(1-A2)A1

E2(1-A1)

E1(1-A2) E1(1-A2)(1-A1)

E2(1-A2)(1-A1) E2(1-A1)2(1-A2)

E1(1-A2)2(1-A1) E1(1-A1)2(1-A2)2

E2(1-A1)2(1-A2)2

E1

A1E2

E1(1-A2)A1

T1 > T2 1


Rezultă:

p

AEp

AAEEqs −−

−−

−=11

)1( 121211 . (4.43)

Înlocuind valoarea lui p şi aducând la acelaşi numitor, rezultă:

2111

1221

AAAAAEAEqs −+

−= [W/m2] . (4.44)

Conform legii lui Stefan–Boltzmann:

4

2022

41

011 100;

100

ε=

ε=

TCETCE , (4.45)

Pentru corpurile cenuşii, egalitatea A1 = ε1 şi A2 = ε2 are loc nu numai la echilibru termodinamic (legea lui Kirchhoff), ci şi în cazul schimbului de căldură prin radiaţie. Ţinând seama de aceasta, înlocuind în expresia (4.44) relaţiile (4.45), se obţine:

−

ε=

42

41

0 100100TTCq rs [W/m2] , (4.46)

unde εr este factorul de emisie redus al sistemului:

111

1

21

−ε

+ε

=εr . (4.47)

Rezultă că pentru intensificarea transferului radiativ între cele două suprafeţe este necesară mărirea temperaturii suprafeţei mai calde şi să se mărească factorul de emisie redus al sistemului. Pentru frânarea procesului radiativ cea mai simplă metodă constă în montarea unui ecran între cele două suprafeţe (figura 4.12).

Fig. 4.12 Ecran de protecţie pentru atenuarea radiaţiei

T1 Te

T2

ε1 εe ε2

E 1 2


Dacă vom scrie egalitatea fluxului radiant schimbat între peretele 1 şi ecran, cu cel schimbat între ecran şi peretele 2 în ipoteza unor factori de emisie egali (ε1 = ε2 = εe), obţinem:

−

ε=

−

ε=

42

4

0

441

0 100100100100TTCTTCq e

re

re (4.48)

Din această egalitate rezultă:

100

42

41 TTTe

+=

Rezultă fluxul termic unitar schimbat în prezenţa ecranului:

−

ε=

42

41

0 1001005,0 TTCq re (4.49)

Deci prin amplasarea unui ecran între cele două suprafeţe fluxul termic radiativ se reduce la jumătate. În cazul mai multor ecrane şi a unor factori de emisie diferiţi pentru pereţi şi ecrane se obţine relaţia [39]:

e

e

e

nqq

εε

ε−ε−

+=

221

1

12

. (4.50)

Rezultă că prin utilizarea unor ecrane cu factori de emisie mici reducerea fluxului radiat între suprafeţe scade mai mult faţă de ipoteza iniţială ε = εe. De exemplu pentru două suprafeţe cu factorul de emisie ε = 0,8, prin utilizarea unui ecran cu factorul de emisie εe = 0,1, reducerea fluxului radiant între cei doi pereţi este de peste 12 ori, faţă de 2 ori ipoteza ε = εe.

4.2.2. Transferul de căldură prin radiaţie între două corpuri oarecare

Dacă se consideră două suprafeţe oarecare dSi şi dSj (figura 4.13) situate la distanţa R una de cealaltă şi la care raza vectoare R care uneşte centrele celor două suprafeţe formează cu normalele la acestea unghiurile θi, respectiv θj, fluxul transmis de suprafaţa dSi către dSj, din ecuaţia de definiţie a intensităţii totale de radiaţie (relaţia (4.10)) este: ijiiiji ddSIQd −→ Ωθ= cos& [W] (4.51)


unde: Ii este intensitatea totală de radiaţie a suprafeţei i către j, în W/(m2·sr); dΩji – unghiul solid sub care se vede suprafaţa j din centrul suprafeţei i, în sr.

Fig. 4.13 Radiaţia a două suprafeţe oarecare Dar unghiul solid dΩj-i se poate calcula cu relaţia:

2

cosR

dSd jj

ij

θ=Ω − [sr] (4.52)

Atunci:

jiji

iji dSdSR

IQd 2

coscos θθ=→

& [W] (4.53)

Considerând atât radiaţia emisă, cât şi cea reflectată difuz în relaţia (3.53) se va utiliza intensitatea totală emisă şi reflectată Ie+r, sau radiozitatea

totală a suprafeţei i către j, π

= +riei

IJ

jiji

iji dSdSR

JQd 2

coscosπ

θθ=→

& [W] . (4.54)

Fluxul radiat de suprafaţa i către suprafaţa j se obţine prin integrare:

jiS S

jiiji dSdS

RJQ

i j

∫ ∫ π

θθ=→ 2

coscos& (4.55)

Se defineşte factorul de forma Fij, fracţiunea din fluxul radiat de suprafaţa i care este interceptat de suprafaţa j:

ni θi

dSj

nj

Sj, Tj

θj

R

Sj, Tj

dSi

dSi

ni dΩj-i

dSjcosθj


ii

jiij JS

QF →= , (4.56)

sau:

jiS S

ji

iij dSdS

RSF

i j

∫ ∫ π

θθ= 2

coscos1 (4.57)

În mod analog se defineşte factorul de formă Fji:

jiS S

ji

jji dSdS

RSF

i j

∫ ∫ π

θθ= 2

coscos1 (4.58)

Rezultă relaţia de reciprocitate: jijiji FSFS = . (4.59) Fluxul radiat de suprafaţa i către suprafaţa j va fi: ifiiji FJSQ =← (4.60) Dacă considerăm corpul negru radiozitatea este egală cu puterea de emisie şi: Qi→j = Si E0i Fij (4.61) Analog fluxul radiat de suprafaţa j către suprafaţa i va fi:

Qj→i = Sj E0j Fji (4.62) Transferul net de căldură de la suprafaţa i la suprafaţa j este: ijjiij QQQ →→ −= , (4.63) sau: jijjijiiij FESFESQ 00 −= . (4.64) Înlocuind Fji = Fij (Si/Sj) şi valorile E0i şi E0j cu relaţia Stefan–Boltzmann se obţine:

−

=

44

0 100100ji

ijiij

TTCFSQ (4.65)


Factorii de formă pentru diferite geometrii pot fi determinate prin metode analitice, grafo-analitice, algebrice sau prin modelare în tabelul 4.1 şi 4.2 sunt prezentate câteva relaţii de calcul a factorilor de formă pentru geometri bidimensionale (tabelul 4.1) şi tridimensionale (tabelul 4.2) [20].

Tabelul 4.1

Factorul de formă pentru geometri bidirecţionale

Geometria Relaţia 1 2

Plăci paralele centrate ( )[ ] ( )[ ]

i

ijjiij W

WWWWF

244 2/122/12 +−−++

=

LwWLwW jjii /,/ ==

Plăci înclinate

α−=

2sin1ijF

Plăci perpendiculare

( ) ( )[ ]2

/1/12/12

ijijij

wwwwF

+−+=

Incintă triunghiulară

i

kjiij w

wwwF

2−+

=

i

j

wi

wj

L

j

i

w

w

α

wi

j0

i0

wj

k0

j0

i0

wi

wj wk



1 2

Cilindri paraleli

( )[ ] ( )[ ]

( ) ( )

+

+−

−

−+

−−−+−+=

−−

CCRR

CCRR

rCRCFij

1cos11cos1

1121

11

2/1222/122ππ

SRCrsSrrR iij

++=

==

1/,/

Cilindru şi placă paralelă

−

−= −−

Ls

Ls

ssrF ji

2111

21, tantan

Fascicol de ţevi faţă de un perete plan

2/1

2

221

2/12

tan11

−

+

−−= −

DDs

sD

sDFij

j i

ri rj + +

s

j

i

+

L

s2 s1

r

i

j + + + + + +

D s


Tabelul 4.2 Factorul de formă pentru geometri tridimensionale

Geometria Relaţia

Plăci paralele (figura 4.14)

LYYLXX /,/ ==

( )( )

( ) ( )

( )( )

−−+

++

+++

++++

π=

−−−

−

YYXXXYXY

YXYX

YXYX

YXFij

112/12

12/12

2/12

12/12

2/1

22

22

tantan1

tan1

1tan1

111ln2

Discuri coaxiale paralele (figura 4.15)

LrRLrR jjii /,/ ==

2

211

i

j

RR

S+

+=

( )[ ] 2/1

22 /4

21

ijij rrSSF −−=

Plăci perpendiculare (figura 4.16)

H = Z/X, W = Y/X

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

( )( )( )

++++

⋅

++

++++++

+

++−

+

π=

−

−−

2

2

222

222

222

222

22

22

2/122122

11

11

11

111ln

41

1tan

1tan1tan1

H

W

ij

WHHWHH

HWWHWW

HWHW

WHWH

HH

WW

WF

L

Y X

i

j

Z

Y X

j

i

rj

L ri

j

i


Fig. 4.14 Factorul de formă pentru două plăci dreptunghiulare paralele

Fig. 4.15 Factorul de formă pentru două discuri coaxiale paralele


Fig. 4.16 Factorul de formă pentru două plăci dreptunghiulare perpendiculare

4.3. Radiaţia gazelor

Gazele, ca şi corpurile solide, posedă capacitatea de a absorbi şi a emite energie radiantă, însă această capacitate este diferită. Gazele mono şi biatomice (O2, CO, H2, N2 etc.) practic pot fi considerate diaterme, cantitatea de energie absorbită şi emisă de ele fiind neglijabilă. Gazele poliatomice, în special, CO2, vaporii de H2O, SO2, NH3 au capacitatea de absorbţie şi de emisie importantă. Absorbţia şi emisia gazelor, în comparaţie cu cea a corpurilor solide prezintă două particularităţi importante: • Gazele emit şi absorb energie numai în anumite intervale ale lungimilor de undă (benzi de radiaţie), amplasate în diverse porţiuni ale spectrului. Pentru alte lungimi de undă, în afara acestor benzi, gazele sunt transparente şi energia lor de radiaţie este nulă. În felul acesta, emisia şi absorbţia gazelor are un caracter selectiv. În tabelul 4.3 sunt prezentate benzile de absorbţie a CO2 şi vaporilor de apă.


Tabelul 4.3

Benzile de absorbţie a energiei radiante pentru CO2 şi H2O

CO2 H2O λ, µm ∆λ, µm λ, µm ∆λ, µm

2,4–3,0 0,6 2,2–3,0 0,8 4,0–4,8 0,8 4,8–8,5 3,7

12,5–16,5 4,0 12–30 18 • Emisia şi absorbţia gazelor se realizează în întreg volumul respectiv şi nu la suprafaţă, ca în cazul corpurilor solide şi lichide. Mecanismul procesului de absorbţie şi emisie a gazelor se poate explica considerând radiaţia ca un flux de fotoni care se deplasează în spaţiu cu viteza luminii c şi au energia hν. La trecerea prin gaz a fluxului de fotoni, o parte din ei, şi anume aceia a căror energie hν corespunde unei frecvenţe ν (respectiv lungimea de undă λ = c/ν) din banda de absorbţie a gazului, sunt absorbiţi de acesta. Fotonii cu alte energii trec prin gaz fără a fi absorbiţi. Concomitent cu procesul de absorbţie în gaz, unele molecule pierd periodic o mică parte din energia lor termică, care se transformă într-un flux de fotoni cu energie corespunzătoare benzilor de emisie a gazului. Acest proces determină radiaţia proprie a volumului de gaz. Pentru caracterizarea radiaţiei proprii a unui strat de gaz, se poate utiliza, ca şi în cazul suprafeţelor solide, factorul spectral de emisie:

( )lafEE

νν

νν ==ε

0

, (4.66)

unde aνl este grosimea optică a stratului de gaz. Deoarece gazele radiază numai în anumite benzi ale lungimii de undă, factorul de emisie mediu pe spectru ε este sensibil mai mic ca unitatea, fiind în funcţie de natura gazului, presiune, temperatură şi grosimea stratului de gaz l. Grosimea stratului radiant se calculează cu relaţia generală:

SVl 49,0= , (4.67)

unde: V este volumul de gaze, în m3; S – suprafaţa care primeşte radiaţia, în m2. În tabelul 4.4 sunt date valorile grosimii stratului radiant pentru diferite forme ale spaţiului ocupat de gaz [39].


Tabelul 4.4

Valoarea grosimii efective l pentru diferite forme ale spaţiului ocupat de gaz (pentru calculul produsului pl)

Forma volumului de gaz l

Sferă, cu diametrul d 0,6 d Cub, cu latura a 0,6 a Cilindru infinit, cu diametrul d 0,9 d Cilindru, cu înălţimea h = d, radiind spre suprafaţa convexă 0,6 d Cilindru, cu înălţimea h = d, radiind către centrul bazei 0,77 d Cilindru infinit, cu baza semicirculară cu raza r, radiind pe partea plată 1,26 r Volumul dintre două plane paralele infinite, separate prin distanţă δ 1,8 δ Fascicul de ţevi, cu diametrul d şi distanţa între suprafeţele ţevilor x:

– dispuse în triunghi, x = d – dispuse în triunghi, x = 2d – dispuse paralel, x = d

2,8 x 3,8 x 3,5 x

În cazul radiaţiei gazelor de ardere, foarte răspândit în instalaţiile energetice, compoziţia acestora conţinând: O2, CO2, CO, N2, vapori de H2O, rezultă că numai CO2 şi vaporii de H2O emit şi absorb radiaţie celelalte gaze fiind diaterme, deoarece sunt biatomice. Factorul total de emisie al gazelor de ardere se poate calcula cu relaţia: gOHCOg ε∆−βε+ε=ε

22 (4.68)

unde: OHCO 22

, εε sunt factorii de emisie ai CO2, respectiv vaporilor de apă. Ei pot fi determinaţi din nomogramele din figurile 4.17 şi 4.18, în funcţie de temperatură şi produsul între presiunea parţială a gazului p, respectiv şi grosimea stratului radiant, l. Pentru calculul lui

2COε şi OH2ε Isacenko [20] propune relaţiile

simplificate:

( )5,3

33,0

1005,3

22

=ε

Tpl COCO (4.69)

( )3

8,0

1005,3

22

=ε

Tpl OHOH (4.70)

Relaţii de calcul mai precise pentru 2COε şi OH2

ε sunt date în [27].


β este un coeficient de corecţie care ţine seama de faptul că pentru vaporii de H2O influenţa presiunii parţiale

2COp este mai mare ca a grosimii stratului radiant, l. Determinarea lui β se poate face cu diagrama din figura 4.19. ∆εg este un coeficient de corecţie care ţine seama că benzile de radiaţie şi absorbţie ale CO2 şi CO se suprapun parţial şi o parte din emisia unui gaz este absorbită de celălalt . Valorile lui ∆εg pot fi determinate cu nomogramele din figura 4.40, în funcţie de presiunile parţiale

2COp şi OHp2

, grosimea stratului radiant şi temperatură.

Fig. 4.17 Factorul de emisie al vaporilor de apă


Fig.4.18 Factorul de corecţie β

Fig. 4.19 Factorul de emisie al CO2


Fig. 4.20 Factorul de corecţie ∆εg Fluxul termic unitar transmis prin radiaţie de un gaz cu temperatura Tg către un perete cu temperatura Tp se poate calcula cu relaţia:

( )

−

ε+ε=

44

0 10010015,0 p

gg

gpr

TA

TCq [W/m2] (4.71)

unde: εp este factorul de emisie al peretelui; εg – factorul de emisie al gazelor; Ag – factorul de observaţie al gazelor, determinat cu relaţia: ( ) OHpgCOOHCOg TTAAA

2222

65,0/ ε⋅β+ε=+= (4.72) În cele mai multe cazuri radiaţia gazelor este însoţită de convecţie, coeficientul total de convecţie + radiaţie va fi: r

gcgg α+α=α [W/(m2K)] (4.73)

unde: c

gα este coeficientul de convecţie de la gaze la perete; rgα este

coeficientul echivalent de transfer radiativ:

( )pg

rgr TT

q−

=α . [W/(m2K)] (4.74)

CAP. 5 INTENSIFICAREA TRANSFERULUI TERMIC

Una dintre principalele cerinţe pentru aparatele cu transfer de căldură o constituie transmiterea fluxului termic impus printr-o suprafaţă de schimb de căldură cât mai mică. Considerând ecuaţia de bază a transferului de căldură, medS tSKQ ∆⋅⋅=& , se observă că pentru acelaşi flux termic schimbat între cele două fluide din aparat, creşterea coeficientului global de schimb de căldură KS permite fie reducerea ariei suprafeţei de schimb de căldură S, deci diminuarea costului echipamentului, fie reducerea diferenţei medii de temperatură ∆tmed, deci diminuarea costurilor de exploatare (reducerea pierderilor exergetice).

Intensificarea transferului termic se bazează în special pe mărirea coeficientului global de schimb de căldură. Tot în această categorie intră şi utilizarea suprafeţelor nervurate (extinse) care conduce la realizarea unor aparate mai compacte şi mai ieftine.

Orice metodă de intensificare a transferului de căldură pentru a fi adoptată trebuie justificată tehnic şi economic prin considerarea investiţiilor, a costului energiei de vehiculare a fluidelor, a cheltuielilor de exploatare a aparatului, a comportării şi efectelor produse de aparat prin încadrarea sa în instalaţia din care face parte. De exemplu, modificarea geometriei suprafeţei de schimb de căldură prin utilizarea rugozităţilor artificiale este însoţită de creşterea coeficientului local de schimb de căldură şi în consecinţă a coeficientului global de schimb de căldură, însoţită de reducerea suprafeţei necesare de schimb de căldură şi deci a costului aparatului. În acelaşi timp însă apare şi o creştere a coeficientului pierderilor de presiune prin frecare, deci creşterea energiei de pompare şi a cheltuielilor de exploatare. Este obligatorie analiza simultană a celor doi factori şi determinarea pe baza unor calcule de optimizare a soluţiilor ce se justifică a fi aplicate atât din punct de vedere economic dar şi funcţional.

Pentru evidenţierea principalelor căi de mărire a coeficientului global de schimb de căldură trebuie pornit de la ecuaţia de bază a transferului de căldură. În tabelul 5.1 [30] s-au prezentat câteva cazuri


numerice extreme, care evidenţiază următoarele concluzii importante pentru stabilirea strategiei de intensificare a transferului global de căldură:

Tabelul 5.1 Efectul diferitelor rezistenţe termice asupra transferului global de

căldură

Cazul W/(m2.K) W/(m2.K) mm W/(m2.K) kS

W/(m2.K) %

1 50 5000 3 30 49.26 0.493 2 50 10000 3 30 49.5 0.495 3 100 5000 3 30 97.1 0.971 4 10000 5000 3 30 2500 25 5 10000 5000 3 300 322 3.25

• Coeficientul global de transfer de căldură este mai mic

decât cel mai mic coeficient de convecţie; • În cazul unei diferenţe mari între cei doi coeficienţi de

convecţie (două ordine de mărime) coeficientul global de schimb de căldură este determinat numai de cel mai mic coeficient de convecţie, rezistenţa termică conductivă fiind neglijabilă. În acest caz trebuie să intensificăm transferul de căldură pe partea agentului termic cu coeficient de convecţie redus, sau să extindem suprafaţa de schimb de căldură pe această parte;

• În cazul în care cei doi coeficienţi de convecţie sunt apropriaţi, rezistenţa termică conductivă poate avea o pondere importantă, micşorarea sa prin reducerea grosimii peretelui şi utilizarea unui material cu o conductivitate termică mai mare, putând mări coeficientul global de transfer de căldură. În acest caz trebuie acţionat şi pentru intensificarea convecţiei la ambii agenţi termici.

5.1 INTENSIFICAREA TRASNFERULUI TERMIC CONVECTIV

5.1.1 Metode de intensificare

În prezent există mai multe mecanisme de intensificare a transferului de căldură convectiv monofazic funcţie de tipul curgerii :

• pentru curgerea laminară, se recomandă intensificarea transferului de masă de la perete la centrul curgerii şi invers. Acest lucru se poate

Intensificarea transferului termic 213

obţine prin utilizarea suprafeţelor ce prezintă schimbări de direcţie (ţevi cu caneluri, plăci ondulate) şi a inserţiilor (Kenics, Heatex, etc.);

• pentru curgerea turbulentă, rezistenţa termică fiind concentrată în stratul limită din vecinătatea suprafeţei peretelui, se recomandă perturbarea acesteia prin obstacole de mică grosime, amplasate pe perete (nervuri, ţevi cu rugozitate continuă, plăci ondulate), generarea de curgeri secundare (caneluri, inserţii de benzi răsucite), limitarea dezvoltării stratului limită prin utilizarea suprafeţelor discontinue (de exemplu nervuri discontinue) sau prin reducerea diametrului hidraulic. In cazul fierberii principalele căi de intensificare ale transferului

căldură sunt legate de intensificarea procesului de nucleaţie şi de mărirea turbulenţei în masa de fluid.

Pentru intensificarea transferului termic la condensare se realizează pe două căi principale : micşorarea grosimii sau ruperea peliculei de condensat şi trecerea de la condensarea peliculară la cea nucleică.

Principalele metode de intensificare a transferului de căldură convectiv pot fi clasificate în şase categorii [5]:

• modificarea naturii suprafeţei de schimb de căldură prin acoperiri cu substanţe speciale;

• modificarea stării suprafeţei de schimb de căldura (porozitatea şi rugozitatea suprafeţei de schimb de căldură);

• exinderea suprafeţelor de transfer de căldură prin utilizarea nervurilor;

• utilizarea generatorilor de turbulenţă ce crează o curgere elicoidală a fluidului;

• utilizarea generatorilor de turbulenţă ce favorizează amestecarea fluidului în secţiunea transversală;

• modificarea geometriei suprafeţei de schimb de căldură prin ondulări sau caneluri pentru producerea unui efect capilar. Tabelul 5.2 sintetizeză domeniile de aplicare a fiecăreia din cele şase

metode de intensificare prezentate.


Tabelul 5.2 Domeniile de aplicare a metodelor de intensificare a transferului termic

Monofazic Metoda de

intensifi-care laminar turbulent

Vapori-zare

Conden-sare Figuri

0 1 2 3 4 5

Acoperiri poroase

Acoperiri - -

Acoperiri hidrofobe

- -

suprafeţe cu

structuri poroase integrale

plăci ondulate (în special pentru lichide) plăci ondulate

- ţevi cu rugozitate continuă

Rugozitate şi

porozitate

ţevi cu rugozitate

discontinuă (rugozitţi de

înălţime mare)

ţevi cu rugozitate discontinuă (rugozităţi de înălţime mică)

plăci cu nervuri (în special pentru gaze) plăci cu nervuri

ţevi cu nervuri interioare (în special pentru lichide)

Suprafeţe extinse

ţevi cu nervuri exterioare (înălţimi mici pentru

lichide, mari pentru gaze)

ţevi cu nervuri exterioare de înălţimi

mici


0 1 2 3 4 5 inserţii de benzi răsucite

inserţii în formă de stea (cu 5, 6 sau 12 vârfuri)

Curgere

elicoidală

ţevi cu nervuri elicoidale

inserţii Kenics

inserţii Heatex

inserţii cu

discuri

inserţii cu

bile (sfere)

inserţii resort

(diametru mare al sârmei)

inserţii resort

(diametrul mic al sârmei)

Amestec al

fluidului în

secţiunea transver-

sală

inserţii cu benzi

răsucite

ţevi cu caneluri interne

ţevi cu nervuri pirami-

dale

Suprafeţe cu efect capilar

ţevi cu

caneluri exterioare


5.1.2 Nervurile

Utilizarea nervurilor pentru intensificarea transferului de căldură este frecvent întâlnită în cazul transferului de căldură gaz-lichid sau gaz-gaz, acolo unde coeficientul de schimb de căldură local dintre perete şi gazul aflat în general în circulaţie forţată este foarte mic .

Pentru suprafeţele plane, în practică sunt întâlnite diferite geometrii de nervuri [5] :

• nervuri netede, care formeaza secţiuni de curgere de formă rectangulară (fig.1.1a) sau triunghiulară (fig.5.1b), pentru care corelaţiile de transfer de căldură sunt cele clasice pentru canale netede;

• nervuri ondulate (fig.5.1c), care impun un canal de curgere ondulat şi permit ameliorări considerabile ale coeficientului de transfer de căldură;

• nervuri perforate (fig.5.1d), ce permit o uşoară ameliorare a transferului de căldură pentru numere Reynolds mai mari ca 2000;

• nervuri discontinue (fig.5.1e), cu lungimea l cuprinsă în general între 3 şi 6 mm, pentru care există formule generale de calcul al coeficientului de transfer de căldură şi a coeficientului de frecare pentru gaze, funcţie de numărul Stanton şi factorul lui Colburnj [23]

• nervuri cu fante (fig.5.1f), care conduc la performanţe comparabile cu cele ale nervurilor discontinue. Formulele generale pentru calculul coeficientului de transfer de căldură şi a coeficientului de frecare la gaze pentru aceste nervuri sunt de asemenea exprimate funcţie de numărul lui Stanton şi factorul lui Colburn j [15].

a) b)


c) d)

e) f) Legendă: b grosimea nervurii; h înălţimea nervurii; l lungimea nervurii; hp înălţimea fantei; s pasul dintre nervuri; lp lungimea fantei; t grosimea nervurii ; sp pasul între fante

Fig. 5.1 Plăci cu nervuri

(a) nervuri netede cu secţiunea de curgere rectangulară; b) nervuri netede cu secţiunea de curgere triunghiulară; c) nervuri ondulate; d) nervuri perforate; e)

nervuri discontinue; f) nervuri cu fante.

În cazul suprafeţelor cilindrice (ţevi) cele mai utilizate geometrii de ţevi cu nervuri exterioare sunt :

• ţevi cu nervuri exterioare circulare netede (fig.5.2a), obţinute fie prin extrudare, fie prin fixare directă pe ţeavă. Corelaţiile pentru calculul coeficientului de transfer de căldură şi a factorului de frecare sunt


diferite pentru nervurile înalte (înălţimi mai mari ca 10 mm) [36] şi pentru nervuri joase (înălţimi mai mici ca 2 mm) [35];

• ţevi cu nervuri exterioare ameliorate: nervuri perforate (fig.5.2b şi c), nervuri constituite dintr-un fir metalic (fig.1.2d) şi nervuri aciculare (fig.1.2e);

• ţevi cu nervuri exterioare plane continue netede (fig.5.3a), ondulate (fig.5.3b) sau cu fante (fig.5.3c). Aceste geometrii sunt cel mai des întâlnite la bateriile de climatizare. În cazul nervurilor ondulate sau cu fante se pot înregistra creşteri ale coeficientului local de transfer de căldură de 30 % şi respectiv de 50-100 %, comparativ cu nervurile netede.

Fig. 5.2 Ţevi cu nervuri exterioare circulare

(a) nervuri netede; b) şi c) nervuri perforate; d) nervuri cu fir metalic; e) nervuri aciculare


Legendă: De diametrul exterior al ţevii; SL pasul longitudinal între ţevi; ST pasul transversal între ţevi;

s pasul între nervuri

Fig. 5.3 Ţevi cu nervuri exterioare plane continue (a) nervuri netede; b) nervuri ondulate; c) nervuri cu fante

Nervurarea suprafeţelor de transfer de căldură în cazul lichidelor se

poate face atât la interiorul cât şi la exteriorul ţevilor. Deoarece coeficientul de transfer de căldură al unui lichid este superior celui corespunzător unui gaz, nervurile sunt în general mai puţin înalte, pentru creşterea randamentului lor. Creşteri de suprafaţă prin nervurare de 1,5-3 ori faţă de suprafaţa netedă sunt frecvent întâlnite la lichide, în timp ce pentru gaze aceste valori depăşesc curent valoare de 20. În cazul nervurilor exterioare acestea pot fi circulare netede (fig.4.1a) sau plane netede (fig.4.2a) [7], obţinute prin extrudare. Nervurarea ţevilor în cazul lichidelor se poate aplica atât în regimul de curgere laminar cât şi turbulent.

Nervurile interioare, mai rar utilizate, pot fi drepte şi paralele cu direcţia curgerii sau pot prezenta o formă elicoidală (tab. 1.1).

Un aspect important în realizarea ţevilor sau plăcilor nervurate îl constituie modul de fixare a nervurilor pe suprafaţa de bază, rezistenţa de contact ce apare în acest caz jucând un rol foarte important. Se pot obţine rezistenţe de contact neglijabile în cazul extrudării nervurilor la ţevile din


cupru sau aluminiu şi la sudare sau lipirea nervurilor pe suprafaţa primară. Din contră, în cazul nervurilor fixate prin sertizarea sau expansiunea ţevii, rezistenţele de contact nu mai sunt neglijabile.

5.1.3 Inserţiile

Inserţiile sunt dispozitive sunt introduse în ţevile netede care permit ameliorarea transferului de căldură în special prin favorizarea curgerilor rotative sau prin amestecarea liniilor de fluid, dar şi prin constituirea lor ca o rugozitate ce distruge stratul limită din apropierea peretelui. Aceste dispozitive prezintă avantajul că pot fi instalate în schimbător si după construcţia sa, natura materialului suprafeţei de transfer de căldură neconstituind un obstacol în utilizarea inserţiilor.Principalul lor dezavantaj este legat de creşterea puternică a pierderilor de presiune

Dispozitivele care favorizează amestecarea liniilor de fluid (tab.5.2) acţionează în general în toată secţiunea de curgere cum ar fi dispozitivele statice (inserţii statice de amestec) (Kenics şi Heatex), sau inserţiile cu discuri sau bile utilizate în cazul fluidelor vîscoase în regim de curgere laminar.

Utilizarea inserţiilor resort (tab.5.2) în regim laminar poate conduce la creşterea coeficientului de transfer de căldură faţă de ţeava netedă de 4 ori (pentru acelaşi număr Reynolds), în timp ce creşterea coeficientului de frecare este inferioară acestei valori [45]. Dacă se considera ca indice de performanţă al suprafeţelor ameliorate raportul dintre numărul Stanton şi coeficientul de frecare, inserţiile resort prezintă o valoare a acestui indice net superioară celorlalte insertii (Kenics, Heatex, inserţii cu discuri sau bile). Aceste inserţiile pot fi utilizate şi în regim turbulent cu perfornaţe bune [28].

Inserţiile în formă de stea (tab. 5.2) sunt constituite dintr-o piesă extrudată din aluminiu, prezentand o formă de stea cu 5, 6 sau 12 colţuri. Contactul între inserţie şi ţeavă este asigurată prin etirarea ţevii. Extinderea suprafeţei de transfer de căldură este foarte importantă în acest caz iar o intensificare semnificativă a transferului de căldură poate fi obţinută şi prin generarea unei curgeri secundare dacă inserţia este răsucită.

Inserţiile cu benzi răsucite (tab. 5.2) reprezintă o metodă particulară, simplu de aplicat, pentru care performanţele sunt cunoscute. Intensificarea transferului de căldură se realizează prin trei acţiuni : reducerea diametrului hidraulic al ţevii, generarea unei curgeri rotative ce conduce la viteze ridicate şi extinderea suprafeţei interne de schimb de căldură în condiţiile unui bun contact perete-inserţie şi a unei conductivităţi ridicate a materialului folosit pentru inserţie. Performanţele obţinute cu aceste inserţii


sunt diferite funcţie de regimul de curgere laminar [19] sau turbulent [42]. Parametrul utilizat în general pentru caracterizarea geometriei inserţiei este rata deformării (twist ratio) y, definită ca raportul dintre lungimea benzii corespunzătoare unei rasuciri de 180° şi diametrul interior al ţevii. Unghiul elicei ce consituie banda este legat de acest parametru prin relaţia

( ) yatg 1= .

5.1.4. Suprafeţele rugoase

Utilizarea suprafeţelor rugoase este specifică atât schimbătoarelor de căldură cu plăci cât şi a celor cu ţevi, la interiorul sau exteriorul peretelui. Rugozităţile pot fi grupate în trei categorii (figura 5.4): rugozităţi în trei dimensiuni de tip granular, ondulări în două dimensiuni caracterizate prin obstacole repartizate uniform pe perete, caneluri în două dimensiuni repartizate uniform pe perete. Pentru caracterizarea geometriei acestor rugozităţi au fost definite următoarele numere adimensionale :

Rugozitate uniformă

(în trei dimensiuni)

Rugozitate în două dimensiuni tip ondulări

Rugozitate în două dimensiuni tip caneluri

Geometrie de bază

Geometrii cu diferite valori p/e

Geometrii cu diferite forme ale

obstacolelor

Fig. 5.4 Tipuri de rugozităţi


• înălţimea relativă a rugozităţii, definită ca raportul dintre înălţimea e a obstacolului şi diametrul hidraulic Dh al canalului ( hDe*e = );

• pasul relativ al rugozităţilor, definit ca raportul dintre pasul p dintre două obstacole şi diametrul hidraulic Dh al canalului ( hDp*p = );

• forma rugozităţii; • în cazul obstacolelor bidimensionale, unghiul obstacolului a cu

direcţia curgerii.

Legendă: º sensul curgerii; - - strat limită; ¡ recirculare

Fig. 5.5 Diferite tipuri de curgere în spatele obstacolului

Curgerea în vecinătatea obstacolului, cum este reprezentată în figura 5.5,

este dependentă de raportul p/e. Astfel, după desprinderea de la perete, stratul limită se reface la o distanţă cuprinsă între 6e şi 8e de ultimul obstacol. La aproximativ ceastă distanţă coeficientul de schimb de căldură atinge valoare sa maximă, valoare în general superioară de câteva ori celeia din faţa obstacolului. Cu cât raportul p/e este mai mic, apare o recirculare între două obstacole, făra punct de de refacere a stratului limită. S-a constatat că optimul din punct de vedere al transferului de căldură corespunde unor valori ale raportului p/e situate între 10 şi 15. Calculul coeficientului de transfer de căldură şi a pierderilor de presiune s-a realizat prin determinarea numărului lui Stanton şi a coeficientului de frecare, cu o formulare generală bazată pe anlogia între transferul de căldură şi masă [47].


5.1.5 Intensificarea transferului termic la fierbere

La fierberea nucleică, coeficientul de schimb de căldură este determinat de numărul centrelor de nucleaţie aflate pe suprafaţa de schimb de căldură, precum şi de realizarea unor condiţii optime de amorsare a acestora. De aceea, folosirea suprafeţelor rugoase (care prezintă un număr mare de cavităţi) conduce la obţinerea unor coeficienţi de schimb de căldură mari. Creşterea coeficientului de schimb de căldură cu mărirea rugozităţii este cu atăt mai însemnată, cu căt presiunea redusă Pred (raportul dintre presiunea de saturaţie şi presiunea critică) a sistemului considerat este mai mică. De exemplu, creşterea rugozităţii unei suprafeţe plane de la 1 µm la 10 µm determină mărirea coeficientului de schimb de căldură cu 56%, dacă presiunea redusă este de 0,03, şi cu 38%, dacă presiunea redusă este de 0,3 (fig. 5.6) [5].

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rugozitatea sprafe\ei ( m)

Cre

]ter

ea r

elat

iv a

coe

fici

entu

lui l

ocal

de

tran

sfer

de

cald

ura

[n

fier

bere

a n

ucle

ic f

ata

de

valo

are

core

spun

zato

are

une

i pla

ci c

u

rugo

zita

tea

de

1 m

(%

)

Pred = 0,03Pred=0,3Pred=0,9

Fig. 5.6 Mărirea coeficientului de transfer de căldură în fierberea nucleică funcţie

de rugozitatea suprafeţei şi presiunea redusă Trebuie sublinat că, în timpul procesului de fierbere, o parte din cavităţile

active ale suprafeţei pot fi dezamorsate: lichidul care pătrunde în cavitate după desprinderea bulei de vapori condensează vaporii rămaşi în cavitate, dezactivând centrul de nucleaţie. Acest fenomen, numit instabilitate a centrului de nucleaţie, este determinat, în special, de forma cavităţii. Astfel, o cavitate tip “pungă” (fig.5.7 b) [48] reprezintă un centru de nucleaţie cu o stabilitate superioară faţă de cavităţile cilindrice sau conice (fig.5.7 a). Deci, pentru intensificarea transferului de căldură la fierberea nucleică, suprafaţa trebuie să aibă un număr mare de cavităţi (centre de


nucleaţie) active şi stabile în timp. Această condiţie este îndeplinită de suprafeţele acoperite cu straturi metalice poroase (formate, de exemplu, prin sinterizare) sau de suprafeţele cu geometrii speciale prezentate în tabelul 5.2 (Thermoexcel E, Gewa T) sub denumirile lor comerciale, care au un număr mare de cavităţi tip “pungă” conectate între ele.

Fig. 5.7. Cavitate conică dezactivată (a) şi cavitate tip “pungă” (b)

Intensificarea transferului termic în fierberea la convecţie forţată

se poate realiza prin folosirea suprafeţelor cu rugozitate artificială (uniformă sau discretă) sau cu geometrii speciale pentru intensificarea fierberii nucleice. Un exemplu de ţeavă cu rugozitate artificială care intensifică procesul de fierbere la convecţie forţată este cea cu un număr mare (50…70) de nervuri interioare elicoidale de înălţime mică (nu depăşeşte 0,2 mm), prezentată în tabelul 5.2. Ea este utilizată, de exemplu, în construcţia vaporizatoarelor din instalaţiile frigorifice.

Fierberea la convecţie forţată poate fi intensificată şi prin utilizarea generatorilor de turbulenţă care realizează o curgere elicoidală (benzile răsucite). Acestea pot fi amplasate, eventual, numai în zonele cu fluxuri termice unitare maxime producându-se astfel intensificarea transferului termic cu un efect redus asupra puterii totale de pompare. La fierberea în interiorul ţevilor se folosesc şi inserţiile în formă de stea (nervuri radiale din aluminiu dispuse în interiorul ţevii), prezentate în tabelul 1.34. Această soluţie este folosită, în special, la vaporizarea agenţilor frigorifici în interior şi curgerea apei la exterior.

Unul dintre indicii care caracterizează performanţele geometriilor suprafeţelor folosite pentru intensificarea fierberii este raportul dintre excesul de temperatură (diferenţa dintre temperatura peretelui şi temperatura fluidului la saturaţie) corespunzător fierberii pe suprafeţa netedă şi excesul de temperatură realizat în procesul de fierbere intensificat (pe suprafaţa cu geometrie modificată), pentru acelaşi flux termic unitar transmis, raport care reprezintă de fapt de câte ori s-a intensificat transferul de căldură convectiv . De exemplu, în cazul fierberii agentului frigorific R113 la un flux termic unitar de suprfaţă de 10 kW/m2, acest indice este 7 pentru ţevi cu geometria

a b


suprafeţei de tip Thermoexcel-E şi 2,5 pentru ţevi cu geometria suprafeţei de tip GEWA-T [32].

5.1.6. Intensificarea transferului de căldură la condensare

Intensificarea transferului de căldură la condensare se obţine prin crearea condiţiilor pentru obţinerea condensării nucleice (în picături) şi prin micşorarea grosimii peliculei de condensat, în cazul condensării peliculare.

Apariţia şi menţinerea condensării nucleice poate fi determinată prin acoperirea suprafeţei de schimb de căldură cu materiale hidrofobe ca, de exemplu, metale nobile sau teflon. Folosirea metalelor nobile este limitată de preţul ridicat al acestora. Teflonul prezintă inconvenientul unei conductivităţi termice reduse, care diminuează efectul favorabil al condensării în picături asupra transferului termic. De aceea, stratul de teflon trebuie să aibă o grosime foarte mică. Dintre rezultatele experimentale se pot menţiona cele prezentate de Depew şi Reisbig‚ [16] care au evidentiat că acoperirea unei ţevi de diametru de 12,7 mm cu un strat de teflon cu grosimea de 1,27 µm a condus la dublarea valorii coeficientului de transfer termic.

În cazul condensării peliculare, întălnită de obicei în aparatele industriale, intensificarea transferului de căldură se bazează pe micşorarea rezistenţei termice a peliculei de condensat. Aceasta se realizează prin mărirea turbulenţei în peliculă şi, în special, prin micşorarea grosimii peliculei. Atât creşterea turbulenţei condensatului, căt şi micşorarea grosimii peliculei se obţin prin mărirea vitezei vaporilor; acesta determină ondularea accentuată a suprafeţei peliculei şi chiar ruperea parţială a acesteia în picături.

Pentru micşorarea grosimii medii a peliculei, se preferă poziţionarea orizontală a ţevilor faţă de cea verticală şi se folosesc suprafeţe de schimb de căldură cu obstacole artificiale, care rup pelicula de condensat formată, sau cu geometrii speciale, care favorizează scurgerea condensatului sub acţiunea forţelor de tensiune superficială. La condensarea în ţevile orizontale, se pot folosi generatori de turbulenţă ca, de exemplu, benzile răsucite.

Ţevile cu talere (fig.5.8) menţin, pe toată suprafaţa lor, o grosime medie a peliculei de condensat redusă. Talerele reprezintă obstacole în drumul condensatului format, rupând pelicula de pe suprafaţa ţevii. Diametrul exterior al talerelor trebuie să fie suficient de mare pentru ca lichidul să se scurgă de pe ele în picături.


Dintre ţevile cu geometrii ale suprafeţei care favorizează scurgerea condensatului sub acţiunea forţelor de tensiune superficială se menţionează: ţevile canelate, ţevile orizontale cu nervuri transversale şi ţevile cu nervuri piramidale (tab.5.2). Ţevile canelate reprezintă una dintre cele mai eficiente geometrii utilizate în cazul condensării. Ele se folosesc la aparatele vaporizatoare cu ţevi verticale în care vaporii condensează în exteriorul ţevii, iar lichidul se vaporizează în ţeavă. Canelurile pot fi paralele cu axa ţevii sau înclinate faţă de aceasta, ţevile din a doua categorie având o capacitate mai mare de preluare a diferenţelor de presiune. Pentru această geometrie, intensificarea transferului termic este rezultatul scurgerii condensatului în şanţurile profilului sub acţiunea forţelor de tensiune superficială. Astfel, în regiunea crestelor profilului, coeficienţii de convecţie sunt ridicaţi, coeficientul de convecţie mediu pe suprafaţa acestei ţevi fiind mult mai mare (aproximativ, de şase ori) decăt în cazul unei ţevi netede. In plus, ţeava canelată măreşte şi suprafaţa de schimb de căldură pe unitatea de lungime. Scurgerea condensatului în şanţurile profilului determină menţinerea practic constantă a coeficientului de convecţie pe lungimea ţevii. Ţevile canelate pot fi prevăzute cu talere pentru limitarea nivelului condensatului din şanţurile profilului suprafeţei. Datorită aceluiaşi fenomen determinat de forţele de tensiune superficială, intensificarea procesului de condensare se obţine şi pe ţevile verticale care au lipite în lungul lor fire de sărmă.

Ţevile orizontale cu nervuri transversale de înălţimi mici sunt folosite pentru intensificarea condensării de mai mulţi ani. Gradienţii de presiune creaţi de tensiunea superficială favorizează scurgerea condensatului (fenomenul de “reţinere” a condensatului), însă, capilaritatea determină totodată reţinerea condensatului în spaţiile dintre nervuri, la partea inferioară a ţevii, micşorând transferul termic în această zonă. Pentru reducerea acestui efect negativ, distanţa dintre nervuri se stabileşte în funcţie de natura fluidului şi parametrii funcţionali. Ţevile orizontale cu nervuri transversale de înălţimi mici măresc considerabil coeficientul de convecţie la condensare. Astfel, coeficientul de convecţie obţinut la condensarea vaporilor de R-11 pe o ţeavă orizontală cu 1378 nervuri/metru, nervurile avănd un diametru exterior de 19 mm şi o înălţime de 0,9 mm, este de 5,28 ori mai mare decăt coeficientul de convecţie la condensarea aceluiaşi agent frigorific pe o ţeavă netedă cu acelaşi diametrul exterior [48]. Acest rezultat a fost stabilit pentru o temperatură a fluidului la saturaţie de 35 °C şi o diferenţă între temperatura la saturaţie şi temperatura peretelui de 9,5 °C.


Fig. 5.8 Ţeavă cu talere Suprafaţa cu nervuri piramidale este folosită, de asemenea, pentru

intensificarea transferului termic la condensare. Pe suprafaţa nervurilor grosimea peliculei de condensat este redusă, condensatul fiind drenat în şanţurile formate între şirurile de nervuri, sub acţiunea forţelor de tensiune superficială

În cazul condensării la ineriorul ţevilor intensificarea transferului de căldură se realizează cel mai frecvent prin utilizarea nervurilor interioare sau a inserţiilor statice de amestec. În figura 5.9 se prezintă rezultatele obţinute de Azer şi Said [41] privind mărirea coeficientului mediu de transfer de căldură la condensarea în interiorul ţevilor prin mecanismele menţionate.

Fig. 5.9 Coeficientul mediu de transfer de căldură la condensarea

în interiorul ţevilor

Taler

Condensat


5.2 INTENSIFICAREA TRANSFERULUI TERMIC PRIN RADIAŢIE

În cazul transferului de căldură prin radiaţie între două suprafeţe solide separate printr-un mediu diaterm, fluxul termic net schimbat, respectiv coeficientul echivalent de radiaţie,pentru valori date ale temperaturilor, cresc cu mărirea factorului de emisie redus al sistemului considerat. Ca urmare, mărirea coeficientului echivalent de radiaţie este determinată de folosirea suprafeţelor cu factori de emisie ridicaţi şi stabilirea unor poziţii reciproce a suprafeţelor care să conducă la mărirea factorului de emisie redus al sistemului.

Fluxul radiant net cedat de gazele de ardere învelişului solid care le conţine este determinat de suprafaţa de schimb de căldura, temperaturile şi factorii de emisie ce caracterizează gazele de ardere şi respectiv suprafaţa [30]. Conform acestor dependenţe, intensificarea transferului de căldură, în acest caz, este determinată de marirea temperaturii gazelor de ardere şi folosirea unor suprafeţe cu factori de emisie mari şi de creşterea factorului de emisie al gazelor de ardere. La o temperatură şi o compoziţie date pentru gazele de ardere, factorul de emisie al gazelor de ardere creşte cu mărirea grosimii efective a stratului radiant, care poate realiza prin alegerea corespunzătoare a geometriei spaţiului în care se află gazele astfel încât raportul între volumul ocupat de acestea şi suprafaţa închisă de volum să fie cât mai mare.

CAP. 6 TRANSFERUL DE MASĂ

Transferul de masă este ştiinţa proceselor spontane ireversibile de propagare a unui component masic al unui amestec dintr-o zonă cu concentraţie mai ridicată către o zonă cu concentraţie mai coborâtă. Din însăşi definiţie se poate observa o analogie între transferul de masă şi transferul de căldură. Ambele sunt procese spontane şi ireversibile. Transferul de căldură se realizează datorită unui gradient de temperatură, transferul de masă este datorat gradientului de concentraţie. Rezultă primul element al analogiei: temperatură – concentraţie. Transferul de masă poate apărea în fază gazoasă, lichidă, în sisteme gaz–lichid, vapori–lichid, cu sau fără transfer simultan de căldură. Transferul de masă se face în două moduri: prin difuzie moleculară şi prin difuzie turbulentă. Difuzia moleculară este analogă conducţiei termice şi se datorează tendinţei naturale de uniformizare a concentraţiei dintr-un fluid prin mişcarea dezordonată a moleculelor. Difuzia turbulentă este analogă convecţiei termice şi reprezintă transferul de masă între o interfaţă şi un fluid în mişcare. Interfaţa poate fi suprafaţă unui solid sau unui lichid. Fenomenul este dependent de proprietăţile de transport ale fluidului şi de caracteristicile hidrodinamice ale procesului.

6.1. Transferul de masă prin difuzie moleculară

6.1.1. Definiţii. Legi de bază

Dacă într-un spaţiu există un amestec de componente a căror concentraţii variază în spaţiu, apare un fenomen natural care ţine să uniformizeze compoziţia amestecului în spaţiu considerat. Astfel într-un amestec de două componente A şi B cu concentraţii diferite într-un volum considerat, componenta A având o concentraţie mai


mare în zona din stânga, iar componenta B o concentraţie mai mare în zona din dreapta (figura 6.1) Dacă se consideră un plan imaginar x0, deoarece mişcarea moleculelor este dezordonată, numărul de molecule A fiind mai mare la stânga planului x0, un număr mai mare de molecule A vor străbate planul x0 de la stânga la dreapta, decât de la dreapta la stânga. Se obţine astfel în timp o uniformizare a concentraţiei.

Fig. 6.1 Transferul de masă prin difuzie moleculară Pe lângă difuzia produsă de diferenţa de concentraţie, asupra transferului de masă prin difuzie moleculară mai pot apare două fenomene care să frâneze sau să intensifice procesul:

• difuzia termică, bazată pe efectul Soret, corespunzător căruia moleculele cu masă mai mare tind să se deplaseze în zonele cu temperatură mai coborâtă;

• difuzia de presiune, cauzată de diferenţa de presiune. Concentraţia unui component i dintr-un amestec poate fi caracterizată de:

• Concentraţia masică:

Vmi

i =ρ [kg/m3] (6.1)

A B

Concentraţia componentei A

Concentraţia componentei B

CA CB

x x0

Transferul de masă 231

• Concentraţia molară:

VnC i

i = [kmol/m3] (6.2)

unde: mi, ni sunt masa, respectiv numărul de moli ai componentului i; V – volumul. Relaţia de legătură între cele două concentraţii este: iii CM=ρ , (6.3) unde Mi este masa moleculară a elementului i, în kg/kmol. Pentru un amestec cu i componente, densitatea amestecului ρ, respectiv numărul total de moli pe volum al amestecului C va fi: ∑∑ =ρ=ρ

ii

ii CC; (6.4)

Pentru caracterizarea concentraţiei unui component dintr-un amestec gazos se utilizează şi presiunea parţială a componentului i, legată de concentraţia molară prin relaţia:

;RTp

VnC ii

i == RTCp ii = [Pa] (6.5)

unde: R este constanta gazelor, în J/(kmolK); T – temperatura , în K. Se mai definesc:

• fracţia masică

ρρ

= iig (6.6)

• fracţia molară

pp

CCx ii

i == (6.7)

• gradientul de concentraţie

xgrad L

i ∂ρ∂

=ρ [kg/(m3·m)] (6.8)

• debitul masic ii mm =& [kg/s] (6.9)

• fluxul masic

SMj i

i

&= [kg/(m2·s)] (6.10)


• fluxul molar

τ=

SnJ i

i [kmol/(m2·s)] (6.11)

• viteza medie masică a amestecurilor multicomponente:

ρ

ρ=

∑i

ii ww [m/s] (6.12)

• viteza medie molară a amestecului:

C

wCW i

ii∑= [m/s] (6.13)

Legea lui Fick este legea fundamentală a difuziei moleculare. Pentru un amestec din două componente A şi B, ea se poate scrie sub forma:

dz

dCDJ AABAz −= , [kmol/(m2·s)] (6.14)

unde: JAz este fluxul molar al componentei A în direcţia z, în kmol/(m2·s); DAB – coeficientul de difuzie a componentei A prin componenta B, în m2/s; CA – concentraţia molară a componentei A în amestec, în kmol/kg. Legea lui Fick este analogă legii lui Fourier pentru conducţia termică. Legea lui Fick se poate pune şi sub forma propusă de Groot :

[ ]

⋅

=

molaresaumasicefractieigradientul

difuziedeulcoeficient

totaladnsitatea

fluxul

AABA ggradDj ρ−= , (6.15) sau: AABA xgradCDJ = , (6.16) unde: ppCCxgCCC AAAAABABA //;/;; ==ρρ=+=ρ+ρ=ρ . Se observă că între fluxuri există relaţia: AAA MJJ = (6.17) Pentru un amestec de doi componenţi cu viteza medie masică wz în direcţia z, fluxul masic se scrie: ( )zAzAAz wwJ −ρ= , (6.18) în care wAz este viteza componentului A în direcţia z.


Ţinând seama şi de ecuaţia (6.15), rezultă: ( ) AABzAzAAz ggradDwwJ ρ−=−ρ= (6.19) care, după rearanjare, conduce la:

zAA

ABAzA wdz

dgDw ρ+ρ−=ρ . (6.20)

Pentru acest sistem binar, wz se poate calcula cu relaţia (6.12), astfel încât:

ρ

ρ+ρ= BzBAzA

zwww . (6.21)

Înlocuind în relaţia (6.20), rezultă:

( )BzBAzAAA

ABAzA wwgdz

dgDw ρ+ρ+ρ−=ρ . (6.22)

Deoarece wAz şi wBz reprezintă vitezele componenţilor A şi B raportate la un sistem fix de axe, cantităţile AzAwρ şi BzB wρ reprezintă fluxurile masice raportate la sistemul fix de axe, care se notează cu: BzBBzAzAAz wnwn ρ=ρ= ; . [kg/(m2·s)] Înlocuind în ecuaţia (6.22), se obţine:

( )BzAzAA

ABAz nngdz

dgDn ++ρ−= . (6.23)

Această relaţie se poate generaliza şi scrie în formă vectorială: ( )BAAAABA nnggDn ++∇ρ−= , (6.24) care arată că fluxul masic unitar nA are următoarele două componente[25]:

• – AAAB JgD =∇ρ este fluxul masic relativ şi reprezintă contribuţia gradientului de concentraţie;

• ( ) wnng ABAA ρ=+ – contribuţia deplasării amestecului. În mod similar, se poate scrie fluxul molar faţă de un sistem de referinţă fix în felul următor:

( )BAAAAbA NNxxCDN ++∇−= , (6.25) în care: AAA wCN = şi BBB wCN = . Ecuaţiile (6.24) şi (6.26) reprezintă alte forme echivalente cu expresiile (6.15) şi (6.16) ale legii lui Fick. Coeficientul de difuzie DAB este identic în toate cele patru ecuaţii.


Coeficientul de difuzie D Coeficientul de difuzie este introdus de legea lui Fick, fiind analog conductivităţii termice din ecuaţia legii lui Fourier. Ecuaţia sa de definiţie este:

=

dzdCJD

A

AzAB [m2/s] (6.26)

El se defineşte ca fluxul molar al componentei A în direcţia z, pentru un gradient al concentraţiei molare de 1 kmol/(kg·m). Coeficientul de difuzie este o proprietate specifică amestecului, care depinde de compoziţia sa, de temperatură şi presiune. Utilizând teoria cineticii pentru gaze ideale se poate stabili o variaţie a coeficientului de difuzie invers proporţională cu presiunea şi direct proporţională cu temperatura: DAB ∼ p-1T 3/2 (6.27) În tabelul 6.1 sunt prezentate valori ale coeficientului de difuzie pentru diferite perechi de substanţe [20].

Tabelul 6.1 Valorile coeficientului de difuzie

la presiunea atmosferică

Substanţa A Sunstanţa B T (K)

DAB (m2/s)

1 2 3 4 Gaze NH3 Aer 298 0,28·10-4 H2O Aer 298 0,26·10-4 CO2 Aer 298 0,16·10-4 H2 Aer 298 0,41·10-4 O2 Aer 298 0,21·10-4 Acetona Aer 273 0,11·10-4 Benzina Aer 298 0,88·10-5 Naftalina Aer 300 0,62·10-5 Ar N2 293 0,19·10-4 H2 O2 273 0,70·10-4 H2 N2 273 0,68·10-4


Tabelul 6.1 (continuare

1 2 3 4 H2 CO2 273 0,55·10-4 CO2 N2 293 0,16·10-4 CO2 O2 273 0,14·10-4 O2 N2 273 0,18·10-4 Soluţii Cafeina H2O 298 0,63·10-9 Ethanol H2O 298 0,12·10-8 Glucoza H2O 298 0,69·10-9 Glicerină H2O 298 0,94·10-9 Acetonă H2O 298 0,13·10-8 CO2 H2O 298 0,20·10-8 O2 H2O 298 0,24·10-8 H2 H2O 298 0,63·10-8 N2 H2O 298 0,26·10-8 Solide O2 Cauciuc 298 0,21·10-9 N2 Cauciuc 298 0,15·10-9 CO2 Cauciuc 298 0,11·10-9 He SiO2 293 0,4·10-13 H2 Fe 293 0,26·10-12 Cd Cu 293 0,27·10-18 Al Cu 293 0,13·10-33

6.1.2. Ecuaţiile diferenţiale ale difuziei moleculare

6.1.2.1. Ecuaţia de continuitate Pentru a determina ecuaţia generală a difuziei moleculare vom considera un element de volum dv = dx dy dz (figura 6.2), pentru care vom face un bilanţ masic scriind: Viteza de variaţie Variaţia fluxului de Viteza de generare a concentraţiei de = substanţă care + a masei în volum substanţă din volum tranzitează volumul prin reacţii chimice Viteza de variaţie a cantităţii de component A din volum este:


dzdydxM AVA τ∂

ρ∂=,

& [kg/s] (6.28)

Fluxul de masă care intră în elementul dv după direcţia x va fi: dzdywdzdyn xAAxa ,, ρ= [kg/s] (6.29) Fluxul masic care iese din element după aceeaşi direcţie este:

[ ]

dzx

dzdyndzdyndzdyn xA

xAdxxA ∂∂

+=+,

,, [kg/s] (6.30)

Fluxul de masă rămas în elementul de volum după direcţia x va fi:

dzdydxx

ndzdyndzdyn xA

xAdxxA ∂∂

=−+,

,, (6.31)

Scriind în mod analog variaţia fluxului de masă ce tranzitează elementul după celelalte direcţii dy, dz se obţine fluxul variaţia fluxului de masă după cele trei direcţii:

dvnz

ny

nx

M zAAyAxstA

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= ,,& [kg/s]

Semnul minus apare deoarece s-a presupus că fluxul masic care părăseşte volumul este mai mare ca cel care intră în volum. Viteza de generare a masei în volum datorită unor reacţii chimice, în ipoteza unei generări omogene de masă cu viteza qmv,A, în kg/(m3·s) va fi:

Fig. 6.2 Bilanţul masic pentru un element de volum

nA,y

nA,x+dx

nA y+dy nA z+dz

nA,x

nA,z

dy

z y

xgAM ,

& stAM ,

&

dx

dz


dvqM AmvgA ,, =& [kg/s] (6.32)

Înlocuind valorile gAstAvA MMM ,,, ;; &&& în bilanţul de masă se obţine:

0,,,, =−τ∂

ρ∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

AmvA

zAyAxA qnz

ny

nx

(6.33)

Aceasta este ecuaţia de continuitate pentru componentul A. Deoarece nA,z, nA,y, nA,z sunt proiecţiile pe cele trei axe ale vectorului Anr , ecuaţia (6.33) se poate scrie:

0, =−τ∂

ρ∂+∇ Amv

AA qn (6.34)

O ecuaţie similară se poate scrie pentru componentul B din amestec:

0, =−τ∂

ρ∂+∇ Bmv

BB qn (6.35)

şi adunând ecuaţiile (6.34) şi (6.35), rezultă:

( ) ( ) ( ) 0,, =+−τ∂

ρ+ρ∂++∇ BmvAmv

BABA qqnn . (6.36)

Ţinând seama că, pentru un amestec de doi componenţi există relaţiile: wwwnn BBAABA ρ=ρ+ρ=+ ; ρ=ρ+ρ BA ; BmvAmv qq ,, −= , deoarece generarea componentului A se face pe seama epuizării componentului B, se obţine ecuaţia de continuitate pentru amestec:

( ) 0=τ∂ρ∂

+ρ∇ w , (6.37)

care este identică cu ecuaţia de continuitate pentru curgerea unui fluid omogen.


6.1.2.2. Forme speciale ale ecuaţiei de continuitate Pentru determinarea distribuţiei concentraţiei, trebuie înlocuit fluxul unitar prin expresiile rezultate din legea lui Fick. Astfel, dacă se înlocuieşte în ecuaţia (6.34) valoarea lui nA (6.24): ( )BAAAABA nnggDn ++∇ρ−= sau echivalentul său: wgDn AAABA ρ+∇ρ−= , rezultă:

( ) ( ) 0, =−τ∂

ρ∂+ρ∇+∇ρ∇− Amv

AAaAB qwgD . (6.38)

sau scrisă în funcţie de concentraţia molară:

( ) ( ) 0, =−τ∂

∂+ρ∇+∇∇− Amv

AAAAB qCwxCD (6.38a)

Această ecuaţie este generală şi exprimă distribuţia concentraţiei componentului A într-un amestec. În această formă este, însă foarte greu de utilizat şi de aceea se fac ipoteze simplificatoare care permit aducerea ei într-o formă mai uşor de folosit. • Dacă densitatea ρ şi coeficientul de difuzie DAB se consideră constante, ecuaţia devine:

0,2 =−

τ∂ρ∂

+ρ∇+∇ρ+ρ∇− AmvA

AAAAB qwwD (6.39)

• Pentru un fluid incompresibil, viteza este constantă şi deci 0=∇w . Dacă nu există generare de substanţă A, atunci qmv,A = 0. De asemenea, dacă se consideră constante densitatea şi coeficientul de difuzie, ecuaţia (6.39) se reduce la forma:

AABAA Dw ρ∇=ρ∇+

τ∂ρ∂ 2 . (6.40)

Se observă că membrul stâng al ecuaţiei conţine doi termeni: derivata locală τ∂ρ∂ /A a câmpului scalar de concentraţie masică ( )τρ ,,, zyxA şi termenul:

z

wy

wx

ww Az

Ay

AxA ∂

ρ∂+

∂ρ∂

+∂ρ∂

=ρ∇ ,

care reprezintă derivata în raport cu viteza a concentraţiei masice ( )τρ ,,, zyx . Suma acestor două derivate este denumită derivata


substanţială a concentraţiei masice şi deci ecuaţia (6.40) se poate scrie în forma:

AABA D

DD

ρ∇=τ

ρ 2 , (6.41)

care este analogă cu ecuaţia pentru transferul de căldură în regim tranzitoriu:

TaDDT 2∇=

τ , (6.42)

în care T este temperatura, iar a – difuzivitatea termică. • În cazul în care fluidul nu se deplasează w = 0 nu există generare de masă qmv,A = 0, iar densitatea şi difuzivitatea sunt constante, ecuaţia (6.40) se reduce la:

AABA D ρ∇=

τ∂ρ∂ 2 . (6.43)

Această ecuaţie este cunoscută sub numele de legea a doua de difuzie a lui Fick. Ipoteza că fluidul nu se deplasează restrânge aplicabilitatea ei numai la corpuri solide sau lichide staţionare, precum şi la sisteme binare de gaze, sau lichide, la care nA = –nB. Ecuaţia (6.43) este analogă cu ecuaţia lui Fourier pentru conducţia căldurii:

TaT 2∇=τ∂

∂ . (6.44)

• Ecuaţiile (6.39), (6.40) şi (6.43) pot fi simplificate în continuare dacă procesul se consideră staţionar şi deci 0/ =τ∂ρ∂ A . Pentru densitate constantă şi coeficient de difuzie constant, ecuaţia (6.39) devine: AmvAABA qDw ,

2 +ρ∇=ρ∇ . (6.45) Dacă nu există nici generare de substanţa, se obţine: AABA Dw ρ∇=ρ∇ 2 . (6.46) În plus, dacă w = 0, ecuaţia se reduce la: 02 =ρ∇ A , (6.47) care este ecuaţia lui Laplace, pentru concentraţii masice de component A.


6.1.2.3. Condiţii iniţiale şi la limită Pentru descrierea cazurilor concrete de transfer de masă, trebuie rezolvată una din ecuaţiile diferenţiale prezentate pentru anumite condiţii iniţiale şi la limită care permit determinarea constantelor de integrare. Condiţiile la limită cele mai întâlnite sunt următoarele: A • Specificarea concentraţiei la interfaţă în concentraţie molară CA = CAs sau masică ρA = ρAs sau fracţia molară xAs, iar în cazul gazelor, prin presiunea parţială pA = pAs sau fracţia molară xA,s. Pentru un caz concret de difuzie a unui component din faza gazoasă în faza solidă sau lichidă (figura 6.3), dacă concentraţia elementului A din faza gazoasă este caracterizată de presiunea parţială pA,s, transformarea ei în funcţie molară se va face utilizând legea lui Henry:

Hpx As

As = , (6.48)

Fig. 6.3 Interfaţa gaz–lichid sau gaz–solid

unde H este constanta lui Henry, în bar. Valorile constantei lui Henry pentru unele soluţii apoase ale unor gaze sunt prezentate în tabelul 6.2.

Tabelul 6.2 Valorile constantei lui Henry pentru soluţii apoase

H = pA, i/aA, i (bar)

T (K) NH3 Cl2 H2S SO2 CO2 CH4 O2 H2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 273 21 265 260 165 710 22,880 25,500 58,000 280 23 365 335 210 960 27,800 30,500 61,500 290 26 480 450 315 1300 35,200 37,600 66,500 300 30 615 570 440 1730 42,800 45,700 71,600

Gaz lichid sau gaz solid

pAs

xAs Lichid sau solid

Gaz

Interfaţa

x


Tabelul 6.2

(continuare)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 310 – 755 700 600 2175 50,000 52,500 76,000 320 – 860 835 800 2650 56,300 56,800 78,600 323 – 890 870 850 2870 58,000 58,000 79,000

B • Al doilea tip de condiţii la limită descriu continuitatea fluxului JA,s la interfaţă.

0

,=∂

∂−=

x

AABsA x

xCDJ . (6.49)

În cazul unor interfeţe impermeabile pentru componenta A 0/

0=∂∂

=xA xx . Cantităţile iniţiale presupun cunoaşterea câmpului de concentraţii la momentul τ = 0.

6.1.3. Difuzia masică prin medii cu geometri simple fără reacţii chimice care generează masă în volum

• Mediu plan Dacă se consideră un mediu plan în repaus, cu grosimea δ prin care difuzează o componentă A prin componenta B, în regim staţionar, fără surse interne de masă datorate unor reacţii chimice (figura 6.4), pentru determinarea distribuţiei concentraţiei în spaţiu, se pleacă de la ecuaţia (6.38a), care în ipotezele făcute are forma:

0=

dxdxCD

dxd A

AB (6.50)

Fig. 6.4 Transferul de masă printr-un mediu plan

xA,s1 xA,s2 NA,x

x

A+B


Prin integrarea ecuaţiei (6.50), în condiţiile la limită: x = 0;

1,sAA xx = şi x = δ; 2,sAA xx = , se obţine câmpul de concentraţii în perete:

( ) ( ) 1,1,2, sAsAsAA xxxxxx +δ

−= , (6.51)

Fluxul molar (relaţia 6.25) în ipoteza considerată se scrie:

dxxdxCDN A

ABA)(

−= (6.52)

Înlocuind valoarea xA(x) din (6.51), rezultă:

L

xxCDN sAsA

ABA1,2, −

−= . [kmol/(m2·s)] (6.53)

Multiplicând cu suprafaţa S şi înlocuind xA = CA/C, rezultă:

( )2,1, sAsAAB

A CCSDN −δ

⋅= [kmol/s] (6.54)

Extinzând analogia electrică a transferului de căldură şi la transferul de masă:

SR

CNdifm

A,

∆= [kmol/s] (6.55)

rezultă că rezistenţa masică difuzivă pentru un mediu plan este:

AB

difm DR δ

=, [s/m3] (6.56)

Dacă mediul prin care are loc difuzia este cilindric sau sferic valorile câmpului fracţiei molare şi al rezistenţelor masice sunt prezentate în tabelul 6.3 [20,40]


Tabelul 6.3

Rezistenţele masice şi distribuţia concentraţiei

Geometria Distribuţia concentraţiei xA(x) xA(r)

Rezistenţa masică difuzivă, Rm,dif

( ) 1,1,2,)( sAsAsAA xLxxxxx +−=

ABdifm D

R δ=,

( ) ( ) 2,221

2,1, ln/ln sA

sAsAA x

rr

rrxx

rx +

−=

( )AB

difm DrrR

π=

2/ln 12

,

( ) 2,221

2,1, 11/1/1 sA

sAsAA x

rrrrxx

rx +

+

−−

=

−

π=

21,

114

1rrD

RAB

difm

6.2. Transferul de masă convectiv

Transferul de masă convectiv reprezintă transportul de substanţă între un fluid în mişcare şi o interfaţă. Aceasta poate fi suprafaţă unui solid sau unui lichid. Transferul de masă convectiv este analog convecţiei termice, având ca şi aceasta două componente: o difuzie moleculară în stratul limită masic şi o mişcare de amestec în afara acestuia. Transferul de masă convectiv apare în numeroase echipamente sau instalaţii termice, cum ar fi: scruberele, turnurile de răcire, degazoarele termice, instalaţiile de uscare. De cele mai multe ori transferul de masă convectiv este însoţit şi de un transfer de căldură.

L

xA,s1

xA,s2

A

x

xA,s2 xA,s1

r

r1 r2

L

+

xA,s1

xA,s2

r1 r2

r


6.2.1. Ecuaţii de bază

Ecuaţia fundamentală ale transferului de masă convectiv (difuzie turbulentă) este analogă ecuaţiei lui Newton a convecţiei termice, având forma: ( )AAicA kn ρ−ρ= , [kg/(m2·s)] (6.57) unde: nA este fluxul unitar masic al componentei A; kc – coeficientul de transfer de masă, în m/s; ρAi, ρA – concentraţiile substanţei A la interfaţă, respectiv la distanţa de interfaţă în fluidul în mişcare, în kg/m3. Cea mai uzitată metodă de determinare a coeficientului de masă este analiza dimensională succedată de experiment. Se pot obţine astfel relaţii criteriale. La calculul transferului de masă, pe lângă numerele criteriale întâlnite şi la transferul de căldură (Re, Pr) se utilizează şi numere criteriale proprii: Criteriul Schmidt (Sc) reprezintă raportul dintre difuzivitatea impulsului şi difuzivitatea masei:

ABAB DD

Scρ

η=

ν= . (6.58)

Criteriul Sc este analog criteriului Pr care reprezintă raportul între difuzivitatea masei şi a căldurii (Pr = ν/a). Criteriul Lewis (Le) este raportul între difuzivitatea căldurii şi cea a masei:

ABpAB DCD

aLeρ

λ== (6.59)

Criteriul Sherwood (Sh) reprezintă raportul între rezistenţa la transferul de masă prin difuzie moleculară şi rezistenţa termică prin difuzie turbulentă:

AB

c

DlkSh = , (6.60)


unde: l este lungimea caracteristică, în m. Criteriul Sherwood este analog criteriului Nusselt. Relaţiile criteriale care caracterizează transferul de masă convectiv sunt în general de forma: Sh = f (Re, Sc, Le) , (6.61) pentru transferul de masă prin convecţie forţată şi de forma: Sh = f (Gr*, Sc) , (6.62) pentru transferul de masă prin convecţie naturală unde: Gr* = l3∆ρA/ρν2 este criteriul lui Groshof pentru transferul de masă. În tabelul 6.4 sunt prezentate o serie de relaţii criteriale pentru determinarea coeficientului de transfer de masă convectiv[20,40,39,25].

Tabelul 6.4 Relaţii criteriale pentru transferul

de masă convectiv Nr. crt.

Relaţia criterială Domeniul de valabilitate

Tipul de transfer masic

1

( ) 2/15.4 871Re037,0 ScSh LL −= 0,6 < Sc < 3000 5·105<ReL<108

Curgerea peste o placă cu lungimea L

2

3/1

/Re86,1

=

DLScSh D

D

ReD < 2300

Curgere laminară în ţevi cu lungimea L şi diametrul D

3

44,083,0Re023,0 ScSh DD =

2000 < ReD<35000 0,6<Sc<2,500

Curgere turbulentă în conducte

4

33,083,0Re023,0 ScSh DD =

2000<ReD<70000 1000<Sc<2260

Curgerea turbulentă în conducte

6.2.2. Transferul de masă interfazic

În cazul transferului de masă între două faze diferite separate printr-o interfaţa (sisteme lichide-lichid, lichid-gaz, gaz-solid, lichid-solid), acesta se efectuează în trei etape: transferul de masă convectiv de la una din faze la interfaţă (suprafaţa de separare dintre faze); transferul de masă prin


suprafaţă şi transferul de masă de la suprafaţă la al doilea fluid. În cele mai multe cazuri suprafaţa (interfaţa) nu este solidă, astfel că rămâne numai două rezistenţe masice. În figura 6.4 este prezentat un astfel de model care presupune transferul de masă între un gaz şi un lichid.

Fig. 6.5 Transferul de masă interfazic Mecanismul de transfer de masă este un proces combinat care cuprinde transferul molecular şi transferul turbulent cu efecte care nu se pot evidenţia separat. Din această cauză este necesară utilizarea conceptului de coeficient de transfer care să ia în considerare ambele tipuri de procese. Fluxul molar de component A transferat în direcţia z poate fi exprimat prin relaţiile: ( ) ( )AlAilAiAggAz cckppkN −=−= [kmol/(m2·s)] (6.63) în care: pAg, pAi reprezintă presiunea parţială a componentului A în gaz şi la interfaţă; cAl, cAi – concentraţia molară de component A în lichid şi respectiv, la interfaţă; kg, kl – coeficienţii individuali de transfer de masă în gaz şi respectiv, în lichid. Determinarea practică a concentraţiei sau a presiunii parţiale la interfaţă este deosebit de dificilă, motiv pentru care se preferă folosirea unor coeficienţi globali de transfer de masă, care iau în considerare potenţialul total de transfer. Astfel, dacă se defineşte coeficientul global în funcţie de presiunile parţiale, fluxul molar se poate scrie: ( )*

AAggA ppKN −= [kmol/(m2·s)] (6.64)

p = pA+pB

Pres

iune

a (c

once

ntra

ţia)

(p*Ai)

δl δg

Distanţa

Faza gazoasă Faza lichidă

Interfaţă gaz-lichid

Film de gaz Film de lichid

cBl (p*

Bl)

(p*Al)

(c*Ai) (c*

Ag)

(c*Bg)

pBg

pAg pAi

cAi

cAl

z


unde: Kg este coeficientul global de transfer de masă definit în funcţie de presiunea parţială activă în faza gazoasă, în kmol/(m2·s·Pa); pAg – presiunea parţială în faza gazoasă, în Pa; *

Ap – presiunea parţială a componentului A în echilibru cu compoziţia din faza lichidă, în Pa. În mod similar, coeficientul global se poate defini în funcţie de concentraţia componentului A în faza lichidă şi atunci fluxul devine: ( )AlAlA ccKN −= * [kmol/(m2·s)] , (6.65) unde: Kl este coeficientul global de transfer de masă definit în funcţie de concentraţia activă în faza lichidă, în m/s; cAl – concentraţia componentului A în faza lichidă, în kmol/m3; *

Ac – concentraţia componentului A corespunzătoare echilibrului cu pAg, în kmol/m3. Valorile de echilibru ale concentraţiei şi presiunii parţiale se determină pe baza legii lui Henry, conform relaţiilor: AlAAgA HcpHpc == ** ;/ , (6.66) unde H este constanta lui Henry. În figura 6.5 este prezentată forţa activă a transferului de masă asociată cu fiecare fază, precum şi forţa activă globală.

Fig. 6.6 Forţa activă a transferului de masă în modelul celor două filme

Raportul dintre rezistenţa la transfer opusă de fiecare fază şi rezistenţa totală se calculează cu relaţiile:

kgkg

pp

RR

Atot

Ag

total

gaz

/1/1

=∆

∆= (6.67)

∆p A

g ∆

p Al

∆p A

tota

l

∆cAg ∆cAl

cA cAi cAl

pA

pAg

pAi

∆cAtotal

c*A

p*A


l

l

Atot

Al

total

lichid

Kk

cc

RR

/1/1

=∆∆

= (6.68)

Ţinând seama de relaţiile anterioare se poate determina legătura dintre coeficienţii individuali şi cei globali de transfer de masă. Rezultă următoarele relaţii:

lgg k

HkK

+=11 ; (6.69)

lgl kHkK

111+= . (6.70)

BIBLIOGRAFIE

[1] ARPACI. V.S., Conduction heat-transfer, Adidisan-Wesley., 1996. [2] BADEA. A., NECULA. H., STAN. M., IONESCU. L., BLAGA. P., DARIE. G.,

Echipamente si instalatii termice, Editura Tehnica, Bucuresti, 2003. [3] BADEA.A.,NECULA,H.,Schimbătoare de căldură, Editura AGIR, Bucureşti,

2000 [4] BELOV,I.A.,KUDRIAVTEV,N.A., Teplootdacia i saprotivlenie pachetov trub.

Energoatomizdat, 1987. [5] BONTEMPS, A., GARRIGUE,A, ş.a Technologie des echangeurs thermiques.

Techniques de l'Ingineur. Paris,1998 [6] BRATIANU. C., Metode cu elemente finite in dinamica fluidelor.Editura

Academiei, Bucuresti, 1983. [7] BRIGGS,D.E, YOUNG, E. H. Convection heat transfer and pressure drop of air

flowing across triangular pitch banks of finned tubes. Chem.Eng. Symp. Series no 41, vol. 59, 1983, p. 1 - 10.

[8] BUTTERWORTH,D.,HEWIT,G.F., Tow-phase flow and heat transfer,Oxford University Press, 1977.

[9] CARABOGDAN. I. GH., BADEA. A., ş.a. Metode de analiza a proceselor si sistemelor termoenergetice. Editura Tehnica, Bucuresti, 1989.

[10] CHERON.B., Transferts thermiques, Ellipsas , Paris 1999. [11] CHIRIAC. FL., s.a., Procese de transfer de caldura si masa in instalatiile

industriale.Editura Tehnica, Bucuresti, 1982. [12] CHURCHILL,S.W.,CHU,H.S., Corelating Equations for Laminar and Turbulent

Free Convection from a Vertical Plate. Int. Jurnal of Heat and Mass Transfer,18,1323,1975.

[13] COLLIER, J. G., THOME, J.R. Convective boiling and condensation.Third Edition, Clarendon Press, Oxford, 1994, 596p.

[14] CRABOL,J., Transfert de chaleur (3 tomes), Masson, Paris, 1992. [15] DAVENPORT, C.J. Correlations for heat transfer and flow friction characteristics

of lourered fins. Heat Transfer, Seattle 1983. AICHE Symp. no225, vol 79,1983, p 19-27

[16] DEPEW, C.A., REISBIG, R.L. Vapor condensation on a horizontal tube using Teflon to promote dropwise condensation. Industrial Engineering Chemistry, Processing, Design and Development, vol. 11, 1964

[17] DOROSCIUC, B.E., Crizisi temploobmena pri chiperii vodi v trubah., Energhia, Moskva, 1970.

[18] GRAY, D.L., WEBB, R.L. Heat transfer and friction correlation for plate fin and tube heat exchangers having plain fins. Heat transfer, vol 6, 1986, p. 2745 - 2750

[19] HONG, S. W., BERGLES, A.E. Augmentation of laminar flow heat transfer in tubes by means of twisted tape inserts. J. Heat Transfer, vol.91, 1969, p. 434-442

Iniţiere în transferul de căldură şi masă

250

[20] INCROPERA. F.P., DEWITT. D.P., Fundamentals of Heat and Mass Transfer, John Wily & Sans, New York, 1996.

[21] ISACENCO. V.P., OSIPOVA. V.A., SUKOMEL. A.S., Teplaperdacia, Energhia, 1975.

[22] ISACENKO.V.P., Teploobmen pri condensatii, Energhia, Moskva,1977 [23] JOSHI, H.M., WEBB, R.L. Prediction of heat transfer and friction in the offset

strip fin arraz. Int. J. Heat Mass Transfer, vol.30. no1, 1987, p 69 – 84 [24] JUKAUSKAH,A.,JIUJGDA,I., Teplotdacia v laminarnom patoke jidcosti, Mintis,

Vilnius, 1969. [25] KAFAROV,V.V., Fundamentals off mass transfer, Mir Publishers, 1975. [26] KAKAC, S., Handbook of single phase connectiv heat transfer, 1987 [27] KREITH. K., Principales of heat transfer, New-York International, 1976 [28] KUMAR,R., JUDD, R.L. Heat transfer with coiled turbulance promoters. Canad.

J. Chem. Eng., vol.48,1970,p. 378 -383. [29] KUTADELADZE. CC., Teplaperedacia pri condensatii i kipenii, Masghiz, 1952. [30] LECA, A., MLADIN,E.C., STAN,M. Transfer de căldură şi masă. Editura tehnică.

Bucureşti,1998.783p [31] LOCKHART,R., MARTINELLI, R.C. - Proposed Corelation of Data for

Isothermal Two-Phase, 1994 [32] MARTO, P. J., LEPERE, V. J. Pool Boiling Heat Transfer from enhanced surfaces

to dielectric fluids. Advances in Enhanced Heat Transfer, HTD-18, ASME, New York,1981.

[33] MIHEEV. M.A., MIHEEVA. I.M., Osnovi teplaperedaci, Energhia, Moskwa, 1973

[34] PETUHOV,B.S., Teploobmen I saprotivlenie pri laminarnom tecenii v trubah, Energhia, Moscva,1967

[35] RABAS, T.J. The effect on fin density on the heat transfer and pressure drop performance of low finned tube banks. ASME paper n0 80-HT-97,1980.

[36] ROBINSON, H., BRIGGS,D.E. Pressure drop of air flowing across trangulair pitch banks of finned tubes. CEP Szmp. Series n0 64, vol 62,1996, p. 177-188

[37] ROSHEWOW, W.M., Hand book of Heat Transfer, Mc Gnow-Hill, New York, 1985

[38] SACADURA. J.F., Invitation aux transferts thermoques, Laroisier, TEC & DOC, Paris 1993.

[39] STEFANESCU. D., LECA. A., LUCA. L., BADEA. A., MARINESCU. M., Transfer de căldură şi masă, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1983

[40] SUBBOTIN,V.I., Obşcie vaprosî teplo i maso obmena, Nauca i Tehnica, Minsc, 1966

[41] STEPHAN,K. Heat transfer in condensation and boiling. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992, 325 p

[42] THORSEN,R., LANDIES, F. Friction and heat transfer characteristics in turbulent swirl flow subjected to large transverse temperature gradients. J. Heat Transfer, vol.90, 1968, p 87-89.

[43] TIEN-MO SHIH, Numerical Heat Transfer, Hemisphere Publishing, 1984. [44] TONG. L.L., Biling Heat Transfer and Two - Phase Flow, Wiley, New York,

1965. [45] UTTAWAR, S.B., RAJA RAO, M. Turbulent flow friction and heat transfer

characteristics of single spirally enhanced tubes. J. Heat Transfer, vol 107,1985,p 930 - 935

Bibliografie

251

[46] VIDIL. R., MARVILLET, Ch., Les echangeurs a plaques. GRETh, Grenoble 1990.

[47] WEBB, R.L. Principles of Enhanced Heat Transfer. John Wiley &Sons, Inc., New York, 1994,556p.

[48] WEBB, R.L., RUDY, T.M.,KEDZIERSKI, M.A. Prediction of the Condensation coefficient on horizontal integral-fin tubes. J. Heat Transfer, vol. 107,1985.

Tcm Badea12

Documents

Transcript of Tcm Badea12