8/18/2019 Suceva 2007 Clasa a VII A

1/2

 

CLASA A VII- A

1.  Fie n  un număr natural, 3n ≥ . Să se demonstreze că numărul 1 2 1...n na a a a−  se divide cu

7 , dacă şi numai dacă  1 4 3 2 12 ... 3n na a a a a a−   + +  se divide cu 7 .

Mariana Liliana Popescu, Suceava

2. 

Se dau numerelek 

a , 1,2006k = , cu proprietatea că  { 1,1}k 

a   ∈ −  şi fie numerele

k s   ∈ , 1,2004k = , definite prin 1 2| |k k k k  s a a a+ += + − , 1,2004k = .

a) 

Să se determine minimul valorilor sumei1 2 2004...s s s s= + + + ;

b) 

Să se demonstreze că, oricum am alege numerele { 1,1}k 

a   ∈ − , s este număr par;

c) 

Să se determine maximul valorilor sumei s.

Angela Ţigăeru, Suceava

3. 

Se consideră triunghiul echilateral ABC  şi P, N, S, T  mijloacele segmentelor [ ] AB ,

[ ] AC  , [ ]PM   şi respectiv [ ] MN  , unde M  este un punct variabil pe latura [ ] BC  . Arătaţi

că:

a)  STCB  este trapez;

b)  Dacă  2ST cm= , calculaţi perimetrul triunghiului ABC  şi aria lui STCB.

c)  Calculaţi perimetrul lui STCB în cazul în care STCB este trapez isoscel

Vasile Solcanu, Bogdăneşti, Suceava

4.  Se consideră pentagonul regulat ABCDE şi fie { }F AC BE  = ∩ . Considerăm punctul

oarecare [ ] M AE ∈  şi fie N simetricul lui M faţă de AC, P simetricul lui N faţă de BE şi

Q simetricul lui P faţă de EC.

Să se demonstreze că [ ] [ ]QD MF  ≡ .

Cătălin Ţigăeru, Suceava

Notă: Timpul efectiv de lucru 3 ore.

Pentru fiecare subiect se acordă de la 0 la 7 puncte.

CONCURSUL

CENTRELORDE EXCELENŢĂ 

DIN MOLDOVA- 2 iunie 2007 -

CENTRUL DE EXCELENŢĂ PENTRU TINERI CAPABILI

DE PERFORMANŢĂ - FILIALA SUCEAVA –

Str. V. Alecsandri nr.3, 720001;

Tel. 0230/551342; 0230/551343;

e-mail: cn_stefan@yahoo.com

COLEGIUL

NAŢIONAL“ŞTEFAN CEL MARE”

SUCEAVA 

8/18/2019 Suceva 2007 Clasa a VII A

2/2

SOLUŢII:

1. 1 2 1 1 3 2 1 1 3 1 3 2 1 2... 100 ... 10 49 2 ... 2 ... 3 7n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a a− − − −= ⋅ + ⋅ + = ⋅ + + + +  

2. a) Se constată uşor că  { }1,3 ,k s   ∈  deci 2004;s  ≥ deoarece pentru 1 2 2006... 1a a a= = = =  

obţinem 2004s  = , deducem că minimul valorilor lui s este 2004.

b) Vom nota cu a numărul de numerek 

s  care sunt egale cu 3 şi cu b numărul de numerek 

s  

care sunt egale cu 1. Deducem că  3 , 2004 este număr par.s a b a b s= + + =   ⇒  

c) Dacă există  { }1,2,...,2004k ∈  pentru care 3k s   = , atunci 1 1k s +   = . De aici deducem că 

numărul maxim de numerek s  care iau valoarea 3 este 1002, celelalte 1002 numere luând

valoarea 1. Pentru 4 1 4 2 1m ma a+ += =   şi 4 3 4 1m ma a+   = = −  obţinem maximul s=4008 .

3. a) [ ]ST   linie mijlocie în  MNP ||ST NP⇒  (1)

[ ] NP  linie mijlocie în  ABC  || BC NP⇒  (2)

Din relaţiile (1), (2) şi din || BS CT rezultă că  BSTC  este trapez.

b) 2 8 24 . ABC 

ST cm BC cm P cm=   ⇒   =   ⇒   =

 

Aria[STCB]25 3 .cm=  

c) BSTC  este trapez isoscel   ( )2 3 2 3 5 BSTC  BS TC P cm⇒   = =   ⇒   = +  

4. Punctul N  este simetricul lui M  faţă de AC    [ ] [ ]( )1FN FM  ⇒   =  

Punctul P este simetricul lui N  faţă de BE    [ ] [ ]( )2FN FP⇒   =  

 ABCDF  este pentagon convex rombCDEF ⇒ ⇒ F şi D sunt simetrice faţă de CE. Dar P şi Q

fiind simetrice faţă de CE, rezultă că [ ] [ ]( )3PF QD≡  

Din relaţiile (1), (2) şi (3) rezultă [ ] [ ]QD MF  ≡ .