7/21/2019 Subiecte Arhimede 27.02.2010 Cls. IV - VIII

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Concursul National de matematica ARHIMEDEEditia a VII-a, etapa a II-a, 27 februarie 2!

Clasa a IV-a

I. (4p) a) Efectuai: (2010191+2010316-4072010):3 (2p) b) S se afe ce !ai !ic "u!# "atu#a $e $%u cif#e ca#e &!p#it a u" "u!# $e %

si"'u# cif# $ #estu 6. (3p) c) fai "u!#u a* $ac su"t &"$epi"ite si!uta" c%"$iiie:+a,424

+a,7/+a,397

++,62

II. (3p) a) acuai "ecu"%scuta a* tii"$ c: (a:a+2a-a1+0a+a:1+3a):13,42 (3p) b) Saa#iu a"ua a u"ui p#ee"tat%# este $e 0.0005 i % !ai". up 7 u"i e

p#sete %cu $e !u"c i p#i!ete 2.0005 i % !ai". t 8a%#ea !ai"a (E esteptit cu aceeai su! &" fieca#e u").

(3p) c) te "u!e#e "atu#ae !ai !ici $ect 1000 c%"i" cif#a 2 $e eact $%u %#i acuai

su!a %#.III. (4p) a) "$#ei este fiateist. E &i spu"e p#iete"uui su: ac !i-ai $a &"esitu

"u!#uui $e ti!b#e ca#e &!i ipsete p" a /00 atu"ci a a8ea $e t#ei %#i !ai !ute ti!b#e

$ect acu!*. te ti!b#e a#e "$#ei (p) b) "$#a a#e 7/ $e b%!b%a"e cu apte i f#ucte. Ea face '#!ei $i" cte 3 b%!b%a"e

cu apte i 4 b%!b%a"e cu f#ucte i '#!ei cu cte 3 b%!b%a"e cu f#ucte f%%si"$ t%ateb%!b%a"ee. ;tii"$ c a %bi"ut 14 '#!ei s se afe cte b%!b%a"e cu f#ucte a#e.

I. (3p) a) a#e este te#!e"u u#!t%# &" i#u: 3< 6< 30< /70< ...

(b) Ee8ii u"ei case au pa#ticipat a ccues $e f#ucte. Ei s-au &!p#it &" $%u ec=ipe f%#!ate$i" aceai "u!# $e ee8i. >ieca#e ee8 a cues cte 9?' sau 10?'. a"titatea t%ta cueas a

f%st $e 17/?'.

(3p) 1) i ee8i e#au &" fieca#e ec=ip (3p) 2) i ee8i $i" fieca#e ec=ip au cues cte 9?' i ci ee8i au cues cte 10?'

Nota: Punctajul maxim pentru fiecare subiect se va obine doar dac rspunsul este nsoit dejustificare (rezolvare complet).Timp de lucru 2 ore. Toate subiectele sunt obligatorii. otarea se facede la !p la !"p.

Concursul Naional de matematic ARHIMEDEEdiia a VII-a, etapa a II-a, 27II2!"!

Clasa a V-a

I.(3p) a) ete#!i"ai ctu i #estu &!p#i#ii ui ,1234+2010 a 12. (3p) b) ac A B i ca#$i"au !ui!ii este 2ia# ca#$i"au !ui!ii @ este 24

cacuai ca#$i"au !ui!ii A@. (3p) c) acuai: (34-33):(33-32).

II. Se c%"si$e# "u!e#ee "atu#ae $e f%#!a abcdca#e 8e#ific c%"$iia: 2 .ab cd =

(4p) a) fai #estu &!p#i#ii u"ui astfe $e "u!# a 67.(p) b) S se a#ate c su!a tutu#%# acest%# "u!e#e este $i8iibi cu 2010.

#isti"a Ic=i!III. Se c%"si$e# !ui!ea ,B/193041...2010C i % sub!ui!e @ a ui f%#!at $i" 93

$e ee!e"te.

Se ce#e:(4p) a) fai ca#$i"au !ui!ii

7/21/2019 Subiecte Arhimede 27.02.2010 Cls. IV - VIII

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(p) b) S se a#ate c &" sub!ui!ea @ eist $%u ee!e"te a c#%# su! este 2029. D.. F%%"iu

I. (4p) a) ete#!i"ai "u!e#ee a i b tii"$ c 2a+3b, ab .

(p) b) e!%"st#ai c:1340 2010

abc xyz < pe"t#u %#ice "u!e#e abc i xyz.

Not#Gu"ctaHu !ai! pe"t#u fieca#e subiect se 8a %bi"e $%a# $ac #spu"su este &"s%it $e

Hustifica#e (#e%8a#e c%!pet).

i!p $e uc#u 2 %#e i 30 !i"ute. %ate subiectee su"t %bi'at%#ii. D%ta#ea se face $e a 1 a10p.

Concursul Naional de matematic ARHIMEDE

Ediia a VII-a, etapa a II-a, 27II2!"!Clasa a VI-a

I. %"si$e#! "u!e#ee #ai%"ae:1 1 1

2 3 4a = + + i

1 2 3

2 3 4b = + + .

(3p) 1) acuai: a+b(3p) 2) acuai a2+b2

(3p) 3) e%8ai ecuaia: a,b.

II. (3p) 1) ete#!i"ai !ui!ea: ,B J2

abab

a b+este f#acie ec=iu"ita#C

2) Se c%"si$e# f#acia2 3

( 1)( 2)( 3)( 4)

m m

n n n n n

+

+ + + +u"$e "! K

(3p) a) S se $e!%"st#ee c pe"t#u ! i!pa# f#acia este i#e$uctibi.

(3p) b) S se afe t%ate pe#ec=ie (!") ca#e au p#%p#ietatea c !",2010 i f#acia $at estei#e$uctibi. #aia" G#e$a

III. >ie L@ cu M@N MN i pu"ctee i D afate &" se!ipa"e %puse fa $e @ cu

u#!t%a#ee p#%p#ieti: se af &" i"te#i%#u L@ i BAM CAMS S ia# D se af &"

ete#i%#u L@ i MD@N MDN.

S se $e!%"st#ee c:

(3p) a) L@D L

(3p) b) L@D LD

(3p) c) Gu"ctee D su"t c%i"ia#e.

I. (3p) a) S se a#ate c "u eist "u!e#e "atu#ae i astfe &"ct 2+2,2010.

.Ic=i!

(3p) b) S se cacuee #estu &!p#i#ii ui /2010a 13.

(3p) c) S se cacuee #estu &!p#i#ii ui /

2010

a 143.

D.. F%%"iu

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Not#Gu"ctaHu !ai! pe"t#u fieca#e subiect se 8a %bi"e $%a# $ac #spu"su este &"s%it $e

Hustifica#e (#e%8a#e c%!pet).i!p $e uc#u 2 %#e i 30 !i"ute. %ate subiectee su"t %bi'at%#ii. D%ta#ea se face $e a 1 a

10p.

Concursul Naional de matematic ARHIMEDEEdiia a VII-a, etapa a II-a, 27II2!"!

Clasa a VII-a

I. Se c%"si$e# "u!e#ee:1 2 3 1

...1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 ...

n

nn

n

= + + + +

u"$e "O2.

#tai c:

(2p) a) 42324

a =

(2p) b)1 1 1

1 2 3 4 ... 1 2 3 4 ... ( 1) 1 2 3 4 ...

n

n n n

=

(2p) c) 2 3 2010... 1t t t+ + + < u"$e1

1 2 3 ...n

nt

n

=

(3p) $) fai ce !ai !ic "u!# "atu#a " astfe &"ct 2 32009

... .

2010nt t t+ + + >

II. (4p) 1) Se $au "u!e#ee #eae: 100 2 3 1231 2 3 ... 99

2 2< < 3 3 3 ... 32200

a b c+ + + +

= + = = .

ete#!i"ai BabcCP .

. F%$ea"u Qatei

(p) 2) S se $ete#!i"e "u!e#ee p#i!e i $isti"cte ae be ce de tii"$ c satisfac #eaia:

6ae be ce de ba+ + + = .

;tefa" a#ica #%beta #.-Se8e#i"

III. >ie @ Q t#ape is%sce cu baa !a#e @,2a baa !ic ,a ia# $ia'%"aa Qbisect%a#ea u"'=iuui .

(3p) a) S se a#ate c @.(3p) b) S se cacuee pe#i!et#u t#apeuui &" fu"ie $e a.

(3p) c) ia'%"aee t#apeuui se taie &" E. S se 'seasc 8a%a#ea #ap%#tuui .AE

EC

I. Se c%"si$e# t#iu"'=iu is%sce @ (@,) i pu"ctee M@N DMN astfe &"ct

,D. ac G i R su"t !iH%acee se'!e"te%# MD@N #especti8 MN s se $e!%"st#eec: (3p) a) 2GR,D() .

II. >ie "u!e#ee #eae p%iti8e abc ca#e 8e#ific #eaia: abc,1. S se $e!%"st#ee c:

(3p) a)1 1