Teorema lui VarignonIn situatia in care asupra unui punct material actioneaza un system de n forte care admit o rezultanta R, suma momentelor sistemului de forte fata de un punct fix este egala cu momentul rezultantei.**

Principiile fundamentale ale staticii:1.echilibrul la translatie2.echilibrul la rotatieConditiile de echilibru:-rezultanta sistemului de forte aplicate pe corp = 0-momentul tuturor fortelor (al rezultantei) fata de un punct fix = 0R=0 x=Exi=Efi x cosAlfa=0Mr=0(fata de un punct fix) y=Eyi=Efi x sinAlfa=0M=EMi=0a.sisteme de forte paralele

a1=(f2/R) x aa2=(f1/R) x a

b.cupluri de forte

F x ra +(-F) x rB= F x (rA-aB)= F x ABMarimea momentului cuplului:F x AB x sinAlfa= F x dMomentul cuplului nu depinde de 0, momentul fiind un vector liber.c.centrul fortelor paralele

Daca doua forte paralele se rotesc cu un unghi O(taiat), R sistemului se roteste deasemenea cu un unghi O(taiat).

Daca scriem echilibrul momentelor fortelor fata de pct C, obtinem:F1 x A1C = F2 x A2CA1C/A2C=F2/F1, C= centru al fortelor paralele.

d.Centrul de greutate.-daca sectiunea are un ax de simetrie ...poz cg se gaseste pe acesta-daca sectiunea are 2 axe de simetrie.... cg la intersectia dintre ele

Echilibrul solidului rigid legat.Axioma legaturilor:orice legatura geometrica poate fi inlocuita cu o forta denumita forta de legatura= reactiune. Punctul material, eliberat de legaturi, actionat e forte date si de forte de legatura (reactiuni) este echivalent din punct de vedere mecanic cu solidul rigid supus la legaturi. Solidul rigid, eliberat de legaturi, actionat de forte date si de reactiuni este echivalent din punct de vedere mecanic cu solidul rigid supus la legaturi.Actiune/ReactiuneReazem simplu....impiedica deplasarea pe verticalaReazem articulat ....impiedica deplasarea pe oriz si pe vertIncastrarea ....impiedica depl pe oriz, vert si rotireaStructuri static determinatenr necunoscutelor+ nr ecuatiilor de echilibru-3 reazeme simple-o articulatie si un reazam simplu-o incastrare a unui capat liber.....!?@???!@!?Structuri static nedeterminateNr necunoscutelor nu este egal cu nr ecuatiilor

Controlul alcatuirii structurilorCconditia de fixare a solidului rigid in plan:-3 legaturi plasate in 3 puncte obtinand 3 reazeme simple ale caror directii sa nu fie paralele sau concurente intr un punct.-3 legaturi plasate in 2 puncte obtinand un reazem simplu si unul articulat-3 legaturi grupate intr un punct...incastrareForma critica!

- in situatia in care cele 3 articulatii se gasesc pe aceiasi dreapta; articulatia contrata are mici posibilitati de miscare, sistemul obtinut este impropriu de folosit...SISTEM C FORMA CRITICA

- Pentru a ascocia un corp la altul sunt nevoie de 3 legaturi Generalizand pentru c corpuri avem nevoie de l legaturiinterioarel = 3 x (c-1) -stemul obtinut trebuie sa fie legat de baza de sprijin -legarea in plan se poate face cu 3 leg notate cu r, reprezentand numarul de legaturi exterioare r = 3l + r = 3 x c – 3 + 3 = 3 x cl + r = 3 x c....rezultad = l + r – 3c... relatia obtinuta sta la baza identificarii tipului de structura

d = 0 ...structura fixata inpland mai mic ca 0 ...structura are posibilitatea de miscare = mecanismd mai mare ca 0 ...structura fixata in plan cu mai multe legaturi decat minim necesare= ansamblu static nedeterminatcazul d mai mic ca 0....structura are posibilitatea de deplasare ...deplasarile ce se pot realiza se numesc deplasari compatibile cu legaturile ...deplasarile nepermise se numesc deplasari incompatibile cu legaturile O deplasare distincta a sistemului, compatibila cu legaturile, se numeste grad de libertate.

Lucru mecanic virtualConsiderand un ansamblu de corpuri legate (o structura)actionata de un sistem de forte in echilibru......structura nu se misca.Se poate imagina ca independent de actiunea fortelor exterioare se poate da sistemului o deplasare mica compatibila cu legaturile, aceasta deplasare mutand sistemul intr o pozitie infinit vecina, deplasarea data se numeste deplasare virtuala.Deplasarea virtuala este o deplasare imaginara, permisa de legaturile sin sistem, infinit mica, independenta de actiunea fortelor exterioare care se gasesc in echilibru.Formula lui Descartes: parcurgand deplasari virtuale, fortele din sistem produc un lucru mecanic elementar care se numeste Lucru mecanic virtual.Formula lui Bernoulli(utilizand lucru mecanic virtual): conditia necesara si suficienta pentru echilibrul unui sistem material cu legaturi fara frecare, este aceea ca suma lucrurilor mecanice a fortelor direct aplicate sa fie nula pentru toate sistemele de deplasari virtuale mici si compatibile cu legaturile. EPi x sigma i + EMi x teta i = 0

Pentru ca un sistem sa fie in echilibru, este necesar si suficient ca suma lucrurilor mecanice virtuale corespondente tuturor fortelor care actioneaza asupra sistemului sa fie nula pentru orice deplasare virtuala compatibila cu legaturile.

Echilibrul corpurilor din punct de vedere energetic.Energia potentiala:conceptul de “energie potentiala” deriva direct din generalizarea conceptului de lucru mecanic.

F- o forta de o anume intesitatedirectie si sens variabil

A,B- puncte de aplicare

Traiectoria fortei este definita de variatia coordonatelor de aplicatie.Masura lucrului mecanic efectuat de forta se poate obtine sumand lucrule mecanice efectuate de acesta pe toate deplasarile tip ds in care traiectoria poate fi impartita.

Daca forta se pastreaza constanta in intensitate, directie si sens, lucrul mecanic total efectuat nu depinde de traiectoria parcursa ci in exclusivitate de pozitia planurilor de pornire/oprireSchimbarea starii unui corp supus la solicitari impuse este caracterizata de o variatie a energiei sale potentiale, masurata de diferenta dintre lucruel mecanice pe care fortele le produc intre cele doua pozitii extreme ale planurilor de referinta.

E (F x S1) – E (F x S2) = E1 – E2daca E1 – E2 ...pozitiv.....lucru mecanic motordaca E1 – E2 ...negativ.....lucru mecanic rezistent Fortele aplicate pe un corp...rezulta...deformarea luiOrice trecere a unui corp dintr o configuratie initiala, intr una def. finala corespunde unui nivel bine definit al lucrului mecanic al fortelor aplicate – variatie a energiei potentiale a corpului.Daca acel lucru mecanic este nul, potentialul energetic trebuie sa admita o valoare minima in corespondenta cu acea configuratie particulara care caracterizeaza clar o pozitie de echilibru stabil.

Crietriul stabilitatii echilibruluiPrincipiul energiei minime:In functie de punctul de agatare echilibrul poate fi:stabil...cand punctul de agatare e deasupra cginstabil...cand punctul de agatare e dedesubtul cgindiferent...cand punctul de agatare coincide cu cg

Fratii Bernoulii – pozitia centrului de greutate este fundamentala in problema echilibrului....concluzioneaza ca pozitia de echilibru este aceea pentru care cg ale tuturor inelelor vin sa ocupe pozitiile cele mai joase.

Lagrange (pe baza observatiilor fratilor bernoulli)....Principiul energiei potentiale minime...Amintind ca raportat la un anumit nivel de referinta, toate toate corpurile poseda o anumita energie de pozitie (potentiala) datorita tendintei lor naturala de coborare, acestea incearca sa si aduca cg in pozitia cea mai joasa, deci sa microseze la maxim energia lor potentiala.......acest echilibru este caracterizat de o valoare minima a eng potentiale.

INCARCARI

A.Incarcari statice

Incarcarile statice sunt incarcari care se aplica lent pe structura pornind de la o valoare zero si ajungand lent la valoarea nominala. Dupa atingerea in timp la valoarea nominala ele raman practice de neschimbat sau variaza foarte putin

1. Incarcari permaneneteO structura contine o serie de elemente componente de tipul: fundatiilor, peretilor, stalpilor sau coloanelor, grinzilor, arcelor, boltilor, planseelor, invelitorilor. Toate aceste componente au greutate proprie…asa zisa greutate moarta.2. Incarcari utilePe langa greutatea proprie (greutatea moarta) o structura trebuie sa mai suporte si alte incarcari aduse de: oameni mobilier utilaje produse depozitate.Aceste incarcari nu sunt fixe avant posibilitatea de deplasare sau de disparitie de pe structura pe care o incarca.Pentru calculul structurilor incarcarile utile sunt stabilite in functie de cea mai defavorabila situatie de incarcare la care ne putem astepta pe tot parcursul existentei unei constructi.3. Incarcari din zapadaZapada este un fenomen climatic natural ce depinde de temperature, vant etc. In timpul ninsorilor lipsite de vant zapada se depune pe o grosime uniforma inclusive pe acoperisurile cu panta de pana la 50 de grade. Pe acoperisurile cu panta cuprinsa intre 50 si 70 grade zapada se aseaza intr un strat mai subtire iar pe cele cu panta mai mare de 70 grade zapada practice nu sta, aluneca. Imediat dupa depunere zapada incepe sa se compacteze sub greutate proprie, fenomen ce duce la cresterea greutatii sale specifice.Datorita topirii si inghetarii greutatea specifica a stratului creste si mai mult. Vantul contribuie si el la compactarea si antrenarea zapezii.

B.Incarcari dinamiceAsupra cnstructiilor actioneaza si o serie de incarcari care isi schimba intensitatea rapid sau brusc. Efectul lor asupra constructiilor este de regula mult mai puternic decat acelor statice. Incarcarile aplicare brusc se mai numesc si incarcari de impact.1. Incarcarile produse de actiunea vantuluiSe cunoaste bine ca miscarea aerului este produsa de incalzirea diferentiata a diverselor zone de pe pamant. Miscarea este generate de diferente de presiune ce apar in timp si spatiu. Aerul datorita masei si vitezei de deplasare poseda energie cinetica, energie care se transforma partial sa total in energie potentiala de presiune, energie ce se exercita pe diverse obstacole intalnite in cale.Daca in miscarea sa aerul nu intalneste nici un obstacol, la o anumita inaltime deplasarea sa se face cu aceiasi viteza in straturi paralele, la contactul cu terenul, datorita frecarii cu acesta miscarea aerului este incetinita.Viteza de deplasare a vantului variaza in functie de: inaltime, “rugozitatea” terenului, timp.2. Incarcari produse de actiunea cutremurelorSunt cele mai devastatoare incarcari. In ultimi 50 de ani cunostintele accumulate in privinta cutremurelor si efectele acestora, au dus la perfectionarea proiectarii antiseismice a constructiilor.

C. Incarcari indirecte (ascunse)

1. Incarcari produse de variatiile de temperaturaPot duce la aparitia unor eforturi deosebite in elementele de structuraFenomenul de dilatare terminca poate fi controlat prin realizarea unor sisteme de racier sau incalzire a elementelor expuse. Aceste sisteme utilizeaza apa rece sau calda, care circula in interiorul stalpilor exteriori si care regleaza temperature acestora incat san u se creze diferente intre interior si exterior.2. Incarcari produse de tasarea terenului de fundareTasarile terenului sunt favorizate de: diferenta de omogenitate a acestuia, infiltratii locale produse de defectarea instalatiilor, lucrari realizate in zona vecina ca: realizarea unor sapaturi pentru introducerea de tuburi pentru canale mari, demolarea sau realizarea unor constructi noi I vecinatate, realizarea unor epiuismente in zona vecina- epuismente ce duc la scoaterea odata cu apa a particolelor fine de teren de fundare.Tasarile induc in structurile de rezistenta stari de tensiune majore, ce pot duce la aparitia unor prabusiri locale.

Eforturi sectionale   !! echilibrul, se obtine raportand fortele exterioare si de legatura la axul elementului**

conform axiomei legaturilor**

-prin sectionare fiecarei parte poate fi considerata incastrata in cealalta.-pe fiecare fata apar fortele specifice incastrarii-fortele de legatura sunt egale si de semne contrarii cu cele de pe fata opusa

Relatii diferentiale intre incarcari si eforturi sectionale:....cazul unei incarcari verticale uniform distribuite....**

-proiectie pe orizontala -N + N = 0.....N constant-proiectie pe verticala T – p x dx – T – dT = 0 .... dT/dx = -p-momente (f stanga) M + p x dx x dx/2 + T x dx + dT x dx – M – dM = 0......dM / dT = T

....cazul unei incarcari concentrate pe element....**

T2 – T1 = -P...in dreptul unei sarcini concentrate in diagrama T apare un salt egal cu sarcina, salt indreptat in directia acesteia...deoarece in aceasta sectiune forta taietoare variaza brusc in diagrama M apare un varf, in aceasta diagrama inclinarea tangentei variaza brusc.

....cazul unui moment aplicat direct pe element....**

M2 – M1 = M...in dreptul punctului de aplicare al momentului exterior, in diagrama M apare un salt egal cu marimea momentului, salt indreptat in sensul de actiune al acestuia...Comentarii!>in situatia in care pe zona studiata incarcarea p = 0 (pe zona respectiva nu avem incarcare) F taietoare sete constanta iar momentul incovoietor variaza linear.>in situatia in care incarcarea p = constanta (incarcarea uniform distribuita) F variaza linear iar momentul incovoietor variaza parabolic>in situatia in care pe zona studiata p reprezinta o functie de grad n, forta taietoare este o functie de grad n + 1 iar momentul incovoietor este marginit de o functie de grad n + 2

TIPURI DE ARCEArc in plin cintru ARC IN PLIN CINTRUArc plat ARC BUTANTArc frant (ogival)Arc polycentric Arc elliptic

Arc rampantArc schiop

FORME STRUCTURARE AVAND LA BAZA ARCULBolta cilindrica.Bolta cu muchii intrande(bolta Calugareasca)Bolta cu muchii iesindeCupala ...pe pandantivi asociata cu bolti cilindrice ...pe pandantivi asociata cu semicalote ...cu pandantivi

sisteme de stabilizare a structurilor pe cabluri

A.stabilizarea prin greutatePrin agatarea elementelor grele(grinzi elemenete de acoperire)Actiunea vantului nu reuseste sa ridice aceste sisteme, producand doar o diminuare a starii de intindere din cabluri. Asezarea sistemului de acoperire deasupra cablurilor-prin pozitionarea elementelor grele deasupra sistemului portant de cabluri; actiunea vantului este anulata de greutatea proprie a acestora.**

Distribuirea greutatii in lungul cablurilor-cablul este dotat cu calitati de rigiditate , lucrand in planul sau asemanator unui arc rasturnat ...acest efect se poate obtine prin intermediul unei placi indeformabile de beton armat asezata peste cablurile portante si asociata la acestea...un ansamblu indeformabil. **

....cablurile laterale nu sunt obligatorii ...ele pot lipsi in situatia in care solicitarile aduse de sistemul de acoperire pot fi preluate de elemente puternice verticale.**

Distribuirea greutatii ...sisteme de acoperire in lungul cablurilor.Cabluri paralele.Prin asocierea cablurilor paralele cu legaturi transversale se obtine un mecanism bidirectional de transmitere al incarcarilor, sistem care neutralizeaza eventualele incarcari nesimetriceAcoperirea lucreaza asemenea unei bolti cilindricePentru a obtine un sistem stabil avantajos care garanteaza stabilitatea unui sistem de cabluri paralele, asocierea cablurilor longitudinale cu grinzi rigide transversale legate la capete cu elemente de contravantuire ancorate in teren.**

Stabilizarea prin asociere de cabluri1**

In cazul incarcarilor verticale de sus in jos cablul A este intinsIn cazul incarcarilor aerodinamice de jos in sus cablul B este intinsIn ambele cazuri montantii sunt comprimati.

2**

Roata de bicicleta.

3**

In cazul incarcarilor verticale de sus in jos...cablul A este intinsIn cazul incarcarilor aerodinamice de jos in sus ...cablul B este intins

4**

Incarcari verticale de sus in jos....cablul A este intinsIncarcari verticale de jo in sus ....cablul B este intinsMontantii sunt intinsi sau comprimati in functie de zona si de sensul actiunii verticale.