Statica constructiilor

download Statica constructiilor

of 429

Transcript of Statica constructiilor

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    1/428

    BNU VALERIU TEODORESCU MIRCEA EUGEN STATICA CONSTRUCIILOR APLICAII STRUCTURI STATIC NEDETERMINATEMATRIX ROMBucuresti 2003

    - 3 -

    INTRODUCEREStructurile static nedeterminate sunt acele structuri care auunnumr de legturi interioare i/sau exterioare mai mare dect numrul minimnecesar asigurrii invariabilitii geometrice. n consecin, numrul de necunoscuteeste mai maredect numrul ecuaiilor de echilibru static. Pentru calculul uneistructuri staticnedeterminate este deci necesa r s se stabileasc un numrsuplimentar de ecuaii.

    S- a artat n prima parte a acestei lucrri c pentru rezolvareaproblemelor n Statica Construciilor se utilizeaz dou dintre condiiile cecaracterizeaz echilibrul structurii n poziie deformati anume: condiia de echilibrustatic i condiia de continuitate a deformatei cu legturile (interioare sauexterioare).n cazul structurilor static determinate pentru calcululreaciunilor i eforturilor este suficient condiia de echilibru static. n ca zul structurilor static nedeterminate pentru calcululeforturilor estenecesar utilizarea celor dou condiii prezentate mai sus.

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    2/428

    n funcie de ordinea care sunt utilizate aceste dou condiiirezulta cele dou metode generale, utilizate n calculul struc turilor staticnedeterminate.

    Dac se respect permanent condiia de echilibru static iar pentruobinerea soluiei problemei se impune condiia de compatibilitate adeformatei cu legturile se obine metoda eforturilor (metoda forelor). Dac se respect permanent condiia de compatibilitate adeformatei culegturile iar pentru obinerea soluiei problemei se impune

    condiia de echilibru static se obine metoda deplasrilor. Utilizarea uneia sau alteia dintre cele dou metode depinde deavantajele pecare le prezint n calculul diferitelor tipuri de structuri. n calculul structurilor static nedeterminate o importandeosebit o au teoremele de rreciprocitate a lucrurilor mecaniceale forelorexterioare, a deplasrilor unitare i a reaciunilor unitare. Teorema reciprocitii lucrurilor mecanice ale forelor exterioare teorema luiBetti se enun astfel: lucrul mecanic efectuat de sistemul defore P i parcurgnd deplasrile ij produse de sistemul de fore P j este egal cu lucrulmecanic efectuat desistemul de fore P j parcurgnd deplasrile ji produse de sistemul

    de fore P i . Forma matematica acestei teoreme este

    = i ij j ji P P (1)Teorema de reciprocitate a deplasrilor unitare (deplasri produsede fore sau momente egale cu unitatea) se obin din (1) astfel:

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    3/428

    - se exprim deplasrile reale ij i ji n funcie de deplasrile unitare ij i jii forele P i i P jij ij j = P ; ji ji i = P (2)

    - scriind relaia (1) sub forma - 4 -ijijij

    P P = rezult ij ji = (3)ceea ce reprezint expresia matematic a teoremei de reciprocitatea deplasrilor unitare.Enunul acestei teoreme este: deplasarea produs pe direcia i deo for egal cu unitatea, acionnd pe direcia j este egal cu deplasareaprodus pe direcia j d e ofor egal cu unitatea acionnd pe direcia i.

    Teorema reciprocitii lucrurilor mecanice i teoremareciprocitii deplasrilor unitare se aplic att structurilor static determinate ct icelor static nedeterminate.Teorema de reciprocitate a reac iunilor unitare este valabilanumaipentrustructuri static nedeterminate i se obine tot din forma general(1) astfel:- pe direcia legturii i se imprim deplasarea i iar n legturaj aparereaciunea R ji- direcia legturii j se imprim deplasarea j iar n legtura iapare reaciunea Rij

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    4/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    5/428

    Fig.IX.1Pentru grinzi drepte, cadre si arce gradul de nedeterminarestatic se stabilete cu relaia

    N = 3C A 2S (IX.1)unde N reprezint gradul de nedeterminare static, C numrul decontururi nchise (ntre bare sau ntre bare si baza de susinere), A numrul dearticulaii simple, S numrul de reazeme simple. Pentru grinzile cu zbrele plane la care nodurile suntconsiderate articulaii

    perfec te) relaia utilizat este: N = b + r 2n (IX.2)unde b reprezint numrul de bare, r numrul de legturi simple cubaza de susinere si n numrul de noduri. Dac N>0 structura este static nedeterminat N=0 structura este static determinat - 6 -

    N

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    6/428

    pot calcula eforturile si deplasrile pe direciilenecunoscutelor. Soluia unic a problemei se obine punnd condiia de compatibilitate adeformatei cu legturile

    reale, adic deplasarea total pe direcia fiecrei necunoscute sfie egal cu ze ro,deoarece n realitate pe aceste direcii exist legturi fixe. n acest mod se asigur condiia ca sistemul de baz s secomporte identic custructura real, adic s aib aceeai stare de eforturi iaceeai form deformat. Aceste condiii se exprim astfel:

    1=0,

    2=0, . . .

    n=0 (IX.3)sau n form dezvoltat

    + + + + = + + + + = + + + + = X X ........ X 0............................................................X X ........ X 0X X ........ X 0n1 1 n 2 2 nn n np21 1 22 2 2n n 2p11 1 12 2 1n n 1p

    (IX.4)ceea ce reprezint un sistem de ecuaii liniare. Elemente componente ale sistemului de ecuaii au urmtoareasemnificaie fizic: - necunoscutele X 1, X 2, ,X n reprezint fore generalizate (fore,momente,perechi de fore, perechi de mpmente),

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    7/428

    - coeficienii necunoscutelor principale ii reprezint deplasareape direcia necunoscutei X i , cnd sistemul de baz este ncrcat numai cunecunoscuta

    Xi =1,- coeficienii necunoscutelor secundare ij reprezint de plasareape direcia necunoscutei X i , cnd sistemul de baz este ncrcat numai cunecunoscutaXj =1,P PN=3X3

    X1X2PX3X1X2PX3X2X1SB SB SB- 7 -

    Aceti coeficieni respect condiia ij = ji- termenii liberi ip reprezint deplasarea pe direcianecunoscutei X i cnd sistemul de baz este ncrcat numai cu forele reale. Pentru grinzi drepte i cadre formate din bare drepte coeficienii necunoscutelor i termenii liberi au expresiile: dx 0EIm2i

    ii = ; = = dxEIm mi j

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    8/428

    ij ji ; = dxEIm M0i p

    ip (IX.5)unde m i , m j sunt diagrame unitare produse de X i =1, X j =1 acionndseparat pesistemul de baz, iar 0p M este digrama produs de forele reale. Se constat din expresiile coeficienilor necunoscutelor cacetia depind numai de caracteristicile structurii. Numai termenii liberi depindde ncrcarile reale. Dup rezolvarea sistemului de ecuaii (IX.6) se pot calculamomentelencovoietoare pentru structura real, prin suprapunere de efecte: 1 1 2 2 n n0

    p p M =M + m X + m X + ... + m X (IX.6)Forele tietoare se determin din condiia de echilibru afiecrei bare, separate din structur i ncrcat cu forele reale (dac exist pe bar)

    i cu momentele ncovoietoare din diagrama M p.Forele axiale se calculeaz din condiia de e chilibru static alfiecrui nod, presupus detaat din structur. Deoarece este posibil ca pe parcursul calculului numeric s seproduc greeli este necesar s se verifice rezultatul final. Condiia eficient de verificare este condiia de compatibilitatea deformatei culegturile reale ale structurii static nedeterminate. Deoarece diagrama M p respect condiia de echilibru static (fiecarediagram

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    9/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    10/428

    p M , pe siste mul de baz, - se calculeaz coeficienii necunoscutelor ii i ij i termeniiliberi ip ,- se rezolv sistemul de ecuaii i se obin necunoscutele X i ,

    - se determin diagrama final de momente ncovoietoare M p,- se verific diagrama M p,- se calculeaz forele tietoare, - se calculeaz forele axiale. APLICAII A S se traseze diagramele de eforturila elementele saustructurile static staticnedeterminate urmtoare:

    Problema 9.1 (fig.9.1)Grinda este o singur dat static nedeterminat. Condiia de compatibilitate este 1=0cu forma dezvoltat X 0 11 1 1p + = Calculul coeficientului necunoscuteiEIL L3L L 221EIdx 1EIm2 31

    11 = = = Calculul termenului liber8EIpLL

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    11/428

    4L 32pL

    31EIdx 1EIm M40 21 p1p

    = = = = 08EIX pL3EIL 413

    = ;8X 3pL 1 =Se constat c efortul X 1 nu depindede produsul EI.Momentele ncovoietoare finale se calculeaz prin suprapunere de efecte 8pL pL

    832M pLM M m X22

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    12/428

    221 10p p

    = = = +- Fig.9.1 -X121IpX1LpLT12pT2183pL85pL8pL28pL2

    2pL2+-SBm1M0p

    MpTp- 9 -

    Fora tietoare se calculeaz considernd grinda ncrcat cufora uniform distribuit i cu momentul idn ncastrare i scriind condiia deechilibru static.

    M = 0 1 ; 0

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    13/428

    2pL8T L pL2 2

    21 = ;8T 5pL 21 = ;8T X 3pL 12 1 = =

    Verificare Y = 0 i ; T pL T 0 21 12 + = ; 08pL 3pL85pL + =Momentul ncovoietor maxim n cmp are loc n seciunea n carefora tietoare se anuleaz. p x8T 5pL x = ; T 0 x = ; L

    8x = 5 ;1289pL128p 25L8pL85L8M 5pL2 2 2

    max = = Problema 9.2 (fig.9.2)

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    14/428

    - Fig.9.2 -Structura este o singur dat static nedeterminat. Sistemul debaz i diagramele m 1 i 0p M sunt date direct n figura. Condiia de compatibilitate este 1=0 i are forma dezvoltat X 0 11 1 1p + = EI1 731 9 22

    13EI1 6 1 1EIdx 1EIm21

    11 = = + = 801205,71521IX180kN80+-SB m1 M0pMp Tp33I9680X1=11

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    15/428

    480274,285 8022,85722,857 Np+ 22,857222,85780274,285205,71580205,71522,857 22,857- 10 -

    EI1 192039 480 2213EI6 480 1 121EI

    dx 1EIm M01 p

    1p = = = 274,2857X 1920111p

    1 = = = Momentele ncovoietoare finale se calculeaz cu relaia 1 1

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    16/428

    0

    p p M =M + m XM 480 274,285 205,715kNmM 0 1 274,285 274,285kNm2112

    = = = + = Forele tietoare se calculeaz scriind echilibrul barelor, iarforele axiale scriind echilibrul de nod.Problema 9.3 (fig.9.3)Fig.9.3Structura este de dou ori static nedeterminata.Condiiile de

    compatibilitatesunt 1=0, 2=0 cu forma dezvoltat

    + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    430kN/m6+-SBm1M0p

    Mp TpX1=1240Np2I3I64330 X 2=1X1=1

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    17/428

    9X2=1m219,35650,322

    +54,193 41,8073,22654,67835,387--- 11 -

    EI166,5636 6 2213EI6 139 2

    35 6 126 139 135 9 2

    212EIdx 1EIm21

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    18/428

    11

    == +

    + +

    = = +EI6 4039 135 4 2

    212EIdx 1EIm m1 212 21 =

    = = = +3EI

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    19/428

    4 4035 4 22

    12EIdx 1EIm22

    22 = = = EI6 1650

    49 145 240 3312EIdx 1

    EIm M01 p

    1p =

    = = +EI4 60045 240 3

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    20/428

    312EIdx 1

    EIm M02 p

    2p = = = Sistemul de ecuaii este

    + + = = 0EIX 6003EIX 40EI40

    0EIX 1650EIX 40EI166,51 21 2

    + + = = 120X 40X 1800 0166,5X 40X 1650 01 21 2

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    21/428

    iar necunoscutele au urmtoarele valori X 3,225 1 = ; X 54,678 2 = Diagrama final de moment ncovoietor se obine prin suprapunerede efecte:1 1 2 20

    p p M = M + m X + m Xi este dat in figura 9.3. Problema 9.4 (fig.9.4). Structura este aceeai de la aplicaiaprecedent, dar se va utiliza un alt sistem de baz. - Fig.9.4 -X2=11

    91m1M0p

    30kN/m2I3I64 3160Mp19,35650,322SB30 X 2X138m294

    9412038038030 9

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    22/428

    1X1=1321

    - 12 -Condiiile de compatibilitate 1=0, 2=0Ecuaiile de condiie

    + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    EI2,0553236 232

    213EI13231 235 132213

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    23/428

    231 13

    1 5 2212EIdx 1EIm2111

    + = +

    + +

    = = + EI3,7783

    23236 82

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    24/428

    13EI13

    231 23135 821

    2EIdx 1EIm m1 212 21 =

    = = = + 3EI10,66738

    3236 821

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    25/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    26/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    27/428

    213EI1

    3825 1830 432

    3835 160 2212EIdx 1EIm M0 22 p2p

    + = +

    = = + Sistemul de ecuaii

    + + = = 3,778X 10,667X 773,333 0

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    28/428

    2,055X 3,778X 310 01 21 2

    Necunoscutele au valorileX 50,294 1 = ; X 54,696 2 =

    Diagrama de momente ncovoietoare pe structura real staticnedeterminat este dat n figura 9.4, valorile fiind obinute prin suprapunereaefectelor1 1 2 20

    p p M = M + m X + m XObservaie: Micile diferene nregistrate comparativ cu cazulprecedent sunt normale,

    calculul fiind efectuat cu un anumit numr de zecimale. - 13 -Problema 9.5 (fig.9.5)- Fig.9.5 -Ecuaiile de condiie

    + + = + + = X X 0

    X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    EI6 9 6 2523EI6 136 6 221EIdx 2EIm21

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    29/428

    11 = = + = EI6 5426 9 13EIdx 1EIm m1 2

    12 21 = = = = EI6 72

    36 6 2212EI6 139 6 22

    13EIdx 1EIm22

    22 = = + = EI9 162 6 1944323EIdx 1EIm M0

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    30/428

    1 p

    1p = = = EI6 972

    29 162 1323EIdx 1EIm M02 p

    2p = = = X1X2=1m1M0p

    16kN /m3I 2I966

    Mp72SB6m235321I I

    X2X1=16726 16234,47_Tp 65,874 Np

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    31/428

    _ _87,316_5,745+

    + +_5,745 5,7459,1978,12665,87455,1489,6134,47- 14 -

    Sistemul de ecuaii

    + + = = 54X 72X 972 0252X 54X 1944 01 21 2

    Necunoscutele au valorileX 5,745 1 = ; X 9,19 2 = Diagramele de moment ncovoietor, for tietoare i for axialsunt date n figura 9.5.Problema 9.6 (fig.9.6) Aceeai structur ca n cazul precedent cuo alt ncrcare. Alegnd acelai sistem de baz, diagramele unitare icoeficienii necunoscutelor nu se modific deoarece depind numai decaracteristicile structurii

    dar se obine o nou diagram 0p M i alte valori pentru termenii liberi. - Fig.9.6 -Calculul termenilor liberiEI6 8640

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    32/428

    3360 9 121

    3EI1626 1820 63

    6 236 360 221EIdx 1EIm M0 21 p1p

    =

    = = + EI6 10803360 9 121

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    33/428

    3EIdx 1EIm M02 p

    2p = = = Sistemul de ecuaii

    + + = = 54X 72X 1080 0252X 54X 8640 01 21 2

    X1M0p

    20kN /m3I 2I966Mp40SB

    I IX240120152,3113,848193,842207,6920360- 15 -

    Valorile necunoscutelor suntX 34,615 1 = ; X 2,308 2 =Diagrama de momente ncovoietoare pe structura real este datdirect n figura 9.6.Problema 9.7 (fig.9.7)- Fig.9.7 -

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    34/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    35/428

    3 3 2212EI

    dx 2EIm22

    22 = = + = EI180 3 6 4980EI1

    63300 6 226 14180 6 33

    13EIdx 1EIm M01 p1p

    =

    = = + 66m1

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    36/428

    M0p

    Mp31 X 2=1103I632I 2I10kN/m33I40kN ISB X2X140

    X1=11m231801203004010 501586,2548,75

    33,75- 16 -

    EI6 300 3 1260213EI3 133 120 22EIdx 1EIm M02 p

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    37/428

    2p = = = Sistemul de ecuaii

    + = + = 18X 27X 1260 0156X 18X 4980 01 21 2

    i valorile necunoscutelor X 28,75 1 = ; X 27,5 2 =Momentele ncovoietoare pe structura real au fost calculate prinsuprapunere

    de efecte1 1 2 20

    p p M =M + m X + m Xi au fost reprezentate n figura 9.7. Problema 9.8 (fig.9.8)- Fig.9.8 -Condiiile de compatibilitate 1=0, 2=0Ecuaiile de condiie

    + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    X1M0p

    15kN /m2I

    2I34m1SBI IX243

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    38/428

    15X1=14X2=1m23

    333120Mp222245,06 30,94- 17 -

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenii liberi 3EI4 6 4 2722EI4 134 4 221EIdx 2

    EIm21

    11 = = + = dx 0EIm m1 2

    12 21 = = = deoarece diagrama m 1 este simetric iar diagrama

    m2

    este antisimetric EI3 4 3 90EI3 23

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    39/428

    3 3 2212EI

    dx 4EIm22

    22 = = + = EI6 120 4 120021

    2EI4 14120 4 331EIdx 1

    EIm M01 p

    1p = = + = EI3 66033 13

    6 120 2212EI120 4 3 13

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    40/428

    1EIdx 1EI

    m M02 p

    2p =

    = = + Sistemul de ecuaii

    + =+ =90X 660 0

    X 1200 0327321

    cu necunoscuteleX 13,235 1 = ; X 7,334 2 = Diagrama final de momente ncovoietoare este dat direct nfigura 9.8.Problema 9.9 (fig.9.9)- Fig.9.9 -6X1 X2m1M0p MpI

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    41/428

    6640kNSB2I I640 X 1=16 6m2X2=1624060 120 60- 18 -

    Condiiile de compatibilitate 1=0, 2=0Ecuaiile de condiie

    + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenii liberiEI6 10836 6 2212EI6 136 6 2

    21EIdx 1EIm2

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    42/428

    1

    11 = = + = EI6 36

    36 6 2212EIdx 1EIm m1 2

    12 21 = = = = EI6 10836 6 221EI6 136 6 2212EIdx 1EIm22

    22 =

    = + = EI6 288036 240 22

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    43/428

    1EIdx 1EI

    m M01 p

    1p = = = dx 0EIm M02 p

    2p = =Sistemul de ecuaii

    + = + =36X 108X 0108X 36X 2880 01 21 2

    cu valorile necunoscutelorX 30 1 = ; X 10 2 =

    Diagrama M p este dat n figura 9.9. Din analiza diagramei finale de moment ncovoietor rezulturmtoarea concluzie:- n cazul unei astfel de ncrcri, structura avnd stlpii deaceeai lungime, momentul forei orizontale raport cu seciunea de ncastrare notat cuM 40 6 240kN H = = se di stribuie stalpilor proporional cumomentul deinerie al acestora. - pentru stlpii marginali 60kNm 4I240 I4I

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    44/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    45/428

    236 13

    4 6 226 132 132 4 22

    13EI2 132 2 221EIdx 1EIm2111

    =

    + +

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    46/428

    + + ++

    + +

    = = + +3EI11622 11 = = 9EI2 11632 2 2212EI1236 134 6 2

    26 132 132 4 2

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    47/428

    216EIdx 1

    EIm m1 212

    =

    + +

    = = +3EI

    2 464032 120 221EI1236 134 360 226 1

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    48/428

    32 134 120 2

    213EIdx 1EIm M01 p1p

    + =

    +

    + +

    = = +dx 0EIm M02 p

    2p = =Sistemul de ecuaii

    + = + =116X 348X 0

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    49/428

    348X 116X 13920 01 21 2

    cu urmtoarele valori ale necunoscutelor X 45 1 = ; X 15 2 = 626X1 X2m1M0p MpI6460kN

    SB6I 3I660 X 1=16 6m2X2=136090 180 9023I2I I 2

    2 2 120 30 60 30- 20 -

    Diagrama M p este dat n figura 9.10. Se constat aceeai distribuie ca n cazul precedent si aceastadin cauz c raportul momentelor de inerie pe cele dou zone ale stlpilormarginali si alestlpului central este acelai (egal cu 2 n acest caz). Dac raportul momentelor de inerie nu este acelai pe ambele zonedistribuia momentului forei orizontale M H urmeaz o alt lege. Problema 9.11 (fig.9.11)- Fig.9.11 -Condiiile de compatibilitate 1=0, 2=0Ecuaiile de condiie

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    50/428

    + + = + + = X X 0

    X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenii liberi EI6 18036 6 22

    12EI6 6 6 13EI6 136 6 221EIdx 1EIm21

    11 = = + + =EI6 6 6 36213EIdx 1EIm m1 2

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    51/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    52/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    53/428

    180X 36X 2880 01 21 2

    cu valorile necunoscutelorX 14,484 1 = ; X 2,581 2 =

    Diagrama final de momente ncovoietor este dat n figura 9.11. B S se verifice diagrama de moment ncovoietor i s se calculezedeplasrile indicate la urmtoarele structuri. Problema 9.12 (fig .9.12) Translaia pe vertical v A.- Fig.9.12 -M0p

    Mp

    81m0vA

    30kN /m2I4 4I I5 3A2I

    2IX1SB30m185X1=1851 1

    8118,7518,7541,25603,75 3,757,5 67,75

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    54/428

    16,3416,3443,66608112858581813,854

    4145- 22 -

    Condiia de compatibilitate 1=0Ecuaia de condiie X 0 11 1 1p + = EI4,662

    8531 135 1 2211318532

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    55/428

    85 521

    2EI2853285 5

    21EIdx 2EIm2111

    =

    + +

    +

    = = + +EI1 17,9683

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    56/428

    1853

    5 41,25 22113185

    35 18,85 2212EI18535 18,75 221EIdx 2EIm M01 p1p

    =

    + +

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    57/428

    +

    = = + +3,8544,662X 17,968111p

    1 = =

    = Diagrama M p este dat n figura 9.12. Verificarea diagramei M p. Se verific dac rotirea relativ dinseciunile nodului B este egal cu zero.

    + ++

    + +

    + +

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    58/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    59/428

    35 16,34 221

    2EI18535 16,34 221

    EIdx 2EIM mrel p 1B

    ( 30,6375 8,4306 8,4306 81,8625 )2EI1EI

    34,0416 relB = + + + + 0EI34,0416 34,0431 relB + = Calculul deplasrii pe vertical a seciunii A metriEI153,78324

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    60/428

    2 60 331EI

    3,854 1343,66 13285 112

    13,854316,34 13285 5212EI18535 16,34 22

    1EIdx 2EIM mv p v AA

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    61/428

    == +

    + +

    +

    = = + - 23 -Problema 9.13 (fig.9.13) Deplasarea pe orizontal u A- Fig. 9.13 -Condiiile de compatibilitate 1=0, 2=0Ecuaiile de condiie

    + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenii liberi EI9 6 9 333,732EI9 1

    33 236 9 121

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    62/428

    933 13

    6 3 2213EI3 133 2 3 22

    1EIdx 1EIm2111

    = +

    + +

    +

    = = + +X1m1M0p

    20kN /m3I

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    63/428

    6 3MpSBI 32IX2X2=177,9343 3A20X1=199191

    333336077,93427,97836012036011

    m0? 1

    m0uA 1 631m2- 24 -

    EI3 48,73

    23 129 6 12EI1

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    64/428

    26 3 9 33EI3 1

    33 2 3 221EIdx 1EIm m1 212 21

    =

    = +

    +

    = = = EI39,7333 133 6 221333 1

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    65/428

    33 6 221

    2EI3 6 3 13EI3 133 2 3 221

    EIdx 1EIm2222

    =

    +

    +

    = = + + EI6 360 9 115202EI3 14

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    66/428

    9 146 360 33

    13EIdx 1EIm M01 p

    1p =

    = = +EI3 72023 126 360 1

    2EI6 360 3 1313EIdx 1EIm M02 p

    2p =

    = = + Sistemul de ecuaii

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    67/428

    + + = = 48,73X 39,73X 720 0

    333,73X 48,73X 11520 01 21 2

    cu necunoscuteleX 38,826 1 = ; X 29,500 2 =Diagrama M p este dat n figura 9.13. Verificarea diagramei M p. Se calculeaz rotirea seciunii dinncastrare. 3

    133 2 27,978 221EI13136 27,978 2213126 1

    820 63231

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    68/428

    36 99,066 121

    3EI77,934 1399,066 236 1 121

    2EIdx 1EIM m20p11

    + + + +

    + +

    = = 0EI28,401 28,3991 + =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    69/428

    Calculul diagramei M p a fost corect.Calculul deplasrii u AConsidernd acelai sistem de baza ca pentru calculul eforturilorse obine:

    metriEI77,934 170,406399,066 236 6 12

    12EIdx 1EIM mu0p uA

    A =

    = = - 25 -

    Problema 9.14 (fig.9.14) Deplasarea u A- Fig.9.14 -Condiiile de compatibilitate 1=0, 2=0Ecuaiile de condiie

    + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    70/428

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenii liberi EI6 3 6 1862EI

    6 3 6 1EI6 136 6 2213EI

    dx 1EIm21

    11 = = + + = EI6 3 6 542EIdx 1

    EIm m1 2

    12 21 = = = = EI6 3 6 782EI6 136 6 2213EIdx 1EIm2

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    71/428

    2

    22 = = + = 6m1M0p Mp3I632I33I20kN ISBX2X1=14020kN2020X16 616m2X2=16 61

    1806018086,08858,69224,7835,2211636

    1 m0? 1 m0uA

    1- 26 -

    EI1620

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    72/428

    23 6 60 1802EI3 60 6 1

    21EIdx 1EIm M01 p

    1p =

    +

    = = EI9603

    3 6 260 1802EIdx 1EIm M02 p

    2p =

    +

    = = Sistemul de ecuaii

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    73/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    74/428

    = Calculul deplasrii u AmetriEI

    33,912 168,906386,088 133 6 22133,912

    386,088 233 3 1212EI135,22324,78 133 3 221EIdx 1

    EIM mu0p uAA

    =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    75/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    76/428

    b) procedeul ortogonalizrii diagramelor un itare, care poate fiutilizat pentrustructuri oarecare;c) procedeul semistructurilor, care este utilizat numai pentru

    calcululstructurilor simetrice.a) Procedeul gruprii necunoscutelor Avantaje deosebite se obin prin utilizarea acestui procedeu ncalcululstructurilor simetrice. Condiia care se impune n acest caz esteca sistemul de baz s fie simetric. Necunoscutele se grupeaz n necunoscute simetrice

    i necunoscute antisimetrice, astfel nct sistemul general de ecuaii sedescompune n dous isteme,unul care conine numai necunoscute simetrice i unul care coninenumainecunoscute antisimetrice.n figura 10.1 se prezint un exemplu de grupare a necunoscutelorsimetrice i antisimetrice.- Fig.10.1 -n cazul structurilor de form oarecare pornind de la observaiac diagramele unitare trebuie s fie liniar independente se poate obinesoluia corect a problemei chiar dac se utilizeaz mai multe sisteme de baz (a se vedeaproblemele 10.1 i 10.2).N=5 X13 nec unos c uteX1X2X3X42 nec unos c uteX4X5

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    77/428

    - 28 -

    b) Procedeul ortogonalizrii diagramelor unitare Dou diagrame unitare m i i m j sunt denumite ortogonale dacsatisfac

    condiia: dx 0EIm mi j

    ij ji = = = (X.1)Cazul tipic de diagrame ortogonale sunt diagramele simetrice iantisimetrice.n cazul general procedeul conduce la un volum foarte mare de

    calcule i nu este avantajos. Cazul n care procedeul este utilizat cu succeseste cazul arcelor staticnedeterminate dublu ncastrate ( a se vedea Capitolul 11). c) Procedeul semistructurilorPornind de la structura real simetric, aceasta se secioneaz naxa de simetrieobinnd ceea ce se numete semistructura. Aceast semistructurtrebuie s aib aceeai comportare ca n structura real i n consecin nseciunile practicate se vorintroduce nite legturi care s joace rolul jumtii destructur ndeprtat. n funcie de ncrcare simetric sau antisimetric rezolvsemistructuracorespunztoare. n figurile X.2 i X.3 se prezint semistructurile corespunzt oare

    ncrcarii. - Fig.X.2 -Structura s incarcarea Semis tructura Semis tructura Conditii p entrusectiunea de p e axa des imetrie

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    78/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    79/428

    HV- 30 -

    Problema 10.1 (fig.10.1) Rezolvare utiliznd mai multe sisteme debaz (a se vedea problema 9.14).- Fig.10.1 -Ecuaiile de condiie

    + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenilor liberi EI3 6 6 156EI6 136 6 2213EIdx 2EIm21

    11 = = + = EI

    6 2436 6 2213EI

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    80/428

    dx 1EIm m1 2

    12 21 = = = = EI6 3 6 782EI6 136 6 2213EIdx 1EIm22

    22 = = + = EI6 3003

    6 120 2213EI6 136 60 23EI3 60 6 121EIdx 1EIm M0

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    81/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    82/428

    6m1X1=1620 1202033,912- 31 -

    Cu valorile necunoscutelor X 4,130 1 = i X 14,348 2 = s-aucalculatmomentele ncovoietoare finale M p. Se constat c s - au obinutaceleai valori utiliznd mai multe sisteme de baz. Problema 10.2 (fig.10.2) Rezolvare utiliznd mai mul te sisteme debaz (a se vedea problema 9.11).- Fig.10.2 -Ecuaiile de condiie

    + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenilor liberi EI6 3 6 156EI6 136 6 2213EIdx 2EIm21

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    83/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    84/428

    3EIdx 1EIm M01 p

    1p = = = EI6 240 1 720213EI1 136 240 221EIdx 1EIm M02 p

    2p = = + = Sistemul de ecuaii

    + + =+ + =6X 5X 720 0156X 6X 480 01 21 2

    3I

    66I 2I3I 3I40kNm16

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    85/428

    66X1=1Mp15,48692,90 147,096131,611X2=1m2240M0p

    40Tp+15,48

    __37,422,58+24,52- 32 -

    cu necunoscuteleX 2,581 1 = ; X 147,097 2 = Diagrama M p este dat n figura 10.2.Se constat c s - au obinut

    aceleai eforturi ca la aplicaia 9.11. Problema 10.3 (fig.10.3) Rezolvare prin gruparea necunoscutelor.- Fig.10.3 -Structura fiind simetric, sistemul de baz trebuie s fiesimetric. Se utilizeaz gruparea simetric a necunoscutelor. Ecuaiile de condiie

    + + =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    86/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    87/428

    6 6 221EI

    6 236 6 2213EIdx 2EI

    m2

    1

    11 = = + = EI1 2436 6 221

    EIdx 2EIm m1 2

    12 21 = = = = EI1 6 1 63EI6 136 1 221EIdx 2

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    88/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    89/428

    + + = = 24X 6X 1440 0192X 24X 10800 01 21 2

    cu necunoscutele X 52,5 1 = i X 30 2 = Problema 10.4 (fig.10.4) Rezolvare prin gruparea necunoscutelor.- Fig.10.4 -30kN30kNM0p

    2I34Mpm1I4I2II6 3X11X2=13

    4I30kN30kN30303030SBX1X2X2X1=1 X 1=1111X2=11121

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    90/428

    21m24545

    454512012075 7541,29848,70241,29848,70293,13293,13246,332

    46,33251,83451,834- 34 -

    Ecuaiile de condiie

    + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenilor liberi EI1 731 3 221

    4EI1 3 1 4EIdx 2EIm2

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    91/428

    1

    11 = = + = 4EI1

    2131 3 2214EIdx 2EI

    m m1 2

    12 21 = = = = 12EI36,5213223 1212EI2213

    1 23125 12

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    92/428

    1213

    1 135 1 2212EIdx 2EIm2222

    + = +

    + +

    = = +EI1 37,53

    3 120 2214EI1 23

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    93/428

    3 45 2214EI

    dx 2EIm M01 p

    1p = = + = EI1402133 120 2214EI121

    31 235 75 1212EIdx 2EIm M02 p

    2p =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    94/428

    = = + Sistemul de ecuaii

    + = + =X 140 0120,25X 36,57X 0,25X 37,5 01 21 2

    cu necunoscutele X 3,702 1 = i X 46,332 2 =Problema 10.5 (fig.10.5) Rezolvare utiliznd procedeulsemistructurilor.Ecuaiile de condiie

    + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenilor liberi EI6 96310 6 226 1

    36 6 2212EIdx 1

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    95/428

    EIm21

    11 =

    =

    =

    + EI1 10

    310 6 2212EIdx 1EIm m1 2

    12 21 = = = = 3EI1 6 1 113EI1 1310 1 2

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    96/428

    212EIdx 1

    EIm22

    22 = = + = - 35 -

    EI6 261036 180 2

    26 146 180 3312EIdx 1EIm M01 p

    1p =

    = = EI

    1 300310 180 2212EI

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    97/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    98/428

    20kN/m20kN/mSemis tructuraX1=1X2=11 1

    818122,523,5810,71512,865 12,86523,58Mp- 36 -

    Problema 10.6 (fig.10.6) Rezolvare utiliznd procedeulsemistructurilor.- Fig.10.6 -Ecuaiile de condiie

    + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenilor liberi EI6 4 6 180EI6 136 6 2

    214EIdx 2EIm21

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    99/428

    11 = = + = EI6 6 4 18214EIdx 1EIm m1 2

    12 21 = = = = 3EI4 176

    34 4 221EI4 6 4 14EI4 13

    5 4 2212EIdx 1EIm22

    22 = = + + = 45,96X2m1 M0p Mpm21SB6

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    100/428

    X1Mp15kN/m3I2II4II4 415kN /m3I62II3I2I6 3

    I4I15kN /m32ISemis tructuraX1=161 X 2=14 4 120120240

    74,0466,96127,0853,0445,9674,0466,96127,0853,0466,9653,0474,04

    127,0845,96133,9240 4060

    - 37 -EI

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    101/428

    6 168036 240 22

    14EI4 120 6 131EIdx 1EI

    m M0

    1 p

    1p = = = EI6 240 4 1120214EI4 1

    35 120 2212EIdx 1EIm M02 p

    2p = = = Sistemul de ecuaii + =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    102/428

    + = X 1120 0318X 176

    180X 18X 1680 01 21 2

    cu necunoscutele X 7,66 1 = i X 16,74 2 =Diagrama M p a fost trasat att pe semistructur ct i pestructura ntreag. De menionat c n structura ntreag, momentul ncovoietor de pestlpul central a fost dublat pentru a respecta condiia de revenire de la semistructur

    la structura ntreag adic pentru asigurarea echilibrului static al nodului. Problema 10.7 (fig.10.7)Utilizarea procedeul semistructurilor.- Fig.10.7 -m1 M0m2 p Mp4SB1X1Mp6 310kN/m2I6I2I2I 10kN/m3 SemistructuraX1=178,1582I I2I3 61X2=144518035,526X1

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    103/428

    101,84242,63235,526101,84278,15878,15835,526101,84242,63242,632

    - 38 -Ecuaiile de condiie + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenilor liberi EI1 431 6 22

    12EI1 131 6 2212EI

    1 131 6 221EI

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    104/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    105/428

    36 180 221 1

    36 180 2212EI1 126 45 1

    32EIdx 1EIm M01 p

    1p =

    = = + EI4 72036 180 2212EIdx 1EIm M02 p

    2p = = = Sistemul de ecuaii

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    106/428

    + =

    + = X 720 034X 884X 4X 450 01 21 2

    cu necunoscutele X 101,842 1 = i X 10,658 2 =Diagrama final este dat n figura 10.7 att pentru semistructurct i pentru structura ntreag. Problema 10.8 (fig.10.8)Utilizarea procedeului semistructurilorcombinat cuprocedeul grupri i necunoscutelor.- Fig.10.8 -10kN /m620kN /m3 I6

    I 2 I10kN /m63 II20kN /m20kN /m3 II I10kN /m 10kN /m= I .S . + I .A .S .S emistructura

    - 39 -Structura este simetric i ncrcat antisimetric. Semistructuraeste simetric, dar ncrcat cu o ncrcare oarecare, ce este descompus nncrcare simetric i ncrcare antisimetric.

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    107/428

    Se rezolv separat pentru cele dou situaii de ncrcare i apoise suprapunefectele.ncrcarea simetric. (fig.10.9) Se utilizeaz procedeul

    necunoscutelor grupate.- Fig.10.9 -Ecuaiile de condiie + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenilor liberi EI1 6 1 63EI1 136 1 22

    1EIdx 2EIm21

    11 = = + = EI1 231 6 121EIdx 2

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    108/428

    EIm m1 2

    12 21 = = = = EI

    1 431 6 221EIdx 2EIm22

    22 = = = EI1 18026 45 132

    EIdx 2EIm M01 p

    1p = = = EI1 1802

    6 45 132EIdx 2EI

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    109/428

    m M02 p

    2p = = = MpSB610kN/m3I6I IX210kN/m 10kN/m 10kN/mX2X1m11X1=111m21 X 2=1M0p45 4518 1836 36s

    - 40 -

    Sistemul de ecuaii

    + = + =2X 4X 180 06X 2X 180 01 21 2

    cu necunoscutele X 18 1 = i X 36 2 =Diagrama sp M este dat n figura 10.9. ncrcarea antisimetric. (fig.10.10) Se utilizeaz procedeulsemistructurilor.- Fig.10.10 -Ecuaia de condiie X 0 33 3 3p + = Calculul coeficientului necunoscutei i termenului liber

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    110/428

    EI3 5733 3 2

    213EI3 6 3 1EIdx 1EIm23

    33 = = + = EI6 180 3 108031EIdx 1EI

    m M03 p

    3p = = = Calculul necunoscutei57X 1080 0 3 = ; X 18,95 3 =Diagrama asp M este dat n figura 10.10. Prin suprapunerea de efecte rezult diagrama de momentencovoietoare pe semistruct ur, diagram care este transpus antisimetric pestructura ntreag (fig.10.11).10kN/mMpSB6

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    111/428

    10kN/m3I6I IX310kN/m

    m3180M0p123,15Semis tructuraX3=13356,85123,1556,85as- 41 -- Fig.10.11 -Problema 10.9 (fig.10.12)Utilizarea procedeului semistructurilor.- Fig.10.12 -+38,85Mp87,1574,85159,1538,85Mp174,3074,85159,1574,8538,85159,15149,7093 54 9318,75 18,7527 27

    + +- -Tp520kN/m2I4I 2Im1 m2 X1

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    112/428

    M0p42I 2II 2I2I

    2I6 4 4320kN/msemistructuraSBX2X1=1X2=11651611 161516153163378,125171,82574,92

    102,26113,3734,32109,2474,92102,26113,37109,2434,32Mp- 42 -Ecuaiile de condiie

    + + = + + = X X 0X X 021 1 22 2 2p

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    113/428

    11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenilor liberi EI2,438161131 135 1 221 13

    1161132165 112

    1161132165 112116532165 5

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    114/428

    212EI1

    16532165 521

    EIdx 1EIm2111

    =

    + + + ++ = = + + EI1 0,34231161132

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    115/428

    165 1521

    161532165 112116

    1532165 5212EI116532165 521

    EIdx 1EIm m1 212 21

    =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    116/428

    + + = = = + EI10,97416153216

    5 1523 133 3 221163332165 3321161532165 15212EI

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    117/428

    116153

    2165 1521EIdx 1EIm2222

    = + + + = = + +EI1 288,8563

    1161135 78,125 221161135 78,125 221165

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    118/428

    35 78,125 221

    2EI1165262,5 5 132

    16535 171,825 221EIdx 1EIm M01 p1p

    = + ++ + +

    + = = + EI

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    119/428

    438,37516153

    5 78,125 221163335 171,825 22

    12EI11615262,5 5 132161535 171,825 221EIdx 1

    EIm M02 p2p

    = =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    120/428

    + ++ = =

    +

    Sistemul de ecuaii + = + =0,342X 10,974X 438,375 02,438X 0,342X 288,856 01 21 2

    cu necunoscutele X 113,37 1= i X 36,413

    2 =Diagrama M p este dat n figura 10.12. - 43 -Problema 10.10 (fig.10.13)Utilizarea procedeului semistructurilor.- Fig.10.13 -m11 M0p180X1=11

    X2=1m26Mp42,8664,28642,8664,2864,2864,286610kN/m3I6I 2I3II3I 3I6II

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    121/428

    IIIIsemistructura10kN/m 10kN/msfertul destructura

    SBX110kN/mX210kN/m10kN/m

    - 44 -Ecuaiile de condiie + + =

    + + =

    X X 0X X 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i termenilor liberiEI1 6 1 53EI1 3 1 1EIdx 1EIm21

    11 = = + = EI6 621 6 13EIdx 1EIm m1 2

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    122/428

    12 21 = = = = EI6 243

    6 6 2213EIdx 1EIm22

    22 = = = EI6 180 1 120313EIdx 1EIm M01 p

    1p = = = EI6 54046 180 3313EIdx 1EIm M02 p

    2p = = = Sistemul de ecuaii

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    123/428

    + = + =6X 24X 540 0

    5X 6X 120 01 21 2

    cu necunoscutele X 4,286 1 = i X 23,57 2 =Diagrama M p este dat n figura 10.13. - 45 -

    CAPITOLUL XIAPLICAII ALE METODEI EFORTURILOR n acest capitol se prezint aplicarea principiilor metodei

    eforturilor n calculul urm!toarelor elemente static nedeterminate:- grinzi continue,- grinzi cu zbrele, - arce.GRINZI CONTINUEGrinzile continue reprezint o categorie de elemente derezisten, static

    nedeterminate, frecvent utilizate n practic. Schema de calcul agrinzilor continueconine un reazem fix la translaie articulaie sau ncastrare i un numr oarecare de reazeme simple.Calculul grinzilor continue prin metoda eforturilor poate fischematizat caurmare a alegerii judicioase a sistemului de baz. Se obinecuaii cu cel mult trei necunoscute, din care cauz procedeul se numete ecuaia celortrei momente.Aceast modalitate de rezolvare a fost stabilit de Clapeyron. Se consider o parte dintr - o grind continu (fig.XI.1). Sistemulde baz se

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    124/428

    alege prin ntreruperea continuitii grinzii n seciunile dindreptul reazemelor simpleintermediare. Necunoscutele sunt perechile de momentencovoiet oare.

    Sistemul de baz fiind format din grinzi simplu rezemate,diagramele unitare seextind doar pe dou deschideri. Condiia de continuitate nseciunea j reprezint contiia ca rotirea relativ s fie egal cu zero, deoarece nseciunea j grinda este continu. Forma general a ecuaiei j este:

    X X ... X X X ... X 0j1 1 j2 2 ji i jj j jk k jn n jp

    + + + + + + + + = (XI.1)Dar numai coeficienii sunt diferii de zero. Se obine astfelecuaia celor trei momenteX X X 0 ji i jj j jk k jp + + + = (XI.2)Calculnd coeficienii necunoscutelor i termenii liberi imultiplicnd cu 6EI 0,unde I 0 este un moment de inerie de comparaie, rezult formafinal a ecuaiei de condiie j

    ( )jk0jkij0

    ji i ij jk j jk k ji I6R I

    I X + 2 + X + X = 6R I (XI.3)n ecuaia (XI.3) au fost folosite urmtoarele notaii: - 46 --ij0

    ij ij I

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    125/428

    = l I ,jk0

    jk jk I = l I i care sunt denumite lungimi transformate ale

    deschiderilor l ij i l jk-ijgij

    ji ij lxR = i jkgjk

    jk jk l

    xR = reprezint reaciunile n reazemul j obinute pe grinzile conjugate ij i jk ncrcate cu diagrama 0p Mrsturnat. - Fig.XI.1 -Scriind cte o ecuaie de forma (XI.3) pentru fiecare seciune ncare a fostntrerupt continuitatea se obine sistemul general de ecuaii,din a crei rezolvare rezult necunoscutele X j , care reprezint valoarea real amomentului ncovoietor din seciunea de pe reazem. n cmp momentele ncovoietoare se obinprin suprapunere

    de efecte = + i i0

    p p M M m X .Xi-1 Xi Xj Xk Xk +1

    miM0p

    SB1Pi-1 i j k k+1I i-1 ,i I ij I jk I k ,k+1

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    126/428

    l i-1 ,i l ij l jk l k ,k +1Xi =1Xj =11 X k=11mjmkP pOi-1,i Oij OjkRi-1 ,i Ri,i-1 Ri,j Rj,i Rj,k Rk ,jxgij xgjk

    - 47 -Observaie. - Prima i ultima ecuaie din sistem conin numai dounecunoscute;

    - Reaciunile fictive R ji i R jk se introduc cu semnul plus dac ausensul de jos n sus i cu semnul minus dac au sensul de sus n jos; - Dac grinda continu are un capt ncastrat, atunci n sistemulde baz se introduce o desch idere fictiv (pentru pstrarea uniformitiidiagramelorunitare) dar care are lungimea transformat egal cu zero. nfigura XI.2 s-anotat I 01= i 0 Il I010

    01 01 = = ;- Dac grinda are o consol atunci pentru calculul termenuluiliber (alreaciunilot fictive) se consider numai diagrama 0p M de pe deschidere, nu i aceea de pe consol, dearece conjugata grinzii cu consol este ogrinda Gerber,cu deschiderea 2- 3 grind secundar i consola grind principal(fig.XI.2).- Fig.XI.2 -

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    127/428

    X2m1M0p

    SB1 21PR23 R32X13X1=1

    - 48 -APLICAII S se traseze diagramele de eforturi la urmtoarele grinzicontinue:Problema 11.1 (fig.11.1)Lungimile transformateSe alege I 0=I6II6 0 01 = =

    6II6 012 = = 42II8 023 = = Reaciunile fictive6 180 54021

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    128/428

    01 = = 6 90 3603212 = = 2702R R 1 01 10 01 = = = 1802R R 1 12 21 12 = = = - Fig.11.1 -

    Ecuaiile de condiie X1m1M0p

    SB1120kNI820kN/mR01=270=R10

    3 3 6I 2IX2m21180 90R12=180=R21 01 12107,03 21,9042,1677,8474,1945,81+ 2,74_ _+MpTp

    - 49 -

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    129/428

    ( )( )

    + + + = + + + = 2302312012 1 12 23 2 23 3 21

    1201201001 0 01 12 1 12 2 10

    II6RII

    X 2 X X 6RII6RIIX 2 X X 6Rcu elementele calculate i observnd c X 0=0, X 3=0 i R 23=0 rezult

    ( )( )

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    130/428

    + + = + + = 0I

    6X 2 6 4 X 6 180 II6 180 II2 6 6 X 6X 6 270 I1 21 2

    sau

    + = + = 6X 20X 108024X 6X 27001 21 2

    cu valorile necunoscutelor X 107,03 1 = i X 21,90 2 = Reaciunile reale din reazeme sunt

    Verificare: Y = 0 iV 120 V 20 6 V V 42 0 1 2 3 + + = Problema 11.2(fig.11.2)Lungimile transformateSe alege I 0=3I0 01 = 13,52I9 3I 12 = =

    123I12 3I 23 = = Reaciunile fictive 6 180 7203

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    131/428

    223 = = 3602

    R R 1 23 32 23 = = = - Fig.11.2 -M0p

    SB2I40kN/m9 6 12I 3I180360

    2344,6081,2414,87121,33118,676,77+_ _MpTp

    X1 X2 X336089,20

    - 50 -Sistemul de ecuaii

    ( )( )( )

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    132/428

    + + = + + + = + + + =0

    I18X 2 18 12 X 6 360 3II13,5X 2 13,5 18 X 18X 0 6 360 3I0 2 0 13,5 X 13,5X 02 31 2 31 2

    sau

    + = + + = + =18X 60X 648013,5X 63X 18X 648027X 13,5X 02 3

    1 2 31 2

    cu urmtoarele valori ale necunoscutelor X 44,60 1 = , X 89,20 2 = i X 81,24 3 = Problema 11.3 (fig.11.3)Lungimile transformateSe alege I 0=3I0 01 = 9 12 =

    9 23 = Reaciunile fictive 9 202,5 12153212 = =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    133/428

    9 180 8102123 = =

    607,52R R 1 12 21 12 = = = 2703R 1 23 23 = = 5403

    R 232 23

    = = - Fig.11.3 -Mp0SB3I20kN/m9 9 33I202,5607,5 1268,67

    6,428111,436019,28+MpTpX1 X2180199,286607,5270 540 23180_ _ +60

    - 51 -Sistemul de ecuaii

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    134/428

    ( )( )

    + + = + + + = 3I6 ( 270) 3I3I9X 2 9 9 X 6 607,5 3I3I0 2 0 9 X 9X 0 6 607,5 3I1 21 2

    sau

    + = + = 9X 36X 2025

    18X 9X 36451 21 2

    cu urmtoarele valori pentru necunoscute X 199,286 1 = i X 6,4282 = Diagramele de eforturi sunt prezentate n figura 11.3. Problema 11.4 (fig.11.4)Lungimile transformatePentru I 0=I rezult 33I9 I 01 = = ;34I12 I 12 = = 6

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    135/428

    I6 I 23 = = ;Reaciunile fictive 6 180 540

    21 '01 = = 3 180 27021 "01 = = 12 180 2160

    2112 = = 6 90 27021 tr23 = = 6 90 36032 p23 = = - Fig.11.4 -

    [ 540 ( 3 2 ) 270 2 ] 3609

    R 1 01 = + + = ; [ 540 4 270 ( 6 1 ) ] 4509R 1 10 = + + = Mp0SB3I20kN/m6 6 34I0, 12

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    136/428

    187,839,1380,87+MpTp90,,R12+_ _3 6 6I90kN 60kNX1 X21 2 3180 180 23 23ptr

    R21tr

    R23p

    R23 12 12R01 R1088,70 90+_38,2621,7459,860,2+60

    - 52 -10802R R 1 12 21 12 = = = 1803R 2 p23p

    23 = = ; 903

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    137/428

    R 1 tr23tr

    23 = = ; R 180 90 90 23 = = Sistemul de ecuaii

    ( )( )

    + + = + + + = I6 90 I4I3X 2 3 6 X 6 1080 I4I6 1080 I3I0 2 3 3 X 3X 6 450 I1 2

    1 2

    sau

    + = + = 3X 18X 216012X 3X 25201 21 2

    cu valorile necunoscutelor X 187,83 1 = i X 88,70 2 = Diagramele de eforturi sunt prezentate n figura 11.4. Problema 11.5 (fig.11.5)Lungimile transformatePentru I 0=I se obine 0 01 = 9 12 =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    138/428

    6 23 = Reaciunile fictive 6 120 3602

    1tr = = ;120124R R tr23 32 =

    = =Sistemul de ecuaii

    + =+ =9X 30X 36018X 9X 01 21 2

    cu valorile necunoscutelorX 7,06 1 = X 14,12 2 = +- Fig.11.5 -Mp0SBI9 6 62I tr14,122,35+MpTpX1 X21207,06120120

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    139/428

    tr_240kNm120127,06112,94

    21,180 1 2 3- 53 -

    Problema 11.6 (fig.11.6)Lungimile transformatePentru I 0=I 01 = 6 ; 8 12 = ; 6 23 = Reaciunile fictive 6 90 360

    3201 = = 38 160 25603212 = = 6 90 3603223 = = 1802R R 1 01 10 01 = = = 31280

    2R R 1 12 21 12 = = = 1802R R 1 23 32 23 = = = - Fig.11.6 -

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    140/428

    Ecuaiile de condiie

    ( )( )

    + + = + + + = 6 18038X 2 8 6 X 6 128030 2 6 8 X 8X 6 180 6 12801 21 2

    sau

    + = + =

    8X 28X 364028X 8X 36401 21 2

    cu valorile necunoscutelor X X 101,11 1 2 = = Grinda continu fiind simetric i ncrcat simetric diagrama M pestesimetr ic, iar diagrama T p este antisimetric. 6X1Mp0SBI620kN/m1808I IX2

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    141/428

    90 160

    31280 12 2376,8543,15+_MpTp90180 180 180 0131280101,11 101,1143,1576,85+_8080+_0 1 2 3- 54 -

    Problema 11.7 (fig.11.7)- Fig.11.7 -Grinda este o grind Gerber avnd partea principal staticnedeterminat i o parte secundar. Rezolvnd grinda secundar se obine efectulacesteia asupra grinziiprincipale respective fora de 45kN acionnd n captulconsolei.Calculul grinzii principale Grinda este o singur dat staticnedeterminat. Lungimile transformate.Pentru I 0=I se obine 01 = 6 , 6 12 = Reaciunile fictive 6 90 36032

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    142/428

    01 = = ; 6 90 2702112 = =

    1802R R 1 01 10 01 = = = ; 903R 1 12 12 = = ; 1803R 2 2` 12 = = Ecuaia de condiie

    2(6 6)X 6 180 6 ( 90)1

    + = 3Mp0SBI20kN/m6 6 2I90180 0163,75

    22,556,254511,25+MpTpX1 45018090 180 12

    90+_ _20kN/m6901 23 4

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    143/428

    9090_7560+- 55 -

    sau24X 540 1 = cu necunoscuta X 22,5 1 = Diagramele de eforturi sunt date n figura 11.7. Problema 11.8 (fig.11.8)Lungimea transformat L 12 =

    Reaciunile fictive 8PL4L PL21 212 = = 16PL2R R 12

    12 21 12 = = = Ecuaia de condiie 162LX 6 PL2

    1 = cu necunoscuta16X 3PL 1 = Observaie: Pentru bara static nedeterminat cu o

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    144/428

    singur deschidere, - avnd diferite legturi la capete i diferite ncrcri, diagramele de momente ncovoietoare sunt

    date n tabelul 11.1 - Fig.11.8 -Mp0SB 12165P+MpTp

    X12

    16PL 2IP2L2L0 1

    16PL 2163PL325PL_1611P- 56 -

    Problema 11.9 (fig.11.9) S se calculeze deplasarea pe vertical acaptului liber al consolei (A)Lungimile transformatePentru I 0=I se obine 01 = 0 ; 6 12 = ; 6 23 =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    145/428

    Reaciunile fictive 6 120 3602123 = = 1203R 1 23 23 = = 2403R 2 32 23 = = Sistemul de ecuaii

    ( )( )

    + + = + + + =6X 2 6 6 X 6 ( 120)0 2 0 6 X 6X 01 2

    1 2

    sau

    + =+ =6X 24X 72012X 6X 01 21 2

    Necunoscutele au valorileX 17,14 1 = i X 34,28 2 =- Fig.11.9 -Pentru calculul deplasrii se ncarc sistemul de baz cu o foregal cu unitatea, acionnd n seciunea A i se obine diagrama 0A m . Se integreaz diagrama

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    146/428

    Mp cu diagrama 0A m .metriEI

    34,28 571,443120 136 2 222 13

    2 120 221EIv 1 A =

    = + Mp0SBI6 6 2I34,28mA

    MpX1 X212017,14120 240 2312060I A

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    147/428

    1 2 320

    - 57 -

    Tabelul 11.1Bara Diagrama de momente Momentul de ncastrare perfect p2L 2L12M M pL2

    12 21 = =p2L 2L8M pL2

    12 =M21=0

    P

    2L 2L8M M PL 12 21 = =P2L 2L

    16M 3PL 12 =M21=0

    PPaa

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    148/428

    LLM M Pa(L a) 12 21

    = =PPaaL2LM 3Pa(L a) 12 = M21=0PabL22

    12 21 LM =M = Pab- 58 -GRINZI CU ZBRELE STATIC NEDETERMINATE

    Grinzile cu zbrele sunt static nedeterminate exterior (fig.XI.3,a), staticnedeterminate interior (fig.IX.3,b) sau static nedeterminateexterior i interior (fig.XI.3,c).- Fig.XI.3 -Calculul grinzilor cu zbrele static nedeterminate se efectueazparcurgnd etapele obinuite ale metodei eforturilor. n acest caz trebuie sse acorde o atenie deosebit alegerii sistemului de baz, pentru a evita sistemelecritice.Pentru grinzile cu zbrele static nedeterminate interior, alegereasistemului de

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    149/428

    baz prin secionarea diagonalelor duble, conduce la o distribuieparticular de eforturi axiale unitare (fig.XI.4). Apar eforturi axiale numai nbarele panoului din

    care face parte necunoscuta.- Fig.XI.4 -O alt particularitate const n forma ecuaiei de condiie. ncazul uneinecunosc ute reprezentnd echivalentul mecanic al unui reazemsimplu, n cazul de mai sus necunoscuta X 1, ecuaia de condiie are forma obinuit,adic

    a bcX1X2 X3 X4 X5SBX1=1 X 2=1- 59 -X X ... X 0 11 1 12 2 15 5 1p + + + + = (XI.4)Dac necunoscuta reprezint efortul dintr - o bar atunci deplasarea

    total nu mai este egal cu zero ci este egal cu alungirea barei. Deexemplu21 1 22 2 25 5 2p 2 2 X + X + ... + X + = X (XI.5)unde22

    2 EA1 l

    = reprezint alungirea produs de X2=1. Semnul minus aparepentru a

    pune n concordan convenia pentru reprezentarea eforturilor ifenomenul fizic realal deformrii axiale a barelor.

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    150/428

    Deoarece n barele grinzilor cu zbrele apar numai eforturi axialecoeficienii necunoscutelor i termenii liberi se exprim astfel

    = = b12i2i

    ii EAdx n lEAn

    = = b1i j i j

    ij EAn n ldxEAn n(XI.6)

    =

    = b10i p0i p

    ip EAn N l

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    151/428

    dxEAn NEforturile finale se determin prin suprapunere de efecte 1 1 2 2 n n0

    p p N = N + n X + n X + ...+ n X (XI.7)Calculul grinzilor cu zbrele se organizeaz ntr -un tabel.Problema 11.10 (fig.11.10) Se consider seciunea 2A pentru tlpii A pentru diagonale i montani. - Fig.11.10 31

    32 4 63753 3 3830kN 30kN 30kN 30kNSB X10,5 0,5 n130 3030 N 30 p0 X1=1 Np- 60 -Tabelul 11.10Ecuaia de condiie X 0 11 1 1p + = undeEA

    9 4,5 211+ = EA9 4,5 21p

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    152/428

    + = 15,364X 847,28 0 1 = ; X 55,147 1 =Eforturile finale se calculeaz cu relaia 1 10

    p p N = N + n XBara Aria l n 1 0p NEAn2 l1 EAn N 0 l1 p Np1-2 2A 3 2 22 30 2 4EA3 2 4EA3 2 3,4261-3 2A 3 2 1 30 8EA3 EA 83 +2,4262-3 A 3 2

    1 0 8EA3 0 27,572-4 2A 3 2 1 30 8EA3 EA 490 2,4263-4 A 3 2 22 0 EA 43 2 0 +39,03-5 2A 3 1 30 8EA3 EA 290 25,147

    4-5 A 3 1 0 EA3 0 55,1474-6 2A 3 2 1 30 8EA3 EA 490 2,4264-7 A 3 2 22 0 EA 4

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    153/428

    3 2 0 +39,05-7 2A 3 1 30 8EA3 EA 290 25,1476-7 A 3 2 1 0 8EA3 0 27,576-8 2A 3 2 22 30 2 4EA3 2 2EA90 2 3,4267-8 2A 3 2 1 30 8EA3 EA 490 +2,426- 61 -Problema 11.11 (fig.11.11) Aria seciunii transversale a tlpiloreste 2A, iar amontanilor i diagonalelor este A. - Fig.11.11 -Tabelul 11.11Bara A l 0Np N1 N2 EAn2 l1 EAn2 l

    1 EAn1n2 lEAn N 0 l1 p EAn N 0 l2 p Np1-2 A 3 0 2 2

    02EA3 0 0 0 0 8,6941-3 2A 3 20 2 202EA3 0 0 EA

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    154/428

    15 20 28,6941-4 A 3 220 21 0EA3 2 0 0EA120 0 15,992-3 A 3 20 1 0EA3 2 0 0 0 0 12,2952-4 2A 3 -40 2 202EA3 0 0EA30 2 0 31,3063-4 A 3 0 2 22 22EA32EA32EA

    3 0 0 03-5 2A 3 20 02 202EA3 0 0EA15 28,6943-6 A 3 20 0 1 0

    EA3 2 0 0 0 12,2954-5 A 3 220 20 1 0EA3 2 0 0EA

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    155/428

    12015,994-6 2A 3 0 02 202EA3 0 0 0 8,6945-6 A 3 0 02 202EA3 0 0 0 8,694531

    2 4 633340kN X1SB Np0

    40 X 2 40202040n1X1=1 X2=1n2 Np- 62 -Coeficienii necunoscutelor i termenii liberi EA12,985EA4,5 6 211 =+ = ;EA12,985EA

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    156/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    157/428

    - Fig.11.12 -Rezolvnd sistemul de ecuaii au rezultat urmtoarele valori ale necunoscutelor: X 67,215 1 = , X 55,130 2 = i X 7,163 3 = Eforturil e finale sunt date n tabelul 11.12

    Tabelul 11.12Bara 1-2 1-3 2-3 2-4 2-5Efortul -79,751 56,392 -24,624 -17,409 -55,130Bara 3-4 3-5 4-5 4-6 4-7Efortul 34,824 31,768 -23,167 8,673 -2,061Bara 5-6 5-7 6-7 6-8 7-8Efortul -7,163 -2.15 1,457 5.102 3,607213

    2 4 62752 2 28120kN12090 N 30 p0

    Npn2X2=1 X3=1n3120X1SBX2 X3 0,5 n 0,5 1 X1=1- 63 -ARCE STATIC NEDETERMINATE

    Arcele static nedeterminate sunt:- arcul dublu articulat- arcul cu tirant- arcul dublu ncastrat. 1. Arcul dublu articulat este o singur dat static nedeterminat.Condiia de

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    158/428

    compatibilitate este 1 = 0 sau dezvoltatX 0 11 1 1p + = (XI.8)n figura XI.5 este reprezentat arcul dublu articulat i sistemulde baz arc

    simplu rezemat. Eforturile unitare sunt m y 1 = i n = cos 1 .- Fig.XI.5 -Expresia coeficientului necunoscutei i a termenului liber conineefectulmomentelor ncovoietoare i a forelor axiale.

    = + = + ds

    EAds cosEIydsEAds nEIm 2 2 212111

    = + = dsEAN cosds

    EIyMdsEAn Nds

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    159/428

    EIm M 0p0p01 p01 p

    1p (XI.9)Alegnd ca elemente de comparaie I 0 i A 0 se obine

    = + cos dsAy ds IIEI I 0 2 0 20 11

    = N cos dsAyM ds IIEI I 0p0 0p0

    0 1p (XI.10)iar expresia necunoscutei are forma:

    + + =

    = cos dsAy ds II

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    160/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    161/428

    A coscos ds IAI 20o2 00

    0 2 0 (XI.12)n aceste condiii necunoscuta X 1 capt forma uzual 200 20p0111p1

    y ds L iIIyM dsIIX+

    = =

    (XI.13)Deoarece integrarea direct este posibil doar n cazuri simple de

    ncrcare (regula lui Vereciaghin nu se mai poate aplica deoarece bara estecurb), n practic se utilizeaz metode numerice de calcul. n acest scop se mparte arcul ntr - un numr de elemente delungime finit s

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    162/428

    elemente numite bolari i calculnd eforturile n centrul degreutate al bolarilor, necunoscuta se obine cu expresia: 2020p

    1 y W L iyM WX+ =

    (XI.14)unde sIW = I 0 .Eforturile finale se deterrmin astfel: 101 1 p0

    p p M =M + m X = M yXN = N + n X = N X cos 101 1 p0

    p p (XI.15)2. Arcul cu tirant (fig.XI.6) este tot o singur dat staticnedeterminat. Sistemulde baz se alege prin secionarea tirantului. - Fig.XI.6 -Se obine tot un arc simplu rezemat, dar trebuie s se introducn expresia coeficientului necunoscutei i efectul efortului axial din tirant.yxSBX1- 65 -

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    163/428

    = + + dxE Ads nEAds nEImt t2t2121

    11 (XI.16)sau cu notaiile anterioare 2t200 2

    0 11 y ds L i L iI

    EI = I + + (XI.17)unde s-a notat cut t2 0

    t E Ai E I = , unde E t i A t fiind caracteristicile tirantului, iar E i I 0ale arcului.Necunoscuta are formay ds l (i i )IIyM dsIIX2t

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    164/428

    200 20p01

    + + =

    (XI.18)3. Arcul dublu ncastrat (fig.XI.7) este de trei ori staticnedeterminat.Pentru reducerea volumului de calcul se utilizeaz un procedeu de

    ortogonalizare a diagramelor unitare, denumit procedeultransferrii necunoscutelor n centrul elastic (fig. XI.7b). n acest mod sistemul de ecuaiiva fi format din treiecuaii fiecare ecuaie coninnd o singur necunoscut. - Fig.XI.7 -Deoarece sistemul de baz este simetric, diagramele m 1 i m 2 suntsimetrice, iardiagrama m 3 este antisimetric. Din condiia ca 0 12 21 = =rezult lungimea consolelor n vrful c!rora au fost transferate necunoscutele. Eforturile unitare n seciunea curent sunt: m y 1 = ; n = cos 1 ;m 1 2 = ; n 0 2 = ; (XI.19)m x 3 = ; n = sin 3deci

    = = + = dsEIds yEAds n nEIm m 1 2 1 2

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    165/428

    12 21

    sauxa by

    X1X2X3X1X2X3xyy c y - 66 -

    ( c y' ) ds 0IIII 012

    0 = = (XI.20)de unde rezult

    =dsIIy'dsI

    Ic00

    (XI.21)innd seama de aproximaiile fcute la arcul dublu articulat iintroducnd i

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    166/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    167/428

    X00p0

    2 (XI.23)

    = x dsIIxM dsIIX0 20p03

    Pentru calculul prin bolari expresiile centrului elastic i alenecunoscutelordevin:

    =WyWc2020p

    1 y W l i

    yM WX+ =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    168/428

    ; = WM WX0p

    2 ; = x WxM WX 20

    p

    3 (XI.24)Dac ncrcarea este simetric X 0 1 i X 0 2 iar X 0 3 = .Eforturile sunt:1 201 1 2 2 p0

    p p M =M + m X + m X =M yX + XN = N + n X + n X = N X cos 101 1 2 2 p0

    p p (XI.25)Dac ncrcarea este antisimetric X 0 1 = i X 0 2 = iar X 0 3 .Eforturile sunt:303 3 p0

    p p M =M + m X =M + xXN = N + n X = N + X sin 303 3 p0

    p p (XI.26)- 67 -APLICAII S se traseze diagramele de momente ncovoietoare i de foraxial la

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    169/428

    urmtoarele arce Problema 11.13 (fig.11.13) Arcul este parabolic cu seciuneconstant (bxh=40x60cm 2).

    - Fig.11.13 -ncrcarea fiind simpl se va utiliza integrarea direct. Expresianecunoscutei n cazul seciunii constante este2020p

    1 y ds L iyM ds

    X+ =

    Expresiile momentelor ncovoietoare n seciunea curent sunt: m y1 = ,2M0 Pxp = , iar L 2y 4fx(L x) =

    = = = 10800

    48dx 5PL f2PxLyM ds 2 4fx(L x)

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    170/428

    2 2L029p

    57,6

    15dx 8LfLy ds 16f x (L x)2 2L042 2 2

    2 = =

    = 0,361212 0,612L hAL i L I2 22

    0 = = = = 186,33557,96X 10800 1 = =6y P=240kNxSBy X 1x 1203P=240kN1202Px

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    171/428

    4PLMp 06

    59,25 59,25Mp161 216,61 216,61220,22186,335 220,22Np_- 68 -Calculul momentelor ncovoietoare: 10

    p p M = M yX- seciunea de la cheie f X 720 3 186,335 161kNm4M PL c 1 = = = - seciunea de la sfertul deschiderii f X 360 419,25 59,25kNm43

    4L2M P s 1 = = = Calculul forelor axiale: N = N X cos 10p p

    - seciunea de la nateri: cos 0,707 1 = ;sin 0,707 1 =sin X cos 216,61kN2N P 1 1 1 1 = = - seciunea de la sfert: cos 0,894 s = ;sin 0,447 s =sin X cos 220,22kN2N P s s 1 s = =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    172/428

    - seciunea de la cheie: cos 1 c = ;sin 0 c =N X cos 186,335kN c 1 c = = Problema 11.14 (fig.11.14) Arcul de la aplicaia precedent,ncrcat cu o for

    uniform distribuit pe jumtate de deschidere. - Fig.11.14 -Arcul fiind acelai se va calc ula numai termenul liber(numrtorul expresiei necunoscutei X 1)6y 20kN/mxSBy X 1x 90320Mp 30 0652,5937,41Mp

    1,12 103,6861,25464,034 56,627 64,034Np_A B180- 69 -Pe prima jumtate a arcului 0 2p 90x 10x2M = 90x 20x x =

    = = (90x 10x )dx 2106

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    173/428

    LyM ds 4fx(L x)2L0229p

    Pe jumtatea din dreapta a arcului M 0 30xp =

    = = 30xdx 1350LyM ds 4fx(L x)2L029p

    Deci

    yM9ds = 2106 +1350 = 3456p

    Calculul necunoscutei56,627

    57,96X 3456 1 = =Calculul momentelor ncovoietoare - seciunea de la cheie M 180 3 56,627 1,12kNm c = = - seciunea de la sfert pe jumtatea din stnga a arcului 3 56,627 52,59kNm4M 90 3 20 3 1,5 3 s = = - seciunea de la sfert pe jumtatea din dreapta a arcului 3 56,627 37,41kNm4M 30 3 3 s = = Calculul forelor axiale: - seciunea A cos 0,707 A = ;sin 0,707 A =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    174/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    175/428

    unde m y 1 = , n = cos 1 , n 1 t = +

    = + + 1 dxE Acos ds EIAy ds IIEI I 2t t0 2 0 2 00 11

    Deoarece arcul are seciune constant I 0=I rezult dx 57,6Ly ds 2 4fx(L x)2L022

    2 = =

    = cos ds L i 0,36AI 20

    0 2 = = 3,632,1 10 34 101 ds L i 12 3 10 72 10

    E AEI8 47 42t2t t

    0 =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    176/428

    = =

    EI yM 0ds 108000 1p p = = Necunoscuta, efortul din tirant, este175 ,353 kN57,60 0,36 3,63X 10800111p

    1 =+ += = 6P=240kNSB

    X11203P=240kNMp 120 0634,454Mp193,94 208,646208,646210,405 175,353 210,405Np_ 72034,454- 71 -

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    177/428

    Se constat c n cazul arcului cu tirant, efortul n tirant estemai mic dect reaciunea orizontal a arcului dublu articulat, i aceastadeoarece tirantul este un

    element deformabil.Calculul momentelor ncovoietoare M 120 6 3 175,353 193,94kNm c = = 3 175,353 34,544kNm4M 120 3 3 s = = Calculul forelor axiale N 120sin 175,353cos 208,846kN A A A = =

    unde cos 0,707A

    = ;sin 0,707A

    =N 120sin 175,353cos 210,405kN s s s = = unde cos 0,894 s = ; sin 0,447 s =N X 175,353kN c 1 = = N X 175,353kN t 1 = + = +Problema 11.16 (fig.11.16) Se va utiliza calculul prin bolari.Arcul estecircular din beton armat, avnd seciunea transversal constant,bxh=40x70cm2, razaR=22,62m i unghiul la centru 2 = 840 .Forele sunt aplicate simetric n seciunile 2,3,4,5 i 6. - Fig.11.16 -Calculul elementelor geometriceL = 2Rsin = 2 22,62 0,669 = 30,27mf = R(1 cos ) = 22,62 (1 0,743) = 5,81myx 5,81R=22,62202020 20 20 2020 20202016,81

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    178/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    179/428

    y L i syMy s L iyM s

    X 2020p2020p

    1 + = +

    =

    Momentele ncovoietoare 0p M i eforturile axiale 0p N calculate cu relaiile

    = i 0 i j i0

    p M V x P dunde d i este distana de la fora curent la seciunea i.

    = i 0 i j i0

    p N V sin P sin

    sunt date n tabelul 11.16.2. Tabelul 11.16.2Sectiunea 0p M y 0p yM y2 sin i 0p N

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    180/428

    1 106,50 0,924 98,406 0,854 0,622 -62,202 332,70 2,485 826,759 6,175 0,522 -52,20 -41,763 526,38 3,774 1986,558 14,243 0,415 -33,20 -24,904 681,12 4,769 3248,261 22,743 0,301 -18,06 -12,045 788,76 5,425 4279,023 29,431 0,182 -7,28 -3,646 834,50 5,764 4810,058 33,224 0,061 -1,22 0Termenii din expresia necunoscutei se calculeaz pe arcul ntregdeoarecesistemul de baz este arc simplu rezemat 2 yM0 2 15249,065 30498,13

    p = = 2 y2 = 2 106,67 = 213,34- 73 -0,448

    12 2,7630,270 0,7012 sL i s Lh2 22

    0 = = = Necunoscuta X 1 este:142,656kN213,34 0,448X 30498,130 1 =+=

    Eforturile finale (fig.11.17) au fost calculate cu relaiile 10

    p p M = M yX N = N X cos 10p p

    i sunt nscrise n tabelul 11.16.3.

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    181/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    182/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    183/428

    4378 9610 fx iBA '

    i x'

    i yBycX2X1C- 75 -i'

    xi = Rsin ; y R(1 cos ) i'

    i = i i x = Rsin Rsin ; y = Rcos R cos i iTabelul 11.17.1Sectiunea i sin i cos i 'i x 'i yA 75 0 0,966 0,259 17,390 13,3401 71 015 0,947 0,321 17,046 12,222

    2 63 045 0,897 0,442 16,146 10,0403 56 015 0,831 0,555 14,958 8,000 4 48 045 0,752 0,659 13,356 6,138 5 41 015 0,659 0,752 11,862 4,464 6 33 045 0,555 0,831 10,000 3,042 7 26 015 0,442 0,897 7,956 1,854

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    184/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    185/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    186/428

    7 M 986,04 280 2,178 1595,88 -123,76 7 = = 430 0,442 -190,066 M 1595,88 430 2,044 2474,80 6 = = 430 0,555 -238,655 M 2474,80 430 1,862 3275,46 -283,87 5 = = 580 0,659 -

    383,224 M 3275,46 580 1,674 4246,38 4 = = 580 0,752 -436,163 M 4246,38 580 1,422 5071,14 -481,98 3 = = 760 0,831 -631,562 M 5071,14 760 1,188 5974,02 2 = = 760 0,897 -681.721 M 5974,04 760 0,90 6658,02 1 = = 760 0,947 -719,72A M 6658,02 760 0,344 6919,46 A = = 760 0,966 -734,16Expresiile necunoscutelor sunt2

    020p

    1 y W L iyM WX+ =

    ; = WM WX0p2

    Din tabelul 11.17.2 rezult

    W = 23,56 y2W = 385,327Termenul liber 20 L i pe semistructur are valoarea0,52212

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    187/428

    34,78 0,602L i 12

    1 22

    0 = = Ceilali termeni din expresiile necunoscutelor sunt calculai ntabelul 11.17.4.- 77 -Tabelul 11.17.4Sectiunea W y yW 0p M 0p M W y 0p M W10 2,356 4,674 11,012 -117,00 -275,652 -1288,4049 2,356 4,350 10,249 -351,00 -826,956 -3597,4008 2,356 3,756 8,849 -986,04 -2323,110 -8725,4687 2,356 2,856 6,728 -1595,88 -3759,893 -10737,086 2,356 1,668 3,930 -2474,80 -5830,629 -9725,9645 2,356 0,246 0,579 -3275,44 -7716,984 -1896,4914 2,356 -1,428 -3,364 -4246,38 -10004,47 +14284,8223 2,356 -3,290 -7,751 -5071,14 -11947,606 +39306,4062 2,356 -5,330 -12,557 -5974,02 -14074,791 +75015,7691 2,356 -7,512 -17,698 -6658,02 -15686,295 +117833,673M0W 72446,386

    p = yM0W 210469,863

    p =Cu aceste rezultate necunoscutele capt valorile 494,934kN424,726 0,522X 210469,863 1 =+= 3074,974kNm23,56X 72446,386 2 =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    188/428

    = Eforturile finale calculate cu relaiile 1 201 1 2 2 p0

    p p M =M + m X + m X =M yX + XN = N + n X + n X = N X cos 101 1 2 2 p0p p

    sunt date n tabelul 11.17.5. Tabelul 11.17.5Sectiunea y -yX 1 0p M Mp 0p N cos i -X1cos i NpB 4,771 -2331,139 0 +743,834 0 1 -494,934 -494,93410 4,674 -2313,321 -117,00 +644,652 -6,50 0,998 -493,944 -500,4449 4,350 -2152,963 -351,00 +571,011 -19,50 -504,535 -54,60 0,980 -485,035 -539,6358 3,756 -1858,972 -986,04 +229,962 -89,88 0,947 -468,702 -558,5807 2,856 -1413,531 -1595,88 +65,567 -123,76 -567,715 -190,06 0,897 -443,955 -634,0166 1,668 -825,550 -2474,80 -225,376 -238,65 0,831 -411,290 -649,940

    5 0,246 -121,753 -3275,44 -322,240 -283,87 -655,560 -383,22 0,752 -372,190 -754,4104 -1,428 +706,765 -4246,38 -464,640 -436,16 0,659 -326,161 -762,3213 -3,290 +1628,333 -5071,14 -367,833 -481,98 -756,668 -631,56 0,555 -274,688 -906,2482 -5,330 +2638,00 -5974,02 -261,047 -681.72 0,442 -218,760 -900,4801 -7,512 +3717,944 -6658,02 +134,900 -719,72 0,321 -158,874 -878,594A -8,630 +4271,280 -6919,46 +426,794 -734,16 0,259 -128,188 -862,348- 78 -Problema 11.18 (fig.11.19) Se consider arcu l circular de laproblema 11.17,supus presiunii hidrostatice p n=30kN/m. Se cunosc = 750 , R=18,00m.- Fig.11.19 -Cu datele geometrice prevzute rezult L=34,78m i f=13,34m. Poziia centrului elastic este dat de relaia

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    189/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    190/428

    R yX c 1

    2Ly y6,2949,746,2941,70 1,70MpNp_539,813 539,813539,427 539,427539,277- 79 -Calculat prin bolari, poziia centrului elastic a fost dat devaloarea c=4,710m(deci o bun aproximaie). Considernd ca sistem de baz pentru ncrcarea p arcul cu treiarticulaii care este arc de coinciden rezult n arc numai for axialde compresiuneN0 pRp = . n aceste condiii M 0 0p i rezult X 0 1 , X 0 2 = .Ecuaia de condiie va fi X 0 11 1 1p + =

    Calculul coeficientului necunoscutei X 1 esteEI = m ds + i n2ds = y2ds + i 2 cos 2 ds12 211 1

    Deoarece ( )

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    191/428

    =

    y = c y'= R 1 sin R 1 cos R cos sin , iards = Rd se obine 775,9022sin Ri 1 sin 22EI R 1 sin 2 2223

    11 =

    + +

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    192/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    193/428

    + = = Calculul momentelor ncovoietoare finale - la cheie

    M m X y X 4,718 0,723 9,74kNmc 1 1 c 1

    = = = = - la nateri M m X y X (13,34 4,718) 0,723 6,294kNm n 1 1 n 1 = = = = - la sfertul deschideriiM m X y X 2,322 0,723 1,70kNm s 1 1 s 1 = = = = Calculul forei axiale - la cheieN pR X 30 18 0,723 539,277kN c 1 = + = + = - la nateri N pR X cos 30 18 0,723 0,259 539,813kN n 1 n = + = + = - la sfertul deschideriiN pR X cos 30 18 0,723 0,793 539,427kN s 1 s = + = + = Diagramele de eforturi sunt date n figura 11.19. - 80 -

    METODA DEPLASRILOR CAPITOLUL XII

    PRINCIPIILE METODEI DEPLASRILOR Metoda deplasrilor este o metod general pentru calcululstructuriloralctuite din bare: cadre, grinzi continue sau grinzi cu zbreleavnd noduri rigide.

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    194/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    195/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    196/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    197/428

    - este unic,- este format din dou tipuri de bare: bare dublu ncastrate ibarencastrate la o extremitae i articulate la cealalt,

    - este multiplu static nedeterminat comparativ cu structura real. Sistemul de baz va fi ncrcat cu forele reale i cu deplasril enodurilor(iniial necunoscute). Sub aciunea acestor ncrcri nlegturile suplimentare vor aprea reaciuni. Reaciunea total se obine prin suprapunerea deefecte. Deoareceaceste legturi suplimentare sunt fictive, condiia ca ele s nu

    existe este caechivalentul lor mecanic s fie egal cu zero. Deci R 0 1 = ,R 0 2 =, . . . , R 0 n = undeR r Z r Z ... r Z R 0R r Z r Z ... r Z R 0R r Z r Z ... r Z R 0n n1 1 n 2 2 nn n np2 21 1 22 2 2n n 2p1 11 1 12 2 1n n 1p

    = + + + + =

    = + + + + == + + + + =M

    (XII.2)n sistemul de ecuaii (XII.2), elementele componente auurmtoarele semnificaii: - Z 1, Z 2, , Z n sunt deplasrile necunoscute ale nodurilor rotiri i translaii, - r 11, r 22, , r nn coeficienii necunoscutelor principale suntreaciun i unitare,produse de deplasri egale cu unitatea pe direcia lor cndacestea acioneaz

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    198/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    199/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    200/428

    Pentru cazul ncrcrii cu rotiri de nod sau translaii de nodeforturile sunt daten tabelul XII.1, unde s -a notatL

    i = EI (rigiditatea practic a barei). Eforturile, dup rezolvarea sistemului de ecuaii, se determinastfel:- pentru structuri cu noduri fixe ( momente pe nod)ij ij ij i ij j M = 4i 2i ji ji ij i ij j M = 2i 4i ik ik ik i M = 3i - pentru structurile cu noduri deplasabileij ij ij i ij j ij ij

    M = 4i 2i + 6i ji ji ij i ij j ij ij M = 2i 4i + 6i ik ik ik i ik ik M = 3i + 3i n relaiile (XII.3) i (XII.4) simbolurile i conin semnul,deoarece fore pot avea sensuri diferite.Structurile simetrice se rezolv prin metoda deplasrilorutiliznd procedee cunoscute i anume procedeul necunoscutelor grupate i procedeulsemistructurilor.Un caz particular, care introduce i elemente specifice metodei este cazulbarei dublu ncastrate in sistemul de baz, intersectate de axade simetrie la mijloculdeschiderii sale i este ncrcat cu rotiri grupate simetric igrupate antisimetric(fig.XII.6).

    Gruparea simetric Gruparea antisimetric ij ij i ij j ij i M = 4i + 2i = 2i ij ij i ij j ij i M = 4i 2i =6i Din cele de mai sus rezult c, n gruparea simetric bara secomport ca avnd

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    201/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    202/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    203/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    204/428

    18i45rR

    Z = = = Momentele ncovoietoare finale se obin prin suprapunereaefectelor:1 10

    p p M =M + m Z65kNmiM 45 8i 2,50

    12 0 = = ; 35kNmiM 45 4i 2,50

    21 0 = + = + 10kNmiM 4i 2,50

    13 0 = = ; 5kNmiM 2i 2,50

    31 0 = = 75kNmiM 90 6i 2,50

    31 0 = + = r 116i 04i 08i 0R1p45 90

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    205/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    206/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    207/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    208/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    209/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    210/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    211/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    212/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    213/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    214/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    215/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    216/428

    Mp0 Mp44,2192IZ2

    Z1=1 475,25837,62937,62918,8159032 21,5 1,6643

    4m2Z2=184,9990- 94 -B. STRUCTURI CU NODURI DEPLASABILE. Structurile cu nodurideplasabile se impart n dou categorii, n funcie decaracteristicile ce intervin n calculul lor. Aceste dou categorii sunt: Structuri cu noduri deplasabile avnd stlpii verticali i rigleorizontale;Structuri cu noduri deplasabile avnd stlpi nclinai sau riglen dou pante. La structurile cu stlpi verticali i rigle orizontale ^in cazulncrcrii sistemului de baz cu o translaie pe direcia unui grad de

    libertate, riglele setranslateaz (nu se deformeaz), iar stlpii se rotesc deformndu -se. n consecin exist numai diagram de deplasri pe orizontal. Calculul reaciunii din legt ura de grad de libertate se poateefectua exprimnd

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    217/428

    condiia de echilibru static fie printr - o ecuaie de proiecie peorizontal, fie utiliznd princiliul lucrului mecanic virtual.La structurile cu stlpi nclinai sau cu rigle n dou ape prin

    ncrcarea sistemului de baz cu o translaie pe direcia unui grad delibertate se deformeaz att stlpii ct i unele rigle funcie de conformaia structurii. nconsecin exist diagram de deplasri att pe orizontal ct i pe vertical.Calculul reaciunii dinlegtura de grad de libertate se realizeaz utiliznd numai

    principiul lucrului mecanicvirtual.S se traseze diagramele de eforturi la urmtoarele structuri cunodurideplasabile.Problema 12.9 (fig.12.9)- Fig.12.9 -SB60kN

    I 2I I6 7,5690m1Mp1 2 1Z10,5 1 0,5 180 901 2 3

    1(1) (2) (3)(1,4)(2,4)(2,5)(3,5)I II IIIIV V

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    218/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    219/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    220/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    221/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    222/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    223/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    224/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    225/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    226/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    227/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    228/428

    Z 20 02,7Z 13

    Z 1Z 40 03Z 14310Z Z 01 2 32 31 3

    iar necunoscutele au valorile urmtoareZ 30,909 1 = ;Z 190,707 2 =;Z 309,091 3 =Diagrama final de momente ncovoietoare este dat n figura12.15.Mp3I20kNI2I6 6I6 340kN2ISBZ1Z311 12

    Z2m13 Z 1=14 3216 = 1 1

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    229/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    230/428

    312 0 R 3p- 101 -Problema 12.13 (fig.12.16)- Fig.12.16 -Rigiditile practice au fost calculate pentru 1 6i EI 0 = =Ecuaiile de condiie sunt :

    + + =+ + =

    r Z r Z R 0r Z r Z R 021 1 22 2 2p11 1 12 2 1p

    Calculul coeficienilor necunoscutelor i ter menilor liberir 14 11 = ; r 1,25 12 = ; R 90 1p = ;0; r 1,2586 16r 1 (8 4) 1 21 21 + + = = 0; r 1,097541,35 180,75 16r 1 (2 2) 1 22 22 + = =

    2Mp0

    2I20kN/m1 ,5I6 32I

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    231/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    232/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    233/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    234/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    235/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    236/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    237/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    238/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    239/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    240/428

    11 1 12 2 1p

    M p0

    20 kN/mSBm1

    M p2 2I I63 I4Z1=16 01 13Z Z 1= 1 1 Z1

    4 44 46 0 3 0 3 015 1560+_6 0_ +1 1 ,25 11,25T p- 106 -- Fig.12.20 -Coeficienilor necunoscutelor i termenii liberi suntr 2 (4 12) 32 11 = + = ; r 2 ( 1,5) 3 12 = = ; R 0 1p = ;0; r 34(4 2) 14r 1 (4 2) 1 21 21 + + + + = = 0; r 1,542 1,5 14r 1 2 1,5 1 22 22 = = R 1 30 1 30 1 0; R 60 2p 2p + + = =

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    241/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    242/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    243/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    244/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    245/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    246/428

    + + + =+ + + =+ + + =

    r Z r Z r Z R 0r Z r Z r Z R 0r Z r Z r Z R 031 1 32 2 33 3 3p21 1 22 2 23 3 2p11 1 12 2 13 3 1p

    Rigiditile practice ale barelor au fost calculate pentru 16i EI 0 = =Coeficienii necunoscutelor i termenii liberi sunt:

    0; r 53(6 6) 16(1,5 1,5) 16r 1 (1,5 1,5) 1 11 11 + + + = = 0; r 1,56r 1 (6 3) 1 12 12 + + = = 0; r 4,53(12 6) 16r 1 (6 3) 1 13 13 + + + = = 0; R 606(60 60) 12R 1 20 6 1 1p 1p + + = = r 1,5 21 = ; r 14 22 = ; r 4 23 = ; R 60 2p =r 4,5 31 = ; r 4 32 = ; r 26 33 = ; R 0 3p = ;Sistemul de ecuaii este:

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    247/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    248/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    249/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    250/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    251/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    252/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    253/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    254/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    255/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    256/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    257/428

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    258/428

    i 14Z1=12i 133i 124i 13

    4i 142i 14m1 Mp0

    13 M 31 M 12 M- 116 -Necunoscuta Z 1 capt forma

    = = 0 1

    1111p

    1 4iMrRZi reprezint rotirea nodului 1, produs de momentul neechilibratM1 , cnd nodul 1 este deblocat.n aceast poziie, nodul 1 este n echilibru, iar momentelencovoietoare ce apar pe bare sunt:14 10 11

    14 14 1 14 M4iM 4i Z 4i M = = =

    14 10 11

    41 14 1 14 M

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    259/428

    214iM 2i Z 2i M =

    = =

    13 10 11

    13 13 1 13 M4iM 4i Z 4i M = + = =

    13 13 13 M M M13 10 11

    31 13 1 13 M214i

    M 2i Z 2i M = + = =

    31 31 31 M M MDin expresiile de mai sus se desprind urmtoarele concluzii: - Momentul neechilibrat se distribuie barelor ce formeaz nodulproporional cu coeficientul de rigiditate al fiecrei bare

    - La barele dublu ncastrate momentu l distribuit este transmis lacaptul opus cu valoarea pe jumtate i avnd acelai semn. - La structurile cu mai multe noduri, se repet cele dou faze distrinuirea

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    260/428

    momentului neechilibrat la barele din nod i apoi transmitereamomentuluidistribuit la captul opus, pentru barele dublu ncastrate trecnd din nod n

    nod pn cnd momentele neechilibrate devin neglijabile. Efectundsumamomentelor obinute n fiecare nod se obin valorile finale aleacestora.Observaii: - Suma coeficienilor de distribuie dintr - un nod este egal cuminus unu,

    = 1 ij .Aceast proprietate rezult scriind echilibrul nodului 1 M = 0 1 ; M M M 0 12 13 14 + + =12M1 14 M1 13 M1 0 + + + = 12 13 M MDeoarece =M1 12 13 M Mrezult

    ( ) 1 12 13 14 1 M + + = M- 117 -

    sau1 ( 12 13 14 ) 1 M + + = M- Deoarece n acest procedeu se opereaz cu eforturi i condiiade echilibrustatic este respectat att la fiecare deblocare ct i i nfinal, verificarea rezultatelorse obine verificnd satisfacerea condiiei de compatibilitate adeformatei cu

    legturile. Avnd momentele ncovoietoare finale se calculeaz rotirileseciunilor din jurul unui nod rotiri care trebie s fie egale. Astfel pentru o bar situat ntre dou noduri rigide i i jexpresiile momentelor

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    261/428

    ncovoietoare sunt: ij ij i ij j M = 4 2 ij Mji ij i ij j M = 2 4 ji MDeoarece M ij i M ji sunt momentele ncovoietoare finale rezult un

    sistem dedou ecuaii cu dou necunoscute. Notnd ij = M ij*

    ij M M i ji = M ji*

    ji M M rotirilecapt forma ij*ij*ji

    i 6M 2M = i ij*ji*ij

    j 6M 2M = Pentru o bar ncastrat la captul i i articulat n k rotireaseciunii I este ik*ik

    i 4M = - La structurile simetrice la care calculul se conduce pesemistructur trebuie avut n vedere urmtoarele:

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    262/428

    - dac axa de simetrie intersecteaz o bar la mijloculdeschiderii atunci n cazul ncrcrii simetrice se consider 1s ij 2 = 1 , iar n cazul ncrcrii

    antisimetrice se consider 1s ij = 1,5 - dac axa de simetrie se suprapune peste axa unei bare atunci ncazulncrcrii antisimetrice se consider ijas

    ij 2 = 1 .- 118 -APLICAII

    S se calculeze momentel ncovoietoare, la urmtoarele structuri,utiliznd procedeul Cross.Problema 13.1 (fig.13.1)- Fig.13.1 -Ordinea operaiilor este urmtoarea: - se trece la sistemul de baz blocnd nodurile rigide; - se calculeaz rigiditile practice i coeficienii derigiditate. Pentru16i EI 0 = = rezult 36i 3EI 12 = = ; 16i EI 14 = = ; 3

    4i 2EI 23 = = ; 1,56i 1,5EI 15 = =+10+118+1420+4000

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    263/428

    Mp0

    603I20kN/m2I

    1 ,5I3 4I6380kN2 3SB14 51 .53 2 ,2516040Mp175865775548878 51495901028 -4+6

    -58+78-707+943-4500+6000+3+39+472+514-0,250-0,750+1758-1500-236-20-2-1758-0,222-0,4441 2-0,334+13-29+157

  • 8/11/2019 Statica constructiilor

    264/428

    -354+1886-2250-6000-6577+