Lab11. Calculul rădăcinii reale prin metoda înjumătăţirii

intervalului Să considerăm ecuaţia f(x)=0,unde funcţia f(x) este continuă pe intervalul [a,b],are o singură rădăcină reală în acest interval şi f(a)*f(b)<0. Calculăm c=(a+b)/2 – jumătatea intervalului [a,b]. Dacă f(c)=0, atunci c este chiar rădăcina cautată, dacă nu, atunci rădăcina reală se găseşte într-unul din intervalele [a,c] sau [c,b], acolo unde funcţia capătă valori de semne contrare la capetele intervalului (dacă f(a)*f(c)>0, atunci a=c, altfel b=c, atît cît |a-b|>eps, unde eps - o eroare precizată).

2. Metoda aproximaţiilor succesive: Fie f(x)=0, sub forma x=(x). Această reprezentare se mai numeşte funcţia iteraţională. Plecînd de la o valoare iniţială arbitrară x0 generăm şirul {xk} (funcţie generică) după regula : xk+1=(xk), k=0,1,2,…, pînă cînd |xk+1-xk| < eps, unde eps – o eroare precizată.

3. Metoda lui Newton(metoda tangentelor) Fie o ecuaţie algebrică sau transcendentă f(x)=0 care admite o singură rădăcină reală în intervalul [a,b]. Metoda lui Newton este definită după următoarea formulă: xk+1=xk-f(xk) / f’(xk), k=1,2,…, unde punctul xk+1 este abscisa punctului de intersecţie a tangentei dusă la curba y=f(x) în punctul xk cu axa ox. De aceea metoda aceasta se numeşte metoda tangentelor. Valoarea xk+1 se calculează pînă cînd |xk+1-xk|<eps, unde eps – o eroare precizată.

4.Metoda secantelor Aceasta metoda constă în aproximarea funcţiei f(x) pe intervalul [a,b], în care ecuaţia f(x)=0 are o rădăcină izolată printr-o dreaptă. Algoritmul metodei secantelor constă în calculul iterativ după formulele:

1

Lab2Consideraţii toretice :

Metoda eliminării a lui Gauss constă în a aduce sistemul iniţial la un sistem echivalent avînd matricea coeficienţilor superior triunghiulară. Transformarea sistemului dat într-un sistem de formă triunghiulară, fără ca să se modifice soluţia sistemului, se realizează cu ajutorul următoarelor 3 operaţii de bază :

1) rearanjarea ecuaţiilor (schimbarea a 2 ecuaţii între ele) ;2) înmulţirea unei ecuaţii cu o constantă (diferită de zero) ;3) scăderea unei ecuaţii din alta şi înlocuirea celei de-a doua

cu rezultatul scăderii.Metoda lui Cholesky de rezolvare a sistemelor de ecuaţii

liniare algebrice se mai numeşte metoda rădăcinii pătrate şi constă în descompunerea sistemului Ax=b în două sisiteme triunghiulare :

LTy=b, Lx=y.unde L e o matrice superior triunghiulară, iar LT matricea transpusă ei.În această metodă se presupune că matricea A este o matrice simetrică şi pozitiv definită. Matricea L se alege astfel, încît A=LLT. Elementele lij ale matricei inferior triunghiulare L pot fi calculate în felul următor : Se determină prima coloană a matricei L

L11=√α11 , li1= αi1/li1 , i=2,3,…,n ;După ce s-au obţinut primele (k-1) coloane ale matricei L se calculează coloana k :

Lkk=√akk -∑l2kj ,

lik=(αik -∑lijlkj)/lkk , i=k+1,…n

Metode iterative de rezolvare a sistemelor de ecuaţii lineare. Metodelele Jacobi şi Gauss-Seidel

2Metodele iterative se constuiesc utilizînd desfacerea matricei A definită prin A=S-T. Atunci sistemul Ax=b (1) e echivalent cu sistemul Sx=Qx+d, (2) saux=Qx+d, (3)unde Q=S-1T, d=S-1b. Prin urmare putem construi şirul {x(k)}utilizînd relaţia recurentă:

Sx(k+1)=Tx(k)+b, k=0,1,2... (4) sau x(k+1) =Qx(k)+d. (5)unde x(0) , ce aparţine Rn , e o aproximaţie iniţială a soluţiei x*. Pentru a reduce sistemul (1) la o formă (3) sau (4), potrivită pentu iteraţie, desfacerea matricei A trebuie să satisfacă condiţiile : a) Sistemul (5) are o soluţie unică x(k+1) şi se rezolvă uşor. De aceea matricea S se alege de o formă simplă şi este ireversabilă.Ea poate fi diagonală sau triunghiulară.

b) Şirul {x(k) }k=1 converge către soluţia exactă x* oricare ar fi x(0).

Presupunem că elementele diagonale aii≠0, i=1,2,...n. Atunci în calitate de matrice S se poate lua matricea diagonală ataşată matricei A:

S=diag(α11, α22, …,αnn) Avem: S-1=diag(1/α11,1/α22,…,1/αnn)

În acest caz sistemul (2) devine : xi=1/αii(bi-∑αij∙xj

(k)), i=1,2,…,n. Procesul iterativ (5) este definnit prin : xi

(k +1)= xi(k+1), i=1,2,…n.

Astfel obţinem o metodă de rezolvare a sistemului liniar (1) numită metoda lui Jacobi. În metoda lui jacobi e necesar de a păstra în memoria calculatorului toate componentele vectorului x(k) atît timp cît se calculează vectorul x(k+1). Putem modifica metoda lui Jacobi astfel încît la pasul (k+1) să folosim în calculul componentei xi

(k+1), valorile deja calculate la aceasi pas: x1

(k+1), x2(k+1),…,

xi-1(k+1). Aceasta modificare a metodei lui Jacobi se numeşte

metoda lui Gauss-Seidel, iar şirul iterativ devine:xi

(k+1)= 1/αii(bi-∑αij∙xj(k)- ∑αij∙xj

(k)), i =1,2,…,n.

3Lab32.Consideraţii toretice :

1) Polinomul de interpolare Lagarange se utilizează pe larg atunci cînd discretizarea intervalului [a,b] de interpolare în subdomenii elementare este neuniformă, adică intervalele au o lungime diferită.

Polinomul de interpolare al lui Lagrange se calculeaza după formula:

Ln (x )=∑i=0

n x−x jxi−x j

¿¿¿¿2) În multe cazuri concrete de interpolare a funcţiei f(x) nu enecesar determinarea formei analitice a polinomului Lagrange, ci doar calculul valorii funcţiei într-un punct dat, diferit de nodurile de interpolare, eroarea calculelor fiind cunoscută. În aşa situaţii importante pentru aplicaţii se va utiliza schema lui Aitken. Procedura de calcul constă în faptul, că începînd cu 2 puncte de interpolare, treptat în calcule se includ noduri noi pînă se va obţine precizia dorită.

Algoritmul schemei Aitken presupune efectuarea următorilor paşi :

Pe intervalul [xi , xi+1] se aplică polinomul Lagrange de interpolare lineară:

Li,i*1=yi x−x i+1xi−x i+1 + yi+1

x−xixi+1−xi , unde i=0,1,...,n.

Apoi Li,i+1,i+2,...,n=

|Li ,i+1, i+2, . .. , n−1 x0−x ¿|¿¿

¿¿¿¿,j=2,3,…,n-2

pînă cînd |L0,1,2(x)-L0,1(x)|,…,|L1,2,…,m(x)-L0,1,…m-1 (x)|< ε, unde ε >0 precizia dată şi m<n.

4