SISTEMUL AXIOMATIC AL LUI HILBERT

Sistemul axiomatic al lui Hilbert constituie o teorie semiformalizată. Sistemul axiomatic al lui Hilbert prezintă următoarele avantaje:

- Nu foloseşte elemente exterioare geometriei;- Axiomele sunt grupate în mod natural;- Dezvoltarea teoriei este făcută în mod gradat şi sistematic;- Surprinde partea comună a geometriilor euclidiană şi hiperbolică;- Satisface problemele de metateorie:necontradicţie, minimalitate, completitudine,

categoricitate.

Noţiunile primare sunt: punct , dreaptă, plan, iar relaţiile primare sunt: incidenţa, „a fi între”, congruenţa.

Punctele vor fi notate cu A, B, C,..., dreptele cu a, b, c,..., iar planele cu incidenţa va fi semnalată prin simbolul „de apartenenţă” , relaţia „a fi între” prin succesiunea de liniuţe - -, iar congruenţa prin semnul .

Axiomele sunt în număr de 20 şi sunt grupate în cinci grupe; primele trei grupe sunt consacrate succesiv celor trei relaţii fundamentale iar ultimile două grupe impun condiţii suplimentare prin intermediul unor noţiuni derivate.

Formularea dată de Hilbert axiomelor evită complet teoria mulţimilor şi acesta este un avantaj de natură stiinţifică a sistemului deoarece deoarece analiza sa metateoretică nu este influenţată de existenţa sau de neexistenţa unei teorii deductive necontradictorii pentru mulţimi.

Sistemul axiomatic al geometriei nu justifică nici o modalitate de „ilustrare” a noţiunilor geometrice.

Grupa I-a de axiome (de apartenenţă)

Relaţia primară ce intervine în aceste axiome este incidenţa. Vom asimila o dreaptă d prin mulţimea punctelor incidente dreptei şi vom înlocui exprimarea „ punctul A este incident dreptei d” prin „A aparţine lui d”. Complet analog, vom asimila un plan α prin mulţimea punctelor incidente lui. Apare firesc şi relaţia derivată: incluziunea, ce beneficiază de definiţia: dreapta d este inclusă în planul α dacă orice punct incident al dreptei d este incident planului α.

Cele opt axiome „de apartenenţă” sau „de incidenţă” sunt:I1. Fiind date două puncte există cel puţin o dreaptă la care ele aparţin.I2. Pentru orice două puncte distincte există cel mult o dreaptă incidentă lor.

1

I3. Fiecărei drepte îi aparţin cel puţin două puncte. Există trei puncte încât nici o dreaptă nu poate fi incidentă tuturor acestor puncte.I4.Fiind date trei puncte există cel puţin un plan incident incident lor. Pentru orice plan există măcar un punct care îi aparţine.I6.Dacă două puncte distincte ale unei drepte aparţin unui plan, atunci orice punct al dreptei aparţine acelui plan.I7. Dacă două plane au un punct comun care să le aparţină simultan, atunci ele mai au cel puţin încă un punct cu această proprietate. I8. Există patru puncte încât nici un plan nu este incident tuturor acestor puncte.Aceste axiome se pot reformula folosind relaţii derivate precum cele de mai jos.Astfel două sau mai multe puncte se numesc coliniare dacă aparţin unei drepte şi se numesc coplanare dacă aparţin unui plan. Două drepte distincte care au un punct comun se numesc secante.trei sau mai multe drepte se numesc concurente dacă există un punct care le aparţine. Dacă punctele unei drepte aparţin unui plan se spune că dreapta este conţinută în acel plan.

Consecinţe imediate:Propoziţia 1.1. Pentru orice dreaptă d, există măcar un punct A neincident ei.

Propoziţia 1.2. Pentru orice plan α , există măcar un punct A .

Propoziţia 1.3. Oricare ar fi punctele A şi B, există o singură dreaptă a, încât A ϵ a, B ϵ a.

Propoziţia 1.4. Oricare ar fi punctele A , B şi C necoliniare, există un singur plan α incident lor.

Propoziţia 1.5. Două drepte distincte au cel mult un punct comun.

Propoziţia 1.6. Două plane distincte care au un punct comun, au o dreaptă şi numai una în comun.

Propoziţia 1.7. Două plane distincte au cel mult o dreaptă în comun.

Propoziţia 1.8. O dreaptă a şi un plan α pot avea următoarele poziţii relative: ; a şi α au un singur punct comun; a şi α nu au nici un punct comun.

Propoziţia 1.9.Date fiind o edreaptă a şi un punct A care nu-i aparţine, există un singur plan α cu

proprietăţile şi .

Propoziţia 1.10. Pentru orice plan există măcar trei puncte necoliniare care îi aparţin.

Grupa a II-a de axiome (de ordine)

2

Această grupă este intitulată grupa axiomelor de ordonare şi cuprinde patru axiome. Se consideră aici o nouă relaţie primară care se referă la calitatea unui punct de „a fi între” alte două puncte.

II1. Dacă punctul B este între punctele A şi C, atunci punctele A, B, C sunt coliniare distincte şi punctul B este şi între punctele C şi A.

II2. Pentru orice două puncte distincte A şi B există măcar un punct C coliniar cu A şi B încât punctul B este între punctele A şi C.

II3. Dintre trei puncte, distincte două câte, cel mult unul este între celelalte două.

II4.(Axioma lui Pasch) Pentru trei puncte necoliniare A,B,C şi orice dreaptă a din planul lor, la care nu aparţine nici unul dintre punctele A, B, C, dacă pe a există un punct care se află între două dintre punctele A, B, C, atunci pe a există cel puţin încă un punct care se află între alte două dintre punctele A, B, C.

Pentru situaţia că B este între A şi C folosim notaţia A-B-C sau B . Numim segment o pereche neordonată de puncte {A, B}. Numim triunghi o ternă neordonată de puncte necoliniare A,B,C.

Consecinţe imediate:

C1. Orice segment AB cu A≠B are puncte interioare.

C2. Pentru orice puncte A,B,C coliniare şi distincte două câte două unul şi numai unul se află între celelalte două.

C3. Fie ABC un triunghi şi a o dreaptă din planul său neincidentă cu nici un vârf. Dacă a taie în interior una dintre laturile triunghiului atunci ea mai taie în interior una şi numai una dintre celelalte două laturi.

Grupa a III-a de axiome (de congruenţă)

Cele cinci axiome ale acestei grupe se referă la relaţia primară de congruenţă.

III1. Pentru orice segment nenul AB şi orice semidreaptă h cu originea un punct oarecare A’, există cel puţin un punct B’ pe h aşa ca AB≡A’B’.

III2. Dacă AB≡CD, A’B’≡CD, atunci AB≡ A’B’.

III3. Dacă A-B-C, A’-B’-C’, AB≡ A’B’, BC≡B’C’, atunci AC≡A’C’.

III4. Pentru orice unghi nealungit orice semiplan σ determinat de o dreaptă a într-un plan şi orice semidreaptă h’ a dreptei a există o singură semidreaptă k’ în σ, (cu aceiaşi origine ca h’) încât

. Orice unghi este congruent cu el însuşi.

III5. Dacă ABC, A’B’C’ sunt două triunghiuri pentru care AB≡ A’B’, AC≡A’C’,

atunci .

3

Grupa a IV-a de axiome.

Cuprinde două axiome numite de continuitate.

Axioma IV1 (Axioma lui Arhimede) Oricare ar fi segmental nenul AB şi segmental CD, există şi punctele C0=C,Ci-1-Ci-Ci+1,CiCi+1≡AB(i=1,2,…,n-1) şi D=Cn-1 sau Cn-1-D- Cn.

Axioma IV2 (Axioma lui Cantor)Pentru orice şir infinit de segmente ale unei drepte a, cu

proprietatea că este inclus în interiorul segmentului pentru toţi i=1,2,... şi nu există nici un segment care să se găsească ăn interiorul tuturor segmentelor din şirul considerat, există pe a un punct M care aparţine interiorului fiecărui segment din şir.

Propoziţie. Punctul M care figurează în axioma lui Cantor este unic.

Grupa a V-a de axiome

Această grupă cuprinde o singură axiomă, numită axioma paralelelor.

Definiţie. Două drepte se numesc paralele dacă ele aparţin aceluiaşi plan şi nu au nici un punct comun sau coincid.

Axioma V. Printr-un punct A exterior unei drepte a (în planul determinat de A, a) există cel mult o paralelă la dreapta a.

Bibliografie

Miron,R.,Brânzei,D.,1983,Fundamentele aritmeticii şi geometriei, Editura Academiei, Bucureşti

Brânzei,D.,Onofraş, E.,Aniţa,S., Isvoranu,Ghe.,1983, Bazele raţionamentului geometric, Editura Academiei, Bucureşti

4