UNIVERSITATEA ”LUCIAN BLAGA” DIN SIBIU

Facultatea de Stiinte

Specializarea Matematica - Informatica

LUCRARE DE LICENTA

Student

Hansa Patrick Timotei

SIBIU

2015

UNIVERSITATEA ”LUCIAN BLAGA” DIN SIBIU

Facultatea de Stiinte

Specializarea Matematica - Informatica

OPERATORI LINIARI PESPATII HILBERT

Coordonator stiintific:Conferentiar univ. dr. SUCIU LAURIAN

Student

Hansa Patrick Timotei

SIBIU

2015

2

Cuprins

Introducere 3

1 Spatii Hilbert 51.1 Spatii cu produs scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Ortogonalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Complement ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Unitar echivalenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Baza ortonormata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Functionale liniare si teorema de reprezentare a lui Riesz . . . . . . . 15

2 Operatori liniari 172.1 Notiuni de baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Operatorul adjunct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Operatori compacti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Operatori liniari ınchisi 253.1 Operatori ınchisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Fundamentele teoriei spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Operatori simetrici si autoadjuncti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Extensii autoadjuncte ale operatorilor simetrici . . . . . . . . . . . . 353.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Teorema lui Hille-Yosida 454.1 Operatori maximali monotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Solutia problemei de evolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Cazul autoadjunct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Bibliografie 55

3

Introducere

Lucrarea de fata reprezinta un studiu ce continua cursul de analiza functionala,audiat ın cadrul anului terminal. Tematica abordeaza, ın mod special, problematicace izvoraste din teoria abstracta a operatorilor liniari cu aplicatiile lor ın studiulecuatiilor diferentiale. Clase esentiale de operatori marginiti si nemarginiti suntilustrate ımpreuna cu proprietatile lor fundamentale.

Modul ın care operatorii liniari au aparut si s-au dezvoltat ın literatura de spe-cialitate si rolul lor ın probleme concrete generate de fizica si tehnica se evidentiazaıntr-o maniera cat mai ampla si mai precisa. Nu am insistat pe detaliile foartetehnice, pentru a face cat mai clara parcurgerea materialului.

Lucrarea este structurata ın patru capitole. Mai precis, ın primul capitol amintrodus notiunea de spatiu Hilbert si unele din rezultatele importante care au locın cadrul acestora. Avem astfel inegalitati si identitati extrem de utile, elementede geometria spatiilor Hilbert, precum si doua rezultate fundamentale si anumeteorema Hahn-Banach si teorema de reprezentare a functionalelor liniare marginitea lui Riesz.

In al doilea capitol am facut o scurta prezentare a notiunilor de baza din teoriaoperatorilor liniari pe spatii Hilbert, iar apoi am introdus doua clase importantede operatori: operatorii autoadjuncti si operatorii compacti. In cazul operatori-lor autoadjuncti, am aratat modul ın care s-a introdus adjunctul Hilbertian al unuioperator liniar, iar apoi am evidentiat unele din proprietatile lor importante. Opera-torii compacti, fiind marginiti, ofera un exemplu foarte bun pentru a vedea diferentadintre comportamentul operatorilor marginiti ın raport cu cei nemarginiti.

In capitolul al treilea am introdus clasa operatorilor ınchisi, notiuni generaledespre acestia, precum si cateva exemple de astfel de operatori. Tot ın acest capitolam introdus, de asemenea, si cateva elemente de teorie spectrala generala.

In al patrulea capitol, care ısi propune sa trateze aplicatiile teoriei generale in-troduse ın primele trei capitole, am prezentat aplicatia teoriei operatorilor ınchisiın studiul solutiilor problemei de evolutie, prin intermediul faimoasei teoreme a luiHille-Yosida.

4

Capitolul 1

Spatii Hilbert

1.1 Spatii cu produs scalar

Definitia 1.1.1. Fie X un spatiu liniar peste K ∈ {R,C} si o functionalaσ : X ×X −→ K.

1) Daca σ(·, v) : X −→ K si σ(u, ·) : X −→ K sunt functionale liniare pe X,pentru orice u, v ∈ X, atunci σ se numeste forma biliniara(sau functionalabiliniara) pe X.

2) Daca σ(·, v) : X −→ K este functionala liniara pe X, pentru orice v ∈ X,si daca σ(u, ·) : X −→ K este functionala liniara pe X, pentru orice u ∈ X,atunci σ se numeste forma sesquiliniara(sau functionala sesquiliniara)pe X.

3) O functionala σ : X ×X −→ K este simetrica daca

σ(x, y) = σ(y, x)

si Hermitian simetrica daca

σ(x, y) = σ(y, x)

pentru orice x, y ∈ X.

4) Daca σ este o forma sesquiliniara pe X, atunci functionala Φ : X −→ K defi-nita prin Φ(x) = σ(x, x), pentru orice x ∈ X, se numeste forma patraticape X indusa (sau generata) de σ.

5) O forma patratica indusa de o forma sesquiliniara Hermitian simetrica σ estenenegativa, respectiv pozitiva daca

σ(x, x) ≥ 0 ∀x ∈ X,

respectivσ(x, x) > 0 ∀x ∈ X, x 6= 0.

5

6) Un produs scalar pe un spatiu liniar X este o forma sesquiliniara Hermitiansimetrica care induce o forma patratica pozitiva.

7) O norma pe un spatiu liniar X este o functionala pozitiva, subaditiva si pozitivomogena.

Propozitia 1.1.1. Daca 〈·, ·〉 : X × X −→ K este un produs scalar pe un spatiuliniar X, atunci functia ‖ · ‖ : X −→ R, definita prin

‖x‖ =√〈x, x〉

pentru orice x ∈ X, este o norma pe X.

Lema 1.1.1. (Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz). Fie 〈·, ·〉 : X ×X −→ K un produs scalar pe un spatiu liniar X. Punem ‖x‖ =

√〈x, x〉, pentru

orice x ∈ X. Daca x, y ∈ X, atunci

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ · ‖y‖

Propozitia 1.1.2. Fie 〈·, ·〉 un produs scalar pe un spatiu liniar X si fie ‖ · ‖ normaindusa de produsul scalar pe X. Atunci

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2)

pentru orice x, y ∈ X. Aceasta se numeste legea paralelogramului.Daca (X, 〈·, ·〉) este spatiu cu produs scalar complex, atunci

〈x, y〉 =1

4(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2 + i‖x+ iy‖2 − i‖x− iy‖2)

pentru orice x, y ∈ X.Daca (X, 〈·, ·〉) este spatiu cu produs scalar real, atunci

〈x, y〉 =1

4(‖x+ y‖2 − ‖x− y‖2)

pentru orice x, y ∈ X.Aceste doua egalitati se numesc identitati de polarizare (complexa, respectivreala).

Remarca 1.1.1. Legea paralelogramului si identitatea de polarizare complexa au locpentru orice forma sesquiliniara.

6

Teorema 1.1.1. (von Neumann). Fie X un spatiu liniar. O norma pe X e indusade un produs scalar pe X daca si numai daca satisface legea paralelogramului. Maimult, daca o norma pe X satisface legea paralelogramului, atunci unicul produs scalarcare o induce este dat de identitatea de polarizare.

Demonstratie. Avem, din propozitia 1.1.2, ca daca o norma pe X este indusa de unprodus scalar, atunci ea satisface legea paralelogramului, iar produsul scalar de peX poate fi scris ın functie de aceasta norma, conform identitatii de polarizare.

Reciproc, fie ‖ · ‖ o norma pe X care satisface legea paralelogramului si fieaplicatia 〈·, ·〉 : X ×X −→ K definita de identitatea de polarizare. Luam x, y si zarbitrari ın X. Observam ca

x+ z =(x+ y

2+ z)

+x− y

2si y + z =

(x+ y

2+ z)− x− y

2.

Asadar, din legea paralelogramului,

‖x+ z‖2 + ‖y + z‖2 = 2(wwwx+ y

2+ zwww2

+wwwx− y

2

www2).

Presupunem ca K = R astfel ıncat 〈·, ·〉 : X × X −→ R este aplicatia definita deidentitatea de polarizare reala (pe spatiul normat real X). Deci

〈x, z〉+ 〈y, z〉 =1

4(‖x+ z‖2 − ‖x− z‖2 + ‖y + z‖2 − ‖y − z‖2)

=1

4[(‖x+ z‖2 + ‖y + z‖2)− (‖x− z‖2 + ‖y − z‖2)]

=1

2

[(wwwx+ y

2+ zwww2

+wwwx− y

2

www2)−(wwwx+ y

2− zwww2

+wwwx− y

2

www2)]=

1

2

(wwwx+ y

2+ zwww2

−wwwx+ y

2− zwww2)

= 2⟨x+ y

2, z⟩.

Aceasta egalitate are loc pentru x, y, z ∈ X arbitrari, si deci are loc si pentruy = 0. Mai mult, din identitatea de polarizare, avem 〈0, z〉 = 0, pentru orice z ∈ X.Deci, punand y = 0, obtinem 〈x, z〉 = 2

⟨x2, z⟩, pentru orice x, z ∈ X. Atunci

〈x, z〉+ 〈y, z〉 = 〈x+ y, z〉 (i)

pentru x, y, z ∈ X arbitrari. Se verifica imediat, folosind exact acelasi rationament,ca aceasta egalitate are loc si daca K = C, unde aplicatia 〈·, ·〉 : X × X −→ Csatisface identitatea de polarizare complexa (pe un spatiu normat complex X). Amaratat astfel ca 〈·, ·〉 este aditiva ın primul argument. Pentru a arata ca ea esteomogena ın primul argument, vom proceda dupa cum urmeaza. Fie x si y vectoriarbitrari din X. Din identitatea de polarizare avem ca

〈−x, y〉 = −〈x, y〉.

Cum (i) are loc, rezulta, printr-o inductie triviala, ca

〈nx, y〉 = n〈x, y〉

7

si deci 〈x, y〉 =⟨nxn, y⟩

= n⟨xn, y⟩

astfel ıncat⟨xn, y⟩

=1

n〈x, y〉,

pentru orice ıntreg pozitiv n. Cele trei expresii de mai sus implica

〈qx, y〉 = q〈x, y〉,

pentru orice numar rational q (deoarece 〈0, y〉 = 0, din identitatea de polarizare).Fie α ∈ R arbitrar si ne amintim ca Q este dens ın R. Asadar exista un sir de numererationale {qn}n∈N care converge ın R la α. Mai mult, conform lui (i) si amintindu-neca −〈αx, y〉 = 〈−αx, y〉, avem ca

|〈qnx, y〉 − 〈αx, y〉| = |〈(qn − α)x, y〉|.

Conform identitatii de polarizare, avem ca |〈αnx, y〉| −→n→∞

0, cand αn −→n→∞

0 ın

R (deoarece norma este continua). Deci |〈(qn − α)x, y〉| −→n→∞

0 si deci |〈qnx, y〉 −〈αx, y〉| −→

n→∞0, ceea ce ınseamna ca 〈qnx, y〉 −→

n→∞〈αx, y〉. Aceasta implica 〈αx, y〉 =

limn→∞〈qnx, y〉 = lim

n→∞qn〈x, y〉 = α〈x, y〉. Deci

〈αx, y〉 = α〈x, y〉 (ii(a))

pentru orice α ∈ R. Daca K = C, atunci identitatea de polarizare complexa (pespatiul complex X) spune ca

〈ix, y〉 = i〈x, y〉.

Fie λ = α + iβ arbitrar ın C si observam, din (i) si (ii(a)), ca 〈λx, y〉 = 〈(α +iβ)x, y〉 = 〈αx, y〉+ 〈iβx, y〉 = (α + iβ)〈x, y〉 = λ〈x, y〉. In concluzie

〈λx, y〉 = λ〈x, y〉 (ii(b))

pentru orice λ ∈ C. Hermitian simetria si pozitivitatea aplicatiei 〈·, ·〉 reies dinidentitatea de polarizare. Asadar, aplicatia 〈·, ·〉 : X×X −→ K, data de identitateade polarizare, este un produs scalar pe X. Mai mult, acest produs scalar inducenorma ‖·‖; adica 〈x, x〉 = ‖x‖2, pentru orice x ∈ X. In final, daca 〈·, ·〉0 : X×X −→K este un produs scalar pe X care induce aceeasi norma ‖ · ‖ pe X, atunci aceastatrebuie sa coincida cu 〈·, ·〉. Adica 〈x, y〉0 = 〈x, y〉, pentru orice x, y ∈ X.

1.2 Ortogonalitate

Definitia 1.2.1. 1) Un spatiu cu produs scalar complet se numeste spatiu Hil-bert.

2) Doi vectori x si y ai unui spatiu cu produs scalar (X, 〈·, ·〉) se numesc orto-gonali (notatie: x⊥y) daca 〈x, y〉 = 0.

8

3) Un vector x ∈ X este ortogonal pe o submultime A a lui X (notatie: x⊥A)daca este ortogonal pe fiecare vector din A.

4) Doua multimi sunt ortogonale (notatie: A⊥B) daca fiecare vector din A esteortogonal pe fiecare vector din B.

5) O submultime A a unui spatiu cu produs scalar (X, 〈·, ·〉) se numeste multimeortogonala daca x⊥y pentru orice pereche {x, y} de vectori distincti din A.

6) Un sir {xn}n∈N ⊂ X este sir ortogonal daca xj⊥xk pentru j 6= k.Deoarece ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + 2Re〈x, y〉+ ‖y‖2 pentru orice x si y din X, avem,ca o consecinta imediata a definitiei ortogonalitatii, ca

x⊥y implica ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 (Teorema lui Pitagora)

Propozitia 1.2.1. Daca {xi}ni=1 este o multime finita de vectori ortogonali a unuispatiu cu produs scalar, atunciwww n∑

i=0

xi

www2

=n∑i=0

‖xi‖2.

Corolarul 1.2.1. Fie {xk}k∈N un sir de vectori ortogonali al unui spatiu cu produsscalar X.(a) Daca seria infinita

∑∞k=1 xk converge ın X, atunci {xk}k∈N este sir patrat sumabil

si www ∞∑k=1

xk

www2

=∞∑k=1

‖xk‖2.

(b) Daca X e spatiu Hilbert si {xk}k∈N este un sir patrat sumabil, atunci seria infinita∑∞k=1 converge ın X.

Demonstratie. Fie {xk}k∈N un sir ortogonal din X.(a) Daca seria infinita

∑∞k=1 xk converge ın X (i.e.,

∑nk=1 xk −→n→∞

∑∞k=1 xk ın

X), atunciwww n∑

k=1

xk

www2

−→n→∞

www ∞∑k=1

xk

www2

(deoarece norma si ridicarea la patrat sunt

aplicatii continue). Din propozitia 1.2.1, avem cawww n∑

k=1

xk

www2

=n∑k=1

‖xk‖2, pentru

orice n > 1, prin urmaren∑k=1

‖xk‖2 −→n→∞

www ∞∑k=1

xk

www2

.

(b) Fie sirul sumelor partiale {yn}n∈N ⊂ X al sirului {xk}k∈N, adica, fie yn =∑nk=1 xk, pentru orice ıntreg n > 1. Din propozitia 1.2.1, stim ca ‖yn+m − yn‖2 =∑n+mj=n+1 ‖xkj‖2, pentru orice m,n > 1. Daca

∑∞k=1 ‖xk‖2 < ∞, atunci sup

m>1‖yn+m −

yn‖2 =∑∞

k=n+1 ‖xk‖2 −→n→∞

0, deci {yn}n∈N este sir Cauchy ın X. Daca X este spatiu

Hilbert, atunci {yn}n∈N converge ın X, ceea ce ınseamna ca seria infinita∑∞

k=1 xkconverge ın X.

9

Teorema 1.2.1. (a) Daca M si N sunt subspatii liniare ortogonale complete aleunui spatiu cu produs scalar X, atunci M + N este subspatiu liniar complet al luiX.(b) Daca M si N sunt subspatii liniare ortogonale ale unui spatiu Hilbert H, atuncisuma M+N este subspatiu al lui X.

Corolarul 1.2.2. Orice suma finita de subspatii ortogonale ale unui spatiu HilbertH este subspatiu al lui H.

1.3 Complement ortogonal

Definitia 1.3.1. Daca A este o submultime a unui spatiu cu produs scalar X, atuncicomplementul ortogonal al lui A este submultimea

A⊥ = {x ∈ X : x⊥A} = {x ∈ X : 〈x, y〉 = 0, ∀y ∈ A}

formata din toti vectorii din X care sunt ortogonali pe fiecare vector din A.

Definitia 1.3.2. Fie X un spatiu liniar peste K si A o submultime a sa. Multimea∨A =

{ n∑i=1

λixi : λi ∈ K; xi ∈ A; i = 1, n}

se numeste spatiul liniar generat de multimea A.

Propozitia 1.3.1. Complementul ortogonal A⊥ al oricarei submultimi A a unuispatiu cu produs scalar X este subspatiu al lui X. Mai mult,

A⊥ = (A⊥) = (A)⊥

=(∨

A)⊥.

Complementul ortogonal al oricarei submultimi dense a lui X este spatiul nul:

A⊥ = {0} pentru A = X.

Definitia 1.3.3. Fie X si Y doua spatii liniare peste acelasi corp de scalari K.Multimea operatorilor liniari de la X la Y este, la randul ei, spatiu liniar si senoteaza cu L(X, Y ).

Definitia 1.3.4. O multime C este convexa daca, pentru orice x, y ∈ C, avem[x, y] ∈ C, unde [x, y] = {(1− t)x+ ty : t ∈ [0, 1]}.

10

Teorema 1.3.1. Fie x un vector arbitrar al unui spatiu Hilbert H.(a) Daca M este o submultime nevida ınchisa convexa a lui H, atunci exista ununic vector ux ın M astfel ıncat

‖x− ux‖ = d(x,M).

(b) Mai mult, daca M este subspatiu al lui H, atunci unicul vector din M pentrucare ‖x− ux‖ = d(x,M) este unicul vector din M pentru care diferenta x− ux esteortogonala pe M:

x− ux ∈M⊥.

Demonstratie. (a) Fie x un vector arbitrar din H si fie M o submultime nevida a luiH astfel ıncat d(x,M) = inf

u∈M‖x − u‖ exista ın R. Deci, pentru orice ıntreg n > 1,

exista un ∈M astfel ıncat

d(x,M) 6 ‖x− un‖ 6 d(x,M) +1

n.

Fie sirul {un}n∈N ⊂ M . H este spatiu cu produs scalar, prin urmare obtinem,folosind legea paralelogramului, ca

‖2x− um − un‖2 + ‖un − um‖2 = 2(‖x− um‖2 + ‖x− un‖2)

pentru orice m,n > 1. Cum M este convexa, rezulta ca 12(um + un) ∈ M , deci

2d(x,M) 6 2‖12(um + un)− x‖ = ‖2x− um − un‖ astfel ıncat

0 6 ‖um − un‖2 6 2(‖x− um‖2 + ‖x− un‖2 − 2d(x,M)2)

pentru orice m,n > 1. Aceasta inegalitate si faptul ca ‖x − un‖ −→n→∞

d(x,M) sunt

suficiente pentru a ne asigura ca {un}n∈N este sir Cauchy ın H, asadar convergentın spatiul Hilbert H la un ux ∈ H. Cum norma este o functie continua, avem

‖x− ux‖ = ‖x− limn→∞

un‖ = limn→∞‖x− un‖ = d(x,M).

Mai mult, deoarece M este ınchisa ın H si {un}n∈N ⊂M converge ın H la ux, rezultaca ux ∈M . In concluzie, exista ux ∈M astfel ıncat

‖x− ux‖ = d(x,M).

Pentru a demonstra unicitatea, fie u ∈M un vector arbitrar, cu ‖x−u‖ = d(x,M).Observam ca 1

2(ux +u) ∈M deoarece M este convexa, deci d(x,M) 6 ‖1

2(ux +u)−

x‖. Asadar 4d(x,M)2 6 ‖ux + u − 2x‖2. Aceasta inegalitate, ımpreuna cu legeaparalelogramului, implica

4d(x,M)2 + ‖ux − u‖2 6 ‖ux + u− 2x‖2 + ‖ux − u‖2

= 2(‖ux − x‖2 + ‖u− x‖2) = 4d(x,M)2.

11

Rezulta ca ‖ux − u‖2 = 0, adica u = ux.

(b) Fie acum un vector arbitrar x dinH si fieM un subspatiu al luiH, ceea ce implicafaptul ca M este o submultime convexa ınchisa a lui H. Conform subpunctului (a)al acestei teoreme, exista un unic ux ∈ M astfel ıncat ‖x − ux‖ = d(x,M). Fie unvector arbitrar u ∈M . Cum (ux + αu) ∈M , pentru orice scalar α, rezulta ca

d(x,M)2 6 ‖x− ux − αu‖2 = ‖x− ux‖2 + |α|2‖u‖2 − 2Re(α〈x− ux, u〉).

Punem α = ‖u‖−2〈x−ux, u〉 ın inegalitatea de mai sus; stim ca ‖x−ux‖2 = d(x,M)2.Asadar 2|〈x−ux, u〉|2 6 |〈x−ux, u〉|2, deci |〈x−ux, u〉| = 0. In concluzie, x−ux⊥u,pentru orice u ∈M , ceea ce implica

x− ux⊥M.

Mai mult, acest ux este unicul vector din M cu aceasta proprietate. Intr-adevar,daca v este un vector din M astfel ıncat x − v⊥M , atunci 〈x − v, v − u〉 = 〈x −v, v〉 − 〈x− v, u〉 = 0, pentru orice u ∈M . Asadar, din teorema lui Pitagora, avem

‖x− v‖2 6 ‖x− v‖2 + ‖v − u‖2 = ‖x− v + v − u‖2 = ‖x− u‖2

pentru orice u ∈M . In particular, pentru u = ux,

d(x,M) 6 ‖x− v‖ 6 ‖x− ux‖ = d(x,M)

astfel ıncat d(x,M) = ‖x − v‖, deci v = ux, deoarece ux este unicul vector din Mpentru care d(x,M) = ‖x− ux‖.

Propozitia 1.3.2. Fie M un subspatiu liniar al unui spatiu Hilbert H. Avem caM⊥⊥ =M si M = {0} daca si numai daca M = H.In particular, daca A este o submultime a unui spatiu Hilbert H, atunci A⊥⊥ =

∨A

si

A⊥ daca si numai daca∨

A = H.

Teorema 1.3.2. (a proiectiei). Orice spatiu Hilbert H poate fi descompus ca

H =M⊕M⊥

unde M este un subspatiu oarecare al lui H.

1.4 Unitar echivalenta

Propozitia 1.4.1. Fie X si Y doua spatii cu produs scalar. O transformare liniaraV ∈ L(X, Y ) este izometrie daca si numai daca

〈V x1, V x2〉 = 〈x1, x2〉 ∀x1, x2 ∈ X.

12

Definitia 1.4.1. Un izomorfism izometric ıntre spatii cu produs scalar se numestetransformare unitara. Doua spatii cu produs scalar ıntre care exista o transfor-mare unitara se numesc unitar echivalente.

Definitia 1.4.2. Fie M si N subspatii liniare ale unui spatiu cu produs scalar X.Daca M si N sunt complementare algebric, adica X =M +N si M∩N = {0},atunci ele se numesc subspatii complementare ın X.

Fie aplicatia naturala Φ de la spatiul liniar M⊕N la spatiul liniar M+N ,definita astfel

Φ((u, v)) = u+ v

pentru orice (u, v) ∈ M+N . Fie 〈·, ·〉 un produs scalar pe X si consideram peM+N produsul scalar 〈·, ·〉⊕ astfel

〈(u1, v1), (u2, v2)〉⊕ = 〈u1, u2〉+ 〈v1, v2〉

pentru orice (u1, v1) si (u2, v2) din M+N .

Propozitia 1.4.2. Fie M si N subspatii liniare complementare ortogonal ale unuispatiu cu produs scalar X. Aplicatia naturala Φ : M⊕N −→ M+N este trans-formare unitara, iar M⊕N si X =M+N sunt unitar echivalente.

1.5 Baza ortonormata

Propozitia 1.5.1. O multime ortogonala formata din vectori diferiti de {0} a unuispatiu cu produs scalar este liniar independenta.

Definitia 1.5.1. O multime ortonormata a unui spatiu cu produs scalar X esteo multime ortogonala formata din vectori unitate.

Propozitia 1.5.2. Orice multime ortonormata M a unui spatiu cu produs scalareste liniar independenta (i.e., niciun vector x din M nu poate fi scris ca o combinatieliniara de vectori din M − {x}).

Propozitia 1.5.3. Daca A este o multime ortonormata a unui spatiu cu produsscalar X si daca exista x ∈ X astfel ıncat x⊥A cu ‖x‖ = 1, atunci A ∪ {x} estemultime ortonormata.

13

Propozitia 1.5.4. Fie X un spatiu cu produs scalar si fie A o multime ortonormatadin X. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(a) A este multime ortonormata maximala ın X.(b) Nu exista niciun vector unitate pentru care A∪{x} sa fie multime ortonormata.(c) Daca x⊥A, atunci x = 0 (i.e., A⊥ = {0}).

Propozitia 1.5.5. Daca A este o multime ortonormata a unui spatiu cu produsscalar X, atunci exista o multime ortonormata maximala B ın X astfel ıncat A ⊆ B.

Propozitia 1.5.6. Fie A o multime ortonormata a unui spatiu cu produs scalar X.(a) Daca

∨A = X, atunci A e multime ortonormata maximala.

(b) Daca X este spatiu Hilbert si A este multime ortonormata maximala, atunci∨A = X.

Definitia 1.5.2. O multime ortonormata a unui spatiu cu produs scalar X, caregenereaza pe X, se numeste baza ortonormata a lui X.

Propozitia 1.5.7. Fie X un spatiu cu produs scalar.(a) Daca X este finit dimensional, atunci orice baza ortonormata a lui X este bazaHamel a lui X.(b) Daca exista o baza ortonormata a lui X cu un numar finit de vectori, atunciorice baza ortonormata a lui X este baza Hamel a lui X.

In consecinta, ın ambele cazuri, orice baza ortonormata a lui X are aceeasi car-dinalitate finita, care coincide cu dimensiunea liniara a lui X.

Lema 1.5.1. (Inegalitatea lui Bessel). Fie {eγ}γ∈Γ o familie de vectori a unuispatiu cu produs scalar X si fie x un vector din X. Daca {eγ}γ∈Γ este familie orto-normata, atunci {〈x, eγ〉}γ∈Γ este o familie de scalari patrat sumabila si∑

γ∈Γ

|〈x, eγ〉|2 6 ‖x‖2.

Corolarul 1.5.1. Fie {eγ}γ∈Γ o familie ortonormata de vectori a unui spatiu cu pro-dus scalar X. Pentru orice x ∈ X, multimea {γ ∈ Γ : 〈x, eγ〉 6= 0} este numarabila.

Teorema 1.5.1. Orice baza ortonormata a unui spatiu Hilbert H are aceeasi cardi-nalitate, numita si dimensiunea hilbertiana a lui H.

14

Propozitia 1.5.8. Daca X este spatiu cu produs scalar separabil, atunci oricemultime ortonormata a lui X este numarabila.

Teorema 1.5.2. Un spatiu Hilbert diferit de {0} este separabil daca si numai dacaadmite o baza ortonormata numarabila.

Teorema 1.5.3. Doua spatii Hilbert sunt unitar echivalente daca si numai daca auaceeasi dimensiune hilbertiana.

Corolarul 1.5.2. Fie Γ o multime arbitrara de indecsi. Orice spatiu Hilbert cudimH = #Γ (unde #Γ este cardinalul multimii Γ) este unitar echivalent cu `2

Γ. Inparticular, orice spatiu Hilbert n-dimensional este unitar echivalent cu Kn si oricespatiu Hilbert separabil infinit dimensional este unitar echivalent cu `2

+.

1.6 Functionale liniare si teorema de reprezentare

a lui Riesz

Definitia 1.6.1. O functionala liniara f pe un spatiu Hilbert H, pentru care existao constanta c > 0 astfel ıncat |f(x)| 6 c‖x‖ ∀x ∈ H, se numeste functionalamarginita pe H.Pentru o functionala liniara marginita f : H −→ K, definim

‖f‖ = sup‖x‖61

f(x).

Avem, prin definitie, ‖f‖ <∞; ‖f‖ se numeste norma lui f.

Teorema 1.6.1. (de reprezentare a lui Riesz). Fie f o functionala liniaramarginita pe un spatiu Hilbert H. Atunci exista un unic y ∈ H astfel ıncat f(x) =〈x, y〉 pentru orice x ∈ H. Mai mult, avem ‖f‖ = ‖y‖.

Demonstratie. Daca f = 0, atunci e trivial ca y = 0 este unicul vector din H pentrucare f(x) = 〈x, y〉, pentru orice x ∈ H. Asadar, presupunem ca f 6= 0.

Existenta. Fie N (f) nucleul lui f ∈ B(H,K), care este subspatiu propriu al lui H.Asadar, cum H este spatiu Hilbert, avem ca N (f)⊥ 6= {0}. Fie z un vector diferitde zero din N (f)⊥. Deoarece z /∈ N (f) (pentru N (f) ∩ N (f)⊥ = {0}), avem caf(0) 6= 0. Luam un x arbitrar din H si observam ca

f(x− f(x)

f(z)z)

= f(x)− f(x)f(z)

f(z)= 0

15

Asadar x− f(x)

f(z)z ∈ N (f). Deoarece z ∈ N (f)⊥, obtinem

0 =⟨x− f(x)

f(z)z, z⟩

= 〈x, z〉 − f(x)

f(z)‖z‖2

si deci f(x) =

⟨x,f(z)

‖z‖2z

⟩. Atunci exista un vector y =

f(z)

‖z‖z ınH, care nu depinde

de x, astfel ıncat f(x) = 〈x, y〉.

Unicitatea. Daca pentru y′ ∈ H avem f(x) = 〈x, y′〉, pentru orice x ∈ H, atunci〈x, y〉 = 〈x, y′〉 astfel ıncat 〈x, y − y′〉 = 0, pentru orice x ∈ H. Asadar, y − y′ ∈H⊥ = {0}. In final, daca y ∈ H, cu f(x) = 〈x, y〉, pentru orice x ∈ H, atunci‖f‖ = ‖y‖.

Teorema 1.6.2. (Hahn-Banach) Fie f o functionala liniara marginita pe unsubspatiu X al unui spatiu Hilbert H. Atunci exista o functionala liniara marginitag definita pe H astfel ıncat:(a) f(x) = g(x) pentru orice x din X,(b) ‖f‖ = ‖g‖.

Demonstratie. Daca X este subspatiu ınchis, atunci este spatiu Hilbert si, printeorema de reprezentare a lui Riesz, exista un x0 ∈ X astfel ıncat f(x) = 〈x, x0〉pentru orice x ∈ X. Atunci g poate fi definita ca g(x) = 〈x, x0〉. Evident, (a) si (b)sunt satisfacute.

Daca X nu este ınchis, atunci extindem pe f la o functionala liniara marginitadefinita pe ınchiderea lui X.

16

Capitolul 2

Operatori liniari

2.1 Notiuni de baza

Definitia 2.1.1. Fie X si Y doua spatii liniare peste K. Un operator liniar T dela X la Y este o aplicatie liniara de la un subspatiu D(T ) al lui X la Y . SubspatiulD(T ) se numeste domeniul lui T, iar R(T ) = T (D(T )) = {Tx : x ∈ D(T )} esteimaginea lui T. Imaginea unui operator T de la X la Y este subspatiu al lui Y .

Un operator T este injectiv daca si numai daca Tx = 0 implica x = 0. In acestcaz, inversul T−1 al lui T este definit astfel

D(T−1) = R(T ), T−1y = x pentru y = Tx ∈ R(T )

si T−1 este operator liniar de la Y la X.

Pentru un operator T de la X la Y si a ∈ K, operatorul aT este definit astfel:

D(aT ) = D(T ) si aT = a(Tx) pentru x ∈ D(aT ).

Pentru doi operatori S si T de la X la Y , suma S + T este definita astfel:

D(S + T ) = D(S) ∩ D(T ) (S + T )(x) = Sx+ Tx, x ∈ D(S + T ).

Fie S si T doi operatori de la X la Y . Operatorul T se numeste extensia lui S(sau S este restrictia lui T ) daca

D(S) ⊂ D(T ) si Sx = Tx pentru x ∈ D(S).

Notam S ⊂ T , respectiv T ⊂ S.Submultimea N (T ) = {x ∈ D(T ) : Tx = 0} se numeste nucleul lui T. Pentru oriceoperator T de la X la Y , multimea N (T ) este subspatiu al lui D(T ).

Fie X si Y doua spatii normate. Un operator T de la X la Y se numeste continuuın punctul x ∈ D(T ) daca, pentru orice sir {xn}n∈N ⊂ D(T ), astfel ıncat pentruxn −→ x, cand n −→ ∞, avem Txn −→ Tx, cand n −→ ∞. Operatorul T este

17

continuu daca T e continuu ın fiecare punct din D(T ). Operatorul T este marginitdaca exista C > 0 astfel ıncat ‖Tx‖ 6 C‖x‖ pentru orice x ∈ D(T ); C se numestemargine a lui T. Multimea operatorilor marginiti de la un spatiu Hilbert H1 la unspatiu Hilbert H2 se noteaza cu B(H1,H2).

Teorema 2.1.1. Fie T un operator de la X la Y . Urmatoarele afirmatii suntechivalente:

a) T este continuu;

b) T este continuu ın 0;

c) T este marginit.

Definitia 2.1.2. Pentru un operator marginit T de la X la Y , norma ‖T‖ sedefineste astfel:

‖T‖ = inf{C > 0 : ‖Tx‖ 6 C‖x‖, ∀x ∈ D(T )}

Alte exprimari echivalente ale normei operatoriale sunt urmatoarele:

‖T‖ = sup‖x‖61

‖Tx‖ = sup‖x‖=1

‖Tx‖ = supx 6=0

‖Tx‖‖x‖

.

Astfel avem‖Tx‖ 6 ‖T‖‖x‖.

2.2 Operatorul adjunct

Definitia 2.2.1. Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert, T un operator de la H1 la H2,iar S un operator de la H2 la H1. Operatorul S se numeste adjunct al lui T dacaavem:

〈y, Tx〉 = 〈Sy, x〉, ∀x ∈ D(T ), y ∈ D(S).

Daca S este adjunctul lui T, atunci, pentru orice y ∈ D(T ), functionala liniara Lycu

D(Ly) = D(T ) Lyx = 〈y, Tx〉

este continua, deoarece, pentru orice x ∈ D(Ly), avem

Lyx = 〈y, Tx〉 = 〈Sy, x〉

adica Ly este restrictia, la D(T ), a functionalei continue fSy indusa de Sy.

18

Daca D(T ) este dens, iar functionala Ly este continua, atunci aceasta functionala

poate fi extinsa la H1 = D(T ) ıntr-un mod unic, adica exista un element hy ∈ H1,unic determinat de y si T astfel:

〈y, Tx〉 = Lyx = 〈hy, x〉 ∀x ∈ D(T ).

Daca S este adjunctul lui T, iar y ∈ D(S), atunci Sy = hy. Deci, ın acest caz,orice adjunct al lui T este o restrictie a operatorului adjunct T ∗, care va fi definitın continuare.

Un operator liniar T pe un spatiu Hilbert H se numeste dens definit daca domeniulsau este dens ın H.

Fie T un operator dens definit de la H1 la H2 si fie

D∗ = {y ∈ H2 : functionala f 7−→ 〈y, Tx〉 e continua pe D(T )}

= {y ∈ H2 : exista hy ∈ H1 astfel ıncat 〈hy, x〉 = 〈y, Tx〉,∀x ∈ D(T )}.

Elementul hy este unic determinat, adica, daca 〈h1, x〉 = 〈y, Tx〉 = 〈h2, x〉 pentruorice x ∈ D(T ), atunci h1 − h2 ∈ D(T )⊥ = {0}, deci h1 = h2.

D∗ este un subspatiu al lui H2, iar corespondenta D∗ −→ H1,y −→ hy este otransformare liniara, deoarece, pentru y1, y2 ∈ D∗ si a, b ∈ K avem

hay1 + hby2 = ahy1 + bhy2.

Asadar, prin T ∗y = hy,∀y ∈ D(T ∗), este definit un operator de la H2 la H1

astfel ıncat D(T ∗) = D∗. Operatorul T ∗ este adjunctul lui T si este o extensie atuturor adjunctilor lui T.

Teorema 2.2.1. Fie T un operator dens definit de la H1 la H2.

(a) Daca T ∗ este, de asemenea, dens definit, atunci T ∗∗ este o extensie a lui T.

(b) Avem N (T ∗) = R⊥.

Definitia 2.2.2. Fie T un operator de la un spatiu Hilbert H1 la un spatiu HilbertH2. Graficul lui T este submultimea

G(T ) = {(x, Tx) : x ∈ D(T )}

a lui H1 ×H2, unde H1 ×H2 = H1 ⊕H2 este spatiu Hilbert.

19

Teorema 2.2.2. O submultime G a lui H1 × H2 este graficul unui operator dela H1 la H2 daca si numai daca G este un subspatiu cu urmatoarea proprietate:(0, y) ∈ G =⇒ y = 0. Orice subspatiu al unui grafic este un grafic.

In cele ce urmeaza, vom folosi aplicatiile

U : H1 ×H2 −→ H2 ×H1, U(x1, x2) = (x2,−x1)

V : H1 ×H2 −→ H2 ×H1, V (x1, x2) = (x2, x1).

U si V sunt izomorfisme de la H1 ⊕H2 la H2 ⊕H1. Inversele U−1 si V −1 sunt datede

U−1 : H2 ×H1 −→ H1 ×H2, U−1(x2, x1) = (−x1, x2)

V −1 : H2 ×H1 −→ H1 ×H2, V −1(x2, x1) = (x1, x2).

Teorema 2.2.3. Fie T un operator dens definit de la H1 la H2. Atunci avem

G(T ∗) = U(G(T )⊥) = (UG(T ))⊥.

Teorema 2.2.4. Fie T un operator injectiv dens definit de la H1 la H2.

(a) G(T−1) = V G(T ).

(b) Daca R(T ) este densa, atunci T ∗ este injectiv si avem (T ∗)−1 = (T−1)∗.

Demonstratie. Punctul (a) este evident.(b) Din teorema 2.2.1(b), avem N (T ∗) = R(T )⊥ = {0}, i.e., T ∗ este injectiv. CumG(T−1) = V G(T ), rezulta ca

G(T−1∗) = U−1(G(T−1)⊥) = U−1V (G(T )⊥)

= V −1U(G(T )⊥) = V −1G(T ∗) = G(T ∗−1).

Definitia 2.2.3. Un operator T pe un spatiu Hilbert H se numeste Hermitian dacaeste adjunct al lui ınsusi, adica, daca

〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉 pentru orice x, y ∈ D(T ).

Un operator T pe un spatiu Hilbert H se numeste simetric daca este Hermitiansi dens definit. Deoarece un operator dens definit T este Hermitian daca si numaidaca este o restrictie a lui T ∗, avem ca: un operator T este simetric daca si numaidaca este dens definit si T ⊂ T ∗.

Un operator T se numeste autoadjunct daca T este dens definit si T = T ∗.

20

In cazul operatorilor marginiti, notiunile de Hermitian, simetric si autoadjunctsunt echivalente.

Teorema 2.2.5. Un operator T pe un spatiu Hilbert complex este Hermitian dacasi numai daca forma patratica Φ(x) = 〈x, Tx〉, definita pe D(T ), este reala.

Demonstratie. Prin definitie, T este Hermitian daca si numai daca forma sesquili-niara σ(x, y) = 〈x, Ty〉 este Hermitiana pe D(T ). In continuare, vom arata ca, dacaσ este Hermitiana pe D(T ), atunci forma patratica Φ este reala pe D(T ). Avem

Φ(x)∗ = σ(x, x)∗ = σ(x, x) = Φ(x),

adica Φ este reala.

Propozitia 2.2.1. Fie T un operator dens definit pe un spatiu Hilbert H.

(a) T este simetric daca si numai daca

G(T ) = U(G(T )⊥) sau UG(T ) ⊂ G(T )⊥.

(b) T este autoadjunct daca si numai daca

G(T ) = U(G(T )⊥) sau UG(T ) = G(T )⊥

adicaG(T )⊥UG(T ) si G(T )⊕ UG(T ) = H⊕H.

Propozitia 2.2.2. Daca T si S sunt operatori dens definiti de la H1 la H2 si T ⊂ S,atunci S∗ ⊂ T ∗.

Teorema 2.2.6. Fie T1 si T2 doi operatori dens definiti de la H1 la H2, respectivde la H2 la H3.

(a) Daca T2T1 este dens definit, atunci T ∗1 T∗2 ⊂ (T2T1)∗.

(b) Daca T2 este marginit, atunci (T2T1)∗ = T ∗1 T∗1 .

Teorema 2.2.7. Fie S si T doi operatori de la H1 la H2.

(a) Daca T este dens definit, atunci (aT )∗ = aT ∗ pentru orice a ∈ K, cu a 6= 0.

(b) Daca T + S este dens definit, atunci (T + S)∗ ⊃ T ∗ + S∗.

(c) Daca S este marginit si T este dens definit, atunci (T + S)∗ = T ∗ + S∗.

Teorema 2.2.8. Fie T autoadjunct si injectiv. Atunci T−1 este autoadjunct.

21

2.3 Operatori compacti

O clasa foarte importanta de operatori liniari marginiti, care apare ın studiul ecuatiilorintegrale, este clasa operatorilor compacti.

Definitia 2.3.1. O multime A a unui spatiu metric X se numeste precompactadaca A este compacta.

Definitia 2.3.2. Fie H un spatiu Hilbert si T un operator de la H la el ınsusi. Tse numeste compact daca aplica multimi marginite ın multimi precompacte.

Teorema 2.3.1. Un operator T ∈ L(H1,H2) este compact daca pentru orice sir{xn}n∈N din H1, ‖xn‖ = 1, sirul {Txn}∞n=0 are un subsir care converge ın H2.

Remarca 2.3.1. 1. Daca T ∈ L(H1,H2) este de rang finit, atunci T este com-pact. Fie {xn}n∈N ⊂ H1, ‖xn‖ = 1. Atunci {Txn}n∈N este sir marginit ınspatiul finit dimensional R(T ). Deoarece R(T ) este liniar izometric cu Ck

pentru unii k, rezulta ca {Txn}n∈N are un subsir convergent.

2. Daca dimH1 < ∞, atunci orice aplicatie liniara T de la H1 la H2 estemarginita.

3. Operatorul identitate pe un spatiu Hilbert infinit dimensional nu este compact.Aceasta deoarece, daca luam ϕ1, ϕ2, ...., o multime ortonormata ın H, atunci

‖Iϕn − Iϕm‖ =√

2,

ceea ce implica faptul ca {Iϕn}n∈N nu are niciun subsir convergent desi

‖ϕn‖ = 1.

Daca T ∈ L(H1,H2) este compact si {zn}n∈N este un sir marginit ın H1,atunci {Tzn}n∈N are un subsir convergent.

Teorema 2.3.2. Fie T si S doi operatori compacti din L(H1,H2). Atunci

(i) T+S este compact;

(ii) Daca A ∈ L(H3,H1) si B ∈ L(H2,H3), unde H3 este spatiu Hilbert, atunciTA si BT sunt compacti.

Teorema 2.3.3. Un operator T ∈ L(H1,H2) este compact daca si numai dacaadjunctul sau T ∗ este compact.

22

Teorema 2.3.4. Fie {Tn}n∈N un sir de operatori compacti si ‖Tn−T‖ −→n→∞

0, unde

T ∈ L(H1,H2). Atunci T este compact.

Demonstratie. Vom folosi o procedura de diagonalizare dupa cum urmeaza.Fie {xn}n∈N un sir ın H1, ‖xn‖ = 1. Deoarece T1 este compact, exista un subsir

{x1n}n∈N al lui {xn}n∈N astfel ıncat {T1x1n}n∈N converge. Deoarece T2 este compact,exista un subsir {x2n}n∈N al lui {x1n}n∈N astfel ıncat {T2x2n}n∈N converge. Folosindacelasi rationament, ın continuare, obtinem, pentru orice j > 2, un subsir {xjn}n∈Nal lui {x(j−1)n}n∈N astfel ıncat {Tjxjn}n∈N converge. Vom arata ca sirul ”diagonala”{Txnn}n∈N converge, ceea ce ınseamna ca T este compact.Fiind dat ε > 0, exista, prin ipoteza, un ıntreg p astfel ıncat

‖T − Tp‖ <ε

2.

Deoarece n > p implica faptul ca {Tpxnn}n∈N este un subsir al sirului convergent{Tpxpn}n∈N, avem ca sirul {Tpxnn}n∈N este convergent. Obtinem

‖Txnn − Txmm‖ 6 ‖Txnn − Tpxnn‖+ ‖Tpxnn − Tpxmm‖

+‖Tpxmm − Txmm‖

6 2‖Tp − T‖+ ‖Tpxnn − Tpxmm‖

< ε+ ‖Tpxnn − Tpxmm‖ −→n,m→∞

ε.

Asadar, rezulta ca {Txnn}n∈N este sir Cauchy care converge, deoarece H2 estecomplet.

Teorema 2.3.5. Un operator T ∈ B(H) este compact daca si numai daca exista unsir {Tn}n∈N de operatori finit dimensionali care converge uniform la T .

Exemple:1) Fie {λk}∞k=1 un sir din C care converge la 0. Definim T ∈ L(l2) astfel:

T (α1, α2, ...) = (λ1α1, λ2α2, ...)

Pentru fiecare ıntreg pozitiv n, fie Tn ∈ L(l2) operatorul definit prin

Tn(α1, α2, ...) = (λ1α1, ..., λnαn, 0, 0, ...).

Tn este de rang finit si deci compact. Deoarece

‖Tn − T‖ 6 supk>n|λk| −→

n→∞0,

T este, de asemenea, compact.

23

2) Fie T : L2([a, b])→ L2([a, b]) operatorul integral

(Tf)(t) =

∫ b

a

k(t, s)f(s)ds,

unde k ın L2([a, b]× [a, b]) este nucleul lui T . T este operator marginit si

‖T‖ 6(∫ b

a

∫ b

a

|k(t, s)|2dsdt) 1

2= ‖k‖ (1)

Construim un sir de operatori de rang finit care converge, ın norma, la T , dupa cumurmeaza.Fie ϕ1, ϕ2, ... o baza ortonormata pentru L2([a, b]). Atunci Φij(t, s) = ϕi(t)×ϕj(s),i, j = 1, 2, ... este o baza ortonormata pentru L2([a, b]× [a, b]).Asadar k =

∑∞i,j=1〈k,Φij〉Φij. Definim

kn(t, s) =n∑

i,j=1

〈k,Φij〉Φij(t, s).

Atunci‖k − kn‖ −→

n→∞0 (2)

Fie Tn operatorul integral definit pe L2([a, b]) astfel:

(Tnf)(t) =

∫ b

a

kn(t, s)f(s)ds.

Tn este operator marginit de rang finit deoarece Tn ⊂∨{ϕ1, ..., ϕn}.

Din (1) si (2), aplicat lui T − Tn, obtinem

‖T − Tn‖ 6 ‖k − kn‖ −→n→∞

0

Asadar T este compact.

Multe dintre proprietatile prezentate mai sus pot fi extinse ın contextul spatiilorBanach (vezi cap. 13, [4]).

24

Capitolul 3

Operatori liniari ınchisi

3.1 Operatori ınchisi

In cele ce urmeaza, H, H1 si H2 vor fi considerate spatii Hilbert.

Definitia 3.1.1. Un operator T de la H1 la H2 se numeste ınchis daca graficul sauG(T ) ın H1 ×H2 este multime ınchisa.

Spunem ca un operator T poate fi extins la un operator ınchis daca G(T ) este,de asemenea, graficul unui operator. Exista un unic operator, notat T , astfel ıncatG(T ) = G(T ); T este ınchis si se va numi ınchiderea lui T .

Fie T un operator ınchis. Un subspatiu D al lui D(T ) se numeste core al lui Tdaca, pentru S = T |D avem T = S.

Daca T este un operator care poate fi extins la un operator ınchis, atunci D(T )este core al lui T .

Propozitia 3.1.1. (a) T este ınchis daca si numai daca are loc urmatoarea: daca{xn}n∈N este un sir ın D(T ), convergent ın H1 si sirul {Txn}n∈N este conver-gent ın H2, atunci lim

n→∞xn ∈ D(T ) si T ( lim

n→∞xn) = lim

n→∞Txn.

(b) T poate fi extins la un operator ınchis daca si numai daca are loc urmatoarea:daca {xn}n∈N este un sir ın D(T ) astfel ıncat xn −→

n→∞0, iar sirul {Txn}n∈N

ın H2 este convergent, atunci limn→∞

Txn = 0.

(c) Daca T poate fi extins la un operator ınchis, atunci

D(T ) = {x ∈ H1 : exista un sir {xn}n∈N din D(T ) astfel ıncat

xn −→n→∞

x ,pentru care sirul {Txn}n∈N este, de asemenea, convergent}

Tx = limn→∞

Txn pentru x ∈ D(T ).

25

(d) Daca T este ınchis, atunci N (T ) este ınchis.

(e) Daca T este injectiv, atunci T este ınchis daca si numai daca T−1 este ınchis.

Demonstratie. Punctele (a), (b) si (c) sunt reformulari ale definitiei. Punctul (d)rezulta imdiat din punctul (a), iar punctul (e) rezulta din egalitatea G(T−1) =V G(T ).

Teorema 3.1.1. Fie T un operator de la H1 la H2. Pe D(T ), prin

〈x, y〉T = 〈x, y〉+ 〈Tx, Ty〉, ‖x‖T =√‖x‖2 + ‖Tx‖2

definim un produs scalar si norma corespunzatoare (T-norma sau norma grafi-cului).

T este ınchis daca si numai daca (D(T ), 〈·, ·〉T ) este spatiu Hilbert.

Teorema 3.1.2. Orice operator marginit poate fi extins la un operator ınchis. Unoperator marginit T este ınchis daca si numai daca D(T ) este ınchis. Daca T estemarginit, atunci D(T ) = D(T ); ınchiderea T este extensia marginita a lui T peD(T ).

Propozitia 3.1.2. Fie T un operator injectiv care poate fi extins la un operatorınchis. Operatorul T−1 poate fi extins la un operator ınchis daca si numai daca T este

injectiv. Atunci avem T−1 = T−1

. Daca T−1

este continuu, atunci R(T ) = R(T ).

Teorema 3.1.3. Fie T un operator dens definit de la H1 la H2.

(a) T ∗ este ınchis.

(b) T poate fi extins la un operator ınchis daca si numai daca T ∗ este dens definit;avem T = T ∗∗.

(c) Daca T poate fi extins la un operator ınchis, atunci (T∗) = T ∗.

Demonstratie. (a) Din teorema 2.2.3 avem G(T ∗) = (UG(T ))⊥. Asadar G(T ∗) esteınchis.(b) Deoarece

G(T ) = G(T )⊥⊥ = (U−1G(T ∗))⊥ =

= {(x, y) ∈ H1 ×H2 : 〈x, T ∗z〉 − 〈y, z〉 = 0 pentru orice z ∈ D(T ∗)},

avem ca (0, y) ∈ G(T ) daca si numai daca y ∈ D(T ∗)⊥. Deci (0, y) ∈ G(T ) implicay = 0 daca si numai daca D(T ∗) = H2. In consecinta, G(T ) este grafic daca si numaidaca T ∗ este dens definit. Daca D(T ∗) este dens, atunci avem

G(T ∗∗) = U−1(G(T ∗)⊥) = U−1U(G(T )⊥⊥) = G(T ) = G(T ).

26

(c) Daca T poate fi extins la un operator ınchis, atunci

G(T ∗) = U(G(T )⊥) = U(G(T )⊥

) = U(G(T ))⊥ = G((T )∗).

Asadar T ∗ = (T )∗.

Teorema 3.1.4. (a) Un operator T de la H1 la H2 poate fi extins la un operatorınchis daca si numai daca exista o extensie ınchisa a lui T .

(b) Orice operator simetric T pe un spatiu Hilbert H poate fi extins la un operatorınchis; T este, de asemenea, simetric.

Demonstratie. (a) Daca T poate fi extins la un operator ınchis, atunci T ⊂ T .Asadar, T este o extensie ınchisa a lui T . Daca S este o extensie ınchisa a luiT , atunci G(T ) ⊂ G(S) = G(S), deci G(T ) ⊂ G(S), de unde rezulta ca G(T ) estegraficul unui operator (conform teoremei 2.2.2).

(b) Din punctul (a), operatorul T poate fi extins la un operator ınchis, deoareceT ⊂ T ∗, iar T ∗ este ınchis. Pentru orice x, y ∈ D(T ), exista sirurile {xn}n∈N si{yn}n∈N din D(T ) astfel ıncat xn −→

n→∞x, yn −→

n→∞y, Txn −→

n→∞Tx si Tyn −→

n→∞Ty.

Cum T este simetric, avem

〈Tx, y〉 = limn→∞〈Txn, yn〉 = lim

n→∞〈xn, T yn〉 = 〈x, Ty〉.

Cum D(T ) este dens, operatorul T este simetric.

Definitia 3.1.2. Fie S si T doi operatori de la H1 la H3, respectiv de la H1 laH2. Operatorul S se zice T-marginit daca D(T ) ⊂ D(S) si exista M > 0 astfelıncat ‖Sx‖ 6 M‖x‖T , pentru orice x ∈ D(T ), adica, daca S, ca operator de la(D(T ), 〈·, ·〉T ) la H3, este marginit.

Atunci, pentru orice x ∈ D(T ), avem

‖Sx‖ 6M(‖x‖+ ‖Tx‖).

Daca S este T-marginit, atunci infimumul dupa toate numerele b > 0 pentru careexista a > 0 astfel ıncat

‖Sx‖ 6 a‖x‖+ b‖Tx‖, pentru orice x ∈ D(T )

se numeste T-marginea lui S. Se observa ca, daca c este T-marginea lui S, atuncinu exista, ın general, a > 0 astfel ıncat pentru orice x ∈ D(T ) sa avem

‖Sx‖ 6 a‖x‖+ c‖Tx‖.

27

Propozitia 3.1.3. Daca T este un operator arbitrar de la H1 la H2, iar S esteoperator marginit de la H1 la H3, atunci S este T -marginit, cu T -marginea egala cuzero.

Teorema 3.1.5. Fie S si T doi operatori de la H1 la H2, cu S T -marginit si cuT -marginea mai mica decat unu. Atunci T + S este ınchis (poate fi extins la unoperator ınchis) daca si numai daca T este ınchis (poate fi extins la un operatorınchis); avem D(T + S) = D(T ).

Demonstratie. Cum T -marginea lui S este mai mica decat 1, exista un b < 1 si una > 0 astfel ıncat ‖Sx‖ 6 a‖x‖ + b‖Tx‖, pentru orice x ∈ D(T ). In consecinta,pentru orice x ∈ D = D(T ) = D(T + S), avem

−a‖x‖+ (1− b)‖Tx‖ 6 ‖Tx‖ − ‖Sx‖ 6 ‖(T + S)x‖6 ‖Tx‖+ ‖Sx‖ 6 a‖x‖+ (1 + b)‖Tx‖

Din aceasta rezulta, cu un C > 0 bine ales, ca

‖Tx‖ 6 C(‖x‖+ ‖(T + S)x‖) (1)

‖(T + S)x‖ 6 C(‖x‖+ ‖Tx‖) (2)

pentru orice x ∈ D. Asadar, exista un K > 0 astfel ıncat

‖x‖T 6 K‖x‖T+S si ‖x‖T+S 6 K‖x‖T .

Din aceasta rezulta ca (D, 〈·, ·〉T+S) este complet daca si numai daca (D, 〈·, ·〉T ) estecomplet. Fie T un operator care poate fi extins la un operator ınchis. Daca {xn}n∈Neste un sir din D(T +S) = D(T ) astfel ıncat xn −→

n→∞0 si pentru care {(T +S)xn}n∈N

este convergent ın H2, atunci, din (1), avem ca sirul {Txn}n∈N este sir Cauchy. DeciTxn −→

n→∞0, deoarece T poate fi extins la un operator ınchis. De aici si din relatia

(2), rezulta ca (T + S)xn −→n→∞

0, deci T + S poate fi extins la un operator ınchis.

Din punctul c) al propozitiei 3.1.1, avem ca x ∈ D(T + S) daca si numai daca existaun sir {xn}n∈N din D(T + S) = D(T ), pentru care xn −→

n→∞x si {(T + S)xn}n∈N este

convergent. Deoarece din (1) si (2) avem ca {(T +S)xn}n∈N este convergent daca sinumai daca {Txn}n∈N este convergent, obtinem ca D(T + S) = D(T ).

Teorema 3.1.6. (a graficului ınchis) Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert si fie Tun operator de la H1 la H2. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(a) T este ınchis si D(T ) este ınchis.

(b) T este marginit si D(T ) este ınchis.

(c) T este marginit si ınchis.

28

Demonstratie. (a) implica (b): Avem de aratat ca T este marginit. Fara a pierdedin generalitate, putem presupune ca D(T ) = D(T ) = H1 (altfel, am putea lua pe Tca operator de la spatiul Hilbert D(T ) la H2). In consecinta, T ∗ este definit. Pentruorice y ∈ D(T ∗), cu ‖y‖ 6 1, avem

|〈T ∗y, x〉| = |〈y, Tx〉| 6 ‖Tx‖, pentru orice x ∈ H1.

Avem astfel, pentru functionalele liniare {fy : y ∈ D(T ∗), ‖y‖ 6 1} pe H1, undefy(x) = 〈T ∗y, x〉, ca

|fy(x)| 6 ‖Tx‖, pentru orice x ∈ H1;

asadar, ele sunt marginite punctual. Avem, din principiul marginirii uniforme, caexista C > 0, astfel ıncat

‖T ∗y‖ = ‖fy‖ 6 C, pentru orice y ∈ D(T ∗) astfel ıncat ‖y‖ 6 1.

Asadar, T ∗ este marginit si ‖T ∗‖ 6 C. Cum T este ınchis, D(T ∗) este dens si,prin intermediul teoremei 3.1.2, ınchis. Prin urmare, avem D(T ∗) = H2, i.e., T ∗ ∈B(H2,H1). Cum T este ınchis, rezulta ca T = T = T ∗∗ ∈ B(H1,H2).

Asertiunile ”(b) implica (c)” si ”(c) implica (a)” sunt continute ın teorema 3.1.2.

Teorema 3.1.7. (Hellinger-Toeplitz) Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert si fie T unoperator de la H1 la H2 astfel ıncat D(T ) = H1 si D(T ∗) este dens ın H2. AtunciT este marginit. In particular, orice operator simetric T pe un spatiu Hilbert H cuD(T ) = H este marginit.

Demonstratie. Din teorema 3.1.3, operatorul T poate fi extins la un operator ınchis.Deoarece D(T ) = H1, avem D(T ) = D(T ), i.e., T = T . Asadar T este ınchis siD(T ) = H1. Atunci T este marginit prin teorema 3.1.6.

Teorema 3.1.8. Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert si fie T un operator injectiv dela H1 la H2 cu R(T ) = H2. Operatorul T este ınchis daca si numai daca T−1 estemarginit.

Teorema 3.1.9. Fie H1,H2 si H3 trei spatii Hilbert, fie T un operator ınchis de laH1 la H2 si fie S un operator care poate fi extins la un operator ınchis, de la H1 laH3, astfel ıncat D(S) ⊃ D(T ). Atunci S este T -marginit.

29

3.2 Fundamentele teoriei spectrale

In cele ce urmeaza, un operator T de la H1 la H2 se va numi bijectiv daca T esteinjectiv si R(T ) = H2.

Teorema 3.2.1. Fie S si T doi operatori bijectivi de la H1 la H2. Daca D(S) ⊂D(T ), atunci

T−1 − S−1 = T−1(S − T )S−1.

Daca D(S) = D(T ), atunci

T−1 − S−1 = T−1(S − T )S−1 = S−1(S − T )T−1.

Teorema 3.2.2. Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert, T un operator bijectiv ınchis de laH1 la H2, S un operator de la H1 la H2 astfel ıncat D(S) ⊃ D(T ), iar ‖ST−1‖ < 1.Atunci T + S este de asemenea bijectiv si avem

(T + S)−1 =∞∑n=0

(−1)nT−1(ST−1)n =∞∑n=0

(−1)n(T−1S)nT−1;

aceste serii sunt convergente.

Corolarul 3.2.1. Afirmatiile din aceasta teorema au loc si daca S este marginit si‖S‖ < ‖T−1‖−1.

Corolarul 3.2.2. Fie H1 si H2 doua spatii Hilbert si fie T si Tn operatori liniari dela H1 la H2 astfel ıncat D(T ) ⊂ D(Tn). Presupunem ca T este ınchis, bijectiv, cu‖(T − Tn)T−1‖ −→

n→∞0. Atunci exista un n0 ∈ N astfel ıncat Tn este bijectiv pentru

n > n0 si ‖T−1n − T−1‖ −→

n→∞0

In continuare, fie H un spatiu Hilbert peste K si fie T un operator pe H.

Definitia 3.2.1. Numarul λ ∈ K se numeste valoare proprie a lui T daca existax ∈ D(T ), x 6= 0 astfel ıncat Tx = λx, adica, daca operatorul λ − T = λI − T nueste injectiv (N (λ− T ) 6= 0).

Subspatiul N (λ − T ) se numeste spatiul propriu al lui λ, iar dimensiunea luiN (λ− T ) se numeste ordinul de multiplicitate al valorii proprii λ.

Elementul x se numeste vector propriu al lui T corespunzator valorii proprii λ.Daca λ nu este valoare proprie (i.e., (λ− T ) este injectiv), atunci operatorul

R(λ, T ) = (λ− T )−1

30

este bine definit. Multimea

ρ(T ) = {λ ∈ K : λ− T este injectiv si R(λ, T )este marginit}

se numeste multimea rezolventa a lui T . Daca T nu este ınchis, atunci λ− T siR(λ, T ) nu sunt ınchisi, deci ρ(T ) = ∅.

Pentru un operator ınchis T pe H avem, prin teorema graficului ınchis, ca

ρ(T ) = {λ ∈ K : λ− T este bijectiv}.

FunctiaR(·, T ) : ρ(T )→ B(H)

unde B(H) este multimea operatorilor marginiti pe H, se numeste rezolventa luiT ın punctul λ. Multimea

σ(T ) = K\ρ(T )

se numeste spectrul lui T . Multimea σp(T ), a tuturor valorilor proprii ale lui Teste continuta ın σ(T ) si se numeste spectrul punctual al lui T .

Multimea σc(T ), a acelor λ pentru care λI − T are o inversa nemarginita, densdefinita pe imaginea sa,

σc(T ) = {λ ∈ C : N (λI − T ) = {0}, R(λI − T ) = X si R(λI − T ) 6= X},

se numeste spectrul continuu al lui T .

Multimea σr(T ), a acelor λ pentru care λI − T are o inversa (care nu este densdefinita) pe imaginea sa,

σr(T ) = {λ ∈ C : N (λI − T ) = {0} si R(λI − T ) 6= X},

se numeste spectrul rezidual al lui T .

Teorema 3.2.3. Fie T un operator dens definit pe H. Atunci σ(T ∗) = σ(T )∗ siρ(T ∗) = ρ(T )∗

Teorema 3.2.4. Fie T un operator compact, cu dimH =∞. Atunci avem

(a) 0 ∈ σ(T ).

(b) σ(T )− {0} = σp(T )− {0}.

(c) una dintre situatiile urmatoare:

- fie σ(T ) = {0},- fie σ(T )− {0} este multime finita,

- fie σ(T )− {0} este un sir care tinde la 0.

31

Teorema 3.2.5. Fie S si T operatori ınchisi pe H.

(a) Pentru orice λ, λ′ ∈ ρ(T ), avem

R(λ, T )−R(λ′, T ) = (λ′ − λ)R(λ, T )R(λ′, T ) = (λ′ − λ)R(λ′, T )R(λ, T );

ın particular, R(λ, T ) si R(λ′, T ) comuta.

(b) Daca D(S) ⊂ D(T ), atunci, pentru orice λ ∈ ρ(S) ∩ ρ(T ), avem

R(λ, T )−R(λ, S) = R(λ, T )(T − S)R(λ, S).

(c) Daca D(S) = D(T ), atunci, pentru orice λ ∈ ρ(S) ∩ ρ(T ), avem

R(λ, T )−R(λ, S) = R(λ, T )(T − S)R(λ, S) = R(λ, S)(T − S)R(λ, T ).

Teorema 3.2.6. Daca T este un operator ınchis pe un spatiu Hilbert H, atunci ρ(T )este multime deschisa, deci σ(T ) este multime ınchisa. Mai precis, daca λ0 ∈ ρ(T ),atunci λ ∈ ρ(T ), pentru orice λ ∈ K, astfel ıncat ‖λ − λ0| < ‖R(λ0, T )‖−1, iarpentru acesti λ, avem

R(λ, T ) =∞∑n=0

(λ0 − λ)nR(λ0, T )n+1.

Daca T este marginit, atunci avem {λ ∈ K : |λ| > ‖T‖} ⊂ ρ(T ); spectrul σ(T ) estecompact. Mai mult,

R(λ, T ) =∞∑n=0

λ−n−1T n, pentru |λ| > ‖T‖;

acesta serie se numeste serie von Neumann.

Demonstratie. Fie λ0 ∈ ρ(T ) cu |λ − λ0| < ‖R(λ0, T )‖−1. Daca ın teorema 3.2.2ınlocuim T cu λ0 − T si S cu (λ− λ0)I, atunci rezulta ca λ− T = λ0 − T + λ− λ0

este bijectiv, deci λ ∈ ρ(T ). Mai mult, din teorema 3.2.2, avem

R(λ, T ) = ((λ0 − T ) + (λ− λ0))−1 =∞∑n=0

(λ0 − λ)nR(λ0, T )n+1.

Fie acum T un operator marginit cu |λ| > T . Daca ın teorema 3.2.2 ınlocuim T cuλI si S cu T , atunci rezulta ca λ− T este bijectiv, deci λ ∈ ρ(T ) si

(λ− T )−1 =∞∑n=0

λ−n−1T n

Asadar σ(T ) ⊂ {λ ∈ K : |λ| 6 ‖T‖}. Cum σ(T ) este ınchis, rezulta ca σ(T ) estecompact.

32

Teorema 3.2.7. Fie T un operator ınchis pe un spatiu Hilbert H. RezolventaR(·, T ) : ρ(T ) −→ B(H) este o functie continua. Daca σ(T ) este nevida, atunci,pentru orice λ ∈ ρ(T ), avem

‖R(λ, T )‖ > d(λ, σ(T ))−1.

Pentru orice sir {λn}n∈N din ρ(T ) astfel ıncat λn −→n→∞

λ0, λ0 ∈ σ(T ), avem deci

‖R(λn, T )‖ −→n→∞

∞.

Teorema 3.2.8. Fie H un spatiu Hilbert si T un operator marginit pe H cu r(T ) =

lim supn→∞

‖T n‖ 1n .

(a) r(T ) 6 ‖Tm‖ 1m ,∀m ∈ N, deci r(T ) = lim

n→∞‖T n‖ 1

n .

(b) r(T ) 6 ‖T‖ si σ(T ) ⊂ {λ ∈ K : |λ| 6 r(T )}. Pentru orice λ ∈ K astfel ıncat|λ| > r(T ), operatorul R(λ, T ) este dat de seria von Neumann.

(c) Daca H este complex, atunci σ(T ) este nevid si exista un λ ∈ σ(T ) astfel ıncat|λ| = r(T ), i.e., avem r(T ) = sup{|λ| : λ ∈ σ(T )}.

(d) Afirmatia de la (c) are loc si pentru operatori autoadjuncti pe un spatiu Hilbertreal.

r(T ) se numeste raza spectrala a lui T .

3.3 Operatori simetrici si autoadjuncti

Teorema 3.3.1. Fie T un operator Hermitian pe un spatiu cu produs scalar H.Orice valoare proprie a lui T este reala; vectori proprii corespunzatori la valoriproprii distincte sunt ortogonali. DacaH este complex, atunci pentru orice λ ∈ C\R,operatorul λ − T este continuu si inversabil si avem ‖R(λ, T )‖ 6 |Imλ|−1 (aceastaare loc, ın particular, pentru operatori simetrici si autoadjuncti).

Demonstratie. Fie λ o valoare proprie a lui T si fie x ∈ N (λ − T ), x 6= 0. Atunciλ‖x‖2 = 〈Tx, x〉 = 〈x, Tx〉 = λ‖x‖2, deci λ = λ, i.e., λ ∈ R. Daca λ1, λ2 sunt douavalori proprii distincte, iar x1 si x2 sunt vectorii proprii corespunzatori acestor valoriproprii, atunci, cum λj sunt reale, avem (λ1−λ2)〈x1, x2〉 = 〈Tx1, x2〉−〈x1, Tx2〉 = 0.Asadar 〈x1, x2〉 = 0. Cum λ = a+ ib (a, b ∈ R), avem, pentru orice x ∈ D(T ), ca

‖(λ− T )x‖2 = ‖(a− T )x+ ibx‖2

= ‖(a− T )x‖2 + |b|2‖x‖2 > |Imλ|2‖x‖2.

33

Pentru λ ∈ C − R, rezulta, de aici, ca (λ − T ) este injectiv si ca, pentru y =(λ− T )x ∈ D(R(λ, T )), avem

‖R(λ, T )y‖ = ‖x‖ 6 |Imλ|−1‖(λ− T )x‖ = |Imλ|−1‖y‖,

asadar‖R(λ, T )‖ 6 |Imλ|−1.

Teorema 3.3.2. Fie T un operator simetric pe un spatiu Hilbert H. Daca H =N (s − T ) + R(s − T ) pentru s ∈ R, atunci T este autoadjunct si H = N (s −T ) ⊕ R(s − T ). Caz special: daca R(s − T ) = H, atunci T este autoadjunct siN (s− T ) = {0}.

Demonstratie. Din T = T ∗∗ si T ⊂ T ∗, avem ca N (s − T ) ⊂ N (s − T ) = R(s −T ∗)⊥ ⊂ R(s − T )⊥, asadar ca N (s − T )⊥R(s − T ) si H = N (s − T ) ⊕R(s − T ).Prin urmare, avem

N (s− T ) = R(s− T )⊥

siR(s− T ) = N (s− T )⊥ ⊃ N (s− T )⊥ ⊃ R(s− T ∗).

Aratam ca D(T ∗) ⊂ D(T ). Acest fapt, ımpreuna cu T ⊂ T ∗, implica T = T ∗.Fie x ∈ D(T ∗), y = (s − T ∗)x. Din cauza ca R(s − T ∗) ⊂ R(s − T ), exista unx0 ∈ D(T ) ⊂ D(T ∗) astfel ıncat (s − T ∗)x0 = (s − T )x0 = y = (s − T ∗)x. Asadaravem x− x0 ∈ N (s− T ∗) = R(s− T )⊥ = N (s− T ) ⊂ D(T ) si deci x ∈ D(T ).

Definitia 3.3.1. Un operator simetric T pe un spatiu Hilbert H se numeste esentialautoadjunct daca T este autoadjunct.

Teorema 3.3.3. Un operator simetric T pe un spatiu Hilbert H este esential autoad-junct daca si numai daca T ∗ este simetric. Atunci avem T = T ∗.

Teorema 3.3.4. Daca T este un operator simetric pe un spatiu Hilbert complexH, iar pentru n ∈ N, n > 2 avem R(i− T n) = H sau R(−i− T n) = H (respectivR(i− T n) = H sau R(−i− T n) = H), atunci T este esential autoadjunct (respectivautoadjunct).

Teorema 3.3.5. (a) Un operator simetric T pe un spatiu Hilbert complex H esteautoadjunct daca si numai daca σ(T ) ⊂ R.

34

(b) Daca T este autoadjunct pe un spatiu Hilbert (real sau complex) H, atuncis ∈ σp(T ) daca si numai daca R(s− T ) 6= H. Pentru λ /∈ σp(T ) avemR(λ, T )∗ = R(λ, T ).

Demonstratie. a) Din teorema 3.3.1, operatorul T este autoadjunct daca si numaidaca λ− T este surjectiv si continuu inversabil pentru orice λ ∈ C−R, i.e., daca sinumai daca C− R ⊂ ρ(T ), sau, echivalent, σ(T ) ⊂ R.

b) Presupunem ca T este autoadjunct si λ /∈ σp(T ). Cum σp(T ) ⊂ R, avem si ca

λ /∈ σp(T ). Asadar R(λ−T )⊥ = N (λ−T ∗) = N (λ−T ) = {0}, i.e., R(λ− T ) = H.

Acum, fie R(λ− T ) = H. Cum R(λ− T ) = H pentru orice λ ∈ C− R, avem si ca

R(λ− T ) = H, si deci N (λ− T ) = N (λ− T ∗) = R(λ− T )⊥ = {0}, i.e., λ /∈ σp(T ).

Daca λ /∈ σp(T ), atunci λ− T ∗ = λ− T este dens definit, injectiv si R(λ− T ) = H.Asadar R(λ, T )∗ = ((λ−T )−1)∗ = ((λ−T )∗)−1 = (λ−T )−1 = R(λ, T ), din teorema2.2.4(b).

Teorema 3.3.6. Daca T este autoadjunct, atunci urmatoarele afirmatii sunt echi-valente:

(i) λ ∈ σ(T ),

(ii) exista un c > 0 astfel ıncat ‖(λ− T )x‖ > c‖x‖, ∀x ∈ D(T ) (i.e., (λ− T ) esteinjectiv si ‖R(λ, T )‖ < c−1),

(iii) R(λ− T ) = H.

(Aceasta teorema este, ın general, falsa pentru operatori simetrici.)

Demonstratie. Daca λ ∈ σ(T ), atunci (λ−T ) este injectiv si R(λ, T ) este continua.Daca (λ − T ) este injectiv si R(λ, T ) este continua, atunci λ /∈ σp(T ) si deci, dinteorema 3.3.5(b), multimea D(R(λ, T )) = R(λ − T ) este densa ın H; cum R(λ, T )este ınchisa, avem R(λ − T ) = D(R(λ, T )) = H. Daca R(λ, T ) = H si λ ∈ R,atunci N (λ− T ) = N (λ− T ∗) = R(λ− T )⊥ = {0}; asadar λ− T este bijectiv, i.e.,λ ∈ ρ(T ). Daca Imλ 6= 0, atunci λ ∈ ρ(T ) din teorema 3.3.5(a).

Teorema 3.3.7. (Rellich-Kato) Daca T este autoadjunct (esential autoadjunct) peun spatiu Hilbert H, operatorul S este simetric si T -marginit cu T -marginea maimica decat unu, atunci T + S este autoadjunct (esential autoadjunct cu T + S =T + S si D(T + S) = D(T )).

3.4 Extensii autoadjuncte ale operatorilor sime-

trici

Daca S este operator simetric, atunci S ⊂ S∗. Pentru orice extensie simetrica T alui S avem S ⊂ T ⊂ T ∗ ⊂ S∗.

35

Teorema 3.4.1. (a) Daca T1 ⊂ T2 sunt operatori autoadjuncti, atunci T1 = T2.

(b) Daca S este operator simetric, iar T1 si T2 sunt extensii autoadjuncte ale luiS astfel ıncat D(T1) ⊂ D(T2), atunci T1 = T2.

(c) Daca S este esential autoadjunct, atunci S este unica extensie autoadjuncta alui S.

Definitia 3.4.1. Un operator simetric S pe un spatiu Hilbert H se zice marginitinferior daca exista un γ ∈ R astfel ıncat 〈x, Sx〉 > γ‖x‖2 pentru orice x ∈ D(S).Orice astfel de γ se numeste margine inferioara a lui S. Un operator marginitsuperior sau inferior se zice semi-marginit.

Teorema 3.4.2. Fie S un operator simetric pe un spatiu HilbertH, pentru care avem〈x, Sx〉 > γ‖x‖2 pentru γ ∈ R si orice x ∈ D(S). Atunci, pentru orice k ∈ (−∞, γ),exista o extensie autoadjuncta Tk a lui S astfel ıncat 〈x, Tkx〉 > k‖x‖2, pentru oricex ∈ D(Tk). Avem N (k − Tk) = N (k − S∗) = S(k − Tk)⊥.

Demonstratie. Operatorul S poate fi extins la un operator ınchis; acelasi lucru esteevident adevarat pentru S. Asadar, putem presupune, fara a pierde din generalitate,ca S este ınchis. In primul caz avem, pentru orice k ∈ (−∞, γ) si x ∈ D(S), x 6= 0,ca

‖(S − k)x‖ > |〈(S − k)x, x〉|‖x‖−1

> 〈Sx, x〉‖x‖−1 − k‖x‖ > (γ − k)‖x‖.

In al doilea caz avem, pentru orice k ∈ (−γ, γ) si x ∈ D(S), ca

‖(S − k)x‖ > ‖Sx‖ − |k|‖x‖ > (γ − |k|)‖x‖.

In consecinta, ın ambele cazuri S−k este continuu inversabil. Imaginea R(S−k) =D((S − k)−1) este deci ınchisa. De aici rezulta ca

R(S − k) +N (S∗ − k) = R(S − k) +R(S − k)⊥ = H (1)

Din cauza egalitatii N (S∗− k)∩D(S) = N (S − k) = {0}, suma D(S) +N (S∗− k)este suma directa. Asadar putem defini

D(Tk) = D(S) +N (S∗ − k)

Tk(x1 + x2) = Sx1 + kx2 pentru x1 ∈ D(S), x2 ∈ N (S∗ − k).

Evident, avem N (k−Tk) = N (k−S∗). Operatorul Tk este simetric, deoarece D(Tk)este dens (cum D(Tk) ⊃ D(S)) si pentru orice x1, y1 ∈ D(S), x2, y2 ∈ N (S∗ − k) =R(S − k)⊥, avem (se observa ca (Tk − k)x2 = (Tk − k)y2 = 0)

〈x1 + x2, (Tk − k)(x1 + x2)〉 = 〈x1 + x2, (S − k)y1〉= 〈x1, (S − k)y1〉 = 〈(S − k)x1, y1〉= 〈(S − k)x1, y1 + y2〉= 〈(Tk − k)(x1 + x2), y1 + y2〉.

36

Din teorema 3.3.2, operatorul Tk este autoadjunct, deoarece din (1) avem ca H =R(S − k) +N (S∗ − k) = R(Tk − k) +N (Tk − k). In plus, pentru orice x1 ∈ D(S),x2 ∈ N (S∗ − k), avem

〈x1 + x2, Tk(x1 + x2)〉 = 〈x, Sx1〉+ 〈S∗x2, x1〉+ k[〈x1, x2〉+ ‖x2‖2]

> γ‖x1‖2 + k[〈x2, x1〉+ 〈x1, x2〉+ ‖x2‖2] > k‖x1 + x2‖2,

ın primul caz, si

‖Tk(x1 + x2)‖2 = 〈Sx1 + kx2, Sx1 + kx2〉= ‖Sx1‖2 + k〈x1, S

∗x2〉+ k〈S∗x2, x1〉+ k2‖x2‖2

> γ2‖x1‖2 + k2[〈x1, x2〉+ 〈x2, x1〉+ ‖x2‖2] > k2‖x1 + x2‖2,

ın al doilea caz.

Teorema 3.4.3. Daca A este un operator Hermitian marginit pe un spatiu Hil-bert H, atunci exista o extensie autoadjuncta marginita B a lui A, astfel ıncat‖B‖ = ‖A‖. Daca R(A) este densa, atunci orice extensie autoadjuncta a lui Aeste injectiva.

Demonstratie. Daca ‖A‖ = 0, atunci B = 0 este extensia ceruta. Asadar, fie‖A‖ 6= 0. Fara a pierde din generalitate, putem presupune ca ‖A‖ = 1. Cum,ımpreuna cu A, si ınchiderea A este Hermitian si ‖A‖ = ‖A‖, putem, de asemenea,presupune ca A este ınchis, i.e., D(A) este ınchis. Fie P proiectia ortogonala peD(A). Atunci avem

A = A1 + A2 cu A1 = PA, A2 = (I − P )A.

Luam pe A1 ca operator de la H la spatiul Hilbert D(A) cu D(A1) = D(A) si pe A2

ca operator de la H la spatiul Hilbert D(A)⊥ cu D(A2) = D(A). Intai, aratam caexista extensiile A1 si A2 ale lui A1, respectiv A2, astfel ıncat D(A1) = D(A2) = H,R(A1) ⊂ D(A), R(A2) ⊂ D(A)⊥ si

‖A1x‖2 + ‖A2x‖2 6 ‖x‖2 pentru orice x ∈ H.

Definim operatorul A1 astfel:A1 = (AP )∗.

Atunci avem ‖A1‖ = ‖AP‖ 6 ‖A‖ si R(A1) ⊂ N (AP )⊥ ⊂ D(A). Mai mult, pentruorice x ∈ H si y ∈ D(A), avem

〈x, A1y〉 = 〈APx, y〉 = 〈Px,Ay〉 = 〈x,A1y〉.

Asadar A1y = A1y si deci A1 ⊂ A1. Din cauza relatiei ‖A1x‖ 6 ‖A1‖‖x‖ 6‖A‖‖x‖ = ‖x‖, egalitatea

[x, y] = 〈x, y〉 − 〈A1x, A1y〉

37

defineste un produs semiscalar pe H. Multimea

N = {x ∈ H : [x, x] = 0}

este un subspatiu ınchis al lui H. (Daca x, y ∈ N , a ∈ K, atunci ax ∈ N si

[x + y, x + y] = 2Re[x, y] 6 2{[x, x][y, y]} 12 = 0, deci x + y ∈ N . Daca {xn}n∈N

este un sir din N astfel ıncat xn −→n→∞

x ∈ N , atunci [x, x] = 〈x, x〉 − 〈A1x, A1x〉 =

limn→∞{〈xn, xn〉 − 〈A1xn, A1xn〉 = 0}, deci x ∈ N). Fie H0 = N⊥ si fie P0 proiectia

ortogonala pe H0. Prin constructie, avem [x, x] 6= 0 pentru orice x ∈ H0 diferit dezero, i.e., [·, ·] este produs scalar pe H0. Pentru orice x ∈ H, avem

[P0x, P0x] = [x− (I − P0)x, x− (I − P0)x]

= [x, x]− 2Re[x, (I − P0)x] + [((I − P0)x, (I − P0)x] = [x, x].

Pentru x ∈ D(A) ∩N avem

‖A2x‖2 = ‖(I − P )Ax‖2 = ‖Ax‖2 − ‖PAx‖2

= ‖Ax‖2 − ‖A1x‖2 6 ‖x‖2 − ‖A1x‖2 = [x, x] = 0.

Asadar A2x = A2y pentru x− y ∈ D(A) ∩N . In consecinta, egalitatile

D(A2) = P0D(A)

A2y = A2y pentru y = P0x ∈ D(A2)

definesc un operator liniar de la H0 la D(A)⊥, si pentru orice y = P0x ∈ D(A2)avem

‖A2y‖2 = ‖A2x‖2 = 〈(I − P )Ax,Ax〉 = 〈Ax,Ax〉 − 〈A1x,A1x〉6 〈x, x〉 − 〈A1x,A1x〉 = [x, x] = [P0x, P0x] = [y, y].

De aici, rezulta ca A2 poate fi extins la un operator C de la H0 la D(A)⊥ astfel ıncatD(C) = H0 si

‖Cx‖2 6 [x, x] pentru orice x ∈ H0.

Definim A2 astfelA2 = CP0.

Atunci, pentru orice, x ∈ H

‖A2x‖2 = ‖CP0x‖2 6 [P0x, P0x] = [x, x],

deci‖A1x‖2 + ‖A2x‖2 6 ‖x‖2.

Cum, pentru orice x ∈ D(A), avem

A2x = CP0x = A2P0x = A2x,

38

obtinem ca operatorul A2 este o extensie a lui A2. Asadar A = A1 + A2 este oextensie a lui A = A1 +A2 si ‖A‖ 6 1. Cum, pentru orice x ∈ D(A) si pentru oricey ∈ H, avem

〈A∗x, y〉 = 〈x, (A1 + A2)y〉 = 〈x, A1y〉+ 〈x, A2y〉= 〈x, A1y〉 = 〈x, (AP )∗y〉 = 〈Ax, y〉,

obtinem ca operatorul A∗ este, de asemenea, o extensie a lui A. Deci

B =1

2(A+ A∗)

este o extensie autoadjuncta a lui A astfel ıncat ‖B‖ = 1.Acum, fie R(A) dens si fie B o extensie autoadjuncta a lui A. Atunci R(B) este,

de asemenea, dens, deci N (B) = N (B∗) = R(B)⊥ = {0}.

Teorema 3.4.4. Fie S un operator simetric pe un spatiu Hilbert H.

(a) Daca ‖Sx‖ > γ‖x‖ pentru orice x ∈ D(S) cu γ > 0, atunci exista o extensieautoadjuncta T a lui S astfel ıncat ‖Tx‖ > γ‖x‖ pentru orice x ∈ D(S).

(b) Daca S este marginit inferior, atunci exista o extensie autoadjuncta T a lui Scu aceeasi margine inferioara.

Demonstratie. (a) Operatorul A = S−1 este Hermitian (〈ASx, Sy〉 = 〈x, Sy〉 =〈Sx, y〉 = 〈Sx,ASy〉 pentru orice Sx, Sy ∈ D(A) = R(S)) si marginit, ‖A‖ 6 γ−1;A este injectiv si R(A) = D(S) este densa. Asadar, prin teorema 3.4.3, exista oextensie autoadjuncta injectiva B a lui A astfel ıncat ‖B‖ = ‖A‖ 6 γ−1. AtunciT = B−1 este o extensie autoadjuncta a lui S si ‖Tx‖ > γ‖x‖ pentru orice x ∈ D(T ).

(b) Fara a pierde din generalitate, putem presupune ca γ = 0. La fel ca ındemonstratia teoremei 3.4.2, putem arata ca I + S este continuu inversabil. Sadefinim A astfel:

A = (I − S)(I + S)−1.

Atunci A este Hermitian, deoarece, pentru orice x = (I + S)x0, y = (I + S)y0 ∈D(A) = R(I + S), avem

〈Ax, y〉 = 〈(I − S)x0, (I + S)y0〉= 〈x0, y0〉 − 〈Sx0, y0〉+ 〈x0, Sy0〉 − 〈Sx0, Sy0〉= 〈x0, y0〉 − 〈x0, Sy0〉+ 〈Sx0, y〉 − 〈Sx0, Sy0〉= 〈(I + S)x0, (I − S)y0〉 = 〈x,Ay〉.

Rezulta, din definitia lui A, ca

I − A = (I + S)(I + S)−1 − (I − S)(I + S)−1 = 2S(I + S)−1,

I + A = 2(I + S)−1.

39

In consecinta, I + A este injectiv si

S = (I − A)(I + A)−1.

A este marginit, cu norma ‖A‖ 6 1, deoarece, pentru orice x ∈ D(A), avem

‖x‖2 − ‖Ax‖2 = 〈(I − A)x, (I + A)x〉= 〈(I − A)(I + A)−1(I + A)x, (I + A)x〉= 〈S(I + A)x, (I + A)x〉 > 0.

Asadar, prin teorema 3.4.3, exista o extensie autoadjuncta B a lui A astfel ıncat‖B‖ = ‖A‖. Din aceeasi teorema avem ca I+B este injectiv, cum R(I+A) = D(S)este densa. Operatorul

T = (I −B)(I +B)−1

este deci o extensie a lui S. Pentru orice x = (I + B)x0, y = (I + B)y0 ∈ D(T ) =R(I +B) avem

〈Tx, y〉 = 〈(I −B)x0, (I +B)y0〉 = 〈(I +B)x0, (I −B)y0〉 = 〈x, Ty〉,〈x, Tx〉 = 〈(I +B)x0, (I −B)x0〉 = ‖x0‖2 − ‖Bx0‖2 > 0,

i.e., T este simetric si marginit inferior, cu marginea inferioara egala cu zero. AvemI + T = 2(I + B)−1 si I − T = 2B(I + B)−1, deci B = (I − T )(I + T )−1. De aicirezulta ca R(I + T ) = D(B) = H, asadar T este autoadjunct (conform teoremei3.3.2).

3.5 Exemple

Definitia 3.5.1. O functie f : [0, 1] −→ C se zice absolut continua daca, pentruorice ε > 0, exista δε astfel ıncat, daca

1 6 a1 < b1 6 a2 < b2 6 ... 6 an < bn 6 1 sin∑k=1

bk − ak < δε,

atunci∑n

k=1 |f(bk)− f(ak)| < ε.Orice functie absolut continua este, evident, uniform continua.

Un rezultat important pe care ıl vom folosi ın exemplele ce urmeaza este asanumita teorema fundamentala a analizei (Lebesgue-Leibniz-Newton).

Teorema 3.5.1. (a) Daca f ∈ L1([0, 1]) si F (x) =∫ x

0f(t)dt, atunci F este absolut

continua si F ′ = f m-a.p.t, unde m este masura lui Lebesgue pe intervalul [0, 1].(b) Daca F este absolut continua pe [0, 1], atunci F ′ ∈ L1([0, 1]) si

F (x) = F (0) +

∫ x

0

F ′(t)dt, x ∈ [0, 1].

40

Pentru mai multe fapte legate de aceasta teorema si aplicatiile ei vezi [5].

1) Operatorul diferential

Fie H = L2([0, 1]). Definim operatorul diferential T prin

D(T ) = {f ∈ H : f este absolut continua,f ′ ∈ H, f(0) = 0},

iar Tf = f ′.Operatorul T este nemarginit deoarece fn(t) = tn, n = 1, 2, ... este ın D(T ),iar

‖fn‖2 =

∫ 1

0

t2ndt =1

2n+ 16 1

si

‖Tfn‖2 =

∫ 1

0

n2t2n−2dt =n2

2n− 1−→n→∞

∞.

Operatorul T este ınchis. Pentru a arata acest lucru, se observa, mai ıntai, caN (T ) = {0} si R(T ) = H. Intr-adevar, pentru g ∈ H, luam f(t) =

∫ t0g(s)ds.

Atunci f ∈ D(T ) si Tf = g. Definim T−1g = f , g ∈ H. Operatorul T−1 esteoperator marginit pe H cu imaginea D(A), deoarece, din inegalitatea lui Schwarz,obtinem

|(T−1g)(t)| 6∫ 1

0

|g(s)|ds 6(∫ 1

0

|g(s)|2ds) 1

2= ‖g‖.

Deci ‖T−1‖ 6 1. Presupunem

fn −→n→∞

f, fn ∈ D(A) si Tfn −→n→∞

h ∈ H.

Atunci fn = T−1Tfn −→n→∞

T−1h. Deci f = T−1h ∈ D(T ) si Tf = h, ceea ce arata

ca T este ınchis.

2) Derivata a doua ca operatorUna dintre principalele motivatii ale dezvoltarii teoriei operatorilor integrali esteaceea ca unele ecuatii diferentiale cu conditii la limita pot fi transformate ın ecuatiiintegrale echivalente. Ca exemplu, fie urmatoarea problema cu valori la limita:−y

′′(x) = f(x) (1)

y(0) = y(1) = 0 (2)

unde f este o functie ın L2([0, 1]). Pentru a gasi solutia, integram de doua ori ecuatia(1) si obtinem:

y(x) = −∫ x

0

∫ t

0

f(s)dsdt+ c1x+ c2, (3)

41

unde

c2 = y(0) = 0 si c1 =

∫ 1

0

∫ t

0

f(s)dsdt. (4)

Schimband ordinea integrarii ın (3) si (4) obtinem

y(x) = −∫ x

0

∫ x

s

f(s)dtds+ x

∫ 1

0

∫ 1

s

f(s)dtds

=

∫ x

0

(s− x)f(s)ds+

∫ 1

0

x(1− s)f(s)ds. (5)

Deci

y(x) =

∫ 1

0

g(x, s)f(s)ds, (6)

unde

g(x, s) =

{s(1− x), 0 6 s 6 x

x(1− s), x 6 s 6 1 (7)

Invers, daca y este dat de (6), prin calcul direct se verifica faptul ca y satisface(1) si (2) aproape peste tot. Functia g se numeste functia lui Green corespunzatoareproblemei cu valori la limita.

Sa privim acum rezultatul obtinut mai sus din punctul de vedere al teoriei ope-ratorilor. Vrem sa exprimam expresia diferentiala −y′′ cu conditii la limita (2) caoperator liniar. Actiunea operatorului este clara. Totusi, trebuie sa ıi definim dome-niul. Pentru aceasta, se observa ca (3) implica faptul ca derivata y′ este o integralanedefinita sau, echivalent, y′ este absolut continua (conform teoremei fundamentalea analizei). O proprietate importanta a functiilor absolut continue este aceea caformula de integrare prin parti are loc pentru integrala lui fg, cand f este absolutcontinua si g este integrabila Lebesgue.

Fie D(T ), domeniul lui T , acel subspatiu al lui L2([0, 1]) format din functiile cuvalori complexe y care satisfac (2), cu derivata de ordinul I absolut continua pe [0, 1]si cu derivate de ordinul II continute ın L2([0, 1]). Se observa ca y′′(x) exista pentruaproape orice x, deoarece y′ este absolut continua.

Fie G operatorul integral cu nucleul g definita ın (7). Deoarece g este continua pe[0, 1]× [0, 1] si g(x, s) = g(s, x), G este operator compact autoadjunct pe L2([0, 1]).Din discutia de mai sus, y = Gf satisface (1) aproape peste tot pentru orice f ∈L2([0, 1]). Asadar

TGf = f (8)

Deoarece T este, de asemenea, injectiv, avem ca T este inversabil cu T−1 = G.Asadar T este operator liniar ınchis. Rezulta ca ϕ este vector propriu al lui Tcorespunzator valorii proprii λ daca si numai daca ϕ este vector propriu al lui Gcorespunzator valorii proprii 1

λ. Asadar, deoarece G este operator compact autoad-

junct si N (G) = {0}, L2([0, 2]) are o baza ortonormata formata din vectori propriiai lui T . Valorile proprii ale lui T sunt acei scalari reali λ pentru care

y′′ + λy = 0 (9)

42

siy(0) = y(1) = 0 (10)

are solutie netriviala. Deoarece solutia generala pentru (9) este

y = ax+ b, λ = 0

y = a cos√λx+ b sin

√λx, λ > 0

y = ae√−λx + be−

√−λx, λ < 0

rezulta, din conditiile la limita (10), ca valorile proprii sunt λ = n2π2, n = 1, 2, ....,cu bn sinnπx, bn 6= 0 vectorii proprii corespunzatori. Vectorii proprii

√2 sinnπx,

n = 1, 2, ..., formeaza deci o baza ortonormata pentru L2([0, 1]).Similar daca schimbam domeniul lui T ınlocuind conditiile la limita (10) cu

y(−π) = y(π), y′(−π) = y′(π), atunci valorile proprii ale lui T sunt acei λ pentrucare problema cu valoare la limita

y′′ + λy = 0

y(−π) = y(π), y′(−π) = y′(π)

are solutie netriviala. Rezulta ca λ = n2, n = 0, 1, ... sunt valorile proprii ale lui T ,iar an cosnt + bn sinnt (|an|2 + |bn|2 6= 0) vectorii proprii corespunzatori. Asadar,{

1√2π, cosnt√

π, sinnt√

π}∞n=0 este un sistem ortonormat de vectori proprii ai lui T , care stim

ca formeaza o baza ortonormata pentru L2([−π, π]).

3) Operatorul adjunctFie H = L1([0, 1]), iar T un operator de la H la el ınsusi, cu

D(T ) = {f ∈ H : f este absolut continua pe [0, 1],

f ′ ∈ H, f(0) = f(1) = 0}, T f = f ′ (1)

Spatiul C∞0 ([0, 1]) al functiilor infinit diferentiabile care se anuleaza ın afara unuisubinterval ınchis al intervalului deschis (0, 1) este dens ın L2([0, 1]), ın raport cunorma de pe L2. Deoarece C∞0 ( D(T ), avem ca T este dens definit. Vom arata caT ∗ = S, unde

D(S) = {g ∈ H : g este absolut continua pe [0, 1], g′ ∈ H}, Sg = −g′ (2)

Presupunem ca g ∈ D(T ∗) si T ∗g = h. Atunci, pentru f ∈ D(T ), avem

〈Tf, g〉 =

∫ 1

0

f ′(t)g(t)dt = 〈f, T ∗g〉 =

∫ 1

0

f(t)h(t)dt (3)

Deoarece f ∈ D(T ), f(0) = f(1) = 0. Integrand prin parti obtinem∫ 1

0

f(t)h(t)dt = −∫ 1

0

(H(t) + C)f ′(t)dt, (4)

43

unde C este o constanta arbitrara si H(t) =∫ t

0h(s)ds. Atunci, din (3) si (4), avem

0 =

∫ 1

0

(g(t) +H(t) + C)f ′(t)dt, f ∈ D(T ) (5)

Fie

f0(t) =

∫ t

0

(g(s) +H(s) + C0)ds, (6)

unde C0 este ales astfel ıncat f0(1) = 0. Atunci f0 ∈ D(T ) si rezulta, din (5) si (6),cu f ınlocuit cu f0, ca

0 =

∫ 1

0

|g(t) +H(t) + C0|2dt

Deci g(t) = −H(t)−C0 = −∫ t

0h(s)ds−C0, ceea ce arata ca g este absolut continua

pe [0, 1] si g′ = −h ∈ H. Asadar g ∈ D(S) si 〈Tf, g〉 = 〈f,−g′〉 = 〈f, Sg〉, din (3).Asadar D(T ∗) ( D(S) si T ∗g = Sg, g ∈ D(T ).Mai ramane de aratat ca D(S) ( D(T ∗). Fie v ∈ D(S) si u ∈ D(T ),

〈Tu, v〉 =

∫ 1

0

u′(t)v(t)dt = −∫ 1

0

u(t)v′(t)dt = 〈u, Sv〉

Prin urmare, v ∈ D(T ∗) si T ∗v = Sv = −v′.

44

Capitolul 4

Teorema lui Hille-Yosida

4.1 Operatori maximali monotoni

Definitia 4.1.1. Un operator nemarginit T : D(T ) ⊂ H → H se numeste monotondaca satisface

〈Tx, x〉 > 0 pentru orice x ∈ D(T ).

Acesta se numeste maximal monoton daca, ın plus, R(I +T ) = H, adica, pentruorice x ∈ H, exista x′ ∈ D(T ) astfel ıncat x′ + Tx′ = x.

Propozitia 4.1.1. Fie T un operator maximal monoton. Atunci:

(a) D(T ) este dens ın H.

(b) T este operator ınchis.

(c) Pentru orice λ > 0, (I + λT ) este bijectiv de la D(T ) la H, (I + λT )−1 esteoperator marginit si ‖(I + λT )−1‖ 6 1.

Remarca 4.1.1. Daca T este maximal monoton, atunci λT este, de asemenea,maximal monoton, pentru orice λ > 0. Totusi, daca T si S sunt operatori maximalimonotoni, atunci T + S, definit pe D(T ) ∩ D(S), nu este necesar sa fie maximalmonoton.

Definitia 4.1.2. Fie T un operator maximal monoton. Pentru orice λ > 0, definim

Jλ = (I + λT )−1 si Tλ =1

λ(I − Jλ).

Jλ se numeste rezolventa lui T si Tλ se numeste regularizata Yosida a lui T .De retinut ca ‖Jλ‖ 6 1.

45

Propozitia 4.1.2. Fie T un operator maximal monoton. Atunci:

(a) Tλx = T (Jλx), pentru orice x ∈ H si orice λ > 0,

(b) Tλx = Jλ(Tx), pentru orice x ∈ D(T ) si orice λ > 0,

(c) |Tλx| 6 |Tx|, pentru orice x ∈ D(T ) si orice λ > 0,

(d) limλ→0

Jλx = x, pentru orice x ∈ H,

(e) limλ→0

Tλx = Tx, pentru orice x ∈ D(T ),

(f) 〈Tλx, x〉 > 0, pentru orice x ∈ H si orice λ > 0,

(g) |Tλx| 61

λ|x|, pentru orice x ∈ H si λ > 0.

Demonstratie. (a) Egalitatea poate fi scrisa ca x = Jλx+ λT (Jλx) care este tocmaidefinitia lui Jλx.

(b) Din (a) avemTλx+ T (x− Jλx) = Tx,

adicaTλx+ λT (Tλx) = Tx,

ceea ce ınseamna ca Tλx = (I + λT )−1Tx.

(c) Rezulta usor din (b).

(d) Presupunem ıntai ca x ∈ D(T ). Atunci

|x− Jλx| = λ|Tλx| 6 λ|Tx| din (c)

si astfel limλ→0

Jλx = x.

Presupunem acum ca x este un element general din H. Pentru orice ε > 0 dat,exista un anume x1 ∈ D(T ) astfel ıncat |x− x1| 6 ε (deoarece D(T ) este dens ın Hdin propozitia 4.1.1). Avem

|Jλx− x| 6 |Jλx− Jλx1|+ |Jλx1 − x1|+ |x1 − x|6 2|x− x1|+ |Jλx1 − x1| 6 2ε+ |Jλx1 − x1|.

Astfellim supλ→0

|Jλx− x| 6 2ε, pentru orice ε > 0

si decilimλ→0|Jλx− x| = 0.

(e) Rezulta din (b) si (d).

46

(f) Avem

〈Tλx, x〉 = 〈Tλx, x− Jλx〉+ 〈Tλx, Jλx〉 = λ|Tλx|2 + 〈T (Jλx), Jλx〉

si astfel〈Tλx, x〉 > λ|Tλx|2 (1)

(g) Este o consecinta a lui (1) si a inegalitatii Cauchy-Buniakowski-Schwarz.

4.2 Solutia problemei de evolutiedx

dt+ Tx = 0 pe [0,∞)

x(0) = x0

Teorema 4.2.1. (Cauchy, Lipschitz, Picard) Fie X un spatiu Banach si F :X → X o aplicatie Lipschitziana, adica exista o constanta L astfel ıncat

‖Fx− Fy‖ 6 L‖x− y‖ pentru orice x, y ∈ X.

Atunci, pentru orice x0 ∈ X dat, exista o unica solutie x ∈ C1([0,∞);X) a proble-mei:

dx

dt(t) = Fx(t) pe [0,∞)

x(0) = x0

(x0 se numeste data initiala)

Aceasta teorema este extrem de utila ın studiul ecuatiilor diferentiale ordi-nare, fiind, ın schimb, putin folositoare ın studiul ecuatiilor cu derivate partiale.Urmatorul rezultat este un instrument foarte puternic ın rezolvarea ecuatiilor cuderivate partiale de evolutie.

Teorema 4.2.2. (Hille-Yosida) Fie T un operator maximal monoton. Atunci,pentru orice x0 ∈ D(T ) dat, exista o functie unica

x ∈ C1([0,∞);H) ∩ C([0,∞);D(T ))

satisfacand dx

dt+ Tx = 0 pe [0,∞)

x(0) = x0 (data initiala) (2)

Mai mult,

|x(t)| 6 |x0| si∣∣∣dxdt

(t)∣∣∣ = |Tx(t)| 6 |Tx0| pentru orice t > 0.

47

Demonstratie. Aceasta este ımpartita ın sase etape.Etapa 1

Fie x si x doua solutii ale lui (2). Avem⟨ d

dt(x− x), x− x

⟩= −〈T (x− x), x− x〉 6 0.

Dar1

2

d

dt|x(t)− x(t)|2 =

⟨ d

dt(x(t)− x(t)), x(t)− x(t)

⟩.

Astfel, functia t 7→ |x(t)− x(t)| este monoton descrescatoare pe [0,∞). Din |x(0)−x(0)| = 0 rezulta ca

|x(t)− x(t)| = 0 pentru orice t > 0.

Ideea principala, pentru demonstrarea existentei, este de a ınlocui, ın (2), operatorulT cu Tλ, a aplica teorema 4.2.1 problemei aproximante si apoi de a trece la limitacand λ → 0 utilizand diverse estimari care sunt independente de λ. Deci, fie xλsolutia problemei

dxλdt

+ Tλxλ = 0 pe [0,∞)

xλ(0) = x0 ∈ D(T ) (3)

Etapa 2Avem estimarea

dxλdt

(t) = |Tλxλ(t)| 6 |Tx0| ∀t > 0, ∀λ > 0 (4)

Aceasta inegalitate este o consecinta imediata a urmatorului rezultat:

Lema 4.2.1. Fie y ∈ C1([0,∞);H) o functie satisfacand

dy

dt+ Tλy = 0 pe [0,∞) (5)

Atunci functiile t 7→ |y(t)| si t 7→∣∣∣dydt

(t)∣∣∣ = |Tλy(t)| sunt monoton descrescatoare pe

[0,∞).

Demonstratie. Avem ⟨dy

dt, y⟩

+ 〈Tλy, y〉 = 0.

Din propozitia 4.1.2 (f), stim ca 〈Tλy, y〉 > 0 si, de aceea,1

2

d

dt|y|2 6 0, astfel ıncat

|y(t)| este monoton descrescatoare. Pe de alta parte, deoarece Tλ este operatormarginit, deducem (prin inductie), din (5), ca y ∈ C∞([0,∞);H) si, de asemenea,ca

d

dt

(dy

dt

)+ Tλ

(dy

dt

)= 0

Se aplica deci rezultatul precedent luidy

dt.

48

Etapa 3Vom demonstra aici ca, pentru orice t > 0, xλ(t) converge, cand λ → 0, la oanumita limita notata prin x(t). Mai mult, convergenta este uniforma pe oriceinterval marginit [0, T ].Pentru orice λ, µ > 0 avem

dxλdt− dxµ

dt+ Tλxλ − Tµxµ = 0

si astfel

1

2

d

dt|xλ(t)− xµ(t)|2 + 〈Tλxλ(t)− Tµxµ(t), xλ(t)− xµ(t)〉 = 0

Renuntand la t, pentru simplitate, scriem

〈Tλxλ − Tµxµ, xλ − xµ〉 = 〈Tλxλ − Tµxµ, xλ − Jλxλ + Jλ − Jµxµ + Jµxµ − xµ〉= 〈Tλxλ − Tµxµ, λTλxλ − µTµxµ〉+ 〈T (Jλxλ − Jµxµ), Jλxλ − Jµxµ〉> 〈Tλxλ − Tµxµ, λTλxλ − µTµxµ〉 (7)

Din (4), (6) si (7) rezulta ca

1

2

d

dt|xλ − xµ|2 6 2(λ+ µ)|Tx0|2.

Integrand aceasta inegalitate, obtinem

|xλ(t)− xµ(t)|2 6 4(λ+ µ)t|Tx0|2

adica|xλ(t)− xµ(t)| 6 2

√(λ+ µ)t|Tx0| (8)

Urmeaza ca, pentru orice t > 0 fixat, (xλ(t)) este un sir Cauchy, cand λ→ 0, si deaceea converge la o limita, notata x(t). Trecand la limita ın (8), cu µ→ 0, avem

|xλ(t)− x(t)| 6 2√λt|Tx0|.

Astfel, convergenta este uniforma ın t pe orice interval marginit [0, T ] si deci x ∈C([0,∞);H).

Etapa 4Presupunand, ın plus, ca x0 ∈ D(T 2), adica x0 ∈ D(T ) si Tx0 ∈ D(T ), demonstram

aici cadxλdt

converge, cand λ→ 0, la o anumita limita si ca aceasta convergenta este

uniforma pe fiecare interval marginit [0, T ].

Definim yλ =dxλdt

, asa ıncatdyλdt

+ Tλyλ = 0. Urmand acelasi rationament ca ın

etapa 3, vedem ca

1

2

d

dt|yλ − yµ|2 6

(|Tλyλ|+ |Tµxµ|

)(λ|Tλyλ|+ µ|Tµyµ|

)(9)

49

Din lema 4.2.1 avem

|Tλyλ(t)| 6 |Tλyλ(0)| = |TλTλx0| (10)

si, ın mod similar,

|Tµyµ(t)| 6 |Tµyµ(0)| = |TµTµx0| (11)

In final, deoarece Tx0 ∈ D(T ), obtinem

TλTλx0 = JλTJλTx0 = JλJλTTx0 = J2λT

2x0

si astfel|TλTλx0| 6 |T 2x0|, |TµTµx0| 6 |T 2x0| (12)

Combinand (9), (10), (11) si (12) suntem condusi la

1

2

d

dt|yλ − yµ|2 6 2(λ+ µ)|T 2x0|2.

Concluzionam, ca ın etapa 3, ca yλ(t) =dxλdt

(t) converge, cand λ→ 0, la o anumita

limita, convergenta fiind uniforma pe fiecare interval marginit [0, T ].

Etapa 5Presupunand ca x0 ∈ D(T 2) aratam aici ca x este o solutie a lui (2).Din cele de mai sus, stim ca, pentru orice T <∞, avem

xλ(t)→ x(t), cand λ→ 0, uniform pe [0, T ]

dxλdt

(t) converge, cand λ→ 0, uniform pe [0, T ]

Urmeaza usor ca x ∈ C1([0,∞);H) si cadxλdt

(t)→ dx

dt(t), cand λ→ 0, uniform pe

[0, T ]. Rescriem (2) astfel

dxλdt

(t) + T (Jλxλ(t)) = 0 (13)

Subliniem ca Jλxλ(t)→ x(t), cand λ→ 0, deoarece

|Jλxλ(t)− x(t)| 6 |Jλxλ(t)− Jλx(t)|+ |Jλx(t)− x(t)|6 |xλ(t)− x(t)|+ |Jλx(t)− x(t)| −→ 0.

Aplicand faptul ca T are graficul ınchis, deducem din (13) ca x(t) ∈ D(T ), pentruorice t > 0, si ca

dx

dt(t) + Tx(t) = 0.

50

In final, deoarece x ∈ C1([0,∞);H), functia t 7→ Tx(t) este continua de la [0,∞) laH si, de aceea, x ∈ C([0,∞);D(T )). Astfel am obtinut o solutie a lui (2) satisfacand,ın plus,

|x(t)| 6 |x0|, ∀t > 0 si∣∣∣dxdt

(t)∣∣∣ = |Tx(t)| 6 |Tx0|, ∀t > 0.

Etapa 6Incheiem aici demonstratia teoremei.Vom utiliza urmatorul rezultat:

Lema 4.2.2. Fie x0 ∈ D(T ). Atunci, pentru orice ε > 0, exista x0 ∈ D(T 2) astfelıncat |x0 − x0| < ε si |Tx0 − Tx0| < ε. Cu alte cuvinte, D(T 2) este dens ın D(T ).

Demonstratie. Definim x0 = Jλx0 pentru λ > 0 potrivit, ce va fi fixat ulterior.Avem

x0 ∈ D(T ) si x0 + λTx0 = x0.

De aceea, Tx0 ∈ D(T ), adica x0 ∈ D(T 2). Pe de alta parte, din propozitia 4.1.2,stim ca

limλ→0|Jλx0 − x0| = 0, lim

λ→0|JλTx0 − Tx0| = 0

si ca Tx0 = JλTx0 = TJλx0. Concluzia urmeaza prin alegerea lui λ > 0 suficient demic.

Ne ıntoarcem acum la demonstratia teoremei. Pentru x0 ∈ D(T ) dat, construim(utilizand lema 4.2.2) un sir {x0n}n∈N ⊂ D(T 2), astfel ıncat x0n −→

n→∞x0 si Tx0n −→

n→∞Tx0. Din etapa 5, stim ca exista o solutie a xn a problemei

dxndt

+ Txn = 0 pe [0,∞)

xn(0) = x0n (14)

Pentru orice t > 0, avem

|xn(t)− xm(t)| 6 |x0n − x0m| −→m,n→∞

0,

∣∣∣dxndt

(t)− dxmdt

(t)∣∣∣ 6 |Tx0n − Tx0m| −→

m,n→∞0.

De aceea

xn(t) −→ x(t) uniform pe [0,∞)

dxndt

(t) −→ dx

dt(t) uniform pe [0,∞)

cu x ∈ C1([0,∞);H). Trecand la limita ın (14)-utilizand faptul ca T este ope-rator ınchis- observam ca x(t) ∈ D(T ) si x satisface (2). Din (2) deducem cax ∈ C([0,∞);D(T )).

51

4.3 Cazul autoadjunct

Propozitia 4.3.1. Fie T un operator simetric, maximal monoton. Atunci T esteautoadjunct.

Demonstratie. Fie J1 = (I + T )−1. Vom demonstra ıntai ca J1 este autoadjunct.Deoarece J1 ∈ L(H) este suficient sa verificam ca

〈J1x, y〉 = 〈x, J1y〉 pentru orice x, y ∈ H (15)

Definim x1 = J1x si y1 = J1y astfel ıncat

x1 + Tx1 = x

y1 + Ty1 = y

Deoarece, din presupunere, 〈x1, T y1〉 = 〈Tx1, y1〉 rezulta ca 〈x1, y〉 = 〈x, y1〉, adica(15).

Fie x ∈ D(T ∗) si definim f = x+ T ∗x. Avem

〈f, y〉 = 〈x, y + Ty〉 pentru orice y ∈ D(T ),

adica〈f, J1z〉 = 〈x, z〉 pentru orice z ∈ H.

Astfel x = J1f si, de aceea, x ∈ D(T ). Aceasta arata ca D(T ∗) = D(T ) si, de aici,T este autoadjunct.

Teorema 4.3.1. Fie T un operator maximal monoton si autoadjunct. Atunci, pen-tru orice x0 ∈ H, exista o functie unica

x ∈ C([0,∞);H) ∩ C1((0,∞);H) ∩ C((0,∞);D(T ))

astfel ıncat dx

dt+ Tx = 0 pe (0,∞),

x(0) = x0

Mai mult, avem

|x(t)| 6 |x0| si∣∣∣dxdt

(t)∣∣∣ = |Tx(t)| 6 1

t|x0|, ∀t > 0

x ∈ Ck((0,∞);D(T l)), ∀k, l ∈ Z.

52

Demonstratie. Unicitatea.Fie x si x doua solutii. Din monotonia lui T vedem ca ϕ(t) = |x(t) − x(t)|2 estemonoton descrescatoare pe (0,∞). Pe de alta parte, ϕ este continua pe [0,∞) siϕ(0) = 0. De aceea, ϕ ≡ 0.

Existenta. Demonstratia este ımpartita ın doua etape.Etapa 1

Presupunem ıntai ca x0 ∈ D(T 2) si fie x solutia lui (2), data de teorema Hille-Yosida.Afirmam ca ∣∣∣dx

dt(t)∣∣∣ 6 1

t|x0| ∀t > 0 (16)

La fel ca ın demonstratia propozitiei 4.3.1, avem

J∗λ = Jλ si T ∗λ = Tλ pentru orice λ > 0.

Ne ıntoarcem la problema aproximanta introdusa ın demonstratia teoremei lui Hille-Yosida:

dxλdt

+ Tλxλ = 0 pe [0,∞)

xλ(0) = x0 (17)

Luand produsul scalar al lui (17) cu xλ si integrand pe [0, T ] gasim

1

2|xλ(T )|2 +

∫ T

0

〈Tλxλ, xλ〉dt =1

2|x0|2 (18)

Luand produsul scalar al lui (17) cu tdxλdt

si integrand pe [0, T ] obtinem

∫ T

0

∣∣∣dxλdt

(t)∣∣∣2tdt+

∫ T

0

⟨Tλxλ(t),

dxλdt

(t)⟩tdt = 0 (19)

Dard

dt〈Tλxλ, xλ〉 =

⟨Tλ

dxλdt

, xλ

⟩+⟨Tλxλ,

dxλdt

⟩= 2⟨Tλxλ,

dxλdt

⟩deoarece T ∗λ = Tλ.Integrand prin parti, avem∫ T

0

⟨Tλxλ(t),

dxλdt

(t)⟩tdt =

1

2

∫ T

0

d

dt[〈Tλxλ, xλ〉]tdt

=1

2〈Tλxλ(T ), xλ(T )〉T − 1

2

∫ T

0

〈Tλxλ, xλ〉dt (20)

Pe de alta parte, deoarece functia t 7→∣∣∣dxλ

dt(t)∣∣∣ este monoton descrescatoare (din

lema 4.2.1), avem ∫ T

0

∣∣∣dxλdt

(t)∣∣∣2tdt > ∣∣∣dxλ

dt(T )∣∣∣2T 2

2(21)

53

Combinand (18), (19), (20) si (21) obtinem

1

2|xλ(T )|2 + T 〈Tλxλ(T ), xλ(T )〉+ T 2

∣∣∣dxλdt

(T )∣∣∣2 6 1

2|x0|2.

Urmeaza, ın particular, ca∣∣∣dxλdt

(T )∣∣∣ 6 1

T|x0| pentru orice T > 0 (22)

In final, trecem la limita ın (22), cand λ→ 0. Aceasta completeza demonstratia lui

(16), deoarecedxλdt−→ dx

dt(vezi etapa 5 din demonstratia teoremei lui Hille-Yosida).

Etapa 2Presupunem acum ca x0 ∈ H. Fie {x0n}n∈N un sir din D(T ) astfel ıncat x0n −→

n→∞x0

(reamintim ca D(T 2) este dens ın D(T ) si ca D(T ) este dens ın H; astfel D(T 2) estedens ın H). Fie xn solutia lui

dxxdt

+ Txn = 0 pe [0,∞)

xn(0) = x0n

Stim (din teorema lui Hille-Yosida) ca

|xn(t)− xm(t)| 6 |x0n − x0m| ∀m,n ∈ Z, ∀t > 0

si, din etapa 1, ca∣∣∣dxndt

(t)− dxmdt

(t)∣∣∣ 6 1

t|x0n − x0m| ∀m,n ∈ Z, ∀t > 0.

Rezulta ca xn(t) converge uniform pe [0,∞) la o anumita limita x(t) si cadxndt

(t)

converge ladx

dt(t) uniform pe fiecare interval [δ,∞), δ > 0.

Functia limita x satisface

x ∈ C([0,∞);H) ∩ C1((0,∞);H),

x(t) ∈ D(T ), ∀t > 0 sidx

dt(t) + Tx(t) = 0, ∀t > 0

(se utilizeaza faptul ca T este ınchis)Revenim acum la demonstratia lui (15). Vom arata, prin inductie dupa k > 0,

cax ∈ Ck−j((0,∞);D(T j)) ∀j = 0, 1, ..., k (23)

Presupunem ca (23) este valabila pana la ordinul k − 1. In particular, avem

x ∈ C((0,∞);D(T k−1)) (24)

54

Pentru a arata (23) este suficient sa verificam ca

x ∈ C((0,∞);D(T k)) (25)

Consideram spatiul Hilbert H = D(T k−1) si operatorul T : D(T ) ⊂ H → H definitde D(T ) = D(T k)

T = T

Este usor de vazut ca T este maximal monoton si simetric ınH; de aceea, acesta esteautoadjunct. Aplicand prima asertiune a teoremei 4.3.1, ın spatiul H, operatoruluiT obtinem o solutie unica x a problemei

dy

dt+ Ty = 0 pe (0,∞)

y(0) = y0 (26)

pentru orice y0 ∈ H dat. Mai mult

y ∈ C([0,∞); H) ∩ C1((0,∞); H) ∩ C((0,∞);D(T )).

Alegand y0 = x(ε) (ε > 0) (stim deja din (24) ca y0 ∈ H), conchidem ca x ∈C((ε,∞);D(T k)) si aceasta completeaza demonstratia lui (25).

55

Bibliografie

[1] Brezis Haim, Analiza functionala. Teorie si aplicatii.

[2] Kubrusly Carlos S., The Elements of Operator Theory, Second Edition,Birkhauser.

[3] Debnath L., Mikusinski P., Introduction to Hilbert spaces with applications,2005.

[4] Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M. A., Basic Classes of Linear Opera-tors, Birkhauser.

[5] Stratila Serban, Integrala Lebesgue si transformata Fourier, EdituraFundatiei Theta, Bucuresti 2014.

[6] Weidmann Joachim, Linear Operators in Hilbert Spaces, Springer-Verlag.

56