Setul_2
2
Set ul 2. Aplicat ¸ii l iniare. V ectori si valori pr oprii. 1. Fie f : R 2 → R 2 un operator liniar de forma f (x 1 , x 2 ) = (7x 1 , 2x 1 + 7x 2 ). Scri et ¸i matricea asociat˘ a lui f ˆ ın baza canoni c˘ a din R 2 . Determinat ¸i v alorile ¸ si vectorii proprii ai lui f . Este f diagonalizabil? 2. Fie f : R 2 → R 3 , f (x 1 , x 2 ) = (0, x 1 − 3x 2 , −2x 1 + 6x 2 ). Ar ˘ atat ¸i c˘ a f este o aplicat ¸ie liniar˘ a. Determinat ¸i Kerf , dim(Kerf ), Imf pr ecum ¸ si dim(Imf ) . Este f injectiv˘ a? Dar surjectiv˘ a? 3. Fie f : R 2 → R 3 o aplicat ¸ie liniar˘ a care are ˆ ın p erechea de baze canonnice din R 2 ¸ si R 3 matricea A f = 1 3 2 6 0 0 . Calculat ¸i imaginea vectorului x = (3, 1) prin f . Determinat ¸i Kerf ¸ si dimensi une a sa. 4. Fie f : R 3 → R 3 un oper ator liniar car e are ˆ ın baz a canonic ˘ a din R 3 matricea A f = −2 1 0 0 −2 0 5 2 −2 . Determina t ¸i valorile ¸ si vectorii propr ii ai lui f . Es te f diagonalizabil? ˆ In caz afirmativ, determinat ¸i matricea sa diagonal˘ a precum ¸ si o baz˘ a relativ la care operatorul f are aceast˘ a form˘ a diagonal˘ a. 5. Ar˘ atat ¸i c˘ a f : R 2 → R 2 , f (x 1 ,x 2 ) = (x 1 + 3x 2 , 2x 1 ) este aplicat ¸ie liniar˘ a. Sc riet ¸i matricea asociat˘ a lui f ˆ ı n ba za B = {u 1 = (1, 0), u 2 = (0, 3)}. 6. Fie f : R 2 → R 2 un operator liniar de forma f (x 1 ,x 2 ) = (3x 1 , x 1 + 3x 2 ). Scriet ¸i matricea asociat˘ a lui f ˆ ın baza canoni c˘ a din R 2 . Determinat ¸i v alorile ¸ si vectorii proprii ai lui f . Este f diagonalizabil? 7. Fie f : R 2 → R 2 [x] o aplicat ¸ie liniar˘ a care are ˆ ın perech ea de baze canoni ce B R 2 c = {e 1 = (1, 0),e 1 = (0, 1)}, B R 2 [x] c = {x 2 , x, 1} matricea A f = 1 2 2 4 0 0 . Calc ul at ¸i imagin ea vectorului x = (1, 2) prin f . Determinat ¸i expresia analitic˘ a a lui f , Kerf ¸si di m( Kerf ). Este f injectiv˘ a ? 8. Fie f : R 3 → R 3 un operator liniar care a re ˆ ın baza canonic˘ a din R 3 matricea 2 1 0 0 2 0 3 7 2 . Determinat ¸i valorile ¸ si vectorii pr oprii ai lui f . Es te f diagonalizabil? ˆ In caz afirmativ, determinat ¸i matricea sa diagonal˘ a precum ¸ si o baz˘ a relativ la care operatorul f are aceast˘ a form˘ a diagonal˘ a. 9. Scriet ¸i matricile asociate urm˘ atoarelor aplicat ¸ii liniar e ˆ ın perechile de baze indicate: (a) f : R 3 → R 2 , f (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 − x 2 , 2x 1 + 3 x 2 ), ˆ ın B R 3 c ¸ si B = {u 1 = (2, 1), u 2 = (3, 0)}. (b) f : R 2 [x] → R 3 , f (aX 2 + bX + c) = (2a − b, c, 3a), ˆ ın B R 2 [x] c ¸ si B R 3 c . (c) f : M(2, 1, R) → R 1 [x], f a b = 2aX − 3b, ˆ ın B 1 = { 1 −1 , 2 0 } ⊂ M(2, 1, R), ¸ si B 2 = {−X + 5 , 3} ⊂ R 1 [x]. 10. Verificat ¸i dac˘ a f : R 2 → R 3 , f (x 1 , x 2 ) = (x 1 + 3x 2 , 0, −2x 1 − 6x 2 ) este o aplicat ¸ie liniar˘ a. Scriet ¸i matricea asociat˘ a lui f relativ la perechea de baze canonic˘ a din R 2 ¸ si B = {u 1 = (0, 2, 0), u 2 = (3, 0, 0), u 3 = (0, 0, 1)} din R 3 . Determinat ¸i Kerf ¸ si di m( Kerf ). 11. Verificat ¸i dac˘ a urm˘ atoarele funct ¸ii sunt aplicat ¸ii liniare. ˆ In caz afirmativ determinat ¸i K er(f ), I m(f ), precum ¸ si dimensiunile lor. Precizat ¸i care dintre aplicat ¸iile liniare sunt injective, respectiv surjective: (a) f : R 3 → R 2 , f (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 − x 2 + 2 x 3 , 2x 1 + x 2 ). (b) f : R 2 → R 3 , f (x 1 , x 2 ) = (x 1 , 0,x 1 + x 2 − 3). (c) f : R 1 [x] → R 3 , f (aX + b) = (a − 2b, −2a + 4b, 0). (d) f : R 3 → M(2, 1, R), f (x,y,z) = x − y + z 2x + 3z . (e) f : M(3, 1, R) → R 1 [x], f a b c = (a + b + c)X + 5 . 1
-
Upload
dreamingangel -
Category
Documents
-
view
2 -
download
0
description
alg
Transcript of Setul_2
7/17/2019 Setul_2
http://slidepdf.com/reader/full/setul2 1/2
Setul 2. Aplicatii liniare. Vectori si valori proprii.
1. Fie f : R2 → R2 un operator liniar de forma f (x1, x2) = (7x1, 2x1 + 7x2). Scrieti matricea
asociata lui f ın baza canonica din R2. Determinati valorile si vectorii proprii ai lui f . Este f
diagonalizabil?
2. Fie f : R2 → R3, f (x1, x2) = (0, x1 − 3x2,−2x1 + 6x2). Aratati ca f este o aplicatie liniara.Determinati Kerf , dim(Kerf ), Imf precum si dim(Imf ) . Este f injectiva? Dar surjectiva?
3. Fie f : R2 → R3 o aplicatie liniara care are ın perechea de baze canonnice din R
2 si R3 matricea
Af =
1 3
2 60 0
. Calculati imaginea vectorului x = (3, 1) prin f . Determinati Kerf si dimensiunea
sa.4. Fie f : R3 → R
3 un operator liniar care are ın baza canonica din R3 matricea Af =
−2 1 00 −2 05 2 −2
. Determinati valorile si vectorii proprii ai lui f . Este f diagonalizabil? In caz
afirmativ, determinati matricea sa diagonala precum si o baza relativ la care operatorul f are aceastaforma diagonala.
5. Aratati ca f : R2 → R2, f (x1, x2) = (x1 + 3x2, 2x1) este aplicatie liniara. Scrieti matricea
asociata lui f ın baza B = {u1 = (1, 0), u2 = (0, 3)}.6. Fie f : R2 → R
2 un operator liniar de forma f (x1, x2) = (3x1, x1 + 3x2). Scrieti matriceaasociata lui f ın baza canonica din R
2. Determinati valorile si vectorii proprii ai lui f . Este f diagonalizabil?
7. Fie f : R2 → R2[x] o aplicatie liniara care are ın perechea de baze canonice BR2
c = {e1 =
(1, 0), e1 = (0, 1)}, BR2[x]c = {x2, x, 1} matricea Af =
1 2
2 40 0
. Calculati imaginea vectorului
x = (1, 2) prin f . Determinati expresia analitica a lui f , Kerf si dim(Kerf ). Este f injectiva ?
8. Fie f : R3 → R3 un operator liniar care are ın baza canonica din R
3 matricea
2 1 0
0 2 03 7 2
.
Determinati valorile si vectorii proprii ai lui f . Este f diagonalizabil? In caz afirmativ, determinatimatricea sa diagonala precum si o baza relativ la care operatorul f are aceasta forma diagonala.
9. Scrieti matricile asociate urmatoarelor aplicatii liniare ın perechile de baze indicate:(a) f : R3 → R
2, f (x1, x2, x3) = (x1 − x2, 2x1 + 3x2), ın BR3
c si B = {u1 = (2, 1), u2 = (3, 0)}.
(b) f : R2[x] → R3, f (aX 2 + bX + c) = (2a − b, c,3a), ın B
R2[x]c si BR
3
c .
(c) f : M(2, 1,R) → R1[x], f
a
b
= 2aX − 3b, ın B1 = {
1−1
,
20
} ⊂ M(2, 1,R), si
B2 = {−X + 5, 3} ⊂ R1[x].10. Verificati daca f : R2 → R
3, f (x1, x2) = (x1 + 3x2, 0,−2x1 − 6x2) este o aplicatie liniara.Scrieti matricea asociata lui f relativ la perechea de baze canonica din R
2 si B = {u1 = (0, 2, 0), u2 =(3, 0, 0), u3 = (0, 0, 1)} din R
3. Determinati Kerf si dim(Kerf ).11. Verificati daca urmatoarele functii sunt aplicatii liniare. In caz afirmativ determinati Ker(f ), Im(f ),
precum si dimensiunile lor. Precizati care dintre aplicatiile liniare sunt injective, respectiv surjective:(a) f : R3 → R
2, f (x1, x2, x3) = (x1 − x2 + 2x3, 2x1 + x2).(b) f : R2 → R
3, f (x1, x2) = (x1, 0, x1 + x2 − 3).(c) f : R1[x] → R
3, f (aX + b) = (a − 2b,−2a + 4b, 0).
(d) f : R3 → M(2, 1,R), f (x,y,z) =
x − y + z
2x + 3z
.
(e) f : M(3, 1,R) → R1[x], f
a
b
c
= (a + b + c)X + 5.
1
7/17/2019 Setul_2
http://slidepdf.com/reader/full/setul2 2/2
12. Fie f : R2 → R2 un operator liniar de forma f (x1, x2) = (5x1, 2x1 + 5x2). Scrieti matricea
asociata lui f ın baza canonica din R2. Determinati valorile si vectorii proprii ai lui f . Este f
diagonalizabil?
13. Fie f : R2[x] → R3 o aplicatie liniara care are ın perechea de baze canonice B
R2[x]c = {x2, x, 1}
si BR3
c = {e1 = (1, 0, 0), e1 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), }, matricea Af = 1 2 30 1 −1
1 3 2
.
Calculati imaginea polinomului p(X ) = X 2 − X + 3 prin f . Sa se determine Kerf , dim(Kerf ) sisa se precizeze daca f este injectiva ? Sa se gaseasca apoi expresia analitica a lui f .
14. Scrieti matricile asociate urmatoarelor aplicatii liniare ın perechile de baze indicate:(a) f : R3 → R
2, f (x1, x2, x3) = (x1 − x2, 2x1 + 3x2), ın BR3
c si B = {u1 = (2, 1), u2 = (3, 0)}.
(b) f : R2[x] → R3, f (aX 2 + bX + c) = (2a − b, c,3a), ın B
R2[x]c si BR
3
c .
(c) f : M(2, 1,R) → R1[x], f
a
b
= 2aX − 3b, ın B1 = {
1−1
,
20
} ⊂ M(2, 1,R), si
B2 = {−X + 5, 3} ⊂ R1[x]
15. Sa se discute, ın functie de parametrul real m, dimensiunea nucleului aplicatiilor liniare demai jos:
(a) f : R2 → R2, avand ın BR
2
c matricea Af =
m 3−3 m
;
(b) f : R3 → R3, avand ın BR
3
c matricea Af =
m + 5 1 −2
0 1 32 0 1
;
(c) f : R2 → R2, avand ın BR
2
c matricea Af =
m2 + m 2
1 1
;
16. Fie f : R2 → R3, f (x1, x2) = (x1 + x2,−x2, x1 + 2x2).
(a) Aratati ca f este o aplicatie liniara.
(b) Determinati Kerf si dimensiunea sa. Este f injectiva?(c) Determinati Imf si dimensiunea sa. Este f surjectiva?(d) Determinati matricea aplicatiei liniare relativ la perechea de baze (BR
2
c , BR3
c )(e) Determinati matricea aplicatiei liniare relativ la perechea de baze (B, B), unde B = {u1 =
(1,−1), u2 = (0, 2)}, respectiv B = {v1 = (−1, 2, 0), v2 = (0, 1,−1), v3 = (1, 0, 2)}.17. Sa se studieze daca urmatorii operatori liniari f i : R3 → R
3, (i = 1, 2, 3), definiti mai jos prinmatricile lor relativ la BR
3
c , sunt diagonalizabili. In caz afirmativ, determinati formele lor diagonalesi precizati, ın fiecare caz, o baza relativ la care au aceasta forma:
(a) Af 1 =
1 4 0
2 3 00 0 −1
; (b) Af 2 =
1 −2 1
2 1 31 1 2
; (c) Af 3 =
2 0 1
0 2 11 −1 2
;
18. Fie operatorul liniar f : R3 → R3 care are relativ la BR3
c matricea Af =
1 m 0
1 2 01 1 3
,m ∈ R.
(a) Sa se discute, ın funct ie de m, dimensiunea nucleului lui f . Cand este f injectiv?(b) Sa se calculeze imaginea vectorului x = (1, 5, 2) prin f , precum si preimaginea vectorului
y = (7, 7, 5) (notata f −1(7, 7, 5)) prin f . Ce structura algebrica are aceasta preimagine?(c) Sa se determine expresia analitica a lui f .(d) Pentru m = 0 s a se determine valorile si vectorii proprii ai operatorului liniar f . Este f
diagonalizabil? In caz afirmativ, determinati matricea sa diagonala si precizati o baza relativ la careare aceasta forma diagonala.
2
