Serii de timp

Seminar 11 Econometrie 12dec.2011

Analiza Seriilor de Timp - Aplicaie 1. Analizm seriile de timp economice ce trebuie studiate Considerm datele observate cu privire la 5 serii cronologice economice cu frecven trimestrial, n perioada anilor 1985-2006, un total de 88 observaii pentru fiecare serie de timp. Seriile sunt: Produsul Intern Brut (PIB), Venitul Personal Disponibil (VPD), Cheltuielile de Consum Personal (CCP), Profiturile i Dividendele. Valorile observate se afl n fiierul Excel cu numele Date Aplicatie 5 Serii Timp.xls. Un prim pas n analiza oricrei serii de timp este de a privi graficul valorilor observate n raport cu timpul. Figura 1 prezint graficele seriilor PIB, VPD, CCP, Profituri i Dividende.

Figura 1. Graficele seriilor de timp PIB, VPD, CCP, Profituri i Dividende. Prima impresie pe care o obinem din graficele seriilor este aceea c ele au o tendin cresctoare, dei trendul nu este neted, mai ales n cazul seriei Profiturilor. Se observ c media, variana i autocovarianele fiecrei serii nu par a fi invariante n raport cu timpul. Aceste serii sunt serii de timp nestaionare. 2. Testarea staionaritii seriei de timp, pe baza corelogramei Un test simplu al staionaritii seriei este bazat pe funcia de autocorelaie (ACF). Graficul funciei de autocorelaie n raport cu decalajul k, se numete corelogram. Mai jos avem corelograma seriei cu date trimestriale privind PIB-ul , realizat n EViews. Cum interpretm corelograma? Observm c ncepe cu valori foarte mari (0,969 la lag-ul 1) i scade treptat. Chiar la lag-ul 14, coeficientul de autocorelaie are o valoare destul de mare (0,5). Acest tip de corelogram reprezint un indiciu c seria este nestaionar. Deci, pentru serii nestaionare coeficienii de autocorelaie scad foarte ncet. Prin contrast, dac un proces stochastic este pur aleator, autocorelaia la orice lag 0>k , va fi zero. Semnificaia statistic a oricrui coeficient de autocorelaie de selecie 0 kkkr == poate fi apreciat prin eroarea sa standard. Bartlett a artat c, dac o serie de timp este pur aleatoare, coeficienii de

autocorelaie de selecie sunt aproximativ normal distribuii, cu media 0 i variana n/1 , unde n este volumul seleciei. )/1,0(~ nNk .

Putem determina un interval de ncredere 95% n care se afl k .

))(*96,1);(*96,1( kkk sese , deci )/1*96,1;/1*96,1( nnk .

n exemplul dat, deoarece n=88, variana lui k este 1/88, iar eroarea standard este 1066,088/1 = .

Conform proprietilor distribuiei normale standard, intervalul de ncredere 95% pentru orice k va fi

2089,0)1066,0(96,1 = . Astfel, dac un k estimat se afl n intervalul )2089,0;2089,0( , nu respingem ipoteza c

k real este zero. Dac k estimat se afl n afara intervalului )2089,0;2089,0( , atunci putem respinge ipoteza c

k real este zero. Intervalul de ncredere 95% este marcat prin dou linii punctate. n corelogram se observ c toi coeficienii

k pn la decalajul 23 sunt semnificativi statistic, adic sunt statistic diferii de 0. Pentru a testa ipoteza c toi coeficienii de autocorelaie sunt simultan nuli, folosim statistica Ljung-Box:

( ) 21

2

~

2 mm

k

k

knnnLBQ

=

+== .

0 toti:0 =kH (seria este staionar) 0exista:1 kH (seria este nestaionar)

n seleciile de volum mic, statistica Q s-a dovedit a avea proprieti mai bune dect statistica Q . Pentru seria de date PIB, statistica Q bazat pe 25 de decalaje are valoarea 891, deci este semnificativ

diferit de 0; probabilitatea de a obine o astfel de valoare 2 este zero. Concluzia este c nu toi coeficienii

k sunt zero. Deci concluzia final, bazat pe corelogram, este c seria de timp PIB este nestaionar.

3. Testul pentru staionaritate sau pentru o rdcin egal cu 1

ttt yy += 1 Dac 1= , spunem c variabila ty are o rdcin unitar.

ttttt yyy +=+= 11)1( Ipoteza de rdcin unitar-Unit Root

0H : seria are rdcin unitar i este nestaionar

1H : seria este staionar

Testul Dickey-Fuller(Unit Root Test) Dac 1= sau 0= , atunci seria nu este staionar. Dac 1 respingem 0H i acceptm c seria este staionar. Dac |||| crtcalc < acceptm c seria este nestaionar. Dickey i Fuller au propus trei ecuaii de regresie diferite i) ttt yy += 1 ii) ttt yy ++= 1 iii) ttt tyy +++= 1 Dac 0= , seria conine o rdcin egal cu 1. Pentru a permite posibilitatea de a exista o corelaie serial n t folosim testul ADF. Testul ADF include termeni AR(p) ai termenului ty n cele trei modele alternative. Dac termenul eroare este autocorelat,

ultimul din cele trei modele va fi: t

p

i

ititt ytyy ++++= =

1

1 .

n cazul cnd avem intercepie dar nu avem trend obinem:

andreea.bejenaruHighlight


Am obinut urmtoarele rezultate:

11 3197,00033,07190,28 += ttt PIBPIBIBP t = (1,2143) (-0,5472) (3,0888) R2=0,1047 DW=d=2,0405 Pentru scopul nostru este important statistica t ( =tau) a variabilei PIBt-1. Ipoteza nul este c 0= , echivalent cu 1= , sau exist o rdcin unitar. Pentru modelul nostru, valorile critice sunt -3,508326, -2,895512 i -2,584952, corespunztoare nivelurilor de semnificaie de 1%, 5% i 10%. Valoarea calculat pentru statistica este -0,547205, care n valoare absolut este mai mic dect valorile critice. Nu putem respinge ipoteza nul, c exist o rdcin unitar, deci seria PIB este nestaionar. n cazul cnd avem intercepie i trend obinem urmtoarele rezultate:

11 355794,0078661,0892199,19729,234 ++= ttt PIBPIBtIBP t = (2,383391) (2,152260) (-2,215287) (3,464708) R2=0,152615 DW=d=2,085875 Pentru scopul nostru este important statistica t ( =tau) a variabilei PIBt-1. Ipoteza nul este c 0= , echivalent cu 1= , sau exist o rdcin unitar. Pentru modelul nostru, valorile critice sunt -4,06829, -3,462912 i -3,157836, corespunztoare nivelurilor de semnificaie de 1%, 5% i 10%. Valoarea calculat pentru statistica este -2,215287, care n valoare absolut este mai mic dect valorile critice. Nu putem respinge ipoteza nul, c exist o rdcin unitar, deci seria PIB este nestaionar.

4. Seria de timp PIB devine serie staionar dup aplicarea operatorului de difereniere Pentru a aplica operatorul de difereniere, n EViews scriem: series DPIB=D(PIB) Pentru seria transformat realizm graficul i comparm graficul seriei PIB cu cel al seriei DPIB. Seria difereniat, DPIB nu mai prezint trend.

Am aplicat testul ADF seriei difereniate i am obinut urmtoarele rezultate:

1682762,000498,16 = tt DPIBIBPD t = (3,640211) (-6,630339) R2=0,343552 DW=d=2,034425 Pentru modelul nostru, valoarea calculat pentru statistica este -6,630339, care n valoare absolut este mai mare dect valorile critice. Respingem ipoteza nul, c exist o rdcin unitar, deci seria difereniat, DPIB, este o serie staionar. 5. Serii nestaionare de tip DS (Difference-Stationarity) i de tip TS (Trend-Stationarity). Datele de tip serii cronologice, de foarte multe ori, tind s se modifice n aceeai direcie, din cauza trendului care este comun tuturor. Cum putem ti dac trendul dintr-o serie precum PIB este determinist sau stochastic?


Dac o serie de timp are o rdcin unitar, atunci seria prezint un trend stochastic i este de tip DS. Trendul de tip stochastic se elimin prin calculul diferenelor de ordinul 1 sau de ordin 2 .

1= ttt yyy , 21211112 2)()())( +==== tttttttttttt yyyyyyyyyyyy .

O variabil cu trend determinist poate deveni staionar introducnd variabila timp n orice regresie a sa, sau efectund o regresie preliminar n raport cu timpul i scznd trendul estimat din valorile variabilei. Care este semnificaia practic a celor dou tipuri de procese? Din punctul de vedere al prognozelor, prediciile pe termen lung, efectuate din procese TS sunt mai de ncredere, comparativ cu cele efectuate prin procese DS. Prezena unui trend stochastic arat c fluctuaiile din acea serie de timp sunt rezultatul unor ocuri asupra componentei de trend. ocurile sau perturbaiile aplicate seriilor de tip DS vor afecta permanent nivelul acestora. 6. Regresii ndoielnice sau aparente Ne propunem s regresm Cheltuielile de Consum Personal (CCP) n raport cu Venitul Personal Disponibil (VPD), pentru a determina legtura dintre cele dou variabile. Am obinut urmtoarele rezultate:

Avem R2 = 0,994, deci foarte aproape de 1, iar nclinaia marginal spre consum este pozitiv i panta este semnificativ. Singura problem o ridic statistica D-W. Dac R2>DW, exist suspiciunea c regresia este ndoielnic. Dac efectum testul Dickey-Fuller pentru fiecare din cele dou serii (CCP i VPD) gsim c fiecare are o rdcin unitar, adic sunt serii nestaionare. Difereniem aceste dou serii i obinem seriile staionare CCP i VPD. Deoarece seriile CCP i VPD sunt staionare, este bine s regresm CCP n raport cu VPD? Rspunsul este NU!, deoarece, lund diferenele de ordinul nti ale seriilor, putem pierde relaia pe termen lung dintre variabile, relaie care este dat prin nivelurile variabilelor. O teorie economic este stabilit ca o relaie pe termen lung ntre variabilele date sub form de niveluri i nu sub form de diferene de ordinul nti. i n acest caz particular, nivelul consumului este funcie de nivelul venitului; relaia nu este enunat n termeni de diferene de ordinul 1 ale acestor variabile. Din graficele celor dou serii se vede c, dei au o tendin cresctoare stochastic, totui, cele dou serii par a se modifica mpreun, n acelai ritm, fiind pe aceeai lungime de und. Cele dou serii sunt serii cointegrate. Combinaia liniar a celor dou serii CCP i VPD ar putea fi staionar. Putem scrie modelul:

ttt VPDCCP 21 = . Gsim c )0(~ It sau staionar. n concluzie, dac reziduurile, dintr-o regresie cu date serii de timp, reprezint o serie I(0), adic staionar, metodologia de regresie clasic, ce include testele t i F, este valabil i aplicabil i datelor de tip serii


cronologice. O asfel de regresie se numete regresie de cointegrare, iar parametrul 2 este numit parametru de cointegrare. Pentru a testa cointegrarea putem folosi dou metode: 1) aplicm unul din testele DF sau ADF seriei reziduurilor estimate din regresia de cointegrare. 2) testul Durbin-Watson din regresia de cointegrare (CRDW). Numim Serii cointegrate seriile integrate de acelai ordin, ce admit o combinaie liniar care este I(0) sau integrat de un ordin mai mic dect ordinul de integrare al seriilor iniiale. Estimarea unui model de regresie cu serii cronologice nestaionare, prin MCMMP, duce la valori foarte mari att ale coeficientului de determinaie, ct i ale statisticilor t, chiar dac nu exist nici o relaie ntre variabile. Granger i Newbold au sugerat urmtoarea regul de a stabili regresiile ndoielnice: dac

DWR >2 sau 12 R , atunci regresia este una ndoielnic (spurious regression). Revenim la modelul

ttt VPDCCP ++= 21 . Estimaiile modelului sunt n ultimul tabel EViews. Aplicm reziduurilor obinute din aceast regresie testul DF de rdcin unitar. Am obinut rezultatele urmtoare:

12753,0 = tt 142205,02 =R

t = (-3,7791) Deoarece valoarea absolut a statisticii este 3,7791 i este mai mare dect valorile critice (-2,5918, -1,9446 i -1,6143, corespunztoare nivelurilor de semnificaie de 1%, 5% i 10%), concluzia ar fi c seria reziduurilor este staionar, adic nu exist rdcin unitar. Rezult c seriile CCP i VPD sunt cointegrate. 7. Cointegrarea i mecanismul de corectare utiliznd erorile Am artat c seriile CCP i VPD sunt cointegrate, adic exist o relaie de echilibru pe termen lung ntre ele. Desigur c, pe termen scurt ar putea exista dezechilibru. Se poate trata termenul eroare

ttt VPDCCP 21 = ca eroarea de echilibru. Se poate folosi acest termen eroare pentru a pune n legtur comportamentul pe termen scurt al lui CCP cu valoarea lui pe termen lung. Folosim modelul

tttt VPDCCP +++= 1210 .

1 t este estimaia empiric a termenului eroare de echilibru. Aceast ultim regresie leag modificarea din CCP de modificarea din VPD i eroarea de echilibru din perioada anterioar. n aceast regresie VPD capteaz perturbaiile pe termen lung din VPD, iar termenul 1 t capteaz ajustarea ctre echilibrul

pe termen lung. Dac 2 este semnificativ statistic, el arat ce proporie a dezechilibrului din CCP ntr-o perioad, este corectat n perioada urmtoare.

10867,02906,069183,11 += ttt VPDPCC t = (5,324936) (4,171715) (-1,600311)

R2=0,171727, DW=d=1,923381 Aceste rezultate arat c modificrile pe termen scurt din VPD au efect pozitiv semnificativ asupra CCP i c 0,0867 din discrepana dintre valoarea actual i cea de echilibru, sau pe termen lung, a lui CCP este eliminat sau corectat pe fiecare trimestru. Dar, pentru c p-value pentru coeficientul 2 este 0,1133, acest coeficient nu este semnificativ. Dac privim regresia de cointegrare, nclinaia marginal spre consum era 0,96725, care sugereaz c exist practic o relaie unu la unu ntre CCP i VPD i c CCP se ajusteaz la creterea pe termen lung destul de rapid, urmnd o perturbaie.


Procedee de staionarizare Cum inducem staionaritatea n medie? -Prin diferene de ordinul 1 sau 2. -Prin difereniere sezonier. De exemplu dac ACF la lagul 12 tinde foarte greu la 0, avem o sezonalitate de ordinul 12 i vom calcula diferene de ordinul 12: 12 tt YY Cum inducem staionaritatea n dispersie? -Dac dispersia seriei iniiale nu este constant, atunci seria se logaritmeaz. -Dac i dup logaritmare exist un trend n date, se iau diferene de ordinul 1. Atenie: NU se logaritmeaz dup ce s-au efectuat diferene de ordinul 1. Exemplul 2. Se consider 2 variabile economice cu date pe 25 perioade. vt 1 4 2 2 5 5 3 3 1 4 4 3 3 5 4 4 4 1 3 3 3 3 1 2 2 zt 1 1 2 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 6 5 6 6 7 8 8 Coeficienii de autocorelaie obinui pentru k=1,2,3 sunt: -pentru seria vt: r1=0,1053; r2= -0,0526; r3=0. -pentru seria zt: r1=0,08302; r2=0,6887; r3=0,5755. S se caracterizeze seriile prin prisma testelor: Bartlett, Box-Pierce, Ljung-Box i Dickey-Fuller. Bartlett a artat c, dac o serie de timp este pur aleatoare, coeficienii de autocorelaie de selecie sunt aproximativ normal distribuii, cu media 0 i variana n/1 , unde n este volumul seleciei. )/1,0(~ nNk . Putem determina un interval de ncredere 95% n care se afl k .

))(*96,1);(*96,1( kkk sese , deci )/1*96,1;/1*96,1( nnk .

n exemplul dat, deoarece n=25, variana lui k este 1/25, iar eroarea standard este 25/1 . Conform proprietilor distribuiei normale standard, intervalul de ncredere 95% pentru orice k va fi

)392,0;392,0( . Astfel, dac un k estimat se afl n intervalul )392,0;392,0( , nu respingem ipoteza

c k real este zero. Dac k estimat se afl n afara intervalului )392,0;392,0( , atunci putem respinge ipoteza c k real este zero. Pentru seria vt: toi rk sunt n interiorul intervalului. Seria este aleatoare. Pentru seria zt: toi rk sunt n afara intervalului Testm ipoteza c toi coeficienii de autocorelaie sunt simultan nuli:

0 toti:0 =kH (seria este staionar) 0exista:1 kH (seria este nestaionar, folosim statisticile Box-Pierce i Ljung-Box:

2

1

2 ~ mm

k

kBP nQQ =

==

( ) 21

2

~

2 mm

k

k

knnnLBQ

=

+== .

Pentru vt: Q =0,3463 iar Q=0,3929. Ambele sunt mai mici dect 815,72 3;05,0 = . Seria este staionar.

Pentru zt: Q =37,3685 iar Q=43,464. Ambele sunt mai mari dect 815,72 3;05,0 = . Seria este nestaionar. Testul Dickey-Fuller aplicat seriei Zt pentru ecuaia ttt ztz +++= 121 Dac 02 = i 1= avem proces nestaionar de tip DS. Dac 1||

Serii de timp

Documents

Transcript of Serii de timp