Algebra

Conf. dr. Rodica Ioan

Asist. drd. Vlad Copil

Cuprins

Tema 1. Elemente de teoria multimilor. Functii 1

Tema 2. Clase de echivalenta. Multime factor 7

Tema 3. Legi de compozitie. Semigrupuri 11

Tema 4. Grupuri 17

Bibliograe 21

iii

TEMA 1

Elemente de teoria multimilor. Functii

Definitia 1.1. Pentru orice multimeM submultimile sale formeaza

o multime numita multimea partilor lui M , notata cu P(M).

Avem

N 2 P(M), N M:

si

(8)M ) ; 2 P(M) si M 2 P(M):

Pentru orice doua multimi M si N se denesc

reuniunea - M [N = fxjx 2M sau x 2 Ng

intersectia - M \N = fxjx 2M si x 2 Ng

Definitia 1.2. Fie 6= ; si M 2 P(M). Se numeste complemen-

tara lui M ^n raport cu multimea

M =M

C

= fxjx 2 si x 62Mg:

Proprietati:

1) M \M = ;.

2) M [M = .

Relatiile lui De Morgan fac legatura ^ntre "\", "[" si trecerea la

complementara:

A [B = A \B

A \B = A [B

pentru orice A;B 2 P().

Definitia 1.3. Fie A;B 2 P(). Se deneste diferenta lor

AB = fxjx 2 A si x 62 Bg = A \B:

Proprietatile reuniunii si intersectiei de multimi

^

In cele ce urmeaza vom considera A;B;C multimi oarecare din

P().

comutativitate

A \B = B \ A

A [B = B [ A

asociativitate

(A \B) \ C = A \ (B \ C)

(A [B) [ C = A [ (B [ C)

1

2 1. ELEMENTE DE TEORIA MULTIMILOR. FUNCTII

distributivitate

A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C)

A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C)

element neutru

- ; pentru "[": A [ ; = ; [ A = A;

- pentru "\": A \ = \ A = A.

Ex. 1.4. Fie M = fa; b; c; dg. Sa se descrie P(M). Ca^te elemente

are P(M)?

Demonstratie. P(M) contine urmatoarele multimi

- ; ^n numar de 1 = C

0

4

;

- fag; fbg; fcg; fdg ^n numar de 4 = C

1

4

;

- fa; bg; fa; cg; fa; dg; fb; cg; fb; dg; fc; dg ^n numar de 6 = C

2

4

;

- fa; b; cg; fa; b; dg; fa; c; dg; fb; c; dg ^n numar de 4 = C

3

4

;

- fa; b; c; dg ^n numar de 1 = C

4

4

.

^

In total, ^n P(M) sunt

C

0

4

+ C

1

4

+ C

2

4

+ C

3

4

+ C

4

4

= (1 + 1)

4

= 2

4

elemente.

Ex. propus 1.5. Fie M o multime cu n elemente. Ca^te elemente

are P(M)?

Ex. 1.6. Se considera multimile A;B;C 2 P(). Sa se demon-

streze relatiile:

a) A [B = A [ (B \ A);

b) [(A [B) \ (A [B)] [ [(A [B) \ (A [B)] = ;

c) A (B \ C) = (AB) [ (A C).

Demonstratie. a) Vom prelucra membrul drept al relatiei

E

2

= A [ (B \ A) = (A [B) \ (A [ A) = (A [B) \ = A [B:

b) Vom ^ncepe prin a studia expresiile care apar ^n membrul sta^ng.

Astfel, tina^nd cont de proprietatea de distributivitate, avem:

(A [B) \ (A [B) = A [ (B \B) = A [ ; = A

si respectiv

(A [B) \ (A [B) = A [ (B \B) = A [ ; = A;

deci membrul sta^ng devine

E

1

= A [ A = :

c)Vom ^ncepe prin a studia expresiile care apar ^n membrul sta^ng.

Vom aplica denitia diferentei de multimi si formulele lui De Morgan:

A(B\C) = A\(B \ C) = A\(B[C) = (A\B)[(A\C) = (AB)[(AC):

1. ELEMENTE DE TEORIA MULTIMILOR. FUNCTII 3

Ex. propus 1.7. Se considera multimile A;B;C;D 2 P(). Sa se

demonstreze relatiile:

a) (A \B) [ (C \D) = (A [B) \ (C [D);

b) [A (A \B)] [B = A [B;

c) A [B = (A \B) [ (A \B) [ (A \B);

d) A \B = (A [B) \ (A [B) \ (A [B);

e) A (A (B (B C))) = A \B \ C.

Definitia 1.8. Fie A o multime nita. Numarul elementelor lui A

se numeste cardinalul lui A si se noteaza jAj.

Ex. propus 1.9. Fie multimile (A

i

)

i=1;n

. Sa se demonstreze prin-

cipiul includerii si al excluderii:

n

[

i=1

A

i

=

n

X

i=1

jA

i

j

X

16i

4 1. ELEMENTE DE TEORIA MULTIMILOR. FUNCTII

Consider ^n continuare numarul b din [0; 1] a carui scriere ca fractie

zecimala este b = 0; b

1

b

2

b

3

: : : unde aleg b

1

6= a

11

, b

2

6= a

22

s.a.m.d,

dar nu alegem toti b

i

sa e 9. Atunci numarul b astfel ales nu este a

1

pentru ca are prima sa zecimala diferita de prima zecimala a lui a

1

; b

nu este nici a

2

pentru ca a doua zecimala a sa este diferita de cea de-a

doua zecimala a lui a

2

s.a.m.d. Prin urmare b 62 (a

n

)

n2N

ceea ce este

^n contradictie cu faptul ca b 2 [0; 1].

Prin urmare presupunerea facuta este falsa, deci [0; 1] (si ^n conse-

cinta nici R) nu este numarabil.

Definitia 1.12. O functie f : X ! Y este injectiva daca si numai

daca pentru orice x

1

; x

2

2 X, x

1

6= x

2

rezulta ca f(x

1

) 6= f(x

2

).

Negarea injectivitatii: f nu este injectiva , exista x

1

; x

2

2 X,

x

1

6= x

2

astfel ^nca^t f(x

1

) = f(x

2

).

Definitia 1.13. O functie f : X ! Y este surjectiva daca si numai

daca f(X) = Y .

Negarea surjectivitatii: f nu e surjectiva daca f(X) 6= Y . Cum

^ntotdeauna f(X) Y , rezulta ca f nu e surjectiva ca^nd incluziunea

este stricta. Adica f nu este surjectiva ca^nd exista y 2 Y astfel ^nca^t

pentru orice x 2 X sa avem f(x) 6= y.

Definitia 1.14. O functie f : X ! Y este bijectiva daca este

injectiva si surjectiva.

Ex. 1.15. Fie f(x) = 2x, g(x) = x

2

, f : Z ! Z, g : Z ! Z.

Sa se arate ca f si g nu sunt bijective. Ce se poate spune despre

f; g : Q! Q?

Demonstratie.

^

Intr-adevar, f : Z! Z nu e bijectiva caci nu este

surjectiva, caci exista y 2 Z care nu este dublul niciunui numar ^ntreg

(se poate alege orice numar impar).

^

In ceea ce priveste f : Q! Q, aceasta este bijectiva. Pentru orice

x

1

; x

2

2 Q cu proprietatea ca f(x

1

) = f(x

2

) ) 2x

1

= 2x

2

) x

1

= x

2

,

deci f e injectiva. f este si surjectiva caci pentru orice y 2 Q exista

x 2 Q, x =

y

2

astfel ^nca^t f(x) = y.

Ca^t despre g : Z ! Z si respectiv g : Q ! Q, aceste functii nu

sunt bijective caci nu sunt surjective, deoarece exista numere ^ntregi,

respectiv rationale ce nu sunt patratul unui numar ^ntreg, respectiv

rational.

Ex. 1.16. Sa se determine ca^te elemente are multimea

M =

xj x =

n

2

+ 2

n

2

n+ 2

; n = 1; 100

:

Demonstratie. De fapt trebuie sa vedem ca^te valori distincte ia

functia f : A! R, unde A = f1; 2; : : : ; 100g si f(n) =

n

2

+2

n

2

n+2

.

1. ELEMENTE DE TEORIA MULTIMILOR. FUNCTII 5

Daca f este injectiva, atunci ia numai valori distincte, deci M are

100 de elemente.

Daca f nu este injectiva, atunci exista n

1

6= n

2

, n

1

; n

2

2 A pentru

care f(n

1

) = f(n

2

), caz ^n care M are mai putin de 100 de elemente.

Studiem situatiile m 6= n, m;n 2 A pentru care f(m) = f(n).

^

In

acest caz avem:

m

2

+ 2

m

2

m+ 2

=

n

2

+ 2

n

2

n+ 2

;

de unde prin calcul rezulta (m n)(mn 2) = 0, adica mn 2 = 0

(pentru ca m 6= n). Ava^nd ^n vedere faptul ca m;n 2 A rezulta ca

m;n 2 f1; 2g.

Prin urmare M are 99 de elemente.

TEMA 2

Clase de echivalenta. Multime factor

Definitia 2.1. Fie o relatie binara ^n A. se numeste relatie de

echivalenta daca este reexiva, simetrica si tranzitiva.

Ex. 2.2. Fie A multimea studentilor unei facultati la un moment

dat.

Atunci A A reprezinta multimea perechilor de studenti din fac-

ultatea considerata.

^

Intruca^t un student poate sa faca parte dintr-o

singura grupa, putem considera relatia binara data de

G = f(x; y)j studentul x si studentul y sunt colegi de grupag:

Sa se demonstreze ca relatia binara denita de G este o relatie de

echivalenta.

Demonstratie.

^

Intr-adevar studentul x este coleg cu el ^nsusi,

deci relatia este reexiva.

Daca x este coleg cu y, atunci si y este coleg cu x, deci relatia este

simetrica.

Daca x si y sunt colegi de grupa si respectiv y si z sunt colegi de

grupa, atunci si x este coleg cu z, prin urmare relatia este si tranzitiva.

Ex. 2.3. Fie A multimea tuturor triunghiurilor din plan, pe care

se deneste relatia binara data de

G = f(T

1

; T

2

) 2 A Aj T

1

este asemenea cu T

2

g:

Sa se demonstreze ca relatia de asemanare a triunghiurilor este o relatie

de echivalenta.

Demonstratie. Vom folosi notatia uzuala pentru asemanarea tri-

unghiurilor si anume "". Avem

T T pentru orice T 2 A;

T

1

T

2

) T

2

T

1

;

daca T

1

T

2

si T

2

T

3

atunci T

1

T

3

.

Ex. 2.4. Pe multimea numerelor rationale Q denim o relatie bi-

nara prin

G = f(x; y) 2 QQjx y 2 Zg:

Sa se demonstreze ca este relatie de echivalenta.

7

8 2. CLASE DE ECHIVALENT

A. MULTIME FACTOR

Demonstratie. Vom nota faptul ca (x; y) 2 G cu x y. Astfel:

x x pentru orice x 2 Q, deoarece x x = 0 2 Z;

x y ) y x pentru ca daca x y 2 Z rezulta ca

y x = (x y) 2 Z ;

trebuie sa aratam ca daca x y si y z, atunci x z.

^

Intr-adevar,

daca x y 2 Z si y z 2 Z, atunci

x z = (x y) + (y z) 2 Z:

Definitia 2.5. Multimea tuturor claselor de echivalenta se numeste

multimea factor a lui A prin relatia de echivalenta si se noteaza A=.

^

Impartirea multimii A ^n clase de echivalenta se numeste factoriza-

rea multimii A prin relatia de echivalenta .

bx = fy 2 Aj x yg:

Obs. 2.6.

^

In exercitiul 2.2 am aratat caG era o relatie de echivalenta.

Daca x reprezinta un anumit student atunci bx este submultimea

tuturor studentilor facultatii care sunt colegi de grupa cu x. Deci A=G

este alcatuita din grupele facultatii respective, ^nsensul de submultimi

de studenti (evident doua grupe sunt distincte).

Ca submultimi de reprezentanti putem alege de exemplu, primii

studenti in ordine alfabetica din ecare grupa sau sei de grupa, etc.

Submultimile de reprezentanti se pot alcatui dupa diverse criterii.

Ex. 2.7. Fie pe Z urmatoarele relatii binare:

1) < ;

2) 6;

3) relatia de divizibilitate;

4) relatia de divizibilitate reciproca, denitastfel: m n daca si nu-

mai daca mjn si njm (cu j am notat relatia de divizibilitate obisnuita).

Care dintre aceste relatii este o relatie de echivalenta? sa se scrie

multimea factor si sa se precizeze o submultime de reprezentanti.

Demonstratie. Relatia < nu e reexiva; 6 si j nu sunt sime-

trice Prin urmare relatiile binare de la 1), 2) si 3) nu sunt relatii de

echivalenta.

Relatia de divizibilitate reciproca este reexiva, simetrica si tranz-

itiva, deci este relatie de echivalenta.

Daca m n, iar m;n 2 Z, atunci m = n adica ecare clasa

bn = fn;ng, cu exceptia clasei

b

0 care este formata doar din 0.

Multimea factor este

Z= = ff0g; f1;1g; f2;2g; : : : ; fn;ng; : : :g :

2. CLASE DE ECHIVALENT

A. MULTIME FACTOR 9

O submultime de reprezentanti este de exemplu

f0; 1; 2; : : : ; n; : : :g :

Ex. 2.8. Pe N se deneste relatia binara dupa cum urmeaza:

m n, jm nj e multiplu de 2:

Sa se demonstreze ca este o relatie de echivalenta.

Demonstratie. Avem jm mj = 0 = 0 2 pentru orice m 2 N,

deci este reexiva.

^

Intruca^t jm nj = jnmj pentru orice m;n 2 N, rezulta ca este

simetrica.

Rama^ne sa aratam ca este tranzitiva. Pentru aceasta, sa pre-

supunem ca m n si n p. Atunci exista k; h 2 N astfel ^nca^t

jm nj = 2k si jn pj = 2h. Distingem mai multe cazuri:

Cazul I. Daca m > n si n > p, atunci jm nj = m n = 2k si

respectiv jn pj = n p = 2h, de unde prin adunarea acestor relatii

obtinem jm pj = 2(k + h), deci m p.

Cazul II. Daca m > n si n 6 p, atunci jm nj = m n = 2k si

respectiv jn pj = p n = 2h, de unde prin scaderea acestor relatii

obtinem jm pj = 2jk hj, deci m p.

Celelalte doua cazuri (m 6 n ^ n 6 p si m 6 n ^ n > p) se

trateaza analog; prin urmare este si tranzitiva, deci este relatie de

echivalenta.

Ex. 2.9. Fie f : R ! R, f(x) = 2x

4

si g : R ! R, g(x) = x

2

1.

Sa se arate ca f si g denesc aceeasi relatie de echivalenta pe R.

Demonstratie. Avem x

1

f

x

2

, f(x

1

) = f(x

2

), adica 2x

4

1

=

2x

4

2

de unde x

2

= x

1

; deci ecare clasa de echivalenta este formata

din elementele x si x: bx = fx;xg.

^

In ceea ce priveste functia g, avem x

1

g

x

2

, g(x

1

) = g(x

2

). Mai

precis x

2

1

1 = x

2

2

1, de unde x

2

= x

1

.

Deci cele doua relatii coincid.

TEMA 3

Legi de compozitie. Semigrupuri

Definitia 3.1. FieM 6= ; si o operatie peM . Un element a 2M

se numeste idempotent daca a a = a.

Ex. 3.2. Fata de adunarea din N;Z;Q;R elementul 0 este singurul

element idempotent.

Fata de ^nmultirea din N;Z;Q;R elementul 1 este singurul element

idempotent.

Fie M 6= ;, o operatie pe M si a; b; c 2M .

Evident, daca b = c, atunci avem a b = a c si b a = c a. Nu

putem arma ca si reciproca este adevarata. De exemplu: ^n Z din

0 b = 0 c nu rezulta ca b = c.

Definitia 3.3. Daca din a b = a c ) b = c spunem ca a este

regulat la sta^nga pentru legea de compozitie .

Definitia 3.4. Daca din b a = c a ) b = c spunem ca a este

regulat la dreapta pentru legea de compozitie .

Definitia 3.5. Elementul a 2 M se numeste regulat pentru legea

de compozitie "*" daca este regulat la sta^nga si la dreapta pentru

operatia "*".

Obs. 3.6. Elementul neutru (ca^nd exista) este ^ntotdeauna regulat.

Ca^nd toate elementele unei multimi M sunt regulate la sta^nga/

regulate la dreapta/ regulate fata de operatia "*" se spune ca legea de

compozitie respectiva admite regula de simplicare la sta^nga/ regula

de simplicare la dreapta/ simplicare.

Definitia 3.7. Fie multimea M 6= ;, dotata cu doua legi de com-

pozitie comutative si . Spunem ca este valabila proprietatea de

absorbtie pentru cele doua legi de compozitie daca pentru orice a; b 2M

avem

(a b) a = a si (a b) a = a:

Obs. 3.8. Proprietatea de absorbtie nu este adevarata pentru

adunarea si ^nmultirea din N;Z;Q, dar este adevarata pentru reuniunea

si intersectia multimilor.

Definitia 3.9. Se considera multimile nevideM si N cu operatiile

"*" si "". Introducem pe M N operatia ? (produsul cartezian al

11

12 3. LEGI DE COMPOZIT IE. SEMIGRUPURI

operatiilor "*" si "") denita prin

(a; x) ? (b; y) = (a b; x y);

unde a; b 2M si x; y 2 N .

Ex. 3.10. Sa se demonstreze ca daca operatiile "*" si "" sunt

asociative, atunci si operatia "?" este asociativa.

Demonstratie. Trebuie sa aratam ca pentru orice (a; x); (b; y); (c; z) 2

M N avem

[(a; x) ? (b; y)] ? (c; z) = (a; x) ? [(b; y) ? (c; z)]:

^

Intr-adevar

[(a; x) ? (b; y)] ? (c; z) = (a b; x y) ? (c; z) = ((a b) c; (x y) z);

iar

(a; x) ? [(b; y) ? (c; z)] = (a; x) ? (b c; y z) = (a (b c); x (y z)):

T ina^nd cont de asociativitatea operatiilor "*" si "", va rezulta ca

"?" este asociativa.

Ex. 3.11. Sa se demonstreze ca daca operatiile "*" si "" au ele-

ment neutru, atunci si operatia "?" are element neutru.

Demonstratie. Fie e si " elementele neutre pentru operatiile "*"

si "". Deci a e = e a = a pentru orice a 2 M si respectiv x " =

" x = x pentru orice x 2 N .

^

In continuare vom arata ca (e; ") 2 M N este elementul neutru

pentru operatia "?".

^

Intr-adevar

(a; x) ? (e; ") = (a e; x ") = (a; x)

si

(e; ") ? (a; x) = (e a; " x) = (a; x):

Ex. 3.12. Pe Z se deneste legea de compozitie

a b =

(

0; daca 2j(a+ b)

1; daca 2 - (a+ b)

Sa se arate ca legea "*" este comutativa si asociativa. Are element

neutru?

Demonstratie. Operatia este comutativa deoarece din "2j(a +

b)) 2j(b+ a)" si respectiv "2 - (a+ b)) 2 - (b+ a)", deci a b = b a

pentru orice a; b 2 Z.

Cu alte cuvinte legea "*" este

a b =

(

0; daca a+ b par

1; daca a+ b impar

3. LEGI DE COMPOZIT IE. SEMIGRUPURI 13

Avem

(a b) c =

(

0; daca a+ b+ c par

1; daca a+ b+ c impar

si

(a b) c =

(

0; daca b+ c+ a par

1; daca b+ c+ a impar

Deci (a b) c = a (b c) pentru orice a; b; c 2 Z, adica "*" este

asociativa.

Operatia '*' nu are element neutru deoarece, de exemplu, 10x 6= 10

pentru orice x 2 Z.

Ex. 3.13. Fie multimea M = Z Z pe care se deneste operatia

"*":

(a; b) (a

0

; b

0

) = (aa

0

; ab

0

+ ba

0

); pentru orice (a; b); (a

0

; b

0

) 2M:

Sa se studieze asociativitatea, comutativa si existenta elementului

neutru.

Demonstratie. Avem:

[(a; b) (c; d)] (e; f) = (ac; ad+ bc) (e; f) =

= (ace; acf + ade+ bce)

si

(a; b) [(c; d) (e; f)] = (a; b) (ce; cf + de)

= (ace; acf + ade+ bce);

deci legea e asociativa.

Legea este si comutativa, caci

(a; b) (c; d) = (ac; ad+ bc) = (ca; cb+ da) = (c; d) (a; b):

Rama^ne de studiat existenta elementului neutru.

Din conditia

(e; e

0

) (a; b) = (a; b) (e; e

0

) = (a; b) pentru orice (a; b) 2M

rezulta (ea; eb + e

0

a) = (a; b). Adica e = 1 si e

0

= 0. Deci elementul

neutru pentru "*" este (1; 0) 2M .

Ex. 3.14. FieM o multime nevida, dotata cu legea de compozitie *.

Sa se arate ca daca legea de compozitie * admite regula de simplicare,

atunci tabla legii de compozitie * pe M nu contine pe o linie sau pe o

coloana elemente identice.

Demonstratie.

^

In tabla legii de compozitie elementul ab se aa

la intersectia liniei elementului a cu coloana elementului b.

Deci linia elementului a din tabla de compunere este formata din

elementele multimii fa xjx 2Mg.

14 3. LEGI DE COMPOZIT IE. SEMIGRUPURI

Presupunem prin absurd ca doua elemente de le linia lui a sunt

egale, adica ax = ay cu x 6= y. Se ajunge la o contradictie deoarece

aplica^nd regula de simplicare, din a x = a y ) x = y.

Pentru coloane se procedeaza analog.

Ex. 3.15. Fie M o multime nevida ^nzestrata cu operatia a b = b

pentru orice a; b 2M . Sa se studieze comutativitatea si asociativitatea

acestei operatii.

Demonstratie. Operatia nu este comutativa dacaM are cel putin

doua elemente, deoarece pentru a 6= b avem ab 6= ba ^ntruca^t ab = b

si b a = a. Daca M = fag atunci operatia este comutativa.

Operatia este asociativa, deoarece pentru orice a; b; c 2M avem

(a b) c = a (b c) = c:

Ex. 3.16. Pe multimea numerelor naturale N se deneste legea de

compozitie "*": m n = n

m

pentru orice m;n 2 N. Sa se demonstreze

ca "*" este distributiva la sta^nga fata de ^nmultirea numerelor naturale,

dar nu este distributiva la dreapta.

Demonstratie.

^

Intr-adevar, pentru orice m;n; p 2 N avem

m (n p) = (n p)

m

= n

m

p

m

= (m n) (m p);

dar ^n general

(n p) m = m

np

6= (n m) (p m) = m

n

m

p

= m

n+p

:

Definitia 3.17. Fie M 6= ; si o lege de compozitie pe M . Daca

legea este asociativa spunem ca (M; ) este semigrup.

Ex. 3.18. [2] Fie (M; ) un semigrup care admite regula de simpli-

care. Sa se arate ca M are cel mult un element idempotent.

Demonstratie. Fie a un element idempotent al lui M . Atunci,

conform denitiei avem a a = a. Deci pentru orice x 2 M vom avea

a a x = a x sau folosind asociativitatea a (a x) = a x, de unde

aplica^nd regula de simplicare avem a x = x, pentru orice x 2 M .

Proceda^nd similar obtinem ca x a = x, pentru orice x 2M .

^

In concluzie avem a x = x a = x, pentru orice x 2 M ; adica a

este element neutru fata de ^n M .

Presupunem ^n continuare ca ar mai exista un al doilea element

idempotent a 2 M . Rationa^nd ca mai sus va rezultat ca a este de

asemenea element neutru.

Atunci a a = a si a a = a (am folosit ca a si a sunt elemente

neutre), deci a = a.

^

In consecinta, elementul idempotent, daca exista, este unic.

3. LEGI DE COMPOZIT IE. SEMIGRUPURI 15

Ex. 3.19. Pe R se deneste legea de compozitie astfel

x y = xy + 7(x+ y) + 42

a) Sa se calculeze

p

2 (

p

2);

b) Sa se rezolve ecuatia x x x = x.

Demonstratie. a) Avem

p

2 (

p

2) =

p

2 (

p

2) + 7(

p

2 +

p

2) + 42 = 40 :

b) Putem scrie x y = (x+ 7)(y + 7) 7. Astfel

x x x = ((x+ 7)

2

7) x = (x+ 7)

2

(x+ 7) 7;

deci ecuatia xxx = x devine (x+7)

3

7 = x, (x+7)

3

= x+7,

(x + 7)((x + 7)

2

1) = 0 , (x + 7)(x + 6)(x + 8) = 0. Prin urmare

x 2 f6;7;8g.

Ex. 3.20. Fie M = [k;+1) R si k 2 R. Pe M se deneste legea

de compozitie astfel:

x y = xy k(x+ y) + k

2

+ k :

a) Sa se determine k astfel ^nca^t 2 3 = 2;

b) Pentru k determinat la punctul anterior sa se rezolve ^n M

ecuatia x x = 6.

Demonstratie. a) Avem 2 3 = 6 5k + k

2

+ k, deci conditia

devine k

2

4k + 4 = 0, de unde rezulta k = 2.

b) Pentru k = 2 legea de compozitie devine xy = xy2(x+y)+6.

Astfel ecuatia xx = 6 devine x

2

4x+6 = 6, x(x4) = 0. T ina^nd

cont de faptul ca trebuie sa rezolvam aceasta ecuatie ^n M = [2;+1),

determinam x = 4.

Ex. propus 3.21. Pe R se deneste legea de compozitie astfel

x y = 2xy 6x 6y + 21 :

a) Sa se calculeze x 3 si 3 x;

b) sa se stabileasca daca este asociativa;

c) sa se calculeze

p

1

p

2

p

3 : : :

p

2010.

Ex. propus 3.22. Pe R se deneste legea de compozitie astfel

x y = (x 4)(y 4) + 4 :

a) Sa se stabileasca daca admite element neutru;

b) sa se rezolve ecuatia x x x = x.

Ex. propus 3.23. Pe R se deneste legea de compozitie astfel

x y =

3

p

x

3

+ y

3

1 :

a) Sa se calculeze x (x);

b) sa se stabileasca daca este asociativa si comutativa;

c) sa se calculeze (100) (99) : : : 99 100.

TEMA 4

Grupuri

Definitia 4.1. O multime G 6= ; dotata cu o lege de compozitie

: G G ! G se numeste grup daca sunt ^ndeplinite urmatoarele

conditii:

G1) (8)x; y; z 2 G : (x y) z = x (y z) (asociativitate);

G2) (9) e 2 G astfel ^nca^t (8)x 2 G: x e = e x = x (element

neutru);

G3) (8)x 2 G (9)x

0

2 G astfel ^nca^t x x

0

= x

0

x = e (orice

element este simetrizabil).

Daca ^n plus are loc si

G4) (8)x; y 2 G x y = y x (comutativitate)

atunci G se numeste grup comutativ sau grup abelian.

Ex. 4.2. Pe C se deneste legea de compozitie :

z

1

z

2

= z

1

+ z

2

z

1

z

2

:

Sa se arate ca:

a) C f1g e parte stabila fata de ;

b) (C f1g; ) e grup comutativ.

Demonstratie. a)

^

Intr-adevar z

1

; z

2

6= 1 ) (z

1

1)(z

2

1) 6= 0

adica z

1

z

2

6= 1.

b) Comutativitatea legii este imediata ava^nd ^n vedere comuta-

tivitatea adunarii si ^nmultirii pe C.

Vericam asociativitatea:

(z

1

z

2

) z

3

= z

1

+ z

2

+ z

3

z

1

z

2

z

2

z

3

z

1

z

3

+ z

1

z

2

z

3

= z

1

(z

2

z

3

):

Determinam elementul neutru din relatia z e = e z = z (8)z 2 C

adica din z = z + e ze) e = 0.

Rama^ne sa aratam ca orice element este simetrizabil, adica (8)z 2

C f1g exista z

0

2 C f1g astfel ^nca^t z z

0

= z

0

z = 0, de unde

rezulta imediat ca z

0

=

z

z1

2 C f1g.

^

In consecinta (C f1g; ) este grup comutativ.

Ex. propus 4.3. Se considera functiile f

1

; f

2

; f

3

: Rnf0; 1g !

Rnf0; 1g denite astfel: f

1

(x) = x, f

2

(x) =

x1

x

si f

3

(x) =

1

1x

. Daca

G = ff

1

; f

2

; f

3

g sa se arate ca G formeaza grup ^mpreuna cu com-

punerea functiilor.

17

18 4. GRUPURI

Ex. propus 4.4. [2] Fie (M; ) un semigrup. Aratati ca urmatoarele

armatii sunt echivalente:

a) M este grup;

b) pentru orice a; b 2M ecuatiile a x = b si x a = b au solutii ^n

M .

Ex. propus 4.5. [2] Fie (S; ) un semigrup nit cu simplicare.

Sa se arate ca (S; ) este grup.

Ex. propus 4.6. Sa se arate ca multimea

M =

8