Seminar 11- statistica psihologica

7/29/2019 Seminar 11- statistica psihologica

1/11

TESTE NEPARAMETRICE PENTRU DATE NOMINALE

Distribuia binomialTeste z pentru proporii

Lect. univ. dr. Gh. Perea

Noiuni introductive

S ne imaginm c un psihoterapeut dorete s verifice eficiena unei metodede terapie anxiolitic, aplicat pe un numr de opt subieci. El poate msura eficienantr-unul din urmtoarele moduri:

a. Aplic o scal de evaluare a anxietii nainte i dup tratament, dup caretesteaz diferena dintre cele dou medii testul t pentru eantioanedependente.

b. i ntreab la sfritul terapiei care este starea lor, comparativ cu perioadaanterioar terapiei. Dac rspunsurile posibile sunt ameliorat i fr

efect, iconstat c 80% dintre subieci se declar ameliorai, poate concluzionactratamentul psihoterapeutic a fost eficient? Rigoarea tiinific permite unrspuns pozitiv numai dac procentul de 80% este mai mare dect unulcare ar fi

putut rezulta din jocul hazardului.

Procedura care se aplic de regul n situaia a, este una de tip parametric,deoarece se bazeaz pe estimarea unor indicatori (parametri) ai distribuiei la nivelul

populaiei. n mod obinuit, parametri utilizai sunt media i unul dintre indicatoriimprtierii (abaterea standard sau dispersia). Testele parametrice se bazeaz pe

precizia de estimare a acestora, situaie care presupune unele condiii, cum ar, deexemplu, normalitatea distribuiei sau omogenitatea varianei. Dar aceste condiii pot snu fie ndeplinite, Dac avem o variabil dependent a crei distribuie este puternicasimetric, sau care are valori extreme, legitime, atunci utilizarea unui test parametricnu este recomandat. ntr-o situaie de acest gen, soluia este transformarea variabilei,avnd la dispoziie dou opiuni:

pstrarea caracterului ei numeric (de exemplu, prin extragerea radicaluluisau prin logaritmarea valorilor variabilei), situaie n care se va puteautiliza un test parametric, sau...

transformarea ntr-o variabil de tip ordinal (nlocuirea valorilor cu rangullor) sau categorial (mprirea valorilor n categorii, dup procedura

prezentat la analiza de frecvene grupate), situaie n care se va apela la untest neparametric.

Procedura care se aplic n situaia b este specific testelor de tip neparametric,deoarece se bazeaz pe probabiliti i nu pe indicatori parametrici ai distribuiilor(medie, dispersie sau abatere standard).

O alt situaie problematic este aceea n care volumul eantionului este foartemic, nelegnd prin aceasta un numr de subieci mult sub 30. n astfel de cazuri,chiar dac variabilele sunt exprimate pe scale cantitative, utilizarea testelor

parametrice poate fi nesigur i nerecomandat1.

Din cele spuse pn acum, reinem faptul c testele neparametrice reprezint,pe de o parte, alternative la testele parametrice, atunci cnd variabilele nu ntrunesccondiiile impuse

1 Afirmaia intr n contradicie cu faptul c am utilizat, pentru toate testele parametriceprezentate pn acum, exemple bazate pe eantioane foarte mici. Se nelege, desigur, cacest lucru a fost dictat de raiuni didactice, pentru evitarea efecturii unor calcule manualelaborioase.


2/11

n practic, pentru eantioane foarte mici se ia n considerare, de regul, utilizareaunor teste neparametrice.acestora i, pe de alt parte, reprezint singura opiune atunci cnd variabiladependent este exprimat pe scal calitative (ordinale sau nominale).

Aa cum am vzut, principiul care st la baza testelor parametrice este gsireaunui model teoretic (distribuia de nul), la care rezultatul cercetrii s poat firaportat. Distribuia de nul reprezint variaia unor valori de acelai tip cu rezultatul

cercetrii, dac acestea ar decurge dintr-un proces pur aleator, lipsit de influenacondiiilor n care sunt msurate (obinute) datele cercetrii. n cazul testelorparametrice distribuia de nul este construit pe baza parametrilor populaiei i urmeazo anumit lege de distribuie (normal, t, F). Odat definit distribuia de nul, urmeazalegerea convenional a unei valori critice, delimitat de pragul alfa (maxim 0.05), cucare se compar valoarea calculat a testului, i decizia asupra semnificaiei acestuia.

Acelai raionament este valabil i pentru testele neparametrice. Diferena aparedoar n modul n care se fundamenteaz distribuia de nul. Aceasta se construiete pe

baza legilor probabilitii aplicate la evenimentele aleatoare, fr a se mai asumacondiia distribuiei normal a variabilei dependente. Ca urmare, decizia statistic nu semai bazeaz pe inferena asupra parametrilor distribuiei variabilei dependente. Dinacest motiv, testele neparametrice sunt independente de caracteristicile distribuiei.

Testele neparametrice prezint, n raport cu cele parametrice, o serie deavantaje, dar i dezavantaje.

Principalele avantaje sunt:

Se pot utiliza pe scale ale cror caliti de msurare sunt slabe(ordinale, nominale).

Pot fi utilizate n cazul variabilelor afectate de valori extreme care nupot fi eliminate.

Utilizarea lor nu presupune condiii la fel de restrictive ca testele

parametrice (normalitatea distribuiei, omogenitatea varianei, etc.). Pentru anumite proceduri, calculele sunt relativ simple i uor deefectuat, chiar i fr utilizarea tehnicii de calcul.

Conceptele i metodele statisticii neparametrice sunt uor de neles.

Printre dezavantajele testelor neparametrice, sunt de menionat:

Se bazeaz pe msurri pe scale nominale i ordinale, care sunt, prinnatura lor, msurri mai puin precise dect cele pe scale cantitative (deinterval sau de raport).

Au o putere mai redus dect testele parametrice de a proba cipoteza cercetrii este adevrat.

Tind sa fie utilizate, datorit relativei lor simpliti, i n situaii n care sepot utiliza teste parametrice. Este important s reinem faptul c, atuncicnd sunt ntrunite condiiile pentru aplicarea unui test parametric, nueste recomandabil transformarea variabilei i utilizarea unui testneparametric.

Dei se bazeaz pe calcule elementare, adesea acestea pot fi destul decomplexe i de laborioase.

Principiul care st la baza evalurii mrimii efectului pentru testeleparametrice (proporia explicat a varianei) nu este uor de aplicat ncazul testelor neparametrice. Ca urmare, pentru multe dintre testeleneparametrice nu se poate calcula un indicie de mrime a efectului.

Ca o concluzie general, utilizarea testelor neparametrice nu poate fi evitatdac variabila dependent este una de tip nominal sau ordinal. Dac, ns, estemsurat pe o scal de interval/raport, se pune problema de a alege ntre un test

parametric i unul neparametric.n acest caz, criteriul principal de decizie este normalitatea distribuiei la nivelul

populaiei. n principiu, teorema limitei centrale ofer suportul teoretic al asumrii


3/11

acestei condiii pentru eantioane suficient de mari. Din pcate, nu avem nici uncriteriu sigur de verificare a acestei condiii. Din acest motiv exist o anumit disputn legtur cu justificarea utilizrii testelor parametrice n anumite cazuri. Daceantioanele care se apropie sau depesc 100 de valori (subieci) permit asumarea cuncredere a condiiei de normalitate, eantioanele de mrimi medii (20-40 de subieci)sunt considerate mai puin sigure. Simulrile pe calculator au artat c exist teste

parametrice mai puin vulnerabile la violarea condiiei de normalitate (testele t, de

exemplu), dar i altele care devin nesigure n aceast situaie (de ex., testul F pentruomogenitatea varianei). Fr a ncerca tranarea disputei, putem reine c, mai alespentru eantioanele mici, atunci cnd avem motive s ne ndoim de normalitateadistribuiei la nivelul populaiei, vor fi preferate testele neparametrice.

Distribuia binomial

Atunci cnd msurm o caracteristic pe o scal de tip cantitativ, obinem ovaloare care descrie mrimea acelei caracteristici. Uneori, ns, nu facem dect sobservm msura n care acea caracteristic este prezent ntr-un anumit context. Deexemplu, observm caracteristica de gen (masculin, feminin) a copiilor la natere,

prezenaabsena efectului unei metode psihoterapeutice sau caracterul corectgreit al rspunsului la o serie de ntrebri. n acest toate aceste cazuri naterea unui

biat (sau unei fete), prezena efectului, rspunsul corect sunt denumiteevenimente despre care putem doar s consemnm frecvena cu care apar ntr-oanumit serie de ncercri (nateri, subieci tratai cu metoda respectiv, list dentrebri).

Distribuia evenimentelor de tip dihotomic, fiecare avnd o anumitprobabilitate de apariie, constant de la o ncercare la alta, se numete distribuiebinomial2. Caracteristicile distribuiei binomiale difer n funcie de numrulncercrilor (N) i de probabilitatea de apariie a evenimentului (P), vzut ca ansteoretic de apariie a evenimentului, n raport cu toate evenimentele posibile. Deexemplu, la aruncarea unei monede, o singur dat (N=1), ansa (probabilitatea)teoretic de apariie a stemei este P=1/2=0.5. Aceeai probabilitate caracterizeaz ievenimentul rspuns corect, dac rspundem la ntmplare la o ntrebare cu douvariante de rspuns, dintre care una este corect iar alta greit.

S transpunem aceast problem ntr-o situaie cu relevan practic. S neimaginm c am construit un chestionar de cunotine de statistic, compus dinntrebri cu dou variante de rspuns, una corect i una eronat. n faa rezultatelor,este firesc s ne ntrebm dac studenii au rspuns utilizndu-i cunotinele, sau lantmplare, ncercndu-i norocul. Dac la un chestionar cu patru ntrebri un studentd patru rspunsuri corecte, sunt ele un indiciu suficient c rezultatul reflectcunotinele de statistic i nu norocul de a fi ghicit de fiecare dat rspunsul corect?

Pentru a ncerca s rezolvm aceasta dilem, s zicem c ne adresm unui altstudent pentru a rspunde absolut la ntmplare. Ca s fim siguri c rspunsurileacestuia nu sunt alterate de cunotinele sale de statistic, i cerem s aleagrspunsul fr a vedea ntrebrile, dnd de patru ori cu banul, pentru a indicarspunsul la fiecare ntrebare. n acest caz, rspunsurile corecte decurg numai prin

jocul hazardului, adic sunt evenimente aleatoare. Acestea se definesc ca raportntre evenimentul ateptat i numrul evenimentelor posibile. Existnd doar douvariante de rspuns, probabilitatea teoretic de a rspunde corect la o ntrebare este de0.5. Probabilitatea de a rspunde corect la toate cele patru ntrebri se calculeaz ca

produs al probabilitii fiecrui element al secvenei de patru ntrebri (regulamultiplicrii probabilitii evenimentelor dihotomice):

0.5*0.5*0.5*0.5*=0.0625

2 Sau distribuie Bernoulli , dup numele matematicianului elveian Jakob Bernoulli1654-1705).


4/11

Constatm astfel c, rspunznd absolut la ntmplare, probabilitatea de ghici toaterspunsurile corecte este de 0.0625. Nu este o probabilitate foarte mare, dar este,totui, mai mare dect nivelul alfa minim de 0.05, cu care ne-am obinuit deja. Caurmare, suntem nevoii s acceptm c cele patru rspunsuri corecte sunt mai degrabun rezultat al unor alegeri ntmpltoare dect al cunotinelor de statistic. Concluziaar fi c, dac dorim s pstrm tipul de ntrebri cu dou variante de rspuns, atunci va

trebui cel puin s mrim numrul ntrebrilor. Astfel, s zicem, vom ajunge n situaiade a ne pune problema dac putem avea ncredere ntr-un rezultat de 8 rspunsuricorecte din 10 ntrebri.

Dar pe msur ce numrul alegerilor binare (cu dou variante posibile derspuns) crete, calcularea probabilitii rspunsurilor ntmpltoare se complic.Din acest motiv devine necesar o anumit formalizare a situaiei. Distribuia

probabilitilor pentru evenimente dihotomice aleatoare alctuiete distribuiabinomial.

Ea prezint interes ca distribuie de nul pentru cazuri ca cele din exemplul demai sus. Avnd un eveniment cu doar dou variante, fiecare cu ans egal, (de ex.,masculin/feminin, corect/greit), vom nota cu P probabilitatea uneia dintre variantei cu Q probabilitatea variantei complementare. ntotdeauna P+Q=1, ceea ce face

posibil s-l descriem Q sub forma Q=1-P.O distribuie binomial se obine pe baza unei secvene de predicii de tipdihotomic, independente ntre ele, pentru care valoarea lui P i Q nu se modific dela o predicie la alta. O astfel de selecie este i cea fcut de studentul care a indicatrspunsurile corecte, dnd cu banul la cele patru ntrebri de statistic. Numrul totalde predicii (n exemplul nostru, 4) este simbolizat cu N. Dat fiind relaia dintre P iQ, este suficient s analizm predicia pentru unul dintre cele dou evenimente

posibile, s zicem pentru rspunsurile corecte, deoarece probabilitile pentruevenimentul complementar (rspunsuri greite) sunt absolut simetrice. Distribuia

binomial depinde, n acelai timp, de valoare lui P i a lui N.S analizm variaia prediciilor pentru cele patru ntrebri de statistic.

Toate combinaiile posibile ntre rspunsurile corecte (C) i eronate (E) se pot afla

prin listarea combinaiilor i permutrile posibile (2*2*2*2=16) pentru cele patruntrebri:

CCCC CECC ECCC EECCCCCE CECE ECCE EECECCEC CEEC ECEC EEECCCEE CEEE ECEE EEEE

Dac analizm toate cele 16 combinaii posibile, vom observa c avemurmtoarea distribuie probabil pentru rspunsurile corecte:

Nr. rsp. corecte 0 1 2 3 4Frecven a 1 4 6 4 1P(C)* 1/16=0.0625 4/16=0.25 6/16=0.375 4/16=0.25 1/16=0.0625

P(C) =Probabilitatea de apariie a rspunsului corect

Transpuse grafic, probabilitile corespunztoare pentru frecvenele de rspunscorect se prezint ca n imaginea urmtoare:


5/11

Cu alte cuvinte, n cazul alegerii ntmpltoare a unui rspuns din douposibile, pentru patru ntrebri, probabilitatea niciunui rspuns corect este egal cuaceea pentru patru rspunsuri corecte (0.0625). Cea mai mare probabilitate o aresituaia de a rezulta dou rspunsuri corecte (0.375), n timp ce probabilitatea de aghici 1 sau trei rspunsuri corecte este de 0.25. Nu putem s nu observm, deasemenea, forma simetric a distribuiei3. n conformitate cu teorema Moivre-Laplace,distribuia binomial a apariiei evenimentelor echiprobabile (P=Q=0.5) ntr-o serie de

n de observaii independente, urmeaz forma distribuiei normale. Sau, mai exact,dup standardizarea probabilitilor acestea corespund valorilor de sub curba normal.Dar ce s-ar ntmpla dac, n loc de 4 ntrebri, chestionarul nostru de statistic

ar avea 12 ntrebri? Distribuia binomial pentru N=12 este cea din graficul de maijos:

Se observ creterea corespunztoare a numrului variantelor posibile i, nacelai timp, devine mai evident tendina distribuiei de a semna cu una normal. nmod firesc, aceast tendin se accentueaz pe msur ce numrul secvenelor de

predicie crete.Dar sunt i situaii n care P i Q nu sunt egale. De exemplu, dac variantele de

rspuns la fiecare ntrebare a chestionarului de statistic sunt n numr de patru, dintrecare numai una este corect, atunci probabilitatea rspunsului corect (P) este =0.25.n acest caz distribuia binomial nu este simetric la valori mici ale lui N, dar tinde sdevin simetric pe msur ce N crete. Nu exist un rspuns exact cu privire lavaloarea lui N pentru care distribuia binomial este aproximat suficient de bine decea normal. n general, se accept faptul c pentru P=0.5 N nu trebuie s fie mai marede 20-25, n timp ce pentru P apropiat de 0 sau 1 se impune o valoare pentru N de cel

puin 100.Din cele spuse rezult c se poate lua n considerare aproximarea distribuiei

binomiale cu o distribuie normal. Aceasta nseamn c putem exprima valorile z ntermeni de N, P i Q. Formula original pentru z ne amintim c este:

Distribuia binomial a fost descris de Abraham De Moivre n lucrarea Approximatio adSummam Terminorum Binomii in Seriem Expansi, publicat n 1733. Acelai autor a

publicat i un manual pentru juctorii de noroc, n care descrie principiile aritmetice pentrustrategiile i probabilitile de ctig.

Aceast formul poate fi utilizat pentru a afla ct ncredere putem avea ncazul n care am obine 8 rspunsuri corecte la un chestionar cu 10 ntrebridihotomice:

din care, prin substituire, se construiete formula pentru z binomial:


6/11

Nivelul probabilitii de sub curba normal z, pentru valori ale lui z egale saumai mari de 1.897 este 0.0294. Aceasta nseamn c putem respinge ipoteza de nul is admitem c studentul nu a rspuns la ntmplare. Vom observa ns, c putem

accepta aceast concluzie numai dac, anterior calculelor, am ales o decizie de tipunilateral, deoarece pentru o decizie bilateral ar fi fost necesar un nivel minimp=0.025. Oricum, constatarea cea mai important n acest caz este aceea c utilizareantrebrilor cu rspuns dihotomic nu este recomandabil, din cauza ansei prea maride se obine un numr relativ ridicat de rspunsuri corecte prin alegeri ntmpltoare.

S schimbm puin datele problemei i s punem la fiecare ntrebare nu dou, cipatru variante de rspuns, dintre care numai una este corect. n acest caz, P=1/4=0.25iar Q=3/4=0.75. Considernd un chestionar format tot din 10 ntrebri, cu 8 rspunsuricorecte, i utiliznd formula 4.1, valoarea testului de semnificaie este:

n aceste condiii este evident c ipoteza de nul se respinge, iar ipoteza crspunsurile se bazeaz mai mult pe cunotine dect pe hazard se accept. Fr srelum calculele, putem s ne dm seama c am obine o valoare semnificativ chiar i

pentru un numr mai mic de rspunsuri corecte. Desigur, acesta este un exempludidactic, n practic nefiind utilizate chestionare de cunotine cu un numr att demic de ntrebri.


7/11

TESTE Z PENTRU PROPORII

Testul z pentru proporia unui eantion n raport cu populaia

Odat ce am gsit o modalitate de elaborare a distribuiei de nul pentruevenimente de tip binomial, se pot elabora diverse teste de inferen statistic. Unuldintre acestea este testul z pentru proporii, care este echivalentul pentru datenominale al testului z parametric pentru un singur eantion.

S ne imaginm situaia n care descoperim c, pe un eantion aleator de 100de subieci dintr-o anumit comunitate, procentul stngacilor este de 20%, n timp cestudiile la nivelul populaiei generale indic un procent de stngaci de numai 15% . nacest caz ne putem pune ntrebarea dac la nivelul acelei comuniti exist oanomalie a lateralitii.

Pentru a putea utiliza formula 4.1 pentru testarea direct a proporiilor, osupunem unei transformri convenabile, prin mprirea simultan a numrtorului inumitorului cu N. Ca urmare, obinem urmtoare formul:

unde: p (mic) este probabilitatea msurat a evenimentului cercetat,P (mare) este probabilitatea aceluiai eveniment la nivelul

populaiei, Q este probabilitatea complementar a lui P, N estevolumul eantionului.

Pentru cazul nostru, valoarea testului z pentru proporii se obine astfel:

Nivelul lui p pentru z=1.42 pe curba normal este de 0.0778, valoare careoblig la acceptarea ipotezei de nul. Cu alte cuvinte, proporia stngacilor ncomunitatea cercetat nu depete semnificativ proporia la nivelul populaieigenerale.

Testul z pentru proporii implic testarea semnificaiei unui procent observat nraport procentul populaiei (atunci cnd este cunoscut), pentru evenimente de tipdihotomic. De exemplu, se poate rspunde la ntrebarea dac un procent 55% de nounscui biei este neobinuit de mare, tiind care este procentul general al noilornscui biei.

Pentru situaiile n care evenimentele cercetate nu sunt de tip dihotomic, seaplic alte teste statistice, despre care vom vorbi mai trziu.

Testul z pentru diferena dintre proporiile a dou eantioane independente

S ne ntoarcem la exemplul de mai sus, cu privire la proporia stngacilor, is l privim din alt perspectiv. Un studiu pe dou eantioane din dou ri diferite

conduce la constatarea c proporia (p1=0.15) stngacilor a eantionului (n1=100) dintr-oar este diferit de proporia (p2=0.25) stngacilor din eantionul corespunztorceleilalte ri (n2=90). Este firesc s ne punem ntrebarea dac exist ntr-adevr odiferena dintre proporia stngacilor din cele dou ri (pe care o vom nota cu literemari: P1 respectiv P2) sau dac, dimpotriv, diferenele constatate sunt doar expresiavariabilitii de eantionare.

n acest caz:


8/11

-ipoteza cercetrii susine c proporiile la nivelul populaiilor sunt diferite(P1P2)-ipoteza de nul susine c proporiile celor dou populaii sunt identice (P1=P2) i,deci, c diferena lor este 0 (P1-P2=0)n exemplul nostru, P1 i P2 reprezint probabilitile unui eveniment aleator

de tip binomial, n care evenimentul complementar (Q1, respectiv Q2) estecaracteristica de a fi dreptaci (vom ignora acum faptul c pot exista iambidextri).

Distribuia ipotezei de nul pentru diferenele dintre cele dou proporii esteaproximat de distribuia normal z. Testul statistic va urma modelul testului pentrudiferena dintre mediile a dou eantioane independente:

unde:p1 i p2 sunt proporiile evenimentului la nivelul eantioanelor

P1 i P2 sunt proporiile evenimentului la nivelul populaiei(p1-p2) este eroarea standard a distribuiei de eantionareAvnd n vedere ipoteza de nul (P1-P2=0), rezult c la numitor se va pstra

doar diferena dintre proporiile eantioanelor (p1-p2).La rndul ei, eroarea standard de eantionare a diferenei proporiilor se

calculeaz astfel:

unde:q1 i q2 sunt proporiile complementare ale lui p1, respectiv p2 (q1=1-p1,

respectiv q2=1-p2)n1 i n2 sunt volumele celor dou eantioane

Ca urmare, formula pentru testul diferenei dintre proporiile a dou eantioaneindependente devine:

Aceast formul este adecvat atunci cnd eantioanele sunt suficient de mari

(>30). n caz contrar, numrtorul formulei suport o corecie, dup cum urmeaz:


9/11

Dac ne-am propus un test bilateral la un nivel alfa=0.05 (pentru care z critic pecurba normal este egal cu 1.96), atunci va trebui s acceptm ipoteza de nul i sconcluzionm c nu se confirm existena unei diferene semnificative ntre proporiastngacilor din cele dou comuniti.

Testul semnului

Ne amintim c unul dintre modelele uzuale de cercetare n psihologie este celcare se bazeaz pe eantioane perechi (corelate sau dependente), n care este evaluato anumit variabila de dou ori pentru aceiai subieci (sau perechi de subieci). Dacrezultatul msurrii este exprimat pe o scal de interval/raport, atunci diferena dintre

cele dou momente (situaii) se verific cu ajutorul testului t pentru eantioanedependente. Ce ne facem, ns, dac nu dispunem de posibilitatea unei msurri lanivel cantitativ i suntem nevoii s observm doar sensul variaiei de la un moment laaltul? Soluia acestei probleme a fost gsit n anul 1710 de John Arbuthnot4, medicul

personal al reginei Anna a Angliei, primul care a utilizat testul semnului n analizaretrospectiv, pe o perioad de 82 de ani, a raportului naterilor de biei i fete(13/12), nregistrate la primria Londrei.

S ne imaginm urmtoarea situaie de cercetare: un psiholog clinician aplico metod de reducere a manifestrilor de tip fobic la un grup de 8 de subieci. Dupun numr de edine el dorete s afle dac metoda lui este eficient i i ntreab pe cei8 subieci dac se simt mai bine dect la nceputul tratamentului. Rspunsurile arat c

6 dintre ei afirm c se simt mai bine iar 2, c nu simt nici o modificare (s admitemc nimeni nu rspuns c se simte mai ru).n acest caz ipoteza cercetrii susine c metoda are efect, ceea ce nseamn c

procentul de ameliorare este semnificativ mai mare dect cel al absenei oricrui efectal terapiei. Ipoteza de nul este opusul ei, fapt care se exprim prin echivalena celordou evenimente posibile (eficiena/ineficiena terapiei) i se formalizeaz ca P=Q=0.5.

Avnd o probabilitate de 6/8=0.75 pentru evenimentul ameliorare, se poateafirma c acesta este semnificativ diferit de cel al ipotezei de nul (0.5)?

Pentru a verifica ipoteza, se utilizeaz formula 4.1:

Dei, principial, este corect, se impune o anumit corecie a acestei formule,corecie util mai ales pentru valori mici ale lui N. Dac privim graficele distribuiilor

binomiale prezentate anterior vom observa c, spre deosebire de curba normal z,acestea au un caracter discontinuu, cu treceri n trepte la o valoare la alta. Dinacest motiv se recomand aplicarea unei corecii de continuitate, prin scdereavalorii 0.5 din valoarea numrtorului, luat n sens absolut. Formula definitiv devineastfel:

Pentru exem lul nostru, vom utiliza formula 4.5

4 Arbuthnot, John. (1710), "An Argument for Divine Providence, Taken From the ConstantRegularity Observed in the Births of Both Sexes," Philosophical Transactions, 27, 186-190.


10/11

Mai departe, cutm valoarea lui p corespunztoare pentru z=-0.40 n tabelul

distribuiei normale z, unde gsim p=0.844. Dat fiind faptul c valoarea lui p este maimare dect 0.05, suntem nevoii s acceptm ipoteza de nul i s conchidem c, celpuin pn n acel moment, terapia antifobic nu are un efect semnificativ statistic pelotul aflat n tratament. Desigur, rezultatul nu trebuie s fie considerat neaprat cadescurajant de ctre terapeut. Faptul c lotul investigat este att de redus conduce nmod inevitabil la nevoia unor valori foarte ridicate ale testului statistic pentruatingerea pragului de semnificaie. n cazul nostru rezultatul poate fi consideratncurajator dac, s zicem, evaluarea eficienei s-a fcut dup un numr relativ mic deedine de terapie. Continuarea lor i refacerea testului ar putea conduce la o altconcluzie.

Testul semnului (denumit astfel pentru c ia n considerare doar sensulvariaiei, nu i valoarea ei) este utilizabil ca substitut al testului t pentru eantioane

dependente n cazul datelor msurate pe scal nominal dihotomic.

Rezumat

Distribuia binomial rezult n urma unei serii de evenimente independente,dihotomice (prezint dou stri posibile). De exemplu, fiecare natere este uneveniment independent de orice alt natere, iar nou nscuii pot lua doustari: biat sau fat. Probabilitatea fiecrei stri este notat cu P, respectiv,Q, care sunt complementare (P+Q=1; Q=1-P).

Fiecare eveniment simplu este denumit convenional ncercare. Nateriledintr-o anumit perioad, localitate etc., sunt ncercri, iar totalulncercrilor este simbolizat cu N.

Atunci cnd P i Q sunt egale (P=Q=0.5), distribuia binomial este simetric.Cu ct N este mai mare, cu att forma distribuiei se apropie mai mult dedistribuia normal. Chiar i atunci cnd P i Q nu sunt egale (PQ) distribuiatinde spre forma normal dac N ia valori din ce n ce mai mari (spre infinit).

Distribuia binomial fundamenteaz urmtoarele teste statistice: testul zpentru diferena proporiei unui eantion fa de proporia populaiei; testul z pentrudiferena dintre dou proporii (pentru eantioane independente) i testulsemnului (pentru eantioane dependente).

Testul z pentru diferena dintre proporii poate fi utilizat n dou situaii:o pentru compararea proporiei unui eantion cu proporia la nivelul

populaiei

(de ex., procentul fumtorilor dintr-o anumit categorie de vrst,comparativcu procentul fumtorilor din populaia general); o pentru compararea

a dou proporii msurate pe dou eantioaneindependente (de ex., procentul fumtorilor din rndul brbailor i alfemeilor, dintr-o anumit instituie).

Testul semnului se utilizeaz atunci cnd sunt comparate date dependente(msurate

pe acelai eantion), dar nu poate fi msurat cantitatea, ci doar direcia(semnul)diferenei. De asemenea, poate fi utilizat ca alternativ a testului t pentrueantioane

dependente, atunci cnd msurarea este de nivel cantitativ, dar volumuleantionuluieste foarte mic, ceea ce nu susine condiia de normalitate a distribuiei.

Mai departe, nu ne rmne dect s nlocuim valorile i sa facem calculelepentru studiul nostru:


11/11

EXERCIII

(1)Presupunnd c 85% din populaie este dreptace (Q) i c 15% este stngace (P):a. Dac 27 din cei 120 de copii dintr-o coal de art sunt stngaci, care este

scorul zpentru testarea ipotezei?

b. Pe baza scorului z de la punctul a putem concluziona c frecvenastngacilor

printre copiii cu aptitudini artistice este mai mare dect la nivelul populaiei?(alfa=0.05, bilateral)

(2) Dou grupuri de subieci, fiecare compus din 30 de persoane, particip la unexperiment n care este studiat efectul stresului temporal asupra performanei derezolvare de probleme. Primul grup are un termen limit iar celalalt, nu are un termenlimit. Rezultatele cercetrii arat c 25% dintre subiecii grupului care a lucrat ncriz de timp au rezolvat problema, n timp ce pentru grupul fr criz de timp,

procentul rezolvrilor corecte este de 60%. Se poate afirma c stresul temporal reduceperformana n rezolvarea de probleme? (alfa=0.05, bilateral)

(3) ase studeni de la facultatea de arte plastice au fost pui s picteze dou tablouri,pe o tem imaginar. ntr-un caz au lucrat n condiii de linite, n cel de-al doilea cazau avut un fond sonor de muzic clasic. Lucrrile lor au fost evaluate de un profesor,care a apreciat c 5 dintre studeni au pictat mai creativ n condiii de muzic dect n

condiii de linite. Se poate concluziona c muzica clasic favorizeaz creativitateaartistic, pentru alfa=0.05, bilateral?

Seminar 11- statistica psihologica

Documents

Transcript of Seminar 11- statistica psihologica