sect3
-
Upload
antoniavizireanu -
Category
Documents
-
view
15 -
download
4
description
Transcript of sect3
-
Seciunea 3: Modelul Cox-Ross-Rubinstein (1979)
Ipoteze:
Cursul activului suport urmeaz o distribuie binomial a.. n fiecare moment de timp evoluia sa poate fi descris astfel:
0S u
cu 1 tu ed
(vezi curs) 0S
0S d
0 1t t
t
unde u i d reprezint factori de cretere respectiv scdere constani n timp, t
intervalul de timp ntre dou momente succesive n care se face evaluarea, volatilitatea cursului activului suport iar p i 1 p reprezint probabilitatea de cretere, respectiv
scdere a cursului activului suport n fiecare moment de timp considerat.
Evaluarea se face ntr-un mediu neutru la risc a.. valoarea ateptat la momentul 1t a
cursului activului suport poate fi scris:
1 0
*
0[ / ]r t
t tE S S e F
dar media unei variabile aleatoare care urmeaz o distribuie binomial este:
1 0 0[ ] (1 )tE S p S u p S d
de unde: r te d
pu d
, denumit probabilitate neutr la risc (evaluarea s-a fcut ntr-un
mediu neutru la risc).
n mod similar, folosind metoda evalurii neutre la risc, valoarea unui CALL cu suport activul S , la momentul 0t poate fi scris:
0 1 0
*[ / ] [ (1 ) ]r t r tt t t u dC e E C e p C p C F (identic pt. PUT)
unde uC este valoarea CALL la 1t dac cursul crete (devenind 0S u ) iar dC este
valoarea CALL la 1t dac cursul scade (devenind 0S d ).
p
1-p
-
Seciunea 3: Modelul Cox-Ross-Rubinstein (1979)
Aplicaii:
1. Fie o aciune suport care are cursul spot la momentul curent 0 50 . .S u m ,
20% i pentru care se emit opiuni cu preul de exercitare 50 . .E u m Rata
dobnzii fr risc este 10%r . a) S se evalueze opiuni CALL i PUT europene folosind modelul binomial pe 5 perioade tiind c durata unei perioade este de 3 luni. b) Verificai relaia de paritate PUT-CALL n cazul opiunilor europene ex-dividend.
Rezolvare1:
a)
Preul de exercitare (Strike price): 50E
Factorul de actualizare (Discount factor per step): 0,9753r te
Factorul de fructificare (Growth factor per step): 1,0253r te
Perioada de timp dintre 2 noduri (Time step): 3
0,25 ani12
t
Probabilitatea neutr la risc (Probability of up move): p= 0,6014 r te d
u d
Factorul de cretere (Up step size): 0.2 0.25 1,1052tu e e
Factorul de scdere (Down step size): 0.2 0.251 0,9048td e e
u
.
1La adresa web: http://www.rotman.utoronto.ca/~hull/software/ puteti descarca programul DerivaGem for
Excel cu ajutorul cruia se pot verifica calculele din cadrul modelelor aplicate pentru evaluarea instrumentelor financiare derivate.
-
Seciunea 3: Modelul Cox-Ross-Rubinstein (1979)
Binomial European CallAt each node:
Upper value = Underlying Asset Price
Lower value = Option Price
Values in red are a result of early exercise.
Strike price = 50
Discount factor per step = 0.9753 82.43606
Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days 32.43606
Growth factor per step, a = 1.0253 74.59123
Probability of up move, p = 0.6014 25.82574
Up step size, u = 1.1052 67.49294 67.49294
Down step size, d = 0.9048 19.93147 17.49294
61.07014 61.07014
14.96255 12.30464
55.2585459 55.25855 55.25855
10.96868087 8.416238 5.258546
50 50 50
7.879951 5.639758 3.084334
45.2418709 45.24187 45.24187
3.720452328 1.809077 0
40.93654 40.93654
1.061092 0
37.04091 37.04091
0 0
33.516
0
30.32653
0
Node Time:
0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500
Pe ultima coloan payoff-ul opiunii (marcat n chenar cu rou) se obine calculnd
( , ) max( ,0)TC T S S E . De exemplu pentru 5 creteri consecutive ale cursului valoarea
opiunii CALL la scaden va fi 55 82,436 50 32,436 . .
uC S u E u m .
Pentru chenarele din perioadele anterioare aplicm expresia dedus pe baza metodei
evalurii neutre la risc. De exemplu valoarea din primul chenar din perioada 4t (dup 4
creteri consecutive de curs) este:
4 5 4
0,1 0,25[ (1 ) ] [32,436 0,6013 17,4929 0,398] 25,825r tu u u d
C e p C p C e
Continund raionamentul obinem valoarea opiunii la momentul iniial: 0 7,88 . .C u m
-
Seciunea 3: Modelul Cox-Ross-Rubinstein (1979)
Binomial European PutAt each node:
Upper value = Underlying Asset Price
Lower value = Option Price
Values in red are a result of early exercise.
Strike price = 50
Discount factor per step = 0.9753 82.43606
Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days 0
Growth factor per step, a = 1.0253 74.59123
Probability of up move, p = 0.6014 0
Up step size, u = 1.1052 67.49294 67.49294
Down step size, d = 0.9048 0 0
61.07014 61.07014
0.279591 0
55.25855 55.25855 55.25855
0.952006 0.719163 0
50 50 50
2.004797 2.026932 1.84983
45.24187 45.24187 45.24187
3.720452 4.128678 4.758129
40.93654 40.93654
6.511728 7.828958
37.04091 37.04091
10.52056 12.95909
33.516
15.24949
30.32653
19.67347
Node Time:
0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500
Pentru opiunea PUT se raioneaz similar dar pornind de la payoff-ul unei opiuni PUT:
( , ) max( ,0)TP T S E S . De exemplu valoarea PUT-ului dup 4 scderi consecutive de
curs va fi:
4 4 5
0,1 0,25[ (1 ) ] [12,959 0,6013 19,6734 0,398] 15,2494r td d u d
P e p P p P e
Continund raionamentul obinem valoarea opiunii PUT la momentul iniial:
0 2.0048 . .P u m .
b) Teorema de paritate CALL-PUT valabil pentru opiuni europene: 0.11.25
0 0 0 7,879951 50 2,004797 50 52,0048 52,0048.r TC E e P S e