sect2
-
Upload
antoniavizireanu -
Category
Documents
-
view
6 -
download
0
description
Transcript of sect2
-
Seciunea 2: Noiuni elementare
1. Rata dobnzii cu capitalizare n timp continuu. 2. Arbitraj. Lipsa oportunitilor de arbitraj. 3. Teorema de paritate CALL PUT. 4. Preul Forward.
1. Rata dobnzii cu capitalizare n timp continuu
Ex. Un investitor depune o sum 0S ntr-un depozit bancar cu capitalizare, care pltete o
dobnd la rata r , n procente pe an. Determinai suma final de care va dispune
investitorul dup t ani, dac capitalizarea se face: a) anual; b) semestrial; c) trimestrial; d) lunar; e) zilnic; f) n timp continuu.
a) 0 (1 )t
tS S r .
b) 20 (1 )2
t
t
rS S .
c) 40 (1 )4
t
t
rS S .
d) 120 (1 )12
t
t
rS S .
e) 3600 (1 )360
t
t
rS S .
f) 0 0 0lim (1 ) lim[(1 ) ]n
n t r t r trt
n n
r rS S S S e
n n
r - reprezint rata dobnzii cu capitalizare n timp continuu sau rata dobnzii neutre la risc (sau rata fr risc fiind asociat unor investiii fr risc cum ar fi depozite bancare sau obligaiuni 0-cupon);
0
r tS e - reprezint suma final din depozit, fructificat la sfritul celor t ani ( t
poate reprezenta i un numr fracionat de ani);
r te - reprezint factorul de fructificare n timp continuu;
1 r tr t
ee
- reprezint factorul de actualizare n timp continuu.
-
Seciunea 2: Noiuni elementare
2. Arbitraj. Lipsa oportunitilor de arbitraj
a) Ex. O aciune Coca Cola este cotat simultan pe piaele bursiere NYSE la preul de 10$ pe o aciune i LSE la preul de 9 pe o aciune, n condiiile n care pe piaa valutar
cursul de schimb ntre cele dou monede este 1 1,45$ . Propunei o strategie de arbitraj
i explicai mecanismele prin care preurile pe cele trei piee se vor corecta.
Obs. Presupunnd ca volumul tranzaciilor prilejuite de acest dezechilibru este insuficient pentru a influena cursul de schimb de pe piaa valutar, se poate obine un ctig sigur de 1.6$ pe aciune lund simultan poziie short la LSE i poziie long la NYSE pe un numr de aciuni. Investitorii raionali vor vinde la LSE genernd presiuni de scdere a preului pe aceast pia i vor cumpra la NYSE determinnd creterea preului pe aceast pia. Oportunitatea de arbitraj va dispare n momentul n care raportul ntre preurile pe cele dou piee bursiere va egala raportul de schimb ntre cele dou monede (eliminnd eventuala existen a costurilor de tranzacionare).
b) Ex. Presupunem c ratele de schimb spot i forward pentru cursul de schimb /$ sunt:
spot 0 1,6080S , forward peste 90 zile (0,90 ) 1,6056F zile i forward peste 180 zile
(0,180 ) 1,6018F zile . Ce oportuniti are un arbitrajor n urmtoarele situaii:
i) pe pia mai exist o opiune european CALL cu maturitatea peste 180 zile, cu preul
de exercitare 1,57$ / E i care cost 0 0,02$C ;
ii) pe pia mai exist o opiune european PUT maturitatea peste 90 zile, cu preul de
exercitare 1,64$ / E i care cost 0 0,02$C .
LSE
Short: 8
NYSE
Long: -10$
8=11.6$ Profit = 1.6$
Arbitraj: posibilitatea obinerii unui ctig sigur fr a se investi capital iniial i fr a se asuma nici un risc.
Arbitrajul poate fi:
a) spaial se obin profituri sigure utilizndu-se dezechilibrele de pe dou sau mai multe piee n acelai moment de timp;
b) temporal se obin profituri sigure utilizndu-se dezechilibrele de pe pieele
unor instrumente financiare, n momente de timp diferite.
-
Seciunea 2: Noiuni elementare
Presupunem c valoarea timp a banilor este 0.
i) Poziia la iniiere: long CALL short FORWARD pe contractele cu scadena 180 zile.
Peste 180 zile (cursul spot va fi TS ):
0
0
0
(0,180 ) ,Profit max{( ),0} (0,180 )
(0,180 ) ,
1,6018 1,57 0,02 0,0118$, 1,570.
1,6018 0,02 , 1,57
T
T T
T T
T
T T
F zile E C S ES E C F zile S
F zile S C S E
S
S S
ii) Poziia la iniiere: long PUT long FORWARD pe contractele cu scadena 90 zile.
Peste 90 zile (cursul spot va fi TS ):
0
0
0
(0,180 ) ,Profit max{( ),0} (0,90 )
(0,90 ) ,
1,6056 0,02 1,6256, 1,640.
1,64 1,6056 0,02 0,0144$, 1,64
T T
T T
T
T T T
T
S F zile P S EE S P S F zile
E F zile P S E
S S S
S
Obs. Valoarea timp a banilor a fost ignorat n aceste calcule. Dac am fi luat n considerare existena unei rate de dobnd pe perioadele pe care s-au fcut plasamentele, strategiile ar fi rmas profitabile innd cont c profitul depete 0.0118$ i respectiv 0.0144$ la o investiie iniial de 0.02$, ceea ce ar corespunde unei dobnzi anualizate de peste 100% pentru fiecare din cele dou perioade considerate.
Concluzie:
Dac astfel de situaii de tip arbitraj ar apare n realitate, ele ar fi eliminate relativ repede prin aciunea legii cererii i ofertei pe pia (innd cont i de faptul c aceste profituri pot fi considerate gratuite iar pe piaa instrumentelor financiare exist arbitrajorii foarte bine pltii care caut i exploateaz astfel de oportuniti).
De aceea n teoria financiar, evaluarea activelor pornete de la ipoteza conform creia pe pieele financiare nu exist oportuniti de arbitraj (sau similar oportuniti de a obine profit instantaneu i fr asumarea niciunui risc).
Schematic aceast ipotez poate fi redat astfel:
Dac valoarea a dou portofolii de active financiare A i B va fi cu certitudine aceeai la
un moment n viitor T , ( ) ( )T TA B , atunci valoarea celor dou portofolii trebuie s
fie aceeai la orice moment de timp anterior t T , ( ) ( )t tA B . Relaia este valabil
i pentru inegaliti ntre valoarea celor dou portofolii i se demonstreaz prin reducere la absurd (vezi curs).
-
Seciunea 2: Noiuni elementare
3. Teorema de paritate CALL PUT
Aplicaie a ipotezei absenei oportunitilor de arbitraj (notaie AOA):
Demonstrai urmtoarea relaie care are loc ntre preurile opiunilor CALL i PUT de tip european, care au aceleai caracteristici (acelai activ suport, acelai pre de exercitare, aceeai scaden i aceeai pia de tranzacionare):
( ) , .r T tt t tC E e P S t T
Demonstraie:
Considerm 2 portofolii:
( ):
: sup
r T tA long CALL depozit in valoare de E e
B long PUT long activul ort
La scaden despre payoff-ul celor dou portofolii vom ti cu siguran:
( )T A ( )T B
TS E 0 E T TE S S E
TS E T TS E E S 0 T TS S
Conform ipotezei AOA: ( ) ( ), .t tA B t T c.c.t.d.
Generalizare pentru cazul cu dividend: ( ) ( ) ,r T t q T tt t tC E e P S e t T
unde q
reprezint rata continu a dividendului.
Ex. Primele call, respectiv put, avnd aceleai caracteristici sunt: 17,2808C i
12,9118P . Se tie c 105S E , iar 6 luniT t . S se calculeze rata dobnzii r .
Rezolvare:
Din relaia de paritate put-call: 1
ln 8,5%P C S
rT t E
.
-
Seciunea 2: Noiuni elementare
4. Preul Forward
Ex. Se ia o poziie long pe un contract forward cu suport o aciune ex-dividend (fr
dividend) la momentul 0 0t . Cursul spot al aciunii la momentul 0t este 0 40S $ iar
rata dobnzii n timp continuu 10%r .
a) Determinai preul forward al contractului emis la momentul 0t cu scadena la
1T an i valoarea iniial a acestui contract.
b) Dup 6 luni ( 1 6t luni ): 1 45tS $ , 10%r . Determinai preul forward al
contractului emis la momentul 1t cu scadena la 1T an i valoarea contractului
forward emis la 0t .
Rezolvare:
a)
0,1
0(0, ) 40 44,21
(0,0, ) 0.
r T
L
F T S e e
f T
$
b)
1
1
1 1
1
( ) 0,1 0,5
1
( )
1 1 0
( , ) 45 47,31
( , , ) [ ( , ) (0, )] 2,95
r T t
t
r T t r t
L t
F t T S e e
f t t T F t T F T e S S e
$
$.
1
1
( ) ( )
( )
1 0 1 0
( )
1 0 1 0 0 1
( , )
: ( , , ) [ ( , ) ( , )]
: ( , , ) ( , , ) [ ( , ) ( , )]
r q T t
t
r T t
L
r T t
S L
F t T S e
long f t t T F t T F t T e
short f t t T f t t T F t T F t T e
unde:
( , )F t T reprezint preul forward al contractului emis la momentul t cu scadena la
momentul T ;
tS reprezint preul la momentul t al activului suport;
q este rata continu a dividendelor pltite de aciunea suport (n cazul aciunilor fr
dividend, 0q );
1 0( , , )Lf t t T reprezint valoarea la momentul 1t a contractului forward poziie long,
emis la momentul 0t cu scadena la momentul T , unde 1t t T ;
1 0( , , )Sf t t T reprezint valoarea la momentul 1t a contractului forward poziie short.
Obs. Preul forward este identic cu preul futures att timp ct rata dobnzii este
determinist. n cazul n care suportul contractului forward este o valut, fq r , unde
fr este rata dobnzii pentru valuta suport n contract.