scriereaunuinumarnaturalcaosumadepatrateperfecte
2
Scrierea unui numar natural ca o suma de patrate perfecte In general,la olimpiadele de matematica,la gimnaziu,apar subiecte in genul: Sa se scrie numarul 2005 5 ca o suma de 2 patrate perfecte.Aceasta problema este,pentru elevii mai bine pregatiti foarte usoara si nu constituie un subiect dificil.Pentru elevii al caror nivel de pregatire este unul mediu,care se pregatesc doar din culegerile mate 2000,ei bine pentru acesti elevi este o problema destul de dificila indiferent de clasa in care invata elevul.In continuare voi incerca sa dau cateva exemple de probleme rezolvate pentru elevii lipsiti de inspiratie. O prima problema poate fi aceasta:Demonstrati ca orice putere a lui 13 se poate scrie ca suma a 2 patrate perfecte.O problema destul de usoara data la o faza locala.Pentru punctaj maxim elevul trebuie sa sesizeze ca daca n este puterea cautata,atunci n poate lua 2 valori si anume: n poate fi numar par sau numar impar.Pentru n numar impar este evident ca n o sa fie de forma 2k+1,k numar natural,si este necesar doar ca numarul 13 sa fie scris ca suma de 2 patrate perfecte.Dar pentru cazul n par putem alege n=2p sau n=2p+2,p numar natural.Daca in problema este mentionat faptul ca cele 2 patrate perfecte sunt nenule,atunci cazul n=2p nu genereaza probleme.Iar pentru cazul n=2p+2 va trebui ca 169 sa fies scris ca suma de 2 patrate perfecte.Aplicand acest rationament se pot rezolva mii de probleme,intruca t majoritatea se bazeaza pe ideea mentionata mai sus. Si iata ca exista totusi un gen de probleme la care aplicand acest rationament nu vom gasi probleme.Este vorba de identitatea lui Lagrange si anume: ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 bc ad bd ac d c b a − + + = + + .Demonstrarea acestei probleme se poate realiza doar daca se cunosc formule de calcul prescurtat.Surprinzator este insa faptul ca aceasta teorema poate fi data la o olimpiada judeteana la clasa a V-a si poate fi data astfel:demonstrati ca daca 2 numere se pot scrie ca o suma de 2 patrate perfecte,atunci si produsul lor poate fi scris ca o suma de 2 patrate perfecte.Aceasta problema ii creeaza dificultati si unui cunoscator al formulelor de calcul prescurtat.Aici depinde foarte mult si de pregatirea elevului.Evident ca un elev neexperimentat o sa incerce sa aplice distributivitatea in cei 2 factori ai produsului din membrul stang si sa dezvolte patratele din membrul drept.Se poate chinui insa foarte mult deoarece nu va reusi niciodata sa rezolve astfel de probleme.Foarte simplu se poate elabora o problema care va fi data la olimpiade dand valori lui a,b,c, si d. Fara cunoasterea acestei indentitai este aproape imposibil ca acel elev sa gaseasca solutia problemei. Propunator:Claudiu Mindrila Scoala Tudor Vladimirescu,Targoviste
Transcript of scriereaunuinumarnaturalcaosumadepatrateperfecte
5/13/2018 scriereaunuinumarnaturalcaosumadepatrateperfecte - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/scriereaunuinumarnaturalcaosumadepatrateperfecte 1/
Scrierea unui numar natural ca o suma de patrate perfecte
In general,la olimpiadele de matematica,la gimnaziu,apar subiecte in genul:
Sa se scrie numarul 20055 ca o suma de 2 patrate perfecte.Aceasta problema
este,pentru elevii mai bine pregatiti foarte usoara si nu constituie un subiect
dificil.Pentru elevii al caror nivel de pregatire este unul mediu,care se pregatesc doar din culegerile mate 2000,ei bine pentru acesti elevi este o problema destul de dificila
indiferent de clasa in care invata elevul.In continuare voi incerca sa dau cateva
exemple de probleme rezolvate pentru elevii lipsiti de inspiratie.
O prima problema poate fi aceasta:Demonstrati ca orice putere a lui 13 se poate scrie
ca suma a 2 patrate perfecte.O problema destul de usoara data la o faza locala.Pentru
punctaj maxim elevul trebuie sa sesizeze ca daca n este puterea cautata,atunci n poate
lua 2 valori si anume: n poate fi numar par sau numar impar.Pentru n numar impar
este evident ca n o sa fie de forma 2k+1,k numar natural,si este necesar doar ca
numarul 13 sa fie scris ca suma de 2 patrate perfecte.Dar pentru cazul n par putem
alege n=2p sau n=2p+2,p numar natural.Daca in problema este mentionat faptul ca
cele 2 patrate perfecte sunt nenule,atunci cazul n=2p nu genereaza probleme.Iar pentru cazul n=2p+2 va trebui ca 169 sa fies scris ca suma de 2 patrate
perfecte.Aplicand acest rationament se pot rezolva mii de probleme,intrucat
majoritatea se bazeaza pe ideea mentionata mai sus.
Si iata ca exista totusi un gen de probleme la care aplicand acest rationament nu vom
gasi probleme.Este vorba de identitatea lui Lagrange si anume:
( )( ) ( ) ( )222222bcad bd acd cba −++=++ .Demonstrarea acestei probleme se poate
realiza doar daca se cunosc formule de calcul prescurtat.Surprinzator este insa faptul
ca aceasta teorema poate fi data la o olimpiada judeteana la clasa a V-a si poate fi data
astfel:demonstrati ca daca 2 numere se pot scrie ca o suma de 2 patrate perfecte,atunci
si produsul lor poate fi scris ca o suma de 2 patrate perfecte.Aceasta problema ii
creeaza dificultati si unui cunoscator al formulelor de calcul prescurtat.Aici depinde foarte mult si de pregatirea elevului.Evident ca un elev neexperimentat o sa incerce sa
aplice distributivitatea in cei 2 factori ai produsului din membrul stang si sa dezvolte
patratele din membrul drept.Se poate chinui insa foarte mult deoarece nu va reusi
niciodata sa rezolve astfel de probleme.Foarte simplu se poate elabora o problema care
va fi data la olimpiade dand valori lui a,b,c, si d. Fara cunoasterea acestei indentitai
este aproape imposibil ca acel elev sa gaseasca solutia problemei.
Propunator:Claudiu Mindrila
Scoala Tudor Vladimirescu,Targoviste
5/13/2018 scriereaunuinumarnaturalcaosumadepatrateperfecte - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/scriereaunuinumarnaturalcaosumadepatrateperfecte 2/
