Concursul de matematica Florica T. CmpanEtapa interjudeteana, 8 mai 2004

Nota. Toate subiectele sunt obligatorii. Timp de lucru: cl. a IV-a 90 de minute,cl. V-VIII 2 ore.

Clasa a IV-a1. Precizeaza regula de formare a numerelor urmatoare si identifica cifrele care

lipsesc n ultimul numar: 2798, 5783, 3574, 7862, 54 .2. ntr-o urna sunt bile albe, galbene si rosii. Daca mpartim numarul bilelor albe

la numarul bilelor galbene obtinem ctul 2 si restul 2. mpartind numarul bilelor rosiila suma celorlalte obtinem ctul 3 si restul 3. Aflati cte bile sunt n urna, stiind cadiferenta dintre numarul bilelor rosii si dublul sumei celorlalte este 17.

3. n timpul unui campionat de sah, doi participanti care jucasera acelasi numarde partide s-au mbolnavit si s-au retras, iar ceilalti au continuat turneul pna lasfrsit. Este adevarat ca cei doi participanti au ajuns sa joace ntre ei, daca se stie can total s-au jucat 23 de partide? (Turneul s-a jucat n sistemul "fiecare cu fiecare"cte o singura partida.) Justificati raspunsul.

Clasa a V-a1. Aflati vrstele tatalui, fiului si nepotului, stiind ca sunt exprimate prin trei nu-

mere prime, iar peste cinci ani vrstele lor vor fi exprimate prin trei numere naturalepatrate perfecte.

2. Determinati toate numerele de forma abbc, cifrele a, b, c fiind distincte, stiindca sunt ndeplinite conditiile:a) ba se divide cu 13; b) ab este numar prim; c) c este patratul unui numar natural.Cte solutii are problema?

3. Pe trei jetoane asezate cu fata n jos sunt scrise trei numere naturale nenulesi distincte a caror suma este 13. Jetoanele sunt asezate n ordine crescatoare dela stnga la dreapta. Ana ridica, prima, jetonul din stnga, apoi Dan pe cel dindreapta, iar ultimul, Stefan, pe cel din mijloc, declarnd fiecare, n aceasta ordine,ca nu are suficiente informatii pentru a descoperi celelalte numere. Dar tu, acum,poti spune ce numar a vazut Stefan?

Mihaela Cianga, IasiClasa a VI-a1. Se considera multimea A = {1, 2, 3, . . . , 2004}. Determinati:a) probabilitatea ca, alegnd la ntmplare un element din A, acesta sa fie divizibil

cu 167.b) probabilitatea ca, alegnd la ntmplare o submultime B 6= a lui A, produsul

tuturor elementelor multimii B sa fie egal cu produsul tuturor elementelor multimiiA \B.

Ioan Lungu, Vaslui

2. Se considera triunghiul ABC cu [AB] [AC], m(\BAC) 90. Fie D (BC)astfel nct m(\ADC) = 60 si fie punctul E astfel nct D (AE) si [AE] [CD].Sa se determine m(\EBD).

Mihai Gavrilut, Roman

121

3. Un pilot de avion parcurge o anumita distanta cu avionul si efectueaza urma-torul calcul: aduna numerele naturale nenule ce reprezinta distanta (n km) cu viteza(n km/h) si cu timpul (n h) si obtine 6008. Determinati ct timp a durat zborul.

Cristian Lazar, Iasi

Clasa a VII-a1. Sa se arate ca oricum am alege 51 de numere naturale distincte de la 1 la 100,

printre ele exista doua numere naturale distincte a si b astfel nct a | b.2. Un casier de banca distrat, platindu-i un cec lui Lucian Georges, a ncurcat

euro cu centii (1 Euro = 100 centi), dndu-i acestuia euro n loc de centi si centi nloc de euro. Dupa ce si-a cumparat o acadea de 5 centi, Lucian Georges a descoperitca i-a mai ramas exact o suma reprezentnd dublul sumei initiale de pe cec. Careeste suma scrisa pe cec?

Catalin Budeanu, Iasi1m

1m3. 26 de pisici sunt nchise ntr-un labirint careare forma din figura alaturata (fiecare latura arelungimea de 1 m). Daca doua pisici se afla la dis-tanta mai mica de 1, 5 m se vor zgria! Aratati caoricum am aseza cele 26 de pisici n labirint, macardoua se vor zgria.

Monica Nedelcu, Iasi

Clasa a VIII-a1. Fie tetraedrul ABCD. Vrfului A i asociem numarul natural n, iar vrfurilor

B, C, D le asociem numarul 0. Numim "mutare" alegerea a doua vrfuri oarecare simarirea numerelor asociate lor cu cte o unitate. Sa se arate ca dupa un numar finitde "mutari" putem face ca fiecarui vrf sa-i fie asociat acelasi numar, daca si numaidaca n este numar par.

Gheorghe Iurea, Iasi2. Pentru a R consideram functia fa : R R, fa(x) = ax + 2 a, x R si

fie Ma simetricul originii fata de graficul functiei fa.a) Aratati ca graficele functiilor fa trec printr-un punct fix, oricare ar fi a R.b) Sa se arate ca, oricare ar fi a si b R, lungimea segmentului MaMb este mai

mica sau egala cu 25.

Gabriel Popa, Iasi3. Un corp gol n forma de tetraedru regulat este asezat cu o fata pe pamnt si

sufera doua rasturnari instantanee, consecutive, pe alte doua fete ale sale. O bila nee-lastica, aflata initial n vrful ce nu atinge pamntul, se misca sub actiunea atractieipamntului naintea primei rasturnari si pna dupa ultima rasturnare, imediat dupafiecare rasturnare plecnd spre alta fata din punctul n care a ajuns.

a) Aratati ca bila cade de fiecare data (nu se rostogoleste pe fete).b) Calculati lungimea parcursului bilei, daca latura tetraedrului are lungimea de

96

32m.

Claudiu-Stefan Popa, Iasi

122