DREPTE CELEBRE Dreapta lui EulerTeorema (EULER). În orice triunghi ABC, ortocentrul, centrul de greutate şi centrul cercului circumscris triunghiului sunt situate pe aceeaşi dreaptă (numită dreapta lui Euler).

Teorema Gauss : Mijloacele diagonalelor unui patrulater complet sunt coliniare.

Dreapta lui Simson Proiecţiile ortogonale ale unui punct M de pe cercul circumscris triunghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.

Dreapta lui Lemoine/ Teorema (CARNOT). Tangentele la cercul circumscris unui triunghi neisoscel în vârfurile lui taie laturile opuse în puncte situate pe o aceeaşi dreaptă (numită dreapta lui Lemoine a triunghiului ABC).

Dreapta lui PascalTeoremă: Prelungirile laturilor opuse ale unui hexagon oarecare înscris într-un cerc se taie două câte doua în trei puncte coliniare.

Dreapta ortică

Teoremă: Fie ABC un triunghi neisoscel şi nedreptunghic şi fie vârfurile triunghiului

ortic. Fie Atunci se găsesc pe o aceeaşi dreaptă (numită dreapta ortică a triunghiului ABC).

Dreapta antiorticăTeoremă : Se consideră un triunghi neisoscel ABC. Bisectoarea exterioară corespunzătoare vârfului A intersectează

dreapta BC în punctul . Analog se obţin punctele B' si .Atunci punctele se găsesc pe o aceeaşi dreaptă (numită dreapta antiortică a tringhiului ABC).

PUNCTE CELEBREPunctul lui Newton

Teorema (Newton). Fie ABCD un patrulater circumscriptibil şi fie punctele de tangenţă ale cercului înscris

cu laturile patrulaterului. Atunci dreptele AC, BD, si B'D' trec prin acelaşi punct N.

Punctul lui Nagel

Teorema (Nagel): Dacă sunt punctele de contact ale cercurilor exînscrise cu laturile triunghiului ABC ,

(BC). B' (CA), C' (AB), atunci dreptele AA', sunt concurente.(Punctul de concurenţă al celor trei drepte se numeşte punctul lui Nagel).

Teoremă (AUBERT). Ortocentrele celor patru triunghiuri formate cu laturile unui patrulater complet se găsesc pe o aceeaşi dreaptă (numită dreapta lui Aubert).

Punctul lui Miquel

Teorema (Miquel): Fie ABCD un patrulater convex şi fie Cercurile circumscrise triunghiurilor ABF, ADE, CFD şi ECB trec prin acelaşi punct (numit punctul lui Miquel). Punctul lui Gergonne

Teorema (Gergonne): Într-un triunghi ABC dreptele care unesc vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale cercului înscris cu laturile opuse sunt concurente . (Punctul de concurenţă se numeşte punctul lui Gergonne).

Teorema (Brocard): Fie triunghiul ABC si puncte oarecare pe laturile [BC], [AC], respectiv [AB]. Atunci

cercurile circumscrise triunghiurilor au un punct comun (numit primul punct al lui Brocard).

Teorema (Torricelli). Se consideră triunghiul ABC cu toate unghiurile strict mai mici decât şi pe laturile triunghiului

se construiesc în exterior triunghiurile echilaterale AB AC , BC . Cercurile circumscrise acestor triunghiuri au un punct comun (punctul lui Torricelli pentru triunghiul ABC).

Punctul lui VectenTeoremă: Se consideră un triunghi ABC. Fie A" un punct din plan cu proprietăţile:1. dreapta BC separă punctele A si A".2. A" este centrul pătratului construit pe latura BC. Analog se obtin punctele B" si C". Atunci dreptele AA", BB" si

CC" sunt concurente.(Punctul de concurenţa al celor trei drepte se numeşte punctul lui Vecten).

Punctul lui Kariya

Teoremă : Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC şi fie ,punctele de contact ale cercului înscris cu

laturile triunghiului ( (BC), (CA), (AB)). Se consideră punctele

Atunci dreptele AA2, BB2 şi CC2 sunt concurente. (Punctul K de concurenţă al celor trei drepte se numeşte punctul lui Kariya).

Definiţie: Se numeşte patrulater complet - figura formată de laturile unui patrulater şi de prelungirile laturilor opuse

până la intersecţia lor, având patru laturi: , şase vârfuri A, B, C, D, E, F şi trei diagonale: AC BD si EF.

i) Dreapta ortică este axa radicală a cercului circumscris triunghiului şi a cercului Euler. ii) Dreapta ortică este perpendiculară pe dreapta lui Euler.

Definiţia 1: Într-un triunghi ABC o dreaptă AM, unde M (BC) se numeşte ceviană.Definiţia 2: Într-un triunghi ABC cu , A" (BC), dreptele AA' si AA" satisfăcând condiţiile din ipoteza teoremei lui

Steiner ( ) se numesc ceviene izogonale.Definiţia 3: Într-un triunghi ABC simetricele medianelor faţă de bisectoare se numesc simediane (mediana si simediana sunt simetrice izogonale). Deoarece medianele unui triunghi sunt concurente, folosind teorema anterioară, rezultă că şi simedianele unui triunghi sunt concurente. Punctul de concurenţă al simedianelor se numeşte punctul lui Lemoine al triunghiului sau punctul simedian.

Teoremă: Locul geometric al punctelor care au aceeaşi putere faţă de două cercuri neconcentrice, este o dreaptă perpendiculară pe linia centrelor, numită axa radicală a celor două cercuri.Definiţia triunghiurilor ortologice:

Fie ABC si două triunghiuri astfel încât perpendicularele din A,B,C respectiv pe dreptele sunt

concurente. Atunci şi perpedicularele din respectiv pe dreptele BC, CA si AB sunt concurente. Cele două triunghiuri se numesc ortologice iar cele două puncte de concurenţă se numesc centrele ortologice ale celor două triunghiuri.

Teorema 4 ( EULER): Într-un triunghi oarecare, mijloacele laturilor, picioarele înălţimilor şi mijloacele segmentelor ce unesc fiecare vârf cu ortocentrul triunghiului, sunt situate pe un acelaşi cerc ( cercul lui Euler sau cercul celor nouă puncte)

I.1.7.Dreapta antiortică

Teoremă: Se consideră un triunghi neisoscel ABC. Bisectoarea exterioară corespunzătoare vârfului A intersectează

dreapta BC în punctul . Analog se obţin punctele B' si .Atunci punctele se găsesc pe o aceeaşi dreaptă

(numită dreapta antiortică a tringhiului ABC).

Demonstraţie:

Fie a, b, c lungimile laturilor unui triunghi, AD bisectoarea interioară iar bisectoarea exterioară a unghiului BAC.

Avem conform teoremei unghiului exterior: .

Analog avem si .

Înmulţind cele trei relaţii, se obţine: sunt coliniare conform reciprocei teoremei lui

Menelaus.

I.2.5.Punctul lui Gergonne

Teorema (Gergonne): Într-un triunghi ABC dreptele care unesc vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale cercului

înscris cu laturile opuse sunt concurente . (Punctul de concurenţă se numeşte punctul lui Gergonne).

Demonstraţie: Se notează cu E, F si G punctele de contact ale cercului înscris cu laturile triunghiului. Cum tangentele dintr-un punct exterior la un cerc sunt

egale avem : AF=AG: BE=BG. CE=CF . Rezultă că :

Folosind reciproca teoremei lui Ceva rezultă că dreptele AE, BF si CG sunt

concurente.

Observaţie: Dacă în locul cercului înscris se consideră un cerc

exînscris, teorema rămâne valabilă.

Într-adevăr, fie (BC), (AC si (AB punctele de contact ale cercului

exînscris corespunzător vârfului A.Ca şi în cazul anterior avem relaţiile:

Obţinem: şi folosind reciproca teoremei lui Ceva rezultă

că

dreptele sunt concurente în . Analog se obţin punctele G2 si .

Punctele se numesc adjunctele punctului Gergonne.

Coliniaritate şi concurenţă

în planul euclidian

Din punct de vedere al conţinutului şi al modului de prezentare, am dorit ca lucrarea să fie accesibilă şi să nu

fie din punct de vedere cantitativ o înregistrare a unor rezultate, ci ca o prezentare a tipurilor de probleme ce

au preocupat o anumită generaţie şi care au devenit celebre datorită numelor pe care le poartă.

Lucrarea de faţa este structurată în patru capitole, proiectate pentru a exista echilibru între aspectele

teoretice şi cele ştiinţific-metodologice.

Primul capitol conţine o selecţie a teoremelor şi problemelor clasice de concurenţă şi coliniaritate cu

referire la dreptele şi punctele celebre din geometria plană.

Capitolele II şi III sunt cele mai vaste. În Capitolul al II-lea sunt prezentate mai multe metode de rezolvare a

problemelor de geometrie, dintre cele generale: analiza şi sinteza, iar dintre cele particulare: metoda reducerii

la absurd, metoda vectorială şi metoda transformărilor geometrice. Am căutat să scot în relief esenţa

metodelor amintite anterior focalizate pe substanţa ştiinţifică a primelor două capitole. Capitolul se încheie,

după expunerea principiilor care fundamentează fiecare metodă, cu aplicaţii care ilustrează respectiva metodă

.

În capitolul al III-lea, structurat în patru subcapitole, sunt prezentate metodele de rezolvare a

problemelor de concurenţă şi coliniaritate. În primul subcapitol sunt aplicate metodele de la capitolul

precedent. În al doilea subcapitol sunt prezentate metodele specifice de rezolvare a problemelor. În

subcapitolul al treilea este prezentată metoda secantei în rezolvarea problemelor de coliniaritate, iar ultimul

subcapitol cuprinde un studiu al rezolvării problemelor de coliniaritate şi concurenţă cu ajutorul

transformărilor geometrice: omotetia şi inversiunea.

Capitolul IV prezintă probleme şi teoreme celebre şi demonstrarea lor cu ajutorul geometriei analitice.

Câteva dintre probleme sunt alese din capitolele anterioare doar că acum sunt demonstrate analitic.

II.1. Metoda analizei

Este vorba de a dovedi implicaţia . Se caută o propoziţie rn care s-o implice pe q, după care trebuie

gasită o propoziţie din care să deducem şi aşa mai departe până reuşim să depistăm propoziţia

care rezultă direct din p .

II.2. Metoda sintezei Pentru demonstrarea unor teoreme sau pentru rezolvarea unor probleme se

consideră o figură despre care ştim că posedă proprietatea p şi se cere să arătăm că posedă şi proprietatea q .

Recunoaştem cu uşurinţă că aici intervine implicaţia logică p q .

Mecanismul metodei sinteză constă în a pleca de la propoziţia p şi a descoperi alte proprietăţi astfel

încât: .

Metoda reducerii la absurd

După cum se ştie, orice teoremă este în esenţă o implicaţie logică .Teorema reciprocă este .

Folosind tabelele de adevăr, se demonstrează foarte uşor că teorema directă este echivalentă cu

contrara teoremei reciproce.non q → non p

Metoda vectorială (T Pitagora generalizata)

Fie ABC un triunghi. Avem . Înmulţind scalar această relaţie cu ea însăşi, obţinem : BC2 = AC2 +

AB2 -2 .

Metode specifice de rezolvare a problemelor de coliniaritate şi concurenţă

Legătura strânsă între problemele de coliniaritate şi cele de concurenţă este evidenţiată de următoarea

schemă. Pentru a dovedi că dreptele a, b, c sunt concurente , fie {X} = a b şi Z,Y c; problema revine la

probarea coliniarităţii punctelor X,Y,Z.

- Cu ajutorul reciprocei teoremei lui Menelaus (dreapta antiortica)

- Cu ajutorul teoremei lui Ceva (punctul lui Gergonne); concurenta medianelor in triunghi , a

inaltimilor , a bisectoarelor